Този онлайн математически калкулатор ще ви помогне, ако имате нужда от него изчисляване на границата на функция. програма граници на разтворане само дава отговор на проблема, той води подробно решение с обяснения, т.е. показва процеса на изчисляване на лимита.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията средни училищапри подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-бързо? домашна работапо математика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, докато нивото на образование в областта на решаването на проблеми се повишава.

Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Граница на функцията при x->x 0

Нека функцията f(x) е дефинирана върху някакво множество X и нека точката \(x_0 \in X\) или \(x_0 \notin X\)

Нека вземем от X последователност от точки, различни от x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сближаваща се с x*. Функционалните стойности в точките на тази последователност също образуват числова последователност
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и може да се повдигне въпросът за съществуването на неговата граница.

Определение. Числото A се нарича граница на функцията f(x) в точката x = x 0 (или при x -> x 0), ако за всяка последователност (1) от стойности на аргумента x, различни от x 0 сближавайки се до x 0, съответната последователност (2) от функцията на стойностите се свежда до числото A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Функцията f(x) може да има само една граница в точката x 0. Това следва от факта, че последователността
(f(x n)) има само една граница.

Има и друга дефиниция на границата на функция.

ОпределениеЧислото A се нарича граница на функцията f(x) в точката x = x 0, ако за всяко число \(\varepsilon > 0\) съществува число \(\delta > 0\), такова че за всички \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяващо неравенството \(|x-x_0| Използвайки логически символи, тази дефиниция може да бъде написана като
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Обърнете внимание, че неравенствата \(x \neq x_0 , \; |x-x_0|. Първата дефиниция се основава на концепцията за числова последователност, така че често се нарича дефиниция „на езика на последователностите“. \(\varepsilon - \delta \)”.
Тези две дефиниции на границата на функция са еквивалентни и можете да използвате всяка от тях в зависимост от това коя е по-удобна за решаване на определен проблем.

Обърнете внимание, че дефиницията на границата на функция „на езика на последователностите“ се нарича още дефиниция на границата на функция според Хайне, а дефиницията на границата на функция „на езика \(\varepsilon - \delta \)” се нарича още дефиниция на границата на функция според Коши.

Граница на функцията при x->x 0 - и при x->x 0 +

В това, което следва, ще използваме концепциите за едностранни граници на функция, които са дефинирани по следния начин.

ОпределениеЧислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f(x) в точката x 0, ако за всяка последователност (1), сходна към x 0, чиито елементи x n са по-големи (по-малки от) x 0, съответната последователност (2) се сближава с A.

Символично се изписва така:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Можем да дадем еквивалентна дефиниция на едностранни граници на функция „на езика \(\varepsilon - \delta \)“:

Определениечисло A се нарича дясна (лява) граница на функцията f(x) в точката x 0, ако за всеки \(\varepsilon > 0\) съществува \(\delta > 0\), така че за всички x, удовлетворяващи неравенствата \(x_0 Символни записи:

Нека да разгледаме някои илюстративни примери.

Нека x е число променливо количество, X е областта на нейното изменение. Ако всяко число x, принадлежащо на X, е свързано с определено число y, тогава те казват, че функция е дефинирана в множеството X, и пишат y = f(x).
Поставете X в в такъв случай- равнина, състояща се от две координатни оси– 0X и 0Y. Например, нека изобразим функцията y = x 2. Осите 0X и 0Y образуват X - областта на неговото изменение. Фигурата ясно показва как се държи функцията. В този случай те казват, че функцията y = x 2 е дефинирана в множеството X.

Наборът Y от всички частични стойности на функция се нарича набор от стойности f(x). С други думи, наборът от стойности е интервалът по оста 0Y, където е дефинирана функцията. Изобразената парабола ясно показва, че f(x) > 0, т.к x2 > 0. Следователно диапазонът от стойности ще бъде . Разглеждаме много стойности с 0Y.

Множеството от всички x се нарича домейн на f(x). Ние разглеждаме много дефиниции от 0X и в нашия случай диапазонът от приемливи стойности е [-; +].

Точка a (a принадлежи на или X) се нарича гранична точка на множеството X, ако във всяка околност на точка a има точки от множеството X, различни от a.

Дойде време да разберем каква е границата на една функция?

Извиква се чистото b, към което функцията клони, когато х клони към числото a граница на функцията. Това е написано по следния начин:

Например f(x) = x 2. Трябва да разберем към какво клони (не е равна) функцията при x 2. Първо записваме границата:

Нека погледнем графиката.

Нека начертаем права, успоредна на оста 0Y през точка 2 на оста 0X. Тя ще пресече нашата графика в точка (2;4). Нека пуснем перпендикуляр от тази точка върху оста 0Y и да стигнем до точка 4. Това е, към което се стреми нашата функция при x 2. Ако сега заместим стойността 2 във функцията f(x), отговорът ще бъде същият.

Сега, преди да преминем към изчисляване на граници, нека въведем основни дефиниции.

Въведена от френския математик Огюстен Луи Коши през 19 век.

Да предположим, че функцията f(x) е дефинирана на определен интервал, който съдържа точката x = A, но изобщо не е необходимо стойността на f(A) да бъде дефинирана.

Тогава, според определението на Коши, граница на функцията f(x) ще бъде определено число B с x клонящо към A, ако за всяко C > 0 има число D > 0, за което

Тези. ако функцията f(x) при x A е ограничена от граница B, това е записано във формата

Ограничение на последователносттаизвестно число А се нарича, ако за произволно малко положително числоВ > 0 има число N, за което всички стойности в случая n > N отговарят на неравенството

Тази граница изглежда като.

Последователност, която има граница, ще се нарича конвергентна; ​​ако няма, ще я наречем дивергентна.

Както вече забелязахте, ограниченията се обозначават с иконата lim, под която се изписва някакво условие за променливата, а след това се записва самата функция. Такъв набор ще се чете като „граница на функция, предмет на...“. Например:

- границата на функцията, когато x клони към 1.

Изразът „приближаване до 1“ означава, че x последователно приема стойности, които се приближават до 1 безкрайно близо.

Сега става ясно, че за да се изчисли тази граница е достатъчно да се замени стойността 1 за x:

В допълнение към специфичните числова стойност x може да клони към безкрайност. Например:

Изразът x означава, че x непрекъснато нараства и се приближава до безкрайност без ограничения. Следователно, замествайки безкрайност с x, става очевидно, че функцията 1-x ще се стреми към , но с обратен знак:

По този начин, изчисляване на границисе свежда до намиране на нейната конкретна стойност или определена област, в която попада ограничената от границата функция.

Въз основа на горното следва, че при изчисляване на лимити е важно да се използват няколко правила:

разбиране същност на границатаи основни правила гранични изчисления, ще придобиете ключова представа за това как да ги разрешите. Ако някой лимит ви създава затруднения, пишете в коментарите и ние определено ще ви помогнем.

Забележка: Юриспруденцията е наука за законите, която помага при конфликти и други житейски трудности.

Теория на границите- един от разделите на математическия анализ, който някои могат да овладеят, докато други имат затруднения при изчисляването на границите. Въпросът за намирането на граници е доста общ, тъй като има десетки техники граници на разтвора различни видове. Същите граници могат да бъдат намерени както с помощта на правилото на L'Hopital, така и без него. Случва се, че планирането на поредица от безкрайно малки функции ви позволява бързо да получите желания резултат. Има набор от техники и трикове, които ви позволяват да намерите границата на функция с всякаква сложност. В тази статия ще се опитаме да разберем основните видове лимити, които най-често се срещат на практика. Тук няма да даваме теорията и дефиницията на границата; има много ресурси в Интернет, където това се обсъжда. Ето защо, нека да преминем към практически изчисления, това е мястото, където вашето „Не знам, не мога!“

Изчисляване на граници чрез метода на заместване

Пример 1. Намерете границата на функция
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Решение: Примери от този вид могат да бъдат теоретично изчислени с помощта на обичайното заместване

Ограничението е 18/11.
Няма нищо сложно или мъдро в такива граници - заместихме стойността, изчислихме я и записахме границата като отговор. Въпреки това, въз основа на такива ограничения, всеки е научен, че първо трябва да замени стойността във функцията. Освен това границите стават по-сложни, въвеждайки концепцията за безкрайност, несигурност и други подобни.

Граница с несигурност като безкрайност, разделена на безкрайност. Методи за разкриване на несигурност

Пример 2. Намерете границата на функция
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=безкрайност).
Решение: Дадена е граница на полинома на формата, разделен на полином, и променливата клони към безкрайност

Простото заместване на стойността, до която трябва да се намери променливата, няма да помогне да се намерят границите; получаваме несигурност от формата безкрайност, разделена на безкрайност.
Според теорията на границите, алгоритъмът за изчисляване на границата е да се намери най-голямата степен на „x“ в числителя или знаменателя. След това числителят и знаменателят се опростяват до него и се намира границата на функцията

Тъй като стойността клони към нула, когато променливата се доближава до безкрайност, те се пренебрегват или се записват в крайния израз под формата на нули

Веднага от практиката можете да получите две заключения, които са намек в изчисленията. Ако една променлива клони към безкрайност и степента на числителя е по-голяма от степента на знаменателя, тогава границата е равна на безкрайност. В противен случай, ако полиномът в знаменателя е от по-висок порядък, отколкото в числителя, границата е нула.
Границата може да бъде записана във формули като тази:

Ако имаме функция от формата на обикновено поле без дроби, тогава нейната граница е равна на безкрайност

Следващият тип граници се отнася до поведението на функции близо до нула.

Пример 3. Намерете границата на функция
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Решение: Няма нужда да премахвате водещия множител на полинома тук. Точно обратното, трябва да намерите най-малката степен на числителя и знаменателя и да изчислите границата

x^2 стойност; x клонят към нула, когато променливата клони към нула, следователно те се пренебрегват, така че получаваме

че границата е 2,5.

Сега знаеш как да намерите границата на функцияна формата, разделете полином на полином, ако променливата клони към безкрайност или 0. Но това е само малка и лесна част от примерите. От следващия материал ще научите как да разкрием несигурностите в границите на функция.

Граница с неопределеност от тип 0/0 и методи за нейното изчисляване

Всички веднага си спомнят правилото, че не можете да разделите на нула. Въпреки това, теорията на границите в този контекст предполага безкрайно малки функции.
Нека да разгледаме няколко примера за яснота.

Пример 4. Намерете границата на функция
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Решение: Когато заместим стойността на променливата x = -1 в знаменателя, получаваме нула и получаваме същото в числителя. Така че имаме несигурност на формата 0/0.
Справянето с такава несигурност е просто: трябва да факторизирате полинома или по-скоро да изберете фактора, който превръща функцията в нула.

След разширяване границата на функцията може да бъде записана като

Това е целият метод за изчисляване на границата на функция. Правим същото, ако има граница на формата полином, разделена на полином.

Пример 5. Намерете границата на функция
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Решение: Директно заместване показва
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
какво имаме тип 0/0 несигурност.
Нека разделим полиномите на фактора, който въвежда сингулярността


Има учители, които учат, че полиноми от 2-ри ред, тоест тип „квадратни уравнения“, трябва да се решават чрез дискриминанта. Но реалната практика показва, че това е по-дълго и по-объркващо, така че се отървете от функциите в границите на посочения алгоритъм. Така записваме функцията във формата основни фактории изчислете до краен предел

Както можете да видите, няма нищо сложно при изчисляването на такива граници. Докато учиш границите, знаеш как се делят полиноми, поне според програмата вече трябва да си я преминал.
Сред задачите на тип 0/0 несигурностИма някои, в които трябва да използвате формули за съкратено умножение. Но ако не ги знаете, тогава като разделите полином на моном, можете да получите желаната формула.

Пример 6. Намерете границата на функция
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Решение: Имаме несигурност от тип 0/0. В числителя използваме формулата за съкратено умножение

и изчислете необходимия лимит

Метод за разкриване на несигурност чрез умножение по нейния конюгат

Методът се прилага към границите, в които се генерира несигурност ирационални функции. Числителят или знаменателят се превръща в нула в точката на изчисление и не е известно как да се намери границата.

Пример 7. Намерете границата на функция
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Решение:Нека представим променливата във формулата за граница

При заместване получаваме несигурност от тип 0/0.
Според теорията на границите, начинът да се заобиколи тази характеристика е да се умножи ирационалният израз по неговия спрегнат. За да се гарантира, че изразът не се променя, знаменателят трябва да бъде разделен на същата стойност

Използвайки правилото за разликата на квадратите, ние опростяваме числителя и изчисляваме границата на функцията

Ние опростяваме термините, които създават сингулярността в границата и извършваме заместването

Пример 8. Намерете границата на функция
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Решение: Директното заместване показва, че границата има сингулярност под формата 0/0.

За да разширим, ние умножаваме и делим на конюгата на числителя

Записваме разликата на квадратите

Ние опростяваме термините, които въвеждат сингулярността и намираме границата на функцията

Пример 9. Намерете границата на функция
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Решение: Заместете две във формулата

Получаваме несигурност 0/0.
Знаменателят трябва да бъде умножен по спрегнатия израз, а в числителя квадратното уравнение трябва да бъде решено или разложено на множители, като се вземе предвид сингулярността. Тъй като е известно, че 2 е корен, намираме втория корен, използвайки теоремата на Виета

Така записваме числителя във формата

и го заменете в лимита

Чрез намаляване на разликата на квадратите, ние се отърваваме от особеностите в числителя и знаменателя

Използвайки горния метод, е възможно да се отървете от особеностите в много примери и приложението трябва да се отбележи навсякъде, където дадена разлика на корени се превръща в нула по време на заместване. Други видове лимити засягат експоненциални функции, безкрайно малки функции, логаритми, специални граници и други техники. Но можете да прочетете за това в изброените по-долу статии за ограниченията.

Теорията на границите е един от клоновете на математическия анализ. Въпросът за решаване на лимити е доста обширен, тъй като има десетки методи за решаване на лимити от различни видове. Има десетки нюанси и трикове, които ви позволяват да разрешите този или онзи лимит. Въпреки това ще се опитаме да разберем основните видове лимити, които най-често се срещат на практика.

Нека започнем със самата концепция за лимит. Но първо един кратък историческа справка. През 19 век е живял французинът Огюстен Луи Коши, който е дал строги дефиниции на много от понятията матан и е положил основите му. Трябва да се каже, че този уважаван математик беше, е и ще бъде в кошмарите на всички студенти от физико-математическите факултети, тъй като той доказа огромен брой теореми на математическия анализ и една теорема е по-смъртоносна от другата. В тази връзка все още няма да разглеждаме определяне на границата на Коши, но нека се опитаме да направим две неща:

1. Разберете какво е лимит.
2. Научете се да решавате основните видове лимити.

Извинявам се за някои ненаучни обяснения, важно е материалът да е разбираем дори за чайник, каквато всъщност е задачата на проекта.

И така, каква е границата?

И само пример защо на рошава баба...

Всеки лимит се състои от три части:

1) Добре познатата икона на лимит.
2) Записи под иконата за ограничение, в този случай . Записът гласи „X клони към единица“. Най-често - точно, въпреки че вместо "X" на практика има други променливи. В практическите задачи мястото на единица може да бъде абсолютно всяко число, както и безкрайност ().
3) Функции под знака за граница, в този случай .

Самият запис се чете така: „границата на функция, когато x клони към единица.“

Нека разгледаме следващия важен въпрос - какво означава изразът "x"? се стремидо един"? И какво изобщо означава „стремеж“?
Концепцията за лимит е концепция, така да се каже, динамичен. Нека изградим последователност: първо , след това , , …, , ….
Тоест изразът „х се стремидо едно” трябва да се разбира по следния начин: “x” последователно приема стойностите които се доближават до единството безкрайно близо и практически съвпадат с него.

Как да решим горния пример? Въз основа на горното, просто трябва да замените едно във функцията под знака за ограничение:

И така, първото правило: Когато ни бъде дадено ограничение, първо просто се опитваме да включим числото във функцията.

Разгледахме най-простата граница, но и такива се срещат на практика и то не толкова рядко!

Пример с безкрайност:

Нека да разберем какво е това? Такъв е случаят, когато нараства неограничено, тоест: първо, след това, след това, след това и така нататък до безкрайност.

Какво се случва с функцията в този момент?
, , , …

И така: ако , тогава функцията клони към минус безкрайност:

Грубо казано, според нашето първо правило, вместо „X“ заместваме безкрайността във функцията и получаваме отговора.

Друг пример с безкрайност:

Отново започваме да увеличаваме до безкрайност и разглеждаме поведението на функцията:

Заключение: когато функцията нараства неограничено:

И още една поредица от примери:

Моля, опитайте се да анализирате мислено следното за себе си и запомнете най-простите видове ограничения:

, , , , , , , , ,
Ако някъде се съмнявате, можете да вземете калкулатор и да тренирате малко.
В случай, че , опитайте се да конструирате последователността , , . Ако , тогава , , .

! Забележка: Строго погледнато, този подход за конструиране на последователности от няколко числа е неправилен, но за разбиране на най-простите примери е доста подходящ.

Обърнете внимание и на следното. Дори ако е дадено ограничение с голямо число в горната част или дори с милион: , тогава всичко е същото , тъй като рано или късно "X" ще започне да приема такива гигантски стойности, че милион в сравнение ще бъде истински микроб.

Какво трябва да запомните и разберете от горното?

1) Когато ни е дадено ограничение, първо просто се опитваме да заменим числото във функцията.

2) Трябва да разберете и незабавно да разрешите най-простите ограничения, като напр , и т.н.

Освен това границата има много добро геометрично значение. За по-добро разбиране на темата ви препоръчвам да прочетете методически материал Графики и свойства на елементарни функции. След като прочетете тази статия, вие не само най-накрая ще разберете какво е граница, но и ще се запознаете с интересни случаи, когато границата на функция като цяло не съществува!

На практика, за съжаление, подаръците са малко. И затова преминаваме към разглеждане на по-сложни ограничения. Между другото, по тази тема има интензивен курсв pdf формат, което е особено полезно, ако имате МНОГО малко време за подготовка. Но материалите на сайта, разбира се, не са по-лоши:

Сега ще разгледаме групата граници, когато , а функцията е дроб, чийто числител и знаменател съдържат полиноми

Пример:

Изчислете лимита

Според нашето правило ще се опитаме да заменим безкрайността във функцията. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва отдолу? Също безкрайност. Така имаме това, което се нарича видова несигурност. Човек би си помислил, че , и отговорът е готов, но общ случайТова изобщо не е така и трябва да приложите някакво решение, което сега ще разгледаме.

Как да решим ограничения от този тип?

Първо разглеждаме числителя и намираме най-голямата мощност:

Водещата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и го намираме на най-висока степен:

Най-високата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-голямата степен на числителя и знаменателя: in в този примерте съвпадат и са равни на две.

И така, методът на решение е следният: за да се разкрие несигурността, е необходимо да се разделят числителят и знаменателят на най-високата степен.

Ето го отговорът, а не безкрайността.

Какво е фундаментално важно при проектирането на решение?

Първо, посочваме несигурност, ако има такава.

Второ, препоръчително е да прекъснете решението за междинни обяснения. Обикновено използвам знака, той няма математическо значение, а означава, че решението се прекъсва за междинно обяснение.

Трето, в лимита е препоръчително да маркирате какво къде отива. Когато работата се съставя на ръка, е по-удобно да се направи по този начин:

По-добре е да използвате обикновен молив за бележки.

Разбира се, не е нужно да правите нищо от това, но тогава може би учителят ще посочи недостатъците в решението или ще започне да пита допълнителни въпросипо задание. трябва ли ти

Пример 2

Намерете границата
Отново в числителя и знаменателя намираме в най-висока степен:

Максимална степен в числителя: 3
Максимална степен в знаменателя: 4
Избирам най великстойност, в този случай четири.
Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на .
Пълна регистрациязадачите може да изглеждат така:

Разделете числителя и знаменателя на

Пример 3

Намерете границата
Максимална степен на “X” в числителя: 2
Максимална степен на „X“ в знаменателя: 1 (може да се запише като)
За да се разкрие несигурността, е необходимо да се разделят числителят и знаменателят на . Крайното решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Нотацията не означава деление на нула (не можете да делите на нула), а деление на безкрайно малко число.

По този начин, като разкрием несигурността на видовете, може да успеем крайно число, нула или безкрайност.

Граници с неопределеност на вида и метода за решаването им

Следващата група граници е донякъде подобна на току-що разгледаните граници: числителят и знаменателят съдържат полиноми, но „x“ вече не клони към безкрайност, а към крайно число.

Пример 4

Ограничение за решаване
Първо, нека се опитаме да заместим -1 в дробта:

В този случай се получава така наречената несигурност.

Общо правило : ако числителят и знаменателят съдържат полиноми и има несигурност на формата, тогава да го разкриете трябва да разделите числителя и знаменателя на множители.

За да направите това, най-често трябва да решите квадратно уравнение и/или да използвате формули за съкратено умножение. Ако тези неща са забравени, посетете страницата Математически формули и таблиции прочетете учебния материал Горещи формули училищен курсматематици. Между другото, най-добре е да го отпечатате; изисква се много често и информацията се усвоява по-добре от хартията.

И така, нека решим нашата граница

Разложете на множители числителя и знаменателя

За да разложите числителя на множители, трябва да решите квадратното уравнение:

Първо намираме дискриминанта:

И корен квадратен от него: .

Ако дискриминантът е голям, например 361, използваме калкулатор, функцията за извличане корен квадратенналични на най-простия калкулатор.

! Ако коренът не е извлечен напълно (оказва се дробно числосъс запетая), много вероятно е дискриминантът да е изчислен неправилно или да има правописна грешка в задачата.

След това намираме корените:

По този начин:

Всичко. Числителят е факторизиран.

Знаменател. Знаменателят вече е най-простият фактор и няма начин да го опростим.

Очевидно може да се съкрати до:

Сега заместваме -1 в израза, който остава под знака за ограничение:

Естествено, в тестова работа, по време на контролно или изпит решението никога не се изписва толкова подробно. В крайната версия дизайнът трябва да изглежда така:

Нека разложим числителя на множители.

Пример 5

Изчислете лимита

Първо, „завършената“ версия на решението

Нека разложим числителя и знаменателя на множители.

Числител:
Знаменател:



,

Кое е важното в този пример?
Първо, трябва да разбирате добре как се разкрива числителят, първо извадихме 2 от скобите и след това използвахме формулата за разликата на квадратите. Това е формулата, която трябва да знаете и да видите.

Препоръка: Ако в ограничение (от почти всеки тип) е възможно да извадим число извън скоби, тогава винаги го правим.
Освен това е препоръчително да преместите такива числа отвъд иконата за ограничение. За какво? Да, само за да не пречат. Основното нещо е да не загубите тези числа по-късно по време на решението.

Моля, обърнете внимание, че на последния етап от решението извадих двете от иконата за ограничение и след това минуса.

! важно
По време на решението много често се появява фрагмент от тип. Намалете тази фракциязабранено е . Първо трябва да промените знака на числителя или знаменателя (поставете -1 извън скоби).
, тоест се появява знак минус, който се взема предвид при изчисляване на лимита и изобщо не е необходимо да се губи.

Като цяло забелязах, че най-често при намирането на граници от този тип трябва да решаваме две квадратни уравнения, тоест и числителят, и знаменателят съдържат квадратни тричлени.

Метод за умножение на числител и знаменател чрез спрегнат израз

Продължаваме да разглеждаме несигурността на формата

Следващият тип ограничения е подобен на предишния тип. Единственото нещо, в допълнение към полиномите, ще добавим корени.

Пример 6

Намерете границата

Да започнем да решаваме.

Първо се опитваме да заместим 3 в израза под знака за граница
Повтарям още веднъж - това е първото нещо, което трябва да направите за ВСЕКИ лимит. Това действие обикновено се извършва мислено или в чернова.

Получена е несигурност на формата, която трябва да бъде отстранена.

Както вероятно сте забелязали, нашият числител съдържа разликата на корените. И в математиката е обичайно да се отървете от корените, ако е възможно. За какво? И животът е по-лесен без тях.

Понятия за граници на последователности и функции. Когато е необходимо да се намери границата на редица, се записва така: lim xn=a. В такава поредица от последователности xn клони към a и n клони към безкрайност. Една последователност обикновено се представя като серия, например:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Последователностите са разделени на нарастващи и намаляващи. Например:
xn=n^2 - нарастваща последователност
yn=1/n - последователност
Така, например, границата на последователността xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Тази граница е равна на нула, тъй като n→∞ и редицата 1/n^2 клони към нула.

Обикновено променливата величина x клони към крайна граница a и x непрекъснато се доближава до a, а величината a е постоянна. Това се записва по следния начин: limx =a, докато n може също да клони към нула или безкрайност. Има безкрайни функции, за които границата клони към безкрайност. В други случаи, когато например функцията забавя влак, е възможно ограничението да клони към нула.
Ограниченията имат редица свойства. Обикновено всяка функция има само едно ограничение. Това е основното свойство на лимита. Други са изброени по-долу:
* Лимитът на сумата е равен на сумата от лимитите:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Лимитът на продукта е равен на произведението на лимитите:
lim(xy)=lim x*lim y
* Лимитът на частното е равен на частното на лимитите:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянният коефициент се взема извън граничния знак:
lim(Cx)=C lim x
Дадена е функция 1 /x, в която x →∞, нейната граница е нула. Ако x→0, границата на такава функция е ∞.
За тригонометрични функцииса от тези правила. Тъй като функцията sin x винаги клони към единица, когато се доближава до нула, за нея е валидна идентичността:
lim sin x/x=1

В редица функции има функции, при изчисляването на границите на които възниква несигурност - ситуация, при която границата не може да бъде изчислена. Единственият изход от тази ситуация е L'Hopital. Има два вида несигурност:
* несигурност на формата 0/0
* несигурност на формата ∞/∞
Например, дадена е граница от следната форма: lim f(x)/l(x) и f(x0)=l(x0)=0. В този случай възниква несигурност от формата 0/0. За да се реши такъв проблем, двете функции се диференцират, след което се намира границата на резултата. За несигурности от тип 0/0 границата е:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Същото правило е вярно и за несигурности от типа ∞/∞. Но в този случай е вярно следното равенство: f(x)=l(x)=∞
Използвайки правилото на L'Hopital, можете да намерите стойностите на всякакви граници, в които се появяват несигурности. Предпоставка за

обем - няма грешки при намиране на производни. Така, например, производната на функцията (x^2)" е равна на 2x. От тук можем да заключим, че:
f"(x)=nx^(n-1)