Կայքի բաժինները

Խմբագրի ընտրությունը.

Գովազդ

տուն - Պատեր

Միջին արժեքի որոշում վիճակագրության մեջ. Մոսկվայի տպագրական արվեստի պետական համալսարան

Միջին կշռված քառակուսին հաշվարկելու համար մենք որոշում և մուտքագրում ենք աղյուսակ և . Այնուհետեւ արտադրանքի երկարության միջին շեղումը տվյալ նորմայից հավասար է.

Միջին թվաբանականն այս դեպքում անհարմար կլիներ, քանի որ արդյունքում մենք կստանայինք զրոյական շեղում։
Միջին քառակուսու օգտագործումը հետագայում կքննարկվի տատանումների առումով:

Այս տերմինը այլ իմաստներ ունի, տե՛ս միջին իմաստը։

Միջին(մաթեմատիկայի և վիճակագրության մեջ) թվերի հավաքածուներ - բոլոր թվերի գումարը բաժանված նրանց թվի վրա: Կենտրոնական միտումի ամենատարածված չափորոշիչներից է։

Այն առաջարկվել է (երկրաչափական միջինի և ներդաշնակ միջինի հետ միասին) պյութագորացիների կողմից։

Թվաբանական միջինի հատուկ դեպքերն են միջինը (ընդհանուր բնակչությունը) և ընտրանքի միջինը (նմուշ):

Ներածություն

Նշենք տվյալների բազմությունը X = (x 1 , x 2 , …, x n), այնուհետև նմուշի միջինը սովորաբար նշվում է հորիզոնական գծով փոփոխականի վրա (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), արտասանված « xտողով»):

Հունարեն μ տառը օգտագործվում է ամբողջ բնակչության թվաբանական միջինը նշելու համար։ Պատահական փոփոխականի համար, որի համար որոշվում է միջին արժեքը, μ է հավանականական միջինկամ ակնկալվող արժեքըպատահական փոփոխական. Եթե հավաքածուն XՄ հավանականական միջինով պատահական թվերի հավաքածու է, ապա ցանկացած նմուշի համար x եսայս հավաքածուից μ = E( x ես) այս նմուշի մաթեմատիկական ակնկալիքն է:

Գործնականում μ-ի և x ¯-ի (\displaystyle (\bar (x))) միջև տարբերությունն այն է, որ μ-ը տիպիկ փոփոխական է, քանի որ դուք կարող եք տեսնել ոչ թե ամբողջ պոպուլյացիան, այլ նմուշը: Հետևաբար, եթե նմուշը ներկայացված է պատահականորեն (հավանականության տեսության տեսանկյունից), ապա x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (բայց ոչ μ) կարող է դիտվել որպես պատահական փոփոխական, որն ունի հավանականության բաշխում ընտրանքի վրա ( միջինի հավանականության բաշխումը):

Այս երկու քանակները հաշվարկվում են նույն կերպ.

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)):)

Եթե Xպատահական փոփոխական է, ապա մաթեմատիկական ակնկալիքը Xկարելի է համարել մեծության կրկնվող չափումների մեջ արժեքների միջին թվաբանական X. Սա մեծ թվերի օրենքի դրսեւորում է։ Հետևաբար, ընտրանքի միջինը օգտագործվում է անհայտ ակնկալվող արժեքը գնահատելու համար:

Տարրական հանրահաշիվում ապացուցված է, որ միջին n+ 1 թիվ միջինից բարձր nթվեր, եթե և միայն, եթե նոր թիվը մեծ է հին միջինից, պակաս, եթե և միայն, եթե նոր թիվը փոքր է միջինից, և չի փոխվում, եթե և միայն եթե նոր թիվը հավասար է միջինին: Որքան ավելի շատ n, այնքան փոքր է տարբերությունը նոր և հին միջինների միջև։

Նկատի ունեցեք, որ կան մի քանի այլ «միջիններ», ներառյալ հզորության միջինը, Կոլմոգորովի միջինը, հարմոնիկ միջինը, թվաբանական-երկրաչափական միջինը և տարբեր կշռված միջիններ (օրինակ՝ կշռված թվաբանական միջին, կշռված երկրաչափական միջին, կշռված ներդաշնակ միջին):

Օրինակներ

Երեք թվերի համար անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել 3-ի.

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Չորս թվերի համար անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել 4-ի.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Կամ ավելի պարզ 5+5=10, 10:2: Քանի որ մենք գումարում էինք 2 թիվ, այսինքն՝ քանի թիվ ենք գումարում, բաժանում ենք այդքանի։

Շարունակական պատահական փոփոխական

Շարունակաբար բաշխված մեծության համար f (x) (\displaystyle f(x)), թվաբանական միջինը [ a ; b ] (\displaystyle ) որոշվում է որոշակի ինտեգրալի միջոցով.

F (x) ¯ [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Միջին օգտագործման որոշ խնդիրներ

Հզորության բացակայություն

Հիմնական հոդված. Ուժեղություն վիճակագրության մեջ

Թեև թվաբանական միջոցները հաճախ օգտագործվում են որպես միջին կամ կենտրոնական միտումներ, այս հայեցակարգը չի տարածվում կայուն վիճակագրության վրա, ինչը նշանակում է, որ միջին թվաբանականը ենթակա է ուժեղ ազդեցություն«մեծ շեղումներ» Հատկանշական է, որ թեքության մեծ գործակից ունեցող բաշխումների համար միջին թվաբանականը կարող է չհամապատասխանել «միջին» հասկացությանը, իսկ կայուն վիճակագրությունից ստացված միջինի արժեքները (օրինակ՝ միջինը) կարող են ավելի լավ նկարագրել կենտրոնականը։ միտում։

Դասական օրինակ է միջին եկամուտը հաշվարկելը: Միջին թվաբանականը կարող է սխալ մեկնաբանվել որպես մեդիա, ինչը կարող է հանգեցնել այն եզրակացության, որ ավելի շատ մարդիկ կան ավելի բարձր եկամուտներով, քան իրականում կան: «Միջին» եկամուտը մեկնաբանվում է այնպես, որ մարդկանց մեծամասնությունն ունի այս թվի մոտ եկամուտ: Այս «միջին» (միջին թվաբանական իմաստով) եկամուտը ավելի բարձր է, քան մարդկանց մեծամասնության եկամուտները, քանի որ բարձր եկամուտը միջինից մեծ շեղումով դարձնում է միջին թվաբանականը խիստ շեղված (ի տարբերություն միջինի միջին եկամուտի. «դիմակայում է» նման շեղմանը): Այնուամենայնիվ, այս «միջին» եկամուտը ոչինչ չի ասում միջին եկամտին մոտ գտնվող մարդկանց թվի մասին (և ոչինչ չի ասում մոդալ եկամտի մոտ գտնվող մարդկանց թվի մասին): Այնուամենայնիվ, եթե անլուրջ վերաբերվեք «միջին» և «մարդկանց մեծամասնություն» հասկացություններին, ապա կարող եք սխալ եզրակացություն անել, որ մարդկանց մեծամասնությունն ավելի բարձր եկամուտ ունի, քան իրականում կա: Օրինակ, Վաշինգտոն նահանգի Մեդինայում «միջին» զուտ եկամտի մասին հաշվետվությունը, որը հաշվարկվում է որպես բնակիչների տարեկան բոլոր զուտ եկամուտների թվաբանական միջինը, զարմանալիորեն կբերի. մեծ թիվԲիլ Գեյթսի պատճառով։ Դիտարկենք նմուշը (1, 2, 2, 2, 3, 9): Թվաբանական միջինը 3.17 է, բայց վեց արժեքներից հինգը այս միջինից ցածր են:

Բաղադրություն հետաքրքրությունը

Հիմնական հոդված. Ներդրումների վերադարձը

Եթե թվերը բազմապատկել, բայց չէ ծալել, անհրաժեշտ է օգտագործել երկրաչափական միջինը, ոչ թե միջին թվաբանականը: Ամենից հաճախ այս միջադեպը տեղի է ունենում ֆինանսների ոլորտում ներդրումների վերադարձը հաշվարկելիս:

Օրինակ, եթե բաժնետոմսերը առաջին տարում ընկել են 10%-ով, իսկ երկրորդում աճել են 30%-ով, ապա սխալ է այդ երկու տարվա ընթացքում «միջին» աճը հաշվարկել որպես միջին թվաբանական (−10% + 30%) / 2 = 10%; ճիշտ միջինն այս դեպքում տրվում է բաղադրյալ տարեկան աճի տեմպերով, որը տալիս է ընդամենը մոտ 8,16653826392% ≈ 8,2% տարեկան աճ:

Սրա պատճառն այն է, որ տոկոսներն ամեն անգամ նոր սկզբնակետ ունեն՝ 30%-ը 30% է: առաջին տարվա սկզբի գնից փոքր թվից.եթե բաժնետոմսը սկսվեց $30-ով և ընկավ 10%, այն արժե $27 երկրորդ տարվա սկզբին: Եթե բաժնետոմսերը բարձրանան 30%-ով, երկրորդ տարվա վերջում այն կարժենար $35,1: Այս աճի միջին թվաբանականը կազմում է 10%, բայց քանի որ բաժնետոմսերը 2 տարվա ընթացքում աճել են ընդամենը 5,1 դոլարով, միջինը 8,2% աճը տալիս է 35,1 դոլար վերջնական արդյունք.

[30 դոլար (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 դոլար (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 դոլար]: Եթե նույն կերպ օգտագործենք 10% թվաբանական միջինը, չենք ստանա իրական արժեքը՝ [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3]։

Համակցված տոկոսադրույքը 2 տարվա վերջում՝ 90% * 130% = 117%, այսինքն՝ ընդհանուր աճը 17%, իսկ միջին տարեկան բարդ տոկոսադրույքը կազմում է 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%): ))\մոտ 108,2\%) , այսինքն՝ միջին տարեկան աճ՝ 8,2%։

Ուղղություններ

Հիմնական հոդված. Նպատակակետի վիճակագրություն

Միջինը հաշվարկելիս թվաբանական արժեքներՈրոշ փոփոխականների համար, որոնք փոխվում են ցիկլային (օրինակ՝ փուլը կամ անկյունը), պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնել: Օրինակ, 1°-ի և 359°-ի միջինը կլինի 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°: Այս թիվը սխալ է երկու պատճառով.

Նախ, անկյունային չափումները սահմանվում են միայն 0°-ից մինչև 360° (կամ 0-ից 2π, երբ չափվում են ռադիաններով): Այսպիսով, թվերի նույն զույգը կարող է գրվել որպես (1° և −1°) կամ որպես (1° և 719°): Յուրաքանչյուր զույգի միջին արժեքները տարբեր կլինեն՝ 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ շրջան)):
Երկրորդ, այս դեպքում 0°-ի արժեքը (համարժեք 360°-ին) կլինի երկրաչափորեն ավելի լավ միջին արժեք, քանի որ թվերը 0°-ից ավելի քիչ են շեղվում, քան ցանկացած այլ արժեքից (0° արժեքն ունի ամենափոքր շեղումը): Համեմատել.
- 1° թիվը 0°-ից շեղվում է ընդամենը 1°-ով;
- 1° թիվը 180° հաշվարկված միջինից շեղվում է 179°-ով։

Վերոնշյալ բանաձևով հաշվարկված ցիկլային փոփոխականի միջին արժեքը արհեստականորեն կտեղափոխվի իրական միջինի համեմատ դեպի թվային միջակայքի կեսը: Դրա պատճառով միջինը հաշվարկվում է այլ կերպ, այն է՝ ամենափոքր շեղում ունեցող թիվը ( կենտրոնական կետ) Նաև հանման փոխարեն օգտագործվում է մոդուլային հեռավորությունը (այսինքն՝ շրջագծային հեռավորությունը)։ Օրինակ, 1°-ի և 359°-ի միջև մոդուլային հեռավորությունը 2° է, ոչ թե 358° (359°-ի և 360°==0°-ի միջև ընկած շրջանագծի վրա՝ մեկ աստիճան, 0°-ից 1°-ի միջև՝ նաև 1°, ընդհանուր առմամբ - 2 °):

4.3. Միջին արժեքներ. Միջին արժեքների էությունն ու նշանակությունը

Միջին չափըվիճակագրության մեջ ընդհանուր ցուցիչ է, որը բնութագրում է երևույթի բնորոշ մակարդակը տեղի և ժամանակի հատուկ պայմաններում, որն արտացոլում է որակապես միատարր բնակչության մեկ միավորի տարբեր բնութագրիչի արժեքը: Տնտեսական պրակտիկայում օգտագործվում են ցուցիչների լայն շրջանակ՝ հաշվարկված որպես միջին արժեքներ։

Օրինակ, բաժնետիրական ընկերության (ԲԸ) աշխատողների եկամտի ընդհանուր ցուցանիշը մեկ աշխատողի միջին եկամուտն է, որը որոշվում է դիտարկվող ժամանակաշրջանի (տարի, եռամսյակ, ամիս) աշխատավարձի ֆոնդի և սոցիալական վճարների հարաբերակցությամբ: բ) ԲԲԸ-ի աշխատողների թվին.

Միջին հաշվարկը ընդհանուր ընդհանրացման մեթոդներից մեկն է. միջին ցուցանիշը արտացոլում է այն, ինչ ընդհանուր է (բնորոշ) ուսումնասիրվող բնակչության բոլոր միավորների համար, մինչդեռ միևնույն ժամանակ անտեսում է առանձին միավորների տարբերությունները: Յուրաքանչյուր երևույթի և դրա զարգացման մեջ կա մի համադրություն դժբախտ պատահարներԵվ անհրաժեշտ.Միջինները հաշվարկելիս, մեծ թվերի օրենքի պատճառով, պատահականությունը չեղարկվում և հավասարակշռվում է, ուստի հնարավոր է վերացական լինել երևույթի անկարևոր հատկանիշներից, յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում հատկանիշի քանակական արժեքներից: Առանձին արժեքների պատահականությունից, տատանումներից վերացվելու ունակությունը միջինների գիտական արժեքի մեջ է, ընդհանրացնելովբնակչության բնութագրերը.

Այնտեղ, որտեղ ընդհանրացման անհրաժեշտություն է առաջանում, նման բնութագրերի հաշվարկը հանգեցնում է հատկանիշի բազմաթիվ տարբեր անհատական արժեքների փոխարինմանը: միջինցուցիչ, որը բնութագրում է երևույթների ամբողջությունը, ինչը հնարավորություն է տալիս բացահայտել զանգվածային սոցիալական երևույթներին բնորոշ օրինաչափություններ, որոնք անտեսանելի են առանձին երևույթների մեջ:

Միջինը արտացոլում է ուսումնասիրվող երևույթների բնորոշ, բնորոշ, իրական մակարդակը, բնութագրում է այդ մակարդակները և դրանց փոփոխությունները ժամանակի և տարածության մեջ։

Միջինը գործընթացի օրենքների ամփոփ բնութագիրն է այն պայմաններում, որտեղ այն տեղի է ունենում:

4.4. Միջինների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները

Միջին տեսակի ընտրությունը որոշվում է որոշակի ցուցանիշի տնտեսական բովանդակությամբ և աղբյուրի տվյալներով: Յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում օգտագործվում է միջին արժեքներից մեկը. թվաբանություն, գարմոնիկ, երկրաչափական, քառակուսի, խորանարդև այլն: Թվարկված միջինները պատկանում են դասին հանգստացնողմիջին.

Ի հավելումն հզորության միջին ցուցանիշների, վիճակագրական պրակտիկայում օգտագործվում են կառուցվածքային միջիններ, որոնք համարվում են ռեժիմ և միջին:

Եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք հզորության միջին ցուցանիշներին:

Թվաբանական միջին

Միջինի ամենատարածված տեսակն է միջին թվաբանություն։Այն օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ ամբողջ բնակչության համար տարբեր բնութագրիչի ծավալը նրա առանձին միավորների բնութագրերի արժեքների գումարն է: Սոցիալական երևույթները բնութագրվում են տարբեր բնութագրերի ծավալների հավելումով (ամփոփելով), որը որոշում է միջին թվաբանականի կիրառման շրջանակը և բացատրում է դրա տարածվածությունը որպես ընդհանուր ցուցանիշ, օրինակ. բոլոր աշխատողներին համախառն բերքը ամբողջ ցանքատարածքից ստացված արտադրանքի հանրագումարն է:

Միջին թվաբանականը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է բոլոր հատկանիշի արժեքների գումարը բաժանել նրանց թվով:

Միջին թվաբանականը օգտագործվում է ձևի մեջ պարզ միջին և կշռված միջին:Սկզբնական, որոշիչ ձևը պարզ միջինն է:

Պարզ թվաբանական միջինհավասար է միջինացված բնութագրիչի առանձին արժեքների պարզ գումարին, որը բաժանված է ընդհանուր թիվըայս արժեքները (այն օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ կան չխմբավորված անհատական բնութագրական արժեքներ).

Որտեղ
- փոփոխականի անհատական արժեքներ (տարբերակներ); մ - բնակչության միավորների թիվը.

Ավելին, գումարման սահմանաչափերը չեն նշվի բանաձևերում: Օրինակ, դուք պետք է գտնեք մեկ աշխատողի (մեխանիկի) միջին արդյունքը, եթե գիտեք, թե 15 աշխատողներից յուրաքանչյուրը քանի մաս է արտադրել, այսինքն. Տրված են բնութագրի մի շարք անհատական արժեքներ, հատ.

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Պարզ թվաբանական միջինը հաշվարկվում է բանաձևով (4.1), 1 հատ.

Տարբեր անգամներ կրկնվող կամ, ինչպես ասում են, տարբեր կշիռներ ունեցող տարբերակների միջինը կոչվում է կշռված.Քաշերը միավորների քանակն են տարբեր խմբերագրեգատներ (նույնական տարբերակները միավորվում են խմբի մեջ):

Թվաբանական միջին կշռված- խմբավորված արժեքների միջինը, - հաշվարկվում է բանաձևով.

, (4.2)

Որտեղ
- քաշը (նույնական նշանների կրկնության հաճախականությունը);

- հատկանիշների մեծության և դրանց հաճախականությունների արտադրյալների գումարը.

- բնակչության միավորների ընդհանուր թիվը.

Մենք ցույց ենք տալիս թվաբանական կշռված միջինը հաշվարկելու տեխնիկան՝ օգտագործելով վերը քննարկված օրինակը: Դա անելու համար մենք կխմբավորենք աղբյուրի տվյալները և կտեղադրենք դրանք աղյուսակում: 4.1.

Աղյուսակ 4.1

Պահեստամասերի արտադրության համար աշխատողների բաշխում

Համաձայն բանաձևի (4.2) կշռված թվաբանական միջինը հավասար է հատ.

Որոշ դեպքերում կշիռները կարող են չներկայացվել բացարձակ արժեքներ, բայց հարաբերական (տոկոսով կամ միավորի կոտորակներով): Այնուհետև թվաբանական կշռված միջինի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

Որտեղ
- յուրահատկություն, այսինքն. յուրաքանչյուր հաճախականության մասնաբաժինը բոլորի ընդհանուր գումարում

Եթե հաճախականությունները հաշվվում են կոտորակներով (գործակիցներով), ապա
= 1, իսկ թվաբանական կշռված միջինի բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

Խմբային միջինից կշռված թվաբանական միջինի հաշվարկը իրականացվում է ըստ բանաձևի.

Որտեղ զ- յուրաքանչյուր խմբում միավորների քանակը:

Խմբային միջինից միջին թվաբանականի հաշվարկման արդյունքները ներկայացված են աղյուսակում: 4.2.

Աղյուսակ 4.2

Աշխատողների բաշխումն ըստ միջին ստաժի

Այս օրինակում տարբերակները անհատական տվյալներ չեն առանձին աշխատողների ստաժի վերաբերյալ, այլ միջինը յուրաքանչյուր արտադրամասի համար: Կշեռք զխանութներում աշխատողների թիվն է։ Այսպիսով, ձեռնարկությունում աշխատողների միջին աշխատանքային փորձը կկազմի տարիներ.

Միջին թվաբանականի հաշվարկ բաշխման շարքերում

Եթե միջինացված բնութագրիչի արժեքները նշված են ինտերվալների տեսքով («-ից մինչև»), այսինքն. բաշխման ինտերվալային շարքը, այնուհետև թվաբանական միջինը հաշվարկելիս այդ միջակայքերի միջնակետերը վերցվում են որպես խմբերի բնութագրիչների արժեքներ, ինչի արդյունքում ձևավորվում է դիսկրետ շարք: Դիտարկենք հետևյալ օրինակը (Աղյուսակ 4.3):

Եկեք անցնենք ինտերվալային շարքից դիսկրետ շարք՝ փոխարինելով միջակայքի արժեքները իրենց միջին արժեքներով/(պարզ միջին

Աղյուսակ 4.3

ԲԲԸ աշխատողների բաշխումն ըստ ամսական աշխատավարձի

Excel-ում միջին արժեքը գտնելու համար (անկախ նրանից՝ դա թվային, տեքստային, տոկոսային կամ այլ արժեք է), կան բազմաթիվ գործառույթներ։ Եվ նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր առանձնահատկություններն ու առավելությունները: Իրոք, այս առաջադրանքում կարող են որոշակի պայմաններ սահմանվել։

Օրինակ, Excel-ում մի շարք թվերի միջին արժեքները հաշվարկվում են վիճակագրական գործառույթների միջոցով: Կարող եք նաև ձեռքով մուտքագրել ձեր սեփական բանաձևը: Դիտարկենք տարբեր տարբերակներ.

Ինչպե՞ս գտնել թվերի միջին թվաբանականը:

Միջին թվաբանականը գտնելու համար պետք է գումարել բազմության բոլոր թվերը և գումարը բաժանել քանակի վրա։ Օրինակ՝ աշակերտի գնահատականները համակարգչային գիտությունից՝ 3, 4, 3, 5, 5։ Ինչ է ներառված եռամսյակում՝ 4. Թվաբանական միջինը գտել ենք՝ օգտագործելով բանաձևը՝ =(3+4+3+5+5) /5.

Ինչպե՞ս արագ դա անել՝ օգտագործելով Excel գործառույթները: Օրինակ բերենք շարքը պատահական թվերշարքում:

Կամ՝ դարձրեք ակտիվ բջիջը և պարզապես ձեռքով մուտքագրեք բանաձևը՝ =AVERAGE(A1:A8):

Հիմա տեսնենք, թե էլ ինչ կարող է անել AVERAGE ֆունկցիան:

Գտնենք առաջին երկու և վերջին երեք թվերի միջին թվաբանականը։ Բանաձև՝ =ՄԻՋԻՆ (A1:B1,F1:H1): Արդյունք:

Վիճակը միջին

Միջին թվաբանականը գտնելու պայմանը կարող է լինել թվային չափանիշ կամ տեքստային: Մենք կօգտագործենք ֆունկցիան՝ =AVERAGEIF():

Գտեք միջինը թվաբանական թվեր, որոնք մեծ են կամ հավասար են 10-ի:

Ֆունկցիան՝ =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

AVERAGEIF ֆունկցիայի օգտագործման արդյունքը «>=10» պայմանով.

Երրորդ փաստարկը՝ «Միջին տիրույթը», բաց է թողնված: Նախ, դա պարտադիր չէ. Երկրորդ, ծրագրի կողմից վերլուծված միջակայքը պարունակում է ՄԻԱՅՆ թվային արժեքներ. Առաջին արգումենտում նշված բջիջները կփնտրվեն երկրորդ արգումենտում նշված պայմանի համաձայն:

Ուշադրություն. Որոնման չափանիշը կարող է նշվել բջիջում: Եվ դրա հղումը դարձրեք բանաձևում:

Տեքստի չափանիշով գտնենք թվերի միջին արժեքը։ Օրինակ, ապրանքի միջին վաճառքի «աղյուսակներ»:

Ֆունկցիան կունենա հետևյալ տեսքը՝ =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12): Շրջանակ - ապրանքի անվանումներով սյունակ: Որոնման չափանիշը «աղյուսակներ» բառով բջիջի հղումն է (A7 հղման փոխարեն կարող եք տեղադրել «աղյուսակներ» բառը): Միջին տիրույթ - այն բջիջները, որոնցից տվյալները կվերցվեն միջին արժեքը հաշվարկելու համար:

Ֆունկցիան հաշվարկելու արդյունքում ստանում ենք հետևյալ արժեքը.

Ուշադրություն. Տեքստի չափանիշի (պայմանի) համար պետք է նշվի միջինացման միջակայքը:

Ինչպե՞ս հաշվարկել միջին կշռված գինը Excel-ում:

Ինչպե՞ս պարզեցինք միջին կշռված գինը:

Բանաձև՝ =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12):

Օգտագործելով SUMPRODUCT բանաձևը, մենք պարզում ենք ընդհանուր եկամուտը ապրանքների ամբողջ քանակությունը վաճառելուց հետո: Իսկ SUM ֆունկցիան ամփոփում է ապրանքների քանակը։ Ապրանքների վաճառքից ստացված ընդհանուր հասույթը ապրանքների միավորների ընդհանուր թվի վրա բաժանելով՝ գտանք միջին կշռված գինը։ Այս ցուցանիշը հաշվի է առնում յուրաքանչյուր գնի «կշիռը»: Նրա մասնաբաժինը արժեքների ընդհանուր զանգվածում։

Ստանդարտ շեղում. բանաձև Excel-ում

Տարբերակել միջինը ստանդարտ շեղումընդհանուր բնակչության և ընտրանքի համար: Առաջին դեպքում սա ընդհանուր շեղման արմատն է: Երկրորդում՝ ընտրանքի շեղումից։

Այս վիճակագրական ցուցանիշը հաշվարկելու համար կազմվում է դիսպերսիայի բանաձև։ Արմատը հանվում է դրանից։ Բայց Excel-ում ստանդարտ շեղումը գտնելու պատրաստի ֆունկցիա կա։

Ստանդարտ շեղումը կապված է աղբյուրի տվյալների սանդղակի հետ: Սա բավարար չէ վերլուծված միջակայքի տատանումների պատկերավոր ներկայացման համար: Տվյալների ցրման հարաբերական մակարդակը ստանալու համար հաշվարկվում է տատանումների գործակիցը.

ստանդարտ շեղում / միջին թվաբանական

Excel-ի բանաձևը հետևյալն է.

STDEV (արժեքների միջակայք) / AVERAGE (արժեքների միջակայք):

Տատանումների գործակիցը հաշվարկվում է որպես տոկոս: Հետևաբար, մենք վանդակում սահմանում ենք տոկոսային ձևաչափը:

Մաթեմատիկայի և վիճակագրության մեջ միջինթվաբանություն (կամ հեշտ միջին) թվերի բազմությունը այս բազմության բոլոր թվերի գումարն է՝ բաժանված նրանց թվի վրա։ Միջին թվաբանականը հատկապես համընդհանուր և ամենատարածված ներկայացումն է միջին չափը.

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

Մաթեմատիկայի իմացություն.

Հրահանգներ

1. Թող տրվի չորս թվերի հավաքածու: Պետք է բացահայտել միջին իմաստըայս հանդերձանքը: Դա անելու համար մենք նախ գտնում ենք այս բոլոր թվերի գումարը: Հնարավոր թվերն են 1, 3, 8, 7: Դրանց գումարը S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19 է: Թվերի բազմությունը պետք է բաղկացած լինի նույն նշանի թվերից, հակառակ դեպքում միջին արժեքը հաշվարկելու իմաստը կորչում է:

2. Միջին իմաստըթվերի բազմությունը հավասար է S թվերի գումարին, որը բաժանվում է այդ թվերի թվի վրա: Այսինքն՝ ստացվում է, որ միջին իմաստըհավասար է՝ 19/4 = 4,75:

3. Մի շարք թվերի համար հնարավոր է նաև հայտնաբերել ոչ միայն միջինթվաբանություն, բայց նաև միջիներկրաչափական. Մի քանի կանոնավոր իրական թվերի երկրաչափական միջինը այն թիվն է, որը կարող է փոխարինել այս թվերից որևէ մեկին, որպեսզի դրանց արտադրյալը չփոխվի: G երկրաչափական միջինը որոնվում է՝ օգտագործելով թվերի բազմության արտադրյալի N-րդ արմատը, որտեղ N-ը բազմության թիվն է: Դիտարկենք թվերի նույն բազմությունը՝ 1, 3, 8, 7։ Եկեք գտնենք դրանք։ միջիներկրաչափական. Դա անելու համար եկեք հաշվարկենք արտադրյալը՝ 1*3*8*7 = 168։ Այժմ 168 թվից պետք է հանել 4-րդ արմատը՝ G = (168)^1/4 = 3,61։ Այսպիսով միջինթվերի երկրաչափական բազմությունը 3,61 է։

ՄիջինԵրկրաչափական միջինը սովորաբար օգտագործվում է ավելի քիչ, քան թվաբանական միջինը, սակայն այն կարող է օգտակար լինել ժամանակի ընթացքում փոփոխվող ցուցիչների միջին արժեքը (անհատ աշխատողի աշխատավարձը, ակադեմիական կատարողականի ցուցանիշների դինամիկան և այլն) հաշվարկելիս:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

Ինժեներական հաշվիչ

Հրահանգներ

1. Թվերի շարքի երկրաչափական միջինը գտնելու համար նախ պետք է բազմապատկել այս բոլոր թվերը։ Ենթադրենք, ձեզ տրված է հինգ ցուցանիշներից բաղկացած մի շարք՝ 12, 3, 6, 9 և 4։ Եկեք բազմապատկենք այս բոլոր թվերը՝ 12x3x6x9x4=7776։

2. Այժմ մենք պետք է ստացված թվից հանենք աստիճանի արմատը, թվին հավասարշարքի տարրեր. Մեր դեպքում 7776 թվից անհրաժեշտ կլինի հանել հինգերորդ արմատը՝ օգտագործելով ինժեներական հաշվիչը։ Այս գործողությունից հետո ստացված թիվը, այս դեպքում 6 թիվը, կլինի թվերի սկզբնական խմբի երկրաչափական միջինը:

3. Եթե ձեռքի տակ չունեք ինժեներական հաշվիչ, ապա կարող եք հաշվարկել մի շարք թվերի երկրաչափական միջինը՝ օգտագործելով SRGEOM ֆունկցիան Excel-ում կամ օգտագործելով առցանց հաշվիչներից մեկը, որը հատուկ նախատեսված է երկրաչափական միջին արժեքները հաշվարկելու համար:

Նշում!
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել յուրաքանչյուրի երկրաչափական միջինը 2 թվի համար, ապա ձեզ հարկավոր չէ ինժեներական հաշվիչ. հանեք 2-րդ արմատը ( Քառակուսի արմատ) ցանկացած թվից թույլատրվում է օգտագործել ամենասովորական հաշվիչը:

Օգտակար խորհուրդ
Ի տարբերություն թվաբանական միջինի, երկրաչափական միջինի վրա այնքան էլ ուժեղ չեն ազդում ուսումնասիրվող ցուցիչների շարքում անհատական արժեքների միջև հսկայական շեղումներն ու տատանումները:

Միջինարժեքը մի շարք թվերի համադրումներից մեկն է: Ներկայացնում է մի թիվ, որը չի կարող դուրս գալ այդ թվերի մեծագույն և ամենափոքր արժեքներով սահմանված միջակայքից: Միջինթվաբանական արժեքը միջինի հատկապես հաճախ օգտագործվող տեսակ է:

Հրահանգներ

1. Գումարի՛ր բազմության բոլոր թվերը և բաժանի՛ր դրանք տերմինների թվի վրա՝ ստանալով միջին թվաբանականը: Կախված որոշակի հաշվարկային պայմաններից, երբեմն ավելի հեշտ է թվերից յուրաքանչյուրը բաժանել հավաքածուի արժեքների քանակով և գումարել ընդհանուրը:

2. Օգտագործեք, ասենք, Windows OS-ի հետ ներառված հաշվիչը, եթե ձեր գլխում միջին թվաբանականը հնարավոր չէ հաշվարկել: Դուք կարող եք այն բացել ծրագրի մեկնարկի երկխոսության աջակցությամբ: Դա անելու համար սեղմեք «թեժ ստեղները» WIN + R կամ սեղմեք «Սկսել» կոճակը և հիմնական ընտրացանկից ընտրեք «Գործարկել» հրամանը: Դրանից հետո մուտքագրման դաշտում մուտքագրեք calc և սեղմեք Enter ստեղնաշարի վրա կամ սեղմեք «OK» կոճակը: Նույնը կարելի է անել հիմնական ցանկի միջոցով՝ բացեք այն, անցեք «Բոլոր ծրագրերը» բաժինը և «Տիպիկ» հատվածները և ընտրեք «Հաշվիչ» տողը:

3. Մուտքագրեք հավաքածուի բոլոր համարները քայլ առ քայլ՝ սեղմելով ստեղնաշարի Plus ստեղնը բոլորից հետո (բացի վերջինից) կամ սեղմելով հաշվիչի ինտերֆեյսի համապատասխան կոճակը։ Կարող եք նաև թվեր մուտքագրել կամ ստեղնաշարից կամ սեղմելով համապատասխան ինտերֆեյսի կոճակները:

4. Կոմպլեկտի վերջին արժեքը մուտքագրելուց հետո սեղմեք կտրատող ստեղնը կամ սեղմեք այս պատկերակը հաշվիչի միջերեսում և մուտքագրեք թվերի քանակը հաջորդականությամբ: Դրանից հետո սեղմեք հավասարության նշանը և հաշվիչը կհաշվարկի և կցուցադրի միջին թվաբանականը:

5. Նույն նպատակով կարող եք օգտագործել Microsoft Excel աղյուսակների խմբագրիչը: Այս դեպքում գործարկեք խմբագրիչը և մուտքագրեք թվերի հաջորդականության բոլոր արժեքները հարակից բջիջներում: Եթե ամբողջ համարը մուտքագրելուց հետո սեղմեք Enter կամ ներքև կամ աջ սլաքի ստեղնը, խմբագրիչն ինքը կտեղափոխի մուտքային ֆոկուսը հարակից բջիջ:

6. Ընտրեք բոլոր մուտքագրված արժեքները և խմբագրի պատուհանի ստորին ձախ անկյունում (կարգավիճակի տողում) կտեսնեք ընտրված բջիջների միջին թվաբանական արժեքը:

7. Սեղմեք վերջին մուտքագրված թվի կողքին գտնվող բջիջը, եթե պարզապես ցանկանում եք տեսնել միջինը: Ընդարձակեք բացվող ցանկը հունարեն սիգմա (Σ) տառի պատկերով Խմբագրման հրամանի խմբում Գլխավոր ներդիրում: Ընտրեք տողը » Միջին« և խմբագիրն ընտրված բջիջում կտեղադրի միջին թվաբանականը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ բանաձևը: Սեղմեք Enter ստեղնը և արժեքը կհաշվարկվի:

Միջին թվաբանականը կենտրոնական հակվածության չափումներից մեկն է, որը լայնորեն կիրառվում է մաթեմատիկայում և վիճակագրական հաշվարկներում։ Մի քանի արժեքների համար միջին թվաբանականը գտնելը շատ հեշտ է, բայց յուրաքանչյուր խնդիր ունի իր նրբությունները, որոնք դուք պետք է իմանաք՝ ավարտելու համար։ ճիշտ հաշվարկներպարզունակ անհրաժեշտություն.

Ինչ է թվաբանական միջինը

Թվաբանական միջինը սահմանում է միջին արժեքը թվերի յուրաքանչյուր սկզբնական զանգվածի համար: Այլ կերպ ասած, որոշակի թվերի շարքից ընտրվում է մի արժեք, որը ունիվերսալ է բոլոր տարրերի համար, որի մաթեմատիկական համեմատությունը բոլոր տարրերի հետ մոտավորապես հավասար է։ Թվաբանական միջինը գերադասելիորեն օգտագործվում է ֆինանսական և վիճակագրական հաշվետվություններ պատրաստելու կամ նմանատիպ հմտությունների քանակական արդյունքները հաշվարկելու համար:

Ինչպես գտնել թվաբանական միջինը

Թվերի զանգվածի համար միջին թվաբանականը գտնելը պետք է սկսվի այս արժեքների հանրահաշվական գումարի որոշմամբ: Օրինակ, եթե զանգվածը պարունակում է 23, 43, 10, 74 և 34 թվերը, ապա դրանց հանրահաշվական գումարը հավասար կլինի 184-ի։ Գրելիս միջին թվաբանականը նշանակվում է տառով։ (mu) կամ x (x տողով): Հետագա հանրահաշվական գումարպետք է բաժանել զանգվածի թվերի թվին: Քննարկվող օրինակում հինգ թիվ կար, հետևաբար միջին թվաբանականը հավասար կլինի 184/5-ի և կլինի 36,8։

Բացասական թվերի հետ աշխատելու առանձնահատկությունները

Եթե զանգվածը պարունակում է բացասական թվեր, ապա թվաբանական միջինը հայտնաբերվում է նմանատիպ ալգորիթմի միջոցով։ Տարբերությունը գոյություն ունի միայն ծրագրավորման միջավայրում հաշվարկելիս, կամ եթե խնդիրը պարունակում է լրացուցիչ տվյալներ։ Այս դեպքերում գտնելով թվերի միջին թվաբանականը տարբեր նշաններհանգում է երեք գործողությունների՝ 1. Ստանդարտ մեթոդի միջոցով գտնել համընդհանուր թվաբանական միջինը;2. Գտնելով բացասական թվերի միջին թվաբանականը.3. Դրական թվերի միջին թվաբանականի հաշվարկը Յուրաքանչյուր գործողության արդյունքները գրվում են ստորակետերով:

Բնական և տասնորդական կոտորակներ

Եթե ներկայացված է թվերի զանգված տասնորդականներ, լուծումն իրականացվում է ըստ ամբողջ թվերի միջին թվաբանականի հաշվարկման մեթոդի, սակայն ընդհանուրի կրճատումը կատարվում է արդյունքի ճշտության համար առաջադրված խնդրի պահանջներին համապատասխան, դրանք պետք է կրճատվեն ընդհանուր հայտարարին՝ այն, որը բազմապատկվում է զանգվածի թվերի քանակով։ Արդյունքի համարիչը կլինի սկզբնական կոտորակային տարրերի տրված համարիչների գումարը։

Թվերի երկրաչափական միջինը կախված է ոչ միայն բուն թվերի բացարձակ արժեքից, այլև դրանց թվից։ Անհնար է շփոթել թվերի միջին երկրաչափական և թվաբանական միջինը, քանի որ դրանք հայտնաբերվում են տարբեր մեթոդոլոգիաներով: Այս դեպքում երկրաչափական միջինն անփոփոխ փոքր է կամ հավասար է միջին թվաբանականին:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

Ինժեներական հաշվիչ.

Հրահանգներ

1. Հաշվի առնենք, որ ընդհանուր դեպքում թվերի երկրաչափական միջինը գտնում ենք այս թվերը բազմապատկելով և դրանցից վերցնելով թվերի թվին համապատասխանող հզորության արմատը։ Օրինակ, եթե ձեզ անհրաժեշտ է գտնել հինգ թվերի երկրաչափական միջինը, ապա ձեզ հարկավոր է արտադրյալից հանել հինգերորդ արմատը:

2. 2 թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար օգտագործեք հիմնական կանոնը. Գտե՛ք դրանց արտադրյալը, ապա վերցրե՛ք երկու թվի քառակուսի արմատը, որը համապատասխանում է արմատի աստիճանին։ Ասենք՝ 16 և 4 թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար գտե՛ք դրանց արտադրյալը՝ 16 4 = 64։ Ստացված թվից վերցրե՛ք քառակուսի արմատը:64=8. Սա կլինի ցանկալի արժեքը: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս 2 թվերի միջին թվաբանականն ավելի մեծ է և հավասար է 10-ի: Եթե արմատն ամբողջությամբ չի արդյունահանվում, ապա ընդհանուրը կլորացրեք պահանջվող կարգին:

3. 2-ից ավելի թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար օգտագործեք նաև հիմնական կանոնը. Դա անելու համար գտեք բոլոր թվերի արտադրյալը, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել երկրաչափական միջինը: Ստացված արտադրյալից հանե՛ք թվերի թվին հավասար հզորության արմատը։ Ասենք՝ 2, 4 և 64 թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար գտե՛ք դրանց արտադրյալը։ 2 4 64=512. Քանի որ անհրաժեշտ է գտնել 3 թվերի երկրաչափական միջինի արդյունքը, արտադրյալից հանեք երրորդ արմատը։ Դժվար է դա անել բանավոր, այնպես որ օգտագործեք ինժեներական հաշվիչ: Այդ նպատակով այն ունի «x^y» կոճակ: Հավաքեք 512 թիվը, սեղմեք «x^y» կոճակը, այնուհետև հավաքեք 3 թիվը և սեղմեք «1/x» կոճակը՝ 1/3 արժեքը գտնելու համար, սեղմեք «=» կոճակը: Ստանում ենք 512-ը 1/3-ի հզորության բարձրացման արդյունքը, որը համապատասխանում է երրորդ արմատին։ Ստացեք 512^1/3=8: Սա 2.4 և 64 թվերի երկրաչափական միջինն է։

4. Ինժեներական հաշվիչի աջակցությամբ դուք կարող եք գտնել երկրաչափական միջինը՝ օգտագործելով մեկ այլ մեթոդ: Գտեք մատյան կոճակը ձեր ստեղնաշարի վրա: Դրանից հետո վերցրեք բոլոր թվերի լոգարիթմը, գտեք դրանց գումարը և բաժանեք այն թվերի թվի վրա: Ստացված թվից վերցրեք հակալոգարիթմը: Սա կլինի թվերի երկրաչափական միջինը: Ենթադրենք՝ նույն 2, 4 և 64 թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար հաշվիչը կատարեք մի շարք գործողություններ։ Հավաքեք 2 թիվը, այնուհետև սեղմեք log կոճակը, սեղմեք «+» կոճակը, հավաքեք 4 թիվը և կրկին սեղմեք log և «+», հավաքեք 64, սեղմեք log և «=»: Արդյունքը կլինի մի թիվ, որը հավասար է 2, 4 և 64 թվերի տասնորդական լոգարիթմների գումարին: Ստացված թիվը բաժանեք 3-ի, քանի որ սա այն թվերի քանակն է, որոնցով որոնվում է երկրաչափական միջինը: Ընդհանուրից վերցրեք հակալոգարիթմը՝ միացնելով գրանցման կոճակը և օգտագործեք նույն log ստեղնը: Արդյունքը կլինի 8 թիվը, սա ցանկալի երկրաչափական միջինն է:

Նշում!
Միջին արժեքը չի կարող մեծ լինել հավաքածուի ամենամեծ թվից և փոքրից փոքր:

Օգտակար խորհուրդ
Մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ մեծության միջին արժեքը կոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք։

Կարգապահություն՝ վիճակագրություն

Տարբերակ թիվ 2

Վիճակագրության մեջ օգտագործվող միջին արժեքները

Ներածություն………………………………………………………………………………………………….3

Տեսական առաջադրանք

Միջին արժեքը վիճակագրության մեջ, դրա էությունը և կիրառման պայմանները:

1.1. Միջին չափի և օգտագործման պայմանների էությունը………….4

1.2. Միջինների տեսակները…………………………………………………………8

Գործնական առաջադրանք

Առաջադրանք 1,2,3…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Եզրակացություն ………………………………………………………………………………………….21

Հղումների ցանկ………………………………………………………………………………………………………………………

Ներածություն

Սա փորձարկումբաղկացած է երկու մասից՝ տեսական և գործնական։ Տեսական մասում մանրամասն կուսումնասիրվի այնպիսի կարևոր վիճակագրական կատեգորիա, ինչպիսին է միջին արժեքը, որպեսզի պարզվի դրա էությունն ու կիրառման պայմանները, ինչպես նաև ընդգծվեն միջինների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները:

Վիճակագրությունը, ինչպես գիտենք, ուսումնասիրում է զանգվածային սոցիալ-տնտեսական երեւույթները։ Այս երևույթներից յուրաքանչյուրը կարող է ունենալ նույն հատկանիշի տարբեր քանակական արտահայտություն: Օրինակ՝ նույն մասնագիտության աշխատողների աշխատավարձը կամ նույն ապրանքի շուկայական գները և այլն։ Միջին արժեքները բնութագրում են առևտրային գործունեության որակական ցուցանիշները՝ բաշխման ծախսեր, շահույթ, շահութաբերություն և այլն։

Ցանկացած պոպուլյացիա ուսումնասիրելու համար՝ ըստ տարբեր (քանակապես փոփոխվող) բնութագրերի, վիճակագրությունը օգտագործում է միջին արժեքներ:

Միջին չափի սուբյեկտ

Միջին արժեքը ընդհանրացում է քանակական բնութագիրնմանատիպ երևույթների հավաքածու՝ հիմնված մեկ տարբեր հատկանիշի վրա: Տնտեսական պրակտիկայում օգտագործվում են ցուցիչների լայն շրջանակ՝ հաշվարկված որպես միջին արժեքներ։

Միջին արժեքի ամենակարևոր հատկությունն այն է, որ այն ներկայացնում է որոշակի հատկանիշի արժեքը ամբողջ բնակչության մեջ մեկ թվով, չնայած բնակչության առանձին միավորների քանակական տարբերություններին, և արտահայտում է այն, ինչ ընդհանուր է ուսումնասիրվող բնակչության բոլոր միավորների համար: . Այսպիսով, բնակչության միավորի բնութագրերի միջոցով այն բնութագրում է ամբողջ բնակչությանը որպես ամբողջություն:

Միջին արժեքները կապված են մեծ թվերի օրենքի հետ: Այս կապի էությունն այն է, որ միջինացման ժամանակ առանձին արժեքների պատահական շեղումները, մեծ թվերի օրենքի գործողության պատճառով, ջնջում են միմյանց և միջինում բացահայտվում են զարգացման հիմնական միտումը, անհրաժեշտությունը և օրինաչափությունը: Միջին արժեքները թույլ են տալիս համեմատել միավորների տարբեր թվով բնակչության հետ կապված ցուցանիշները:

Զարգացման ժամանակակից պայմաններում շուկայական հարաբերություններՏնտեսագիտության մեջ միջինները ծառայում են որպես սոցիալ-տնտեսական երևույթների օբյեկտիվ օրինաչափությունների ուսումնասիրման գործիք։ Այնուամենայնիվ, մեջ տնտեսական վերլուծությունՉի կարելի սահմանափակվել միայն միջին ցուցանիշներով, քանի որ ընդհանուր բարենպաստ միջինները կարող են թաքցնել առանձին տնտեսվարող սուբյեկտների գործունեության լուրջ թերություններ և նոր, առաջադիմականի ծիլեր։ Օրինակ՝ բնակչության բաշխումն ըստ եկամուտների հնարավորություն է տալիս բացահայտել նորի ձևավորումը սոցիալական խմբեր. Ուստի միջին վիճակագրական տվյալների հետ մեկտեղ անհրաժեշտ է հաշվի առնել բնակչության առանձին միավորների բնութագրերը։

Միջին արժեքը հետազոտվող երևույթի վրա ազդող բոլոր գործոնների արդյունքն է: Այսինքն, միջին արժեքները հաշվարկելիս պատահական (խառնաշփոթ, անհատական) գործոնների ազդեցությունը վերանում է և, հետևաբար, հնարավոր է որոշել ուսումնասիրվող երևույթին բնորոշ օրինաչափությունը: Ադոլֆ Կետելետն ընդգծեց, որ միջինների մեթոդի նշանակությունը անհատականից ընդհանուրին, պատահականից սովորականին անցնելու հնարավորությունն է, իսկ միջինների առկայությունը օբյեկտիվ իրականության կատեգորիա է։

Վիճակագրությունը ուսումնասիրում է զանգվածային երեւույթներն ու գործընթացները։ Այս երևույթներից յուրաքանչյուրն ունի ինչպես ընդհանուր, այնպես էլ հատուկ, անհատական հատկություններ: Առանձին երևույթների տարբերությունը կոչվում է վարիացիա։ Զանգվածային երևույթների մեկ այլ հատկություն առանձին երևույթների բնութագրերի նրանց բնորոշ նմանությունն է: Այսպիսով, բազմության տարրերի փոխազդեցությունը հանգեցնում է դրանց հատկությունների առնվազն մի մասի տատանումների սահմանափակմանը: Այս միտումը գոյություն ունի օբյեկտիվորեն: Հենց դրա օբյեկտիվության մեջ է պատճառը ամենալայն կիրառումըմիջին արժեքները գործնականում և տեսականորեն:

Վիճակագրության միջին արժեքը ընդհանուր ցուցիչ է, որը բնութագրում է երևույթի բնորոշ մակարդակը տեղի և ժամանակի հատուկ պայմաններում՝ արտացոլելով որակապես միատարր բնակչության մեկ միավորի համար տարբեր բնութագրիչի արժեքը:

Տնտեսական պրակտիկայում օգտագործվում են ցուցիչների լայն շրջանակ՝ հաշվարկված որպես միջին արժեքներ։

Օգտագործելով միջինների մեթոդը՝ վիճակագրությունը լուծում է բազմաթիվ խնդիրներ։

Միջինների հիմնական նշանակությունը նրանց ընդհանրացնող ֆունկցիան է, այսինքն՝ շատ տարբերի փոխարինումը անհատական արժեքներբնութագիրը միջին արժեք է, որը բնութագրում է երևույթների ամբողջությունը:

Եթե միջին արժեքը ընդհանրացնում է բնութագրիչի որակապես միատարր արժեքները, ապա դա տվյալ պոպուլյացիայի մեջ հատկանիշի բնորոշ բնութագիր է:

Այնուամենայնիվ, սխալ է միջին արժեքների դերը նվազեցնել միայն տվյալ բնութագրի համար համասեռ պոպուլյացիաներում բնութագրերի բնորոշ արժեքների բնութագրերին: Գործնականում շատ ավելի հաճախ ժամանակակից վիճակագրությունը օգտագործում է միջին արժեքներ, որոնք ընդհանրացնում են հստակ միատարր երևույթները:

Մեկ շնչին բաժին ընկնող միջին ազգային եկամուտը, հացահատիկի միջին բերքատվությունը ողջ երկրում, տարբեր պարենային ապրանքների միջին սպառումը. սրանք են պետության՝ որպես միասնական տնտեսական համակարգի բնութագրիչները, սրանք այսպես կոչված համակարգային միջիններն են։

Համակարգային միջինները կարող են բնութագրել միաժամանակ գոյություն ունեցող ինչպես տարածական, այնպես էլ օբյեկտային համակարգերը (պետություն, արդյունաբերություն, տարածաշրջան, Երկիր մոլորակ և այլն), և դինամիկ համակարգեր, երկարաձգված ժամանակով (տարի, տասնամյակ, սեզոն և այլն):

Միջին արժեքի ամենակարևոր հատկությունն այն է, որ այն արտացոլում է այն, ինչ ընդհանուր է ուսումնասիրվող բնակչության բոլոր միավորների համար: Բնակչության առանձին միավորների հատկանիշի արժեքները տատանվում են այս կամ այն ուղղությամբ բազմաթիվ գործոնների ազդեցության տակ, որոնց թվում կարող են լինել և՛ հիմնական, և՛ պատահական: Օրինակ, կորպորացիայի բաժնետոմսերի արժեքը, որպես ամբողջություն, որոշվում է նրա կողմից ֆինանսական վիճակը. Միևնույն ժամանակ, որոշակի օրերին և որոշակի բորսաներում այդ բաժնետոմսերը, ելնելով գերակշռող հանգամանքներից, կարող են վաճառվել ավելի բարձր կամ ցածր փոխարժեքով: Միջինի էությունը կայանում է նրանում, որ այն վերացնում է պատահական գործոնների ազդեցությամբ առաջացած բնակչության առանձին միավորների բնորոշ արժեքների շեղումները և հաշվի է առնում հիմնական գործոնների գործողության հետևանքով առաջացած փոփոխությունները: Սա թույլ է տալիս միջինին արտացոլել հատկանիշի բնորոշ մակարդակը և վերացական լինել անհատական հատկանիշներ, բնորոշ առանձին միավորներին:

Միջին հաշվարկը ընդհանրացման ամենատարածված մեթոդներից մեկն է. միջինարտացոլում է այն, ինչ ընդհանուր է (բնորոշ) ուսումնասիրվող բնակչության բոլոր միավորների համար, մինչդեռ միևնույն ժամանակ անտեսում է առանձին միավորների տարբերությունները: Յուրաքանչյուր երևույթի և դրա զարգացման մեջ կա պատահականության և անհրաժեշտության համադրություն։

Միջինը գործընթացի օրենքների ամփոփ բնութագիրն է այն պայմաններում, որտեղ այն տեղի է ունենում:

Յուրաքանչյուր միջին բնութագրում է ուսումնասիրվող բնակչությանը ըստ որևէ հատկանիշի, սակայն ցանկացած բնակչություն բնութագրելու, նրա բնորոշ հատկանիշներն ու որակական հատկանիշները նկարագրելու համար անհրաժեշտ է միջին ցուցանիշների համակարգ: Հետեւաբար, ներքին վիճակագրության պրակտիկայում սոցիալ-տնտեսական երեւույթներն ուսումնասիրելու համար, որպես կանոն, հաշվարկվում է միջին ցուցանիշների համակարգ։ Այսպիսով, օրինակ, միջին աշխատավարձի ցուցանիշը գնահատվում է միջին արտադրանքի, կապիտալ-աշխատուժ հարաբերակցության և էներգիա-աշխատուժ հարաբերակցության, աշխատանքի մեքենայացման և ավտոմատացման աստիճանի և այլնի ցուցանիշների հետ միասին։

Միջինը պետք է հաշվարկվի՝ հաշվի առնելով ուսումնասիրվող ցուցանիշի տնտեսական բովանդակությունը։ Հետևաբար համար կոնկրետ ցուցանիշՍոցիալ-տնտեսական վերլուծության մեջ օգտագործված միջինի միայն մեկ իրական արժեքը կարող է հաշվարկվել հիման վրա գիտական ճանապարհհաշվարկ.

Միջին արժեքը ամենակարևոր ընդհանրացնող վիճակագրական ցուցանիշներից է, որը բնութագրում է նմանատիպ երևույթների մի շարք ըստ քանակապես տարբեր բնութագրերի: Վիճակագրության մեջ միջինները ընդհանուր ցուցիչներ են, թվեր, որոնք արտահայտում են սոցիալական երևույթների բնորոշ բնութագրիչ չափերը՝ ըստ քանակականորեն փոփոխվող մեկ բնութագրի:

Միջինների տեսակները

Միջին արժեքների տեսակները հիմնականում տարբերվում են նրանից, թե որ հատկանիշով, հատկանիշի անհատական արժեքների սկզբնական փոփոխական զանգվածի որ պարամետրը պետք է անփոփոխ մնա:

Թվաբանական միջին

Միջին թվաբանականը բնութագրիչի միջին արժեքն է, որի հաշվարկի ժամանակ հատկանիշի ընդհանուր ծավալը ագրեգատում մնում է անփոփոխ։ Հակառակ դեպքում կարելի է ասել, որ միջին թվաբանականը միջին անդամն է։ Այն հաշվարկելիս հատկանիշի ընդհանուր ծավալը մտավոր բաշխվում է հավասարապես բնակչության բոլոր միավորների միջև։

Թվաբանական միջինը օգտագործվում է, եթե հայտնի են միջինացված բնութագրիչի արժեքները (x) և որոշակի բնութագրիչ արժեք ունեցող բնակչության միավորների քանակը (f):

Միջին թվաբանականը կարող է լինել պարզ կամ կշռված:

Պարզ թվաբանական միջին

Պարզ օգտագործվում է, եթե x հատկանիշի յուրաքանչյուր արժեք տեղի է ունենում մեկ անգամ, այսինքն. յուրաքանչյուր x-ի համար հատկանիշի արժեքը f = 1, կամ եթե աղբյուրի տվյալները դասավորված չեն և անհայտ է, թե քանի միավոր ունի որոշակի արժեքներնշան։

Բանաձև թվաբանական միջինպարզ տեսքն ունի.

Վիճակագրական ագրեգատների միավորների բնութագրերն իրենց նշանակությամբ տարբեր են, օրինակ՝ ձեռնարկության միևնույն մասնագիտության աշխատողների աշխատավարձը նույն ժամանակահատվածի համար նույնը չէ, նույն ապրանքների շուկայական գները, շրջանի բերքատվությունը. ֆերմերային տնտեսություններ և այլն: Հետևաբար, բնութագրիչի արժեքը որոշելու համար, որը բնորոշ է ուսումնասիրվող միավորների ամբողջ բնակչությանը, հաշվարկվում են միջին արժեքները:
միջին արժեքը – սա որոշակի քանակական բնութագրի անհատական արժեքների մի շարք ընդհանրացնող բնութագիր է:

Քանակական հիմունքներով ուսումնասիրված բնակչությունը բաղկացած է անհատական արժեքներից. նրանք ազդված են ընդհանուր պատճառներ, և անհատական պայմաններ: Միջին արժեքում անհատական արժեքներին բնորոշ շեղումները չեղյալ են հայտարարվում: Միջինը, լինելով անհատական արժեքների մի շարքի ֆունկցիա, ներկայացնում է ամբողջ բնակչությանը մեկ արժեքով և արտացոլում է այն, ինչ ընդհանուր է նրա բոլոր միավորների համար:

Որակական միատարր միավորներից բաղկացած պոպուլյացիաների համար հաշվարկված միջինը կոչվում է բնորոշ միջին. Օրինակ, դուք կարող եք հաշվարկել ամսական միջինը աշխատավարձերայս կամ այն մասնագիտական խմբի աշխատակից (հանքագործ, բժիշկ, գրադարանավար): Իհարկե, հանքագործների ամսական աշխատավարձի մակարդակները, պայմանավորված նրանց որակավորումների, աշխատանքային ստաժի, ամսական աշխատած ժամանակի և բազմաթիվ այլ գործոններով, տարբերվում են միմյանցից և միջին աշխատավարձի մակարդակից։ Այնուամենայնիվ, միջին մակարդակը արտացոլում է հիմնական գործոնները, որոնք ազդում են աշխատավարձի մակարդակի վրա, և աշխատողի անհատական \u200b\u200bբնութագրերի պատճառով առաջացող տարբերությունները չեղյալ են հայտարարվում: Միջին աշխատավարձը արտացոլում է տվյալ տեսակի աշխատողի վարձատրության բնորոշ մակարդակը: Տիպիկ միջինի ստացմանը պետք է նախորդի տվյալ բնակչությունը որակապես միատարր լինելու վերլուծությունը: Եթե հավաքածուն բաղկացած է դրանցից առանձին մասեր, այն պետք է բաժանել բնորոշ խմբերի (միջին ջերմաստիճանը հիվանդանոցում)։

Միջին արժեքները, որոնք օգտագործվում են որպես տարասեռ պոպուլյացիաների բնութագրիչներ, կոչվում են համակարգի միջին ցուցանիշները. Օրինակ՝ մեկ շնչի հաշվով միջին համախառն ներքին արդյունքը (ՀՆԱ), միջին սպառումը տարբեր խմբերապրանքներ մեկ անձի համար և նմանատիպ այլ արժեքներ, որոնք ներկայացնում են պետության ընդհանուր բնութագրերը որպես միասնական տնտեսական համակարգ:

Միջինը պետք է հաշվարկվի բավականաչափ մեծ թվով միավորներից բաղկացած պոպուլյացիաների համար: Այս պայմանին համապատասխանելը անհրաժեշտ է մեծ թվերի օրենքի ուժի մեջ մտնելու համար, որի արդյունքում առանձին արժեքների պատահական շեղումները ընդհանուր միտումից փոխադարձաբար չեղարկվում են:

Միջինների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները

Միջին տեսակի ընտրությունը որոշվում է որոշակի ցուցանիշի տնտեսական բովանդակությամբ և աղբյուրի տվյալներով: Այնուամենայնիվ, ցանկացած միջին արժեք պետք է հաշվարկվի այնպես, որ երբ այն փոխարինում է միջինացված բնութագրիչի յուրաքանչյուր տարբերակին, վերջնականը, ընդհանրացնողը կամ, ինչպես սովորաբար կոչվում է, չփոխվի։ սահմանող ցուցանիշ, որը կապված է միջինացված ցուցանիշի հետ։ Օրինակ, երբ ուղու առանձին հատվածներում իրական արագությունները փոխարինվում են իրենց միջին արագությամբ, անցած ընդհանուր տարածությունը չպետք է փոխվի: փոխադրամիջոցմիեւնույն ժամանակ; ձեռնարկության առանձին աշխատողների փաստացի աշխատավարձը միջին աշխատավարձով փոխարինելիս աշխատավարձի ֆոնդը չպետք է փոխվի: Հետևաբար, յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում, կախված առկա տվյալների բնույթից, կա միայն մեկ իրական միջին արժեք, որը համարժեք է ուսումնասիրվող սոցիալ-տնտեսական երևույթի հատկություններին և էությանը:
Առավել հաճախ օգտագործվում են միջին թվաբանականը, ներդաշնակ միջինը, երկրաչափական միջինը, քառակուսի միջինը և միջին խորանարդը:
Թվարկված միջինները պատկանում են դասին հանգստացնողմիջինները և համակցված են ընդհանուր բանաձևով.
,
որտեղ է ուսումնասիրվող հատկանիշի միջին արժեքը.
մ – միջին աստիճանի ինդեքս;
– միջինացված բնութագրիչի ընթացիկ արժեքը (տարբերակը).
n - հատկանիշների քանակը:
Կախված m ցուցանիշի արժեքից՝ առանձնանում են հզորության միջինների հետևյալ տեսակները.
երբ m = -1 - ներդաշնակ միջին;
m = 0 - երկրաչափական միջին;
m = 1-ի համար – թվաբանական միջին;
m = 2 - արմատի միջին քառակուսի;
m = 3 - միջին խորանարդ:
Նույն սկզբնական տվյալներն օգտագործելիս, որքան մեծ է m ցուցանիշը վերը նշված բանաձևում, այնքան ավելի արժեքմիջին չափը:
.
Միջին ուժի այս հատկությունը, որը մեծանում է որոշիչ ֆունկցիայի ցուցիչի աճով, կոչվում է միջինների մեծամասնության կանոնը.
Նշված միջիններից յուրաքանչյուրը կարող է ունենալ երկու ձև. պարզԵվ կշռված.
Պարզ միջին ձևօգտագործվում է, երբ միջինը հաշվարկվում է առաջնային (չխմբավորված) տվյալներից: Կշռված ձև– երկրորդական (խմբային) տվյալների հիման վրա միջինը հաշվարկելիս:

Թվաբանական միջին

Թվաբանական միջինը օգտագործվում է, երբ բնակչության ծավալը տարբեր բնութագրիչի բոլոր առանձին արժեքների գումարն է: Հարկ է նշել, որ եթե միջինի տեսակը չի նշվում, ապա ենթադրվում է միջին թվաբանական։ Դրա տրամաբանական բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

Պարզ թվաբանական միջինհաշվարկված չխմբավորված տվյալների հիման վրա ըստ բանաձևի.
կամ ,
որտեղ են բնութագրի անհատական արժեքները.
j-ը դիտարկման միավորի սերիական համարն է, որը բնութագրվում է արժեքով.
N – դիտորդական միավորների քանակը (բնակչության ծավալը):
Օրինակ։«Վիճակագրական տվյալների ամփոփում և խմբավորում» դասախոսությունը ուսումնասիրել է 10 հոգանոց թիմի աշխատանքային փորձի դիտարկման արդյունքները։ Հաշվենք թիմի աշխատողների միջին աշխատանքային ստաժը։ 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4:

Օգտագործելով պարզ թվաբանական միջին բանաձևը, մենք կարող ենք նաև հաշվարկել միջինները ժամանակագրական շարքերում, եթե ժամանակային ընդմիջումները, որոնց համար ներկայացված են բնորոշ արժեքները, հավասար են:
Օրինակ։Առաջին եռամսյակում իրացված ապրանքների ծավալը կազմել է 47 դրամ։ միավոր, երկրորդի համար՝ 54, երրորդի համար՝ 65, չորրորդի համար՝ 58 դեն։ միավորներ Միջին եռամսյակային շրջանառությունը (47+54+65+58)/4 = 56 դն. միավորներ
Եթե ակնթարթային ցուցանիշները տրվում են ժամանակագրական շարքով, ապա միջինը հաշվարկելիս դրանք փոխարինվում են ժամանակաշրջանի սկզբի և վերջի արժեքների կիսագումարներով:
Եթե կան ավելի քան երկու պահեր, և դրանց միջև ընդմիջումները հավասար են, ապա միջինը հաշվարկվում է միջին ժամանակագրական բանաձևով.

,
որտեղ n-ը ժամանակային կետերի թիվն է
Այն դեպքում, երբ տվյալները խմբավորվում են ըստ բնորոշ արժեքների (այսինքն՝ կառուցվել է դիսկրետ տատանումների բաշխման շարք) հետ թվաբանական միջին կշռվածհաշվարկված՝ օգտագործելով կամ հաճախականությունները կամ բնութագրիչի հատուկ արժեքների դիտարկման հաճախականությունները, որոնց թիվը (k) նշանակալի է քիչ թիվդիտարկումներ (N) .
,
,
որտեղ k-ը տատանումների շարքի խմբերի թիվն է,
i – տատանումների շարքի խմբի համարը:
Քանի որ, a, մենք ստանում ենք գործնական հաշվարկների համար օգտագործվող բանաձևերը.
Եվ
Օրինակ։Եկեք հաշվարկենք աշխատանքային թիմերի միջին ստաժը խմբավորված շարքով:
ա) հաճախականություններ օգտագործելով.

բ) հաճախականություններ օգտագործելով.

Այն դեպքում, երբ տվյալները խմբավորված են ընդմիջումներով , այսինքն. ներկայացվում են միջակայքի բաշխման շարքերի տեսքով միջին թվաբանականը հաշվարկելիս, որպես բնութագրիչի արժեք ընդունվում է միջակայքի միջինը՝ ելնելով այն ենթադրությունից, որ. միասնական բաշխումբնակչության միավորները տվյալ ընդմիջումով: Հաշվարկն իրականացվում է բանաձևերի միջոցով.
Եվ
որտեղ է միջակայքի միջինը.
որտեղ և են միջակայքերի ստորին և վերին սահմանները (պայմանով, որ տվյալ ինտերվալի վերին սահմանը համընկնում է հաջորդ միջակայքի ստորին սահմանի հետ):

Օրինակ։Հաշվարկենք 30 աշխատողների տարեկան աշխատավարձի ուսումնասիրության արդյունքների հիման վրա կառուցված միջակայքային տատանումների շարքի միջին թվաբանականը (տե՛ս «Վիճակագրական տվյալների ամփոփում և խմբավորում» դասախոսությունը):
Աղյուսակ 1 – Ինտերվալային տատանումների շարքի բաշխում:

Ընդմիջումներով, UAH	Հաճախականություն, մարդիկ	Հաճախականություն,	Ինտերվալի կեսը
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH կամ UAH
Աղբյուրի տվյալների և միջակայքի տատանումների շարքերի հիման վրա հաշվարկված թվաբանական միջոցները կարող են չհամընկնել միջակայքում ատրիբուտների արժեքների անհավասար բաշխման պատճառով: Այս դեպքում կշռված թվաբանական միջինը ավելի ճշգրիտ հաշվարկելու համար պետք է օգտագործել ոչ թե միջակայքերի միջնամասերը, այլ յուրաքանչյուր խմբի համար հաշվարկված պարզ թվաբանական միջինները ( խմբի միջին ցուցանիշները) Խմբային միջոցներից հաշվարկված միջինը կշռված հաշվարկման բանաձևով կոչվում է ընդհանուր միջին.
Միջին թվաբանականն ունի մի շարք հատկություններ.
1. Միջին տարբերակից շեղումների գումարը զրո է.
.
2. Եթե օպցիոնի բոլոր արժեքները մեծանում կամ նվազում են A չափով, ապա միջին արժեքը մեծանում կամ նվազում է նույն չափով A.

3. Եթե յուրաքանչյուր տարբերակ ավելացվի կամ նվազեցվի B անգամ, ապա միջին արժեքը նույնպես կաճի կամ կնվազի նույնքան անգամ.
կամ
4. Օպցիոնի արտադրյալների գումարն ըստ հաճախականության հավասար է միջին արժեքի արտադրյալին հաճախականությունների գումարով.

5. Եթե բոլոր հաճախականությունները բաժանվեն կամ բազմապատկվեն որեւէ թվով, ապա միջին թվաբանականը չի փոխվի.

6) եթե բոլոր ինտերվալներում հաճախականությունները հավասար են միմյանց, ապա կշռված թվաբանական միջինը հավասար է պարզ թվաբանական միջինին.
,
որտեղ k-ը տատանումների շարքի խմբերի թիվն է:

Միջինի հատկությունների օգտագործումը թույլ է տալիս պարզեցնել դրա հաշվարկը:
Ենթադրենք, որ բոլոր տարբերակները (x) սկզբում կրճատվում են նույն A թվով, իսկ հետո կրճատվում են B գործակցով։ Առավելագույն պարզեցում է ձեռք բերվում, երբ ամենաբարձր հաճախականությամբ ինտերվալի միջին արժեքն ընտրվում է որպես A, իսկ միջակայքի արժեքը (նույն ինտերվալներով շարքերի համար)՝ B։ A մեծությունը կոչվում է ծագում, ուստի միջինը հաշվարկելու այս մեթոդը կոչվում է ճանապարհբ ohm հղում պայմանական զրոյիցկամ պահերի ճանապարհը.
Նման փոխակերպումից հետո մենք ստանում ենք նոր փոփոխական բաշխման շարք, որի տարբերակները հավասար են . Նրանց միջին թվաբանականը, որը կոչվում է առաջին պատվերի պահը,արտահայտվում է բանաձևով և, ըստ երկրորդ և երրորդ հատկությունների, միջին թվաբանականը հավասար է սկզբնական տարբերակի միջինին՝ կրճատվելով սկզբում A-ով, իսկ հետո B-ով, այսինքն.
ստանալու համար իրական միջին(բնօրինակ շարքի միջինը) անհրաժեշտ է առաջին կարգի պահը բազմապատկել B-ով և ավելացնել A.

Միջին թվաբանականի հաշվարկը մոմենտների մեթոդով ցույց է տրված աղյուսակի տվյալներով: 2.
Աղյուսակ 2 – Գործարանի խանութների աշխատողների բաշխումն ըստ աշխատանքային ստաժի

Աշխատակիցների ստաժ, տարիներ	Աշխատողների քանակը	Ընդմիջման կեսը
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

Գտնելով առաջին կարգի պահը . Այնուհետև, իմանալով, որ A = 17,5 և B = 5, մենք հաշվարկում ենք արտադրամասի աշխատողների միջին ստաժը.
տարիներ

Հարմոնիկ միջին
Ինչպես ցույց է տրված վերևում, միջին թվաբանականը օգտագործվում է բնութագրիչի միջին արժեքը հաշվարկելու համար այն դեպքերում, երբ հայտնի են նրա x տարբերակները և դրանց հաճախականությունները f:
Եթե վիճակագրական տեղեկատվությունը չի պարունակում f հաճախականություններ բնակչության x առանձին տարբերակների համար, այլ ներկայացված է որպես դրանց արտադրանք, ապա կիրառվում է բանաձևը. կշռված ներդաշնակ միջին. Միջինը հաշվարկելու համար նշենք, թե որտեղ . Փոխարինելով այս արտահայտությունները թվաբանական կշռված միջինի բանաձևով, մենք ստանում ենք ներդաշնակ կշռված միջինի բանաձևը.
,
որտեղ է ցուցիչի հատկանիշի արժեքների ծավալը (քաշը) i համարակալված միջակայքում (i=1,2,…, k):

Այսպիսով, ներդաշնակ միջինը օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ գումարման ենթակա են ոչ թե ընտրանքները, այլ դրանց փոխադարձները. .
Այն դեպքերում, երբ յուրաքանչյուր տարբերակի կշիռը հավասար է մեկի, այսինքն. հակադարձ բնութագրի անհատական արժեքները տեղի են ունենում մեկ անգամ, կիրառվում են նշանակում է ներդաշնակ պարզ:
,
որտեղ կան հակադարձ բնութագրիչի առանձին տարբերակներ, որոնք տեղի են ունենում մեկ անգամ.
N - թվային տարբերակ:
Եթե կան ներդաշնակ միջիններ բնակչության երկու մասի համար, ապա ամբողջ բնակչության համար ընդհանուր միջինը հաշվարկվում է բանաձևով.

և կոչվում է Խմբային միջոցների կշռված ներդաշնակ միջինը.

Օրինակ։Արտարժույթի բորսայում առևտրի ընթացքում աշխատանքի առաջին ժամում կնքվել է երեք գործարք. Գրիվնայի վաճառքի ծավալի և ԱՄՆ դոլարի նկատմամբ գրիվնայի փոխարժեքի վերաբերյալ տվյալները բերված են աղյուսակում: 3 (սյունակներ 2 և 3): Որոշեք գրիվնայի միջին փոխարժեքը ԱՄՆ դոլարի նկատմամբ առևտրի առաջին ժամի համար:
Աղյուսակ 3. Տվյալներ արտարժույթով առևտրի ընթացքի վերաբերյալ

Դոլարի միջին փոխարժեքը որոշվում է բոլոր գործարքների ընթացքում վաճառված գրիվնայի քանակի և նույն գործարքների արդյունքում ձեռք բերված դոլարի հարաբերակցությամբ։ Գրիվնայի վաճառքի վերջնական գումարը հայտնի է աղյուսակի 2-րդ սյունակից, և յուրաքանչյուր գործարքում գնված դոլարի քանակը որոշվում է՝ գրիվնայի վաճառքի գումարը բաժանելով փոխարժեքի վրա (սյունակ 4): Երեք գործարքների ընթացքում ձեռք է բերվել ընդհանուր առմամբ 22 մլն դոլար։ Սա նշանակում է, որ գրիվնայի միջին փոխարժեքը մեկ դոլարի դիմաց եղել է
.
Ստացված արժեքը իրական է, քանի որ Գործարքներում գրիվնայի փաստացի փոխարժեքով փոխարինելը չի փոխի գրիվնայի վաճառքի վերջնական գումարը, որը ծառայում է որպես. սահմանող ցուցանիշ: միլիոն UAH
Եթե հաշվարկի համար օգտագործվել է միջին թվաբանականը, այսինքն. գրիվնա, ապա 22 մլն դոլարի գնման փոխարժեքով։ անհրաժեշտ կլիներ ծախսել 110,66 մլն UAH, ինչը ճիշտ չէ։

Երկրաչափական միջին
Երկրաչափական միջինն օգտագործվում է երևույթների դինամիկան վերլուծելու համար և թույլ է տալիս որոշել միջին աճի գործակիցը։ Երկրաչափական միջինը հաշվարկելիս բնութագրիչի առանձին արժեքները դինամիկայի հարաբերական ցուցիչներ են, որոնք կառուցված են շղթայական արժեքների տեսքով, որպես յուրաքանչյուր մակարդակի հարաբերակցությունը նախորդին:
Պարզ երկրաչափական միջինը հաշվարկվում է բանաձևով.
,
որտեղ է ապրանքի նշանը,
N - միջինացված արժեքների քանակը:
Օրինակ։ 4 տարվա ընթացքում գրանցված հանցագործությունների թիվն աճել է 1,57 անգամ, այդ թվում՝ 1-ին՝ 1,08, 2-ին՝ 1,1, 3-ին՝ 1,18, 4-ին՝ 1,12 անգամ։ Այնուհետև հանցագործությունների թվի միջին տարեկան աճի տեմպը հետևյալն է. գրանցված հանցագործությունների թիվը տարեկան աճել է միջինը 12%-ով։

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Աշխատողների խմբեր	Աշխատողների թիվը	Ինտերվալի կեսը
աշխատավարձ, ռուբ.	Ժողովուրդ, զ	քսել, X





900 կամ ավելի

բաց ինտերվալների (առաջին և վերջին) արժեքները պայմանականորեն հավասարվում են դրանց հարակից միջակայքերին (երկրորդ և նախավերջին):

Միջինի այս հաշվարկով թույլատրվում է որոշակի անճշտություն, քանի որ ենթադրություն է արվում խմբի ներսում հատկանիշի միավորների միասնական բաշխման մասին: Այնուամենայնիվ, որքան նեղ է միջակայքը և որքան շատ միավորներ միջակայքում, այնքան փոքր է սխալը:

Ինտերվալների միջնակետերը գտնելուց հետո հաշվարկները կատարվում են այնպես, ինչպես դիսկրետ շարքում. տարբերակները բազմապատկվում են հաճախականություններով (կշիռներով), իսկ արտադրյալների գումարը բաժանվում է հաճախականությունների (կշիռների) գումարի վրա: , հազար ռուբլի:

Այսպիսով, ԲԲԸ-ի աշխատողների միջին աշխատավարձը 729 ռուբլի է: ամսական։

Միջին թվաբանական հաշվարկը հաճախ պահանջում է շատ ժամանակ և աշխատանք: Այնուամենայնիվ, մի շարք դեպքերում միջինը հաշվարկելու կարգը կարող է պարզեցվել և հեշտացվել, եթե օգտագործեք դրա հատկությունները: Ներկայացնենք (առանց ապացույցի) թվաբանական միջինի մի քանի հիմնական հատկություններ։

Գույք 1. Եթե բնութագրիչի բոլոր անհատական արժեքները (այսինքն. բոլոր տարբերակները) նվազեցնել կամ ավելացնել եսանգամ, ապա միջին արժեքը նոր բնութագիրը համապատասխանաբար կնվազի կամ կմեծանա եսմեկ անգամ.

Գույք 2. Եթե միջինացված բնութագրիչի բոլոր տարբերակները կրճատվենկարել կամ մեծացնել Ա թվով, ապա համապատասխանում է միջին թվաբանականըփաստացի կպակասի կամ կմեծանա նույնքան Ա.

Գույք 3. Եթե բոլոր միջինացված տարբերակների կշիռները կրճատվեն կամ ավելանալ Դեպի անգամ, ապա միջին թվաբանականը չի փոխվի։

Որպես միջին կշիռներ, բացարձակ ցուցանիշների փոխարեն, կարող եք օգտագործել տեսակարար կշիռըընդհանուր ընդհանուրում (բաժնետոմսեր կամ տոկոսներ): Սա պարզեցնում է միջինի հաշվարկները:

Միջին հաշվարկները պարզեցնելու համար նրանք գնում են տարբերակների և հաճախականությունների արժեքների կրճատման ճանապարհով: Առավելագույն պարզեցում է ձեռք բերվում, երբ, ինչպես ԱԿենտրոնական տարբերակներից մեկի արժեքը, որն ունի ամենաբարձր հաճախականությունը, ընտրվում է որպես / - միջակայքի արժեք (հավասար ընդմիջումներով շարքերի համար): A մեծությունը կոչվում է հղման կետ, հետևաբար միջինը հաշվարկելու այս մեթոդը կոչվում է «պայմանական զրոյից հաշվելու մեթոդ» կամ «պահերի ճանապարհին».

Ենթադրենք, որ բոլոր տարբերակները Xսկզբում նվազել է նույն Ա թվով, իսկ հետո՝ նվազել եսմեկ անգամ. Մենք ստանում ենք նոր տարբերակների բաշխման նոր տատանումների շարք .

Հետո նոր տարբերակներկարտահայտվի.

և նրանց նոր թվաբանական միջինը , -առաջին պատվերի պահը- բանաձև:

Այն հավասար է սկզբնական ընտրանքների միջինին, նախ կրճատվելով Ա,իսկ հետո ներս եսմեկ անգամ.

Իրական միջինը ստանալու համար անհրաժեշտ է առաջին կարգի պահ մ 1 , բազմապատկել եսև ավելացնել A:

Այս մեթոդըտատանումների շարքից միջին թվաբանականի հաշվարկը կոչվում է «պահերի ճանապարհին».Այս մեթոդը կիրառվում է տողերում՝ հավասար ընդմիջումներով:

Միջին թվաբանականի հաշվարկը մոմենտների մեթոդով ցույց է տրված աղյուսակի տվյալներով: 4.4.

Աղյուսակ 4.4

Փոքր ձեռնարկությունների բաշխումը տարածաշրջանում ըստ հիմնական արտադրական միջոցների արժեքի (FPF) 2000 թ.

Ձեռնարկությունների խմբերը OPF արժեքով, հազար ռուբլի:	Ձեռնարկությունների թիվը զ	Ինտերվալների միջնակետեր x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Գտնելով առաջին կարգի պահը

Այնուհետև վերցնելով A = 19 և իմանալով դա ես= 2, հաշվարկեք X,հազար ռուբլի:

Միջին արժեքների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները

Վիճակագրական մշակման փուլում կարող են դրվել հետազոտական բազմաբնույթ խնդիրներ, որոնց լուծման համար անհրաժեշտ է ընտրել համապատասխան միջինը։ Այս դեպքում անհրաժեշտ է առաջնորդվել հետեւյալ կանոնով՝ միջինի համարիչն ու հայտարարը ներկայացնող մեծությունները պետք է տրամաբանորեն կապված լինեն միմյանց հետ։

հզորության միջին ցուցանիշները;
կառուցվածքային միջինները.

Ներկայացնենք հետևյալ կոնվենցիաները.

Այն քանակները, որոնց համար հաշվարկվում է միջինը.

Միջին, որտեղ վերը նշված բարը ցույց է տալիս, որ տեղի է ունենում անհատական արժեքների միջինացում.

Հաճախականություն (առանձին բնութագրական արժեքների կրկնելիություն):

Տարբեր միջիններ ստացվում են ընդհանուր հզորության միջին բանաձևից.

(5.1)

երբ k = 1 - թվաբանական միջին; k = -1 - ներդաշնակ միջին; k = 0 - երկրաչափական միջին; k = -2 - արմատ միջին քառակուսի:

Միջին արժեքները կարող են լինել պարզ կամ կշռված: Միջին կշռված ցուցանիշներկոչվում են մեծություններ, որոնք հաշվի են առնում, որ հատկանիշի արժեքների որոշ տարբերակներ կարող են ունենալ տարբեր թվեր, և, հետևաբար, յուրաքանչյուր տարբերակ պետք է բազմապատկվի այս թվով: Այլ կերպ ասած, «կշեռքները» տարբեր խմբերի ագրեգատ միավորների թվերն են, այսինքն. Յուրաքանչյուր տարբերակ «կշռվում» է իր հաճախականությամբ: f հաճախականությունը կոչվում է վիճակագրական քաշըկամ միջին քաշը.

Թվաբանական միջին- միջինի ամենատարածված տեսակը: Այն օգտագործվում է, երբ հաշվարկն իրականացվում է չխմբավորված վիճակագրական տվյալների վրա, որտեղ անհրաժեշտ է ստանալ միջին ժամկետը: Միջին թվաբանականը բնութագրիչի միջին արժեքն է, որը ստանալուց հետո հատկանիշի ընդհանուր ծավալը ագրեգատում մնում է անփոփոխ:

Միջին թվաբանական բանաձև ( պարզ) ունի ձևը

որտեղ n-ը բնակչության մեծությունն է:

Օրինակ, ձեռնարկության աշխատակիցների միջին աշխատավարձը հաշվարկվում է որպես միջին թվաբանական.

Այստեղ որոշիչ ցուցանիշներն են յուրաքանչյուր աշխատողի աշխատավարձը և ձեռնարկության աշխատողների թիվը։ Միջին չափը հաշվարկելիս աշխատավարձի ընդհանուր չափը մնացել է նույնը, բայց հավասարապես բաշխվել է բոլոր աշխատողների միջև։ Օրինակ, դուք պետք է հաշվարկեք աշխատողների միջին աշխատավարձը փոքր ձեռնարկությունում, որտեղ աշխատում է 8 մարդ.

Միջին արժեքները հաշվարկելիս միջինացված բնութագրիչի անհատական արժեքները կարող են կրկնվել, ուստի միջին արժեքը հաշվարկվում է խմբավորված տվյալների միջոցով: Այս դեպքում մենք խոսում ենքօգտագործման մասին թվաբանական միջին կշռված, որն ունի ձևը

(5.3)

Այսպիսով, մենք պետք է հաշվարկենք բաժնետիրական ընկերության բաժնետոմսերի միջին գինը ֆոնդային բորսայում: Հայտնի է, որ գործարքները կատարվել են 5 օրվա ընթացքում (5 գործարք), վաճառքի փոխարժեքով վաճառված բաժնետոմսերի քանակը բաշխվել է հետևյալ կերպ.

1 - 800 ակ. - 1010 ռուբ.

2 - 650 ակ. - 990 ռուբ.

3 - 700 ակ. - 1015 ռուբ.

4 - 550 ակ. - 900 ռուբ.

5 - 850 ակ. - 1150 ռուբ.

Բաժնետոմսերի միջին գնի որոշման սկզբնական հարաբերակցությունը հարաբերակցությունն է ընդհանուր գումարըգործարքներ (OSS) վաճառված բաժնետոմսերի քանակով (KPA):

Կարդացեք.

Ինչու՞ եք երազում փոթորիկի մասին ծովի ալիքների վրա: բյուջեով հաշվարկների հաշվառում Շոռակարկանդակներ կաթնաշոռից տապակի մեջ - դասական բաղադրատոմսեր փափկամազ շոռակարկանդակների համար Շոռակարկանդակներ 500 գ կաթնաշոռից Սև մարգարիտ սալորաչիրով աղցան Սև մարգարիտ սալորաչիրով Լեխո տոմատի մածուկով բաղադրատոմսեր

Կարդացեք.

Հանրաճանաչ:

Աֆորիզմներ և մեջբերումներ ինքնասպանության մասին

Նոր

Ինչպես վերականգնել դաշտանային ցիկլը ծննդաբերությունից հետո.

Կայքի բաժինները

Խմբագրի ընտրությունը.

Գովազդ

Ինչպե՞ս գտնել թվերի միջին թվաբանականը:

Վիճակը միջին

Ինչպե՞ս հաշվարկել միջին կշռված գինը Excel-ում:

Ստանդարտ շեղում. բանաձև Excel-ում

Հրահանգներ

Հրահանգներ

Հրահանգներ

Ինչ է թվաբանական միջինը

Ինչպես գտնել թվաբանական միջինը

Բացասական թվերի հետ աշխատելու առանձնահատկությունները

Բնական և տասնորդական կոտորակներ

Հրահանգներ

Ներածություն

Պարզ թվաբանական միջին

Միջինների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները

Թվաբանական միջին

Ներածություն

Օրինակներ

Շարունակական պատահական փոփոխական

Միջին օգտագործման որոշ խնդիրներ

Հզորության բացակայություն

Բաղադրություն հետաքրքրությունը

Ուղղություններ

4.3. Միջին արժեքներ. Միջին արժեքների էությունն ու նշանակությունը

4.4. Միջինների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները

Թվաբանական միջին

Միջին արժեքների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները

Հանրաճանաչ:

Աֆորիզմներ և մեջբերումներ ինքնասպանության մասին

Նոր

բյուջեով հաշվարկների հաշվառում

Շոռակարկանդակներ կաթնաշոռից տապակի մեջ - դասական բաղադրատոմսեր փափկամազ շոռակարկանդակների համար Շոռակարկանդակներ 500 գ կաթնաշոռից

Սև մարգարիտ սալորաչիրով աղցան Սև մարգարիտ սալորաչիրով

Լեխո տոմատի մածուկով բաղադրատոմսեր