Giriş seviyesi

Derece ve özellikleri. Kapsamlı rehber (2019)

Derecelere neden ihtiyaç duyulur? Onlara nerede ihtiyacınız olacak? Bunları incelemek için neden zaman ayırmalısınız?

Dereceler hakkında her şeyi, ne işe yaradıklarını, bilginizi eğitimde nasıl kullanacağınızı öğrenmek günlük yaşam bu makaleyi okuyun.

Ve elbette derece bilgisi sizi başarıya yaklaştıracaktır OGE'yi geçmek veya Birleşik Devlet Sınavı ve hayallerinizdeki üniversiteye kabul.

Hadi gidelim... (Hadi gidelim!)

Önemli not! Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Bunu yapmak için CTRL+F5 (Windows'ta) veya Cmd+R (Mac'te) tuşlarına basın.

GİRİŞ SEVİYESİ

Bir güce yükselmek aynıdır matematiksel işlem toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi.

Şimdi her şeyi insan dilinde açıklayacağım basit örnekler. Dikkat olmak. Örnekler basit ama önemli şeyleri açıklıyor.

Eklemeyle başlayalım.

Burada açıklanacak bir şey yok. Zaten her şeyi biliyorsun: sekiz kişiyiz. Herkesin iki şişe kolası var. Ne kadar kola var? Bu doğru - 16 şişe.

Şimdi çarpma.

Kola ile aynı örneği farklı şekilde yazabiliriz: . Matematikçiler kurnaz ve tembel insanlardır. Önce bazı kalıpları fark ediyorlar, sonra bunları daha hızlı "saymanın" bir yolunu buluyorlar. Bizim durumumuzda sekiz kişiden her birinin aynı sayıda kola şişesine sahip olduğunu fark ettiler ve çarpma adı verilen bir teknik geliştirdiler. Katılıyorum, bundan daha kolay ve daha hızlı kabul ediliyor.

Yani daha hızlı, daha kolay ve hatasız saymak için sadece şunu hatırlamanız gerekir: çarpım tablosu. Elbette her şeyi daha yavaş, daha zor ve hatalarla yapabilirsiniz! Ancak…

İşte çarpım tablosu. Tekrarlamak.

Ve bir tane daha, daha güzeli:

Başka hangileri? kurnaz hileler Hesaplar tembel matematikçiler tarafından mı icat edildi? Sağ - bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek.

Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek

Bir sayıyı kendisiyle beş kez çarpmak gerekiyorsa matematikçiler bu sayının beşinci kuvvetine çıkarmanız gerektiğini söylerler. Örneğin, . Matematikçiler ikinin beşinci kuvvetinin... Ve bu tür sorunları kafalarında çözüyorlar - daha hızlı, daha kolay ve hatasız.

Tek yapmanız gereken sayıların kuvvetleri tablosunda neyin renkli olarak vurgulandığını hatırlayın. İnanın bu hayatınızı çok kolaylaştıracak.

Bu arada neden ikinci derece deniyor? kare sayılar ve üçüncüsü - küp? Bu ne anlama geliyor? Çok iyi soru. Artık hem karelere hem de küplere sahip olacaksınız.

Gerçek hayattan örnek #1

Sayının karesi veya ikinci kuvvetiyle başlayalım.

Bir metreye bir metre ölçülerinde kare bir havuz hayal edin. Havuz sizin kulübenizde. Hava sıcak ve gerçekten yüzmek istiyorum. Ama... havuzun dibi yok! Havuzun altını fayanslarla kaplamanız gerekiyor. Kaç tane fayansa ihtiyacınız var? Bunu belirlemek için havuzun taban alanını bilmeniz gerekir.

Havuzun tabanının metre metre küplerden oluştuğunu parmağınızla işaret ederek kolayca hesaplayabilirsiniz. Bir metreye bir metrelik fayanslarınız varsa parçalara ihtiyacınız olacaktır. Çok kolay... Peki bu tür fayansları nerede gördünüz? Fayans büyük olasılıkla cm x cm olacak ve sonra "parmağınızla sayarak" işkence göreceksiniz. O zaman çoğalmanız gerekir. Böylece havuzun tabanının bir tarafına fayans (parçalar), diğer tarafına da fayans yerleştireceğiz. İle çarptığınızda fayans () elde edersiniz.

Havuz tabanının alanını belirlemek için aynı sayıyı kendisiyle çarptığımızı fark ettiniz mi? Bu ne anlama geliyor? Aynı sayıyı çarptığımız için “üs alma” tekniğini kullanabiliriz. (Elbette, yalnızca iki sayınız olduğunda, yine de bunları çarpmanız veya bir üssüne çıkarmanız gerekir. Ancak sayıların çoğuna sahipseniz, o zaman onları bir üssüne yükseltmek çok daha kolaydır ve ayrıca hesaplamalarda daha az hata olur. . Birleşik Devlet Sınavı için bu çok önemlidir).
Yani otuz üzeri ikinci kuvvet () olacaktır. Ya da otuzun karesi olacak diyebiliriz. Başka bir deyişle, bir sayının ikinci kuvveti her zaman kare olarak gösterilebilir. Ve tam tersi, eğer bir kare görürseniz, bu HER ZAMAN bir sayının ikinci kuvvetidir. Kare, bir sayının ikinci kuvvetinin görüntüsüdür.

Gerçek hayattan örnek #2

İşte size bir görev: Sayının karesini kullanarak satranç tahtasında kaç kare olduğunu sayın... Hücrelerin bir tarafında ve diğer tarafında da. Sayılarını hesaplamak için sekizi sekizle çarpmanız gerekir veya... eğer satranç tahtasının bir kenarı olan bir kare olduğunu fark ederseniz, o zaman sekizin karesini alabilirsiniz. Hücreleri alacaksınız. () Bu yüzden?

Gerçek hayattan örnek #3

Şimdi bir sayının küpü veya üçüncü kuvveti. Aynı havuz. Ama şimdi bu havuza ne kadar su dökülmesi gerektiğini öğrenmeniz gerekiyor. Hacmi hesaplamanız gerekir. (Bu arada hacimler ve sıvılar ölçülür metreküp. Beklenmedik, değil mi?) Bir havuz çizin: bir metre ölçülerinde bir taban ve bir metre derinlikte ve havuzunuza bir metreye bir metre ölçülerinde kaç küpün sığacağını saymaya çalışın.

Sadece parmağınızı doğrultun ve sayın! Bir, iki, üç, dört...yirmi iki, yirmi üç...Kaç tane aldın? Kayıp değil mi? Parmağınızla saymak zor mu? İşte bu! Matematikçilerden bir örnek alın. Tembeller, bu yüzden havuzun hacmini hesaplamak için uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini birbiriyle çarpmanız gerektiğini fark ettiler. Bizim durumumuzda havuzun hacmi küplere eşit olacaktır... Daha kolay değil mi?

Şimdi bunu da basitleştirirlerse matematikçilerin ne kadar tembel ve kurnaz olacağını hayal edin. Her şeyi tek bir eyleme indirgedik. Uzunluk, genişlik ve yüksekliğin eşit olduğunu ve aynı sayının kendisiyle çarpıldığını fark ettiler... Bu ne anlama geliyor? Bu, derecenin avantajlarından yararlanabileceğiniz anlamına gelir. Yani bir zamanlar parmağınızla saydığınız şeyi tek bir hareketle yapıyorlar: Üçün küpü eşittir. Şu şekilde yazılmıştır: .

Geriye kalan tek şey derece tablosunu hatırla. Tabii matematikçiler kadar tembel ve kurnaz değilseniz. Çok çalışmayı ve hata yapmayı seviyorsanız parmağınızla saymaya devam edebilirsiniz.

Sonunda sizi, derecelerin pes edenler ve kurnaz insanlar tarafından yaşam sorunlarını çözmek ve size sorun yaratmak için icat edilmediğine ikna etmek için, işte hayattan birkaç örnek daha.

Gerçek hayattan örnek #4

Bir milyon rublen var. Her yılın başında kazandığınız her milyona karşılık bir milyon daha kazanırsınız. Yani her milyonunuz her yılın başında ikiye katlanır. Yıllar içinde ne kadar paranız olacak? Eğer şimdi oturuyorsanız ve "parmağınızla sayıyorsanız" o zaman çok çalışkan bir insansınız ve... aptalsınız. Ama büyük olasılıkla birkaç saniye içinde cevap vereceksiniz çünkü akıllısınız! Yani, ilk yılda - iki çarpı iki... ikinci yılda - ne oldu, ikiyle daha, üçüncü yılda... Durun! Sayının kendisi ile çarpıldığını fark ettiniz. Yani ikinin beşinci kuvveti bir milyondur! Şimdi hayal edin, bir yarışmanız var ve en hızlı sayabilen bu milyonları alacak... Sayıların kuvvetlerini hatırlamakta fayda var değil mi?

Gerçek hayattan örnek #5

Bir milyonun var. Her yılın başında kazandığınız her milyona karşılık iki tane daha kazanırsınız. Harika değil mi? Her milyon üçe katlanır. Bir yılda ne kadar paran olacak? Hadi sayalım. İlk yıl - çarpın, sonra sonucu başka biriyle çarpın... Zaten sıkıcı, çünkü zaten her şeyi anladınız: üç, kendisiyle çarpılır. Yani dördüncü kuvveti bir milyona eşittir. Sadece üçün dördüncü kuvvetinin veya olduğunu hatırlamanız gerekiyor.

Artık bir sayıyı bir kuvvete yükselterek hayatınızı çok daha kolaylaştıracağınızı biliyorsunuz. Derecelerle neler yapabileceğinize ve bunlar hakkında bilmeniz gerekenlere daha detaylı bir göz atalım.

Terimler ve kavramlar... kafanızın karışmaması için

O halde öncelikle kavramları tanımlayalım. Sizce üs nedir? Çok basit; sayının kuvvetinin "en üstünde" olan sayıdır. Bilimsel değil ama açık ve hatırlanması kolay...

Peki aynı zamanda ne böyle bir derece temeli? Daha da basit - bu, tabanda aşağıda bulunan sayıdır.

İşte iyi bir önlem için bir çizim.

Peki genel görünüm, genelleme yapmak ve daha iyi hatırlamak adına... Tabanı " " ve üssü " " olan derece, "dereceye" olarak okunur ve şu şekilde yazılır:

Doğal üssü olan bir sayının kuvveti

Muhtemelen zaten tahmin etmişsinizdir: çünkü üs bir doğal sayıdır. Evet ama nedir bu doğal sayı? İlköğretim! Doğal sayılar, nesneleri sıralarken saymada kullanılan sayılardır: bir, iki, üç... Nesneleri sayarken “eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” demeyiz. Ayrıca “üçte bir” ya da “sıfır nokta beş” demiyoruz. Bunlar doğal sayılar değil. Sizce bunlar hangi rakamlar?

“Eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” gibi sayılar tam sayılar. Genel olarak tamsayılar, tüm doğal sayıları, doğal sayıların karşısındaki sayıları (yani eksi işaretiyle alınan) ve sayıları içerir. Sıfırın anlaşılması kolaydır; hiçbir şeyin olmadığı zamandır. Negatif (“eksi”) sayılar ne anlama geliyor? Ancak bunlar öncelikle borçları belirtmek için icat edildi: Telefonunuzda ruble cinsinden bakiyeniz varsa, bu, operatöre ruble borçlu olduğunuz anlamına gelir.

Bütün kesirler rasyonel sayılardır. Sizce nasıl ortaya çıktılar? Çok basit. Birkaç bin yıl önce atalarımız uzunluk, ağırlık, alan vb. ölçmek için doğal sayıların eksik olduğunu keşfettiler. Ve şunu buldular rasyonel sayılar... İlginç, değil mi?

İrrasyonel sayılar da vardır. Bu sayılar nedir? Kısacası sonsuz ondalık. Örneğin bir dairenin çevresini çapına bölerseniz irrasyonel bir sayı elde edersiniz.

Sürdürmek:

Üssü doğal sayı (yani tamsayı ve pozitif) olan derece kavramını tanımlayalım.

1. Herhangi bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir:
2. Bir sayının karesini almak, onu kendisiyle çarpmak anlamına gelir:
3. Bir sayının küpü, onu kendisiyle üç kez çarpmak anlamına gelir:

Tanım. Sayıyı yükseltin doğal derece- bir sayının kendisi ile çarpılması anlamına gelir:
.

Derecelerin özellikleri

Bu özellikler nereden geldi? Şimdi sana göstereceğim.

Bakalım: nedir bu Ve ?

Tanım gereği:

Toplamda kaç çarpan var?

Çok basit: Faktörlere çarpanlar ekledik ve sonuç çarpanlardı.

Ancak tanım gereği bu, üslü bir sayının kuvvetidir, yani: kanıtlanması gereken şey budur.

Örnek: İfadeyi basitleştirin.

Çözüm:

Örnek:İfadeyi basitleştirin.

Çözüm: Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı sebepler olmalı!
Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:

sadece güçlerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.

2. işte bu bir sayının kuvveti

Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:

İfadenin kendisi ile çarpıldığı ortaya çıktı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvvetidir:

Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız:

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik?

Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı güç

Buraya kadar sadece üssün ne olması gerektiğini tartıştık.

Ama temeli ne olmalı?

yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir sayı. Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz.

Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ? İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ama eğer çarparsak işe yarar.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

Başarabildin mi?

İşte yanıtlar: İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Basitçe tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir.

Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil!

Uygulamaya yönelik 6 örnek

Çözümün analizi 6 örnek

Sekizinci kuvveti göz ardı edersek burada ne görürüz? 7. sınıf programını hatırlayalım. Peki hatırlıyor musun? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkıdır! Şunu elde ederiz:

Paydaya dikkatlice bakalım. Pay faktörlerinden birine çok benziyor ama sorun ne? Terimlerin sırası yanlış. Tersine çevrilmeleri durumunda kural geçerli olabilir.

Peki bu nasıl yapılır? Bunun çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu “olgu” her ifade için eşit derecede geçerlidir: Parantez içindeki işaretleri kolaylıkla değiştirebiliriz.

Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Tüm doğal sayılara, onların karşıtlarına (yani " " işaretiyle alınanlara) ve sayı diyoruz.

tüm pozitif sayı ve doğal olandan hiçbir farkı yok, o zaman her şey tam olarak önceki bölümdeki gibi görünüyor.

Şimdi yeni vakalara bakalım. Eşit bir göstergeyle başlayalım.

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir:

Her zaman olduğu gibi kendimize şu soruyu soralım: Neden böyle?

Bir tabanı olan bir dereceyi düşünelim. Örneğin şunu alın ve şununla çarpın:

Yani sayıyı ile çarptık ve - ile aynı sonucu elde ettik. Hiçbir şeyin değişmemesi için hangi sayıyla çarpmanız gerekir? Aynen öyle. Araç.

Aynısını isteğe bağlı bir sayıyla da yapabiliriz:

Kuralı tekrarlayalım:

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir.

Ancak birçok kuralın istisnaları vardır. Ve burada da orada - bu bir sayıdır (temel olarak).

Bir yandan herhangi bir dereceye eşit olmalı - sıfırı kendisiyle ne kadar çarparsanız çarparsanız çarpın yine sıfır elde edeceksiniz, bu açık. Ancak öte yandan herhangi bir sayının sıfır üssü gibi eşit olması gerekir. Peki bunun ne kadarı doğru? Matematikçiler bu işe karışmamaya karar verdiler ve sıfırın sıfır kuvvetini yükseltmeyi reddettiler. Yani artık sadece sıfıra bölmekle kalmıyoruz, aynı zamanda sıfırıncı kuvvetine de çıkarıyoruz.

Devam edelim. Tam sayılar, doğal sayılar ve sayıların yanı sıra negatif sayıları da içerir. Negatif derecenin ne olduğunu anlamak için geçen seferki gibi yapalım: normal bir sayıyı aynı sayıyla çarpalım. negatif derece:

Buradan aradığınızı ifade etmek kolaydır:

Şimdi ortaya çıkan kuralı keyfi bir dereceye kadar genişletelim:

O halde bir kural oluşturalım:

Negatif kuvvete sahip bir sayı, aynı sayının pozitif kuvvete sahip tersidir. Ama aynı zamanda Taban boş olamaz:(çünkü bölemezsiniz).

Özetleyelim:

I. İfade durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

II. Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir: .

III. Sıfırın negatif kuvvetine eşit olmayan bir sayı, aynı sayının pozitif kuvvetinin tersidir: .

Bağımsız çözüm için görevler:

Her zamanki gibi bağımsız çözümlere örnekler:

Bağımsız çözüm için problemlerin analizi:

Biliyorum, rakamlar korkutucu ama Birleşik Devlet Sınavında her şeye hazırlıklı olmalısınız! Bu örnekleri çözün veya çözemediyseniz çözümlerini inceleyin, sınavda bunlarla kolayca baş etmeyi öğreneceksiniz!

Üslü olarak “uygun” sayı aralığını genişletmeye devam edelim.

Şimdi düşünelim rasyonel sayılar. Hangi sayılara rasyonel denir?

Cevap: Kesir olarak temsil edilebilecek her şey, burada ve tam sayıdır ve.

Ne olduğunu anlamak için "kesirli derece", kesri düşünün:

Denklemin her iki tarafının da üssünü alalım:

Şimdi şu kuralı hatırlayalım: "dereceden dereceye":

Almak için hangi sayının bir güce yükseltilmesi gerekir?

Bu formülasyon inci derecenin kökünün tanımıdır.

Size hatırlatmama izin verin: bir sayının () inci kuvvetinin kökü, bir kuvvete yükseltildiğinde eşit olan bir sayıdır.

Yani, inci kuvvetin kökü, bir kuvvete yükseltme işleminin ters işlemidir: .

Öyle görünüyor. Açıkçası bu özel durum genişletilebilir: .

Şimdi payı ekliyoruz: nedir bu? Güç-güç kuralını kullanarak cevabı elde etmek kolaydır:

Peki taban herhangi bir sayı olabilir mi? Sonuçta tüm sayıların kökü çıkarılamaz.

Hiçbiri!

Kuralı hatırlayalım: Çift kuvvete yükseltilen herhangi bir sayı pozitif bir sayıdır. Yani negatif sayılardan çift kök çıkarmak imkansızdır!

Bu, bu tür sayıların çift paydayla kesirli kuvvetine yükseltilemeyeceği, yani ifadenin anlamlı olmadığı anlamına gelir.

Peki ya ifade?

Ancak burada bir sorun ortaya çıkıyor.

Sayı, örneğin veya gibi diğer indirgenebilir kesirler biçiminde temsil edilebilir.

Ve var olduğu, ancak olmadığı ortaya çıktı, ancak bunlar aynı sayının sadece iki farklı kaydı.

Veya başka bir örnek: Bir kez, sonra yazabilirsiniz. Ancak göstergeyi farklı yazarsak başımız yine belaya girer: (yani tamamen farklı bir sonuç elde ettik!).

Bu tür paradokslardan kaçınmak için şunu düşünüyoruz: kesirli üslü tek pozitif tabanlı üs.

Yani eğer:

• — doğal sayı;
• - tamsayı;

Örnekler:

Rasyonel üsler, kökleri olan ifadeleri dönüştürmek için çok kullanışlıdır, örneğin:

Uygulamaya yönelik 5 örnek

Eğitim için 5 örneğin analizi

Eh, şimdi en zor kısım geliyor. Şimdi çözeceğiz derece c irrasyonel gösterge .

Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, istisna dışında, rasyonel üslü bir dereceyle tamamen aynıdır.

Sonuçta, tanım gereği irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır; burada ve tamsayılardır (yani, irrasyonel sayıların rasyonel olanlar dışında tümü gerçek sayılardır).

Doğal, tam sayı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her defasında daha tanıdık terimlerle belirli bir "imge", "analoji" veya açıklama yarattık.

Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır;

...sayının sıfırıncı kuvveti- bu, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının kendisinin henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirli bir "boş sayıdır" yani bir sayı;

...negatif tamsayı derecesi- sanki bir şey olmuş gibi " ters süreç"yani sayı kendisiyle çarpılmadı, bölündü.

Bu arada, bilimde karmaşık üslü bir derece sıklıkla kullanılır, yani üs gerçek bir sayı bile değildir.

Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.

NEREYE GİDECEĞİNİZDEN EMİN OLDUĞUMUZ! (bu tür örnekleri çözmeyi öğrenirseniz :))

Örneğin:

Kendiniz karar verin:

Çözümlerin analizi:

1. Bir gücü bir güce yükseltmek için olağan kuralla başlayalım:

Şimdi göstergeye bakın. Sana hiçbir şey hatırlatmıyor mu? Kareler farkının kısaltılmış çarpımı formülünü hatırlayalım:

Bu durumda,

Şu ortaya çıkıyor:

Cevap: .

2. Üslü kesirleri aynı forma indirgeriz: ya her iki ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunu elde ederiz:

Cevap: 16

3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini kullanıyoruz:

İLERİ SEVİYE

Derecenin belirlenmesi

Derece, şu formun bir ifadesidir: , burada:

• — derece tabanı;
• - üs.

Doğal göstergeli derece (n = 1, 2, 3,...)

Bir sayıyı n'nin doğal kuvvetine yükseltmek, sayıyı kendisi ile çarpmak anlamına gelir:

Tam sayı üssü olan derece (0, ±1, ±2,...)

Üs ise pozitif tamsayı sayı:

Yapı sıfır dereceye kadar:

İfade belirsizdir, çünkü bir yanda herhangi bir dereceye kadar bu, diğer yanda ise herhangi bir sayının 1. derecesine kadar bu olur.

Üs ise negatif tamsayı sayı:

(çünkü bölemezsiniz).

Bir kez daha sıfırlar hakkında: ifade bu durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

Örnekler:

Rasyonel üslü kuvvet

• — doğal sayı;
• - tamsayı;

Örnekler:

Derecelerin özellikleri

Sorunları çözmeyi kolaylaştırmak için şunu anlamaya çalışalım: Bu özellikler nereden geldi? Bunları kanıtlayalım.

Bakalım: nedir ve?

Tanım gereği:

Yani bu ifadenin sağ tarafında aşağıdaki çarpımı elde ederiz:

Ancak tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir, yani:

Q.E.D.

Örnek : İfadeyi basitleştirin.

Çözüm : .

Örnek : İfadeyi basitleştirin.

Çözüm : Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı sebepler olmalı. Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:

Bir başka önemli not: bu kural - yalnızca güçlerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.

Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:

Bu çalışmayı şu şekilde yeniden gruplayalım:

İfadenin kendisi ile çarpıldığı ortaya çıktı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvvetidir:

Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız: !

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik? Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı güç.

Bu noktaya kadar sadece nasıl olması gerektiğini tartıştık. gösterge derece. Ama temeli ne olmalı? yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir sayı .

Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz. Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ?

İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ancak () ile çarparsak - elde ederiz.

Ve bu böyle sonsuza kadar devam eder: Sonraki her çarpma işleminde işaret değişecektir. Aşağıdakileri formüle edebiliriz basit kurallar:

1. eşit derece, - sayı olumlu.
2. Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı negatif.
3. Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı pozitif bir sayıdır.
4. Sıfırın herhangi bir kuvveti sıfıra eşittir.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

Başarabildin mi? İşte yanıtlar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Basitçe tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.

Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir. Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil. Burada hangisinin daha az olduğunu bulmanız gerekiyor: veya? Bunu hatırlarsak, netleşir ve dolayısıyla temel sıfırdan az. Yani kural 2'yi uyguluyoruz: sonuç negatif olacak.

Ve yine derecenin tanımını kullanıyoruz:

Her şey her zamanki gibi - derecelerin tanımını yazıyoruz ve bunları birbirine bölüyoruz, çiftlere ayırıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Son kurala bakmadan önce birkaç örnek çözelim.

İfadeleri hesaplayın:

Çözümler :

Sekizinci kuvveti göz ardı edersek burada ne görürüz? 7. sınıf programını hatırlayalım. Peki hatırlıyor musun? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkıdır!

Şunu elde ederiz:

Paydaya dikkatlice bakalım. Pay faktörlerinden birine çok benziyor ama sorun ne? Terimlerin sırası yanlış. Eğer bunlar tersine çevrilseydi Kural 3 geçerli olabilirdi. Ama nasıl? Bunun çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Bunu çarparsanız hiçbir şey değişmez, değil mi? Ama şimdi durum şu şekilde ortaya çıkıyor:

Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu “olgu” her ifade için eşit derecede geçerlidir: Parantez içindeki işaretleri kolaylıkla değiştirebiliriz. Ancak şunu hatırlamak önemlidir: Tüm işaretler aynı anda değişir! Hoşumuza gitmeyen tek bir dezavantajı değiştirerek onu değiştiremezsiniz!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Şimdi son kural:

Bunu nasıl kanıtlayacağız? Elbette her zamanki gibi: Derece kavramını genişletelim ve basitleştirelim:

Şimdi parantezleri açalım. Toplamda kaç harf var? çarpanlara göre çarpı - bu size neyi hatırlatıyor? Bu bir operasyonun tanımından başka bir şey değil çarpma: Orada sadece çarpanlar vardı. Yani, tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir:

Örnek:

İrrasyonel üslü derece

Ortalama seviye için derecelerle ilgili bilgilere ek olarak, dereceyi irrasyonel bir üsle analiz edeceğiz. Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, rasyonel üslü bir derece ile tamamen aynıdır; ancak, sonuçta, tanım gereği, irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır; burada ve tamsayılardır (yani irrasyonel sayılar, rasyonel sayılar dışında tüm gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayılı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle belirli bir "görüntü", "analoji" veya açıklama yarattık. Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır; sıfır üssü bir sayı, olduğu gibi, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının kendisinin henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirlidir “boş sayı”, yani bir sayı; tamsayı negatif üssü olan bir derece - sanki bir tür "tersine süreç" gerçekleşmiş gibi, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.

İrrasyonel bir üste sahip bir dereceyi hayal etmek son derece zordur (tıpkı 4 boyutlu bir uzayı hayal etmenin zor olması gibi). Daha ziyade matematikçilerin derece kavramını tüm sayılar uzayına yaymak için yarattığı tamamen matematiksel bir nesnedir.

Bu arada, bilimde sıklıkla karmaşık üslü bir derece kullanılır, yani üs gerçek bir sayı bile değildir. Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.

Peki irrasyonel bir üs görürsek ne yaparız? Bundan kurtulmak için elimizden geleni yapıyoruz :)

Örneğin:

Kendiniz karar verin:

Cevaplar:

1. Kareler farkı formülünün farkını hatırlayalım. Cevap: .
2. Kesirleri aynı forma indirgeriz: ya her ikisi de ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunu elde ederiz: .
3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini kullanıyoruz:

BÖLÜMÜN ÖZETİ VE TEMEL FORMÜLLER

Derece formun ifadesi olarak adlandırılır: , burada:

Tamsayı üssü olan derece

üssü bir doğal sayı olan (yani tamsayı ve pozitif) bir derece.

Rasyonel üslü kuvvet

Üssü negatif ve kesirli sayılar olan derece.

İrrasyonel üslü derece

üssü sonsuz bir ondalık kesir veya kök olan bir derece.

Derecelerin özellikleri

Derecelerin özellikleri.

• Negatif sayı yükseltildi eşit derece, - sayı olumlu.
• Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı negatif.
• Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı pozitif bir sayıdır.
• Sıfır herhangi bir kuvvete eşittir.
• Herhangi bir sayının sıfır kuvveti eşittir.

ARTIK SÖZ SİZDE...

Makaleyi nasıl buldunuz? Beğenip beğenmediğinizi aşağıya yorum olarak yazın.

Derece özelliklerini kullanma deneyiminizi bize anlatın.

Belki sorularınız vardır. Veya öneriler.

Yorumlara yazın.

Ve sınavlarınızda iyi şanslar!

Bilgi patlaması Biyolojide - Petri kabındaki mikrop kolonileri Avustralya'da Tavşanlar Zincir reaksiyonlar - kimyada Fizikte - radyoaktif bozunma, değişim atmosferik basınç rakım değişikliği ile vücudun soğuması - radyoaktif bozunma, rakım değişikliği ile atmosfer basıncının değişmesi, vücudun soğuması. Adrenalinin kana karışması ve yok edilmesi. Ayrıca bilgi miktarının her 10 yılda bir ikiye katlandığını iddia ediyorlar.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5

İfade 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = 0,5 = 1/2 3,5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1,…1; 1,7 1,73; 1.732;1.73205; 1, ;… dizi artar 2 1 ; 2 1,7; 2 1,73 ;2 1,732 ; 2 1.73205; 2 1, ;… dizi Sınırlı olarak artar, yani bir limite yakınsar - 2 3 değerine

π 0 tanımlanabilir

10 10 18 Fonksiyonun özellikleri y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Fonksiyonun özellikleri y = a x n \ n a >10 21

Bilgi miktarı her 10 yılda bir iki katına çıkar. Öküz ekseni boyunca - aritmetik ilerleme yasasına göre: 1,2,3,4…. Oy ekseni boyunca - yasaya göre geometrik ilerleme: 2 1,2 2,2 3,2 4 ... Üstel bir fonksiyonun grafiğine üs adı verilir (Latince exponere - gösteriş yapmak anlamına gelir)

Rasyonel üssü olan bir derece, özellikleri.

İfade a n n≤0 için a=0 durumu dışında tüm a ve n için tanımlanır. Bu tür güçlerin özelliklerini hatırlayalım.

Herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tam sayısı için eşitlikler geçerlidir:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (bir m) n = bir mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Ayrıca aşağıdaki özelliğe de dikkat edin:

Eğer m>n ise a>1 için a m >an n ve a m<а n при 0<а<1.

Bu bölümde 2. tür ifadelere anlam vererek bir sayının kuvvetleri kavramını genelleştireceğiz. 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 vb. Rasyonel üslü kuvvetlerle tamsayı üslü kuvvetlerle aynı özelliklere (veya en azından bir kısmına) sahip olacak şekilde bir tanım vermek doğaldır. O halde, özellikle sayının n'inci kuvvetia'ya eşit olmalı M . Gerçekten eğer mülk

(a p) q =a pq

idam edilir, ardından

Son eşitlik (n'inci kökün tanımı gereği) sayının şu anlama gelir:a'nın n'inci kökü olmalı M.

Tanım.

M'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu (n > 1) rasyonel üssü r= olan bir a>0 sayısının kuvveti, sayıdır.

Yani tanım gereği

(1)

0'ın kuvveti yalnızca pozitif üsler için tanımlanır; tanım gereği 0 Herhangi bir r>0 için r = 0.

İrrasyonel üslü derece.

İrrasyonel sayışeklinde temsil edilebilirrasyonel sayılar dizisinin limiti: .

İzin vermek . Sonra rasyonel üssü olan kuvvetler var. Bu kuvvetlerin dizisinin yakınsak olduğu kanıtlanabilir. Bu dizinin limitine denir taban ve irrasyonel üslü derece: .

y = 2 fonksiyonunun grafiği üzerinde birkaç nokta çizelim X daha önce bir hesap makinesi kullanarak 2 değerini hesaplamış olmak X segmentte [—2; 3] 1/4'lük bir adımla (Şekil 1, a) ve ardından 1/8'lik bir adımla (Şekil 1, b) 1/16, 1/32'lik adımlarla aynı yapıları zihinsel olarak sürdürmek, vb., ortaya çıkan noktaların, doğal olarak bazı fonksiyonların grafiği olarak kabul edilebilecek, tüm sayı doğrusu boyunca tanımlı ve artan ve değer alan düzgün bir eğri ile bağlanabileceğini görüyoruz.rasyonel noktalarda(Şekil 1, c). Yeterince inşa edilmiş büyük sayı fonksiyon grafiği noktaları, bu işlevin benzer özelliklere sahip olduğundan emin olabilirsiniz (fark, işlevin R) azalır.

Bu gözlemler 2 sayısının bu şekilde tanımlanabileceğini göstermektedir.α ve her irrasyonel α için, y=2 formülleriyle verilen fonksiyonlar x ve sürekli olacak ve y=2 fonksiyonu X artar ve fonksiyonsayı doğrusu boyunca azalır.

a sayısının nasıl belirlendiğini genel hatlarıyla anlatalım. α a>1 için irrasyonel α için. Y = a fonksiyonunun olduğundan emin olmak istiyoruz X artıyordu. O zaman herhangi bir rasyonel r için 1 ve r 2 öyle ki r 1<αeşitsizlikleri karşılamalıdır r 1<а α <а r 1 .

r değerlerini seçme 1 ve r2 x'e yaklaşırken, a'nın karşılık gelen değerlerinin fark edildiği fark edilebilir. r 1 ve a r 2 çok az farklılık gösterecektir. Tüm a'lardan daha büyük olan yalnızca bir y sayısının var olduğu kanıtlanabilir. r 1 tüm rasyonel r için 1 ve en az a r 2 tüm rasyonel r için 2 . Bu y sayısı tanımı gereği bir α .

Örneğin, 2 değerini hesaplamak için hesap makinesi kullanmak x, xn ve x`n noktalarında, burada xn ve x`n - sayıların ondalık yaklaşımlarıx'in ne kadar yakın olduğunu bulacağız n ve x`n k 2'si arasındaki fark ne kadar azsa x n ve 2 x'n .

O zamandan beri

ve bu nedenle,

Benzer şekilde aşağıdaki ondalık yaklaşımlar dikkate alındığındaeksiklik ve fazlalığa göre ilişkilere varıyoruz

;

;

;

;

.

Anlam hesap makinesinde hesaplanan:

.

A sayısı da benzer şekilde belirlenir α 0 için<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 herhangi bir α ve 0 içinα>0 için α =0.

Üstel fonksiyon.

Şu tarihte: A > 0, A = 1, fonksiyon tanımlı y = a X, sabitten farklıdır. Bu fonksiyon denir üstel fonksiyon baz ileA.

sen= bir X en A> 1:

0 tabanlı üstel fonksiyonların grafikleri< A < 1 и A> 1 şekilde gösterilmiştir.

Üstel fonksiyonun temel özellikleri sen= bir X 0'da< A < 1:

• Bir fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.
• Fonksiyon aralığı - aralık (0; + ) .
• Fonksiyon tüm sayı doğrusunda kesinlikle monoton olarak artar, yani eğer X 1 < x 2, o zaman bir x 1 >bir x 2 .
• Şu tarihte: X= 0 fonksiyon değeri 1'dir.
• Eğer X> 0, ardından 0< A < 1 ve eğer X < 0, то bir x > 1.
İLE genel özellikler 0'daki üstel fonksiyon< a < 1, так и при a > 1 şunları içerir:
• A X 1 A X 2 = A X 1 + X 2, herkes için X 1 Ve X 2.
• A - x= ( A X) − 1 = 1 AX herkes için X.
• NA X= A

Rasyonel üssü olan bir derece, özellikleri.

İfade a n n≤0 için a=0 durumu dışında tüm a ve n için tanımlanır. Bu tür güçlerin özelliklerini hatırlayalım.

Herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tam sayısı için eşitlikler geçerlidir:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (bir m) n = bir mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Ayrıca aşağıdaki özelliğe de dikkat edin:

Eğer m>n ise a>1 için a m >an n ve a m<а n при 0<а<1.

Bu bölümde 2. tür ifadelere anlam vererek bir sayının kuvvetleri kavramını genelleştireceğiz. 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 vb. Rasyonel üslü kuvvetlerle tamsayı üslü kuvvetlerle aynı özelliklere (veya en azından bir kısmına) sahip olacak şekilde bir tanım vermek doğaldır. O halde, özellikle sayının n'inci kuvvetia'ya eşit olmalı M . Gerçekten eğer mülk

(a p) q =a pq

idam edilir, ardından

Son eşitlik (n'inci kökün tanımı gereği) sayının şu anlama gelir:a'nın n'inci kökü olmalı M.

Tanım.

M'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu (n > 1) rasyonel üssü r= olan bir a>0 sayısının kuvveti, sayıdır.

Yani tanım gereği

(1)

0'ın kuvveti yalnızca pozitif üsler için tanımlanır; tanım gereği 0 Herhangi bir r>0 için r = 0.

İrrasyonel üslü derece.

İrrasyonel sayışeklinde temsil edilebilirrasyonel sayılar dizisinin limiti: .

İzin vermek . Sonra rasyonel üssü olan kuvvetler var. Bu kuvvetlerin dizisinin yakınsak olduğu kanıtlanabilir. Bu dizinin limitine denir taban ve irrasyonel üslü derece: .

y = 2 fonksiyonunun grafiği üzerinde birkaç nokta çizelim X daha önce bir hesap makinesi kullanarak 2 değerini hesaplamış olmak X segmentte [—2; 3] 1/4'lük bir adımla (Şekil 1, a) ve ardından 1/8'lik bir adımla (Şekil 1, b) 1/16, 1/32'lik adımlarla aynı yapıları zihinsel olarak sürdürmek, vb., ortaya çıkan noktaların, doğal olarak bazı fonksiyonların grafiği olarak kabul edilebilecek, tüm sayı doğrusu boyunca tanımlı ve artan ve değer alan düzgün bir eğri ile bağlanabileceğini görüyoruz.rasyonel noktalarda(Şekil 1, c). Fonksiyonun grafiğinde yeterince büyük sayıda nokta oluşturduktan sonra, bu işlevin benzer özelliklere sahip olduğundan emin olabilirsiniz (fark, işlevin R) azalır.

Bu gözlemler 2 sayısının bu şekilde tanımlanabileceğini göstermektedir.α ve her irrasyonel α için, y=2 formülleriyle verilen fonksiyonlar x ve sürekli olacak ve y=2 fonksiyonu X artar ve fonksiyonsayı doğrusu boyunca azalır.

a sayısının nasıl belirlendiğini genel hatlarıyla anlatalım. α a>1 için irrasyonel α için. Y = a fonksiyonunun olduğundan emin olmak istiyoruz X artıyordu. O zaman herhangi bir rasyonel r için 1 ve r 2 öyle ki r 1<αeşitsizlikleri karşılamalıdır r 1<а α <а r 1 .

r değerlerini seçme 1 ve r2 x'e yaklaşırken, a'nın karşılık gelen değerlerinin fark edildiği fark edilebilir. r 1 ve a r 2 çok az farklılık gösterecektir. Tüm a'lardan daha büyük olan yalnızca bir y sayısının var olduğu kanıtlanabilir. r 1 tüm rasyonel r için 1 ve en az a r 2 tüm rasyonel r için 2 . Bu y sayısı tanımı gereği bir α .

Örneğin, 2 değerini hesaplamak için hesap makinesi kullanmak x, xn ve x`n noktalarında, burada xn ve x`n - sayıların ondalık yaklaşımlarıx'in ne kadar yakın olduğunu bulacağız n ve x`n k 2'si arasındaki fark ne kadar azsa x n ve 2 x'n .

O zamandan beri

ve bu nedenle,

Benzer şekilde aşağıdaki ondalık yaklaşımlar dikkate alındığındaeksiklik ve fazlalığa göre ilişkilere varıyoruz

;

;

;

;

.

Anlam hesap makinesinde hesaplanan:

.

A sayısı da benzer şekilde belirlenir α 0 için<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 herhangi bir α ve 0 içinα>0 için α =0.

Üstel fonksiyon.

Şu tarihte: A > 0, A = 1, fonksiyon tanımlı y = a X, sabitten farklıdır. Bu fonksiyon denir üstel fonksiyon baz ileA.

sen= bir X en A> 1:

0 tabanlı üstel fonksiyonların grafikleri< A < 1 и A> 1 şekilde gösterilmiştir.

Üstel fonksiyonun temel özellikleri sen= bir X 0'da< A < 1:

• Bir fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.
• Fonksiyon aralığı - aralık (0; + ) .
• Fonksiyon tüm sayı doğrusunda kesinlikle monoton olarak artar, yani eğer X 1 < x 2, o zaman bir x 1 >bir x 2 .
• Şu tarihte: X= 0 fonksiyon değeri 1'dir.
• Eğer X> 0, ardından 0< A < 1 ve eğer X < 0, то bir x > 1.
0'daki üstel fonksiyonun genel özelliklerine< a < 1, так и при a > 1 şunları içerir:
• A X 1 A X 2 = A X 1 + X 2, herkes için X 1 Ve X 2.
• A - x= ( A X) − 1 = 1 AX herkes için X.
• NA X= A