Bu yazıda ne olduğunu anlayacağız bir sayının kuvveti. Burada bir sayının kuvvetinin tanımlarını vereceğiz ve doğal üsle başlayıp irrasyonel üsle biten tüm olası üsleri ayrıntılı olarak ele alacağız. Materyalde, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü kuvvet, sayının karesi, sayının küpü

İle başlayalım. İleriye baktığımızda, doğal üssü n olan bir a sayısının kuvvetinin tanımının a olarak adlandıracağımız a için verildiğini varsayalım. derece esası, ve n diyeceğiz üs. Ayrıca, doğal üslü bir derecenin bir çarpım yoluyla belirlendiğini de not ediyoruz; bu nedenle, aşağıdaki materyali anlamak için sayıları çarpma konusunda bilgi sahibi olmanız gerekir.

Tanım.

Doğal üssü n olan bir sayının kuvveti değeri, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımına eşit olan, yani n şeklinde bir ifadedir.
Özellikle üssü 1 olan bir a sayısının kuvveti a sayısının kendisidir, yani a 1 =a'dır.

Derece okuma kurallarından hemen bahsetmeye değer. a n gösterimini okumanın evrensel yolu şudur: “a üzeri n”. Bazı durumlarda şu seçenekler de kabul edilebilir: "a'nın n'inci kuvveti" ve "a'nın n'inci kuvveti". Örneğin, 8 12'nin kuvvetini ele alalım, bu "sekiz üssü on iki" veya "sekiz üssü on ikinci" veya "sekizin on ikinci kuvveti".

Bir sayının ikinci kuvvetinin yanı sıra bir sayının üçüncü kuvvetinin de kendi isimleri vardır. Bir sayının ikinci kuvvetine denir sayının karesini almakörneğin 7 2, "yedi kare" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvvetine denir küplü sayılarörneğin 5 3 “beşin küpü” olarak okunabilir veya “5 sayısının küpü” diyebilirsiniz.

getirme zamanı geldi doğal üslü derece örnekleri. Derece 5 7 ile başlayalım, burada 5 derecenin tabanı, 7 ise üssü. Başka bir örnek verelim: 4,32 taban, 9 doğal sayısı da (4,32) 9 üssüdür.

Son örnekte 4.32'nin üssünün parantez içinde yazıldığını lütfen unutmayın: Tutarsızlıkları önlemek için, doğal sayılardan farklı olan tüm kuvvet tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak aşağıdaki dereceleri doğal üslerle birlikte veriyoruz , tabanları doğal sayı olmadığından parantez içinde yazılırlar. Tam bir açıklık sağlamak için, bu noktada (−2) 3 ve −2 3 formundaki kayıtların içerdiği farkı göstereceğiz. (−2) 3 ifadesi, doğal üssü 3 olan −2'nin kuvvetidir ve −2 3 ifadesi (−(2 3) olarak da yazılabilir) 2 3 kuvvetinin değeri olan sayıya karşılık gelir. .

a^n biçiminde bir n üssüne sahip bir a sayısının kuvveti için bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca n çok değerli bir doğal sayı ise üs parantez içine alınır. Örneğin, 4^9, 4 9'un kuvvetinin başka bir gösterimidir. Ve burada “^” sembolünü kullanarak derece yazmanın birkaç örneği daha var: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Aşağıda öncelikle a n formunun derece gösterimini kullanacağız.

Doğal üslü bir kuvvete yükseltmenin ters problemlerinden biri, kuvvetinin bilinen bir değerinden ve bilinen bir üssünden kuvvetin tabanını bulma problemidir. Bu görev şuna yol açar.

Birçok kişinin olduğu biliniyor rasyonel sayılar her biri tam ve kesirli sayılardan oluşur kesirli sayı pozitif veya negatif olarak temsil edilebilir ortak kesir. Bir önceki paragrafta dereceyi bir tamsayı üssüyle tanımladık, bu nedenle derecenin tanımını şu şekilde tamamlamak için: rasyonel gösterge a sayısının kuvvetine m/n kesirli üssüyle anlam vermeniz gerekir; burada m bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır. Hadi bunu yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir dereceyi ele alalım. Güç-güç özelliğinin geçerli kalması için eşitliğin sağlanması gerekir . Ortaya çıkan eşitliği ve nasıl belirlediğimizi dikkate alırsak, verilen m, n ve a için ifadenin anlamlı olması koşuluyla bunu kabul etmek mantıklı olacaktır.

Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin bölüm özelliklerinde yapılmıştır).

Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: m, n ve a ifadesi anlamlıysa, o zaman a'nın m/n kesirli üssüne kuvveti, a'nın m üssünün n'inci kökü olarak adlandırılır.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye kalan tek şey m, n ve a ifadesinin hangi noktada anlamlı olduğunu açıklamaktır. M, n ve a'ya getirilen kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.

En kolay yol, pozitif m için a≥0 ve negatif m için a>0 alarak a'ya bir kısıtlama getirmektir (çünkü m≤0 için m'nin 0 derecesi tanımlanmamıştır). Daha sonra kesirli üslü bir derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.

Tanım.

Kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti m bir tamsayı ve n bir doğal sayı olmak üzere, a sayısının m üssü n'inci kökü olarak adlandırılır.

Sıfırın kesirli kuvveti de göstergenin pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla belirlenir.

Tanım.

Kesirli pozitif üssü m/n ile sıfırın kuvveti m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere şu şekilde tanımlanır: .
Derece belirlenmediğinde, yani sıfır sayısının kesirli derecesi negatif gösterge mantıklı değil.

Kesirli üslü derecenin bu tanımında bir uyarı bulunduğunu belirtmek gerekir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve a≥0 koşulunu getirerek bu durumları göz ardı ettik. Örneğin, girişler anlamlıdır veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüne sahip kuvvetlerin olduğunu söylemeye zorluyor tabanın negatif olmaması gerektiği için mantıklı değil.

Kesirli m/n üssüyle bir derece belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım, kökün çift ve tek üslerini ayrı ayrı dikkate almaktır. Bu yaklaşım ek bir koşul gerektirir: Üssü 0 olan a sayısının kuvveti, üssü karşılık gelen indirgenemez kesir olan a sayısının kuvveti olarak kabul edilir (bu koşulun önemini aşağıda açıklayacağız) ). Yani, eğer m/n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir k doğal sayısı için derece ilk önce ile değiştirilir.

Çift n ve pozitif m için, ifade negatif olmayan herhangi bir a için anlamlıdır (negatif bir sayının çift kökü anlamlı değildir); negatif m için a sayısı yine de sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde bölme olacaktır). sıfır). Tek n ve pozitif m için a sayısı herhangi bir sayı olabilir (herhangi bir gerçek sayı için tek derecenin kökü tanımlanır) ve negatif m için a sayısı sıfır olmamalıdır (böylece sayıya bölünme olmaz) sıfır).

Yukarıdaki mantık bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına götürür.

Tanım.

m/n indirgenemez bir kesir, m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun. İndirgenebilir herhangi bir kesir için derece, ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üssü m/n olan bir sayının kuvveti



İndirgenebilir kesirli üssü olan bir derecenin neden ilk önce indirgenemez üssü olan bir dereceyle değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe olarak tanımlasaydık ve m/n kesirinin indirgenemezliği konusunda bir çekince koymasaydık aşağıdakine benzer durumlarla karşı karşıya kalırdık: 6/10 = 3/5 olduğuna göre eşitliğin sağlanması gerekir. , Ancak , A .

BÖLÜM II. BÖLÜM 6
SAYI DİZİLERİ

İrrasyonel üssü olan derece kavramı

a pozitif bir sayı ve a irrasyonel bir sayı olsun.
a* ifadesine ne anlam verilmelidir?
Sunumu daha net hale getirmek için, bunu özel olarak yapacağız.
örnek. Yani a - 2 ve a = 1, 624121121112 koyalım. . . .
Burada ve - sonsuz ondalık buna göre derlenmiş
kanun: a görüntüsü için dördüncü virgülden başlayarak
Sadece 1 ve 2 rakamları kullanılmış olup rakam sayısı 1'dir,
2 rakamından önce art arda yazılır, her zaman artarak
bir. A kesri periyodik değildir, aksi takdirde basamak sayısı 1 olur,
Görüntüsünde arka arkaya kaydedilenler sınırlı olacaktır.
Bu nedenle a irrasyonel bir sayıdır.
Peki ifadeye ne anlam verilmelidir?
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . R
Bu soruyu cevaplamak için bir değerler dizisi oluşturalım
ve eksiklik ve fazlalıkla (0,1)* doğrulukla. Aldık
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
2 sayısının karşılık gelen güç dizilerini oluşturalım:
2M. 2M*; 21*624; 21'62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Wu 21.6Sh; . (4)
Sıra arttıkça sıra (3) de artar
(1) (Teorem 2 § 6).
Sıra (4) azalıyor çünkü dizi azalıyor
(2).
Dizinin (3) her terimi dizinin her bir teriminden küçüktür
(4) ve dolayısıyla sıra (3) sınırlıdır
yukarıdan ve dizi (4) aşağıdan sınırlanmıştır.
Monoton sınırlı dizi teoremine dayanarak
(3) ve (4) numaralı dizilerin her birinin bir limiti vardır. Eğer

384 c derecesi kavramı irrasyonel gösterge. .

şimdi (4) ve (3) dizileri arasındaki farkın yakınlaştığı ortaya çıktı
sıfıra ulaştığında bu dizilerin her ikisi de takip edecek,
ortak bir sınırı vardır.
(3) ve (4) dizilerinin ilk terimlerinin farkı
21-7 - 21’* = 2|, (20*1 - 1) içinde< 4 (У 2 - 1).
İkinci terimlerin farkı
21’63 - 21,62 = 21,62 (2°'01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
N'inci terimlerin farkı
0,0000. ..0 1
2>.««…(2 " - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Teorem 3 § 6'ya dayanarak
lim 10″ / 2 = 1.
Yani (3) ve (4) dizilerinin ortak bir limiti vardır. Bu
limit daha büyük olan tek gerçek sayıdır
dizinin tüm üyeleri (3) ve dizinin tüm üyelerinden daha azı
(4), 2*'nin tam değeri olarak kabul edilmesi tavsiye edilir.
Söylenenlerden, genel olarak kabul etmenin tavsiye edildiği sonucu çıkıyor
aşağıdaki tanım:
Tanım. Eğer a^> 1 ise a'nın irrasyonel kuvveti
a üssü bir gerçek sayıdır
bu, üsleri olan bu sayının tüm kuvvetlerinden daha büyüktür
dezavantajlı ve tüm derecelerden daha az olan rasyonel yaklaşımlar
üsleri rasyonel yaklaşımlar olan bu sayı ve
aşırı.
Eğer bir<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
tüm kuvvetlerden daha büyük olan gerçek sayıdır
Üsleri rasyonel yaklaşımlar olan bu sayı ve
göstergeleri bu sayının tüm güçlerinden fazla ve daha az olan
- Dezavantajlı rasyonel yaklaşımlar.
.Eğer a- 1 ise irrasyonel üssü a ile derecesi
1'dir.
Limit kavramını kullanarak bu tanım formüle edilebilir.
Bu yüzden:
İrrasyonel üssü olan pozitif bir sayının kuvveti
ve dizinin yöneldiği sınıra denir
bu sayının rasyonel kuvvetleri, sıranın sağlanması koşuluyla
bu derecelerin üsleri a'ya eğilimlidir, yani.
аа = lim аЧ
B - *
13 D, K. Fatsheev, I. S. Sominsky

Rasyonel üssü olan bir derece, özellikleri.

İfade a n n≤0 için a=0 durumu dışında tüm a ve n için tanımlanır. Bu tür güçlerin özelliklerini hatırlayalım.

Herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tam sayısı için eşitlikler geçerlidir:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (bir m) n = bir mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Ayrıca aşağıdaki özelliğe de dikkat edin:

Eğer m>n ise a>1 için a m >an n ve a m<а n при 0<а<1.

Bu bölümde 2. tür ifadelere anlam vererek bir sayının kuvvetleri kavramını genelleştireceğiz. 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 vb. Rasyonel üslü kuvvetlerle tamsayı üslü kuvvetlerle aynı özelliklere (veya en azından bir kısmına) sahip olacak şekilde bir tanım vermek doğaldır. O halde, özellikle sayının n'inci kuvvetia'ya eşit olmalı M . Gerçekten de eğer mülk

(a p) q =a pq

idam edilir, ardından

Son eşitlik (n'inci kökün tanımı gereği) sayının şu anlama gelir:a'nın n'inci kökü olmalı M.

Tanım.

M'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu (n > 1) rasyonel üssü r= olan bir a>0 sayısının kuvveti, sayıdır.

Yani tanım gereği

(1)

0'ın kuvveti yalnızca pozitif üsler için tanımlanır; tanım gereği 0 Herhangi bir r>0 için r = 0.

İrrasyonel üslü derece.

İrrasyonel sayışeklinde temsil edilebilirrasyonel sayılar dizisinin limiti: .

İzin vermek . Sonra rasyonel üssü olan kuvvetler var. Bu kuvvetlerin dizisinin yakınsak olduğu kanıtlanabilir. Bu dizinin limitine denir taban ve irrasyonel üslü derece: .

y = 2 fonksiyonunun grafiği üzerinde birkaç nokta çizelim X daha önce bir hesap makinesi kullanarak 2 değerini hesaplamış olmak X segmentte [—2; 3] 1/4'lük bir adımla (Şekil 1, a) ve ardından 1/8'lik bir adımla (Şekil 1, b) 1/16, 1/32'lik adımlarla aynı yapıları zihinsel olarak sürdürmek, vb. ortaya çıkan noktaların, doğal olarak bazı fonksiyonların grafiği olarak kabul edilebilecek, tüm sayı doğrusu boyunca tanımlı ve artan ve değer alan düzgün bir eğri ile bağlanabileceğini görüyoruz.rasyonel noktalarda(Şekil 1, c). Yeterince inşa edilmiş büyük sayı fonksiyon grafiği noktaları, bu işlevin benzer özelliklere sahip olduğundan emin olabilirsiniz (fark, işlevin R) azalır.

Bu gözlemler 2 sayısının bu şekilde tanımlanabileceğini göstermektedir.α ve her irrasyonel α için, y=2 formülleriyle verilen fonksiyonlar x ve sürekli olacak ve y=2 fonksiyonu X artar ve fonksiyonsayı doğrusu boyunca azalır.

a sayısının nasıl belirlendiğini genel hatlarıyla anlatalım. α a>1 için irrasyonel α için. Y = a fonksiyonunun olduğundan emin olmak istiyoruz X artıyordu. O zaman herhangi bir rasyonel r için 1 ve r 2 öyle ki r 1<αeşitsizlikleri karşılamalıdır r 1<а α <а r 1 .

r değerlerini seçme 1 ve r2 x'e yaklaşırken, a'nın karşılık gelen değerlerinin fark edildiği fark edilebilir. r 1 ve a r 2 çok az farklılık gösterecektir. Tüm a'lardan daha büyük olan yalnızca bir y sayısının var olduğu kanıtlanabilir. r 1 tüm rasyonel r için 1 ve en az a r 2 tüm rasyonel r için 2 . Bu y sayısı tanımı gereği bir α .

Örneğin, 2 değerini hesaplamak için hesap makinesi kullanmak x, xn ve x`n noktalarında, burada xn ve x`n - sayıların ondalık yaklaşımlarıx'in ne kadar yakın olduğunu bulacağız n ve x`n k 2'si arasındaki fark ne kadar azsa x n ve 2 x'n .

O zamandan beri

ve bu nedenle,

Benzer şekilde aşağıdaki ondalık yaklaşımlar dikkate alındığındaeksiklik ve fazlalığa göre ilişkilere varıyoruz

;

;

;

;

.

Anlam hesap makinesinde hesaplanan:

.

A sayısı da benzer şekilde belirlenir α 0 için<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 herhangi bir α ve 0 içinα>0 için α =0.

Üstel fonksiyon.

Şu tarihte: A > 0, A = 1, fonksiyon tanımlı y = a X, sabitten farklıdır. Bu fonksiyon denir üstel fonksiyon baz ileA.

sen= bir X en A> 1:

0 tabanlı üstel fonksiyonların grafikleri< A < 1 и A> 1 şekilde gösterilmiştir.

Üstel fonksiyonun temel özellikleri sen= bir X 0'da< A < 1:

• Bir fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.
• Fonksiyon aralığı - aralık (0; + ) .
• Fonksiyon tüm sayı doğrusunda kesinlikle monoton olarak artar, yani eğer X 1 < x 2, o zaman bir x 1 >bir x 2 .
• Şu tarihte: X= 0 fonksiyon değeri 1'dir.
• Eğer X> 0, ardından 0< A < 1 ve eğer X < 0, то bir x > 1.
İLE genel özellikler 0'daki üstel fonksiyon< a < 1, так и при a > 1 şunları içerir:
• A X 1 A X 2 = A X 1 + X 2, herkes için X 1 Ve X 2.
• A - x= ( A X) − 1 = 1 AX herkes için X.
• NA X= A

Rasyonel üssü olan bir derece, özellikleri.

İfade a n n≤0 için a=0 durumu dışında tüm a ve n için tanımlanır. Bu tür güçlerin özelliklerini hatırlayalım.

Herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tam sayısı için eşitlikler geçerlidir:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (bir m) n = bir mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Ayrıca aşağıdaki özelliğe de dikkat edin:

Eğer m>n ise a>1 için a m >an n ve a m<а n при 0<а<1.

Bu bölümde 2. tür ifadelere anlam vererek bir sayının kuvvetleri kavramını genelleştireceğiz. 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 vb. Rasyonel üslü kuvvetlerle tamsayı üslü kuvvetlerle aynı özelliklere (veya en azından bir kısmına) sahip olacak şekilde bir tanım vermek doğaldır. O halde, özellikle sayının n'inci kuvvetia'ya eşit olmalı M . Gerçekten de eğer mülk

(a p) q =a pq

idam edilir, ardından

Son eşitlik (n'inci kökün tanımı gereği) sayının şu anlama gelir:a'nın n'inci kökü olmalı M.

Tanım.

M'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu (n > 1) rasyonel üssü r= olan bir a>0 sayısının kuvveti, sayıdır.

Yani tanım gereği

(1)

0'ın kuvveti yalnızca pozitif üsler için tanımlanır; tanım gereği 0 Herhangi bir r>0 için r = 0.

İrrasyonel üslü derece.

İrrasyonel sayışeklinde temsil edilebilirrasyonel sayılar dizisinin limiti: .

İzin vermek . Sonra rasyonel üssü olan kuvvetler var. Bu kuvvetlerin dizisinin yakınsak olduğu kanıtlanabilir. Bu dizinin limitine denir taban ve irrasyonel üslü derece: .

y = 2 fonksiyonunun grafiği üzerinde birkaç nokta çizelim X daha önce bir hesap makinesi kullanarak 2 değerini hesaplamış olmak X segmentte [—2; 3] 1/4'lük bir adımla (Şekil 1, a) ve ardından 1/8'lik bir adımla (Şekil 1, b) 1/16, 1/32'lik adımlarla aynı yapıları zihinsel olarak sürdürmek, vb. ortaya çıkan noktaların, doğal olarak bazı fonksiyonların grafiği olarak kabul edilebilecek, tüm sayı doğrusu boyunca tanımlı ve artan ve değer alan düzgün bir eğri ile bağlanabileceğini görüyoruz.rasyonel noktalarda(Şekil 1, c). Fonksiyonun grafiğinde yeterince büyük sayıda nokta oluşturduktan sonra, bu işlevin benzer özelliklere sahip olduğundan emin olabilirsiniz (fark, işlevin R) azalır.

Bu gözlemler 2 sayısının bu şekilde tanımlanabileceğini göstermektedir.α ve her irrasyonel α için, y=2 formülleriyle verilen fonksiyonlar x ve sürekli olacak ve y=2 fonksiyonu X artar ve fonksiyonsayı doğrusu boyunca azalır.

a sayısının nasıl belirlendiğini genel hatlarıyla anlatalım. α a>1 için irrasyonel α için. Y = a fonksiyonunun olduğundan emin olmak istiyoruz X artıyordu. O zaman herhangi bir rasyonel r için 1 ve r 2 öyle ki r 1<αeşitsizlikleri karşılamalıdır r 1<а α <а r 1 .

r değerlerini seçme 1 ve r2 x'e yaklaşırken, a'nın karşılık gelen değerlerinin fark edildiği fark edilebilir. r 1 ve a r 2 çok az farklılık gösterecektir. Tüm a'lardan daha büyük olan yalnızca bir y sayısının var olduğu kanıtlanabilir. r 1 tüm rasyonel r için 1 ve en az a r 2 tüm rasyonel r için 2 . Bu y sayısı tanımı gereği bir α .

Örneğin, 2 değerini hesaplamak için hesap makinesi kullanmak x, xn ve x`n noktalarında, burada xn ve x`n - sayıların ondalık yaklaşımlarıx'in ne kadar yakın olduğunu bulacağız n ve x`n k 2'si arasındaki fark ne kadar azsa x n ve 2 x'n .

O zamandan beri

ve bu nedenle,

Benzer şekilde aşağıdaki ondalık yaklaşımlar dikkate alındığındaeksiklik ve fazlalığa göre ilişkilere varıyoruz

;

;

;

;

.

Anlam hesap makinesinde hesaplanan:

.

A sayısı da benzer şekilde belirlenir α 0 için<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 herhangi bir α ve 0 içinα>0 için α =0.

Üstel fonksiyon.

Şu tarihte: A > 0, A = 1, fonksiyon tanımlı y = a X, sabitten farklıdır. Bu fonksiyon denir üstel fonksiyon baz ileA.

sen= bir X en A> 1:

0 tabanlı üstel fonksiyonların grafikleri< A < 1 и A> 1 şekilde gösterilmiştir.

Üstel fonksiyonun temel özellikleri sen= bir X 0'da< A < 1:

• Bir fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.
• Fonksiyon aralığı - aralık (0; + ) .
• Fonksiyon tüm sayı doğrusunda kesinlikle monoton olarak artar, yani eğer X 1 < x 2, o zaman bir x 1 >bir x 2 .
• Şu tarihte: X= 0 fonksiyon değeri 1'dir.
• Eğer X> 0, ardından 0< A < 1 ve eğer X < 0, то bir x > 1.
0'daki üstel fonksiyonun genel özelliklerine< a < 1, так и при a > 1 şunları içerir:
• A X 1 A X 2 = A X 1 + X 2, herkes için X 1 Ve X 2.
• A - x= ( A X) − 1 = 1 AX herkes için X.
• NA X= A

Bilgi patlaması Biyolojide - Petri kabındaki mikrop kolonileri Avustralya'da Tavşanlar Zincir reaksiyonlar - kimyada Fizikte - radyoaktif bozunma, değişim atmosferik basınç rakım değişikliği ile vücudun soğuması - radyoaktif bozunma, rakım değişikliği ile atmosfer basıncının değişmesi, vücudun soğuması. Adrenalinin kana karışması ve yok edilmesi. Ayrıca bilgi miktarının her 10 yılda bir ikiye katlandığını iddia ediyorlar.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5

İfade 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = 0,5 = 1/2 3,5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1,…1; 1,7 1,73; 1.732;1.73205; 1, ;… dizi artar 2 1 ; 2 1,7; 2 1,73 ;2 1,732 ; 2 1.73205; 2 1, ;… dizi Sınırlı olarak artar, yani bir limite yakınsar - 2 3 değerine

π 0 tanımlanabilir

10 10 18 Fonksiyonun özellikleri y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Fonksiyonun özellikleri y = a x n \ n a >10 21

Bilgi miktarı her 10 yılda bir iki katına çıkar. Öküz ekseni boyunca - aritmetik ilerleme yasasına göre: 1,2,3,4…. Oy ekseni boyunca - yasaya göre geometrik ilerleme: 2 1,2 2,2 3,2 4 ... Üstel bir fonksiyonun grafiğine üs adı verilir (Latince exponere - gösteriş yapmak anlamına gelir)