Oh-oh-oh-oh-oh ... eh bien, c'est minuscule, comme si vous lisiez la phrase pour vous-même =) Cependant, la relaxation aidera, d'autant plus qu'aujourd'hui j'ai acheté des accessoires appropriés. Par conséquent, passons à la première section, j'espère qu'à la fin de l'article, je garderai une humeur joyeuse.

Disposition mutuelle de deux lignes droites

Le cas où la salle chante en chœur. Deux lignes peuvent:

1) correspondre ;

2) être parallèle : ;

3) ou se croisent en un seul point : .

Aide pour les nuls : n'oubliez pas le signe mathématique de l'intersection, cela se produira très souvent. L'entrée signifie que la ligne coupe la ligne au point.

Comment déterminer la position relative de deux lignes ?

Commençons par le premier cas :

Deux droites coïncident si et seulement si leurs coefficients respectifs sont proportionnels, c'est-à-dire qu'il existe un nombre "lambda" tel que les égalités

Considérons des droites et composons trois équations à partir des coefficients correspondants : . De chaque équation, il résulte que, par conséquent, ces lignes coïncident.

En effet, si tous les coefficients de l'équation multiplier par -1 (changer de signe), et tous les coefficients de l'équation réduire de 2, on obtient la même équation : .

Le deuxième cas où les droites sont parallèles :

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients aux variables sont proportionnels : , mais.

Prenons l'exemple de deux lignes droites. On vérifie la proportionnalité des coefficients correspondants pour les variables :

Cependant, il est clair que.

Et le troisième cas, lorsque les lignes se croisent :

Deux droites se coupent si et seulement si leurs coefficients des variables ne sont PAS proportionnels, c'est-à-dire qu'il n'y a PAS une telle valeur de "lambda" que les égalités soient remplies

Ainsi, pour les droites nous allons composer un système :

De la première équation, il s'ensuit que , et de la seconde équation : , d'où, le système est incohérent(pas de solutions). Ainsi, les coefficients aux variables ne sont pas proportionnels.

Conclusion : les lignes se croisent

Dans les problèmes pratiques, le schéma de solution que nous venons de considérer peut être utilisé. Soit dit en passant, il est très similaire à l'algorithme de vérification de la colinéarité des vecteurs, que nous avons examiné dans la leçon. Le concept de (non) dépendance linéaire des vecteurs. Base vectorielle. Mais il existe un package plus civilisé :

Exemple 1

Découvrez la position relative des lignes :

Décision basée sur l'étude des vecteurs directeurs des droites :

a) À partir des équations, nous trouvons les vecteurs directeurs des lignes : .

, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les lignes se coupent.

Au cas où, je mettrai une pierre avec des pointeurs au carrefour:

Les autres sautent par-dessus la pierre et suivent, directement vers Kashchei l'Immortel =)

b) Trouvez les vecteurs directeurs des droites :

Les lignes ont le même vecteur de direction, ce qui signifie qu'elles sont soit parallèles, soit identiques. Ici, le déterminant n'est pas nécessaire.

Évidemment, les coefficients des inconnues sont proportionnels, tandis que .

Voyons si l'égalité est vraie :

Ainsi,

c) Trouvez les vecteurs directeurs des droites :

Calculons le déterminant, composé des coordonnées de ces vecteurs :
, par conséquent, les vecteurs directeurs sont colinéaires. Les lignes sont parallèles ou coïncident.

Le facteur de proportionnalité "lambda" est facile à voir directement à partir du rapport des vecteurs de direction colinéaires. Cependant, il peut également être trouvé à travers les coefficients des équations elles-mêmes : .

Voyons maintenant si l'égalité est vraie. Les deux termes libres sont nuls, donc :

La valeur résultante satisfait cette équation (n'importe quel nombre la satisfait généralement).

Ainsi, les lignes coïncident.

Répondre:

Très bientôt, vous apprendrez (ou même avez déjà appris) à résoudre verbalement le problème considéré littéralement en quelques secondes. À cet égard, je ne vois aucune raison d'offrir quoi que ce soit pour solution indépendante, il vaut mieux poser une autre brique importante dans la fondation géométrique :

Comment tracer une ligne parallèle à une ligne donnée ?

Pour l'ignorance de cela la tâche la plus simple punit sévèrement le Rossignol le Voleur.

Exemple 2

La droite est donnée par l'équation . Écrivez une équation pour une droite parallèle qui passe par le point.

Décision: Indiquez la ligne inconnue par la lettre . Que dit la condition à ce sujet ? La droite passe par le point. Et si les lignes sont parallèles, alors il est évident que le vecteur directeur de la ligne "ce" convient également pour construire la ligne "te".

Nous retirons le vecteur de direction de l'équation :

Répondre:

La géométrie de l'exemple semble simple :

La vérification analytique comprend les étapes suivantes :

1) On vérifie que les droites ont le même vecteur directeur (si l'équation de la droite n'est pas correctement simplifiée, alors les vecteurs seront colinéaires).

2) Vérifiez si le point satisfait l'équation résultante.

La vérification analytique dans la plupart des cas est facile à réaliser oralement. Regardez les deux équations et beaucoup d'entre vous comprendront rapidement comment les lignes sont parallèles sans aucun dessin.

Les exemples d'auto-résolution aujourd'hui seront créatifs. Parce que vous devez encore rivaliser avec Baba Yaga, et elle, vous savez, est une amoureuse de toutes sortes d'énigmes.

Exemple 3

Ecrire une équation pour une droite passant par un point parallèle à la droite si

Il existe une manière rationnelle et pas très rationnelle de résoudre. Le chemin le plus court est à la fin de la leçon.

Nous avons fait un peu de travail avec des lignes parallèles et nous y reviendrons plus tard. Le cas des lignes coïncidentes n'a que peu d'intérêt, alors considérons un problème que vous connaissez bien depuis programme scolaire:

Comment trouver le point d'intersection de deux droites ?

Si droit se croisent au point , alors ses coordonnées sont la solution systèmes d'équations linéaires

Comment trouver le point d'intersection des lignes? Résolvez le système.

Voilà pour vous signification géométrique du système de deux équations linéaires avec deux inconnues sont deux droites qui se croisent (le plus souvent) sur un plan.

Exemple 4

Trouver le point d'intersection des lignes

Décision: Il existe deux façons de résoudre - graphique et analytique.

La manière graphique consiste simplement à tracer les lignes données et à trouver le point d'intersection directement à partir du dessin :

Voici notre propos : . Pour vérifier, vous devez substituer ses coordonnées dans chaque équation d'une ligne droite, elles doivent correspondre à la fois ici et là. En d'autres termes, les coordonnées d'un point sont la solution du système . En fait, nous avons considéré une manière graphique de résoudre systèmes d'équations linéaires avec deux équations, deux inconnues.

La méthode graphique, bien sûr, n'est pas mauvaise, mais il y a des inconvénients notables. Non, le fait n'est pas que les élèves de septième année décident de cette façon, le fait est qu'il faudra du temps pour faire un dessin correct et EXACT. De plus, certaines lignes ne sont pas si faciles à construire et le point d'intersection lui-même peut se trouver quelque part dans le trentième royaume en dehors de la feuille de cahier.

Par conséquent, il est plus opportun de rechercher le point d'intersection par la méthode analytique. Résolvons le système :

Pour résoudre le système, la méthode d'addition terme à terme des équations a été utilisée. Pour développer les compétences pertinentes, visitez la leçon Comment résoudre un système d'équations ?

Répondre:

La vérification est triviale - les coordonnées du point d'intersection doivent satisfaire chaque équation du système.

Exemple 5

Trouvez le point d'intersection des lignes si elles se croisent.

Ceci est un exemple à faire soi-même. Il convient de diviser le problème en plusieurs étapes. L'analyse de la condition suggère qu'il est nécessaire:
1) Ecrire l'équation d'une droite.
2) Ecrire l'équation d'une droite.
3) Découvrez la position relative des lignes.
4) Si les lignes se croisent, trouvez le point d'intersection.

Le développement d'un algorithme d'action est typique de nombreux problèmes géométriques, et je m'y attarderai à plusieurs reprises.

Solution complète et réponse à la fin du tutoriel :

Une paire de chaussures n'a pas encore été usée, car nous sommes arrivés à la deuxième partie de la leçon :

Les lignes perpendiculaire. La distance d'un point à une ligne.
Angle entre les lignes

Commençons par une tâche typique et très importante. Dans la première partie, nous avons appris à construire une ligne droite parallèle à celle donnée, et maintenant la hutte sur les cuisses de poulet tournera à 90 degrés :

Comment tracer une ligne perpendiculaire à une ligne donnée ?

Exemple 6

La droite est donnée par l'équation . Ecrire l'équation d'une droite perpendiculaire passant par un point.

Décision: On sait par hypothèse que . Ce serait bien de trouver le vecteur directeur de la droite. Comme les droites sont perpendiculaires, l'astuce est simple :

De l'équation on « enlève » le vecteur normal : , qui sera le vecteur directeur de la droite.

On compose l'équation d'une droite par un point et un vecteur directeur :

Répondre:

Déplions le croquis géométrique :

Hmmm... Ciel orange, mer orange, chameau orange.

Vérification analytique de la solution :

1) Extraire les vecteurs directeurs des équations et avec l'aide produit scalaire de vecteurs on en déduit que les droites sont bien perpendiculaires : .

Au fait, vous pouvez utiliser des vecteurs normaux, c'est encore plus simple.

2) Vérifiez si le point satisfait l'équation résultante .

La vérification, encore une fois, est facile à effectuer verbalement.

Exemple 7

Trouver le point d'intersection des droites perpendiculaires, si l'équation est connue et point.

Ceci est un exemple à faire soi-même. Il y a plusieurs actions dans la tâche, il est donc pratique d'organiser la solution point par point.

Notre passionnant voyage continue :

Distance d'un point à une ligne

Devant nous se trouve une bande rectiligne de la rivière et notre tâche est de l'atteindre par le plus court chemin. Il n'y a pas d'obstacles et l'itinéraire le plus optimal sera le mouvement le long de la perpendiculaire. Autrement dit, la distance d'un point à une ligne est la longueur du segment perpendiculaire.

La distance en géométrie est traditionnellement désignée par la lettre grecque « ro », par exemple : - la distance du point « em » à la droite « de ».

Distance d'un point à une ligne s'exprime par la formule

Exemple 8

Trouver la distance d'un point à une droite

Décision : tout ce dont vous avez besoin est de substituer soigneusement les nombres dans la formule et de faire les calculs :

Répondre:

Exécutons le dessin :

La distance trouvée du point à la ligne est exactement la longueur du segment rouge. Si vous faites un dessin sur du papier quadrillé à l'échelle de 1 unité. \u003d 1 cm (2 cellules), alors la distance peut être mesurée avec une règle ordinaire.

Considérons une autre tâche selon le même dessin :

La tâche consiste à trouver les coordonnées du point , qui est symétrique au point par rapport à la ligne . Je propose d'effectuer les actions par vous-même, cependant, je vais décrire l'algorithme de solution avec des résultats intermédiaires :

1) Trouver une droite perpendiculaire à une droite.

2) Trouvez le point d'intersection des lignes : .

Ces deux actions sont décrites en détail dans cette leçon.

3) Le point est le milieu du segment. Nous connaissons les coordonnées du milieu et de l'une des extrémités. Par formules pour les coordonnées du milieu du segment trouver .

Il ne sera pas superflu de vérifier que la distance est également égale à 2,2 unités.

Des difficultés ici peuvent survenir dans les calculs, mais dans la tour, une microcalculatrice aide beaucoup, vous permettant de compter fractions communes. J'ai conseillé plusieurs fois et je recommanderai à nouveau.

Comment trouver la distance entre deux droites parallèles ?

Exemple 9

Trouver la distance entre deux droites parallèles

Ceci est un autre exemple de solution indépendante. Un petit indice : il existe une infinité de façons de résoudre. Débriefing à la fin de la leçon, mais mieux vaut essayer de deviner par vous-même, je pense que vous avez bien réussi à disperser votre ingéniosité.

Angle entre deux lignes

Quel que soit le coin, puis le jambage :


En géométrie, l'angle entre deux lignes droites est considéré comme le PLUS PETIT angle, d'où il s'ensuit automatiquement qu'il ne peut pas être obtus. Dans la figure, l'angle indiqué par l'arc rouge n'est pas considéré comme l'angle entre les lignes qui se croisent. Et son voisin "vert" ou orienté à l'opposé coin cramoisi.

Si les lignes sont perpendiculaires, alors n'importe lequel des 4 angles peut être considéré comme l'angle entre eux.

Comment les angles sont-ils différents? Orientation. Premièrement, la direction de "défilement" du coin est fondamentalement importante. Deuxièmement, un angle orienté négativement est écrit avec un signe moins, par exemple, si .

Pourquoi ai-je dit cela ? Il semble que vous puissiez vous débrouiller avec le concept habituel d'angle. Le fait est que dans les formules par lesquelles nous trouverons les angles, un résultat négatif peut facilement être obtenu, et cela ne devrait pas vous surprendre. Un angle avec un signe moins n'est pas pire et a une signification géométrique très spécifique. Dans le dessin pour un angle négatif, il est impératif d'indiquer son orientation (sens horaire) par une flèche.

Comment trouver l'angle entre deux droites ? Il existe deux formules de travail :

Exemple 10

Trouver l'angle entre les lignes

Décision et Première méthode

Considérons deux droites données par des équations sous forme générale :

Si droit pas perpendiculaire, alors orienté l'angle entre eux peut être calculé à l'aide de la formule :

Portons une attention particulière au dénominateur - c'est exactement produit scalaire vecteurs directeurs des droites :

Si , alors le dénominateur de la formule s'annule, et les vecteurs seront orthogonaux et les lignes seront perpendiculaires. C'est pourquoi une réserve a été émise sur la non-perpendicularité des lignes dans la formulation.

Sur la base de ce qui précède, la solution est commodément formalisée en deux étapes :

1) Calculer le produit scalaire des vecteurs directeurs des droites :
donc les lignes ne sont pas perpendiculaires.

2) On trouve l'angle entre les droites par la formule :

En utilisant la fonction inverse, il est facile de trouver l'angle lui-même. Dans ce cas, nous utilisons l'impair de l'arc tangent (voir Fig. Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires):

Répondre:

Dans la réponse, nous indiquons la valeur exacte, ainsi que la valeur approximative (de préférence en degrés et en radians), calculée à l'aide d'une calculatrice.

Eh bien, moins, donc moins, ça va. Voici une illustration géométrique :

Il n'est pas surprenant que l'angle se soit avéré être d'orientation négative, car dans l'état du problème, le premier nombre est une ligne droite et la «torsion» de l'angle a commencé précisément à partir de celle-ci.

Si vous voulez vraiment obtenir un angle positif, vous devez échanger les lignes droites, c'est-à-dire prendre les coefficients de la deuxième équation , et prenez les coefficients de la première équation . En bref, vous devez commencer par un direct .

La distance d'un point à une droite est la longueur de la perpendiculaire du point à la droite. En géométrie descriptive, elle est déterminée graphiquement selon l'algorithme ci-dessous.

Algorithme

1. La ligne droite est transférée à une position dans laquelle elle sera parallèle à n'importe quel plan de projection. Pour ce faire, appliquez les méthodes de transformation des projections orthogonales.
2. Tracez une perpendiculaire d'un point à une droite. Cette construction est basée sur le théorème de projection à angle droit.
3. La longueur d'une perpendiculaire est déterminée en convertissant ses projections ou en utilisant la méthode du triangle rectangle.

La figure suivante montre un dessin complexe du point M et de la droite b définis par le segment de droite CD. Vous devez trouver la distance qui les sépare.

Selon notre algorithme, la première chose à faire est de déplacer la ligne vers une position parallèle au plan de projection. Il est important de comprendre qu'après les transformations, la distance réelle entre le point et la ligne ne doit pas changer. C'est pourquoi il est pratique d'utiliser ici la méthode de remplacement d'avion, qui n'implique pas de déplacer des personnages dans l'espace.

Les résultats de la première phase de constructions sont présentés ci-dessous. La figure montre comment un plan frontal supplémentaire P 4 est introduit parallèlement à b. À nouveau système(P 1 , P 4) les points C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 sont à la même distance de l'axe X 1 que C"", D"", M"" de l'axe X.

En effectuant la deuxième partie de l'algorithme, de M"" 1 on abaisse la perpendiculaire M"" 1 N"" 1 à la droite b"" 1, puisque l'angle droit MND entre b et MN est projeté sur le plan P 4 en taille réelle. On détermine la position du point N" le long de la ligne de communication et on trace la projection M"N" du segment MN.

A l'étape finale, il faut déterminer la valeur du segment MN par ses projections M"N" et M"" 1 N"" 1 . Pour cela nous construisons triangle rectangle M"" 1 N"" 1 N 0 , dont la jambe N"" 1 N 0 est égale à la différence (Y M 1 – Y N 1) du retrait des points M" et N" de l'axe X 1. La longueur de l'hypoténuse M"" 1 N 0 du triangle M"" 1 N"" 1 N 0 correspond à la distance souhaitée de M à b.

La deuxième façon de résoudre

• Parallèlement à CD nous introduisons un nouveau plan frontal П 4 . Il coupe P 1 le long de l'axe X 1, et X 1 ∥C"D". Conformément à la méthode de remplacement des plans, nous déterminons les projections des points C "" 1, D"" 1 et M"" 1, comme indiqué sur la figure.
• Perpendiculairement à C"" 1 D"" 1 nous construisons un plan horizontal P 5, sur lequel la ligne b est projetée au point C "2 = b" 2.
• La distance entre le point M et la droite b est déterminée par la longueur du segment M "2 C" 2 marqué en rouge.

Tâches connexes :

Cet article parle du sujet « distance d'un point à une ligne », les définitions de la distance d'un point à une ligne sont considérées avec des exemples illustrés par la méthode des coordonnées. Chaque bloc de théorie à la fin a montré des exemples de résolution de problèmes similaires.

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La distance d'un point à une ligne se trouve en déterminant la distance d'un point à un point. Considérons plus en détail.

Soit une droite a et un point M 1 n'appartenant pas à la droite donnée. Tracez-y une ligne bloquée perpendiculaire à la ligne a. Prendre le point d'intersection des lignes comme H 1. Nous obtenons que M 1 H 1 est une perpendiculaire, qui a été abaissée du point M 1 à la ligne a.

Définition 1

Distance du point M 1 à la droite a appelée distance entre les points M 1 et H 1 .

Il existe des enregistrements de la définition avec le chiffre de la longueur de la perpendiculaire.

Définition 2

Distance d'un point à une ligne est la longueur de la perpendiculaire tirée d'un point donné à une droite donnée.

Les définitions sont équivalentes. Considérez la figure ci-dessous.

On sait que la distance d'un point à une droite est la plus petite possible. Regardons cela avec un exemple.

Si nous prenons le point Q situé sur la ligne a, ne coïncidant pas avec le point M 1, alors nous obtenons que le segment M 1 Q est appelé oblique, abaissé de M 1 à la ligne a. Il faut indiquer que la perpendiculaire du point M 1 est inférieure à toute autre oblique tracée du point à la droite.

Pour le prouver, considérons le triangle M 1 Q 1 H 1 , où M 1 Q 1 est l'hypoténuse. On sait que sa longueur est toujours supérieure à la longueur de l'une quelconque des pattes. On a donc que M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Les données initiales pour trouver d'un point à une droite permettent d'utiliser plusieurs méthodes de résolution : à travers le théorème de Pythagore, les définitions de sinus, cosinus, tangente d'un angle, et autres. La plupart des tâches de ce type sont résolues à l'école dans les cours de géométrie.

Lorsque, lors de la recherche de la distance d'un point à une ligne, il est possible d'entrer un système de coordonnées rectangulaires, la méthode des coordonnées est utilisée. Dans ce paragraphe, nous considérons les deux principales méthodes pour trouver la distance souhaitée à partir d'un point donné.

La première méthode consiste à trouver la distance sous la forme d'une perpendiculaire tirée de M 1 à la ligne a. La deuxième méthode utilise l'équation normale de la droite a pour trouver la distance requise.

S'il y a un point sur le plan avec des coordonnées M 1 (x 1, y 1) situé dans un système de coordonnées rectangulaire, une ligne droite a, et vous devez trouver la distance M 1 H 1, vous pouvez calculer de deux manières. Considérons-les.

Première façon

S'il existe des coordonnées du point H 1 égales à x 2, y 2, alors la distance du point à la ligne est calculée à partir des coordonnées de la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - et 1) 2.

Passons maintenant à la recherche des coordonnées du point H 1.

On sait qu'une droite en O x y correspond à l'équation d'une droite dans un plan. Prenons un moyen de définir une droite a en écrivant une équation générale d'une droite ou une équation avec une pente. On compose l'équation d'une droite passant par le point M 1 perpendiculaire à une droite donnée a. Notons la ligne hêtre b . H 1 est le point d'intersection des lignes a et b, donc pour déterminer les coordonnées, vous devez utiliser l'article dans lequel Dans la question sur les coordonnées des points d'intersection de deux droites.

On voit que l'algorithme de recherche de la distance d'un point donné M 1 (x 1, y 1) à la droite a s'effectue en fonction des points :

Définition 3

• trouver l'équation générale de la droite a , ayant la forme A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, ou une équation avec un coefficient de pente, ayant la forme y \u003d k 1 x + b 1;
• obtenir l'équation générale de la ligne b, qui a la forme A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ou une équation avec une pente y \u003d k 2 x + b 2 si la ligne b coupe le point M 1 et est perpendiculaire à la ligne donnée a ;
• déterminer les coordonnées x 2, y 2 du point H 1, qui est le point d'intersection a et b, pour cela, le système d'équations linéaires est résolu A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ou y = k 1 X + b 1 y = k 2 X + b 2 ;
• calcul de la distance requise d'un point à une ligne droite, en utilisant la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Deuxième voie

Le théorème peut aider à répondre à la question de trouver la distance d'un point donné à une ligne donnée sur un plan.

Théorème

Un système de coordonnées rectangulaires a O x y a un point M 1 (x 1, y 1), à partir duquel une ligne droite est tracée a au plan, donné par l'équation normale du plan, ayant la forme cos α x + cos β y - p \u003d 0, égal au modulo de la valeur obtenue du côté gauche de l'équation de la droite normale, calculée à x = x 1, y = y 1, signifie que M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Preuve

La droite a correspond à l'équation normale du plan, qui a la forme cos α x + cos β y - p = 0, alors n → = (cos α , cos β) est considéré comme un vecteur normal de la droite a en a distance de l'origine à la ligne a avec p unités . Il est nécessaire de représenter toutes les données de la figure, d'ajouter un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1) , où le rayon vecteur du point M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Il faut tracer une droite allant d'un point à une droite, que nous noterons M 1 H 1 . Il faut représenter les projections M 2 et H 2 des points M 1 et H 2 sur une droite passant par le point O avec un vecteur directeur de la forme n → = (cos α , cos β) , et on note la projection numérique du vecteur comme O M 1 → = (x 1 , y 1) vers la direction n → = (cos α , cos β) comme n p n → O M 1 → .

Les variations dépendent de l'emplacement du point M 1 lui-même. Considérez la figure ci-dessous.

On fixe les résultats à l'aide de la formule M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Puis on ramène l'égalité sous cette forme M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p pour obtenir n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Le produit scalaire des vecteurs donne une formule transformée de la forme n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , qui est un produit sous forme de coordonnées du forme n → , O M 1 → = cos α · X 1 + cos β · y 1 . Par conséquent, nous obtenons que n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Il s'ensuit que M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Le théorème a été démontré.

On obtient que pour trouver la distance du point M 1 (x 1, y 1) à la droite a sur le plan, plusieurs actions doivent être effectuées :

Définition 4

• obtenir l'équation normale de la ligne a cos α · x + cos β · y - p = 0, à condition qu'elle ne soit pas dans la tâche ;
• calcul de l'expression cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , où la valeur résultante prend M 1 H 1 .

Appliquons ces méthodes pour résoudre des problèmes de recherche de la distance d'un point à un plan.

Exemple 1

Trouvez la distance entre le point de coordonnées M 1 (- 1 , 2) et la ligne 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Décision

Utilisons la première méthode pour résoudre.

Pour ce faire, vous devez trouver l'équation générale de la ligne b, qui passe par un point donné M 1 (- 1 , 2) perpendiculaire à la ligne 4 x - 3 y + 35 = 0 . On le voit à partir de la condition que la ligne b est perpendiculaire à la ligne a, alors son vecteur directeur a pour coordonnées égales à (4, - 3) . Ainsi, nous avons la possibilité d'écrire l'équation canonique de la ligne b sur le plan, puisqu'il existe des coordonnées du point M 1, appartient à la ligne b. Déterminons les coordonnées du vecteur directeur de la droite b . Nous obtenons que x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . L'équation canonique résultante doit être convertie en une équation générale. Alors on obtient ça

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Trouvons les coordonnées des points d'intersection des lignes, que nous prendrons comme désignation H 1. Les transformations ressemblent à ceci :

4 x - 3 ans + 35 = 0 3 x + 4 ans - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 3 x + 4 ans - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 3 3 4 ans - 35 4 + 4 ans - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 ans = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 ans = 5 ⇔ x = - 5 ans = 5

De ce qui précède, nous avons que les coordonnées du point H 1 sont (- 5 ; 5) .

Il faut calculer la distance du point M 1 à la droite a. Nous avons que les coordonnées des points M 1 (- 1, 2) et H 1 (- 5, 5), puis nous substituons dans la formule pour trouver la distance et nous obtenons que

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

La deuxième solution.

Pour résoudre d'une autre manière, il faut obtenir l'équation normale d'une droite. Nous calculons la valeur du facteur de normalisation et multiplions les deux côtés de l'équation 4 x - 3 y + 35 = 0 . De là, nous obtenons que le facteur de normalisation est - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , et l'équation normale sera de la forme - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Selon l'algorithme de calcul, il faut obtenir l'équation normale d'une droite et la calculer avec les valeurs x = - 1 , y = 2 . Alors on obtient ça

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

De là, nous obtenons que la distance entre le point M 1 (- 1 , 2) et la ligne droite donnée 4 x - 3 y + 35 = 0 a la valeur - 5 = 5 .

Répondre: 5 .

On voit que dans cette méthode il est important d'utiliser l'équation normale d'une droite, puisque cette méthode est la plus courte. Mais la première méthode est pratique en ce sens qu'elle est cohérente et logique, bien qu'elle ait plus de points de calcul.

Exemple 2

Sur le plan, il y a un système de coordonnées rectangulaire O x y avec un point M 1 (8, 0) et une droite y = 1 2 x + 1. Trouver la distance entre un point donné et une droite.

Décision

La solution de la première manière implique la réduction d'une équation donnée avec un coefficient de pente à l'équation vue générale. Pour simplifier, vous pouvez le faire différemment.

Si le produit des pentes des droites perpendiculaires vaut - 1, alors pente la droite perpendiculaire à y = 1 2 x + 1 donné vaut 2 . Nous obtenons maintenant l'équation d'une droite passant par un point de coordonnées M 1 (8, 0) . Nous avons que y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nous procédons à la recherche des coordonnées du point H 1, c'est-à-dire les points d'intersection y \u003d - 2 x + 16 et y \u003d 1 2 x + 1. On compose un système d'équations et on obtient :

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Il s'ensuit que la distance du point de coordonnées M 1 (8 , 0) à la ligne y = 1 2 x + 1 est égale à la distance du point de départ et du point final de coordonnées M 1 (8 , 0) et H 1 (6 , 4) . Calculons et obtenons que M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

La solution de la deuxième manière est de passer de l'équation à coefficient à sa forme normale. Autrement dit, nous obtenons y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, alors la valeur du facteur de normalisation sera - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Il s'ensuit que l'équation normale d'une droite prend la forme - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Calculons du point M 1 8 , 0 à une droite de la forme - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . On a:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Répondre: 2 5 .

Exemple 3

Il est nécessaire de calculer la distance entre le point de coordonnées M 1 (- 2 , 4) et les droites 2 x - 3 = 0 et y + 1 = 0 .

Décision

On obtient l'équation de la forme normale de la droite 2 x - 3 = 0 :

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Ensuite, nous procédons au calcul de la distance entre le point M 1 - 2, 4 et la droite x - 3 2 = 0. On a:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

L'équation de ligne droite y + 1 = 0 a un facteur de normalisation avec une valeur de -1. Cela signifie que l'équation prendra la forme - y - 1 = 0 . Nous procédons au calcul de la distance du point M 1 (- 2 , 4) à la droite - y - 1 = 0 . On obtient qu'il est égal à - 4 - 1 = 5.

Répondre: 3 1 2 et 5 .

Examinons de plus près comment trouver la distance entre un point donné de l'avion et axes de coordonnées Ox et Oy.

Dans un système de coordonnées rectangulaires, l'axe O y a une équation d'une ligne droite, qui est incomplète et a la forme x \u003d 0, et O x - y \u003d 0. Les équations sont normales pour les axes de coordonnées, il faut alors trouver la distance du point de coordonnées M 1 x 1 , y 1 aux droites. Cela se fait sur la base des formules M 1 H 1 = x 1 et M 1 H 1 = y 1 . Considérez la figure ci-dessous.

Exemple 4

Trouver la distance entre le point M 1 (6, - 7) et les lignes de coordonnées situées dans le plan O x y.

Décision

Puisque l'équation y \u003d 0 fait référence à la ligne O x, vous pouvez trouver la distance de M 1 avec coordonnées données, à cette ligne, en utilisant la formule. Nous obtenons que 6 = 6 .

Étant donné que l'équation x \u003d 0 fait référence à la ligne O y, vous pouvez trouver la distance entre M 1 et cette ligne à l'aide de la formule. Alors nous obtenons que - 7 = 7 .

Répondre: la distance de M 1 à O x vaut 6, et de M 1 à O y vaut 7.

Lorsque dans l'espace tridimensionnel nous avons un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1), il est nécessaire de trouver la distance du point A à la ligne a.

Considérez deux façons qui vous permettent de calculer la distance d'un point à une ligne droite située dans l'espace. Le premier cas considère la distance du point M 1 à la droite, où le point sur la droite est appelé H 1 et est la base de la perpendiculaire tirée du point M 1 à la droite a. Le deuxième cas suggère que les points de ce plan doivent être recherchés comme la hauteur du parallélogramme.

Première façon

De la définition, nous avons que la distance du point M 1 situé sur la droite a est la longueur de la perpendiculaire M 1 H 1, puis nous obtenons cela avec les coordonnées trouvées du point H 1, puis nous trouvons la distance entre M 1 (x 1, y 1, z 1 ) et H 1 (x 1, y 1, z 1) selon la formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Nous obtenons que toute la solution consiste à trouver les coordonnées de la base de la perpendiculaire tirée de M 1 à la ligne a. Cela se fait de la manière suivante : H 1 est le point d'intersection de la droite a avec le plan passant par le point donné.

Cela signifie que l'algorithme de détermination de la distance du point M 1 (x 1, y 1, z 1) à la droite a de l'espace implique plusieurs points :

Définition 5

• établir l'équation du plan χ comme une équation du plan passant par un point donné perpendiculaire à la droite ;
• détermination des coordonnées (x 2 , y 2 , z 2 ) appartenant au point H 1 qui est le point d'intersection de la droite a et du plan χ ;
• calcul de la distance d'un point à une ligne à l'aide de la formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Deuxième voie

A partir de la condition, nous avons une ligne a, alors nous pouvons déterminer le vecteur de direction a → = a x, a y, a z avec les coordonnées x 3, y 3, z 3 et un certain point M 3 appartenant à la ligne a. Etant donné les coordonnées des points M 1 (x 1 , y 1) et M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → peuvent être calculés :

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Il faut reporter les vecteurs a → \u003d a x, a y, a z et M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 du point M 3, connecter et obtenir une figure en parallélogramme. M 1 H 1 est la hauteur du parallélogramme.

Considérez la figure ci-dessous.

Nous avons que la hauteur M 1 H 1 est la distance souhaitée, alors vous devez la trouver en utilisant la formule. Autrement dit, nous recherchons M 1 H 1 .

Dénotons l'aire du parallélogramme par la lettre S, se trouve par la formule utilisant le vecteur a → = (a x , a y , a z) et M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . La formule de l'aire a la forme S = a → × M 3 M 1 → . De plus, l'aire de la figure est égale au produit des longueurs de ses côtés et de la hauteur, on obtient que S \u003d a → M 1 H 1 avec a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, qui est la longueur du vecteur a → \u003d (a x, a y, a z) , qui est égal au côté du parallélogramme. Par conséquent, M 1 H 1 est la distance du point à la droite. On le trouve par la formule M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Pour trouver la distance d'un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) à une droite a dans l'espace, vous devez effectuer plusieurs points de l'algorithme :

Définition 6

• détermination du vecteur directeur de la droite a - a → = (a x , a y , a z) ;
• calcul de la longueur du vecteur directeur a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• obtenir les coordonnées x 3 , y 3 , z 3 appartenant au point M 3 situé sur la ligne a ;
• calcul des coordonnées du vecteur M 3 M 1 → ;
• trouver le produit croisé des vecteurs a → (a x, a y, a z) et M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 comme a → × M 3 M 1 → = i → j → k → une X une y une z X 1 - X 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 pour obtenir la longueur selon la formule a → × M 3 M 1 → ;
• calcul de la distance d'un point à une ligne M 1 H 1 = une → × M 3 M 1 → une → .

Résoudre des problèmes sur la recherche de la distance d'un point donné à une ligne droite donnée dans l'espace

Trouver la distance entre le point de coordonnées M 1 2 , - 4 , - 1 et la droite x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Décision

La première méthode commence par écrire l'équation du plan χ passant par M 1 et perpendiculaire à un point donné. On obtient une expression du type :

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Il faut trouver les coordonnées du point H 1, qui est le point d'intersection avec le plan χ à la droite donnée par la condition. Il faut passer de la forme canonique à celle croisée. On obtient alors un système d'équations de la forme :

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 X - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ X + 2 y + 1 = 0 5 X - 2 z - 5 = 0

Il faut calculer le système x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 par la méthode de Cramer, alors on obtient que :

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ X = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ X = ∆ X ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

On a donc H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

La deuxième méthode doit commencer par rechercher des coordonnées dans l'équation canonique. Pour ce faire, faites attention aux dénominateurs de la fraction. Alors a → = 2 , - 1 , 5 est le vecteur directeur de la droite x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Il est nécessaire de calculer la longueur à l'aide de la formule a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Il est clair que la droite x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 coupe le point M 3 (- 1 , 0 , - 5), donc on a que le vecteur d'origine M 3 (- 1 , 0 , - 5) et sa fin au point M 1 2 , - 4 , - 1 est M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Trouver le produit vectoriel a → = (2, - 1, 5) et M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

On obtient une expression de la forme a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 je → + 7 j → - 5 k →

on obtient que la longueur du produit croisé est a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Nous avons toutes les données pour utiliser la formule de calcul de la distance d'un point pour une ligne droite, nous l'appliquons donc et obtenons :

M 1 H 1 = une → × M 3 M 1 → une → = 330 30 = 11

Répondre: 11 .

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