Objectif:

• La formation du concept de primitive.
• Préparation à la perception de l'intégrale.
• Formation de compétences informatiques.
• Éducation de la sensation de la belle (capacité de voir la beauté d'une inhabituelle).

L'analyse mathématique est un ensemble de sections de mathématiques consacrées à l'étude des fonctions et de leurs généralisations par des procédés de calcul différentiel et intégré.

Si oui, nous avons étudié la section d'une analyse mathématique appelée calcul différentiel, dont l'essence consiste à étudier la fonction "petite".

Ceux. Fonction de recherche dans un environnement suffisamment petit de chaque point de définition. L'une des opérations La différenciation est la base de la dérivée (différentielle) et d'appliquer des fonctions à l'étude.

Non moins important est la tâche opposée. Si le comportement de fonction est connu à proximité de chaque point de sa détermination, comment restaurer la fonction dans son ensemble, c'est-à-dire Dans l'ensemble de sa définition. Cette tâche est le sujet pour étudier le calcul dit intégré.

L'intégration est l'effet de la différenciation inverse. Ou restaurer la fonction f (x) pour ce dérivé f` (x). Mot latin "Integro" signifie récupération.

Exemple №1.

Soit (x) `\u003d 3x 2.
Trouver f (x).

Décision:

S'appuyant sur la règle de différenciation, il n'est pas difficile de deviner que f (x) \u003d x 3, pour (x 3) `\u003d 3x 2
Cependant, on peut facilement noter que f (x) est ambigu.
Comme f (x) tu peux prendre
F (x) \u003d x 3 +1
F (x) \u003d x 3 +2
F (x) \u003d x 3 -3, etc.

Parce que chacun d'entre eux est 3x 2. (La constante dérivée est 0). Toutes ces fonctions diffèrent des termes constants. donc décision commune Les tâches peuvent être écrites sous la forme de F (x) \u003d x 3 + C, où c est un nombre valide constant.

L'une des fonctions trouvées F (x) est appelée Prédéfini Pour la fonction f` (x) \u003d 3x 2

Définition. La fonction F (x) est appelée primitive pour la fonction f (x) à l'espace spécifié J, si pour tous x de cette gesport f` (x) \u003d f (x). Donc, la fonction f (x) \u003d x 3 est primitive pour f (x) \u003d 3x 2 sur (- ∞; ∞).
Depuis, pour tout x ~ r, l'égalité est vraie: f` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

Comme nous l'avons remarqué, cette fonctionnalité Il a un nombre infini de primordial (voir exemple n ° 1).

Exemple numéro 2. La fonction f (x) \u003d x est une primitive pour tous f (x) \u003d 1 / x sur l'intervalle (0; +), car Pour tous les X de cet écart, l'égalité est effectuée.
F` (x) \u003d (x 1/2) `\u003d 1 / 2x -1/2 \u003d 1 / 2x

Exemple numéro 3. Fonction f (x) \u003d TG3X est une primitive pour F (x) \u003d 3 / COS3X sur l'intervalle (-P / 2; P / 2),
parce que F` (x) \u003d (tg3x) `\u003d 3 / cos 2 3x

Exemple numéro 4. Fonction f (x) \u003d 3sin4x + 1 / x-2 Valable pour f (x) \u003d 12COS4X-1 / x 2 à l'intervalle (0; ∞)
Parce que F` (x) \u003d (3sin4x) + 1 / x-2) `\u003d 4COS4X-1 / x 2

Lecture 2.

Sujet: semblable prédéfini. La propriété principale de la fonction primitive.

Lors de l'étude, nous nous fions compter sur l'affirmation suivante. Signe de la fonction de constance: Si à la dérivée de l'espace J ψ (x) de la fonction est 0, la fonction (x) est constante à cet écart.

Cette déclaration peut être démontrée géométriquement.

On sait que ψ (x) \u003d tga, α-angle α-angle d'inclinaison tangent au graphique de la fonction ψ (x) au point avec l'abscisse x 0. Si ψ` (υ) \u003d 0 à n'importe quel point de l'espace J, alors Tgα \u003d 0 ΔHill Toute tangente au graphique de la fonction (x). Cela signifie que tangent aux graphiques de la fonction à tout moment parallèle à l'axe Abscisse. Par conséquent, à l'intervalle spécifié, le graphique de la fonction (x) coïncide avec la longueur du y \u003d s direct.

Donc, la fonction F (x) \u003d C est constante sur l'espace J, si f` (x) \u003d 0 à cet écart.

En effet, pour arbitraires X 1 et X 2 de l'intervalle J par le théorème de fonction moyen, vous pouvez écrire:
f (x 2) - F (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), car F` (c) \u003d 0, alors f (x 2) \u003d f (x 1)

Théorème: (la propriété principale de la fonction primitive)

Si F (x) est l'une des fonctions primitives F (x) sur l'espace J, l'ensemble de toutes les fonctions principales est le suivant: F (x) + C, où c est un nombre valide.

Preuve:

Soit f` (x) \u003d f (x), puis (f (x) + c) `\u003d f` (x) + s` \u003d f (x), pour x є j.
Supposons qu'il existe φ (x) est une autre primitive pour F (x) sur l'espace J, c'est-à-dire Φ` (x) \u003d f (x),
Alors (x) - f (x)) `\u003d f (x) - f (x) \u003d 0, pour x є j.
Cela signifie que φ (x) - F (x) est constant sur l'écart de J.
Par conséquent, φ (x) - F (x) \u003d S.
Où φ (x) \u003d f (x) + s.
Cela signifie que si F (x) est une primitive pour la fonction F (x) sur l'espace J, l'ensemble de toutes les fonctions principales est le suivant: F (x) + C, où c est un nombre valide.
Par conséquent, deux primaires cette fonctionnalité diffèrent des termes constants des autres.

Exemple: Trouver de nombreuses fonctions principales f (x) \u003d cos x. Imaginer les graphiques des trois premiers.

Décision: Sin X est l'un des premiers à fonction F (x) \u003d cos x
F (x) \u003d sin x + avec beaucoup de primitif.

F 1 (x) \u003d Sin x-1
F 2 (x) \u003d sin x
F 3 (x) \u003d sin x + 1

Illustration géométrique: Le graphique de toute primitive F (x) + C peut être obtenu à partir du graphique de la primitive F (x) à l'aide d'un transfert parallèle R (0; C).

Exemple: Pour la fonction F (x) \u003d 2x, trouvez une primitive, dont le graphique passe par TM (1; 4)

Décision: F (x) \u003d x 2 + c - l'ensemble de tous les primordiaux, F (1) \u003d 4 - par la condition du problème.
Par conséquent, 4 \u003d 1 2 + avec
C \u003d 3.
F (x) \u003d x 2 +3

Parfait.

Prévisible facile à comprendre par l'exemple.

Prendre la fonction y \u003d x. 3. Comme nous le savons des sections précédentes, dérivé de h. 3 est 3. h. 2:

(h. 3)" = 3h. 2 .

Par conséquent, de la fonction y \u003d x. 3 nous obtenons nouvelle fonctionnalité: w. = 3h. 2 .
Fonction figuré parlant w. = h. 3 fonction générée w. = 3h. 2 C'est son "parent". En mathématiques, il n'y a pas de mot «parent» et il y a une conséquence liée à lui: primitive.

C'est: fonction y \u003d x. 3 est un primaire pour la fonction w. = 3h. 2 .

Définition de primaire:

Dans notre exemple ( h. 3)" = 3h. 2, donc y \u003d x. 3 - Primitive pour w. = 3h. 2 .

L'intégration.

Comme vous le savez, le processus de recherche d'un dérivé selon une fonction donnée est appelé différenciation. Une opération inverse s'appelle une intégration.

Exemple-explication:

w. = 3h. 2 + péché. x..

Décision:

Nous savons ce qui est primitif pour 3 h. 2 est h. 3 .

Pred - comme pour le péché. x. est -COS. x..

Nous replions deux primitifs et obtenez une fonction primitive pour une fonction donnée:

y \u003d x. 3 + (-COS x.),

y \u003d x. 3 - COS. x..

Répondre:
Pour la fonction w. = 3h. 2 + péché. x. y \u003d x. 3 - COS. x..

Exemple-explication:

Trouver une primitive pour la fonction w. \u003d 2 péché. x..

Décision:

Nous remarquons que k \u003d 2. Pred - comme pour le péché x. est -COS. x..

Par conséquent pour la fonction w. \u003d 2 péché. x. Fonction prédictive w. \u003d -2 cos. x..
Coefficient 2 dans la fonction y \u003d 2 péché x. Correspond au coefficient primaire, à partir duquel cette fonction a été formée.

Exemple-explication:

Trouver une primitive pour la fonction y. \u003d Péché 2. x..

Décision:

Nous remarquons que k. \u003d 2. Pred - comme pour le péché x. est -COS. x..

Nous utilisons notre formule lorsque vous trouvez une primitive pour la fonction y. \u003d Cos 2. x.:

1
y. \u003d - · (-COS 2 x.),
2

cOS 2. x.
y. = – ----
2

cOS 2. x.
Réponse: pour la fonction y. \u003d Péché 2. x. Fonction prédictive y. = – ----
2

(4)

Exemple-explication.

Prenez la fonction de l'exemple précédent: y. \u003d Péché 2. x..

Pour cette fonctionnalité, tout le premier à voir:

cOS 2. x.
y. = – ---- + C..
2

Explication.

Prenez la première ligne. Il se lit comme ceci: si la fonction y \u003d f ( x.) égale à 0, alors le primaire pour cela est 1. Pourquoi? Parce que la dérivée de l'unité est zéro: 1 "\u003d 0.

Les autres lignes sont lues dans le même ordre.

Comment écrire des données de la table? Prenez la huitième ligne:

(-COS. x.) "\u003d péché x.

Nous écrivons la deuxième partie avec le signe de la dérivée, puis le signe de l'égalité et de la dérivée.

Lire: Valable pour la fonction SIN x. est une fonction -cos x..

Ou: -COS fonction x. est un péché primaire pour la fonction x..

Considérez le mouvement du point le long du droit. Laissez-le prendre t. Dès le début du mouvement, le point a passé le chemin s (t). Alors vitesse instantanée v (t) égal à la fonction dérivée S (t), c'est à dire v (t) \u003d s "(t).

En pratique, il y a un retour d'information: à une vitesse donnée du point v (t) Trouver le chemin s (t)c'est-à-dire trouver une telle fonction s (t), Le dérivé dont est égal v (t). Une fonction s (t), Tel que s "(t) \u003d v (t), appelé une fonction primitive v (t).

Par exemple, si v (t) \u003d àoù mais- Numéro spécifié, puis fonction
s (t) \u003d (à 2) / 2 V (t), comme
s "(t) \u003d (((à 2) / 2)" \u003d AT \u003d V (t).

Une fonction F (x) appelé une fonction primitive f (x)À un intervalle, si pour tous h.de cet écart F "(x) \u003d f (x).

Par exemple, une fonction F (x) \u003d sin xest une fonction primitive f (x) \u003d cos x,comme (Péché x) "\u003d cos x; une fonction F (x) \u003d x 4/4est une fonction primitive f (x) \u003d x 3, comme (x 4/4) "\u003d x 3.

Considérer la tâche.

Une tâche.

Prouvez que les fonctions x 3/3, x 3/3 + 1, x 3/3 - 4 sont la primitive et la même fonction F (x) \u003d x 2.

Décision.

1) désigne par f 1 (x) \u003d x 3/3, puis f "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2/3) \u003d x 2 \u003d f (x).

2) F 2 (x) \u003d x 3/3 + 1, F "2 (x) \u003d (x 3/3 + 1)" \u003d (x 3/3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f ( X).

3) F 3 (x) \u003d x 3/3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3/3 - 4)" \u003d x 2 \u003d f (x).

En général, toute fonction x 3/3 + C, où c est constante, est une fonction primitive x 2. Cela découle du fait que le dérivé constant est zéro. Cet exemple montre que pour une fonction donnée, sa primitive est déterminée ambiguë.

Soit F 1 (x) et F 2 (x) être deux primitives et la même fonction F (x).

Alors f 1 "(x) \u003d f (x) et f" 2 (x) \u003d f (x).

Le dérivé de leur différence G (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) est zéro, car g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0.

Si g "(x) \u003d 0 à un espace, puis tangent au graphique de la fonction y \u003d g (x) à chaque point de cet écart parallèle à l'axe oh. Par conséquent, la fonction de la fonction y \u003d g (x ) est un axe droit et parallèle oh, t. E. g (x) \u003d C, où c est un peu permanent. de l'égalité g (x) \u003d c, g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 ( x), il s'ensuit que f 1 (x) \u003d F 2 (x) + S.

Donc, si la fonction F (x) est une fonction primitive f (x) à un intervalle, toutes les fonctions primitives F (x) sont enregistrées dans le formulaire F (x) + C, où c est une constante arbitraire.

Considérons des graphiques de toutes les fonctions spécifiées primitives F (x). Si f (x) est l'une des fonctions primitives F (x), l'une quelconque de la primitive de cette fonction est obtenue en ajoutant à F (x) par certains permanents: F (x) + C. graphiques de fonctions y \u003d f (x) Les + s sont obtenus à partir du décalage des graphiques Y \u003d F (x) le long de l'axe ou de l'axe. La sélection de C peut être obtenue que le graphique de la carte primitive passe par le point spécifié.

Faites attention aux règles de recherche primitive.

Rappelons que le fonctionnement de la recherche d'un dérivé pour une fonction donnée est appelé différenciation. Fonctionnement inverse de la recherche d'un primaire pour cette fonction appelée l'intégration(du mot latin "restaurer").

Table comme une table Pour certaines fonctions, vous pouvez créer à l'aide d'une table dérivée. Par exemple, sachant que (Cos x) "\u003d -Sin x, Recevoir (-COS x) "\u003d péché xD'où il s'ensuit que toutes les fonctions primitives sin X. Enregistré sous la forme -cos x + avecoù DE- constant.

Considérer certaines valeurs de primitif.

1) Une fonction: x p, p ≠ -1. IMPRESSION: (x p + 1) / (p + 1) + C.

2) Une fonction: 1 / x, X\u003e 0. IMPRESSION: ln x + S.

3) Une fonction: x p, p ≠ -1. IMPRESSION: (x p + 1) / (p + 1) + C.

4) Une fonction: e H.. IMPRESSION: e x + S.

5) Une fonction: sin X.. IMPRESSION: -COS X + S.

6) Une fonction: (KX + B) P, P ≠ -1, K ≠ 0. IMPRESSION: (((Kx + b) p + 1) / k (p + 1)) + C.

7) Une fonction: 1 / (kx + b), k ≠ 0. IMPRESSION: (1 / k) ln (kx + b) + C.

8) Une fonction: e kx + b, k ≠ 0. IMPRESSION: (1 / k) E KX + B + C.

9) Une fonction: sin (kx + b), k ≠ 0. IMPRESSION: (-1 / k) COS (KX + B).

10) Une fonction: cOS (KX + B), K ≠ 0.IMPRESSION: (1 / k) Sin (KX + B).

Règles d'intégration peut être obtenu en utilisant règles de différenciation. Considérer certaines règles.

Laisser être F (x) et G (x) - Fonctions primitives en conséquence f (x)et g (x)À un intervalle. Puis:

1) une fonction F (x) ± g (x) est une fonction primitive f (x) ± g (x);

2) une fonction aF (x)est une fonction primitive aF (x).

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La solution des intégrales est la tâche est la lumière, mais uniquement pour les élus. Cet article est destiné à ceux qui veulent apprendre à comprendre les intégrales, mais ne sent rien à leur sujet ni presque rien. Integral ... pourquoi est-il nécessaire? Comment calculer-le? Qu'est-ce qu'une intégrale certaine et indéfinie? Si la seule application intégrale qui vous est connue consiste à obtenir un crochet sous la forme d'une icône intégrale. Quelque chose d'utile de difficile d'atteindre des endroits, alors bienvenue! Apprenez à résoudre les intégrales et pourquoi sans cela, il est impossible de faire.

Nous étudions le concept de "intégrale"

L'intégration était connue encore dans L'Egypte ancienne. Bien sûr, pas dans vidéo moderne, mais reste. Depuis lors, les mathématiques ont écrit beaucoup de livres sur ce sujet. Particulièrement distingué Newton et Leibnits Mais l'essence des choses n'a pas changé. Comment comprendre les intégrales de zéro? En aucun cas! Pour comprendre ce sujet, la connaissance de base des fondations de l'analyse mathématique nécessitera encore. Ce sont ces informations fondamentales sur vous trouverez sur notre blog.

Intéressé incertain

Laissez-nous avoir une sorte de fonction f (x) .

Fonction intégrale incertaine f (x) Cette fonctionnalité est appelée F (x) , dont le dérivé est égal à la fonction f (x) .

En d'autres termes, l'intégrale est un dérivé sur le contraire ou primitif. Au fait, sur la façon de lire dans notre article.

Prédictive existe pour toutes les fonctions continues. De plus, le signe constant est souvent ajouté au primaire, car les dérivés diffèrent de la coïncidence constante. Le processus de recherche de l'intégrale s'appelle l'intégration.

Exemple simple:

Pour ne pas constamment calculer les fonctions élémentaires primitives, il est pratique de réduire la table et d'utiliser les valeurs prêtes à l'emploi:

Certaine intégrale

Avoir une affaire avec le concept d'intégrale, nous traitons avec des valeurs infiniment de petites valeurs. L'intégrale aidera à calculer la figure de la figure, la masse du corps inhomogène, passée sous le chemin de mouvement inégal et bien plus encore. Il convient de rappeler que l'intégrale est la somme du nombre infiniment grand de termes infiniment petits.

À titre d'exemple, imaginez un horaire de certaines fonctions. Comment trouver une zone de figures limitée par un graphique de la fonction?

Avec l'aide de l'intégrale! Nous divisons le trapèze curviligne, limité par les axes de coordonnées et le graphique de la fonction, sur des segments infiniment petits. Ainsi, la figure sera divisée en colonnes minces. La somme de la zone des colonnes sera la zone du trapèze. Mais rappelez-vous qu'un tel calcul donnera un résultat exemplaire. Cependant, les segments plus petits seront déjà, plus le calcul sera précis. Si nous les réduisons dans une telle mesure que la longueur s'efforcera de zéro, la quantité de segments s'efforcera de la surface de la figure. Ceci est une intégrale spécifique qui est écrite comme suit:

Les points A et B sont appelés limites d'intégration.

Baria Alibasov et le groupe "Integral"

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Règles pour calculer les intégrales pour les nuls

Propriétés d'une intégrale incertaine

Comment résoudre une intégrale indéfinie? Nous examinerons ici les propriétés d'une intégrale incertaine, qui sera utile lors de la résolution des exemples.

• Le dérivé de l'intégrale est égal à la fonction intégrande:

• La constante peut être faite à partir du signe de l'intégrale:

• L'intégrale de la quantité est égale à la quantité d'intégral. Aussi aussi pour la différence:

Propriétés d'une intégrale spécifique

• Linéarité:

• Le signe intégré change si les limites d'intégration sont échangées:

• Pour quelconque Points uNE., b. et de:

Nous avons déjà découvert qu'une certaine intégrale est la limite du montant. Mais comment obtenir une valeur spécifique lors de la résolution de l'exemple? Pour cela, il y a une formule de Newton-Leibnic:

Exemples de solutions d'intégral

Vous trouverez ci-dessous plusieurs exemples de trouver des intégrales incertaines. Nous vous suggérons de comprendre de manière indépendante les subtilités de la solution et, si quelque chose est incompréhensible, posez des questions dans les commentaires.

Pour sécuriser le matériel, voir la vidéo sur la manière dont les intégrales sont résolues dans la pratique. Ne désespérez pas si l'intégrale n'est pas donnée immédiatement. Demandez, et ils vous diront de calculer les intégrales tout ce qui se connaissent. Avec notre aide, toute intégrale triple ou curviligne sur une surface fermée deviendra des forces.

Une fonction F (x. ) appelé prédéfini Pour la fonction f (x.) À un intervalle donné, si pour tous x. l'égalité est effectuée de cet écart

F "(x. ) = f.(x. ) .

Par exemple, une fonction F (x) \u003d x 2 f (x. ) = 2h. , comme

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x \u003d f (x). ◄

La propriété principale est primitive

Si un F (x) - Parfait pour la fonction f (x) À l'écart spécifié, alors la fonction f (x) Il a infiniment beaucoup primitif et toutes ces primitives peuvent être écrites comme F (x) + avecoù DE - constante arbitraire.

Les règles de calcul du primaire

1. Si un F (x) - Pred - comme pour F (x) , mais G (x) - Pred - comme pour g (x) T. F (x) + g (x) - Pred - comme pour f (x) + g (x) . Autrement dit, le premier montant est égal à la somme du primordial .
2. Si un F (x) - Pred - comme pour F (x) , JE. k. - constante, alors k. · F (x) - Pred - comme pour k. · f (x) . Autrement dit, le multiplicateur permanent peut être fait pour une marque dérivée .
3. Si un F (x) - Pred - comme pour F (x) , JE. k., B.- constante, et k ≠ 0 T. 1 / K. · F (k. x +.b. ) - Pred - comme pour f.(k. x +. b.) .

Intéressé incertain

Pas défini intégrale de la fonction F (x) appelé expression F (x) + avec, c'est-à-dire la totalité de tous les principaux caractéristiques de cette fonctionnalité f (x) . Désigne une intégrale indéfinie donc:

∫ f (x) dx \u003d f (x) + avec ,

f (x)- Appel fonction intégrée ;

f (x) dx - Appel une expression concrète ;

x. - Appel intégration variable ;

F (x) - une des fonctions primitives F (x) ;

DE - constante arbitraire.

Par example, ∫ 2 x dx \u003d.h. 2 + DE , ∫ cos.x dx \u003d.péché. h. + DE etc. ◄

Le mot "intégrale" vient du mot latin entier Que signifie "restauré". Considérant une intégrale indéfinie de 2 x. , nous restaurerons la fonction h. 2 dérivé qui est égal à 2 x. . La restauration de la fonction par son dérivé, ou de la même chose, trouver une inéfinissable intégrale sur cette fonction intégrande, est appelée l'intégration Cette fonctionnalité. L'intégration est une opération, différenciation inverse. Afin de vérifier si l'intégration est effectuée correctement, elle suffit à indiffer le résultat et à obtenir une fonction source.

Les principales propriétés d'une intégrale indéfinie

1. La dérivée d'une intégrale indéfinie est égale à la fonction intégrande:

(∫ f (x) dx )" \u003d F (x) .

2. Un multiplicateur permanent de l'expression intégrée peut être fait pour un signe intégré:

∫ k. · f (x) dx = k. · ∫ f (x) dx .

3. L'intégrale de la quantité (différence) des fonctions est égale à la quantité (différence) des intégrales de ces fonctions:

∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x. ) dx .

4. Si un k., B.- constante, et k ≠ 0 T.

∫ f ( k. x +. b.) dx = 1 / K. · F (k. x +.b. ) + S. .

Table des intégrales primaires et indéfinies

Certaine intégrale

Soit être sur l'intervalle [uNE.; B.] La fonction continue est spécifiée y \u003d f (x) , ensuite défini intégrale de A à B Les fonctions f (x) L'incrément est primitif F (x) cette fonction, c'est-à-dire

$$ \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | (_a ^ b) \u003d ~~ f (a) -f (b). $$

Nombres uNE.et b. appelé respectivement nizhina et plus haut les limites d'intégration.

Règles de base pour calculer une intégrale spécifique

1. \\ (\\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\);

2. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d - \\ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \\);

3. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) kf (x) dx \u003d k \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx, \\) où k. - constant;

4. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \\ int_ (a) ^ (b) ^ (b) g (x) dx \\);

5. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \\ int_ (c) ^ (b) f (x) dx \\) ;

6. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 2 \\ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \\), où F (x) - même fonction;

7. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\), où f (x) - Caractéristique impair.

Commenter . Dans tous les cas, il est supposé que les fonctions intégrées sont intégrées dans des intervalles numériques dont les limites sont des limites d'intégration.

Signification géométrique et physique d'une certaine intégrale

Signification géométrique défini intégrale	Signification physique défini intégrale
Surface S. Trapezium curviligne (Figure limitée à un horaire positif continu sur l'intervalle [uNE.; B.] Les fonctions f (x) , axe BŒUF. Et droit x \u003d A. , x \u003d B. ) est calculé par la formule $$ S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$	Chemin s.qui a surmonté le point de matériau en se déplaçant immédiatement à la vitesse de modification de la loi v (t) , au fil du temps un ; B.], puis la zone de la figure, limitée par les graphiques de ces fonctions et direct x \u003d A. , x \u003d B. , calculé par la formule $$ S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) dx. $$
	Par example. Calculer la zone de la figure, lignes limitées y \u003d x. 2 et y \u003d.2 - X. . Je montrerai des graphiques schématiquement de ces fonctions et mettra en évidence la figure dont vous souhaitez trouver la zone. Pour trouver les limites d'intégration en résolvant l'équation: x. 2 = 2 - X. ; x. 2 + X -2 = 0 ; x. 1 = -2, X. 2 = 1 . $$ S \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx \u003d $$
$$ \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx \u003d \\ gauche (2x- \\ frac (x ^ 2) (2) - \\ frac (x ^ 3) (2) \\ Droite) \\ Bigm | (_ (- 2) ^ (~ 1)) \u003d 4 \\ frac (1) (2). $$. ◄

Portée de la rotation

	Si le corps est obtenu à la suite de la rotation près de l'axe BŒUF. Trapezium curviligne limité par un graphique de continu et non négatif sur l'intervalle [uNE.; B.] les fonctions y \u003d f (x) Et droit x \u003d A.et x \u003d B. alors on appelle corps de rotation . La portée de la rotation est calculée par la formule $$ v \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$ Si le corps de rotation est obtenu à la suite de la rotation de la figure, limitée d'en haut et sous les graphiques des fonctions y \u003d f (x) et y \u003d g (x) , en conséquence, alors $$ v \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) (F ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) DX. $$
	Par example. Calculer le volume du cône avec le rayon r et hauteur h. . Placez un cône dans un système de coordonnées rectangulaires de sorte que son axe coïncide avec l'axe BŒUF. Et le centre de la base était situé au début des coordonnées. Rotation de la formation UN B Détermine le cône. Depuis l'équation UN B $$ \\ frac (x) (h) + \\ frac (y) (r) \u003d 1, $$ $$ y \u003d r- \\ frac (rx) (h) $$
et pour le volume du cône que nous avons $$ v \u003d \\ pi \\ int_ (0) ^ (h) (r- \\ frac (rx) (h)) ^ 2dx \u003d \\ pi r ^ 2 \\ int_ (0) ^ (h) (1- \\ frac ( x) (h)) ^ 2dx \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ CDOT \\ frac ((1- \\ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ gauche (0- \\ frac (1) (3) \\ droite) \u003d \\ frac (\\ pi r ^ 2h) (3). $$ ◄