Определения:

Екстремумнаречена максимална или минимална стойностфункции на даден набор.

Екстремална точкаТова е точката, в която се достига максималната или минималната стойност на функцията.

Максимална точкаЕ точката, в която максимална стойностфункции.

Минимална точкаТова е точката, в която се достига минималната стойност на функцията.

Обяснение.

На фигурата, в близост до точката x = 3, функцията достига максималната си стойност (тоест в близост до тази конкретна точка няма точка отгоре). В близост до x = 8 той отново има максимална стойност (отново ще изясним: точно в този квартал няма точка отгоре). В тези точки увеличението се заменя с намаление. Това са максималните точки:

x max = 3, x max = 8.

В околността на точката x = 5 се достига минималната стойност на функцията (тоест в околността на x = 5 няма точка отдолу). В този момент намалението се заменя с увеличение. Това е минималната точка:

Максималните и минималните точки са екстремни точки на функцията, а стойностите на функцията в тези точки са нейните крайности.

Критични и стационарни точки на функцията:

Изисквано екстремно условие:

Достатъчно екстремно условие:

На сегмента функцията г = е(х) може да достигне най-малката или най-голямата стойност в критичните точки или в краищата на сегмента.

Алгоритъм за изследване на непрекъсната функцияг = е(х) за монотонност и екстремум:

Помислете за следната фигура.

Той показва графиката на функцията y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. Да разгледаме някакъв интервал, съдържащ точката x = 0, например от -1 до 1. Такъв интервал се нарича още съседство на точка x = 0. Както можете да видите от графиката, в тази околност функцията y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2 приема най-голямата стойност точно в точката x = 0.

Максимални и минимални функции

В този случай точката x = 0 се нарича максимална точка на функцията. По аналогия с това точката x = 2 се нарича минимална точка на функцията y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. Защото има такъв квартал на тази точка, в който стойността в тази точка ще бъде минималната сред всички останали стойности от тази околия.

точка максимумфункцията f (x) се нарича точка x0, при условие че съществува такава околност на точка x0, че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, неравенството f (x)< f(x0).

точка минимумфункцията f (x) се нарича точка x0, при условие че има такава окръжност на точка x0, че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, е валидно неравенството f (x)> f (x0).

В точките на максимум и минимум на функциите стойността на производната на функцията е равна на нула. Но това не е достатъчно условие за съществуването в точката на максимум или минимум на функцията.

Например, функцията y = x ^ 3 в точката x = 0 има производна, равна на нула. Но точката x = 0 не е минималната или максималната точка на функцията. Както знаете, функцията y = x ^ 3 се увеличава по цялата ос на числата.

По този начин точките на минимума и максимума винаги ще бъдат сред корена на уравнението f '(x) = 0. Но не всички корени на това уравнение ще бъдат точки на максимум или минимум.

Стационарни и критични точки

Точките, в които стойността на производната на функцията е равна на нула, се наричат ​​стационарни точки. Точки на максимум или минимум могат да съществуват и в точки, в които производната на функцията изобщо не съществува. Например, y = | x | в точката x = 0 има минимум, но производната в тази точка не съществува. Тази точка ще бъде критичната точка на функцията.

Критичните точки на функция са точките, в които производната е нула или производната не съществува в тази точка, тоест функцията в тази точка не е диференцируема. За да се намери максимума или минимума на функция, трябва да е изпълнено достатъчно условие.

Нека f (x) е някаква функция, диференцируема на интервала (a; b). Точка x0 принадлежи на този интервал и f '(x0) = 0. Тогава:

1. ако при преминаване през неподвижната точка x0 функцията f (x) и нейната производна сменят знака от "плюс" на "минус", то точката x0 е максималната точка на функцията.

2. ако при преминаване през неподвижната точка x0 функцията f (x) и нейната производна сменят знака от "минус" на "плюс", то точката x0 е минималната точка на функцията.

Критични точкиДали точките, в които производната на функцията е нула или не съществува. Ако производната е 0, тогава функцията в тази точка приема локален минимум или максимум... На графиката в такива точки функцията има хоризонтална асимптота, тоест допирателната е успоредна на оста Ox.

Такива точки се наричат стационарен... Ако видите "гърбица" или "дупка" на графиката на непрекъсната функция, не забравяйте, че максимумът или минимумът се достига в критична точка. Разгледайте следната задача като пример.

Пример 1. Намерете критичните точки на функцията y = 2x ^ 3-3x ^ 2 + 5.
Решение. Алгоритъмът за намиране на критични точки е както следва:

Така че функцията има две критични точки.

Освен това, ако е необходимо да се проведе изследване на функцията, тогава определяме знака на производната отляво и отдясно от критичната точка. Ако производната при преминаване през критичната точка промени знака от "-" на "+", тогава функцията приема локален минимум... Ако от "+" до "-" трябва локален максимум.

Вторият тип критични точкитова са нулите на знаменателя на дробни и ирационални функции

Функции с логаритми и тригонометрични функции, които не са дефинирани в тези точки


Третият тип критични точкиимат непрекъснати функции и модули на парчета.
Например, всяка функция на модула има минимум или максимум в точката на прекъсване.

Например, модулът y = | х -5 | в точката x = 5 има минимум (критична точка).
Производната не съществува в него, а отдясно и отляво приема стойностите съответно 1 и -1.

Опитайте се да идентифицирате критични точки от функции

1)
2)
3)
4)
5)

Ако в отговора получите стойността
1) x = 4;
2) x = -1; x = 1;
3) x = 9;
4) x = Pi * k;
5) x = 1.
тогава вече знаеш как да намерите критични точкии да можете да се справите с прости тестове или тестове.

Домейнът на функцията, изчислете нейната производна, намерете областта на производната на функцията, намерете точкипроизводната изчезва, доказват, че намерените точки принадлежат на областта на изходната функция.

Пример 1 Идентифицирайте критичните точкифункции y = (x - 3) ² · (x-2).

Решение Намерете обхвата на функцията, в този случайбез ограничения: x ∈ (-∞; + ∞); Изчислете производната y ’. Съгласно правилата за диференциране, произведението на две е: y '= ((x - 3) ²)' (x - 2) + (x - 3) ² (x - 2) '= 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3) ² · 1. След като се окаже квадратно уравнение: y ’= 3 · x² - 16 · x + 21.

Намерете областта на производната на функцията: x ∈ (-∞; + ∞) Решете уравнението 3 x² - 16 x + 21 = 0, за да намерите за кое е нула: 3 x² - 16 x + 21 = 0.

D = 256 - 252 = 4x1 = (16 + 2) / 6 = 3; x2 = (16 - 2) / 6 = 7/3 Така че производната изчезва за x 3 и 7/3.

Определете дали намерените предмети принадлежат на точкидомейнът на оригиналната функция. Тъй като x (-∞; + ∞), и двете точкиса критични.

Пример 2 Идентифицирайте критичните точкифункции y = x² - 2 / x.

Решение Област на област на функцията: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞), тъй като x е в знаменателя Изчислете производната y ’= 2 · x + 2 / x².

Областта на производната на функцията е същата като тази на оригиналната: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞) Решете уравнението 2x + 2 / x² = 0: 2x = -2 / x² → x = -1.

И така, производната изчезва при x = -1. Изпълнено е необходимо, но недостатъчно условие за критичност. Тъй като x = -1 попада в интервала (-∞; 0) ∪ (0; + ∞), тогава тази точка е критична.

Източници:

• Критичен обем на продажбите, бр

Много жени страдат от предменструален синдром, който се проявява не само с болезнени усещания, но и с повишен апетит. Като резултат критични дниможе значително да забави процеса на отслабване.

Причини за повишен апетит през критичните дни

Причината за повишаване на апетита през критичните дни е промяна в общия хормонален фон в женското тяло. Няколко дни преди началото на менструацията нивото на хормона прогестерон се повишава, тялото се приспособява към възможното и се опитва да направи допълнителни запаси от енергия под формата на телесни мазнини, дори ако жената е седнала. По този начин промените в теглото в критичните дни са нормални.

Как да се храните по време на менструацията

Опитайте се да не ядете сладкиши, сладкиши и други висококалорични храни, които съдържат "бързи" храни в наши дни. Излишъкът веднага се отлага в мазнини. Много жени през този период наистина искат да ядат шоколад, в този случай можете да си купите черен шоколад и да се поглезите с няколко филийки, но не повече. По време на менструация не трябва да се консумират алкохолни напитки, маринати, кисели краставички, пушени меса, семена и ядки. По принцип киселите краставички и пушените меса трябва да бъдат ограничени в диетата 6-8 дни преди началото на менструацията, тъй като такива храни увеличават водните резерви на тялото и този период се характеризира с увеличаване на натрупването на течности. За да намалите количеството сол в диетата си, добавете възможно най-малко сол към готовите ястия.

Препоръчва се да се ядат нискомаслени млечни продукти, растителни храни, зърнени храни. Боб, варени картофи, ориз - продукти, които съдържат "бавни" въглехидрати, ще бъдат полезни. Морски дарове, черен дроб, риба, говеждо месо, домашни птици, яйца, бобови растения, сушени плодове ще помогнат за попълване на загубите на желязо. Пшеничните трици ще бъдат полезни. Естествена реакция по време на менструация е отокът. Леките диуретични билки ще помогнат за коригиране на състоянието: босилек, копър, магданоз, целина. Могат да се използват като подправка. През втората половина на цикъла се препоръчва да се консумират протеинови продукти (постно месо и риба, млечни продукти), а количеството въглехидрати в диетата трябва да се сведе до минимум.

Икономическа концепция за критичен обем продажбисъответства на позицията на предприятието на пазара, при която приходите от продажба на стоки са минимални. Тази ситуация се нарича точка на рентабилност, когато търсенето на продукти пада и печалбата едва покрива разходите. За определяне на критичния обем продажбиизползвайте няколко метода.

Инструкции

Работният цикъл не се ограничава до неговите дейности - производство или услуги. Това е сложен труд на определена структура, включващ работата на основния персонал, ръководния персонал, управленския персонал и др., както и икономистите, чиято задача е финансовият анализ на предприятието.

Целта на този анализ е да се изчислят някои стойности, които в една или друга степен влияят на размера на крайната печалба. то различни видовеобеми на производство и продажби, пълни и средни, показатели за търсене и др. Основната задача е да се идентифицира такъв обем на производството, при който се установява стабилна връзка между разходите и печалбите.

Минимален обем продажби, при което доходът покрива изцяло разходите, но не се увеличава собствен капитална компанията се нарича критичен обем продажби... Има три метода за изчисляване на метода на този индикатор: метод на уравнения, пределен доход и графичен.

За определяне на критичния обем продажбисъгласно първия метод съставете уравнение от вида: Bn - Zper - Zpos = Pp = 0, където: Bp е приходите от продажбии; Zper и Zpos - променливи и постоянни разходи; Pp - печалба от продажбии.

Според друг метод, първият срок, приходите от продажби, представляват под формата на произведението на пределния доход от единица стока по обем продажбии същото се отнася за променливите разходи. Фиксирани ценисе прилага за цялата партида стоки, така че оставете този компонент общо: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Изразете стойността на N от това уравнение и ще получите критичния обем продажби: N = Zpos / (MD - Zper1), където Zper1 - променливи разходи за единица стока.

Графичният метод предполага изграждане. Приложете върху координатна равнинадва реда: функция на постъпленията от продажбиминус както разходите, така и функцията печалба. На абсцисата нанесете обема на производството, а по ординатата — дохода от съответното количество стоки, изразен в парични единици. Пресечната точка на тези линии съответства на критичния обем продажби, позицията на рентабилност.

Източници:

• как да идентифицираме критична работа

Критичното мислене е съвкупност от преценки, въз основа на които се формират определени заключения и се прави оценка на обектите на критика. Особено характерно е за изследователи и учени от всички клонове на науката. Критичното мислене заема по-високо ниво от обикновеното мислене.

Стойността на опита при формирането на критично мислене

Трудно е да анализирате и да правите заключения за това, в което не сте запознат. Следователно, за да се научим да мислим критично, е необходимо да изучаваме обектите във всички възможни връзки и взаимоотношения с други явления. И голямо значениев този случай има познания за такива обекти, способност да изгражда логически вериги от преценка и да прави разумни заключения.

Например, за да прецените стойността произведение на изкуствотовъзможно е само познаването на много други плодове на литературната дейност. В същото време не е лошо да си експерт по история на човешкото развитие, формирането на литературата и литературната критика. Отделено от историческия контекст, едно произведение може да загуби смисъла си. За да бъде оценката на едно художествено произведение достатъчно пълна и обоснована, е необходимо да използвате и вашите литературни познания, които включват правилата за конструиране художествен текств рамките на отделни жанрове, система от различни литературни похвати, класификация и анализ на съществуващи стилове и направления в литературата и др. В същото време е важно да се проучи вътрешната логика на сюжета, последователността на действията, подредбата и взаимодействието на героите на художественото произведение.

Характеристики на критичното мислене

Други характеристики на критичното мислене включват следното:
- знанието за изучавания обект е само отправна точка за по-нататъшна мозъчна дейност, свързана с изграждането на логически вериги;
- последователно изградената и базирана на здравия разум разсъждения води до идентифициране на вярна и погрешна информация за изследвания обект;
- критичното мислене винаги е свързано с оценката на наличната информация за този обекти съответните заключения, оценката от своя страна е свързана със съществуващите умения.

За разлика от обикновеното мислене, критичното не подлежи на сляпа вяра. Критичното мислене позволява с помощта на цяла система от преценки за обекта на критика да се разбере неговата същност, да се разкрие истинското знание за него и да се опровергае фалшивото. Тя се основава на логика, дълбочина и пълнота на изследването, истинност, адекватност и последователност на преценките. В същото време очевидните и отдавна доказани твърдения се приемат като постулати и не изискват многократно доказване и оценка.

В предишните разсъждения изобщо не използвахме техническите методи на диференциалното смятане.

Трудно е да не признаем, че нашите елементарни методи са по-прости и по-преки от методите за анализ. Като цяло, когато се занимавате с конкретен научен проблем, е по-добре да се изхожда от неговите индивидуални характеристики, отколкото да се разчита само на общи методивъпреки че, от друга страна, общ принципизясняването на значението на прилаганите специални процедури, разбира се, винаги трябва да играе водеща роля. Точно това е смисълът на методите на диференциалното смятане при разглеждане на екстремни задачи. Наблюдаван в съвременната наукастремежът към обобщение е само едната страна на въпроса, тъй като това, което е наистина жизненоважно в математиката, несъмнено е обусловено от индивидуалните характеристики на използваните проблеми и методи.

В неговия историческо развитиедиференциалното смятане е изпитало в много голяма степен въздействието на отделни проблеми, свързани с намирането на най-големите и най-малките стойности на количествата. Връзката между екстремните проблеми и диференциалното смятане може да се разбере по следния начин. В глава VIII ще проучим задълбочено производната f "(x) на функцията f (x) и нейното геометрично значение. Там ще видим, че накратко производната f" (x) е наклонът на допирателната към крива y = f (x)в точката (x, y). Геометрично е очевидно, че в максималната или минималната точка на гладката крива y = f (x)допирателната към кривата трябва да е хоризонтална, тоест наклонът трябва да е нула. Така за точките на екстремум получаваме условието f "(x) = 0.

За да разберете ясно какво означава изчезването на производната f "(x), разгледайте кривата, показана на фиг. 191. Тук виждаме пет точки A, B, C, D,?, в които допирателната към кривата е хоризонтално ; обозначете съответните стойности на f (x) в тези точки с а б В Г Д. Най-висока стойност f (x) (в рамките на показаната на чертежа площ) се постига в точка D, най-малката в точка A. В точка B има максимум - в смисъл, че във всички точки някакъв кварталв точка B, f (x) е по-малко от b, въпреки че в точки, близки до D, f (x) все още е по-голямо от b. Поради тази причина е прието да се казва, че в точка Б има относителна максимална функция f (x), докато в точка D - абсолютен максимум.По същия начин в точка C, относителен минимум,и в точка А - абсолютният минимум.И накрая, що се отнася до точка E, в нея няма нито максимум, нито минимум, въпреки че равенството f "(x) = Q, От това следва, че изчезването на производната f "(x) е необходимоно изобщо не достатъчноусловие за поява на екстремум на гладка функция f (x); с други думи, във всяка точка, където има екстремум (абсолютен или относителен), равенството f "(x) = 0но не във всяка точка, където f "(x) = 0, трябва да има екстремум. Тези точки, в които производната f "(x) изчезва, независимо дали имат екстремум, се наричат стационарен.По-нататъшният анализ води до повече или по-малко сложни условия относно по-високите производни на функцията f (x) и напълно характеризиращи максимумите, минимумите и други стационарни точки.