Շատ դեպքերում տվյալները կենտրոնացած են որոշակիի շուրջ կենտրոնական կետ. Այսպիսով, ցանկացած տվյալների հավաքածու նկարագրելու համար բավական է նշել միջին արժեքը։ Եկեք հաջորդաբար դիտարկենք երեք թվային բնութագրեր, որոնք օգտագործվում են բաշխման միջին արժեքը գնահատելու համար՝ թվաբանական միջին, միջին և եղանակ:

Միջին

Միջին թվաբանականը (հաճախ կոչվում է պարզապես միջին) բաշխման միջինի ամենատարածված գնահատումն է։ Դա բոլոր դիտարկված թվային արժեքների գումարը նրանց թվի վրա բաժանելու արդյունք է: Թվերից բաղկացած նմուշի համար X 1, X 2, …, Xn, նմուշի միջինը (նշվում է ) հավասար է = (X 1 + X 2 + … + Xn) / n, կամ

որտեղ է նմուշի միջինը, n- նմուշի չափը, Xես – i-րդ ​​տարրնմուշներ.

Ներբեռնեք գրառումը կամ ձևաչափով, օրինակները ձևաչափով

Հաշվի առեք 15 փոխադարձ հիմնադրամի հնգամյա միջին տարեկան եկամտաբերության թվաբանական միջինը հաշվարկել շատ բարձր մակարդակռիսկ (նկ. 1):

Բրինձ. 1. 15 շատ բարձր ռիսկային փոխադարձ հիմնադրամների միջին տարեկան եկամուտները

Նմուշի միջինը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Սա լավ եկամուտ, հատկապես 3-4% եկամտաբերության համեմատ, որը բանկը կամ վարկային միության ավանդատուները ստացել են նույն ժամանակահատվածում։ Եթե ​​տեսակավորենք եկամտաբերությունը, ապա հեշտ է տեսնել, որ ութ ֆոնդ միջինից բարձր եկամտաբերություն ունի, իսկ յոթը միջինից ցածր: Միջին թվաբանականը գործում է որպես հավասարակշռության կետ, այնպես որ ցածր եկամտաբերությամբ միջոցները հավասարակշռում են բարձր եկամտաբերությամբ ֆոնդերը: Նմուշի բոլոր տարրերը ներգրավված են միջինը հաշվարկելիս: Բաշխման միջինի այլ գնահատականներից ոչ մեկը չունի այս հատկությունը:

Ե՞րբ պետք է հաշվարկել միջին թվաբանականը:Քանի որ թվաբանական միջինը կախված է նմուշի բոլոր տարրերից, ծայրահեղ արժեքների առկայությունը զգալիորեն ազդում է արդյունքի վրա: Նման իրավիճակներում միջին թվաբանականը կարող է աղավաղել թվային տվյալների իմաստը: Ուստի ծայրահեղ արժեքներ պարունակող տվյալների հավաքածուն նկարագրելիս անհրաժեշտ է նշել միջին կամ թվաբանական միջինը և միջինը: Օրինակ, եթե ընտրանքից հանենք RS Emerging Growth հիմնադրամի եկամուտները, 14 ֆոնդերի եկամտաբերության ընտրանքային միջինը նվազում է գրեթե 1%-ով մինչև 5,19%:

Միջին

Միջին արժեքը ներկայացնում է դասավորված թվերի զանգվածի միջին արժեքը: Եթե ​​զանգվածը չի պարունակում կրկնվող թվեր, ապա նրա տարրերի կեսը փոքր կլինի, իսկ կեսը՝ մեծ, քան միջինը։ Եթե ​​նմուշը պարունակում է ծայրահեղ արժեքներ, ապա միջինը գնահատելու համար ավելի լավ է օգտագործել միջինը, այլ ոչ թե միջին թվաբանականը: Նմուշի մեդիանը հաշվարկելու համար այն նախ պետք է պատվիրել:

Այս բանաձեւը միանշանակ չէ. Դրա արդյունքը կախված է նրանից, թե թիվը զույգ է, թե կենտ n:

• Եթե ​​նմուշը պարունակում է տարօրինակ թվով տարրեր, ապա միջինը (n+1)/2-րդ տարրը.
• Եթե ​​նմուշը պարունակում է զույգ թվով տարրեր, ապա միջինը գտնվում է նմուշի երկու միջին տարրերի միջև և հավասար է այս երկու տարրերի վրա հաշվարկված միջին թվաբանականին:

15 շատ բարձր ռիսկային փոխադարձ հիմնադրամների եկամուտներ պարունակող նմուշի մեդիանը հաշվարկելու համար նախ պետք է տեսակավորել չմշակված տվյալները (Նկար 2): Այնուհետև մեդիանը կլինի նմուշի միջին տարրի թվի հակառակը. մեր օրինակում թիվ 8. Excel-ն ունի հատուկ գործառույթ=MEDIAN(), որն աշխատում է նաև չդասավորված զանգվածների հետ:

Բրինձ. 2. Միջին 15 ֆոնդ

Այսպիսով, միջինը 6,5 է: Սա նշանակում է, որ շատ բարձր ռիսկային ֆոնդերի մի կեսի եկամտաբերությունը չի գերազանցում 6,5-ը, իսկ մյուս կեսի եկամտաբերությունը՝ այն։ Նկատի ունեցեք, որ 6.5-ի միջինը շատ ավելի մեծ չէ, քան 6.08-ի միջինը:

Եթե ​​նմուշից հանենք RS Emerging Growth ֆոնդի վերադարձը, ապա մնացած 14 ֆոնդերի մեդիանը նվազում է մինչև 6.2%, այսինքն՝ ոչ այնքան էականորեն, որքան միջին թվաբանականը (Նկար 3):

Բրինձ. 3. Միջին 14 ֆոնդեր

Նորաձևություն

Տերմինը առաջին անգամ ստեղծվել է Պիրսոնի կողմից 1894 թվականին: Նորաձևությունը այն թիվն է, որն առավել հաճախ հանդիպում է նմուշում (ամենամոդայիկ): Նորաձևությունը լավ է նկարագրում, օրինակ, վարորդների բնորոշ արձագանքը լուսացույցի ազդանշանին, որը դադարեցնում է շարժումը: Դասական օրինակՆորաձևության օգտագործումը - ընտրելով կոշիկի խմբաքանակի չափը կամ պաստառի գույնը: Եթե ​​բաշխումն ունի մի քանի եղանակ, ապա այն կոչվում է մուլտիմոդալ կամ բազմամոդալ (ունի երկու կամ ավելի «գագաթներ»): Մուլտիմոդալ բաշխումը տալիս է կարեւոր տեղեկություններուսումնասիրվող փոփոխականի բնույթի մասին: Օրինակ, սոցիոլոգիական հարցումներում, եթե փոփոխականը ներկայացնում է նախապատվություն կամ վերաբերմունք ինչ-որ բանի նկատմամբ, ապա բազմամոդալությունը կարող է նշանակել, որ կան մի քանի հստակ տարբեր կարծիքներ: Բազմամոդալությունը նաև ցուցիչ է, որ նմուշը միատարր չէ, և դիտարկումները կարող են առաջանալ երկու կամ ավելի «համընկնող» բաշխումների միջոցով: Ի տարբերություն թվաբանական միջինի, արտաքուստները չեն ազդում ռեժիմի վրա: Շարունակաբար բաշխված պատահական փոփոխականների համար, ինչպիսիք են փոխադարձ հիմնադրամների միջին տարեկան եկամտաբերությունը, ռեժիմը երբեմն ընդհանրապես գոյություն չունի (կամ իմաստ չունի): Քանի որ այս ցուցանիշները կարող են շատ տարբեր արժեքներ ունենալ, կրկնվող արժեքները չափազանց հազվադեպ են:

քառորդներ

Քառորդները չափիչ են, որոնք առավել հաճախ օգտագործվում են տվյալների բաշխումը գնահատելու համար, երբ նկարագրում են մեծ թվային նմուշների հատկությունները: Մինչ մեդիանը բաժանում է պատվիրված զանգվածը կիսով չափ (զանգվածի տարրերի 50%-ը միջինից փոքր են, իսկ 50%-ը՝ ավելի մեծ), քառորդները բաժանում են պատվիրված տվյալների հավաքածուն չորս մասի: Q 1-ի, միջինի և Q 3-ի արժեքները համապատասխանաբար 25-րդ, 50-րդ և 75-րդ տոկոսներն են: Առաջին քառորդ Q 1-ը մի թիվ է, որը նմուշը բաժանում է երկու մասի. տարրերի 25%-ը փոքր են, իսկ 75%-ը մեծ են առաջին քառորդից:

Երրորդ քառորդը՝ Q 3, այն թիվն է, որը նույնպես նմուշը բաժանում է երկու մասի. տարրերի 75%-ը փոքր է, իսկ 25%-ը՝ մեծ, քան երրորդ քառորդը:

Մինչև 2007 թվականը Excel-ի տարբերակներում քառորդները հաշվարկելու համար օգտագործեք =QUARTILE (զանգված, մաս) ֆունկցիան: Excel 2010-ից սկսած՝ օգտագործվում են երկու գործառույթ.

• =QUARTILE.ON (զանգված, մաս)
• =QUARTILE.EXC (զանգված, մաս)

Այս երկու գործառույթները քիչ բան են տալիս տարբեր իմաստներ(նկ. 4): Օրինակ, 15 շատ բարձր ռիսկային փոխադարձ հիմնադրամների միջին տարեկան եկամուտներ պարունակող նմուշի քառորդները հաշվարկելիս Q 1 = 1.8 կամ –0.7 QUARTILE.IN-ի և QUARTILE.EX-ի համար համապատասխանաբար: Ի դեպ, ավելի վաղ օգտագործված QUARTILE ֆունկցիան համապատասխանում է ժամանակակից գործառույթ QUARTILE.INCL. Excel-ում քառորդները հաշվարկելու համար՝ օգտագործելով վերը նշված բանաձևերը, տվյալների զանգվածը պատվիրելու կարիք չկա:

Բրինձ. 4. Քառորդների հաշվարկ Excel-ում

Կրկին շեշտենք. Excel-ը կարող է քառորդներ հաշվարկել մի փոփոխականի համար դիսկրետ շարք, որը պարունակում է արժեքներ պատահական փոփոխական. Հաճախականության վրա հիմնված բաշխման համար քառորդների հաշվարկը տրված է ստորև՝ բաժնում:

Երկրաչափական միջին

Ի տարբերություն թվաբանական միջինի, երկրաչափական միջինը թույլ է տալիս գնահատել փոփոխականի փոփոխության աստիճանը ժամանակի ընթացքում: Երկրաչափական միջինը արմատն է n-րդ աստիճան աշխատանքից nքանակները (Excel-ում օգտագործվում է =SRGEOM ֆունկցիան).

Գ= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Նմանատիպ պարամետրը `շահույթի մակարդակի երկրաչափական միջին արժեքը որոշվում է բանաձևով.

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

Որտեղ R i- շահույթի տոկոսադրույքը եսրդ ժամանակաշրջանը:

Օրինակ, ենթադրենք, որ նախնական ներդրումը կազմում է $100,000 Առաջին տարվա վերջում այն ​​ընկնում է $50,000-ի, իսկ երկրորդ տարվա վերջում այն ​​վերականգնվում է մինչև $100,000-ի սկզբնական մակարդակը -տարվա ժամանակահատվածը հավասար է 0-ի, քանի որ դրամական միջոցների սկզբնական և վերջնական գումարները հավասար են միմյանց: Այնուամենայնիվ, տարեկան շահույթի դրույքաչափերի թվաբանական միջինը = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 կամ 25%, քանի որ առաջին տարվա շահույթի մակարդակը R 1 = (50,000 – 100,000) / 100,000 = –0,5, իսկ երկրորդը R 2 = (100,000 – 50,000) / 50,000 = 1: Միևնույն ժամանակ, երկու տարվա շահույթի նորմայի միջին երկրաչափական արժեքը հավասար է՝ G = [(1–0,5) * (1+1) ] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0: Այսպիսով, երկրաչափական միջինն ավելի ճշգրիտ է արտացոլում ներդրումների ծավալի փոփոխությունը (ավելի ճիշտ՝ փոփոխությունների բացակայությունը) երկու տարվա ընթացքում, քան թվաբանականը։ նկատի ունեմ։

Հետաքրքիր փաստեր։Նախ, երկրաչափական միջինը միշտ փոքր կլինի նույն թվերի միջին թվաբանականից: Բացառությամբ այն դեպքի, երբ վերցված բոլոր թվերը միմյանց հավասար են։ Երկրորդ՝ հաշվի առնելով հատկությունները ուղղանկյուն եռանկյուն, կարելի է հասկանալ, թե ինչու է միջինը կոչվում երկրաչափական։ Ուղղանկյուն եռանկյունու բարձրությունը՝ իջեցված մինչև հիպոթենուզա, միջին համամասնությունն է ոտքերի ելքերի միջև հիպոթենուզայի վրա, և յուրաքանչյուր ոտքը հիպոթենուզայի և դրա ելքի միջին հարաբերակցությունն է հիպոթենուսի վրա (նկ. 5): Սա երկու (երկարությունների) հատվածների երկրաչափական միջինը կառուցելու երկրաչափական եղանակ է տալիս. այս երկու հատվածների գումարի վրա պետք է շրջանագիծ կառուցել որպես տրամագիծ, այնուհետև վերականգնվել բարձրությունը դրանց միացման կետից մինչև շրջանագծի հետ հատումը: կտա ցանկալի արժեքը.

Բրինձ. 5. Երկրաչափական միջինի երկրաչափական բնույթը (Նկար Վիքիպեդիայից)

Թվային տվյալների երկրորդ կարևոր հատկությունը նրանցն է տատանումներ, բնութագրելով տվյալների ցրվածության աստիճանը։ Երկու տարբեր նմուշներ կարող են տարբերվել ինչպես միջին, այնպես էլ տարբերություններով: Այնուամենայնիվ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 6 և 7, երկու նմուշները կարող են ունենալ նույն տատանումները, բայց տարբեր միջոցներ, կամ նույն միջոցները և բոլորովին տարբեր տատանումներ: Տվյալները, որոնք համապատասխանում են Նկ. 7, փոխվում է շատ ավելի քիչ, քան այն տվյալները, որոնց վրա կառուցվել է A բազմանկյունը:

Բրինձ. 6. Երկու սիմետրիկ զանգակաձեւ բաշխումներ՝ նույն տարածմամբ և տարբեր միջին արժեքներով

Բրինձ. 7. Երկու սիմետրիկ զանգի ձևավորված բաշխումներ՝ նույն միջին արժեքներով և տարբեր տարածումներով

Տվյալների տատանումների հինգ գնահատական ​​կա.

• շրջանակը,
• միջքառորդական միջակայք,
• ցրվածություն,
• ստանդարտ շեղում,
• տատանումների գործակիցը.

Շրջանակ

Տարածքը նմուշի ամենամեծ և ամենափոքր տարրերի տարբերությունն է.

Շրջանակ = XՄաքս - ​​XMin

15 շատ բարձր ռիսկային փոխադարձ հիմնադրամների միջին տարեկան եկամուտներ պարունակող նմուշի միջակայքը կարող է հաշվարկվել պատվիրված զանգվածի միջոցով (տես Գծապատկեր 4). միջակայք = 18.5 – (–6.1) = 24.6: Սա նշանակում է, որ շատ բարձր ռիսկային ֆոնդերի ամենաբարձր և ամենացածր միջին տարեկան եկամտաբերության տարբերությունը կազմում է 24,6%:

Range-ը չափում է տվյալների ընդհանուր տարածումը: Չնայած ընտրանքային միջակայքը տվյալների ընդհանուր տարածման շատ պարզ գնահատական ​​է, դրա թույլ կողմն այն է, որ հաշվի չի առնում, թե ինչպես են տվյալները բաշխվում նվազագույն և առավելագույն տարրերի միջև: Այս ազդեցությունը հստակ տեսանելի է Նկ. 8, որը ցույց է տալիս նույն տիրույթն ունեցող նմուշները: B սանդղակը ցույց է տալիս, որ եթե նմուշը պարունակում է առնվազն մեկ ծայրահեղ արժեք, ընտրանքի միջակայքը տվյալների տարածման շատ ոչ ճշգրիտ գնահատական ​​է:

Բրինձ. 8. Նույն տիրույթով երեք նմուշների համեմատություն; եռանկյունը խորհրդանշում է սանդղակի աջակցությունը, և դրա գտնվելու վայրը համապատասխանում է նմուշի միջինին

Միջքառորդական միջակայք

Միջքառորդական կամ միջին միջակայքը նմուշի երրորդ և առաջին քառորդների միջև եղած տարբերությունն է.

Միջքառորդական միջակայք = Q 3 – Q 1

Այս արժեքը թույլ է տալիս գնահատել տարրերի 50%-ի ցրվածությունը և հաշվի չառնել ծայրահեղ տարրերի ազդեցությունը։ 15 շատ բարձր ռիսկային փոխադարձ հիմնադրամների միջին տարեկան եկամուտներ պարունակող նմուշի միջքառորդական միջակայքը կարող է հաշվարկվել՝ օգտագործելով Նկ. 4 (օրինակ՝ QUARTILE.EXC ֆունկցիայի համար). Միջքառորդական միջակայք = 9,8 – (–0,7) = 10,5: 9.8 և -0.7 թվերով սահմանափակված միջակայքը հաճախ կոչվում է միջին կես։

Պետք է նշել, որ Q 1 և Q 3 արժեքները, հետևաբար նաև միջքառորդական միջակայքը, կախված չեն ծայրամասերի առկայությունից, քանի որ դրանց հաշվարկը հաշվի չի առնում որևէ արժեք, որը կլինի Q 1-ից կամ ավելի փոքր: քան Q 3. Ընդամենը քանակական բնութագրերայնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են միջին, առաջին և երրորդ քառորդները և միջքառորդական միջակայքը, որոնց վրա չեն ազդում արտաքուստները, կոչվում են կայուն չափումներ:

Թեև միջակայքը և միջքառորդական միջակայքը համապատասխանաբար ապահովում են նմուշի ընդհանուր և միջին տարածման գնահատականները, այս գնահատումներից և ոչ մեկը հաշվի չի առնում, թե կոնկրետ ինչպես են բաշխված տվյալները: Տարբերություն և ստանդարտ շեղումզուրկ են այս թերությունից: Այս ցուցանիշները թույլ են տալիս գնահատել, թե որքանով են տվյալները տատանվում միջին արժեքի շուրջ: Նմուշի շեղումմիջին թվաբանականի մոտարկում է, որը հաշվարկվում է յուրաքանչյուր նմուշի տարրի և նմուշի միջինի միջև եղած տարբերությունների քառակուսիներից: X 1, X 2, ... X n նմուշի համար նմուշի շեղումը (նշվում է S 2 նշանով տրված է հետևյալ բանաձևով.

IN ընդհանուր դեպքՆմուշի շեղումը նմուշի տարրերի և ընտրանքի միջինի միջև տարբերությունների քառակուսիների գումարն է՝ բաժանված մի արժեքով, որը հավասար է ընտրանքի չափին՝ հանած մեկ.

Որտեղ - թվաբանական միջին, n- նմուշի չափը, X i - եսընտրության տարր X. Excel-ում մինչև 2007 թվականը հաշվարկների համար նմուշի շեղում=DISP() ֆունկցիան օգտագործվել է 2010 թվականի տարբերակից, օգտագործվել է =DISP.V() ֆունկցիան:

Տվյալների տարածման առավել գործնական և լայնորեն ընդունված գնահատականն է նմուշի ստանդարտ շեղում. Այս ցուցանիշը նշվում է S նշանով և հավասար է քառակուսի արմատընտրանքային տարբերությունից.

Excel-ում մինչև 2007 թվականը, ֆունկցիան =STDEV.() օգտագործվում էր ստանդարտ նմուշի շեղումը հաշվարկելու համար, քանի որ 2010 թվականի տարբերակն օգտագործվում է =STDEV.V(): Այս գործառույթները հաշվարկելու համար տվյալների զանգվածը կարող է դասավորված լինել:

Ոչ ընտրանքի շեղումը, ոչ էլ նմուշի ստանդարտ շեղումը չեն կարող բացասական լինել: Միակ իրավիճակը, երբ S 2 և S ցուցանիշները կարող են զրո լինել, եթե նմուշի բոլոր տարրերը հավասար են միմյանց: Սա բացարձակապես անհավանական դեպքտիրույթը և միջքառորդական միջակայքը նույնպես զրո են:

Թվային տվյալները ի սկզբանե փոփոխական են: Ցանկացած փոփոխական կարող է շատ բան վերցնել տարբեր իմաստներ. Օրինակ, տարբեր փոխադարձ հիմնադրամներ ունեն տարբեր եկամտաբերության և կորստի տեմպեր: Հաշվի առնելով թվային տվյալների փոփոխականությունը, շատ կարևոր է ուսումնասիրել ոչ միայն միջինի գնահատականները, որոնք ունեն ամփոփ բնույթ, այլ նաև տվյալների տարածումը բնութագրող շեղումների գնահատումները:

Դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը թույլ են տալիս գնահատել տվյալների տարածումը միջին արժեքի շուրջ, այլ կերպ ասած՝ որոշել, թե քանի նմուշի տարրեր են միջինից փոքր և քանիսն են ավելի մեծ: Դիսպերսիան ունի որոշ արժեքավոր մաթեմատիկական հատկություններ: Սակայն դրա արժեքը չափման միավորի քառակուսին է՝ քառակուսի տոկոս, քառակուսի դոլար, քառակուսի դյույմ և այլն։ Հետևաբար, դիսպերսիայի բնական չափանիշը ստանդարտ շեղումն է, որն արտահայտվում է եկամտի տոկոսի ընդհանուր միավորներով, դոլարով կամ դյույմով:

Ստանդարտ շեղումը թույլ է տալիս գնահատել նմուշի տարրերի տատանումների քանակը միջին արժեքի շուրջ: Գրեթե բոլոր իրավիճակներում դիտարկվող արժեքների մեծ մասը գտնվում է միջինից գումարած կամ մինուս մեկ ստանդարտ շեղման միջակայքում: Հետևաբար, իմանալով նմուշի տարրերի թվաբանական միջինը և նմուշի ստանդարտ շեղումը, հնարավոր է որոշել այն միջակայքը, որին պատկանում է տվյալների հիմնական մասը:

15 շատ բարձր ռիսկային փոխադարձ հիմնադրամների համար եկամտաբերության ստանդարտ շեղումը 6.6 է (Նկար 9): Սա նշանակում է, որ միջոցների մեծ մասի շահութաբերությունը միջին արժեքից տարբերվում է ոչ ավելի, քան 6,6%-ով (այսինքն՝ այն տատանվում է միջակայքում. -Ս= 6,2 – 6,6 = –0,4 դեպի +Ս= 12,8): Փաստորեն, 53,3% (8-ը 15-ից) միջոցների հնգամյա միջին տարեկան եկամտաբերությունը գտնվում է այս միջակայքում:

Բրինձ. 9. Նմուշի ստանդարտ շեղում

Նկատի ունեցեք, որ քառակուսի տարբերությունները գումարելիս միջինից ավելի հեռու գտնվող նմուշներին տրվում է ավելի մեծ կշիռ, քան միջինին ավելի մոտ գտնվող տարրերին: Այս հատկությունը հիմնական պատճառն է, թե ինչու է միջինը ամենից հաճախ օգտագործվում բաշխման միջին արժեքը գնահատելու համար: թվաբանական արժեքը.

Տատանումների գործակիցը

Ի տարբերություն ցրման նախորդ գնահատումների, տատանումների գործակիցը հարաբերական գնահատական ​​է: Այն միշտ չափվում է որպես տոկոս և ոչ թե սկզբնական տվյալների միավորներով: Տարբերակման գործակիցը, որը նշվում է CV նշաններով, չափում է տվյալների ցրվածությունը միջինի շուրջ: Տատանումների գործակիցը հավասար է ստանդարտ շեղմանը, որը բաժանված է միջին թվաբանականով և բազմապատկվում է 100%-ով.

Որտեղ Ս- ստանդարտ նմուշի շեղում, - միջին նմուշ.

Տատանումների գործակիցը թույլ է տալիս համեմատել երկու նմուշ, որոնց տարրերն արտահայտված են տարբեր չափման միավորներով: Օրինակ՝ փոստի առաքման ծառայության մենեջերը մտադիր է թարմացնել իր բեռնատարների պարկը։ Փաթեթներ բեռնելիս պետք է հաշվի առնել երկու սահմանափակում՝ յուրաքանչյուր փաթեթի քաշը (ֆունտներով) և ծավալը (խորանարդ ֆուտ): Ենթադրենք, որ 200 պարկ պարունակող նմուշում միջին քաշը 26,0 ֆունտ է, քաշի ստանդարտ շեղումը 3,9 ֆունտ է, պարկի միջին ծավալը 8,8 խորանարդ ֆուտ է, իսկ ծավալի ստանդարտ շեղումը 2,2 խորանարդ ֆուտ է։ Ինչպե՞ս համեմատել փաթեթների քաշի և ծավալի տարբերությունը:

Քանի որ քաշի և ծավալի չափման միավորները տարբերվում են միմյանցից, ղեկավարը պետք է համեմատի այդ մեծությունների հարաբերական տարածումը: Քաշի փոփոխության գործակիցը CV W = 3.9 / 26.0 * 100% = 15%, իսկ ծավալի փոփոխության գործակիցը CV V = 2.2 / 8.8 * 100% = 25% է: Այսպիսով, փաթեթների ծավալի հարաբերական փոփոխությունը շատ ավելի մեծ է, քան դրանց քաշի հարաբերական փոփոխությունը:

Բաշխման ձև

Նմուշի երրորդ կարևոր հատկությունը դրա բաշխման ձևն է: Այս բաշխումը կարող է լինել սիմետրիկ կամ ասիմետրիկ: Բաշխման ձևը նկարագրելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել դրա միջինը և միջինը: Եթե ​​երկուսը նույնն են, ապա փոփոխականը համարվում է սիմետրիկորեն բաշխված: Եթե ​​փոփոխականի միջին արժեքը մեծ է միջինից, ապա դրա բաշխումն ունի դրական թեքություն (նկ. 10): Եթե ​​միջինը մեծ է միջինից, ապա փոփոխականի բաշխումը բացասաբար շեղված է: Դրական թեքություն առաջանում է, երբ միջինը հասնում է անսովոր բարձր արժեքների: Բացասական թեքություն առաջանում է, երբ միջինը նվազում է մինչև անսովոր փոքր արժեքներ: Փոփոխականը սիմետրիկորեն բաշխվում է, եթե այն չի ընդունում որևէ ծայրահեղ արժեք որևէ ուղղությամբ, այնպես որ փոփոխականի մեծ և փոքր արժեքները չեղյալ համարեն միմյանց:

Բրինձ. 10. Երեք տեսակի բաշխում

A սանդղակի վրա ցուցադրված տվյալները բացասաբար են շեղված: Այս նկարը ցույց է տալիս երկար պոչը և ձախ թեքությունը, որն առաջացել է անսովոր փոքր արժեքների առկայությունից: Այս չափազանց փոքր արժեքները միջին արժեքը տեղափոխում են ձախ՝ այն դարձնելով միջինից պակաս: B սանդղակի վրա ցուցադրված տվյալները բաշխվում են սիմետրիկ: Բաշխման ձախ և աջ կեսերը իրենց հայելային պատկերներն են: Մեծ և փոքր արժեքները հավասարակշռում են միմյանց, իսկ միջինն ու միջինը հավասար են: B սանդղակի վրա ցուցադրված տվյալները դրականորեն շեղված են: Այս նկարը ցույց է տալիս երկար պոչը և թեքությունը դեպի աջ, որը պայմանավորված է անսովոր բարձր արժեքների առկայությամբ: Այս չափազանց մեծ արժեքները միջինը տեղափոխում են աջ՝ դարձնելով այն ավելի մեծ, քան միջինը:

Excel-ում նկարագրական վիճակագրություն կարելի է ձեռք բերել հավելյալի միջոցով Վերլուծական փաթեթ. Անցեք ցանկի միջով Տվյալներ → Տվյալների վերլուծություն, բացվող պատուհանում ընտրեք տողը Նկարագրական վիճակագրությունև սեղմեք Լավ. Պատուհանում Նկարագրական վիճակագրությունանպայման նշեք Ներածման ընդմիջում(նկ. 11): Եթե ​​ցանկանում եք տեսնել նկարագրական վիճակագրությունը նույն թերթիկի վրա, ինչ սկզբնական տվյալները, ընտրեք ռադիո կոճակը Արդյունքների ընդմիջումև նշեք այն բջիջը, որտեղ պետք է տեղադրվի ցուցադրված վիճակագրության վերին ձախ անկյունը (մեր օրինակում՝ $C$1): Եթե ​​ցանկանում եք ելքային տվյալները նոր տերեւկամ մեջ նոր գիրք, պարզապես ընտրեք համապատասխան անջատիչը: Ստուգեք կողքի վանդակը Ամփոփ վիճակագրություն. Ցանկության դեպքում կարող եք նաև ընտրել Դժվարության մակարդակ,kth ամենափոքր ևkth ամենամեծ.

Եթե ​​դեպոզիտով Տվյալներտարածքում Վերլուծությունդուք չեք տեսնում պատկերակը Տվյալների վերլուծություն, նախ պետք է տեղադրել հավելումը Վերլուծական փաթեթ(տես, օրինակ,):

Բրինձ. 11. Ռիսկի շատ բարձր մակարդակ ունեցող միջոցների հնգամյա միջին տարեկան եկամտաբերության նկարագրական վիճակագրություն՝ հաշվարկված հավելյալի միջոցով. Տվյալների վերլուծություն Excel ծրագրեր

Excel-ը հաշվարկում է վերը քննարկված մի շարք վիճակագրություն՝ միջին, միջին, ռեժիմ, ստանդարտ շեղում, շեղում, միջակայք ( ընդմիջում), նվազագույն, առավելագույն և նմուշի չափը ( ստուգել) Excel-ը նաև հաշվում է որոշ վիճակագրություն, որոնք մեզ համար նոր են՝ ստանդարտ սխալ, շեղում և թեքություն: Ստանդարտ սխալհավասար է ստանդարտ շեղմանը, որը բաժանված է նմուշի չափի քառակուսի արմատով: Ասիմետրիաբնութագրում է բաշխման համաչափությունից շեղումը և ֆունկցիա է, որը կախված է նմուշի տարրերի և միջին արժեքի միջև եղած տարբերությունների խորանարդից։ Կուրտոզը միջինի շուրջ տվյալների հարաբերական կոնցենտրացիայի չափումն է` համեմատած բաշխման պոչերի հետ և կախված է նմուշի տարրերի և չորրորդ աստիճանի բարձրացված միջինի տարբերություններից:

Բնակչության համար նկարագրական վիճակագրության հաշվարկ

Վերը քննարկված բաշխման միջինը, տարածումը և ձևը նմուշից որոշված ​​բնութագրիչներ են: Այնուամենայնիվ, եթե տվյալների հավաքածուն պարունակում է ամբողջ բնակչության թվային չափումներ, ապա դրա պարամետրերը կարող են հաշվարկվել: Նման պարամետրերը ներառում են բնակչության ակնկալվող արժեքը, դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը:

Ակնկալվող արժեքըհավասար է բնակչության բոլոր արժեքների գումարին, որը բաժանված է բնակչության թվին.

Որտեղ µ - ակնկալվող արժեքը, Xես- եսփոփոխականի րդ դիտարկումը X, Ն- ընդհանուր բնակչության ծավալը. Excel-ում մաթեմատիկական ակնկալիքը հաշվարկելու համար օգտագործվում է նույն ֆունկցիան, ինչ թվաբանական միջինի համար՝ =AVERAGE():

Բնակչության շեղումհավասար է ընդհանուր բնակչության և խսիրի տարրերի տարբերությունների քառակուսիների գումարին: ակնկալիքը՝ բաժանված ըստ բնակչության թվի.

Որտեղ σ 2- ընդհանուր բնակչության ցրվածություն. Excel-ում մինչև 2007 թվականը, =VARP() ֆունկցիան օգտագործվում է բնակչության շեղումը հաշվարկելու համար՝ սկսած 2010 տարբերակից =VARP():

Բնակչության ստանդարտ շեղումհավասար է պոպուլյացիայի դիսպերսիայի քառակուսի արմատին.

Excel-ում մինչև 2007 թվականը =STDEV() ֆունկցիան օգտագործվում է բնակչության ստանդարտ շեղումը 2010 թվականից սկսած՝ =STDEV.Y(). Նկատի ունեցեք, որ բնակչության շեղման և ստանդարտ շեղման բանաձևերը տարբերվում են ընտրանքային շեղումների և ստանդարտ շեղումների հաշվարկման բանաձևերից: Նմուշի վիճակագրությունը հաշվարկելիս Ս 2Եվ Սկոտորակի հայտարարն է n – 1, և պարամետրերը հաշվարկելիս σ 2Եվ σ - ընդհանուր բնակչության ծավալը Ն.

Հիմնական կանոն

Իրավիճակների մեծ մասում դիտարկումների մեծ մասը կենտրոնացած է միջինի շուրջ՝ ձևավորելով կլաստեր: Դրական թեքությամբ տվյալների հավաքածուներում այս կլաստերը գտնվում է մաթեմատիկական ակնկալիքի ձախ կողմում (այսինքն՝ ներքևում), իսկ բացասական թեքությամբ հավաքածուներում այս կլաստերը գտնվում է մաթեմատիկական ակնկալիքից աջ (այսինքն՝ վերևում): Սիմետրիկ տվյալների համար միջինը և միջինը նույնն են, և դիտումները հավաքվում են միջինի շուրջ՝ ձևավորելով զանգի ձևավորված բաշխում: Եթե ​​բաշխումը հստակորեն շեղված չէ, և տվյալները կենտրոնացված են որոշակի ծանրության կենտրոնի շուրջ, ապա փոփոխականությունը գնահատելու համար օգտագործվող հիմնական կանոնն այն է, որ եթե տվյալներն ունեն զանգի ձևավորված բաշխում, ապա դիտարկումների մոտավորապես 68%-ը ակնկալվող արժեքի մեկ ստանդարտ շեղման սահմաններում դիտարկումների մոտավորապես 95%-ը մաթեմատիկական ակնկալիքից հեռու է ոչ ավելի, քան երկու ստանդարտ շեղում, իսկ մաթեմատիկական ակնկալիքներից ոչ ավելի, քան երեք ստանդարտ շեղում:

Այսպիսով, ստանդարտ շեղումը, որը ակնկալվող արժեքի շուրջ միջին տատանումների գնահատումն է, օգնում է հասկանալ, թե ինչպես են բաշխվում դիտարկումները և բացահայտել արտանետումները: Հիմնական կանոնն այն է, որ զանգի տեսքով բաշխումների դեպքում քսանից միայն մեկը արժեք է տարբերվում մաթեմատիկական ակնկալիքից ավելի քան երկու ստանդարտ շեղումներով: Հետևաբար, արժեքները միջակայքից դուրս μ ± 2σ, կարելի է համարել արտաքուստ։ Բացի այդ, 1000 դիտարկումներից միայն երեքն են տարբերվում մաթեմատիկական ակնկալիքից ավելի քան երեք ստանդարտ շեղումներով։ Այսպիսով, արժեքները միջակայքից դուրս μ ± 3σգրեթե միշտ արտաքուստ են: Բաշխումների համար, որոնք շատ թեքված են կամ զանգակաձև չեն, կարող է կիրառվել Բիենամայ-Չեբիշևի հիմնական կանոնը:

Ավելի քան հարյուր տարի առաջ մաթեմատիկոսներ Բիենամայը և Չեբիշևը ինքնուրույն հայտնաբերեցին օգտակար հատկությունստանդարտ շեղում. Նրանք պարզել են, որ ցանկացած տվյալների հավաքածուի համար, անկախ բաշխման ձևից, հեռավորության վրա գտնվող դիտարկումների տոկոսը կստանդարտ շեղումներ մաթեմատիկական ակնկալիքից, ոչ պակաս (1 – 1/ k 2)*100%.

Օրինակ, եթե կ= 2, Bienname-Chebyshev կանոնը նշում է, որ առնվազն (1 – (1/2) 2) x 100% = 75% դիտարկումները պետք է ընկած լինեն միջակայքում: μ ± 2σ. Այս կանոնը ճիշտ է ցանկացածի համար կ, մեկից ավելի: Bienamay-Chebyshev կանոնը շատ ընդհանուր է և վավեր ցանկացած տեսակի բաշխումների համար: Այն սահմանում է դիտումների նվազագույն քանակը, որոնցից մինչև մաթեմատիկական ակնկալիքների հեռավորությունը չի գերազանցում սահմանված արժեքը: Այնուամենայնիվ, եթե բաշխումը զանգակաձև է, հիմնական կանոնն ավելի ճշգրիտ է գնահատում տվյալների կոնցենտրացիան ակնկալվող արժեքի շուրջ:

Հաճախականության վրա հիմնված բաշխման համար նկարագրական վիճակագրության հաշվարկ

Եթե ​​բնօրինակ տվյալները մատչելի չեն, հաճախականության բաշխումը դառնում է տեղեկատվության միակ աղբյուրը: Նման իրավիճակներում հնարավոր է հաշվարկել բաշխման քանակական ցուցանիշների մոտավոր արժեքներ, ինչպիսիք են թվաբանական միջինը, ստանդարտ շեղումը և քառորդները:

Եթե ​​նմուշի տվյալները ներկայացված են որպես հաճախականության բաշխում, ապա միջին թվաբանականի մոտավորությունը կարելի է հաշվարկել՝ ենթադրելով, որ յուրաքանչյուր դասի ներսում բոլոր արժեքները կենտրոնացված են դասի միջնակետում.

Որտեղ - նմուշի միջին, n- դիտարկումների քանակը կամ ընտրանքի չափը, Հետ- հաճախականության բաշխման դասերի քանակը, մ ժ- միջնակետ ժրդ դասարան, զժ- համապատասխան հաճախականություն ժ-րդ դաս.

Հաճախականության բաշխումից ստանդարտ շեղումը հաշվարկելու համար ենթադրվում է նաև, որ յուրաքանչյուր դասի ներսում բոլոր արժեքները կենտրոնացած են դասի միջնակետում:

Հասկանալու համար, թե ինչպես են որոշվում սերիայի քառորդները՝ հաճախականությունների հիման վրա, հաշվի առեք ստորին քառորդի հաշվարկը՝ հիմնված 2013 թվականի տվյալների վրա՝ Ռուսաստանի բնակչության բաշխվածության վերաբերյալ մեկ շնչին ընկնող միջին դրամական եկամուտով (նկ. 12):

Բրինձ. 12. Ռուսաստանի բնակչության մասնաբաժինը մեկ շնչին բաժին ընկնող միջին եկամուտով կանխիկ եկամուտմիջին ամսական, ռուբլի

Ինտերվալային տատանումների շարքի առաջին քառորդը հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել բանաձևը.

որտեղ Q1-ը առաջին քառորդի արժեքն է, xQ1-ը առաջին քառորդը պարունակող միջակայքի ստորին սահմանն է (միջակայքը որոշվում է կուտակված հաճախականությամբ, որն առաջինը գերազանցում է 25%). i - միջակայքի արժեք; Σf – ամբողջ նմուշի հաճախականությունների գումարը. հավանաբար միշտ հավասար է 100%; SQ1–1 – ստորին քառորդը պարունակող միջակայքին նախորդող միջակայքի կուտակված հաճախականությունը. fQ1 - ստորին քառորդը պարունակող միջակայքի հաճախականությունը: Երրորդ քառորդի բանաձևը տարբերվում է նրանով, որ բոլոր վայրերում անհրաժեշտ է օգտագործել Q3-ը Q1-ի փոխարեն և փոխարինել ¾-ի փոխարեն:

Մեր օրինակում (նկ. 12) ստորին քառորդը գտնվում է 7000.1 – 10000 միջակայքում, որի կուտակված հաճախականությունը 26.4% է: Այս ինտերվալի ստորին սահմանը 7000 ռուբլի է, միջակայքի արժեքը՝ 3000 ռուբլի, ստորին քառորդը պարունակող միջակայքին նախորդող միջակայքի կուտակված հաճախականությունը՝ 13,4%, ստորին քառորդ պարունակող միջակայքի հաճախականությունը՝ 13,0%։ Այսպիսով՝ Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13.4) / 13 = 9677 ռուբ.

Նկարագրական վիճակագրության հետ կապված որոգայթներ

Այս գրառման մեջ մենք նայեցինք, թե ինչպես կարելի է նկարագրել տվյալների հավաքածուն՝ օգտագործելով տարբեր վիճակագրություն, որոնք գնահատում են դրա միջինը, տարածումը և բաշխումը: Հաջորդ քայլը տվյալների վերլուծությունն ու մեկնաբանությունն է: Մինչ այժմ մենք ուսումնասիրել ենք տվյալների օբյեկտիվ հատկությունները, իսկ այժմ անցնում ենք դրանց սուբյեկտիվ մեկնաբանությանը։ Հետազոտողը բախվում է երկու սխալի՝ սխալ ընտրված վերլուծության առարկայի և արդյունքների ոչ ճիշտ մեկնաբանության։

Շատ բարձր ռիսկային 15 փոխադարձ հիմնադրամների եկամուտների վերլուծությունը բավականին անաչառ է: Նա հանգեցրեց միանգամայն օբյեկտիվ եզրակացությունների՝ բոլոր փոխադարձ ֆոնդերն ունեն տարբեր եկամտաբերություն, ֆոնդերի եկամտաբերության տարածվածությունը տատանվում է -6,1-ից մինչև 18,5, իսկ միջին եկամտաբերությունը՝ 6,08։ Տվյալների վերլուծության օբյեկտիվությունն ապահովված է ճիշտ ընտրությունբաշխման ընդհանուր քանակական ցուցանիշները։ Դիտարկվել են տվյալների միջին և ցրվածության գնահատման մի քանի մեթոդներ և նշվել դրանց առավելություններն ու թերությունները: Ինչպե՞ս ընտրել ճիշտ վիճակագրություն, որն ապահովում է օբյեկտիվ և անաչառ վերլուծություն: Եթե ​​տվյալների բաշխումը փոքր-ինչ շեղված է, պետք է ընտրեք միջինը, այլ ոչ թե միջինը: Ո՞ր ցուցանիշն է ավելի ճշգրիտ բնութագրում տվյալների տարածվածությունը՝ ստանդարտ շեղո՞ւմը, թե՞ միջակայքը: Արդյո՞ք պետք է նշել, որ բաշխումը դրականորեն շեղված է:

Մյուս կողմից, տվյալների մեկնաբանումը սուբյեկտիվ գործընթաց է: Տարբեր մարդիկմիևնույն արդյունքները մեկնաբանելիս գալիս են տարբեր եզրակացությունների: Ամեն մեկն ունի իր տեսակետը։ Ինչ-որ մեկը գնահատում է շատ բարձր ռիսկայնությամբ 15 ֆոնդի ընդհանուր միջին տարեկան եկամուտը և բավականին գոհ է ստացված եկամուտից։ Մյուսները կարող են թվալ, որ այդ միջոցները չափազանց ցածր եկամտաբերություն ունեն: Այսպիսով, սուբյեկտիվությունը պետք է փոխհատուցվի ազնվությամբ, չեզոքությամբ և եզրակացությունների հստակությամբ։

Էթիկական խնդիրներ

Տվյալների վերլուծությունը անքակտելիորեն կապված է էթիկական խնդիրների հետ: Դուք պետք է քննադատաբար վերաբերվեք թերթերի, ռադիոյի, հեռուստատեսության և ինտերնետի միջոցով տարածվող տեղեկատվությանը: Ժամանակի ընթացքում դուք կսովորեք թերահավատ լինել ոչ միայն արդյունքների, այլև հետազոտության նպատակների, առարկայի և օբյեկտիվության նկատմամբ: Բրիտանացի հայտնի քաղաքական գործիչ Բենջամին Դիզրաելին դա լավագույնս ասել է. «Կա երեք տեսակի սուտ՝ սուտ, անիծյալ սուտ և վիճակագրություն»:

Ինչպես նշվում է գրառման մեջ, էթիկական խնդիրներ են առաջանում այն ​​արդյունքների ընտրության ժամանակ, որոնք պետք է ներկայացվեն զեկույցում: Պետք է հրապարակվեն և՛ դրական, և՛ բացասական արդյունքները։ Բացի այդ, հաշվետվություն կամ գրավոր հաշվետվություն կազմելիս արդյունքները պետք է ներկայացվեն ազնիվ, չեզոք և օբյեկտիվ։ Տարբերություն կա անհաջող և անազնիվ ներկայացումների միջև: Դրա համար անհրաժեշտ է որոշել, թե ինչ մտադրություններ ուներ բանախոսը։ Երբեմն բանախոսը անտեղյակությունից ելնելով է բաց թողնում կարևոր տեղեկությունը, իսկ երբեմն այն դիտավորյալ է (օրինակ, եթե նա օգտագործում է թվաբանական միջինը հստակ շեղված տվյալների միջինը գնահատելու համար՝ ցանկալի արդյունք ստանալու համար): Անազնիվ է նաև ճնշել արդյունքները, որոնք չեն համապատասխանում հետազոտողի տեսակետին:

Օգտագործված են նյութեր Levin et al., Վիճակագրություն մենեջերների համար: – M.: Williams, 2004. – էջ. 178–209 թթ

QUARTILE ֆունկցիան պահպանվել է Excel-ի ավելի վաղ տարբերակների հետ համատեղելիության համար:

Ամենից շատ հավասար. Գործնականում մենք պետք է օգտագործենք միջին թվաբանականը, որը կարելի է հաշվարկել որպես պարզ և կշռված թվաբանական միջին։

Միջին թվաբանական (SA)-nՄիջինի ամենատարածված տեսակը. Այն օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ ամբողջ բնակչության համար տարբեր բնութագրիչի ծավալը նրա առանձին միավորների բնութագրերի արժեքների գումարն է: Սոցիալական երևույթները բնութագրվում են տարբեր բնութագրերի ծավալների ավելացմամբ (ամբողջությամբ), ինչը որոշում է SA-ի կիրառման շրջանակը և բացատրում է դրա տարածվածությունը որպես ընդհանուր ցուցանիշ. օրինակ՝ ընդհանուր աշխատավարձի ֆոնդը բոլոր աշխատողների աշխատավարձերի հանրագումարն է:

SA հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է բոլոր հատկանիշի արժեքների գումարը բաժանել դրանց թվով: SA-ն օգտագործվում է 2 ձևով.

Եկեք նախ դիտարկենք պարզ թվաբանական միջինը:

1-CA պարզ (բնօրինակ, որոշիչ ձև) հավասար է միջինացված բնութագրիչի անհատական ​​արժեքների պարզ գումարին, որը բաժանվում է այս արժեքների ընդհանուր թվի վրա (օգտագործվում է, երբ առկա են բնութագրի չխմբավորված ինդեքսային արժեքներ).

Կատարված հաշվարկները կարելի է ընդհանրացնել հետևյալ բանաձևով.

(1)

Որտեղ - տարբեր բնութագրիչի միջին արժեքը, այսինքն, պարզ թվաբանական միջինը.

նշանակում է գումարում, այսինքն՝ անհատական ​​հատկանիշների ավելացում.

x- տարբեր բնութագրերի անհատական ​​արժեքներ, որոնք կոչվում են տարբերակներ.

n - բնակչության միավորների թիվը

Օրինակ 1,պահանջվում է գտնել մեկ աշխատողի (մեխանիկի) միջին արդյունքը, եթե հայտնի է, թե 15 աշխատողներից յուրաքանչյուրը քանի մաս է արտադրել, այսինքն. տրված է մի շարք հնդ. հատկանիշի արժեքներ, հատ.՝ 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Պարզ SA-ը հաշվարկվում է բանաձևով (1), հատ.

Օրինակ 2. Հաշվարկենք ՍԱ-ն առևտրային ընկերությունում ընդգրկված 20 խանութների պայմանական տվյալների հիման վրա (Աղյուսակ 1): Աղյուսակ 1

«Վեսնա» առևտրային ընկերության խանութների բաշխումն ըստ իրացման տարածքի, ք. Մ

Խանութի միջին տարածքը հաշվարկելու համար ( ) անհրաժեշտ է գումարել բոլոր խանութների տարածքները և ստացված արդյունքը բաժանել խանութների թվի վրա.

Այսպիսով, մանրածախ առևտրային ձեռնարկությունների այս խմբի խանութների միջին մակերեսը կազմում է 71 քառ.

Հետևաբար, պարզ SA որոշելու համար անհրաժեշտ է տվյալ հատկանիշի բոլոր արժեքների գումարը բաժանել այս հատկանիշն ունեցող միավորների քանակով:

2

Որտեղ զ 1 , զ 2 , … ,զ n – քաշը (նույն նշանների կրկնության հաճախականությունը);

- հատկանիշների մեծության և դրանց հաճախականությունների արտադրյալների գումարը.

- բնակչության միավորների ընդհանուր թիվը.

Որտեղ X- տարբերակներ;

զ- հաճախականությունը (քաշը):

Կշռված SA-ը օպցիոնների արտադրյալների և դրանց համապատասխան հաճախականությունների գումարը բոլոր հաճախությունների գումարի վրա բաժանելու գործակիցն է: Հաճախականություններ ( զ) SA բանաձեւում հայտնված սովորաբար կոչվում են կշեռքներ, որի արդյունքում կշիռները հաշվի առնելով հաշվարկված ՍԱ կոչվում է կշռված։

Մենք կպատկերացնենք կշռված SA-ի հաշվարկման տեխնիկան՝ օգտագործելով վերը քննարկված օրինակ 1-ը, դրա համար մենք կխմբավորենք նախնական տվյալները և կտեղադրենք աղյուսակում:

Խմբավորված տվյալների միջինը որոշվում է հետևյալ կերպ՝ սկզբում տարբերակները բազմապատկվում են հաճախականությամբ, այնուհետև գումարվում են արտադրյալները և ստացված գումարը բաժանվում է հաճախականությունների գումարի վրա։

Համաձայն բանաձևի (2) կշռված SA-ը հավասար է, հատ.

Պ

Vesna խանութների բաշխումն ըստ վաճառքի տարածքի, ք. մ

Այսպիսով, արդյունքը նույնն էր. Այնուամենայնիվ, սա արդեն կլինի միջին թվաբանական արժեք:

Նախորդ օրինակում մենք հաշվարկել ենք միջին թվաբանականը, պայմանով, որ բացարձակ հաճախականությունները (պահեստների քանակը) հայտնի են։ Այնուամենայնիվ, մի շարք դեպքերում բացարձակ հաճախականությունները բացակայում են, բայց հարաբերական հաճախականությունները հայտնի են, կամ, ինչպես սովորաբար կոչվում են. հաճախականություններ, որոնք ցույց են տալիս համամասնությունը կամհաճախականությունների համամասնությունը ամբողջ հավաքածուում:

SA կշռված օգտագործումը հաշվարկելիս հաճախականություններթույլ է տալիս պարզեցնել հաշվարկները, երբ հաճախականությունը արտահայտվում է մեծ, բազմանիշ թվերով: Հաշվարկը կատարվում է նույն կերպ, սակայն, քանի որ միջին արժեքը պարզվում է 100 անգամ ավելացել է, արդյունքը պետք է բաժանել 100-ի։

Այնուհետև թվաբանական կշռված միջինի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

Որտեղ դ- հաճախականությունը, այսինքն. յուրաքանչյուր հաճախականության մասնաբաժինը բոլոր հաճախականությունների ընդհանուր գումարում:

Մեր օրինակ 2-ում մենք նախ սահմանում ենք տեսակարար կշիռըխանութներն ըստ խմբերի Vesna խանութների ընդհանուր թվաքանակում։ Այսպիսով, առաջին խմբի համար տեսակարար կշիռը համապատասխանում է 10%
. Մենք ստանում ենք հետևյալ տվյալները Աղյուսակ 3

հետ աշխատելիս թվային արտահայտություններերբեմն անհրաժեշտություն է առաջանում հաշվարկել դրանց միջին արժեքը։ կոչվում է միջին թվաբանական: Microsoft-ի աղյուսակների խմբագրիչ Excel-ում հնարավոր է ոչ թե ձեռքով հաշվարկել, այլ օգտագործել հատուկ գործիքներ։ Այս հոդվածում կներկայացվեն մեթոդներ, որոնք թույլ են տալիս պարզել և ստանալ միջին թվաբանական թիվը։

Մեթոդ 1. ստանդարտ

Նախ, եկեք դիտենք Excel-ում միջին թվաբանականը հաշվարկելու եղանակը, որը ներառում է դրա համար ստանդարտ գործիքի օգտագործումը: Մեթոդը ամենապարզն ու ամենահարմարն է օգտագործման համար, բայց ունի նաև որոշ թերություններ։ Բայց նրանց մասին ավելի ուշ, իսկ այժմ եկեք անցնենք առաջադրանքի ավարտին:

1. Ընտրեք սյունակի կամ տողի բջիջները, որոնք պարունակում են հաշվարկվող թվային արժեքները:
2. Գնացեք «Տուն» ներդիր:
3. «Խմբագրում» կատեգորիայի գործիքների տողում սեղմեք «AutoSum» կոճակը, բայց դուք պետք է սեղմեք դրա կողքին գտնվող սլաքի վրա, որպեսզի բացվող ցուցակ հայտնվի:
4. Դրանում դուք պետք է սեղմեք «Միջին» կետը:

Հենց դա անեք, ընտրված արժեքների միջին թվաբանականը հաշվարկելու արդյունքը կհայտնվի կողքի բջիջում: Դրա գտնվելու վայրը կախված կլինի տվյալների բլոկից, եթե դուք ընտրել եք տող, ապա արդյունքը կգտնվի ընտրության աջ կողմում, եթե սյունակ է, այն կլինի ներքևում:

Բայց ինչպես արդեն նշվեց, այս մեթոդը նույնպես ունի թերություններ. Այսպիսով, դուք չեք կարողանա արժեք հաշվարկել մի շարք բջիջներից կամ այնտեղ տեղակայված բջիջներից տարբեր վայրեր. Օրինակ, եթե ձեր աղյուսակը պարունակում է երկու հարակից սյունակներ՝ թվային արժեքներով, ապա ընտրելով դրանք և կատարելով վերը նկարագրված քայլերը, դուք կստանաք արդյունք յուրաքանչյուր սյունակի համար առանձին։

Մեթոդ 2. Function Wizard-ի օգտագործումը

Excel-ում թվաբանական միջինը գտնելու բազմաթիվ եղանակներ կան, և բնականաբար, դրանց օգնությամբ հնարավոր է շրջանցել նախորդ մեթոդի սահմանափակումները։ Այժմ մենք կխոսենք Function Wizard-ի միջոցով հաշվարկներ կատարելու մասին: Այսպիսով, ահա թե ինչ պետք է անեք:

1. Սեղմելով մկնիկի ձախ կոճակը, ընտրեք այն բջիջը, որտեղ ցանկանում եք տեսնել հաշվարկի արդյունքը:
2. Բացեք Function Wizard պատուհանը՝ սեղմելով «Տեղադրել գործառույթը» կոճակը, որը գտնվում է բանաձևի տողի ձախ կողմում կամ օգտագործելով Shift+F3 թեժ ստեղները:
3. Բացվող պատուհանում գտեք «ՄԻՋԻՆ» տողը ցանկում, ընդգծեք այն և սեղմեք «OK» կոճակը:
4. Նոր պատուհան կհայտնվի ֆունկցիայի արգումենտներ մուտքագրելու համար: Դրանում կտեսնեք երկու դաշտ՝ «Թիվ 1» և «Թիվ 2»:
5. Առաջին դաշտում մուտքագրեք այն բջիջների հասցեները, որոնցում գտնվում են հաշվարկի համար նախատեսված թվային արժեքները: Դա կարելի է անել կամ ձեռքով կամ օգտագործելով հատուկ գործիք. Երկրորդ դեպքում սեղմեք մուտքագրման դաշտի աջ կողմում գտնվող կոճակը: Wizard պատուհանը կփլվի, և դուք պետք է ընտրեք բջիջները մկնիկի միջոցով հաշվարկելու համար:
6. Եթե ​​տվյալներ ունեցող բջիջների մեկ այլ տիրույթ գտնվում է թերթի մեկ այլ մասում, ապա նշեք այն «Թիվ 2» դաշտում:
7. Շարունակեք մուտքագրել տվյալները, քանի դեռ չեք տրամադրել բոլոր անհրաժեշտ տեղեկությունները:
8. Սեղմեք OK:

Երբ լրացնեք մուտքագրումը, Wizard պատուհանը կփակվի, և հաշվարկի արդյունքը կհայտնվի հենց սկզբում ընտրված բջիջում: Այժմ դուք գիտեք Excel-ում միջին թվաբանականը հաշվարկելու երկրորդ եղանակը: Բայց դա հեռու է վերջինից, ուստի եկեք շարժվենք առաջ:

Մեթոդ 3. բանաձևի տողի միջոցով

Excel-ում թվաբանական միջինը հաշվարկելու այս մեթոդը շատ չի տարբերվում նախորդից, բայց որոշ դեպքերում այն ​​կարող է ավելի հարմար թվալ, ուստի արժե ուսումնասիրել: Հիմնականում, այս մեթոդըմիայն առաջարկներ Այլընտրանքային տարբերակզանգահարելով Function Wizard-ին:

Ցանկի բոլոր գործողություններն ավարտվելուն պես ձեր առջև կհայտնվի Function Wizard պատուհանը, որտեղ պետք է մուտքագրեք փաստարկներ: Դուք արդեն գիտեք, թե ինչպես դա անել նախորդ մեթոդից, բոլոր հետագա գործողությունները չեն տարբերվում:

Մեթոդ 4. Ֆունկցիայի ձեռքով մուտքագրում

Ցանկության դեպքում կարող եք խուսափել Function Wizard-ի հետ շփվելուց, եթե գիտեք Excel-ում միջին թվաբանական բանաձևը: Որոշ իրավիճակներում այն ​​ձեռքով մուտքագրելը մի քանի անգամ կարագացնի հաշվարկի գործընթացը:

Բոլոր նրբությունները հասկանալու համար հարկավոր է նայել բանաձևի շարահյուսությունը, այն ունի հետևյալ տեսքը.

AVERAGE(բջջի_հասցե(համար); բջջի_հասցե(համար))

Շարահյուսությունից հետևում է, որ ֆունկցիայի արգումենտներում անհրաժեշտ է նշել կա՛մ բջիջների այն տիրույթի հասցեն, որում գտնվում են հաշվարկվող թվերը, կա՛մ իրենք՝ հաշվարկվող թվերը։ Գործնականում այս մեթոդի օգտագործումը հետևյալն է.

ՄԻՋԻՆ (C4:D6,C8:D9)

Մեթոդ 5. հաշվարկ ըստ պայմանի

• ընտրեք այն բջիջը, որտեղ կկատարվի հաշվարկը.
• սեղմեք «ներդիր գործառույթը» կոճակը;
• պատուհանում, որը հայտնվում է, ընտրեք «միջին» տողը ցանկում.
• Սեղմեք OK:

Դրանից հետո կհայտնվի ֆունկցիայի արգումենտներ մուտքագրելու պատուհան: Այն շատ նման է նախկինում ցուցադրվածին, միայն հիմա է հայտնվել լրացուցիչ դաշտ- «Վիճակ». Այստեղ անհրաժեշտ է մուտքագրել պայմանը: Այսպիսով, «>1500» մուտքագրելով, հաշվի կառնվեն միայն այն արժեքները, որոնք մեծ են նշված արժեքից:

Միջին հասկացության ներքո թվաբանական թվերնշանակում է նախապես որոշված ​​թվերի շարքի միջին արժեքի հաշվարկների պարզ հաջորդականության արդյունք։ Նշենք, որ այս արժեքը ներկայումս լայնորեն կիրառվում է մի շարք ճյուղերի մասնագետների կողմից։ Օրինակ, բանաձևերը հայտնի են վիճակագրական արդյունաբերության տնտեսագետների կամ աշխատողների կողմից հաշվարկներ կատարելիս, որտեղ պահանջվում է այս տեսակի արժեք: Բացի այդ, այս ցուցանիշը ակտիվորեն օգտագործվում է մի շարք այլ ոլորտներում, որոնք առնչվում են վերը նշվածին:

Այս արժեքի հաշվարկման առանձնահատկություններից մեկը ընթացակարգի պարզությունն է: Կատարել հաշվարկներՅուրաքանչյուրը կարող է դա անել: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր չէ ունենալ հատուկ կրթություն. Հաճախ համակարգչային տեխնիկայի օգտագործման կարիք չկա։

Հարցին պատասխանելու համար, թե ինչպես գտնել միջին թվաբանականը, հաշվի առեք մի շարք իրավիճակներ:

Առավելագույնը պարզ տարբերակՏրված արժեքի հաշվարկը երկու թվի համար հաշվարկելն է: Այս դեպքում հաշվարկման կարգը շատ պարզ է.

1. Սկզբում դուք պետք է կատարեք ընտրված թվերի գումարման գործողությունը: Հաճախ դա կարելի է անել, ինչպես ասում են, ձեռքով, առանց էլեկտրոնային սարքավորումների օգտագործման։
2. Հավելումը կատարելուց և դրա արդյունքը ստանալուց հետո պետք է կատարվի բաժանում։ Այս գործողությունը ներառում է երկու ավելացված թվերի գումարը բաժանելը երկուսի վրա՝ ավելացված թվերի թվին: Հենց այս գործողությունն է, որը թույլ կտա ստանալ անհրաժեշտ արժեքը:

Բանաձև

Այսպիսով, երկուսի դեպքում անհրաժեշտ արժեքը հաշվարկելու բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

(A+B)/2

Այս բանաձևը օգտագործում է հետևյալ նշումը.

A-ն և B-ն նախապես ընտրված թվեր են, որոնց համար անհրաժեշտ է արժեք գտնել:

Գտնելով արժեքը երեքի համար

Այս արժեքը հաշվարկելն այն իրավիճակում, երբ ընտրված են երեք թվեր, շատ չի տարբերվի նախորդ տարբերակից.

1. Դա անելու համար ընտրեք հաշվարկում անհրաժեշտ թվերը և ավելացրեք դրանք ստանալու համար ընդհանուր գումարը.
2. Երեքի այս գումարը գտնելուց հետո բաժանման ընթացակարգը պետք է նորից իրականացվի: Այս դեպքում ստացված գումարը պետք է բաժանվի երեքի, որը համապատասխանում է ընտրված թվերի քանակին։

Բանաձև

Այսպիսով, թվաբանական երեքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

(A+B+C)/3

Այս բանաձեւումԸնդունված է հետևյալ նշումը.

A, B և C այն թվերն են, որոնց համար անհրաժեշտ կլինի գտնել միջին թվաբանականը:

Չորսի միջին թվաբանականի հաշվարկը

Ինչպես արդեն երևում է նախորդ տարբերակների համեմատությամբ, չորսին հավասար քանակի համար այս արժեքի հաշվարկը կլինի հետևյալ հաջորդականությամբ.

1. Ընտրված է չորս թվանշան, որոնց համար պետք է հաշվարկվի միջին թվաբանականը: Այնուհետև կատարվում է ամփոփում և հայտնաբերվում է այս ընթացակարգի վերջնական արդյունքը:
2. Այժմ վերջնական արդյունք ստանալու համար պետք է վերցնել չորսի ստացված գումարը և բաժանել չորսի։ Ստացված տվյալները կլինեն պահանջվող արժեքը:

Բանաձև

Չորսի համար միջին թվաբանականը գտնելու համար վերը նկարագրված գործողությունների հաջորդականությունից կարող եք ստանալ հետևյալ բանաձևը.

(A+B+C+E)/4

Այս բանաձեւումփոփոխականներն ունեն հաջորդ արժեքը:

A, B, C և E նրանք են, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել միջին թվաբանական արժեքը:

Օգտագործելով այս բանաձևը, միշտ հնարավոր կլինի հաշվարկել անհրաժեշտ արժեքը տվյալ թվերի համար:

Հինգի միջին թվաբանականի հաշվարկ

Այս գործողությունը կատարելու համար կպահանջվի գործողությունների որոշակի ալգորիթմ:

1. Նախ պետք է ընտրել հինգ թվեր, որոնց համար կհաշվարկվի միջին թվաբանականը։ Այս ընտրությունից հետո այս թվերը, ինչպես նախորդ տարբերակներում, պարզապես պետք է ավելացնել և ստանալ վերջնական գումարը։
2. Ստացված գումարը պետք է բաժանվի նրանց թվի վրա հինգի վրա, ինչը թույլ կտա ստանալ անհրաժեշտ արժեքը:

Բանաձև

Այսպիսով, նախկինում դիտարկված տարբերակների նման, մենք ստանում ենք հետևյալ բանաձևը թվաբանական միջինը հաշվարկելու համար.

(A+B+C+E+P)/5

Այս բանաձևում փոփոխականները նշանակվում են հետևյալ կերպ.

A, B, C, E և P թվեր են, որոնց համար անհրաժեշտ է ստանալ միջին թվաբանականը:

Ունիվերսալ հաշվարկման բանաձև

Ստուգատեսի անցկացում տարբեր տարբերակներբանաձեւեր հաշվարկել միջին թվաբանականը, կարելի է ուշադրություն դարձնել, որ դրանք ընդհանուր օրինաչափություն ունեն։

Հետևաբար, ավելի գործնական կլինի օգտագործել ընդհանուր բանաձև՝ միջին թվաբանականը գտնելու համար։ Ի վերջո, կան իրավիճակներ, երբ հաշվարկների քանակը և մեծությունը կարող են շատ մեծ լինել: Հետևաբար, ավելի խելամիտ կլինի օգտագործել ունիվերսալ բանաձև և ամեն անգամ չարտադրել այն անհատական ​​տեխնոլոգիաայս արժեքը հաշվարկելու համար:

Բանաձևը որոշելիս հիմնականը միջին թվաբանականը հաշվարկելու սկզբունքըՕ.

Այս սկզբունքը, ինչպես երևում է բերված օրինակներից, ունի հետևյալ տեսքը.

1. Հաշվվում է թվերի քանակը, որոնք նշված են պահանջվող արժեքը ստանալու համար: Այս գործողությունը կարող է իրականացվել կամ ձեռքով փոքր թվով թվերով կամ համակարգչային տեխնիկայի միջոցով:
2. Ընտրված թվերն ամփոփված են: Այս գործողությունը շատ իրավիճակներում կատարվում է համակարգչային տեխնոլոգիայի միջոցով, քանի որ թվերը կարող են բաղկացած լինել երկու, երեք կամ ավելի թվանշաններից:
3. Ընտրված թվերի գումարմամբ ստացված գումարը պետք է բաժանվի դրանց թվի վրա։ Այս արժեքը որոշվում է միջին թվաբանականի հաշվարկման սկզբնական փուլում։

Այսպիսով, ընտրված թվերի շարքի միջին թվաբանականը հաշվարկելու ընդհանուր բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

(A+B+…+N)/N

Այս բանաձեւը պարունակում էհետևյալ փոփոխականները.

A-ն և B-ն այն թվերն են, որոնք նախապես ընտրված են իրենց միջին թվաբանականը հաշվարկելու համար:

N-ը թվերի քանակն է, որոնք վերցվել են պահանջվող արժեքը հաշվարկելու համար:

Ամեն անգամ ընտրված թվերը փոխարինելով այս բանաձևով, մենք միշտ կարող ենք ստանալ միջին թվաբանական արժեքը:

Ինչպես երևում է, գտնելով թվաբանական միջինըպարզ ընթացակարգ է. Այնուամենայնիվ, դուք պետք է զգույշ լինեք կատարված հաշվարկների նկատմամբ և ստուգեք ստացված արդյունքները: Այս մոտեցումը բացատրվում է նրանով, որ նույնիսկ ամենապարզ իրավիճակներում կա սխալ ստանալու հնարավորություն, որը կարող է հետագայում ազդել հետագա հաշվարկների վրա։ Այս առումով խորհուրդ է տրվում օգտագործել համակարգչային տեխնոլոգիա, որն ի վիճակի է կատարել ցանկացած բարդության հաշվարկ։

Միջին թվաբանականը excel-ում: Excel աղյուսակները իդեալական են բոլոր տեսակի հաշվարկների համար: Ուսումնասիրելով Excel-ը` դուք կկարողանաք լուծել խնդիրներ քիմիայի, ֆիզիկայի, մաթեմատիկայի, երկրաչափության, կենսաբանության, վիճակագրության, տնտեսագիտության և շատ այլ ոլորտներում: Մենք չենք էլ մտածում, թե ինչ հզոր գործիք է մեր համակարգիչների վրա, ինչը նշանակում է, որ մենք չենք օգտագործում այն ​​իր ողջ ներուժով: Շատ ծնողներ կարծում են, որ համակարգիչը պարզապես թանկարժեք խաղալիք է։ Բայց իզուր։ Իհարկե, որպեսզի երեխան իրականում պարապի դրա վրա, դուք ինքներդ պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել դրա վրա, ապա սովորեցնեք երեխային: Դե, դա այլ թեմա է, բայց այսօր ես ուզում եմ խոսել ձեզ հետ, թե ինչպես գտնել թվաբանական միջինը Excel-ում:

Ինչպես գտնել թվաբանական միջինը Excel-ում

Excel-ում մենք արդեն խոսել ենք արագի մասին, իսկ այսօր կխոսենք միջին թվաբանականի մասին։

Ընտրեք բջիջ C12և օգնությամբ Function Wizards Եկեք դրա մեջ գրենք միջին թվաբանականը հաշվարկելու բանաձևը։ Դա անելու համար Ստանդարտ գործիքագոտում սեղմեք կոճակը - Ֆունկցիայի տեղադրում –fx (վերևի նկարում վերևում կա կարմիր սլաք): Կբացվի երկխոսության տուփ Գործառույթի վարպետ .

• Ընտրեք դաշտում Կատեգորիաներ — Վիճակագրական ;
• Դաշտում Ընտրեք գործառույթը: ՄԻՋԻՆ ;
• Սեղմեք կոճակը լավ .

Կբացվի հաջորդ պատուհանը Փաստարկներ և գործառույթներ .

Դաշտում Համար 1դուք կտեսնեք ձայնագրություն C2:C11– ծրագիրն ինքն է որոշել բջիջների շրջանակը, որոնց համար դա անհրաժեշտ է գտնել միջին թվաբանականը.

Սեղմեք կոճակը լավև խցում C12Կհայտնվի միավորների միջին թվաբանականը:

Պարզվում է, որ Excel-ում միջին թվաբանականը հաշվարկելն ամենևին էլ դժվար չէ։ Իսկ ես միշտ վախենում էի ամեն տեսակ բանաձեւերից։ Էհ, սխալ ժամանակ էինք սովորում։