6.1 مفاهیم و تعاریف اساسی

هنگام حل مشکلات مختلف ریاضیات و فیزیک ، زیست شناسی و پزشکی ، اغلب امکان ایجاد فوراً وابستگی عملکردی به شکل فرمولی وجود ندارد که متغیرهایی را توصیف کند که فرآیند مورد مطالعه را توصیف می کنند. معمولاً لازم است از معادلات حاوی علاوه بر متغیر مستقل و تابع ناشناخته ، مشتقات آن نیز استفاده شود.

تعریف.معادله متغیر مستقل ، تابع ناشناخته و مشتقات آن از ترتیبهای مختلف را متصل می کند دیفرانسیل.

یک تابع ناشناخته معمولاً مشخص می شود y (x)یا به سادگی y ،و مشتقات آن - y ", y "و غیره.

سایر تعیین ها نیز ممکن است ، به عنوان مثال: اگر y\u003d x (t) ، پس x "(t) ، x" "(t)مشتقات آن هستند ، و تیمتغیر مستقل است.

تعریف.اگر تابعی به یک متغیر بستگی داشته باشد ، معادله دیفرانسیل را معمولی می نامند. فرم کلی معادله دیفرانسیل معمولی:

یا

کارکرد Fو fممکن است شامل برخی از استدلال ها نباشد ، اما برای اینکه معادلات دیفرانسیل باشند ، وجود یک مشتق ضروری است.

تعریف.ترتیب معادله دیفرانسیلبه ترتیب بالاترین مشتق موجود در آن گفته می شود.

برای مثال، x 2 سال "- y\u003d 0 ، y "+ گناه ایکس\u003d 0 معادلات مرتبه اول است ، و y "+ 2 y "+ 5 y= ایکس- معادله مرتبه دوم.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل ، از عملیات یکپارچه سازی استفاده می شود ، که با ظهور یک ثابت دلخواه همراه است. اگر عمل ادغام اعمال شود nبار ، بدیهی است ، راه حل حاوی باشد nثابت های دلخواه.

6.2 معادلات مختلف سفارش اول

فرم کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اولتعریف شده توسط عبارت

این معادله ممکن است صریحاً نباشد ایکسو y ،اما لزوماً حاوی y است ".

اگر می توان معادله را به صورت زیر نوشت

سپس یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را بدست می آوریم که با توجه به مشتق حل شده است.

تعریف.راه حل کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اول (6.3) (یا (6.4)) مجموعه راه حل ها است جایی که از جانبیک ثابت دلخواه است.

نمودار حل معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال

دادن یک ثابت دلخواه از جانبمقادیر مختلف ، شما می توانید راه حل های خاص دریافت کنید. روی سطح xOyراه حل عمومی یک خانواده از منحنی های انتگرال است که مربوط به هر راه حل خاص است.

اگر شما یک نکته را تعیین کنید A (x 0 ، y 0) ،منحنی انتگرال از طریق آن باید از مجموعه توابع عبور کند یکی را می توان تشخیص داد - یک راه حل خاص.

تعریف.با تصمیم خصوصیمعادله دیفرانسیل به حل آن گفته می شود که حاوی ثابت های دلخواه نیست.

اگر یک یک راه حل کلی است ، پس از شرط است

می توانید یک ثابت پیدا کنید از جانب.شرط نامیده می شود شرط اولیه

مسئله یافتن یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل (6.3) یا (6.4) که شرایط اولیه را تأمین می کند در نامیده می شود مشکل کوشی.آیا این مشکل همیشه راه حلی دارد؟ پاسخ حاوی قضیه زیر است.

قضیه کوشی(قضیه وجود و منحصر به فرد بودن راه حل). معادله دیفرانسیل را وارد کنید y "= f (x ، y)تابع f (x ، y)و او

مشتق جزئی در برخی تعریف شده و مداوم است

مناطق D ،حاوی نقطه سپس در منطقه دوجود دارد

تنها راه حل معادله ای که شرط اولیه را برآورده می کند در

قضیه کوشی بیان می کند که در شرایط خاص یک منحنی انتگرال منحصر به فرد وجود دارد y= f (x) ،عبور از نقطه نکاتی که شرایط قضیه در آنها راضی نیست

کوشی نامیده می شود خاصدر این وقفه ها f(x ، y) یا

یا چندین منحنی انتگرال یا هیچ یک از آنها از نقطه منفرد عبور نمی کنند.

تعریف.اگر محلول (6.3) ، (6.4) به صورت موجود باشد f(x ، y ، ج)\u003d 0 ، با توجه به y مجاز نیست ، سپس آن را فراخوانی می کنیم انتگرال مشترکمعادله دیفرانسیل.

قضیه کوشی تنها وجود یک راه حل را تضمین می کند. از آنجا که هیچ روش واحدی برای یافتن راه حل وجود ندارد ، ما فقط برخی از انواع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را که در مربع ها

تعریف.معادله دیفرانسیل نامیده می شود قابل تجزیه با چهار درجه ،اگر جستجوی راه حل آن به یکپارچه سازی توابع کاهش یابد.

6.2.1. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه اول را معادله با می نامند متغیرهای قابل تفکیک ،

سمت راست معادله (6.5) حاصل دو عملکرد است که هر کدام فقط به یک متغیر بستگی دارد.

به عنوان مثال ، معادله یک معادله با تفکیک است

متغیرهای مختلف
و معادله

نمی تواند در فرم (6.5) نشان داده شود.

با توجه به اینکه ، ما (6.5) را دوباره بازنویسی می کنیم

از این معادله یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده بدست می آوریم که در آن در دیفرانسیل توابع وجود دارد که فقط به متغیر مربوطه بستگی دارد:

ادغام اصطلاح با اصطلاح ، ما داریم

جایی که C \u003d C 2 - C 1 یک ثابت دلخواه است. بیان (6.6) انتگرال عمومی معادله (6.5) است.

با تقسیم هر دو طرف معادله (6.5) بر اساس ، "ما می توانیم راه حلهایی را که برای آنها در واقع ، اگر در

سپس بدیهی است که یک راه حل برای معادله (6.5) است.

مثال 1برای حل معادله رضایت بخش باشید

وضعیت: y\u003d 6 در ایکس= 2 (سال(2) = 6).

تصمیم گیریجایگزین کردن در "گاهی ... هر دو طرف را در ضرب کنید

dx ،از آنجا که در طی ادغام بیشتر ، ترک کردن غیرممکن است dxدر مخرج:

و سپس ، تقسیم هر دو قسمت به ما معادله را دریافت می کنیم ،

که می تواند یکپارچه شود. ما ادغام می شویم:

سپس ؛ با تقویت ، y \u003d C به دست می آوریم. (x + 1) - در مورد-

راه حل.

از داده های اولیه ، یک ثابت دلخواه را تعیین می کنیم ، آنها را جایگزین راه حل کلی می کنیم

سرانجام ما دریافت می کنیم y\u003d 2 (x + 1) یک راه حل خاص است. بیایید چند مثال دیگر برای حل معادلات با متغیرهای قابل تفکیک در نظر بگیریم.

مثال 2برای معادله راه حل پیدا کنید

تصمیم گیریبا توجه به اینکه ، ما گرفتیم .

ادغام هر دو طرف معادله ، ما داریم

از جایی که

مثال 3برای معادله راه حل پیدا کنید تصمیم گیریما هر دو طرف معادله را بر اساس عواملی تقسیم می کنیم که به متغیری بستگی دارد که با متغیر تحت علامت دیفرانسیل منطبق نیست ، یعنی به و ادغام شود. سپس دریافت می کنیم

و در نهایت

مثال 4برای معادله راه حل پیدا کنید

تصمیم گیریدانستن اینکه چه چیزی دریافت خواهیم کرد. بخش

متغیرهای lim سپس

ادغام ، ما دریافت می کنیم

اظهار نظر.در مثالهای 1 و 2 ، عملکرد مورد نظر yصریح (راه حل کلی) بیان شده است. در مثالهای 3 و 4 - ضمنی (انتگرال عمومی). در آینده ، در مورد نحوه تصمیم گیری بحث نمی شود.

مثال 5برای معادله راه حل پیدا کنید تصمیم گیری

مثال 6برای معادله راه حل پیدا کنید رضایت بخش

وضعیت y (e)= 1.

تصمیم گیریما معادله را به صورت فرم می نویسیم

ضرب هر دو طرف معادله در dxو در ادامه ، ما دریافت خواهیم کرد

با ادغام هر دو طرف معادله (انتگرال سمت راست توسط قسمتهایی گرفته می شود) ، بدست می آوریم

اما به شرط y\u003d 1 برای ایکس= ه... سپس

مقادیر پیدا شده را جایگزین کنید از جانببه یک راه حل کلی:

عبارت حاصل شده را حل خاص معادله دیفرانسیل می نامند.

6.2.2. معادلات دیفرانسیل همگن از مرتبه اول

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه اول نامیده می شود همگن،اگر می تواند به عنوان نمایش داده شود

بگذارید یک الگوریتم برای حل یک معادله همگن ارائه دهیم.

1. به جای آن yما یک تابع جدید معرفی می کنیم سپس و بنابراین

2. از نظر عملکرد تومعادله (6.7) شکل می گیرد

یعنی این تغییر ، معادله همگن را به یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می دهد.

(3) حل معادله (6.8) ، ابتدا تو را پیدا می کنیم و سپس y\u003d ux

مثال 1معادله را حل کنید تصمیم گیریما معادله را به صورت فرم می نویسیم

ما تعویض را انجام می دهیم:
سپس

جایگزین کردن

ضرب در dx: تقسیم به ایکسو در سپس

با ادغام هر دو طرف معادله بر متغیرهای مربوطه ، خواهیم داشت

یا ، با بازگشت به متغیرهای قدیمی ، سرانجام دریافت خواهیم کرد

مثال 2معادله را حل کنید تصمیم گیریبگذار سپس

هر دو طرف معادله را بر تقسیم می کنیم x 2: بیایید براکت ها را باز کرده و اصطلاحات را از نو تنظیم کنیم:

با رفتن به متغیرهای قدیمی ، به نتیجه نهایی می رسیم:

مثال 3برای معادله راه حل پیدا کنید با توجه به اینکه

تصمیم گیریبا انجام یک جایگزین استاندارد ما گرفتیم

یا

یا

از این رو ، راه حل خاص شکل دارد مثال 4 برای معادله راه حل پیدا کنید

تصمیم گیری

مثال 5برای معادله راه حل پیدا کنید تصمیم گیری

کار مستقل

حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک را پیدا کنید (1-9).

برای معادلات دیفرانسیل همگن راه حلی پیدا کنید (9-18).

6.2.3. برخی از کاربردهای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

مشکل پوسیدگی رادیواکتیو

میزان پوسیدگی Ra (رادیوم) در هر لحظه از زمان متناسب با جرم موجود آن است. قانون پوسیدگی رادیواکتیو Ra را پیدا کنید ، اگر شناخته شده است که در لحظه اولیه Ra وجود دارد و نیمه عمر Ra 1590 سال است.

تصمیم گیریبگذارید جرم Ra در لحظه باشد ایکس= x (t)r ، و سپس میزان پوسیدگی Ra است

به شرط مسئله

جایی که ک

با جدا کردن متغیرها در آخرین معادله و یکپارچه سازی ، به دست می آوریم

از جایی که

برای تعیین جما از شرط اولیه استفاده می کنیم: برای .

سپس و بنابراین

نسبت ابعاد کتعیین شده از شرایط اضافی:

ما داریم

از اینجا و فرمول مورد نیاز

مشکل میزان تولید مثل باکتریها

میزان تولید مثل باکتریها متناسب با تعداد آنها است. در ابتدا ، 100 باکتری وجود داشت. در عرض 3 ساعت ، تعداد آنها دو برابر شد. وابستگی تعداد باکتریها را به موقع پیدا کنید. تعداد باکتریها طی 9 ساعت چند برابر می شود؟

تصمیم گیریبگذار ایکس- تعداد باکتری ها در حال حاضر تیسپس ، با توجه به شرایط ،

جایی که ک- ضریب تناسب.

از اینجا از شرط معلوم است که ... به معنای،

از شرط اضافی ... سپس

عملکرد جستجو شده:

از این رو ، برای تی= 9 ایکس800 \u003d یعنی در عرض 9 ساعت تعداد باکتریها 8 برابر شد.

مشکل افزایش مقدار آنزیم

در فرهنگ مخمر آبجو ، سرعت رشد آنزیم فعال متناسب با مقدار اولیه آن است ایکس.مقدار اولیه آنزیم آدر عرض یک ساعت دو برابر شد. اعتیاد پیدا کنید

x (t)

تصمیم گیریبا فرضیه ، معادله دیفرانسیل فرایند شکل دارد

از اینجا

ولی ... به معنای، ج= آو سپس

همچنین شناخته شده است که

در نتیجه،

6.3 معاملات افتراقی سفارش دوم

6.3.1. مفاهیم اساسی

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه دومرابطه اتصال متغیر مستقل ، تابع مورد نظر و مشتقات اول و دوم آن نامیده می شود.

در موارد خاص ، این معادله ممکن است فاقد x باشد ، دریا y ". با این حال ، معادله مرتبه دوم لزوما باید حاوی y باشد". در حالت کلی ، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود:

یا ، در صورت امکان ، به شکل مجاز در رابطه با مشتق دوم:

همانطور که در مورد معادله مرتبه اول ، راه حل های کلی و خاص می توانند برای معادله مرتبه دوم وجود داشته باشند. راه حل کلی این است:

یافتن راه حل خصوصی

در شرایط اولیه - داده شده

اعداد) نامیده می شود مشکل کوشی.از لحاظ هندسی ، این بدان معنی است که برای پیدا کردن منحنی انتگرال لازم است در= y (x) ،عبور از یک نقطه معین و در این مرحله مماس است که

با جهت مثبت محور ضربه می زند گاوزاویه داده شده ه (شکل 6.1) اگر سمت راست معادله (6.10) ، مسئله کوشی یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد ، مداوم

پیوسته است و مشتقات جزئی مداوم با توجه به y، y "در برخی از محله های نقطه شروع

ثابت پیدا کردن در یک راه حل خاص وجود دارد ، لازم است که سیستم اجازه داده شود

شکل. 6.1منحنی انتگرال

I. معادلات دیفرانسیل معمولی

1.1 مفاهیم و تعاریف اساسی

معادله دیفرانسیل معادله ای است که متغیر مستقل را به هم متصل می کند ایکس، عملکرد مورد نیاز y و مشتقات یا تفاوتهای آن.

معادله دیفرانسیل بصورت نمادین به شرح زیر نوشته می شود:

F (x ، y ، y ") \u003d 0 ، F (x ، y ، y") \u003d 0 ، F (x ، y ، y "، y" ، .. ، y (n)) \u003d 0

اگر تابع مورد نظر به یک متغیر مستقل وابسته باشد ، معادله دیفرانسیل را عادی می نامند.

با حل معادله دیفرانسیل تابعی نامیده می شود که این معادله را به هویت تبدیل می کند.

ترتیب معادله دیفرانسیل ترتیب بالاترین مشتق وارد این معادله است

مثال ها.

1. معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید

راه حل این معادله تابع y \u003d 5 ln x است. در واقع ، جایگزین کردن y " وارد معادله می شویم - هویت.

و این بدان معنی است که تابع y \u003d 5 ln x– یک راه حل برای این معادله دیفرانسیل است.

2. معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را در نظر بگیرید y "- 5y" + 6y \u003d 0... تابع راه حل این معادله است.

در واقع،.

با جایگزینی این عبارات در معادله ، هویت بدست می آید:

و این بدان معنی است که تابع یک راه حل برای این معادله دیفرانسیل است.

ادغام معادلات دیفرانسیل فرآیند یافتن راه حل برای معادلات دیفرانسیل نامیده می شود.

راه حل کلی معادله دیفرانسیل تابعی از فرم ، که به اندازه ثابت معادله شامل ثابتهای دلخواه مستقل است.

توسط یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل محلول بدست آمده از محلول عمومی برای مقادیر مختلف عددی ثابتهای دلخواه است. مقادیر ثابت های دلخواه در مقادیر اولیه مشخص آرگومان و عملکرد یافت می شوند.

نمودار یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال.

نمونه هایی از

1. یک حل خاص از معادله دیفرانسیل مرتبه اول پیدا کنید

xdx + ydy \u003d 0، اگر یک y\u003d 4 در ایکس = 3.

تصمیم گیری با ادغام هر دو طرف معادله ، به دست می آییم

اظهار نظر. یک ثابت ثابت دلخواه ، که در نتیجه یکپارچه سازی بدست می آید ، می تواند به هر شکل مناسب برای تغییرات بعدی نشان داده شود. در این حالت ، با در نظر گرفتن معادله متعارف دایره ، مناسب است که یک ثابت دلخواه C را در فرم نشان دهید.

- راه حل کلی معادله دیفرانسیل.

یک راه حل خاص برای معادله ای که شرایط اولیه را برآورده می کند y \u003d 4 در ایکس \u003d 3 از جایگزینی عمومی شرایط اولیه در محلول عمومی یافت می شود: 3 2 + 4 2 \u003d C 2؛ C \u003d 5

با جایگزینی C \u003d 5 در راه حل کلی ، می توان دریافت x 2 + y 2 = 5 2 .

این یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل به دست آمده از راه حل کلی برای شرایط اولیه داده شده است.

2. راه حل کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید

راه حل این معادله هر عملکرد فرم است ، جایی که C یک ثابت دلخواه است. در واقع ، با جایگزینی معادلات ، به دست می آوریم:

در نتیجه ، این معادله دیفرانسیل دارای یک مجموعه نامحدود از راه حل ها است ، زیرا برای مقادیر مختلف ثابت C ، برابری راه حل های مختلف معادله را تعیین می کند.

به عنوان مثال ، با تعویض مستقیم ، می توان از عملکردها اطمینان حاصل کرد راه حل های معادله هستند.

مسئله ای که در آن یافتن راه حل خاص معادله مورد نیاز است y "\u003d f (x ، y) ارضای شرط اولیه y (x 0) \u003d y 0مشکل کوشی نامیده می شود.

راه حل معادله y "\u003d f (x ، y)برآورده کردن شرط اولیه ، y (x 0) \u003d y 0، راه حلی برای مسئله کوشی نامیده می شود.

راه حل مسئله کوشی یک معنی هندسی ساده دارد. در واقع ، با توجه به این تعاریف ، برای حل مشکل کوشی y "\u003d f (x ، y) با توجه به اینکه y (x 0) \u003d y 0، به معنای یافتن منحنی انتگرال معادله است y "\u003d f (x ، y) که از یک نقطه معین عبور می کند M 0 (x 0),y 0).

دوم معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

2.1 مفاهیم اساسی

معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله فرم است F (x ، y ، y ") \u003d 0.

معادله دیفرانسیل مرتبه اول مشتق اول را شامل می شود و مشتقات مرتبه بالاتر را شامل نمی شود.

معادله y "\u003d f (x ، y) یک معادله مرتبه اول است که با توجه به مشتق حل شده است.

راه حل کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اول تابعی از فرم است که شامل یک ثابت دلخواه است.

مثال.معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید.

راه حل این معادله تابع است.

در واقع ، ما جایگزین این معادله با مقدار آن می شویم

یعنی 3x \u003d 3x

در نتیجه ، این تابع یک راه حل کلی برای معادله برای هر ثابت C است.

یک راه حل خاص از این معادله پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند y (1) \u003d 1 جایگزینی شرایط اولیه x \u003d 1 ، y \u003d 1 در حل کلی معادله ، از کجا به دست می آوریم C \u003d 0.

بنابراین ، با جایگزینی مقدار بدست آمده در این معادله ، یک راه حل خاص از عمومی بدست می آوریم C \u003d 0 - یک راه حل خصوصی.

2.2. معادلات دیفرانسیل قابل تفکیک

معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل جدا شدن معادله فرم است: y "\u003d f (x) g (y) یا از طریق دیفرانسیل ، کجا f (x) و گرم (سال)- توابع مشخص شده

برای کسانی که y، برای آن ، معادله y "\u003d f (x) g (y) معادل معادله است ، که در آن متغیر است y فقط در سمت چپ وجود دارد و متغیر x فقط در سمت راست است. آنها می گویند ، "در معادله y "\u003d f (x) g (y اجازه دهید متغیرها را تقسیم کنیم. "

معادله فرم معادله ای با متغیرهای جدا شده نامیده می شود.

ادغام هر دو طرف معادله توسط ایکس، ما گرفتیم G (y) \u003d F (x) + Cآیا راه حل کلی معادله ، کجاست G (y) و F (x) - برخی از آنتی ویروس های عملکرد و f (x), ج ثابت دلخواه.

الگوریتم حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک

مثال 1

معادله را حل کنید y "\u003d xy

تصمیم گیری تابع مشتق شده y " تعویض با

متغیرها را تقسیم کنید

ادغام هر دو طرف برابری:

مثال 2

2yy "\u003d 1- 3x 2، اگر یک y 0 \u003d 3 در x 0 \u003d 1

این یک معادله متغیر جدا است. بیایید آن را در دیفرانسیل نشان دهیم. برای انجام این کار ، این معادله را در فرم دوباره نوشتیم از اینجا

با ادغام هر دو طرف برابری گذشته ، می یابیم

جایگزینی مقادیر اولیه x 0 \u003d 1 ، y 0 \u003d 3پیدا کردن از جانب 9=1-1+ج، یعنی C \u003d 9

بنابراین ، انتگرال جزئی مورد نظر خواهد بود یا

مثال 3

منحنی را از طریق یک نقطه برابر کنید M (2؛ -3) و دارای یک مماس با شیب است

تصمیم گیری با توجه به شرط

این یک معادله قابل تفکیک است. با تقسیم متغیرها بدست می آوریم:

با تلفیق هر دو طرف معادله ، بدست می آوریم:

با استفاده از شرایط اولیه ، x \u003d 2 و y \u003d - 3 پیدا کردن ج:

بنابراین ، معادله مورد جستجو شکل دارد

2.3 معادلات دیفرانسیل خطی از مرتبه اول

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول معادله فرم است y "\u003d f (x) y + g (x)

جایی که f (x) و g (x) - برخی از توابع از پیش تعیین شده

اگر یک g (x) \u003d 0سپس معادله دیفرانسیل خطی همگن نامیده می شود و فرم زیر را دارد: y "\u003d f (x) y

اگر معادله باشد y "\u003d f (x) y + g (x) ناهمگن نامیده می شود.

راه حل کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی y "\u003d f (x) y با فرمول داده شده است: کجا از جانب آیا یک ثابت دلخواه است.

مخصوصاً اگر C \u003d 0 ،پس راه حل این است y \u003d 0 اگر یک معادله همگن خطی شکل داشته باشد y "\u003d ky جایی که ک - برخی ثابت ، سپس راه حل کلی آن به شکل زیر است:

راه حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی y "\u003d f (x) y + g (x) با فرمول داده شده است ,

آنهایی که برابر است با مجموع حل عمومی معادله همگن خطی مربوطه و حل ویژه این معادله.

برای یک معادله خطی ناهمگن فرم y "\u003d kx + b,

جایی که ک و ب- برخی از اعداد و یک تابع ثابت یک راه حل خاص خواهد بود. بنابراین ، راه حل کلی این است.

مثال... معادله را حل کنید y "+ 2y +3 \u003d 0

تصمیم گیری ما معادله را در فرم نشان می دهیم y "\u003d -2 سال - 3 جایی که k \u003d -2 ، b \u003d -3 راه حل کلی توسط فرمول ارائه شده است.

بنابراین ، جایی که C یک ثابت دلخواه است.

2.4 حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول با روش برنولی

یافتن راه حل عمومی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول y "\u003d f (x) y + g (x) با استفاده از تعویض به حل دو معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده کاهش می یابد y \u003d uvجایی که تو و v - توابع ناشناخته از ایکس... این روش راه حل را روش برنولی می نامند.

الگوریتم حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول

y "\u003d f (x) y + g (x)

1. تعویض را معرفی کنید y \u003d uv.

2. این برابری را از هم متمایز کنید y "\u003d u" v + uv "

3. جانشین y و y " در این معادله: u "v + uv" \u003df (x) uv + g (x)یا u "v + uv" + f (x) uv \u003d g (x).

4- اصطلاحات معادله را طوری گروه بندی کنید که تو از پرانتز خارج کنید:

5- از پرانتز ، برابر کردن آن با صفر ، تابع را پیدا کنید

این یک معادله قابل تفکیک است:

بیایید متغیرها را تقسیم کنیم و بدست آوریم:

از جایی که . .

6. مقدار بدست آمده را جایگزین کنید vدر معادله (از مورد 4):

و تابع را پیدا کنید این یک معادله قابل تفکیک است:

7. راه حل کلی را به صورت زیر بنویسید: ، یعنی ...

مثال 1

برای معادله یک راه حل خاص پیدا کنید y "\u003d -2y +3 \u003d 0 اگر یک y \u003d 1 در x \u003d 0

تصمیم گیری بیایید با استفاده از جایگزینی آن را حل کنیم y \u003d uv ،.y "\u003d u" v + uv "

جایگزین کردن yو y " به این معادله می رسیم

گروه بندی اصطلاحات دوم و سوم در سمت چپ معادله ، عامل مشترک را بیرون می آوریم تو از براکت خارج شده است

عبارت موجود در براکت ها برابر با صفر است و با حل معادله حاصل ، این تابع را پیدا می کنیم v \u003d v (x)

معادله ای را با متغیرهای جدا شده دریافت کرد. ما هر دو طرف این معادله را ادغام می کنیم: تابع را پیدا کنید v:

مقدار بدست آمده را جایگزین کنید v به معادله ای می رسیم:

این یک معادله با متغیرهای جدا شده است. ما هر دو طرف معادله را ادغام می کنیم: عملکرد را پیدا کنید u \u003d u (x، c) بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم: بیایید راه حل ویژه ای از معادله را که شرایط اولیه را برآورده می کند ، بیابیم y \u003d 1 در x \u003d 0:

III معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر

3.1 مفاهیم و تعاریف اساسی

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معادله ای است که مشتقاتی از مرتبه دوم بالاتر نیست. در حالت کلی ، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود: F (x ، y ، y "، y") \u003d 0

راه حل کلی معادله دیفرانسیل مرتبه دوم تابعی از فرم است که شامل دو ثابت دلخواه است C 1 و C 2.

راه حل جزئی معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ، راه حلی است که برای برخی مقادیر ثابت های دلخواه از یک حل عمومی بدست آمده C 1 و C 2.

3.2 معادلات دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه دوم با ضرایب ثابت

معادله دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه دوم با ضرایب ثابت معادله فرم نامیده می شود y "+ py" + qy \u003d 0جایی که پو س- مقادیر ثابت

الگوریتم حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت

1. معادله دیفرانسیل را به صورت زیر بنویسید: y "+ py" + qy \u003d 0.

2. معادله مشخصه آن را مشخص کنید y " آن طرف r 2, y " آن طرف ر, yدر 1: r 2 + pr + q \u003d 0

یا قبلاً با توجه به مشتق حل شده اند ، یا می توان آنها را با توجه به مشتق حل کرد .

حل عمومی معادلات دیفرانسیل از نوع در فاصله ایکس، که داده می شود ، با در نظر گرفتن انتگرال هر دو طرف این برابری یافت می شود.

ما گرفتیم .

اگر به خصوصیات انتگرال نامعین نگاه کنیم ، راه حل کلی مورد نظر را پیدا خواهیم کرد:

y \u003d F (x) + C,

جایی که F (x) - یکی از آنتی ویروس های عملکرد f (x) در بین ایکس، و از جانب یک ثابت دلخواه است.

توجه داشته باشید که برای بیشتر کارها ، فاصله زمانی است ایکس نشان ندهید این بدان معنی است که باید برای همه راه حلی پیدا شود. ایکسکه تابع مورد نیاز است y، و معادله اصلی منطقی است.

اگر شما نیاز به محاسبه یک راه حل خاص از یک معادله دیفرانسیل دارید که شرایط اولیه را برآورده می کند y (x 0) \u003d y 0، سپس پس از محاسبه انتگرال کلی y \u003d F (x) + C، تعیین مقدار ثابت نیز ضروری است C \u003d C 0با استفاده از شرط اولیه یعنی ثابت C \u003d C 0 از معادله تعیین شده است F (x 0) + C \u003d y 0، و راه حل ویژه مورد جستجوی معادله دیفرانسیل به شکل زیر است:

y \u003d F (x) + C 0.

بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:

بیایید راه حل کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنیم ، صحت نتیجه را بررسی کنیم. بیایید یک راه حل خاص از این معادله پیدا کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند.

تصمیم:

بعد از اینکه ما معادله دیفرانسیل داده شده را ادغام کردیم ، بدست می آوریم:

.

اجازه دهید این انتگرال را با استفاده از روش ادغام توسط قطعات در نظر بگیریم:

بدین ترتیب، یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل است.

برای اطمینان از درست بودن نتیجه ، بررسی خواهیم کرد. برای انجام این کار ، ما راه حل را پیدا کردیم که در معادله داده شده پیدا کردیم:

.

یعنی برای معادله اصلی به یک هویت تبدیل می شود:

بنابراین ، راه حل کلی معادله دیفرانسیل به درستی تعیین شد.

راه حلی که پیدا کردیم راه حل کلی معادله دیفرانسیل برای هر مقدار واقعی استدلال است ایکس.

محاسبه راه حل خاصی برای ODE باقی مانده است که شرایط اولیه را برآورده می کند. به عبارت دیگر ، محاسبه مقدار ثابت ضروری است از جانب، که در آن برابری درست خواهد بود:

.

.

سپس ، جایگزین کنید C \u003d 2 در حل کلی ODE ، ما یک حل خاص از معادله دیفرانسیل را بدست می آوریم که شرایط اولیه را برآورده می کند:

.

معادله دیفرانسیل معمولی با تقسیم 2 قسمت برابری برای مشتق می توان حل کرد f (x)... این تغییر در صورت معادل خواهد بود f (x) برای هیچ یک به صفر تبدیل نمی شود ایکس از فاصله ادغام معادله دیفرانسیل ایکس.

شرایط برای برخی از مقادیر استدلال محتمل است ایکس ∈ ایکس تابع f (x) و g (x)به طور همزمان ناپدید می شوند. برای مقادیر مشابه ایکس راه حل کلی معادله دیفرانسیل هر تابعی خواهد بود y، که در آنها تعریف شده است ، از ...

اگر برای برخی از ارزش های استدلال است ایکس ∈ ایکس شرط راضی است ، به این معنی که در این حالت ODE هیچ راه حلی ندارد.

برای همه دیگران ایکس از فاصله ایکس راه حل کلی معادله دیفرانسیل از معادله تبدیل شده تعیین می شود.

بیایید نگاهی به نمونه ها بیندازیم:

مثال 1

بیایید راه حل کلی ODE را پیدا کنیم: .

تصمیم گیری

از ویژگیهای توابع اساسی اولیه مشخص است که عملکرد لگاریتم طبیعی برای مقادیر غیر منفی آرگومان تعریف شده است ، بنابراین دامنه عبارت ln (x + 3) یک فاصله وجود دارد ایکس > -3 ... از این رو ، معادله دیفرانسیل داده شده برای ایکس > -3 ... برای این مقادیر آرگومان ، عبارت x + 3 محو نمی شود ، بنابراین می توان ODE را با توجه به مشتق با تقسیم 2 قسمت بر x + 3.

ما گرفتیم .

بعد ، ما معادله دیفرانسیل حاصل را ادغام می کنیم ، که با توجه به مشتق حل شده است: ... برای گرفتن این انتگرال ، ما از روش آوردن دیفرانسیل در زیر علامت استفاده می کنیم.