Ո՞րն է թվաբանական միջինը

Մի քանի մեծությունների միջին թվաբանականը այդ մեծությունների գումարի հարաբերությունն է նրանց թվին։

Որոշ թվերի շարքի միջին թվաբանականը այս բոլոր թվերի գումարն է՝ բաժանված անդամների թվի վրա։ Այսպիսով, միջին թվաբանականը թվային շարքի միջին արժեքն է։

Ո՞րն է մի քանի թվերի միջին թվաբանականը: Եվ դրանք հավասար են այս թվերի գումարին, որը բաժանվում է այս գումարի անդամների թվին։

Ինչպես գտնել թվաբանական միջինը

Մի քանի թվերի միջին թվաբանականը հաշվելու կամ գտնելու մեջ ոչ մի բարդ բան չկա, բավական է գումարել ներկայացված բոլոր թվերը և ստացված գումարը բաժանել տերմինների թվին. Ստացված արդյունքը կլինի այս թվերի միջին թվաբանականը։

Եկեք նայենք այս գործընթացին ավելի մանրամասն: Ի՞նչ պետք է անենք թվաբանական միջինը հաշվարկելու և այս թվի վերջնական արդյունքը ստանալու համար։

Նախ, այն հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է որոշել թվերի մի շարք կամ դրանց թիվը: Այս հավաքածուն կարող է ներառել մեծ և փոքր թվեր, և դրանց թիվը կարող է լինել ցանկացած բան:

Երկրորդ, այս բոլոր թվերը պետք է գումարվեն և ստացվի դրանց գումարը։ Բնականաբար, եթե թվերը պարզ են, և դրանք քիչ են, ապա հաշվարկները կարելի է կատարել ձեռքով գրելով։ Բայց եթե թվերի հավաքածուն տպավորիչ է, ապա ավելի լավ է օգտագործել հաշվիչ կամ աղյուսակ:

Եվ չորրորդ՝ գումարումից ստացված գումարը պետք է բաժանել թվերի թվին։ Արդյունքում մենք կստանանք արդյունք, որը կլինի այս շարքի միջին թվաբանականը։

Ինչու՞ է ձեզ անհրաժեշտ թվաբանական միջինը:

Միջին թվաբանականը կարող է օգտակար լինել ոչ միայն մաթեմատիկայի դասերի օրինակներ և խնդիրներ լուծելու համար, այլև անհրաժեշտ այլ նպատակների համար. Առօրյա կյանքմարդ. Նման նպատակները կարող են լինել միջին թվաբանականի հաշվարկը՝ ամսական միջին ֆինանսական ծախսերը կամ ճանապարհին անցկացրած ժամանակը հաշվարկելու համար, ինչպես նաև պարզելու հաճախելիությունը, արտադրողականությունը, շարժման արագությունը, եկամտաբերությունը և շատ ավելին:

Այսպիսով, օրինակ, եկեք փորձենք հաշվարկել, թե որքան ժամանակ եք ծախսում դպրոց ճանապարհորդելու վրա: Ամեն անգամ, երբ դու գնում ես դպրոց կամ վերադառնում տուն, ծախսում ես ճանապարհորդության վրա տարբեր ժամանակ, քանի որ երբ շտապում ես, ավելի արագ ես քայլում, և հետևաբար ճանապարհորդությունն ավելի քիչ ժամանակ է պահանջում։ Բայց տուն վերադառնալիս կարող եք դանդաղ քայլել, շփվել դասընկերների հետ, հիանալ բնությամբ, և այդ պատճառով ճանապարհորդությունն ավելի շատ ժամանակ կխլի։

Հետևաբար, դուք չեք կարողանա ճշգրիտ որոշել ճանապարհին անցկացրած ժամանակը, բայց թվաբանական միջինի շնորհիվ կարող եք մոտավորապես պարզել ճանապարհին անցկացրած ժամանակը:

Ենթադրենք, որ շաբաթավերջին հաջորդող առաջին օրը դուք տասնհինգ րոպե եք անցկացրել տնից դպրոց ճանապարհին, երկրորդ օրը ձեր ճանապարհորդությունը տևել է քսան րոպե, չորեքշաբթի օրը դուք անցել եք ճանապարհը քսանհինգ րոպեում, և ձեր ճանապարհորդությունը տեւել է նույնը։ հինգշաբթի օրը, իսկ ուրբաթ օրը դուք չէիք շտապում և վերադարձաք մի ամբողջ կես ժամ:

Գտնենք միջին թվաբանականը՝ գումարելով ժամանակը, բոլոր հինգ օրերի համար։ Այսպիսով,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Այժմ այս գումարը բաժանեք օրերի քանակով

Այս մեթոդի շնորհիվ դուք իմացաք, որ տնից դպրոց ճանապարհորդությունը խլում է ձեր ժամանակից մոտավորապես քսաներեք րոպե:

Տնային աշխատանք

1. Պարզ հաշվարկներով գտե՛ք ձեր դասարանում սովորողների հաճախելիության միջին թվաբանականը շաբաթվա ընթացքում:

2. Գտե՛ք թվաբանական միջինը.

3. Լուծել խնդիրը.

Միջին արժեքն ամենաարժեքավորն է վերլուծական տեսանկյունից և վիճակագրական ցուցանիշների արտահայտման համընդհանուր ձև: Ամենատարածված միջինը՝ թվաբանական միջինը, ունի մի շարք մաթեմատիկական հատկություններ, որոնք կարող են օգտագործվել դրա հաշվարկում։ Միևնույն ժամանակ, կոնկրետ միջինը հաշվարկելիս միշտ խորհուրդ է տրվում հիմնվել դրա տրամաբանական բանաձևի վրա, որն իրենից ներկայացնում է հատկանիշի ծավալի հարաբերակցությունը բնակչության թվին։ Յուրաքանչյուր միջինի համար կա միայն մեկ իրական սկզբնական հարաբերություն, որի իրականացումը, կախված առկա տվյալներից, կարող է պահանջվել տարբեր ձևերմիջին. Այնուամենայնիվ, բոլոր դեպքերում, երբ միջինացված արժեքի բնույթը ենթադրում է կշիռների առկայություն, անհնար է օգտագործել դրանց չկշռված բանաձևերը միջին կշռված բանաձևերի փոխարեն:

Միջին արժեքը բնակչության համար հատկանիշի ամենաբնորոշ արժեքն է և բնակչության հատկանիշի չափը, որը բաշխված է բնակչության միավորների միջև հավասար բաժիններով:

Այն բնութագրիչը, որի համար հաշվարկվում է միջին արժեքը կոչվում է միջինացված .

Միջին արժեքը ցուցիչ է, որը հաշվարկվում է բացարձակ կամ հարաբերական արժեքների համեմատությամբ: Նշվում է միջին արժեքը

Միջին արժեքը արտացոլում է ուսումնասիրվող երևույթի վրա ազդող բոլոր գործոնների ազդեցությունը և դրանց համար արդյունք է: Այսինքն՝ վերացնելով անհատական ​​տատանումները և վերացնելով դեպքերի ազդեցությունը՝ միջինն արտացոլում է ընդհանուր միջոցԱյս գործողության արդյունքները գործում են որպես ուսումնասիրվող երևույթի ընդհանուր օրինաչափություն:

Միջին արժեքների օգտագործման պայմանները.

Ø ուսումնասիրվող բնակչության միատարրություն. Եթե ​​պատահական գործոնի ազդեցության ենթակա բնակչության որոշ տարրեր ունեն ուսումնասիրվող բնութագրի արժեքներ, որոնք էականորեն տարբերվում են մնացածից, ապա այդ տարրերը կազդեն այս պոպուլյացիայի միջին չափի վրա: Այս դեպքում միջինը չի արտահայտի պոպուլյացիայի համար հատկանիշի առավել բնորոշ արժեքը։ Եթե ​​ուսումնասիրվող երեւույթը տարասեռ է, ապա պահանջվում է այն բաժանել պարունակող միատարր տարրերխմբերը. IN այս դեպքումԽմբի միջինները հաշվարկվում են - խմբերի միջիններ, որոնք արտահայտում են յուրաքանչյուր խմբի երևույթի առավել բնորոշ արժեքը, այնուհետև հաշվարկվում է ընդհանուր միջին արժեքը բոլոր տարրերի համար ՝ բնութագրելով երևույթը որպես ամբողջություն: Այն հաշվարկվում է որպես խմբի միջինների միջին՝ կշռված յուրաքանչյուր խմբում ներառված բնակչության տարրերի քանակով.

Ø բավարար քանակությամբմիավորներ ագրեգատում;

Ø առավելագույն և նվազագույն արժեքըհատկանիշ ուսումնասիրվող պոպուլյացիայի մեջ։

Միջին արժեքը (ցուցանիշ)- Սա ընդհանրացված է քանակական բնութագիրբնորոշ է համակարգված համակցությամբ՝ տեղի և ժամանակի հատուկ պայմաններում.

Վիճակագրության մեջ օգտագործվում են միջինների հետևյալ ձևերը (տեսակները), որոնք կոչվում են ուժային և կառուցվածքային.

Ø թվաբանական միջին(պարզ և կշռված);

պարզ

Թեմա 5. Միջին արժեքները որպես վիճակագրական ցուցանիշներ

Հայեցակարգ միջին չափը. Միջինների շրջանակը վիճակագրական հետազոտություններում

Միջին արժեքները օգտագործվում են ստացված առաջնային վիճակագրական տվյալների մշակման և ամփոփման փուլում: Միջին արժեքների որոշման անհրաժեշտությունը պայմանավորված է նրանով, որ ուսումնասիրվող պոպուլյացիաների տարբեր միավորների համար անհատական ​​արժեքներնույն հատկանիշը սովորաբար նույնը չէ:

Միջին չափըկոչվում է ցուցիչ, որը բնութագրում է ուսումնասիրվող պոպուլյացիայի բնութագրիչի կամ բնութագրերի խմբի ընդհանրացված արժեքը:

Եթե ​​ուսումնասիրվում է որակապես միատարր բնութագրեր ունեցող պոպուլյացիան, ապա միջին արժեքը այստեղ գործում է որպես բնորոշ միջին. Օրինակ, ֆիքսված եկամտի մակարդակ ունեցող որոշակի արդյունաբերության աշխատողների խմբերի համար որոշվում է հիմնական անհրաժեշտության ապրանքների տիպիկ միջին ծախսերը, այսինքն. Տիպիկ միջինը ընդհանրացնում է հատկանիշի որակապես միատարր արժեքները տվյալ պոպուլյացիայի մեջ, ինչը այս խմբի աշխատողների միջև հիմնական ապրանքների վրա կատարված ծախսերի մասնաբաժինն է:

Որակական տարասեռ բնութագրիչներով պոպուլյացիան ուսումնասիրելիս առաջին պլան կարող է գալ միջին ցուցանիշների անտիպությունը։ Սրանք, օրինակ, մեկ շնչին բաժին ընկնող ազգային եկամտի միջին ցուցանիշներն են (տարբեր տարիքային խմբեր), հացահատիկի բերքատվության միջին ցուցանիշներն ամբողջ Ռուսաստանում (տարբեր շրջաններ. կլիմայական գոտիներև տարբեր հացահատիկային կուլտուրաներ), ծնելիության միջին մակարդակը երկրի բոլոր մարզերի համար, որոշակի ժամանակահատվածի միջին ջերմաստիճանը և այլն։ Այստեղ միջին արժեքներն ընդհանրացնում են բնութագրերի կամ համակարգային տարածական ագրեգատների որակապես տարասեռ արժեքները (միջազգային համայնք, մայրցամաք, նահանգ, տարածաշրջան, տարածաշրջան և այլն) կամ ժամանակի ընթացքում տարածված դինամիկ ագրեգատներ (դար, տասնամյակ, տարի, սեզոն և այլն): ) . Նման միջին արժեքները կոչվում են համակարգի միջին ցուցանիշները.

Այսպիսով, միջին արժեքների նշանակությունը կայանում է նրանց ընդհանրացնող ֆունկցիայի մեջ: Միջին արժեքը փոխարինում է մեծ թիվբնութագրիչի անհատական ​​արժեքներ, հայտնաբերող ընդհանուր հատկություններ, բնորոշ է բնակչության բոլոր միավորներին։ Սա, իր հերթին, թույլ է տալիս մեզ խուսափել պատահական պատճառներից և բացահայտել ընդհանուր օրինաչափությունները ընդհանուր պատճառներով:

Միջին արժեքների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները

Վիճակագրական մշակման փուլում կարող են դրվել հետազոտական ​​բազմաբնույթ խնդիրներ, որոնց լուծման համար անհրաժեշտ է ընտրել համապատասխան միջինը։ Այս դեպքում անհրաժեշտ է առաջնորդվել հետևյալ կանոնով՝ միջինի համարիչն ու հայտարարը ներկայացնող մեծությունները պետք է տրամաբանորեն կապված լինեն միմյանց հետ։

հզորության միջին ցուցանիշները;

կառուցվածքային միջինները.

Ներկայացնենք հետևյալ կոնվենցիաները.

Այն քանակները, որոնց համար հաշվարկվում է միջինը.

Միջին, որտեղ վերը նշված բարը ցույց է տալիս, որ տեղի է ունենում անհատական ​​արժեքների միջինացում.

Հաճախականություն (առանձին բնութագրական արժեքների կրկնելիություն):

Տարբեր միջիններ ստացվում են ընդհանուր հզորության միջին բանաձևից.

(5.1)

երբ k = 1 - թվաբանական միջին; k = -1 - ներդաշնակ միջին; k = 0 - երկրաչափական միջին; k = -2 - արմատ միջին քառակուսի:

Միջին արժեքները կարող են լինել պարզ կամ կշռված: Միջին կշռված ցուցանիշներՍրանք արժեքներ են, որոնք հաշվի են առնում, որ հատկանիշի արժեքների որոշ տարբերակներ կարող են ունենալ տարբեր թվեր, և, հետևաբար, յուրաքանչյուր տարբերակ պետք է բազմապատկվի այս թվով: Այլ կերպ ասած, «կշեռքները» ագրեգատային միավորների թվերն են տարբեր խմբեր, այսինքն. Յուրաքանչյուր տարբերակ «կշռվում» է իր հաճախականությամբ: f հաճախականությունը կոչվում է վիճակագրական քաշըկամ միջին քաշը.

Թվաբանական միջին- միջինի ամենատարածված տեսակը: Այն օգտագործվում է, երբ հաշվարկն իրականացվում է չխմբավորված վիճակագրական տվյալների վրա, որտեղ անհրաժեշտ է ստանալ միջին ժամկետը: Միջին թվաբանականը բնութագրիչի միջին արժեքն է, որը ստանալուց հետո հատկանիշի ընդհանուր ծավալը ագրեգատում մնում է անփոփոխ:

Միջին թվաբանականի բանաձևը (պարզ) ունի ձևը

որտեղ n-ը բնակչության մեծությունն է:

Օրինակ, ձեռնարկության աշխատակիցների միջին աշխատավարձը հաշվարկվում է որպես միջին թվաբանական.

Այստեղ որոշիչ ցուցանիշներն են յուրաքանչյուր աշխատողի աշխատավարձը և ձեռնարկության աշխատողների թիվը։ Միջին չափը հաշվարկելիս աշխատավարձի ընդհանուր չափը մնացել է նույնը, բայց հավասարապես բաշխվել է բոլոր աշխատողների միջև։ Օրինակ, դուք պետք է հաշվարկեք միջինը աշխատավարձեր 8 հոգով աշխատող փոքր ընկերության աշխատակիցներ.

Միջին արժեքները հաշվարկելիս միջինացված բնութագրիչի անհատական ​​արժեքները կարող են կրկնվել, ուստի միջին արժեքը հաշվարկվում է խմբավորված տվյալների միջոցով: Այս դեպքում մենք խոսում ենքօգտագործման մասին թվաբանական միջին կշռված, որն ունի ձևը

(5.3)

Այսպիսով, մենք պետք է հաշվարկենք բաժնետիրական ընկերության բաժնետոմսերի միջին գինը ֆոնդային բորսայում: Հայտնի է, որ գործարքները կատարվել են 5 օրվա ընթացքում (5 գործարք), վաճառքի փոխարժեքով վաճառված բաժնետոմսերի քանակը բաշխվել է հետևյալ կերպ.

1 - 800 ակ. - 1010 ռուբ.

2 - 650 ակ. - 990 ռուբ.

3 - 700 ակ. - 1015 ռուբ.

4 - 550 ակ. - 900 ռուբ.

5 - 850 ակ. - 1150 ռուբ.

Բաժնետոմսերի միջին գինը որոշելու սկզբնական հարաբերակցությունը հարաբերակցությունն է ընդհանուր գումարըգործարքներ (OSS) վաճառված բաժնետոմսերի քանակով (KPA).

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3,634,500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550:

Այս դեպքում բաժնետոմսերի միջին գինը հավասար էր

Անհրաժեշտ է իմանալ թվաբանական միջինի հատկությունները, ինչը շատ կարևոր է թե՛ դրա օգտագործման, թե՛ հաշվարկման համար։ Կարելի է առանձնացնել երեք հիմնական հատկություն, որոնք առավել որոշված ​​են լայն կիրառությունմիջին թվաբանական վիճակագրական և տնտեսական հաշվարկներում:

Հատկություն մեկ (զրո). հատկանիշի առանձին արժեքների դրական շեղումների գումարը միջին արժեքից հավասար է բացասական շեղումների գումարին: Սա շատ կարևոր հատկություն է, քանի որ ցույց է տալիս, որ պատահական պատճառներով առաջացած ցանկացած շեղում (և + և -) փոխադարձաբար կչեղարկվեն:

Ապացույց:

Հատկություն երկու (նվազագույն). Թվաբանական միջինից որևէ հատկանիշի առանձին արժեքների քառակուսի շեղումների գումարը փոքր է, քան ցանկացած այլ թվից (a), այսինքն. կա նվազագույն թիվը.

Ապացույց.

Եկեք կազմենք a փոփոխականից քառակուսի շեղումների գումարը.

(5.4)

Այս ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է նրա ածանցյալը a-ի նկատմամբ հավասարեցնել զրոյի.

Այստեղից մենք ստանում ենք.

(5.5)

Հետևաբար, քառակուսի շեղումների գումարի ծայրահեղությունը հասնում է . Այս ծայրահեղությունը նվազագույն է, քանի որ ֆունկցիան չի կարող ունենալ առավելագույնը:

Հատկություն երրորդ. հաստատուն արժեքի միջին թվաբանականը հավասար է այս հաստատունին՝ a = const-ի համար:

Թվաբանական միջինի այս երեք կարևորագույն հատկություններից բացի կան նաև այսպես կոչված դիզայնի հատկություններ, որոնք աստիճանաբար կորցնում են իրենց նշանակությունը էլեկտրոնային համակարգչային տեխնիկայի կիրառման պատճառով.

եթե յուրաքանչյուր միավորի հատկանիշի անհատական ​​արժեքը բազմապատկվում կամ բաժանվում է հաստատուն թվով, ապա միջին թվաբանականը կավելանա կամ կնվազի նույն չափով.

միջին թվաբանականը չի փոխվի, եթե յուրաքանչյուր հատկանիշի արժեքի կշիռը (հաճախականությունը) բաժանվի հաստատուն թվի.

եթե յուրաքանչյուր միավորի հատկանիշի անհատական ​​արժեքները կրճատվեն կամ ավելացվեն նույն չափով, ապա միջին թվաբանականը կնվազի կամ կմեծանա նույն չափով:

Հարմոնիկ միջին. Այս միջինը կոչվում է հակադարձ թվաբանական միջին, քանի որ այս արժեքը օգտագործվում է, երբ k = -1:

Պարզ ներդաշնակ միջինօգտագործվում է, երբ հատկանիշի արժեքների կշիռները նույնն են: Դրա բանաձևը կարող է ստացվել հիմնական բանաձևից՝ փոխարինելով k = -1:

Օրինակ, մենք պետք է հաշվարկենք երկու մեքենաների միջին արագությունը, որոնք անցել են նույն ճանապարհը, բայց հետ տարբեր արագություններովառաջինը՝ 100 կմ/ժ արագությամբ, երկրորդը՝ 90 կմ/ժ։ Օգտագործելով ներդաշնակ միջին մեթոդը, մենք հաշվարկում ենք միջին արագությունը.

Վիճակագրական պրակտիկայում ավելի հաճախ օգտագործվում է ներդաշնակ կշռվածը, որի բանաձևն ունի ձևը

Այս բանաձևը օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ յուրաքանչյուր հատկանիշի կշիռները (կամ երևույթների ծավալները) հավասար չեն։ Միջինը հաշվարկելու սկզբնական հարաբերակցությամբ համարիչը հայտնի է, բայց հայտարարն անհայտ է։

Այն կորչում է միջինը հաշվարկելիս։

Միջին իմաստըթվերի բազմությունը հավասար է S թվերի գումարին, որը բաժանվում է այդ թվերի թվի վրա: Այսինքն՝ ստացվում է, որ միջին իմաստըհավասար է՝ 19/4 = 4,75:

Նշում

Եթե ​​ձեզ անհրաժեշտ է գտնել երկրաչափական միջինը ընդամենը երկու թվի համար, ապա ձեզ հարկավոր չէ ինժեներական հաշվիչ. վերցրեք երկրորդ արմատը ( Քառակուսի արմատ) ցանկացած թվից կարելի է անել՝ օգտագործելով ամենասովորական հաշվիչը։

Օգտակար խորհուրդ

Ի տարբերություն թվաբանական միջինի, երկրաչափական միջինի վրա այնքան էլ ուժեղ չեն ազդում ուսումնասիրվող ցուցիչների շարքում առանձին արժեքների միջև մեծ շեղումներ և տատանումներ:

Աղբյուրներ:

• Առցանց հաշվիչ, որը հաշվարկում է երկրաչափական միջինը
• միջին երկրաչափական բանաձեւ

Միջինարժեքը թվերի բազմության բնութագրիչներից մեկն է: Ներկայացնում է մի թիվ, որը չի կարող դուրս գալ այդ թվերի հավաքածուի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքներով սահմանված միջակայքից: Միջինթվաբանական արժեքը միջինի ամենատարածված տեսակն է:

Հրահանգներ

Գումարի՛ր բազմության բոլոր թվերը և բաժանի՛ր դրանք թվերի թվով՝ թվաբանական միջինը ստանալու համար: Կախված հաշվարկի հատուկ պայմաններից, երբեմն ավելի հեշտ է թվերից յուրաքանչյուրը բաժանել հավաքածուի արժեքների քանակով և գումարել արդյունքը:

Օգտագործեք, օրինակ, ներառված Windows OS-ում, եթե հնարավոր չէ ձեր գլխում հաշվարկել միջին թվաբանականը: Դուք կարող եք այն բացել՝ օգտագործելով ծրագրի մեկնարկի երկխոսությունը: Դա անելու համար սեղմեք տաք ստեղները WIN + R կամ սեղմեք Start կոճակը և հիմնական ընտրացանկից ընտրեք Run: Այնուհետև մուտքագրեք calc մուտքագրման դաշտում և սեղմեք Enter կամ սեղմեք OK կոճակը: Նույնը կարելի է անել հիմնական ընտրացանկի միջոցով՝ բացեք այն, անցեք «Բոլոր ծրագրերը» և «Ստանդարտ» բաժնում և ընտրեք «Հաշվիչ» տողը:

Մուտքագրեք հավաքածուի բոլոր թվերը հաջորդաբար՝ սեղմելով Plus ստեղնը դրանցից յուրաքանչյուրից հետո (բացի վերջինից) կամ սեղմելով հաշվիչի միջերեսի համապատասխան կոճակը: Կարող եք նաև թվեր մուտքագրել կամ ստեղնաշարից կամ սեղմելով համապատասխան ինտերֆեյսի կոճակները:

Վերջին սահմանված արժեքը մուտքագրելուց հետո սեղմեք կտրատող ստեղնը կամ սեղմեք սա հաշվիչի միջերեսում և մուտքագրեք թվերի քանակը հաջորդականության մեջ: Այնուհետև սեղմեք հավասարության նշանը և հաշվիչը կհաշվարկի և կցուցադրի միջին թվաբանականը:

Նույն նպատակով կարող եք օգտագործել Microsoft Excel աղյուսակների խմբագրիչը: Այս դեպքում գործարկեք խմբագրիչը և մուտքագրեք թվերի հաջորդականության բոլոր արժեքները հարակից բջիջներում: Եթե ​​յուրաքանչյուր համարը մուտքագրելուց հետո սեղմեք Enter կամ ներքև կամ աջ սլաքի ստեղնը, ապա խմբագրիչն ինքը կտեղափոխի մուտքային ֆոկուսը հարակից բջիջ:

Սեղմեք վերջին մուտքագրված թվի կողքին գտնվող բջիջը, եթե չեք ցանկանում պարզապես տեսնել միջինը: Ընդարձակեք հունարեն սիգմա (Σ) բացվող ընտրացանկը «Տուն» ներդիրի «Խմբագրել» հրամանների համար: Ընտրեք տողը » Միջին« և խմբագիրն ընտրված բջիջում կտեղադրի միջին թվաբանականը հաշվարկելու ցանկալի բանաձևը: Սեղմեք Enter ստեղնը և արժեքը կհաշվարկվի:

Միջին թվաբանականը կենտրոնական տենդենցի չափորոշիչներից է, որը լայնորեն կիրառվում է մաթեմատիկայում և վիճակագրական հաշվարկներում։ Մի քանի արժեքների համար միջին թվաբանականը գտնելը շատ պարզ է, բայց յուրաքանչյուր առաջադրանք ունի իր նրբությունները, որոնք պարզապես անհրաժեշտ է իմանալ՝ ճիշտ հաշվարկներ կատարելու համար:

Ինչ է թվաբանական միջինը

Ինչպես գտնել թվաբանական միջինը

Բացասական թվերի հետ աշխատելու առանձնահատկությունները

1. Ստանդարտ մեթոդով ընդհանուր թվաբանական միջինը գտնելը;
2. Գտնել բացասական թվերի միջին թվաբանականը:
3. Դրական թվերի միջին թվաբանականի հաշվարկը.

Յուրաքանչյուր գործողության պատասխանները գրվում են բաժանված ստորակետերով:

Բնական և տասնորդական կոտորակներ

հետ աշխատելիս բնական կոտորակներդրանք պետք է բերվեն Ընդհանուր հայտարար, որը բազմապատկվում է զանգվածի թվերի քանակով։ Պատասխանի համարիչը կլինի սկզբնական կոտորակային տարրերի տրված համարիչների գումարը։

• Ինժեներական հաշվիչ.

Հրահանգներ

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ներս ընդհանուր դեպքմիջին երկրաչափական թվերԳտնվում է այս թվերը բազմապատկելով և դրանցից վերցնելով թվերի թվին համապատասխանող հզորության արմատը։ Օրինակ, եթե ձեզ անհրաժեշտ է գտնել հինգ թվերի երկրաչափական միջինը, ապա ձեզ հարկավոր է արտադրյալից հանել հզորության արմատը:

Երկու թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար օգտագործեք հիմնական կանոնը. Գտե՛ք դրանց արտադրյալը, ապա վերցրե՛ք դրա քառակուսի արմատը, քանի որ թիվը երկու է, որը համապատասխանում է արմատի հզորությանը։ Օրինակ՝ 16 և 4 թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար գտե՛ք դրանց արտադրյալը՝ 16 4=64։ Ստացված թվից հանի՛ր √64=8 քառակուսի արմատը։ Ահա թե ինչ է լինելու պահանջվող քանակ. Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս երկու թվերի միջին թվաբանականը մեծ է և հավասար է 10-ի: Եթե ամբողջ արմատը չի հանվում, արդյունքը կլորացրեք ցանկալի կարգով:

Երկուից ավելի թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար օգտագործեք նաև հիմնական կանոնը. Դա անելու համար գտեք բոլոր այն թվերի արտադրյալը, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել երկրաչափական միջինը: Ստացված արտադրյալից հանե՛ք թվերի թվին հավասար հզորության արմատը։ Օրինակ՝ 2, 4 և 64 թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար գտե՛ք դրանց արտադրյալը։ 2 4 64=512. Քանի որ դուք պետք է գտնեք երեք թվերի երկրաչափական միջինի արդյունքը, վերցրեք արտադրյալի երրորդ արմատը: Դժվար է դա անել բանավոր, այնպես որ օգտագործեք ինժեներական հաշվիչ: Այդ նպատակով այն ունի «x^y» կոճակ: Հավաքեք 512 թիվը, սեղմեք «x^y» կոճակը, ապա հավաքեք 3 թիվը և սեղմեք «1/x» կոճակը, 1/3-ի արժեքը գտնելու համար սեղմեք «="» կոճակը: Ստանում ենք 512-ը 1/3-ի հզորության բարձրացման արդյունքը, որը համապատասխանում է երրորդ արմատին։ Ստացեք 512^1/3=8: Սա 2.4 և 64 թվերի երկրաչափական միջինն է։

Օգտագործելով ինժեներական հաշվիչը, դուք կարող եք գտնել երկրաչափական միջինը այլ կերպ: Գտեք մատյան կոճակը ձեր ստեղնաշարի վրա: Դրանից հետո վերցրեք թվերից յուրաքանչյուրի լոգարիթմը, գտեք դրանց գումարը և բաժանեք այն թվերի թվի վրա։ Ստացված թվից վերցրեք հակալոգարիթմը: Սա կլինի թվերի երկրաչափական միջինը: Օրինակ՝ նույն 2-ի, 4-ի և 64-ի երկրաչափական միջինը գտնելու համար կատարեք մի շարք գործողություններ հաշվիչի վրա: Հավաքեք 2 համարը, այնուհետև սեղմեք log կոճակը, սեղմեք «+» կոճակը, հավաքեք 4 թիվը և կրկին սեղմեք log և «+», հավաքեք 64, սեղմեք log և «="»: Արդյունքը կլինի մի թիվ, որը հավասար է 2, 4 և 64 թվերի տասնորդական լոգարիթմների գումարին: Ստացված թիվը բաժանեք 3-ի, քանի որ սա այն թվերի թիվն է, որոնց համար փնտրվում է երկրաչափական միջինը: Արդյունքից վերցրեք հակալոգարիթմը՝ միացնելով գործի կոճակը և օգտագործեք նույն մատյան ստեղնը: Արդյունքը կլինի 8 թիվը, սա ցանկալի երկրաչափական միջինն է:

Ընթացքի մեջ է տարբեր հաշվարկներիսկ տվյալների հետ աշխատելիս բավական հաճախ անհրաժեշտ է լինում հաշվարկել դրանց միջին արժեքը։ Այն հաշվարկվում է թվերը գումարելով և ընդհանուրը նրանց թվի վրա բաժանելով։ Եկեք պարզենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել մի շարք թվերի միջինը Microsoft Excel-ի միջոցով տարբեր ձևերով:

Ամենապարզ և հայտնի մեթոդՄի շարք թվերի թվաբանական միջինը գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել հատուկ կոճակ Microsoft Excel ժապավենի վրա: Ընտրեք մի շարք թվեր, որոնք գտնվում են փաստաթղթի սյունակում կամ տողում: Երբ գտնվում եք «Տուն» ներդիրում, սեղմեք «AutoSum» կոճակը, որը գտնվում է «Խմբագրում» գործիքների բլոկի ժապավենի վրա: Բացվող ցուցակից ընտրեք «Միջին»:

Դրանից հետո, օգտագործելով «ՄԻՋԻՆ» ֆունկցիան, կատարվում է հաշվարկ: Տրված թվերի շարքի միջին թվաբանականը ցուցադրվում է ընտրված սյունակի տակ գտնվող բջիջում կամ ընտրված տողի աջ կողմում:

Այս մեթոդը լավ է իր պարզության և հարմարավետության համար: Բայց այն ունի նաև զգալի թերություններ. Օգտագործելով այս մեթոդը, դուք կարող եք հաշվարկել միայն այն թվերի միջին արժեքը, որոնք դասավորված են մեկ սյունակում կամ մեկ տողում: Բայց դուք չեք կարող աշխատել բջիջների զանգվածի կամ թերթիկի վրա ցրված բջիջների հետ՝ օգտագործելով այս մեթոդը:

Օրինակ, եթե ընտրեք երկու սյունակ և հաշվարկեք միջին թվաբանականը՝ օգտագործելով վերը նկարագրված մեթոդը, ապա պատասխանը կտրվի յուրաքանչյուր սյունակի համար առանձին, այլ ոչ թե բջիջների ամբողջ զանգվածի համար։

Հաշվարկ՝ օգտագործելով Function Wizard-ը

Այն դեպքերում, երբ դուք պետք է հաշվարկեք բջիջների զանգվածի կամ ցրված բջիջների միջին թվաբանականը, կարող եք օգտագործել Function Wizard-ը: Այն օգտագործում է նույն «ՄԻՋԻՆ» ֆունկցիան, որը մեզ հայտնի է առաջին հաշվարկի մեթոդից, բայց դա անում է մի փոքր այլ կերպ:

Սեղմեք այն բջիջի վրա, որտեղ մենք ցանկանում ենք, որ ցուցադրվի միջին արժեքի հաշվարկման արդյունքը։ Կտտացրեք «Տեղադրեք գործառույթը» կոճակը, որը գտնվում է բանաձևի տողի ձախ կողմում: Կամ ստեղնաշարի վրա մուտքագրեք Shift+F3 համադրությունը:

Գործառույթի մոգը սկսվում է: Ներկայացված գործառույթների ցանկում փնտրեք «ՄԻՋԻՆ»: Ընտրեք այն և սեղմեք «OK» կոճակը:

Բացվում է այս ֆունկցիայի արգումենտների պատուհանը: Ֆունկցիայի արգումենտները մուտքագրվում են «Թիվ» դաշտերում: Սրանք կարող են լինել կամ սովորական թվեր կամ այն ​​բջիջների հասցեները, որտեղ գտնվում են այդ թվերը: Եթե ​​ձեզ անհարմար է բջջային հասցեները ձեռքով մուտքագրելը, ապա պետք է սեղմեք կոճակը, որը գտնվում է տվյալների մուտքագրման դաշտի աջ կողմում:

Դրանից հետո ֆունկցիայի արգումենտների պատուհանը նվազագույնի կհասցվի, և դուք կկարողանաք ընտրել թերթի բջիջների խումբը, որը վերցնում եք հաշվարկի համար: Այնուհետև կրկին կտտացրեք տվյալների մուտքագրման դաշտի ձախ կողմում գտնվող կոճակին, որպեսզի վերադառնաք գործառույթի փաստարկների պատուհանին:

Եթե ​​ցանկանում եք հաշվարկել միջին թվաբանականը բջիջների առանձին խմբերում տեղակայված թվերի միջև, ապա կատարեք վերը նշված նույն գործողությունները «Թիվ 2» դաշտում: Եվ այսպես շարունակ, մինչև ընտրվեն բջիջների բոլոր անհրաժեշտ խմբերը։

Դրանից հետո սեղմեք «OK» կոճակը:

Միջին թվաբանականը հաշվարկելու արդյունքը կնշվի այն բջիջում, որը դուք ընտրել եք նախքան Function Wizard-ը գործարկելը:

Բանաձևի բար

AVERAGE ֆունկցիան գործարկելու երրորդ եղանակ կա: Դա անելու համար անցեք «Բանաձևեր» ներդիրին: Ընտրեք այն բջիջը, որտեղ արդյունքը կցուցադրվի: Դրանից հետո ժապավենի վրա գտնվող «Function Library» գործիքների խմբում սեղմեք «Այլ գործառույթներ» կոճակը: Հայտնվում է ցուցակ, որտեղ դուք պետք է հաջորդաբար անցնեք «վիճակագրական» և «միջին» կետերը:

Այնուհետև բացվում է ֆունկցիայի արգումենտների ճիշտ նույն պատուհանը, ինչ Function Wizard-ն օգտագործելիս, որի աշխատանքը մանրամասն նկարագրեցինք վերևում:

Հետագա գործողությունները միանգամայն նույնն են:

Ձեռքով գործառույթի մուտքագրում

Բայց մի մոռացեք, որ ցանկության դեպքում միշտ կարող եք ձեռքով մուտքագրել «ՄԻՋԻՆ» գործառույթը: Այն կունենա հետևյալ օրինաչափությունը. «=ՄԻՋԻՆ (cell_range_address(համար); cell_range_address(number)):

Իհարկե, այս մեթոդն այնքան էլ հարմար չէ, որքան նախորդները, և օգտվողից պահանջում է որոշակի բանաձևեր պահել իր գլխում, բայց այն ավելի ճկուն է։

Միջին արժեքի հաշվարկը ըստ պայմանի

Միջին արժեքի սովորական հաշվարկից բացի, հնարավոր է միջին արժեքը հաշվարկել ըստ պայմանի: Այս դեպքում հաշվի կառնվեն ընտրված միջակայքից միայն այն թվերը, որոնք համապատասխանում են որոշակի պայմանին: Օրինակ, եթե այս թվերը մեծ կամ փոքր են որոշակի արժեքից:

Այս նպատակների համար օգտագործվում է «AVERAGEIF» գործառույթը: Ինչպես AVERAGE ֆունկցիան, դուք կարող եք այն գործարկել Function Wizard-ի միջոցով, բանաձևի տողից կամ ձեռքով մուտքագրելով այն բջիջ: Ֆունկցիայի փաստարկների պատուհանը բացվելուց հետո դուք պետք է մուտքագրեք դրա պարամետրերը: «Range» դաշտում մուտքագրեք բջիջների այն տիրույթը, որոնց արժեքները կմասնակցեն միջին թվաբանականի որոշմանը: Մենք դա անում ենք այնպես, ինչպես «ՄԻՋԻՆ» ֆունկցիայի դեպքում:

Բայց «Պայման» դաշտում պետք է նշենք կոնկրետ արժեք, որոնցից մեծ կամ փոքր թվեր կմասնակցեն հաշվարկին։ Դա կարելի է անել համեմատության նշանների միջոցով: Օրինակ՝ վերցրել ենք «>=15000» արտահայտությունը։ Այսինքն, հաշվարկի համար կվերցվեն միայն 15000-ից ավելի կամ հավասար թվեր պարունակող բջիջները, եթե անհրաժեշտ լինի, կոնկրետ թվի փոխարեն կարող եք նշել այն բջջի հասցեն, որում գտնվում է համապատասխան համարը:

«Միջին տիրույթի» դաշտը պարտադիր չէ: Դրա մեջ տվյալներ մուտքագրելը պահանջվում է միայն տեքստային բովանդակությամբ բջիջներ օգտագործելիս:

Երբ բոլոր տվյալները մուտքագրվեն, սեղմեք «OK» կոճակը:

Դրանից հետո ընտրված միջակայքի միջին թվաբանականի հաշվարկման արդյունքը ցուցադրվում է նախապես ընտրված բջիջում, բացառությամբ այն բջիջների, որոնց տվյալները չեն համապատասխանում պայմաններին:

Ինչպես տեսնում ենք, ներս Microsoft ծրագիր Excel-ն ունի մի շարք գործիքներ, որոնք կարող են օգտագործվել ընտրված թվերի շարքի միջինը հաշվարկելու համար: Ավելին, կա մի ֆունկցիա, որն ավտոմատ կերպով ընտրում է այն թվերը, որոնք չեն համապատասխանում օգտագործողի կողմից սահմանված չափանիշին։ Սա Microsoft Excel-ում հաշվարկներն ավելի հարմար է դարձնում օգտագործողի համար: