Definicije:

ekstrem imenujemo maksimum minimalna vrednost funkcije na danem nizu.

skrajna točka je točka, na kateri je dosežena največja ali najmanjša vrednost funkcije.

Največja točka je točka, na kateri največja vrednost funkcije.

Nizka točka je točka, na kateri je dosežena minimalna vrednost funkcije.

Pojasnilo.

Na sliki v bližini točke x = 3 funkcija doseže največjo vrednost (to pomeni, da v bližini te točke ni višje točke). V soseščini x = 8 ima spet največjo vrednost (spet pojasnimo: v tej soseščini ni točke zgoraj). Na teh točkah se povečanje nadomesti z zmanjšanjem. To so največje točke:

xmax = 3, xmax = 8.

V bližini točke x = 5 je dosežena minimalna vrednost funkcije (torej v bližini x = 5 ni točke spodaj). Na tej točki se zmanjšanje nadomesti s povečanjem. To je minimalna točka:

Najvišja in najmanjša točka sta ekstremne točke funkcije, vrednosti funkcije na teh točkah pa so njene skrajnosti.

Kritične in stacionarne točke funkcije:

Potreben pogoj za ekstrem:

Zadostni pogoj za ekstrem:

Na segmentu funkcija y = f(x) lahko doseže svojo najmanjšo ali največjo vrednost bodisi na kritičnih točkah bodisi na koncih segmenta.

Algoritem za preučevanje neprekinjene funkcijey = f(x) za monotonost in ekstreme:

Upoštevajte naslednjo sliko.

Prikazuje graf funkcije y = x^3 - 3*x^2. Razmislite o nekem intervalu, ki vsebuje točko x = 0, na primer od -1 do 1. Tak interval imenujemo tudi okolica točke x = 0. Kot lahko vidite na grafu, je v tej soseščini funkcija y = x ^3 - 3*x^2 prevzame največjo vrednost točno na točki x = 0.

Največja in najmanjša funkcija

V tem primeru se točka x = 0 imenuje največja točka funkcije. Po analogiji s tem se točka x = 2 imenuje minimalna točka funkcije y = x^3 - 3*x^2. Ker obstaja taka soseska te točke, v kateri bo vrednost na tej točki minimalna med vsemi drugimi vrednostmi iz te soseske.

pika največ funkcija f(x) se imenuje točka x0, pod pogojem, da obstaja soseska točke x0, tako da za vse x, ki niso enaki x0 iz te soseske, velja neenakost f(x)< f(x0).

pika minimalno funkcija f(x) se imenuje točka x0, pod pogojem, da obstaja soseska točke x0, taka, da je za vse x, ki niso enaki x0 iz te soseske, izpolnjena neenakost f(x) > f(x0).

Na najvišji in minimalni točki funkcij je vrednost izvoda funkcije enaka nič. Toda to ni zadosten pogoj za obstoj funkcije na najvišji ali minimalni točki.

Na primer, funkcija y = x^3 v točki x = 0 ima izvod enako nič. Toda točka x = 0 ni najmanjša ali največja točka funkcije. Kot veste, se funkcija y = x^3 poveča na celotni realni osi.

Tako bosta minimalna in največja točka vedno med korenom enačbe f’(x) = 0. Vendar ne bodo vsi koreni te enačbe največje ali minimalne točke.

Stacionarne in kritične točke

Točke, pri katerih je vrednost izvoda funkcije enaka nič, imenujemo stacionarne točke. Obstajajo lahko tudi točke maksimuma ali minimuma na točkah, kjer izpeljanka funkcije sploh ne obstaja. Na primer, y = |x| v točki x = 0 ima minimum, vendar izpeljanka na tej točki ne obstaja. Ta točka bo kritična točka funkcije.

Kritične točke funkcije so točke, v katerih je izpeljanka enaka nič ali izpeljanka na tej točki ne obstaja, to pomeni, da je funkcija na tej točki nediferencirana. Da bi našli maksimum ali minimum funkcije, mora biti izpolnjen zadosten pogoj.

Naj bo f(x) neka funkcija, ki se diferencira na intervalu (a; b). Točka x0 pripada temu intervalu in f'(x0) = 0. Potem:

1. če pri prehodu skozi stacionarno točko x0 funkcija f (x) in njena izpeljanka spremenita predznak iz »plus« v »minus«, potem je točka x0 največja točka funkcije.

2. če pri prehodu skozi stacionarno točko x0 funkcija f (x) in njena izpeljanka spremenita predznak iz »minus« v »plus«, je točka x0 minimalna točka funkcije.

Kritične točke so točke, pri katerih je izpeljanka funkcije enaka nič ali ne obstaja. Če je izpeljanka 0, potem funkcija na tej točki prevzame lokalni minimum ali maksimum. Na grafu v takih točkah ima funkcija horizontalno asimptoto, to pomeni, da je tangenta vzporedna z osjo Ox.

Takšne točke se imenujejo stacionarni. Če na neprekinjenem funkcijskem diagramu vidite "grbino" ali "luknjo", ne pozabite, da je maksimum ali minimum dosežen na kritični točki. Kot primer si oglejte naslednjo nalogo.

Primer 1 Poiščite kritične točke funkcije y=2x^3-3x^2+5.
Odločitev. Algoritem za iskanje kritičnih točk je naslednji:

Funkcija ima torej dve kritični točki.

Nadalje, če morate preučiti funkcijo, določimo predznak izvoda levo in desno od kritične točke. Če izpeljanka pri prehodu skozi kritično točko spremeni predznak iz "-" v "+", potem funkcija prevzame lokalni minimum. Če od "+" do "-" bi moral lokalni maksimum.

Druga vrsta kritičnih točk to so ničle imenovalca ulomnih in iracionalnih funkcij

Funkcije z logaritmi in trigonometrijo, ki v teh točkah niso definirane


Tretja vrsta kritičnih točk imajo kosično neprekinjene funkcije in module.
Na primer, vsaka funkcija modula ima minimum ali maksimum na prelomni točki.

Na primer modul y = | x -5 | na točki x = 5 ima minimum (kritično točko).
Izpeljanka v njem ne obstaja, vendar na desni in na levi vzame vrednost 1 oziroma -1.

Poskusite identificirati kritične točke funkcij

1)
2)
3)
4)
5)

Če kot odgovor dobite vrednost
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
potem že veš kako najti kritične točke in biti sposoben obvladati preprost nadzor ali teste.

Domena funkcije, izračunajte njen odvod, poiščite domeno izpeljanke funkcije, poiščite točke pretvorbo odvoda v nič, dokažemo, da najdene točke pripadajo domeni definicije izvorne funkcije.

Primer 1 Identificirajte kritično točke funkcije y = (x - 3)² (x-2).

Rešitev Poiščite obseg funkcije, v ta primer brez omejitev: x ∈ (-∞; +∞); Izračunaj odvod y’. V skladu s pravili diferenciacije produkta dveh je: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. Potem ko se izkaže kvadratna enačba: y' = 3 x² - 16 x + 21.

Poiščite domeno odvoda funkcije: x ∈ (-∞; +∞) Rešite enačbo 3 x² - 16 x + 21 = 0, da poiščete, pri kateri izgine: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 Torej izpeljanka izgine za vrednosti x, enake 3 in 7/3.

Ugotovite, ali najdeni pripadajo točke domene prvotne funkcije. Ker je x (-∞; +∞), potem oboje točke so kritični.

Primer 2 Identificirajte kritično točke funkcije y = x² - 2/x.

Rešitvena domena funkcije: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), ker je x v imenovalcu. Izračunaj odvod y’ = 2 x + 2/x².

Domena izpeljanke funkcije je enaka kot pri izvirniku: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Rešite enačbo 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -ena.

Torej izpeljanka izgine pri x = -1. Izpolnjen je potreben, a nezadosten pogoj kritičnosti. Ker x=-1 pade v interval (-∞; 0) ∪ (0; +∞), je ta točka kritična.

Viri:

• Kritični obseg prodaje, kos Prag

Mnoge ženske trpijo za predmenstrualnim sindromom, ki se ne kaže le z bolečimi občutki, ampak tudi s povečanim apetitom. Kot rezultat kritični dnevi lahko bistveno upočasni proces hujšanja.

Vzroki za povečan apetit v kritičnih dneh

Razlog za povečanje apetita v obdobju kritičnih dni je sprememba splošnega hormonskega ozadja v ženskem telesu. Nekaj ​​dni pred nastopom menstruacije se raven hormona progesterona dvigne, telo se prilagodi možnemu in poskuša ustvariti dodatne zaloge energije v obliki telesne maščobe, tudi če ženska sedi. Tako je sprememba teže v kritičnih dneh normalen pojav.

Kako jesti med menstruacijo

Poskusite v teh dneh ne jesti sladkarij, slaščic in druge visokokalorične hrane, ki vsebuje "hitro". Njihov presežek se bo takoj odložil v maščobo. Mnoge ženske v tem obdobju resnično želijo jesti čokolado, v tem primeru lahko kupite temno čokolado in si privoščite nekaj rezin, vendar ne več. Med menstruacijo ne smete uživati ​​alkoholnih pijač, marinad, kislih kumaric, prekajenega mesa, semen in oreščkov. Kisle kumarice in prekajeno meso je treba na splošno omejiti v prehrani 6-8 dni pred začetkom menstruacije, saj takšni izdelki povečajo zaloge vode v telesu, za to obdobje pa je značilno povečanje kopičenja tekočine. Če želite zmanjšati količino soli v prehrani, jo v minimalni količini dodajte pripravljenim jedem.

Priporočljivo je uporabljati mlečne izdelke z nizko vsebnostjo maščob, rastlinsko hrano, žita. Uporabne bodo stročnice, kuhan krompir, riž - izdelki, ki vsebujejo "počasne" ogljikove hidrate. Morski sadeži, jetra, ribe, govedina, perutnina, jajca, stročnice, suho sadje bodo pomagali nadomestiti izgubo železa. Pšenični otrobi bodo koristni. Oteklina je naravna reakcija med menstruacijo. Lahka diuretična zelišča bodo pomagala popraviti stanje: bazilika, koper, peteršilj, zelena. Uporabljajo se lahko kot začimba. V drugi polovici cikla je priporočljivo uživati ​​beljakovinske izdelke (pusto meso in ribe, mlečni izdelki), količino ogljikovih hidratov v prehrani pa je treba čim bolj zmanjšati.

Ekonomski koncept kritičnega obsega prodajo ustreza položaju podjetja na trgu, kjer je izkupiček od prodaje blaga minimalen. To stanje imenujemo točka preloma, ko povpraševanje po izdelkih pade in dobički komaj pokrijejo stroške. Za določitev kritičnega volumna prodajo uporabite več metod.

Navodilo

Delovni cikel ni omejen na njegove dejavnosti – proizvodnjo ali storitve. To je zapleteno delo določene strukture, vključno z delom ključnega osebja, vodstvenega osebja, menedžerjev itd., Pa tudi ekonomistov, katerih naloga je finančna analiza podjetja.

Namen te analize je izračunati nekatere količine, ki v takšni ali drugačni meri vplivajo na velikost končnega dobička. to je različne vrste obseg proizvodnje in prodaje, polni in povprečni, kazalniki povpraševanja itd. Glavna naloga je določiti takšen obseg proizvodnje, pri katerem se vzpostavi stabilno razmerje med stroški in dobički.

Najmanjša glasnost prodajo, pri katerem dohodek v celoti pokriva stroške, vendar se ne poveča pravičnost podjetje se imenuje kritični obseg prodajo. Obstajajo trije metode za izračun metode tega kazalnika: metoda enačb, mejnega dohodka in grafična.

Za določitev kritičnega volumna prodajo po prvi metodi naredite enačbo v obliki: Vp - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, kjer je: Vp - prihodek od prodajo in ;Zper in Zpos - spremenljivi in ​​stalni stroški Pp - dobiček iz prodajo in.

Po drugi metodi, prvi izraz, prihodek od prodajo, predstavljajo kot zmnožek mejnega dohodka od enote blaga po prostornini prodajo Enako velja za variabilne stroške. fiksni stroški velja za celotno serijo blaga, zato pustite to komponento skupno: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Iz te enačbe izrazite vrednost N in dobite kritični volumen prodajo:N = Zpos / (MD - Zper1), kjer je Zper1 - spremenljivi stroški na enoto blaga.

Grafična metoda vključuje konstrukcijo. Se nanaša na koordinatna ravnina dve vrstici: funkcija prihodkov od prodajo minus funkcija stroškov in dobička. Na osi x narišite obseg proizvodnje, na osi y pa dohodek od ustrezne količine blaga, izražen v denarnih enotah. Točka presečišča teh črt ustreza kritični prostornini prodajo, položaj preloma.

Viri:

• kako prepoznati kritično delo

Kritično mišljenje je skupek sodb, na podlagi katerih se oblikujejo določeni sklepi in ocenjujejo predmeti kritike. Še posebej je značilno za raziskovalce in znanstvenike vseh vej znanosti. Kritično mišljenje zavzema višjo raven od običajnega razmišljanja.

Vrednost izkušenj pri oblikovanju kritičnega mišljenja

Težko je analizirati in sklepati o tem, česar ne razumeš dobro. Zato je za učenje kritičnega razmišljanja potrebno preučiti predmete v vseh možnih povezavah in odnosih z drugimi pojavi. Tako dobro, kot velik pomen v tem primeru ima informacije o takšnih predmetih, sposobnost graditi logične verige sodb in sprejemati razumne zaključke.

Na primer, presodite vrednost umetniško delo je mogoče le s poznavanjem precej drugih sadov literarne dejavnosti. Hkrati pa ni slabo biti poznavalec zgodovine človeškega razvoja, oblikovanja literature in literarne kritike. V izolaciji od zgodovinskega konteksta lahko delo izgubi pomen. Da bi bila ocena umetniškega dela dovolj popolna in utemeljena, je potrebno uporabiti tudi svoje literarno znanje, ki vključuje pravila za konstruiranje umetniško besedilo znotraj posameznih žanrov sistem različnih literarnih sredstev, klasifikacija in analiza obstoječih stilov in smeri v književnosti itd. Hkrati je pomembno tudi preučevanje notranje logike zapleta, zaporedja dejanj, umestitve in interakcije likov v umetniškem delu.

Značilnosti kritičnega mišljenja

Druge značilnosti kritičnega mišljenja vključujejo:
- znanje o preučevanem objektu je le izhodišče za nadaljnjo možgansko aktivnost, povezano z gradnjo logičnih verig;
- dosledno zgrajeno in na zdravem razumu utemeljeno sklepanje vodi do prepoznavanja resničnih in napačnih informacij o preučevanem objektu;
- kritično mišljenje je vedno povezano z oceno razpoložljivih informacij o danega predmeta in ustreznih zaključkov je ocena po drugi strani povezana z že razpoložljivimi veščinami.

Za razliko od običajnega razmišljanja kritično mišljenje ni podvrženo slepi veri. Kritično mišljenje omogoča uporabo celotnega sistema sodb o predmetu kritike, da bi razumeli njegovo bistvo, razkrili resnično znanje o njem in ovrgli napačna. Temelji na logiki, globini in celovitosti študija, resničnosti, ustreznosti in doslednosti sodb. Hkrati pa so očitne in dokazane trditve sprejete kot postulati in ne zahtevajo ponovnega dokazovanja in vrednotenja.

Tehničnih metod diferencialnega računa v zgornjem sklepanju sploh nismo uporabljali.

Težko je ne priznati, da so naše osnovne metode enostavnejše in bolj neposredne od analiz. Na splošno je pri obravnavanju določenega znanstvenega problema bolje izhajati iz njegovih posameznih značilnosti, kot pa se zanašati samo na običajne metode, čeprav po drugi strani splošno načelo, razjasnitev pomena uporabljenih posebnih postopkov bi morala seveda vedno igrati vodilno vlogo. Ravno takšen je pomen metod diferencialnega računa pri obravnavi ekstremnih problemov. Opaženo v sodobna znanostželja po splošnosti predstavlja le eno plat zadeve, saj je tisto, kar je v matematiki resnično ključnega pomena, nedvomno odvisno od posameznih značilnosti obravnavanih problemov in uporabljenih metod.

V njegovem zgodovinski razvoj Na diferencialni račun so v zelo veliki meri vplivali posamezni problemi, povezani z iskanjem največje in najmanjše vrednosti veličin. Povezavo med ekstremnimi problemi in diferencialnim računom lahko razumemo takole. V VIII. poglavju bomo podrobno preučili odvod f "(x) funkcije f (x) in njen geometrijski pomen. Tam bomo videli, da je na kratko odvod f" (x) naklon tangente na krivuljo y = f(x) na točki (x, y). Geometrijsko je očitno, da na točkah maksimuma ali minimuma gladke krivulje y = f(x) tangenta na krivuljo mora biti nujno vodoravna, to pomeni, da mora biti naklon nič. Tako dobimo pogoj za ekstremne točke f"(x) = 0.

Da bi bilo jasno, kaj pomeni izpeljanka f "(x) na nič, upoštevajte krivuljo, prikazano na sliki 191. Tu vidimo pet točk A, B, C, D, ?, v katerih je tangenta na krivuljo vodoravna; ustrezne vrednosti f(x) na teh točkah označimo z a, b, c, d, e. Najvišja vrednost f(x) (znotraj območja, prikazanega na risbi) je dosežen v točki D, najmanjši - v točki A. V točki B je maksimum - v smislu, da na vseh točkah neka soseska točki B je vrednost f(x) manjša od b, čeprav je v točkah blizu D vrednost f(x) še vedno večja od b. Iz tega razloga je običajno reči, da je v točki B relativni maksimum funkcije f(x), medtem ko v točki D - absolutni maksimum. Podobno imamo v točki C relativni minimum, in v točki A absolutni minimum. Končno, kar zadeva točko E, v njej ni niti maksimuma niti minimuma, čeprav je enakost f"(x) = Q, Iz tega sledi, da izginotje odvoda f "(x) je potrebno, nikakor pa ne dovolj pogoj za pojav ekstremuma gladke funkcije f(x); z drugimi besedami, na kateri koli točki, kjer obstaja ekstrem (absolutni ali relativni), enakost f"(x) = 0, vendar ne kjer koli f"(x) = 0, mora biti ekstrem. Tiste točke, na katerih izpeljanka f "(x) izgine, ne glede na to, ali imajo ekstrem, se imenujejo stacionarni. Nadaljnja analiza vodi do bolj ali manj zapletenih pogojev glede višjih izvodov funkcije f(x) in popolne karakterizacije maksimumov, minimumov in drugih stacionarnih točk.