|
Méthode de traperation
Article principal:Méthode de traperation
Si la fonction est sur chacun des segments partiels pour se rapprocher de la passe directe passant à travers valeurs finales, Je reçois la méthode de trapèze.
Zone de trapèze sur chaque segment:
Erreur d'approximation sur chaque segment:
 Où 
Formule complète Le trapèze dans le cas de la division de l'ensemble de l'intervalle d'intégration dans des segments de même longueur:
 Où
L'erreur de la formule du trapez
 Où 
Méthode SIMPSON.
 Intégrant f (x) Remplacé par un polynôme d'interpolation de second degré P (x) - Parabola passant à travers trois nœuds, par exemple, comme le montre la figure ((1) - fonction, (2) - polynôme).
Considérons deux étapes d'intégration ( h. \u003d const \u003d. x i + 1 - x i), c'est-à-dire trois nœuds x 0, x 1, x 2Par lequel nous effectuerons parabola en utilisant l'équation de Newton:
Laisser être z \u003d x - x 0,
ensuite
Maintenant, en utilisant le ratio résultant, nous comptions l'intégrale à cet intervalle:
.
Pour maille uniforme et même nombre d'étapes n La formule de Simpson prend la forme:
Ici  , mais  Dans la suggestion de la continuité de la quatrième dérivée de la fonction d'intégrande.
[Éditer] Augmenter la précision
Approximation de la fonction avec un polynôme sur tout le segment d'interface, en règle générale entraîne une erreur importante dans l'évaluation de la valeur intégrale.
Pour réduire l'erreur, le segment d'intégration est divisé en parties et applique une méthode numérique pour estimer l'intégrale sur chacune d'elles.
Lorsque le nombre de partitions à l'infini s'efforce, l'estimation intégrale tend à sa valeur réelle pour les fonctions analytiques pour toute méthode numérique.
Les méthodes ci-dessus permettent une étape simple de réduire l'étape deux fois, tandis que, à chaque étape, vous devez calculer les valeurs de la fonction uniquement dans des nœuds nouvellement ajoutés. Pour évaluer l'erreur de calcul, la règle de runge est utilisée.
Règles de runge des applications
modifier] Évaluation de la précision du calcul d'une intégrale spécifique
L'intégrale est calculée par la formule sélectionnée (rectangles, trapèze, parabolics simpson) avec le nombre d'étapes égales à n, puis avec le nombre d'étapes égal à 2n. L'erreur de calcul de la valeur intégrale avec le nombre d'étapes égales à 2n est déterminée par la formule de runge:
, pour les formules de rectangles et de trapèze, et pour la formule Simpson.
Ainsi, l'intégrale est calculée pour des valeurs successives du nombre d'étapes, où n 0 est le nombre initial d'étapes. Le processus de calcul se termine lorsqu'une condition est effectuée pour la valeur N SUIRE, où ε est la précision spécifiée.
Caractéristiques du comportement de l'erreur.
Il semblerait pourquoi analyser méthodes diverses intégration si nous pouvons atteindre haute précision, Il suffit de réduire la magnitude de l'étape d'intégration. Cependant, envisagez le calendrier du recrutement d'une erreur de postériorité. Rles résultats du calcul numérique à la dépendance  et du nombre n. La scission de l'intervalle (c'est-à-dire à une étape. Sur le site (1), l'erreur diminue en raison d'une diminution de l'étape H. mais sur le site (2), l'erreur de calcul commence à dominer, s'accumuler en tant que résultat de nombreuses actions arithmétiques. Ainsi, il y a son propre pour chaque méthode R minqui dépend de nombreux facteurs, mais surtout de la valeur a priori de l'erreur de la méthode R.
Clarifier la formule de Romberg.
La méthode ROMBERG consiste en un raffinement cohérent de la valeur intégrale avec une augmentation multiple du nombre de partitions. En tant que base, la formule du trapèze avec une étape uniforme peut être prise h..
Dénoter par l'intégrale avec le nombre de partitions n. \u003d 1 comme  .
Réduire le pas deux fois, nous obtenons  .
Si vous réduisez séquentiellement l'étape à 2 n fois, nous obtenons un ratio récurrent pour le calcul.
Certaine intégrale. Exemples de solutionsRebonjour. Dans cette leçon, nous analyserons une chose aussi merveilleuse comme une intégrale spécifique. Cette fois, l'introduction sera bref. Tout. Parce qu'un blizzard neigeux en dehors de la fenêtre. Afin d'apprendre à résoudre certains éléments d'intégral besoin:
1) Assurez-vous trouve Intégrales incertaines.
2) assurez-vous calculer Certaine intégrale.
Comme vous pouvez le constater, afin de maîtriser une intégrale spécifique, il est nécessaire de naviguer suffisamment dans les intégrales «ordinaires» incertaines. Donc, si vous commencez simplement à plonger dans des calculs intégrés et que la bouilloire n'a toujours pas été bouillie du tout, il est préférable de commencer à partir de la leçon Intéressé incertain. Exemples de solutions.
DANS général Une intégrale spécifique est écrite comme suit:
Ce qui a été ajouté par rapport à une intégrale incertaine? Ajoutée limites d'intégration.
Limite d'intégration inférieure
Limite d'intégration supérieure La norme est indiquée par la lettre.
Coupé s'appelle intégration du segment.
Avant de aller à exemples pratiques, petite FAQ sur une intégrale spécifique.
Qu'est-ce que cela signifie de résoudre une certaine intégrale? Résolvez une intégrale spécifique - cela signifie trouver un nombre.
Comment résoudre une intégrale spécifique?Avec l'aide d'un familier de la formule de Newton-Labitsa:
La formule est préférable de réécrire sur une notice distincte, elle doit être devant vos yeux tout au long de la leçon.
Étapes de résoudre une intégrale spécifique comme suit:
1) Nous trouvons d'abord une fonction primitive (intégrale indéfinie). Veuillez noter qu'une constante dans une intégrale spécifique pas ajouté. La désignation est purement technique et la baguette verticale ne porte aucune signification mathématique, en fait, c'est juste un épuisement. Pourquoi ai-je besoin d'être enregistré? Préparation à l'application de la formule de Newton-Leibnia.
2) Nous substituons la valeur de la limite supérieure de la fonction primitive :.
3) Remplaçant la valeur de la limite inférieure de la fonction primitive :.
4) Calculez (sans erreurs!) Différence, c'est-à-dire que nous trouvons un nombre.
Y a-t-il toujours une intégrale spécifique? Non pas toujours.
Par exemple, l'intégrale n'existe pas, car le segment d'intégration n'est pas inclus dans le champ de détermination de la fonction d'intégrande (valeurs sous racine carrée Ne peut être négatif). Mais l'exemple moins évident :. Il n'y a pas d'une telle intégrale, car aux points, le segment n'existe pas tangente. Au fait, qui n'a pas encore lu matériau méthodique Graphiques et propriétés de base des fonctions élémentaires - Il est temps de le faire maintenant. Ce sera génial d'aider tout au long de l'ensemble des mathématiques plus hautes.
Pour déterminer une certaine intégrale en général, il suffit de la fonction d'intégration pour être continue sur l'interphone.
De ce qui précède, la première recommandation importante devrait être: Avant de commencer à résoudre toute intégrale spécifique, vous devez vous assurer que la fonction intégrée segment continu sur l'intégration. Selon les jeunes étudiants, j'ai eu lieu à plusieurs reprises à l'incident, lorsque j'étais tourmenté pendant une longue période avec une primitive difficile, et quand je l'ai enfin trouvé, je me suis enfreint la tête sur une question: "Qu'est-ce que cela a fonctionné pour des non-sens?" Dans une version simplifiée, la situation ressemble à ceci:  ???! Vous ne pouvez pas remplacer les nombres négatifs pour la racine! Quel genre d'ordures?! Inattention initiale.
Si pour résoudre (dans travail de contrôle, sur le classement, l'examen) Vous êtes offert une intégrale inexistante, alors vous devez répondre à l'intégrale n'existe pas et justifie - pourquoi.
Une certaine intégrale peut-elle être égale nombre négatif?
Pouvez. Et nombre négatif. Et zéro. Peut même avoir l'infini, mais ce sera déjà impliqué intégralementCOIM a alloué une conférence séparée.
La limite d'intégration inférieure peut-elle être supérieure à la limite d'intégration supérieure?Peut-être que cette situation est réellement trouvée dans la pratique.
- L'intégrale est parfaitement calculée par la formule de Newton-Leibnic.
Sans quelles mathématiques les plus hautes ne font pas? Bien sûr, sans toutes sortes de propriétés. Par conséquent, considérons certaines propriétés d'une intégrale spécifique.
Dans une intégrale spécifique, vous pouvez réorganiser la limite supérieure et inférieure en modifiant le signe: 
Par exemple, dans une intégrale spécifique avant l'intégration, il est conseillé de modifier les limites d'intégration de la commande "habituelle":
 - Dans ce formulaire, intègre de manière significative plus pratique.
 - Ceci est vrai non seulement pour deux, mais aussi pour un nombre quelconque de fonctions.
Dans une intégrale spécifique peut être effectuée remplacer la variable d'intégrationVrai, comparé à une intégrale incertaine, il y a sa propre spécificité que nous allons parler.
Pour une intégrale spécifique est valide intégration de formule en pièces:
Exemple 1.
Décision:
(1) Nous supporde la constante pour le signe de l'intégrale.
(2) Nous nous intégrons sur la table en utilisant la formule la plus populaire  . La constante qui apparaît qu'il est conseillé de séparer et de rendant le support. Il n'est pas nécessaire de le faire, mais c'est désirable - pourquoi les calculs inutiles sont-ils?
 . Nous substituons d'abord à la limite supérieure, puis la limite inférieure. Nous effectuons des calculs supplémentaires et nous obtenons la réponse finale.
Exemple 2.
Calculer une intégrale spécifique
Ceci est un exemple de solutions auto-solutions, une solution et une réponse à la fin de la leçon.
Un peu compliquer la tâche:
Exemple 3.
Calculer une intégrale spécifique
Décision:
(1) Utilisez les propriétés de linéarité d'une intégrale spécifique.
(2) Nous nous intégrons sur la table, tandis que toutes les constantes ont lieu - elles ne participeront pas à la substitution de la limite supérieure et inférieure.
(3) Pour chacun des trois termes, nous appliquons la formule de Newton-Leibnic:
Un lien faible dans une intégrale spécifique est les erreurs des calculs et une confusion fréquente dans les signes. Fais attention! Attention particulière Synchroniser sur le troisième terme:  - première place dans le défilé de frappe d'erreurs par inattention, très souvent écrit mécaniquement  (surtout lorsque la substitution de limite supérieure et inférieure est effectuée oralement et ne peint pas si détaillée). Encore une fois, examinez soigneusement l'exemple ci-dessus.
Il convient de noter que la méthode considérée de résolution d'une certaine intégrale n'est pas la seule. Avec une certaine expérience, la décision peut être considérablement réduite. Par exemple, je suis habitué à résoudre de telles intégrales comme ceci:
Ici, j'ai utilisé oralement les règles de linéarité, vérité en vérité sur la table. J'ai eu un seul support avec une limite frappante:  (Contrairement à trois supports de la première voie). Et dans la fonction primitive "entière", je suis d'abord substitué 4 d'abord, puis -2, encore une fois après avoir effectué toutes les actions dans l'esprit.
Quelles sont les lacunes d'une courte méthode de résolution? Tout n'est pas très bon ici en termes de rationalité des calculs, mais je m'en fiche personnellement fractions ordinaires Je crois sur la calculatrice.
En outre, il existe un risque accru pour permettre une erreur dans les calculs, un étudiant d'enseignement vaut mieux utiliser le premier moyen, avec "mine" la méthode de résolution exactement quelque part sera perdue.
mais avantages incontestables La deuxième manière est la vitesse des solutions, la compacité des enregistrements et le fait que le primaire est dans un support.
Conseil: Avant d'utiliser la formule Newton-Leibniz, il est utile de vérifier: et le très primaire est trouvé correctement trouvé?
Ainsi, par rapport à l'exemple à l'examen: avant dans une fonction primitive, de substituer les limites supérieure et inférieure, il est souhaitable de vérifier sur le brouillon et est un droit intégré indéfini? Différenciation:
La fonction initiale de l'intégrande a été obtenue, cela signifie qu'une intégrale indéfinie se trouve correctement. Il est maintenant possible d'appliquer la formule de Newton-Leibnia de Newton.
Un tel chèque ne sera pas superflu lors du calcul de toute intégrale spécifique.
Exemple 4.
Calculer une intégrale spécifique
Ceci est un exemple de solution. Essayez de résoudre le problème court et détaillé.
Remplacer la variable dans une intégrale spécifique
Pour une intégrale spécifique, tous les types de remplaçants sont valables comme pour une intégrale indéfinie. Ainsi, si vous ne connaissez pas vraiment avec les remplacements, vous devriez lire attentivement la leçon. Méthode de remplacement dans une intégrale indéfinie.
Il n'y a rien de terrible ou complexe dans ce paragraphe. La nouveauté est de délivrer comment changer les limites d'intégration lors du remplacement.
Dans les exemples, je vais essayer d'apporter de tels types de remplaçants qui n'ont pas encore rencontré nulle part sur le site.
Exemple 5.
Calculer une intégrale spécifique
La question principale ici n'est pas du tout dans une intégrale spécifique, mais comment la remplacer correctement. Nous regardons dans intégrales de table Et nous prétendons que nous aimons le plus comme une fonction de diffèrent? Évidemment, sur un long logarithme:  . Mais il y a une pénalité, dans une table intégrale sous la racine et dans notre "X" au quatrième degré. Du raisonnement, l'idée du remplacement est également l'idée du quatrième degré, en quelque sorte se transformer en un carré. C'est réel.
Nous préparons d'abord notre intégrale de remplacer:
Parmi les considérations ci-dessus, le remplacement est complètement naturel.
Ainsi, dans le dénominateur, tout ira bien :.
Nous découvrons ce que la partie restante de l'expression intégrée se réunira, pour cela, nous trouvons différencié:
Par rapport au remplacement d'une intégrale indéfinie, nous ajoutons une étape supplémentaire.
Nous trouvons de nouvelles limites d'intégration.
C'est assez simple. Nous examinons nos limites d'intégration de remplacement et anciennes ,.
Nous substituons d'abord l'expression de la limite d'intégration inférieure, c'est-à-dire zéro:
Ensuite, nous substituons la limite supérieure de l'intégration dans l'expression, c'est-à-dire la racine de trois:
Prêt. Et juste ...
Nous poursuivons la décision.
(1) conformément au remplacement nous écrivons une nouvelle intégrale avec de nouvelles limites d'intégration.
(2) Il s'agit de l'intégration tabulaire la plus simple, intégrez sur la table. La constante est préférable de laisser derrière les supports (vous ne pouvez pas faire cela) afin qu'il n'interfère pas avec l'informatique ultérieure. À droite, nous supporde la ligne avec l'indication des nouvelles limites d'intégration - est la préparation de l'utilisation de la formule de Newton-Labender.
(3) Nous utilisons la formule de la Newton Labits  .
La réponse s'efforce d'écrire au maximum vidéo compacteIci, j'ai utilisé les propriétés des logarithmes.
Une autre différence d'une intégrale incertaine est que, après avoir mené un remplaçant, pas de remplacement de retour.
Et maintenant quelques exemples pour s'auto-décider. Quels remplaçants pour effectuer - essayez de deviner vous-même.
Exemple 6.
Calculer une intégrale spécifique
Exemple 7.
Calculer une intégrale spécifique
Ce sont des exemples pour une solution indépendante. Solutions et réponses à la fin de la leçon.
Et dans la conclusion de la paire de paragraphe moments importantsdont l'analyse est apparue grâce aux visiteurs du site. Les premiers préoccupent légitimité de remplacement. Dans certains cas, il est impossible de le mener à bien! Donc, exemple 6, il semblerait autorisé à utiliser substitution trigonométrique universelle , cependant, la limite d'intégration supérieure ("PI") Non inclus dans domaine Cette tangente et donc cette substitution est illégale! De cette façon, la fonction est "remplacement" doit être continue dans tout Points d'intégration des segments.
Dans un autre lettre électronique entré la prochaine question est: "Dois-je modifier les limites d'intégration lorsque nous résumons la fonction sous le signe du différentiel?". Au début, je voulais "licencer non-sens" et répondre automatiquement "bien sûr non pas", mais j'ai pensé à la raison de l'émergence d'une telle question et a soudainement constaté que l'information
manque. Mais elle, même évidente, mais très importante:
Si nous alimentons la fonction sous le signe du différentiel, vous n'avez pas besoin de modifier les limites d'intégration.! Pourquoi? Parce que dans ce cas il n'y a pas de transition réelle vers une nouvelle variable. Par example:
Et ici, la natalité est beaucoup plus pratique pour le remplacement académique avec la "peinture" ultérieure des nouvelles limites d'intégration. De cette façon, si une intégrale spécifique n'est pas très compliquée, essayez toujours de résumer la fonction sous le signe du différentiel.! Ceci est plus rapide, il est plus compact, et il est pardonné - dans ce que vous serez sûr d'environ dix fois!
Merci beaucoup pour vos lettres!
Méthode d'intégration d'intégration dans une intégrale spécifique
Voici des Nizmen encore moins. Tous les calculs de l'article Intégration dans des parties dans une intégrale indéfinie Entièrement valable pour une intégrale spécifique.
Plus il n'y a qu'un seul détail, dans la formule d'intégration en pièces, les limites d'intégration sont ajoutées:
La formule de Newton-Labender doit ici être appliquée deux fois: pour le travail et, après avoir pris l'intégrale.
Le type d'intégrale pour l'exemple, j'ai de nouveau ramassé de telle sorte que je n'ai rencontré nulle part ailleurs sur le site. Un exemple n'est pas le plus facile, mais très, très informatif.
Exemple 8.
Calculer une intégrale spécifique
Nous décidons.
Nous intégrons dans les parties:
Qui a des difficultés avec l'intégrale, regardez la leçon Intégrales des fonctions trigonométriques, il est démonté en détail.
(1) Enregistrez la solution conformément à la formule d'intégration en pièces.
(2) Pour le travail, nous utilisons la formule de Newton Labits. Pour l'intégration restante, nous utilisons les propriétés de linéarité, la séparant en deux intégrales. Ne confondez pas de signes!
(4) Nous utilisons la formule de Newton-Leibnic pour deux primitives trouvées.
Pour être honnête, je n'aime pas la formule  Et, si possible, je me demande sans cela sans ça! Considérez la deuxième solution de la décision, de mon point de vue, il est plus rationnel.
Calculer une intégrale spécifique
À la première étape, je trouve une intégrale indéfinie:
Nous intégrons dans les parties:
La première fonctionnalité est trouvée. La constante dans ce cas n'a pas de sens.
Quel est l'avantage d'une telle campagne? Vous n'avez pas besoin de "porter les" limites d'intégration ", en effet, vous pouvez affirmer une douzaine de fois écrire des icônes mineures de limites d'intégration
Dans la deuxième étape, je passe vérifier (Généralement sur le brouillon).
Aussi logique. Si j'ai trouvé de manière incorrecte une fonction primitive, alors je résoudrai de manière incorrecte et une intégrale spécifique. Il vaut mieux trouver immédiatement, différencie la réponse:
La fonction d'intégrande initiale a été obtenue, ce qui signifie que la fonction primitive est trouvée correctement.
Troisième étape - Application de la formule de Newton-Leibnia:
Et il y a un avantage significatif! Dans "Mon" moyen de résoudre un risque beaucoup moins important pour être confondu dans des substitutions et des calculs - la formule de Newton-Labender ne s'applique qu'une seule fois. Si la bouilloire décide l'intégrale similaire de la formule  (Dans la première voie), arrêtez l'erreur quelque part.
L'algorithme de solution considéré peut être appliqué pour toute intégrale spécifique..
Cher étudiant, imprimé et sauvegarder:
Et si vous pouvez faire une certaine intégrale qui semble difficile ou non compréhensible comment le résoudre?
1) Nous trouvons d'abord une intégrale indéfinie (fonction primitive). Si à la première étape, il y avait une bummer, puis saupoudré de Newton et de Labéan sans signification. Le chemin n'est qu'un - pour améliorer votre niveau de connaissances et de compétences en résolution intégrales incertaines.
2) Nous vérifions la fonction de différenciation primitive trouvée. Si cela se trouve de manière incorrecte, la troisième étape sera en vain de passer du temps.
3) Nous utilisons la formule de Newton-Leibnic. Tous les calculs sont effectués extrêmement prudemment - ici le lien de tâches le plus faible.
Et, pour une collation, intégrale pour une décision indépendante.
Exemple 9.
Calculer une intégrale spécifique
La solution et la réponse sont quelque part à proximité.
La prochaine leçon recommandée sur le sujet - Comment calculer la zone de forme en utilisant une intégrale spécifique?
Nous intégrons dans les parties:
L'avez-vous aiguré exactement et avez-vous eu de telles réponses? ;-) Et la vieille femme est porno. |
Théorème. Si la fonction f (x) Intégrable sur le segment [ uN B.], où uNE.< b
et pour tous x ∈ L'inégalité est effectuée
En utilisant des inégalités du théorème, vous pouvez estimer une intégrale spécifique, c'est-à-dire. Spécifiez les limites entre lesquelles sa valeur est conclue. Ces inégalités évaluent une intégrale spécifique.
Théorème [Théorème moyen]. Si la fonction f (x) Intégrable sur le segment [ uN B.] Et pour tous x ∈ Les inégalités sont effectuées m ≤ f (x) ≤ mT.
où m ≤ μ ≤ m.
Commenter. Dans le cas où la fonction f (x) continu sur le segment [ uN B.], l'égalité du théorème prend la forme
où c. Nombre μ \u003d f (c)déterminé par cette formule appelée valeur moyenne Les fonctions f (x) Sur le segment [ uN B.]. Cette égalité a ce qui suit signification géométrique: Carré de trapèze curviligne, ligne continue limitée y \u003d f (x) (f (x) ≤ 0), égal au carré du rectangle avec la même base et la même hauteur égale à l'ordonnée d'un point de cette ligne.
L'existence d'une primitive pour une fonction continue
Tout d'abord, nous introduisons le concept de l'intégrale avec la limite supérieure variable.
Laisser la fonction f (x) Intégrable sur le segment [ uN B.]. Alors quel serait le nombre x. De [ uN B.], Une fonction f (x) Intégrable sur le segment [ uN B.]. Par conséquent, sur le segment [ uN B.] Fonction est définie
qui s'appelle l'intégrale avec la limite supérieure variable.
Théorème. Si la fonction intégrée est continue sur le segment [ uN B.], la dérivée d'une certaine intégrale avec la limite supérieure variable existe et est égale à la valeur de la fonction d'intégrande de cette limite, c'est-à-dire
Corollaire. Une intégrale spécifique avec une limite supérieure variable est l'une des primordiales pour la fonction source continue. En d'autres termes, pour toute fonction continue de l'intervalle, il existe une primitive.
Note 1.. Notez que si la fonction f (x) Intégrable sur le segment [ uN B.], alors l'intégration de la limite supérieure variable est une fonction continue de la limite supérieure de ce segment. En effet, de st..2 et des théorèmes moyens que nous avons
Note 2.. L'intégrale de la limite d'intégration supérieure variable est utilisée lors de la détermination de nombreuses nouvelles fonctionnalités, par exemple 
. Ces fonctions ne sont pas élémentaires; Comme indiqué précédemment, les arborestateurs spécifiés primitive ne sont pas exprimés à travers des fonctions élémentaires.
Règles d'intégration de base
La formule de Newton - Leibnia
Depuis deux deux fonctions de type f (x) différer sur le permanent, selon le théorème précédent, on peut soutenir que tout verbal Φ (x) continu dans segment [ uN B.] Les fonctions f (x) A l'apparence
où C. - Certains permanents.
Croire dans cette formule x \u003d A. et x \u003d B.Utiliser ST..1 Intégrales spécifiques, nous trouvons
De ces équations, le ratio implique
qui est appelée formule de Newton Labeau.
Ainsi prouvé le théorème suivant:
Théorème. Une certaine intégrale de la fonction continue est égale à la différence de l'une de ses valeurs primitives pour la limite d'intégration supérieure et inférieure.
Newton Labnic Formula peut être réécrit sous la forme
Remplacer la variable dans une intégrale spécifique
Théorème. Si un
- une fonction f (x) continu sur le segment [ uN B.];
- section [ uN B.] est une multitude de valeurs de fonction φ (t)défini sur le segment α ≤ t ≤ β et avoir un dérivé continu sur celui-ci;
- φ (α) \u003d a, φ (β) \u003d b
c'est la formule
Intégration de formule en pièces
Théorème. Si fonctionne u \u003d u (x), v \u003d v (x) avoir des dérivés continus sur le segment [ uN B.], alors la formule est valide
Valeur d'application théorèmes moyens
réside dans la possibilité de recevoir Évaluation qualitative Les valeurs d'une intégrale spécifique sans son calcul. Nous formulons
: Si la fonction est continue sur l'intervalle, il y a un tel point à l'intérieur de cet intervalle qui 
.
Cette formule convient parfaitement à une estimation de capex de l'intégrale d'une fonction complexe ou encombrante. Le seul moment qui fait la formule approximatif
est le besoin choix indépendant
Points. Si vous prenez le moyen le plus simple - le milieu de l'intervalle d'intégration (tel que proposé dans un certain nombre de manuels), l'erreur peut alors être assez significative. Pour des résultats plus précis conseillé
Conduisez le calcul dans la séquence suivante:
Construire une planification de fonction sur l'intervalle;
Conduisez la bordure supérieure du rectangle de sorte que les parties coupées des graphiques de fonction soient approximativement égal dans la zone
(C'est ce qui est montré sur la figure ci-dessus - deux triangles curviligne sont presque identiques);
Déterminer du dessin;
Profitez du théorème moyen.
À titre d'exemple, nous calculons une simple intégrale:
Valeur exacte ;
Pour le milieu de l'intervalle 
Nous obtenons et approximatif de la valeur, c'est-à-dire résultat clairement inexact;
Buting d'un calendrier avec le dessus du rectangle conformément aux recommandations, nous obtenons de la valeur approximative. C'est un résultat satisfaisant, l'erreur est de 0,75%.
Formule trapèze
La précision des calculs utilisant le théorème moyen dépend de manière significative, comme indiqué, de nomination visuelle
Selon le point de point. En effet, choisir, dans le même exemple, points ou, vous pouvez obtenir d'autres valeurs de l'intégrale et que l'erreur peut augmenter. Les facteurs subjectifs, les échelles d'échelle et la qualité de dessin affectent fortement le résultat. il inacceptable
Dans des calculs responsables, le théorème moyen ne s'applique qu'à jeûner qualité
Estimations de l'intégrale.
Dans cette section, considérons l'une des méthodes les plus populaires d'intégration approximative - formule de trapèze
. L'idée principale de construire cette formule se déroule du fait que la courbe peut être approximativement remplacée par la ligne brisée, comme indiqué sur la figure.
Nous allons prendre, pour une définition (et conformément à la figure) que l'intervalle d'intégration est divisé en égal
(Ceci est des pièces facultatives, mais très pratiques). La longueur de chacune de ces pièces est calculée par la formule et est appelée marcher
. Les abscissions des points de partition, si spécifiées, sont déterminées par la formule où. Selon les fameuses abscissions, il est facile de calculer les ordinateurs. De cette façon,
Ceci est la formule du trapèze pour le cas. Il convient de noter que le premier terme entre parenthèses est une ordonnée initiale et ultime à demi-tension, à laquelle toutes les ordinateurs intermédiaires sont ajoutées. Pour nombres arbitraires Intégration d'intervalle de partition formule générale de trapèze
Il a la forme: formules en quadrature : Rectangles, Simpson, Gauss, etc. Ils sont construits sur la même idée de la représentation d'un trapézion curviligne de zones élémentaires. différentes formesPar conséquent, après le développement de la formule du trapèze, il ne sera pas difficile dans des formules similaires. De nombreuses formules ne sont pas aussi simples que la formule du trapèze, mais vous permettent d'obtenir le résultat d'une grande précision avec un petit nombre de partitions.
Avec l'aide de la formule trapézoïdale (ou similaire), il est possible de calculer avec la pratique nécessaire avec précision, à la fois des intégrales «Infenser» et des intégrales de fonctions complexes ou volumineuses.
Auparavant, nous avons examiné une intégrale spécifique comme une différence de valeurs de primitive pour la fonction intégrande. Il a été supposé que la fonction d'intégrande a une intégration primitive dans l'intervalle.
Dans le cas où le primaire est exprimé par des fonctions élémentaires, nous pouvons être confiants dans son existence. Mais s'il n'y a pas d'expression de ce type, la question de l'existence d'une primitive reste ouverte et que nous ne savons pas s'il existe une intégrale spécifique appropriée.
Les considérations géométriques suggèrent que, bien que, par exemple, pour la fonction Y \u003d E ^ (- X ^ 2), il est impossible d'exprimer le primaire via les fonctions élémentaires, l'intégrale \\ Textstyle (\\ int \\ limites_ (a) ^ (b) e ^ (- x ^ 2) \\, dx) Il y a I. Égal à carré Les figures délimitées par l'axe Abscisse, le graphique de la fonction Y \u003d E ^ (- x ^ 2) et droite x \u003d a, ~ x \u003d b (figure 6). Mais avec une analyse plus stricte, il s'avère que le concept même de l'espace a besoin de justification et il est donc impossible de s'appuyer sur elle, en résolvant les problèmes de l'existence d'une primitive et d'une partie intégrante.
Nous prouvons que toute fonction continue sur le segment a une primitiveEt, par conséquent, il y a une certaine intégrale sur ce segment. Pour ce faire, nous aurons besoin d'une autre approche du concept d'une intégrale spécifique, qui n'est pas basée sur l'hypothèse de l'existence d'une primitive.
Je vais installer d'abord propriétés d'une intégrale spécifique, compris comme la différence de valeurs de primitive.
Estimations de certaines intégrales
Théorème 1. Laissez les fonctions y \u003d f (x) être limitées au segment et m \u003d \\ min_ (x \\ in) f (x) et M \u003d \\ max_ (x \\ in) f (x), en conséquence, le plus petit et la plus grande valeur Les fonctions y \u003d f (x) sur et sur ce segment, la fonction y \u003d f (x) a une primitive. Puis
m (B-A) \\ Leqslant \\ int \\ limites_ (a) ^ (b) f (x) \\, DX \\ Leqslant m (B-A).
Preuve. Soit F (x) être l'une des questions primitives Y \u003d F (x) sur le segment. Puis
\\ int \\ limites_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d \\ bigl. (f (x)) \\ bigr | _ (a) ^ (b) \u003d f (B) \u003d F (B) -F (A).
Par le théorème de Lagrange F (B) -F (a) \u003d F "(c) (B-A)où un. \\ int \\ limites_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d f (c) (B-A).
Par état pour toutes les valeurs de X du segment, l'inégalité est effectuée m \\ Leqslant f (x) \\ Leqslant m, donc m \\ Leqslant f (c) \\ Leqslant m Et donc,
m (B-A) \\ LEQSLANT F (C) (B-A) \\ LEQSLANT M (B-A), c'est à dire m (B-A) \\ Leqslant \\ int \\ limites_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \\ Leqslant m (B-A),
q.e.d.
Double inégalité (1) ne donne qu'une estimation très approximative de la valeur d'une intégrale spécifique. Par exemple, sur un segment de la valeur de la fonction y \u003d x ^ 2, il est conclu entre 1 et 25, et donc il y a des inégalités
4 \u003d 1 \\ CDOT (5-1) \\ Leqslant \\ int \\ limites_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, DX \\ Leqslant 25 \\ CDOT (5-1) \u003d 100.
Pour obtenir une estimation plus précise, casser le segment en plusieurs parties a \u003d x_0. Et l'inégalité (1) est utilisée à chaque partie. Si l'inégalité est effectuée sur le segment, alors
m_k \\ cdot \\ delta x_k \\ leqslant \\ int \\ limites_ (x_k) ^ (x_ (k + 1)) f (x) \\, dx \\ leqslant m_k \\ cdot \\ delta x_k \\,
où via \\ delta x_k est la différence (x_ (k + 1) -x_k), c'est-à-dire la longueur du segment. Rappelant ces inégalités pour toutes les valeurs de K de 0 à N-1 et les plier, nous obtenons:
\\ SUM_ (K \u003d 0) ^ (N-1) (M_K \\ CDOT \\ DELTA X_K) \\ LEQSLANT \\ SUM_ (K \u003d 0) ^ (n - 1) \\ int \\ limites_ (x_k) ^ (x_ (k + 1 )) f (x) \\, dx \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (M_K \\ CDOT \\ DELTA X_K),
Mais selon la propriété additive d'une certaine intégrale, la quantité d'intégrales dans toutes les parties du segment est égale à l'intégrale sur ce segment, c'est-à-dire
\\ Sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ int \\ limites_ (x_k) ^ (x_ (k + 1)) f (x) \\, dx \u003d \\ int \\ limites_a) ^ (b) f (x) f (x) \\, Dx \\ ,.
Ça veut dire
\\ Sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (m_k \\ CDOT \\ DELTA X_K) \\ LEQSLANT \\ SUM_ (K \u003d 0) ^ (n - 1) \\ int \\ limites_ (a) ^ (b) f (x ) \\, dx \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (m_k \\ CDOT \\ delta x_k)
Par exemple, si vous divisez le segment sur 10 parties égales, chacun a une longueur de 0,4, puis sur un segment partiel
L'inégalité est effectuée
(1 + 0, \\! 4K) ^ 2 \\ Leqslant x ^ 2 \\ Leqslant \\ bigl (1 + 0, \\! 4 (K + 1) \\ BIGR) ^ 2
Par conséquent, nous avons:
0, \\! 4 \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (9) (1 + 0, \\! 4k) ^ 2 \\ leqslant \\ int \\ limites_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ Leqslant 0, \\! 4 \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (9) \\ bigl (1 + 0, \\! 4 (k + 1) \\ bigrr) ^ 2.
Calculer, nous obtenons: 36, \\! 64 \\ Leqslant \\ int \\ limites_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, DX \\ Leqslant 46, \\! 24. Cette estimation est beaucoup plus précise plus tôt. 4 \\ Leqslant \\ int \\ limites_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, DX \\ Leqslant100.
Pour obtenir une évaluation encore plus précise de l'intégrale, vous devez diviser le segment pas de 10, mais dire, par 100 ou 1000 parties et compter les quantités correspondantes. Bien entendu, cette intégrale est plus facile à calculer avec une primitive:
\\ int \\ limites_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \u003d \\ gauche. (\\ frac (x ^ 3) (3)) \\ droite | _ (1) ^ (5) \u003d \\ frac (1) (3) (125-1) \u003d \\ frac (124) (3) \\ ,.
Mais si l'expression est inconnue de nous, les inégalités (2) permettent d'estimer la valeur de l'intégrale des bas et du haut.
Certaine intégrale comme numéro de division
Les chiffres M_K et M_K entrant dans l'inégalité (2) pourraient être sélectionnés de manière arbitraire, si ce n'est que dans chacun des segments ayant eu des inégalités m_k \\ Leqslant f (x) \\ Leqslant m_k. L'évaluation la plus précise de l'intégrale avec cette scission du segment sera en mesure de prendre m_k le plus petit, et le m_k est la plus grande de toutes les valeurs possibles. Cela signifie que comme m_k, vous devez prendre la limite inférieure exacte des valeurs de la fonction y \u003d f (x) sur le segment et comme m_k - la limite supérieure exacte de ces valeurs sur le même segment:
m_k \u003d \\ inf_ (x \\ in) f (x), \\ qquad m_k \u003d \\ sup_ (x \\ in) f (x).
Si y \u003d f (x) est une fonction limitée sur le segment, il est limité et sur chacun des segments, et il est donc défini par égalité (3) du nombre M_K et M_K, ~ 0 \\ LEQSLANT K \\ LEQSLANT N-1. Avec ce choix de chiffres m_k et m_k montants \\ Textstyle (\\ sum \\ limites_ (k \u003d 0) ^ (n-1) m_k \\ delta x_k) et \\ Textstyle (\\ sum \\ limites_ (k \u003d 0) ^ (n-1) m_k \\ delta x_k) Appelé respectivement, les quantités intégrale inférieures et supérieures de Darboux pour la fonction Y \u003d -F (X) avec cette partition P:
a \u003d x_0.
couper. Nous désignerons ces sommes en conséquence S_ (FP) et S_ (FP), et si la fonction Y \u003d F (X) est corrigée, puis simplement S_P et S_P.
L'inégalité (2) signifie que si la fonction est limitée sur le segment, y \u003d f (x) a une fonction primitive sur ce segment, une certaine intégrale divise des ensembles numériques intégrés \\ (S_P \\) et \\ (S_P \\), composé de toutes les quantités inférieures et supérieures de Darboux pour toutes sortes de divagation P segment P . De manière générale, il peut arriver que le nombre séparant ces deux ensembles ne soit pas le seul. Mais ci-dessous, nous verrons que pour les classes les plus importantes de fonctions (en particulier, pour des fonctions continues), c'est le seul.
Cela vous permet d'entrer une nouvelle définition pour \\ Textstyle (\\ int \\ limites_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx)Pas basé sur le concept de primitif, mais seulement la quantité de Darboux.
Définition. La fonction Y \u003d F (x), bornée sur le segment, est appelée intégrable sur ce segment s'il existe un seul numéro \\ ELL, séparant les ensembles des quantités inférieure et supérieure de Darboux formé pour toutes sortes de fractionnement du segment. Si la fonction Y \u003d F (X) est intégrée sur le segment, le seul chiffre de séparation de ces ensembles est appelé une intégrale spécifique de cette fonction par segment et moyenne.
Nous avons défini l'intégrale \\ Textstyle (\\ int \\ limites_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx) Pour le cas quand un b, puis mettre
\\ int \\ limites_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d - \\ int \\ limites_ (b) ^ (a) f (x) \\, dx \\, dx \\ ,.
Cette définition est naturelle, car lorsque la direction de l'intervalle d'intégration change, toutes les différences \\ Delta x_k \u003d x_ (k + 1) -x_k Changez le panneau, puis modifiez les signes et les sommes de Darboua et séparez ainsi leur nombre, c'est-à-dire intégral.
Puisque avec A \u003d B ALL \\ Delta X_K appel à zéro, alors nous mettons
\\ int \\ limites_ (b) ^ (a) f (x) \\, dx \u003d 0.
Nous avons reçu deux définitions du concept d'une intégrale spécifique: comme la différence entre les valeurs du primaire et le nombre de séparateurs pour les quantités de Darboux. Ces définitions dans les cas les plus importants conduisent au même résultat:
Théorème 2. Si la fonction Y \u003d F (x) est limitée à un segment et a une primitive Y \u003d F (X) dessus, et il existe un nombre unique qui partage les quantités inférieure et supérieure de Darboua, ce nombre est alors F (B ) -FA).
Preuve. Nous avons prouvé ci-dessus que le nombre f (a) -f (b) partage les ensembles \\ (S_P \\) et \\ (S_P \\). Depuis, par la condition, le nombre de séparation est défini de manière unique, cela coïncide avec F (B) -F (a).
À partir de ce point, nous appliquerons la désignation \\ Textstyle (\\ int \\ limites_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx) Uniquement pour le numéro unique séparant le SET \\ (S_P \\) et \\ (S_P \\). Du théorème éprouvé, il suit que, en même temps, ne surviennent pas une contradiction avec la compréhension de cette désignation que nous avons appréciée ci-dessus.
Les propriétés des quantités inférieure et supérieure de Darbu
Pour cela plus tôt, la définition de l'intégrale a du sens, il est nécessaire de prouver que de nombreuses quantités supérieures de Darboux sont réellement situées à droite de l'ensemble des quantités inférieures de Darboux.
Lemme 1. Pour chaque partition P, la quantité inférieure correspondante de Darboux ne dépasse pas la quantité supérieure de Darboux, S_P \\ Leqslant S_P.
Preuve. Considérez une division P segment:
a \u003d x_0. "
Évidemment, pour tout K et pour toute partition sélectionnée P, l'inégalité S_P \\ Leqslant S_P est effectuée. D'où, m_K \\ CDOT \\ Delta X_K \\ LEQSLANT M_K \\ CDOT \\ Delta X_K, et c'est pourquoi
s_P \u003d \\ SUM_ (K \u003d 0) ^ (N-1) (M_K \\ CDOT \\ DELTA X_K) \\ LEQSLANT \\ SUM_ (K \u003d 0) ^ (N-1) (M_K \\ CDOT \\ DELTA X_K) \u003d S_P.
q.e.d. L'inégalité (4) n'est valable que pour la partition fixe P. Par conséquent, il n'est toujours pas encore fait valoir que la quantité inférieure de Darboux d'une partition ne peut dépasser la quantité supérieure de Darboux d'une autre partition. Pour prouver cette approbation, nous aurons besoin du lemme suivant:
Lemme 2. À partir de l'ajout d'un nouveau point de division, la quantité inférieure de Darboux ne peut pas diminuer et la quantité supérieure ne peut augmenter.
Preuve. Nous choisissons un segment de partition P et ajouter un nouveau point de division (x ^ (\\ ast)). Dénote une nouvelle partition P ^ (\\ ast). La partition p ^ (\\ ast) est le meulage de la partition P, c'est-à-dire Chaque point de partition P est, en même temps, le point de partition P ^ (\\ ast).
Laisser le point (x ^ (\\ ast)) frappe le segment \\ Colon \\, x_k . Considérer deux segments formés et
et nous notions par les limites inférieures exactes des valeurs de la fonction via m_ (k) ^ (\\ ast) et m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) et les limites supérieures exactes via m_ (k) ^ (\\ Ast) et m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast).
Société m_k (x_ (k + 1) -m_ (k)) La quantité initiale de Darbu dans la nouvelle quantité inférieure de Darbu correspond aux deux termes:
m_ (k) ^ (\\ ast) (x ^ (\\ ast) -x_k) + m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast)).
Où m_k \\ Leqslant m_ (k) ^ (\\ ast) et m_k \\ Leqslant m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast), puisque m_k est la limite inférieure exacte des valeurs de la fonction f (x) sur l'ensemble du segment, et m_ (k) ^ (\\ ast) et m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) seulement à sa parties et
respectivement.
Estimons la somme des termes obtenus:
\\ begin (aligné) m_ (k) ^ (\\ ast) \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_ (k) \\ bigr) + m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) \\ bigl (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast) \\ BIGR) \\ geqslant & \\, \\, m_k \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_k) + m_k (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast) \\ bigr ) \u003d \\\\ \\ \u003d m_k \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_k + x_ (k + 1) -x -x ^ (\\ ast) \\ bigr) \u003d \\\\ \\ \u003d m_k \\ bigl (x_ (k + 1) -X_K \\ BIGR). \\ Fin (aligné)
Depuis les composants restants et dans l'ancien et dans les nouvelles quantités inférieures, Darboux est resté inchangé, la quantité inférieure de Darboux d'ajouter un nouveau point de fission n'a pas diminué, S_P \\ Leqslant S_P.
La déclaration éprouvée reste juste et en ajoutant un nombre fini de points à la partition p.
De même, l'approbation de la quantité supérieure de Darboua est prouvée: S_ (P ^ (\\ ast)) \\ Leqslant s_ (p).
Passons à comparer des quantités de Darboux pour deux partitions.
Lemme 3. Aucune quantité inférieure de Darboux dépasse toute quantité supérieure de Darboux (au moins correspondant à une autre division du segment).
Preuve. Considérez deux diviseurs arbitraires P_1 et P_2 et formez la troisième partition P_3, composée de tous les points de partitions P_1 et P_2. Ainsi, le partitionnement P_3 meule à la fois la partitionnement P_1 et la partition de P_2 (Fig. 7).
Dénote les quantités inférieure et supérieure de Darboux pour ces partitions, respectivement s_1, ~ S_1. ~ S_2, ~ S_2 Et nous prouvons que S_1 \\ Leqslant S_2.
Puisque p_3 est la hachage de la partition P_1, puis S_1 \\ Leqslant S_3. En outre, S_3 \\ Leqslant S_3, car les SUMS S_3 et S_3 correspondent à la même partition. Enfin, S_3 \\ Leqslant S_2, puisque p_3 est le meulage de la partition P_2.
De cette façon, s_1 \\ LEQSLANT S_3 \\ LEQSLANT S_3 \\ LEQSLANT S_2. S_1 \\ LEQSLANT S_2, qui était tenu de prouver.
De lemme 3 il suit que le jeu numérique x \u003d \\ (S_P \\) Les quantités inférieures de Darboux se situent à gauche de l'ensemble numérique Y \u003d \\ (S_P \\) des quantités supérieures de Darboux.
En vertu du théorème sur l'existence d'un nombre de séparation pour deux ensembles numériques1, il y aura au moins un nombre / séparant le jeu X et Y, c'est-à-dire Telle que la double inégalité soit effectuée pour toute section de fractionnement:
s_P \u003d \\ SUM_ (K \u003d 0) ^ (N-1) \\ BIGL (M_K \\ CDOT \\ DELTA X_K \\ BIGR) \\ LEQSLANT I \\ LEQSLANT \\ SUM_ (K \u003d 0) ^ (N - 1) \\ BIGL (m_k \\ CDOT \\ Delta X_K \\ BIGR) \u003d S_P.
Si c'est le seul chiffre, alors \\ Textstyle (i \u003d \\ int \\ limites_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx).
Donnons un exemple montrant qu'un tel nombre I, de manière générale, n'est pas défini de manière unique. Rappelez-vous que la fonction Dirichlet s'appelle la fonction Y \u003d D (X) sur le segment, qui est déterminée par l'égalité:
D (x) \u003d \\ début (cas) 0, \\ texte (si) ~~ x ~~ \\ texte (numéro irrationnel); \\\\ 1, \\ Text (si) ~~ x ~ \\ texte (numéro rationnel ). \\ Fin (cas)
Quels que soient les segments que nous avons pris, ce sera des points rationnels et irrationnels, c'est-à-dire et les points où d (x) \u003d 0 et les points où d (x) \u003d 1. Par conséquent, pour toute division du segment, toutes les valeurs M_K sont nulles et toutes les valeurs m_k sont égales à une. Mais alors toutes les quantités inférieures de Darbu \\ Textstyle (\\ sum \\ limites_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (m_k \\ cdot \\ delta x_k \\ bigr)) égal zéro et tous les sommets de Darba \\ Textstyle (\\ sum \\ limites_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (m_k \\ cdot \\ delta x_k \\ bigr)) égal à l'unité,
