Պարզ թվաբանական միջինը միջին անդամն է, որը որոշելիս տվյալ հատկանիշի ընդհանուր ծավալը ամբողջությունտվյալները հավասարապես բաշխվում են այս բնակչության մեջ ընդգրկված բոլոր միավորների միջև: Այսպիսով, միջին տարեկան արտադրանքը մեկ աշխատողի համար այն արտադրանքի քանակն է, որը կարտադրվեր յուրաքանչյուր աշխատողի կողմից, եթե արտադրանքի ամբողջ ծավալը հավասարապես բաշխվեր կազմակերպության բոլոր աշխատակիցների միջև: Միջին թվաբանական արժեքը հաշվարկվում է բանաձևով.

Պարզ թվաբանական միջին- Հավասար է բնութագրիչի անհատական ​​արժեքների գումարի հարաբերակցությանը ագրեգատի բնութագրիչների քանակին

Օրինակ 1. 6 աշխատողներից բաղկացած թիմը ամսական ստանում է 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 հազար ռուբլի:

Գտեք միջին աշխատավարձը Լուծում. (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 հազար ռուբլի:

Թվաբանական միջին կշռված

Եթե ​​տվյալների հավաքածուի ծավալը մեծ է և ներկայացնում է բաշխման շարք, ապա հաշվարկվում է կշռված թվաբանական միջինը: Այսպես է որոշվում արտադրության միավորի միջին կշռված գինը՝ արտադրության ընդհանուր արժեքը (դրա քանակի արտադրանքի գումարը արտադրության միավորի գնի վրա) բաժանվում է արտադրության ընդհանուր քանակի վրա։

Սա պատկերացնենք հետևյալ բանաձևի տեսքով.

Միջին կշռված թվաբանական- հավասար է (հատկանիշի արժեքի արտադրյալների գումարը այս հատկանիշի կրկնության հաճախականությանը) դեպի (բոլոր հատկանիշների հաճախականությունների գումարը) Այն օգտագործվում է ուսումնասիրվող պոպուլյացիայի տարբերակների դեպքում տեղի են ունենում անհավասար թվով անգամներ:

Օրինակ 2. Գտեք արտադրամասի աշխատողների ամսական միջին աշխատավարձը

Միջին աշխատավարձը կարելի է ստանալ բաժանելով ընդհանուր գումարըհամար աշխատավարձ ընդհանուր թիվըաշխատողներ:

Պատասխան՝ 3,35 հազար ռուբլի:

Միջին թվաբանական միջակայքային շարքերի համար

Ինտերվալների տատանումների շարքի միջին թվաբանականը հաշվարկելիս նախ որոշեք յուրաքանչյուր ինտերվալի միջինը որպես վերին և ստորին սահմանների կիսագումար, այնուհետև ամբողջ շարքի միջինը: Բաց ինտերվալների դեպքում ստորին կամ վերին ինտերվալի արժեքը որոշվում է դրանց կից ինտերվալների մեծությամբ։

Ինտերվալային շարքերից հաշվարկված միջինները մոտավոր են:

Օրինակ 3. Որոշեք երեկոյան աշակերտների միջին տարիքը:

Ինտերվալային շարքերից հաշվարկված միջինները մոտավոր են: Դրանց մոտարկման աստիճանը կախված է նրանից, թե որքանով է բնակչության միավորների փաստացի բաշխումը միջակայքում մոտենում միատեսակ բաշխմանը։

Միջինները հաշվարկելիս ոչ միայն բացարձակ, այլև հարաբերական արժեքները (հաճախականությունը) կարող են օգտագործվել որպես կշիռներ:

Յուրաքանչյուր մարդ ներսում ժամանակակից աշխարհԵրբ պլանավորում եք վարկ վերցնել կամ ձմռանը բանջարեղեն կուտակել, դուք պարբերաբար հանդիպում եք այնպիսի հասկացության, ինչպիսին է «միջին արժեք»: Եկեք պարզենք, թե ինչ է այն, ինչ տեսակներ և դասեր կան, և ինչու է այն օգտագործվում վիճակագրության և այլ առարկաների մեջ:

Միջին արժեքը - ինչ է դա:

Նմանատիպ անվանումը (SV) համասեռ երևույթների մի շարքի ընդհանրացված բնութագիր է, որը որոշվում է քանակական փոփոխական ցանկացած բնութագրով:

Այնուամենայնիվ, մարդիկ, ովքեր հեռու են նման անհեթեթ սահմանումներից, այս հասկացությունը հասկանում են որպես ինչ-որ բանի միջին քանակություն: Օրինակ, մինչեւ վարկ վերցնելը, բանկի աշխատակիցը անպայման կհարցնի պոտենցիալ հաճախորդտրամադրել տվյալներ տարվա միջին եկամտի, այսինքն՝ անձի վաստակած գումարի ընդհանուր գումարի մասին։ Այն հաշվարկվում է՝ ամփոփելով ամբողջ տարվա եկամուտը և բաժանելով ամիսների թվին։ Այսպիսով, բանկը կկարողանա որոշել՝ արդյոք իր հաճախորդը կկարողանա՞ ժամանակին մարել պարտքը։

Ինչու է այն օգտագործվում:

Որպես կանոն, միջին արժեքները լայնորեն օգտագործվում են զանգվածային բնույթի որոշակի սոցիալական երևույթների ամփոփ նկարագրություն տալու համար: Դրանք կարող են օգտագործվել նաև ավելի փոքր մասշտաբի հաշվարկների համար, ինչպես վերը նշված օրինակում տրված վարկի դեպքում:

Այնուամենայնիվ, ամենից հաճախ միջին արժեքները դեռ օգտագործվում են համաշխարհային նպատակների համար: Դրանցից մեկի օրինակն է մեկ օրացուցային ամսվա ընթացքում քաղաքացիների կողմից սպառված էլեկտրաէներգիայի քանակի հաշվարկը։ Ստացված տվյալների հիման վրա հետագայում սահմանվում են առավելագույն չափորոշիչներ պետության կողմից արտոնություններից օգտվող բնակչության կատեգորիաների համար:

Բացի այդ, օգտագործելով միջին արժեքները, որոշակի երաշխիքային ծառայության ժամկետը Կենցաղային տեխնիկա, մեքենաներ, շենքեր և այլն։ Այս եղանակով հավաքագրված տվյալների հիման վրա ժամանակին մշակվել են աշխատանքի և հանգստի ժամանակակից չափանիշներ։

Իրականում ժամանակակից կյանքի ցանկացած երեւույթ, որը կրում է զանգվածային բնույթ, այս կամ այն ​​կերպ անպայմանորեն կապված է քննարկվող հայեցակարգի հետ։

Կիրառման ոլորտները

Այս երեւույթը լայնորեն կիրառվում է գրեթե բոլոր ճշգրիտ գիտություններում, հատկապես՝ փորձարարական բնույթի։

Միջինը գտնելը մեծ նշանակություն ունի բժշկության, ճարտարագիտության, խոհարարության, տնտեսագիտության, քաղաքականության և այլնի ոլորտներում։

Նման ընդհանրացումներից ստացված տվյալների հիման վրա մշակում են թերապևտիկ դեղամիջոցներ, կրթական ծրագրեր և սահմանում նվազագույնը. ապրուստի աշխատավարձև աշխատավարձեր, ստեղծել ուսումնական գրաֆիկ, արտադրել կահույք, հագուստ և կոշիկ, հիգիենայի ապրանքներ և շատ ավելին:

Մաթեմատիկայի մեջ այս տերմինը կոչվում է «միջին արժեք» և օգտագործվում է որոշումներ կայացնելու համար տարբեր օրինակներև առաջադրանքներ։ Ամենապարզը սովորական կոտորակներով գումարումն ու հանումն է։ Ի վերջո, ինչպես հայտնի է, լուծել նմանատիպ օրինակներանհրաժեշտ է երկու կոտորակները կրճատել մինչև Ընդհանուր հայտարար.

Նաև ճշգրիտ գիտությունների թագուհու մեջ հաճախ օգտագործվում է «միջին արժեք» տերմինը, որը իմաստով նման է. պատահական փոփոխական« Այն շատերին ավելի ծանոթ է որպես «մաթեմատիկական ակնկալիք», որը ավելի հաճախ դիտարկվում է հավանականությունների տեսության մեջ: Հարկ է նշել, որ նմանատիպ երևույթը կիրառվում է նաև վիճակագրական հաշվարկներ կատարելիս։

Միջին արժեքը վիճակագրության մեջ

Այնուամենայնիվ, ուսումնասիրվող հայեցակարգը առավել հաճախ օգտագործվում է վիճակագրության մեջ: Ինչպես գիտեք, այս գիտությունն ինքնին մասնագիտացած է հաշվարկի և վերլուծության մեջ քանակական բնութագրերզանգվածային սոցիալական երևույթներ. Հետևաբար, վիճակագրության միջին արժեքը օգտագործվում է որպես մասնագիտացված մեթոդ՝ իր հիմնական նպատակներին հասնելու համար՝ տեղեկատվության հավաքագրում և վերլուծություն:

Այս վիճակագրական մեթոդի էությունը դիտարկվող բնութագրի անհատական ​​եզակի արժեքների փոխարինումն է որոշակի հավասարակշռված միջին արժեքով:

Օրինակ՝ հայտնի սննդային կատակը. Այսպիսով, մի գործարանում երեքշաբթի օրը ճաշի ժամանակ նրա ղեկավարները սովորաբար մսով կաթսա են ուտում, իսկ սովորական աշխատողները՝ շոգեխաշած կաղամբ։ Այս տվյալների հիման վրա կարելի է եզրակացնել, որ գործարանի անձնակազմը միջին հաշվով երեքշաբթի օրերին ճաշում է կաղամբի գլանափաթեթներով։

Չնայած նրան այս օրինակըմի փոքր չափազանցված է, բայց դա ցույց է տալիս միջին արժեքը գտնելու մեթոդի հիմնական թերությունը՝ հարթեցում անհատական ​​հատկանիշներառարկաներ կամ անձինք.

Միջին արժեքներով դրանք օգտագործվում են ոչ միայն հավաքագրված տեղեկատվության վերլուծության, այլև հետագա գործողությունների պլանավորման և կանխատեսման համար:

Օգտագործվում է նաև ձեռք բերված արդյունքները գնահատելու համար (օրինակ՝ գարուն-ամառ սեզոնի ցորենի աճեցման և բերքահավաքի պլանի իրականացումը)։

Ինչպես ճիշտ հաշվարկել

Թեև, կախված SV-ի տեսակից, կան դրա հաշվարկման տարբեր բանաձևեր, սակայն վիճակագրության ընդհանուր տեսության մեջ, որպես կանոն, օգտագործվում է բնութագրիչի միջին արժեքը հաշվարկելու միայն մեկ մեթոդ։ Դա անելու համար նախ պետք է գումարել բոլոր երևույթների արժեքները, այնուհետև ստացված գումարը բաժանել դրանց թվի վրա:

Նման հաշվարկներ կատարելիս հարկ է հիշել, որ միջին արժեքը միշտ ունի նույն չափը (կամ միավորները), ինչ բնակչության առանձին միավորը։

Ճիշտ հաշվարկի պայմանները

Վերևում քննարկված բանաձևը շատ պարզ է և ունիվերսալ, ուստի դրա հետ սխալվելը գրեթե անհնար է: Այնուամենայնիվ, միշտ արժե հաշվի առնել երկու ասպեկտ, հակառակ դեպքում ստացված տվյալները չեն արտացոլի իրական իրավիճակը:

SV դասեր

Գտնելով հիմնական հարցերի պատասխանները՝ «Ո՞րն է միջին արժեքը», «Որտե՞ղ է այն օգտագործվում»: և «Ինչպե՞ս կարող ես հաշվարկել այն», արժե պարզել, թե ինչ դասեր և տեսակներ կան SV-ներ:

Առաջին հերթին այս երեւույթը բաժանվում է 2 դասի. Սրանք կառուցվածքային և հզորության միջին ցուցանիշներ են:

Հզոր SV-ների տեսակները

Վերոհիշյալ դասերից յուրաքանչյուրն իր հերթին բաժանվում է տեսակների. Հանգստացնող դասարանն ունի չորս.

• Միջին թվաբանականը SV-ի ամենատարածված տեսակն է։ Դա միջին տերմին է, որը որոշելիս տվյալների մի շարքում դիտարկվող բնութագրի ընդհանուր ծավալը հավասարապես բաշխված է այս հավաքածուի բոլոր միավորների միջև:

  Այս տեսակը բաժանվում է ենթատիպերի՝ պարզ և կշռված թվաբանական SV։

• Ներդաշնակ միջինը ցուցիչ է, որը հանդիսանում է պարզ թվաբանական միջինի հակադարձ՝ հաշվարկված դիտարկվող հատկանիշի փոխադարձ արժեքներից:

  Այն օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ հայտնի են հատկանիշի և արտադրանքի անհատական ​​արժեքները, բայց հաճախականության տվյալները՝ ոչ:

• Տնտեսական երևույթների աճի տեմպերը վերլուծելիս առավել հաճախ օգտագործվում է երկրաչափական միջինը։ Այն հնարավորություն է տալիս ստեղծագործությունը պահպանել անփոփոխ անհատական ​​արժեքներտրված արժեքը, ոչ թե գումարը:

  Այն կարող է լինել նաև պարզ և հավասարակշռված:

• Միջին քառակուսի արժեքը օգտագործվում է առանձին ցուցանիշների հաշվարկման ժամանակ, ինչպիսիք են տատանումների գործակիցը, արտադրանքի թողարկման ռիթմը բնութագրելը և այլն:

  Այն նաև օգտագործվում է խողովակների, անիվների, քառակուսու միջին կողմերի և նմանատիպ թվերի միջին տրամագծերը հաշվարկելու համար։

  Ինչպես բոլոր այլ տեսակի միջինները, արմատի միջին քառակուսին կարող է լինել պարզ և կշռված:

Կառուցվածքային մեծությունների տեսակները

Բացի միջին SV-ներից, վիճակագրության մեջ հաճախ օգտագործվում են կառուցվածքային տեսակներ: Դրանք ավելի հարմար են տարբեր բնութագրերի արժեքների հարաբերական բնութագրերը հաշվարկելու համար և ներքին կառուցվածքըբաշխման տողեր.

Նման երկու տեսակ կա.

Միջին(մաթեմատիկայի և վիճակագրության մեջ) թվերի հավաքածուներ - բոլոր թվերի գումարը բաժանված նրանց թվի վրա: Կենտրոնական միտումի ամենատարածված չափորոշիչներից է։

Այն առաջարկվել է (երկրաչափական միջինի և ներդաշնակ միջինի հետ միասին) պյութագորացիների կողմից։

Թվաբանական միջինի հատուկ դեպքերն են միջինը (ընդհանուր բնակչությունը) և ընտրանքի միջինը (նմուշ):

Ներածություն

Նշենք տվյալների բազմությունը X = (x 1 , x 2 , …, x n), այնուհետև նմուշի միջինը սովորաբար նշվում է հորիզոնական տողով փոփոխականի վրա (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), արտասանվում է « xտողով»):

Հունարեն μ տառը օգտագործվում է ամբողջ բնակչության թվաբանական միջինը նշելու համար։ Պատահական փոփոխականի համար, որի համար որոշվում է միջին արժեքը, μ է հավանականական միջինկամ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը: Եթե ​​հավաքածուն Xհավաքածու է պատահական թվերμ հավանականական միջինով, ապա ցանկացած նմուշի համար x եսայս հավաքածուից μ = E( x ես) այս նմուշի մաթեմատիկական ակնկալիքն է:

Գործնականում μ-ի և x ¯-ի (\displaystyle (\bar (x))) միջև տարբերությունն այն է, որ μ-ը տիպիկ փոփոխական է, քանի որ դուք կարող եք տեսնել ոչ թե ամբողջ պոպուլյացիան, այլ նմուշը: Հետևաբար, եթե նմուշը ներկայացված է պատահականորեն (հավանականության տեսության տեսանկյունից), ապա x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (բայց ոչ μ) կարող է դիտվել որպես պատահական փոփոխական, որն ունի հավանականության բաշխում ընտրանքի վրա ( միջինի հավանականության բաշխումը):

Այս երկու քանակները հաշվարկվում են նույն կերպ.

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)):)

Եթե Xպատահական փոփոխական է, ապա մաթեմատիկական ակնկալիքը Xկարելի է համարել մեծության կրկնվող չափումների մեջ արժեքների միջին թվաբանական X. Սա մեծ թվերի օրենքի դրսեւորում է։ Հետևաբար, ընտրանքի միջինը օգտագործվում է անհայտ ակնկալվող արժեքը գնահատելու համար:

Տարրական հանրահաշիվում ապացուցված է, որ միջին n+ 1 թիվ միջինից բարձր nթվեր, եթե և միայն, եթե նոր թիվը մեծ է հին միջինից, պակաս, եթե և միայն, եթե նոր թիվը փոքր է միջինից, և չի փոխվում, եթե և միայն եթե նոր թիվը հավասար է միջինին: Որքան ավելի շատ n, այնքան փոքր է տարբերությունը նոր և հին միջինների միջև։

Նկատի ունեցեք, որ կան մի քանի այլ «միջիններ», ներառյալ հզորության միջինը, Կոլմոգորովի միջինը, հարմոնիկ միջինը, թվաբանական-երկրաչափական միջինը և տարբեր կշռված միջիններ (օրինակ՝ կշռված թվաբանական միջին, կշռված երկրաչափական միջին, կշռված ներդաշնակ միջին):

Օրինակներ

• Երեք թվերի համար անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել 3-ի.

• Չորս թվերի համար անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել 4-ի.

Կամ ավելի պարզ՝ 5+5=10, 10։2։ Քանի որ մենք գումարում էինք 2 թիվ, այսինքն՝ քանի թիվ ենք գումարում, բաժանում ենք այդքանի վրա։

Շարունակական պատահական փոփոխական

Շարունակաբար բաշխված մեծության համար f (x) (\displaystyle f(x)), թվաբանական միջինը [ a ; b ] (\displaystyle ) որոշվում է որոշակի ինտեգրալի միջոցով.

F (x) ¯ [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Միջին օգտագործման որոշ խնդիրներ

Հզորության բացակայություն

Թեև թվաբանական միջոցները հաճախ օգտագործվում են որպես միջին կամ կենտրոնական միտումներ, այս հայեցակարգը չի տարածվում կայուն վիճակագրության վրա, ինչը նշանակում է, որ միջին թվաբանականը ենթակա է ուժեղ ազդեցություն«մեծ շեղումներ» Հատկանշական է, որ թեքության մեծ գործակից ունեցող բաշխումների համար միջին թվաբանականը կարող է չհամապատասխանել «միջին» հասկացությանը, իսկ կայուն վիճակագրությունից ստացված միջինի արժեքները (օրինակ՝ միջինը) կարող են ավելի լավ նկարագրել կենտրոնականը։ միտում.

Դասական օրինակ է միջին եկամուտը հաշվարկելը: Միջին թվաբանականը կարող է սխալ մեկնաբանվել որպես մեդիա, ինչը կարող է հանգեցնել այն եզրակացության, որ ավելի շատ մարդիկ կան ավելի բարձր եկամուտներով, քան իրականում կան: «Միջին» եկամուտը մեկնաբանվում է այնպես, որ մարդկանց մեծամասնությունն ունի այս թվի մոտ եկամուտ: Այս «միջին» (միջին թվաբանական իմաստով) եկամուտը ավելի բարձր է, քան մարդկանց մեծամասնության եկամուտները, քանի որ բարձր եկամուտը միջինից մեծ շեղումով դարձնում է միջին թվաբանականը խիստ շեղված (ի տարբերություն միջինի միջին եկամուտի. «դիմակայում է» նման շեղմանը): Այնուամենայնիվ, այս «միջին» եկամուտը ոչինչ չի ասում միջին եկամտին մոտ գտնվող մարդկանց թվի մասին (և ոչինչ չի ասում մոդալ եկամտի մոտ գտնվող մարդկանց թվի մասին): Այնուամենայնիվ, եթե անլուրջ վերաբերվեք «միջին» և «մարդկանց մեծամասնություն» հասկացություններին, ապա կարող եք սխալ եզրակացություն անել, որ մարդկանց մեծամասնությունն ավելի բարձր եկամուտ ունի, քան իրականում կա: Օրինակ, Վաշինգտոնի Մեդինայում «միջին» զուտ եկամտի մասին հաշվետվությունը, որը հաշվարկվում է որպես բնակիչների տարեկան բոլոր զուտ եկամուտների թվաբանական միջին, զարմանալիորեն կբերի. մեծ թիվԲիլ Գեյթսի պատճառով։ Դիտարկենք նմուշը (1, 2, 2, 2, 3, 9): Թվաբանական միջինը 3.17 է, բայց վեց արժեքներից հինգը այս միջինից ցածր են:

Բաղադրություն հետաքրքրությունը

Եթե ​​թվերը բազմապատկել, բայց չէ ծալել, անհրաժեշտ է օգտագործել երկրաչափական միջինը, ոչ թե միջին թվաբանականը: Ամենից հաճախ այս միջադեպը տեղի է ունենում ֆինանսների ոլորտում ներդրումների վերադարձը հաշվարկելիս:

Օրինակ, եթե առաջին տարում բաժնետոմսերն ընկել են 10%-ով, իսկ երկրորդում աճել են 30%-ով, ապա սխալ է այդ երկու տարվա ընթացքում «միջին» աճը հաշվարկել որպես միջին թվաբանական (−10% + 30%) / 2: = 10%; ճիշտ միջինն այս դեպքում տրվում է բաղադրյալ տարեկան աճի տեմպերով, որը տալիս է տարեկան աճի տեմպ ընդամենը մոտ 8,16653826392% ≈ 8,2%:

Սրա պատճառն այն է, որ տոկոսներն ամեն անգամ նոր սկզբնակետ ունեն՝ 30%-ը 30% է: առաջին տարվա սկզբի գնից փոքր թվից.եթե բաժնետոմսը սկսվեց $30-ով և ընկավ 10%, այն արժե 27 դոլար երկրորդ տարվա սկզբին: Եթե ​​բաժնետոմսերը բարձրանան 30%-ով, երկրորդ տարվա վերջում այն ​​կարժենար $35,1: Այս աճի միջին թվաբանականը կազմում է 10%, բայց քանի որ բաժնետոմսերը 2 տարվա ընթացքում աճել են ընդամենը 5,1 դոլարով, միջինը 8,2% աճը տալիս է 35,1 դոլար վերջնական արդյունք.

[30 դոլար (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 դոլար (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 դոլար]: Եթե ​​նույն կերպ օգտագործենք 10% թվաբանական միջինը, չենք ստանա իրական արժեքը՝ [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3]։

Համակցված տոկոսադրույքը 2 տարվա վերջում՝ 90% * 130% = 117%, այսինքն՝ ընդհանուր աճը 17%, իսկ միջին տարեկան բարդ տոկոսադրույքը կազմում է 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%): ))\մոտ 108,2\%) , այսինքն՝ միջին տարեկան աճ՝ 8,2%։

Ուղղություններ

Ցիկլիկորեն փոփոխվող որոշ փոփոխականների միջին թվաբանականը հաշվարկելիս (օրինակ՝ փուլը կամ անկյունը) պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնել: Օրինակ, 1°-ի և 359°-ի միջինը կլինի 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°: Այս թիվը սխալ է երկու պատճառով.

• Նախ, անկյունային չափումները սահմանվում են միայն 0°-ից մինչև 360° (կամ 0-ից 2π, երբ չափվում են ռադիաններով): Այսպիսով, թվերի նույն զույգը կարող է գրվել որպես (1° և −1°) կամ որպես (1° և 719°): Յուրաքանչյուր զույգի միջին արժեքները տարբեր կլինեն՝ 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ շրջան)):
• Երկրորդ, այս դեպքում 0°-ի արժեքը (համարժեք 360°-ին) կլինի երկրաչափորեն ավելի լավ միջին արժեք, քանի որ թվերը 0°-ից ավելի քիչ են շեղվում, քան ցանկացած այլ արժեքից (0° արժեքն ունի ամենափոքր շեղումը): Համեմատել.
  • 1° թիվը 0°-ից շեղվում է ընդամենը 1°-ով;
  • 1° թիվը 180° հաշվարկված միջինից շեղվում է 179°-ով։

Վերոնշյալ բանաձևով հաշվարկված ցիկլային փոփոխականի միջին արժեքը արհեստականորեն կտեղափոխվի իրական միջինի համեմատ դեպի թվային միջակայքի կեսը: Դրա պատճառով միջինը հաշվարկվում է այլ կերպ, այն է՝ ամենափոքր շեղում ունեցող թիվը ( կենտրոնական կետ). Նաև հանման փոխարեն օգտագործվում է մոդուլային հեռավորությունը (այսինքն՝ շրջագծային հեռավորությունը)։ Օրինակ, 1°-ի և 359°-ի միջև մոդուլային հեռավորությունը 2° է, ոչ թե 358° (359°-ի և 360°==0°-ի միջև ընկած շրջանագծի վրա՝ մեկ աստիճան, 0°-ից 1°-ի միջև՝ նաև 1°, ընդհանուր առմամբ - 2 °):

4.3. Միջին արժեքներ. Միջին արժեքների էությունն ու նշանակությունը

Միջին չափըվիճակագրության մեջ ընդհանուր ցուցիչ է, որը բնութագրում է երևույթի բնորոշ մակարդակը տեղի և ժամանակի հատուկ պայմաններում, որն արտացոլում է որակապես միատարր բնակչության մեկ միավորի տարբեր բնութագրիչի արժեքը: Տնտեսական պրակտիկայում օգտագործվում են ցուցիչների լայն շրջանակ՝ հաշվարկված որպես միջին արժեքներ։

Օրինակ, բաժնետիրական ընկերության (ԲԸ) աշխատողների եկամտի ընդհանուր ցուցանիշը մեկ աշխատողի միջին եկամուտն է, որը որոշվում է ֆոնդի հարաբերակցությամբ: աշխատավարձերըև սոցվճարները դիտարկվող ժամանակաշրջանի համար (տարի, եռամսյակ, ամիս) ԲԲԸ աշխատողների թվին:

Միջին հաշվարկը ընդհանուր ընդհանրացման մեթոդներից մեկն է. միջինարտացոլում է այն, ինչ ընդհանուր է (բնորոշ) ուսումնասիրվող բնակչության բոլոր միավորների համար, մինչդեռ միևնույն ժամանակ անտեսում է առանձին միավորների տարբերությունները: Յուրաքանչյուր երևույթի և դրա զարգացման մեջ կա մի համադրություն դժբախտ պատահարներԵվ անհրաժեշտ.Միջինները հաշվարկելիս, մեծ թվերի օրենքի գործողության շնորհիվ, պատահականությունը չեղարկվում և հավասարակշռվում է, ուստի հնարավոր է վերացվել երևույթի անկարևոր հատկանիշներից, յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում բնութագրիչի քանակական արժեքներից: . Առանձին արժեքների պատահականությունից, տատանումներից վերացվելու կարողությունը միջինների գիտական ​​արժեքի մեջ է, ընդհանրացնելովբնակչության բնութագրերը.

Այնտեղ, որտեղ ընդհանրացման անհրաժեշտություն է առաջանում, նման բնութագրերի հաշվարկը հանգեցնում է հատկանիշի բազմաթիվ տարբեր անհատական ​​արժեքների փոխարինմանը: միջինցուցիչ, որը բնութագրում է երևույթների ամբողջությունը, ինչը հնարավորություն է տալիս բացահայտել զանգվածային սոցիալական երևույթներին բնորոշ օրինաչափություններ, որոնք անտեսանելի են առանձին երևույթների մեջ:

Միջինը արտացոլում է ուսումնասիրվող երևույթների բնորոշ, բնորոշ, իրական մակարդակը, բնութագրում է այդ մակարդակները և դրանց փոփոխությունները ժամանակի և տարածության մեջ։

Միջինը գործընթացի օրենքների ամփոփ բնութագիրն է այն պայմաններում, որտեղ այն տեղի է ունենում:

4.4. Միջինների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները

Միջին տեսակի ընտրությունը որոշվում է որոշակի ցուցանիշի տնտեսական բովանդակությամբ և աղբյուրի տվյալներով: Յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում օգտագործվում է միջին արժեքներից մեկը. թվաբանություն, գարմոնիկ, երկրաչափական, քառակուսի, խորանարդև այլն: Թվարկված միջինները պատկանում են դասին հանգստացնողմիջին.

Ի հավելումն հզորության միջին ցուցանիշների, վիճակագրական պրակտիկայում օգտագործվում են կառուցվածքային միջիններ, որոնք համարվում են ռեժիմ և միջին:

Եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք հզորության միջին ցուցանիշներին:

Թվաբանական միջին

Միջինի ամենատարածված տեսակն է միջին թվաբանություն.Այն օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ ամբողջ բնակչության համար տարբեր բնութագրիչի ծավալը նրա առանձին միավորների բնութագրերի արժեքների գումարն է: Սոցիալական երևույթները բնութագրվում են տարբեր բնութագրերի ծավալների հավելումով (ամփոփելով), որը որոշում է միջին թվաբանականի կիրառման շրջանակը և բացատրում է դրա տարածվածությունը որպես ընդհանուր ցուցանիշ, օրինակ. բոլոր աշխատողներին համախառն բերքը ամբողջ ցանքատարածքից ստացված արտադրանքի հանրագումարն է:

Միջին թվաբանականը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է բոլոր հատկանիշի արժեքների գումարը բաժանել նրանց թվով:

Միջին թվաբանականը օգտագործվում է ձևի մեջ պարզ միջին և կշռված միջին:Սկզբնական, որոշիչ ձևը պարզ միջինն է:

Պարզ թվաբանական միջինհավասար է միջինացված բնութագրիչի անհատական ​​արժեքների պարզ գումարին, որը բաժանված է այս արժեքների ընդհանուր թվի վրա (այն օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ կան բնութագրի չխմբավորված անհատական ​​արժեքներ).

Որտեղ
- փոփոխականի անհատական ​​արժեքներ (տարբերակներ); մ - բնակչության միավորների թիվը.

Ավելին, գումարման սահմանաչափերը չեն նշվի բանաձևերում: Օրինակ, դուք պետք է գտնեք մեկ աշխատողի (մեխանիկի) միջին արդյունքը, եթե գիտեք, թե 15 աշխատողներից յուրաքանչյուրը քանի մաս է արտադրել, այսինքն. Տրված են բնութագրի մի շարք անհատական ​​արժեքներ, հատ.

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Պարզ թվաբանական միջինը հաշվարկվում է բանաձևով (4.1), 1 հատ.

Տարբեր անգամ կրկնվող կամ, ինչպես ասում են, տարբեր կշիռներ ունեցող տարբերակների միջինը կոչվում է կշռված.Քաշերը միավորների քանակն են տարբեր խմբերագրեգատներ (նույնական տարբերակները միավորվում են խմբի մեջ):

Թվաբանական միջին կշռված- խմբավորված արժեքների միջինը, - հաշվարկվում է բանաձևով.

, (4.2)

Որտեղ
- քաշը (նույնական նշանների կրկնության հաճախականությունը);

- հատկանիշների մեծության և դրանց հաճախականությունների արտադրյալների գումարը.

- բնակչության միավորների ընդհանուր թիվը։

Մենք ցույց ենք տալիս կշռված թվաբանական միջինը հաշվարկելու տեխնիկան՝ օգտագործելով վերը քննարկված օրինակը: Դա անելու համար մենք կխմբավորենք աղբյուրի տվյալները և կտեղադրենք դրանք աղյուսակում: 4.1.

Աղյուսակ 4.1

Պահեստամասերի արտադրության համար աշխատողների բաշխում

Ըստ բանաձևի (4.2) կշռված թվաբանական միջինը հավասար է հատ.

Որոշ դեպքերում կշիռները կարող են չներկայացվել բացարձակ արժեքներ, բայց հարաբերական (տոկոսներով կամ միավորի կոտորակներով): Այնուհետև թվաբանական կշռված միջինի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

Որտեղ
- առանձնահատկություն, այսինքն. յուրաքանչյուր հաճախականության մասնաբաժինը բոլորի ընդհանուր գումարում

Եթե ​​հաճախականությունները հաշվվում են կոտորակներով (գործակիցներով), ապա
= 1, իսկ թվաբանական կշռված միջինի բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

Խմբային միջինից կշռված թվաբանական միջինի հաշվարկը իրականացվում է ըստ բանաձևի.

,

Որտեղ զ- յուրաքանչյուր խմբում միավորների քանակը:

Խմբային միջինից միջին թվաբանականի հաշվարկման արդյունքները ներկայացված են աղյուսակում: 4.2.

Աղյուսակ 4.2

Աշխատողների բաշխումն ըստ միջին ստաժի

Այս օրինակում տարբերակները անհատական ​​տվյալներ չեն առանձին աշխատողների ստաժի վերաբերյալ, այլ միջինը յուրաքանչյուր արտադրամասի համար: Կշեռք զխանութներում աշխատողների թիվն է։ Այսպիսով, ձեռնարկությունում աշխատողների միջին աշխատանքային փորձը կլինի տարիներ.

.

Միջին թվաբանականի հաշվարկ բաշխման շարքերում

Եթե ​​միջինացված բնութագրիչի արժեքները նշված են ինտերվալների տեսքով («-ից մինչև»), այսինքն. բաշխումների ինտերվալային շարքը, այնուհետև թվաբանական միջինը հաշվարկելիս այդ միջակայքերի միջնակետերը վերցվում են որպես խմբերի բնութագրերի արժեքներ, ինչի արդյունքում ձևավորվում է դիսկրետ շարք: Դիտարկենք հետևյալ օրինակը (Աղյուսակ 4.3):

Եկեք անցնենք ինտերվալային շարքից դեպի դիսկրետ շարք՝ փոխարինելով միջակայքի արժեքները իրենց միջին արժեքներով/(պարզ միջին

Աղյուսակ 4.3

ԲԲԸ աշխատողների բաշխումն ըստ ամսական աշխատավարձի

բաց ինտերվալների (առաջին և վերջին) արժեքները պայմանականորեն հավասարվում են դրանց հարակից միջակայքերին (երկրորդ և նախավերջին):

Միջինի այս հաշվարկով թույլատրվում է որոշակի անճշտություն, քանի որ ենթադրություն է արվում խմբի ներսում հատկանիշի միավորների միասնական բաշխման մասին: Այնուամենայնիվ, որքան նեղ է միջակայքը և որքան շատ միավորներ միջակայքում, այնքան փոքր է սխալը:

Ինտերվալների միջնակետերը գտնելուց հետո հաշվարկները կատարվում են այնպես, ինչպես դիսկրետ շարքում. տարբերակները բազմապատկվում են հաճախականություններով (կշիռներով), իսկ արտադրյալների գումարը բաժանվում է հաճախականությունների (կշիռների) գումարով: , հազար ռուբլի:

.

Այսպիսով, ԲԲԸ-ի աշխատողների միջին աշխատավարձը կազմում է 729 ռուբլի: ամսական.

Միջին թվաբանական հաշվարկը հաճախ պահանջում է շատ ժամանակ և աշխատանք: Այնուամենայնիվ, մի շարք դեպքերում միջինը հաշվարկելու կարգը կարող է պարզեցվել և հեշտացվել, եթե օգտագործեք դրա հատկությունները: Ներկայացնենք (առանց ապացույցի) թվաբանական միջինի մի քանի հիմնական հատկություններ։

Գույք 1. Եթե ​​բնութագրիչի բոլոր անհատական ​​արժեքները (այսինքն. բոլոր տարբերակները) նվազեցնել կամ ավելացնել եսանգամ, ապա միջին արժեքը նոր բնութագիրը համապատասխանաբար կնվազի կամ կմեծանա եսմեկ անգամ.

Գույք 2. Եթե ​​միջինացված բնութագրիչի բոլոր տարբերակները կրճատվենկարել կամ մեծացնել Ա թվով, ապա համապատասխանում է միջին թվաբանականըփաստացի կպակասի կամ կմեծանա նույնքան Ա.

Գույք 3. Եթե ​​բոլոր միջինացված տարբերակների կշիռները կրճատվեն կամ ավելանալով Դեպի անգամ, ապա միջին թվաբանականը չի փոխվի։

Որպես միջին կշիռներ, բացարձակ ցուցանիշների փոխարեն, կարող եք օգտագործել տեսակարար կշիռըընդհանուր ընդհանուրում (բաժնետոմսեր կամ տոկոսներ): Սա պարզեցնում է միջինի հաշվարկները:

Միջին հաշվարկները պարզեցնելու համար նրանք գնում են տարբերակների և հաճախականությունների արժեքների կրճատման ճանապարհով: Առավելագույն պարզեցում է ձեռք բերվում, երբ, ինչպես ԱԿենտրոնական տարբերակներից մեկի արժեքը, որն ունի ամենաբարձր հաճախականությունը, ընտրվում է որպես / - միջակայքի արժեք (հավասար ընդմիջումներով շարքերի համար): A մեծությունը կոչվում է հղման կետ, հետևաբար միջինը հաշվարկելու այս մեթոդը կոչվում է «պայմանական զրոյից հաշվելու մեթոդ» կամ «պահերի ճանապարհին».

Ենթադրենք, որ բոլոր տարբերակները Xսկզբում նվազել է նույն Ա թվով, իսկ հետո՝ նվազել եսմեկ անգամ. Մենք ստանում ենք նոր տարբերակների բաշխման նոր տատանողական շարք .

Հետո նոր տարբերակներկարտահայտվի.

,

և նրանց նոր թվաբանական միջինը , -առաջին պատվերի պահը- բանաձև:

.

Այն հավասար է սկզբնական ընտրանքների միջինին, նախ կրճատվելով Ա,իսկ հետո ներս եսմեկ անգամ.

Իրական միջինը ստանալու համար անհրաժեշտ է առաջին կարգի պահ մ 1 , բազմապատկել եսև ավելացնել A:

.

Վարիացիոն շարքից թվաբանական միջինը հաշվարկելու այս մեթոդը կոչվում է «պահերի ճանապարհին».Այս մեթոդը կիրառվում է տողերում՝ հավասար ընդմիջումներով:

Միջին թվաբանականի հաշվարկը մոմենտների մեթոդով պատկերված է Աղյուսակում բերված տվյալների միջոցով: 4.4.

Աղյուսակ 4.4

Փոքր ձեռնարկությունների բաշխումը տարածաշրջանում ըստ հիմնական արտադրական միջոցների արժեքի (FPF) 2000 թ.

Գտնելով առաջին կարգի պահը

.

Այնուհետև վերցնելով A = 19 և իմանալով դա ես= 2, հաշվարկեք X,հազար ռուբլի:

Միջին արժեքների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները

Վիճակագրական մշակման փուլում կարող են դրվել հետազոտական ​​բազմաբնույթ խնդիրներ, որոնց լուծման համար անհրաժեշտ է ընտրել համապատասխան միջինը։ Այս դեպքում անհրաժեշտ է առաջնորդվել հետևյալ կանոնով՝ միջինի համարիչն ու հայտարարը ներկայացնող մեծությունները պետք է տրամաբանորեն կապված լինեն միմյանց հետ։

• հզորության միջինները;
• կառուցվածքային միջինները.

Ներկայացնենք հետևյալ կոնվենցիաները.

Այն քանակները, որոնց համար հաշվարկվում է միջինը.

Միջին, որտեղ վերը նշված բարը ցույց է տալիս, որ տեղի է ունենում անհատական ​​արժեքների միջինացում;

Հաճախականություն (առանձին բնութագրական արժեքների կրկնելիություն):

Տարբեր միջիններ ստացվում են ընդհանուր հզորության միջին բանաձևից.

(5.1)

երբ k = 1 - թվաբանական միջին; k = -1 - ներդաշնակ միջին; k = 0 - երկրաչափական միջին; k = -2 - արմատ միջին քառակուսի:

Միջին արժեքները կարող են լինել պարզ կամ կշռված: Միջին կշռված ցուցանիշներՍրանք արժեքներ են, որոնք հաշվի են առնում, որ հատկանիշի արժեքների որոշ տարբերակներ կարող են ունենալ տարբեր թվեր, և, հետևաբար, յուրաքանչյուր տարբերակ պետք է բազմապատկվի այս թվով: Այլ կերպ ասած, «կշեռքները» տարբեր խմբերի ագրեգատ միավորների թվերն են, այսինքն. Յուրաքանչյուր տարբերակ «կշռվում» է իր հաճախականությամբ: f հաճախականությունը կոչվում է վիճակագրական քաշըկամ միջին քաշը.

Թվաբանական միջին- միջինի ամենատարածված տեսակը: Այն օգտագործվում է, երբ հաշվարկն իրականացվում է չխմբավորված վիճակագրական տվյալների վրա, որտեղ անհրաժեշտ է ստանալ միջին ժամկետը: Միջին թվաբանականը բնութագրիչի միջին արժեքն է, որը ստանալուց հետո հատկանիշի ընդհանուր ծավալը ագրեգատում մնում է անփոփոխ:

Միջին թվաբանական բանաձև ( պարզ) ունի ձևը

որտեղ n-ը բնակչության մեծությունն է:

Օրինակ, ձեռնարկության աշխատակիցների միջին աշխատավարձը հաշվարկվում է որպես միջին թվաբանական.

Այստեղ որոշիչ ցուցանիշներն են յուրաքանչյուր աշխատողի աշխատավարձը և ձեռնարկության աշխատողների թիվը։ Միջին գումարը հաշվարկելիս աշխատավարձի ընդհանուր չափը մնացել է նույնը, բայց հավասարապես բաշխվել է բոլոր աշխատողների միջև։ Օրինակ, դուք պետք է հաշվարկեք աշխատողների միջին աշխատավարձը փոքր ձեռնարկությունում, որտեղ աշխատում է 8 մարդ.

Միջին արժեքները հաշվարկելիս միջինացված բնութագրիչի անհատական ​​արժեքները կարող են կրկնվել, ուստի միջին արժեքը հաշվարկվում է խմբավորված տվյալների միջոցով: Այս դեպքում մենք խոսում ենքօգտագործման մասին թվաբանական միջին կշռված, որն ունի ձևը

(5.3)

Այսպիսով, մենք պետք է հաշվարկենք բաժնետիրական ընկերության բաժնետոմսերի միջին գինը ֆոնդային բորսայում: Հայտնի է, որ գործարքները կատարվել են 5 օրվա ընթացքում (5 գործարք), վաճառքի փոխարժեքով վաճառված բաժնետոմսերի քանակը բաշխվել է հետևյալ կերպ.

1 - 800 ակ. - 1010 ռուբ.

2 - 650 ակ. - 990 ռուբ.

3 - 700 ակ. - 1015 ռուբ.

4 - 550 ակ. - 900 ռուբ.

5 - 850 ակ. - 1150 ռուբ.

Բաժնետոմսերի միջին գնի որոշման սկզբնական հարաբերակցությունը գործարքների ընդհանուր գումարի (ՏՎԱ) հարաբերակցությունն է վաճառված բաժնետոմսերի քանակին (KPA):

Միջին արժեքները լայնորեն օգտագործվում են վիճակագրության մեջ: Միջին արժեքները բնութագրում են առևտրային գործունեության որակական ցուցանիշները՝ բաշխման ծախսեր, շահույթ, շահութաբերություն և այլն։

Միջին - Սա ընդհանրացման ընդհանուր մեթոդներից մեկն է: Միջինի էության ճիշտ ըմբռնումը որոշում է դրա առանձնահատուկ նշանակությունը շուկայական տնտեսության մեջ, երբ միջինը անհատի և պատահականության միջոցով թույլ է տալիս բացահայտել ընդհանուրն ու անհրաժեշտը, բացահայտել տնտեսական զարգացման օրինաչափությունների միտումը:

միջին արժեքը - սրանք ընդհանուր ցուցանիշներ են, որոնցում արտահայտվում են գործողությունները ընդհանուր պայմաններ, ուսումնասիրվող երեւույթի օրինաչափություններ։

Վիճակագրական միջինները հաշվարկվում են զանգվածային տվյալների հիման վրա՝ ճիշտ վիճակագրորեն կազմակերպված զանգվածային դիտարկումներից (շարունակական և ընտրովի): Այնուամենայնիվ, վիճակագրական միջինը կլինի օբյեկտիվ և բնորոշ, եթե այն հաշվարկվի որակապես միատարր բնակչության (զանգվածային երևույթների) զանգվածային տվյալների հիման վրա: Օրինակ, եթե հաշվարկում եք միջին աշխատավարձը կոոպերատիվներում և պետական ​​ձեռնարկություններում, և արդյունքը տարածվում է ամբողջ բնակչության վրա, ապա միջինը ֆիկտիվ է, քանի որ այն հաշվարկվում է տարասեռ բնակչության համար, և այդպիսի միջինը կորցնում է ողջ իմաստը:

Միջինի օգնությամբ հարթվում են դիտարկման առանձին միավորներում այս կամ այն ​​պատճառով առաջացած բնութագրի արժեքի տարբերությունները:

Օրինակ, վաճառողի միջին արտադրողականությունը կախված է բազմաթիվ պատճառներից՝ որակավորում, աշխատանքային ստաժ, տարիք, ծառայության ձև, առողջություն և այլն։

Միջին արտադրանքը արտացոլում է ամբողջ բնակչության ընդհանուր ունեցվածքը:

Միջին արժեքը ուսումնասիրվող բնութագրիչի արժեքների արտացոլումն է, հետևաբար, այն չափվում է նույն չափում, ինչ այս հատկանիշը:

Յուրաքանչյուր միջին արժեք բնութագրում է ուսումնասիրվող բնակչությանը` ըստ որևէ բնութագրիչի: Մի շարք էական բնութագրերի համաձայն ուսումնասիրվող բնակչության ամբողջական և համապարփակ պատկերացում ստանալու համար, ընդհանուր առմամբ, անհրաժեշտ է ունենալ միջին արժեքների համակարգ, որը կարող է նկարագրել երևույթը տարբեր տեսանկյուններից:

Կան տարբեր միջիններ.

միջին թվաբանական;

երկրաչափական միջին;

ներդաշնակ միջին;

միջին քառակուսի;

միջին ժամանակագրական.

Դիտարկենք միջինների որոշ տեսակներ, որոնք առավել հաճախ օգտագործվում են վիճակագրության մեջ:

Թվաբանական միջին

Պարզ թվաբանական միջինը (չկշռված) հավասար է հատկանիշի առանձին արժեքների գումարին, որը բաժանված է այդ արժեքների քանակի վրա:

Բնութագրի առանձին արժեքները կոչվում են տարբերակներ և նշվում են x(); բնակչության միավորների թիվը նշվում է n-ով, հատկանիշի միջին արժեքը՝ . Այսպիսով, թվաբանական պարզ միջինը հավասար է.

Ըստ դիսկրետ բաշխման շարքի տվյալների՝ պարզ է, որ նույն բնորոշ արժեքները (տարբերակները) կրկնվում են մի քանի անգամ։ Այսպիսով, x տարբերակը հանդիպում է ընդհանուր առմամբ 2 անգամ, իսկ x տարբերակը՝ 16 անգամ և այլն։

Բաշխման շարքում բնութագրիչի նույնական արժեքների թիվը կոչվում է հաճախականություն կամ քաշ և նշվում է n նշանով:

Հաշվենք մեկ աշխատողի միջին աշխատավարձը ռուբլով:

Աշխատավարձի ֆոնդը աշխատողների յուրաքանչյուր խմբի համար հավասար է օպցիոնների և հաճախականության արտադրյալին, և այդ ապրանքների գումարը տալիս է բոլոր աշխատողների ընդհանուր աշխատավարձի ֆոնդը:

Համապատասխանաբար, հաշվարկները կարող են ներկայացվել ընդհանուր ձևով.

Ստացված բանաձևը կոչվում է կշռված թվաբանական միջին։

Վերամշակման արդյունքում վիճակագրական նյութը կարող է ներկայացվել ոչ միայն դիսկրետ բաշխման շարքերի, այլև փակ կամ բաց ինտերվալներով ինտերվալային վարիացիոն շարքերի տեսքով։

Խմբավորված տվյալների միջինը հաշվարկվում է կշռված թվաբանական միջին բանաձևով.

Տնտեսական վիճակագրության պրակտիկայում երբեմն անհրաժեշտ է լինում միջինը հաշվարկել՝ օգտագործելով խմբային միջինները կամ բնակչության առանձին մասերի միջինները (մասնակի միջիններ): Նման դեպքերում որպես տարբերակ (x) վերցվում են խմբային կամ մասնավոր միջինները, որոնց հիման վրա ընդհանուր միջինը հաշվարկվում է որպես սովորական կշռված թվաբանական միջին:

Թվաբանական միջինի հիմնական հատկությունները .

Միջին թվաբանականը ունի մի շարք հատկություններ.

1. Միջին թվաբանական արժեքը չի փոխվի x հատկանիշի յուրաքանչյուր արժեքի հաճախականությունը n անգամ նվազեցնելուց կամ ավելացնելուց:

Եթե ​​բոլոր հաճախականությունները բաժանվեն կամ բազմապատկվեն որևէ թվով, միջին արժեքը չի փոխվի:

2. Բնութագրի առանձին արժեքների ընդհանուր բազմապատկիչը կարող է վերցվել միջինի նշանից դուրս.

3. Երկու կամ ավելի մեծությունների գումարի (տարբերության) միջինը հավասար է դրանց միջինների գումարին (տարբերությանը).

4. Եթե x = c, որտեղ c-ն հաստատուն արժեք է, ապա
.

5. X հատկանիշի արժեքների շեղումների գումարը x թվաբանական միջինից հավասար է զրոյի.

Հարմոնիկ միջին.

Միջին թվաբանականի հետ մեկտեղ վիճակագրությունը օգտագործում է ներդաշնակ միջինը, հատկանիշի հակադարձ արժեքների թվաբանական միջինի հակադարձը: Ինչպես թվաբանական միջինը, այն կարող է լինել պարզ և կշռված:

Վարիացիոն շարքի բնութագրիչները, միջինների հետ մեկտեղ, ռեժիմն ու մեդիանն են:

Նորաձևություն - սա բնութագրիչի (տարբերակի) արժեքն է, որն առավել հաճախ կրկնվում է ուսումնասիրվող բնակչության մեջ: Դիսկրետ բաշխման սերիաների համար ռեժիմը կլինի ամենաբարձր հաճախականությամբ տարբերակի արժեքը:

Հավասար ընդմիջումներով ինտերվալային բաշխման շարքերի համար ռեժիմը որոշվում է բանաձևով.

Որտեղ
- ռեժիմը պարունակող միջակայքի սկզբնական արժեքը.

- մոդալ միջակայքի արժեքը.

- մոդալ միջակայքի հաճախականությունը;

- մոդալին նախորդող միջակայքի հաճախականությունը.

- մոդալին հաջորդող միջակայքի հաճախականությունը.

Միջին - սա տարբերակ է, որը գտնվում է տատանումների շարքի մեջտեղում: Եթե ​​բաշխման շարքը դիսկրետ է և ունի կենտ թվով անդամներ, ապա մեդիանը կլինի այն տարբերակը, որը գտնվում է պատվիրված շարքի մեջտեղում (պատվիրված շարքը բնակչության միավորների դասավորությունն է աճման կամ նվազման կարգով):

Այն կորչում է միջինը հաշվարկելիս։

Միջին իմաստըթվերի բազմությունը հավասար է S թվերի գումարին, որը բաժանվում է այդ թվերի թվի վրա: Այսինքն՝ ստացվում է, որ միջին իմաստըհավասար է՝ 19/4 = 4,75:

Նշում

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել երկրաչափական միջինը ընդամենը երկու թվի համար, ապա ձեզ հարկավոր չէ ինժեներական հաշվիչ. վերցրեք երկրորդ արմատը ( Քառակուսի արմատ) ցանկացած թվից կարելի է անել՝ օգտագործելով ամենասովորական հաշվիչը։

Օգտակար խորհուրդ

Ի տարբերություն թվաբանական միջինի, երկրաչափական միջինի վրա այնքան էլ ուժեղ չեն ազդում ուսումնասիրվող ցուցիչների շարքում առանձին արժեքների միջև մեծ շեղումներն ու տատանումները:

Աղբյուրներ:

• Առցանց հաշվիչ, որը հաշվարկում է երկրաչափական միջինը
• միջին երկրաչափական բանաձեւ

Միջինարժեքը թվերի բազմության բնութագրիչներից մեկն է: Ներկայացնում է մի թիվ, որը չի կարող դուրս գալ այդ թվերի հավաքածուի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքներով սահմանված միջակայքից: Միջինթվաբանական արժեքը միջինի ամենատարածված տեսակն է:

Հրահանգներ

Գումարի՛ր բազմության բոլոր թվերը և բաժանի՛ր դրանք թվերի թվով՝ թվաբանական միջինը ստանալու համար: Կախված հաշվարկի հատուկ պայմաններից, երբեմն ավելի հեշտ է թվերից յուրաքանչյուրը բաժանել հավաքածուի արժեքների քանակով և գումարել արդյունքը:

Օգտագործեք, օրինակ, Windows OS-ում ներառված, եթե հնարավոր չէ ձեր գլխում հաշվարկել միջին թվաբանականը: Դուք կարող եք այն բացել՝ օգտագործելով ծրագրի մեկնարկի երկխոսությունը: Դա անելու համար սեղմեք տաք ստեղները WIN + R կամ սեղմեք Start կոճակը և հիմնական ընտրացանկից ընտրեք Run: Այնուհետև մուտքագրեք calc մուտքագրման դաշտում և սեղմեք Enter կամ սեղմեք OK կոճակը: Նույնը կարելի է անել հիմնական ցանկի միջոցով՝ բացեք այն, անցեք «Բոլոր ծրագրերը» բաժինը և «Ստանդարտ» բաժնում և ընտրեք «Հաշվիչ» տողը:

Մուտքագրեք հավաքածուի բոլոր թվերը հաջորդաբար՝ սեղմելով Plus ստեղնը դրանցից յուրաքանչյուրից հետո (բացի վերջինից) կամ սեղմելով հաշվիչի միջերեսի համապատասխան կոճակը: Կարող եք նաև թվեր մուտքագրել կամ ստեղնաշարից կամ սեղմելով համապատասխան ինտերֆեյսի կոճակները:

Վերջին սահմանված արժեքը մուտքագրելուց հետո սեղմեք կտրատող ստեղնը կամ սեղմեք սա հաշվիչի միջերեսում և մուտքագրեք թվերի քանակը հաջորդականության մեջ: Այնուհետև սեղմեք հավասարության նշանը և հաշվիչը կհաշվարկի և կցուցադրի միջին թվաբանականը:

Նույն նպատակով կարող եք օգտագործել Microsoft Excel աղյուսակների խմբագրիչը: Այս դեպքում գործարկեք խմբագրիչը և մուտքագրեք թվերի հաջորդականության բոլոր արժեքները հարակից բջիջներում: Եթե ​​յուրաքանչյուր համարը մուտքագրելուց հետո սեղմեք Enter կամ ներքև կամ աջ սլաքի ստեղնը, խմբագրիչն ինքը կտեղափոխի մուտքային ֆոկուսը հարակից բջիջ:

Սեղմեք վերջին մուտքագրված թվի կողքին գտնվող բջիջը, եթե չեք ցանկանում պարզապես տեսնել միջինը: Ընդարձակեք հունարեն սիգմա (Σ) բացվող ընտրացանկը «Տուն» ներդիրի «Խմբագրել» հրամանների համար: Ընտրեք տողը» Միջին«իսկ խմբագիրը կմտցնի միջինը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ բանաձեւը թվաբանական արժեքըընտրված բջիջի մեջ: Սեղմեք Enter ստեղնը և արժեքը կհաշվարկվի:

Միջին թվաբանականը կենտրոնական տենդենցի չափիչներից է, որը լայնորեն կիրառվում է մաթեմատիկայում և վիճակագրական հաշվարկներում։ Մի քանի արժեքների համար միջին թվաբանականը գտնելը շատ պարզ է, բայց յուրաքանչյուր առաջադրանք ունի իր նրբությունները, որոնք պարզապես անհրաժեշտ է իմանալ՝ ճիշտ հաշվարկներ կատարելու համար:

Ինչ է թվաբանական միջինը

Ինչպես գտնել թվաբանական միջինը

Բացասական թվերի հետ աշխատելու առանձնահատկությունները

1. Ստանդարտ մեթոդով ընդհանուր թվաբանական միջինը գտնելը;
2. Գտնել բացասական թվերի միջին թվաբանականը:
3. Դրական թվերի միջին թվաբանականի հաշվարկը.

Յուրաքանչյուր գործողության պատասխանները գրվում են բաժանված ստորակետերով:

Բնական և տասնորդական կոտորակներ

հետ աշխատելիս բնական կոտորակներդրանք պետք է կրճատվեն ընդհանուր հայտարարի, որը բազմապատկվում է զանգվածի թվերի քանակով: Պատասխանի համարիչը կլինի սկզբնական կոտորակային տարրերի տրված համարիչների գումարը։

• Ինժեներական հաշվիչ.

Հրահանգներ

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ներս ընդհանուր դեպքմիջին երկրաչափական թվերԳտնվում է այս թվերը բազմապատկելով և դրանցից վերցնելով թվերի թվին համապատասխանող հզորության արմատը։ Օրինակ, եթե ձեզ անհրաժեշտ է գտնել հինգ թվերի երկրաչափական միջինը, ապա ձեզ հարկավոր է արտադրյալից հանել հզորության արմատը:

Երկու թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար օգտագործեք հիմնական կանոնը. Գտե՛ք դրանց արտադրյալը, ապա վերցրե՛ք դրա քառակուսի արմատը, քանի որ թիվը երկու է, որը համապատասխանում է արմատի հզորությանը։ Օրինակ՝ 16 և 4 թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար գտե՛ք դրանց արտադրյալը՝ 16 4=64։ Ստացված թվից հանում ենք √64=8 քառակուսի արմատը։ Ահա թե ինչ է լինելու պահանջվող քանակ. Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս երկու թվերի միջին թվաբանականը մեծ է և հավասար է 10-ի: Եթե ամբողջ արմատը չի հանվում, արդյունքը կլորացրեք ցանկալի կարգով:

Երկուից ավելի թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար օգտագործեք նաև հիմնական կանոնը. Դա անելու համար գտեք բոլոր թվերի արտադրյալը, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել երկրաչափական միջինը: Ստացված արտադրյալից հանե՛ք թվերի թվին հավասար հզորության արմատը։ Օրինակ՝ 2, 4 և 64 թվերի երկրաչափական միջինը գտնելու համար գտե՛ք դրանց արտադրյալը։ 2 4 64=512. Քանի որ դուք պետք է գտնեք երեք թվերի երկրաչափական միջինի արդյունքը, վերցրեք արտադրյալի երրորդ արմատը: Դժվար է դա անել բանավոր, այնպես որ օգտագործեք ինժեներական հաշվիչ: Այդ նպատակով այն ունի «x^y» կոճակ: Հավաքեք 512 թիվը, սեղմեք «x^y» կոճակը, ապա հավաքեք 3 թիվը և սեղմեք «1/x» կոճակը, 1/3-ի արժեքը գտնելու համար սեղմեք «="» կոճակը: Ստանում ենք 512-ը 1/3-ի հզորության բարձրացման արդյունքը, որը համապատասխանում է երրորդ արմատին։ Ստացեք 512^1/3=8: Սա 2.4 և 64 թվերի երկրաչափական միջինն է։

Օգտագործելով ինժեներական հաշվիչը, դուք կարող եք գտնել երկրաչափական միջինը այլ կերպ: Գտեք մատյան կոճակը ձեր ստեղնաշարի վրա: Դրանից հետո վերցրեք թվերից յուրաքանչյուրի լոգարիթմը, գտեք դրանց գումարը և բաժանեք այն թվերի թվի վրա։ Ստացված թվից վերցրեք հակալոգարիթմը: Սա կլինի թվերի երկրաչափական միջինը: Օրինակ՝ նույն 2-ի, 4-ի և 64-ի երկրաչափական միջինը գտնելու համար հաշվիչի վրա կատարեք մի շարք գործողություններ: Հավաքեք 2 համարը, այնուհետև սեղմեք log կոճակը, սեղմեք «+» կոճակը, հավաքեք 4 թիվը և կրկին սեղմեք log և «+», հավաքեք 64, սեղմեք log և «="»: Արդյունքը կլինի մի թիվ, որը հավասար է 2, 4 և 64 թվերի տասնորդական լոգարիթմների գումարին: Ստացված թիվը բաժանեք 3-ի, քանի որ սա այն թվերի թիվն է, որոնց համար փնտրվում է երկրաչափական միջինը: Արդյունքից վերցրեք հակալոգարիթմը՝ միացնելով գործի կոճակը և օգտագործեք նույն մատյան ստեղնը: Արդյունքը կլինի 8 թիվը, սա ցանկալի երկրաչափական միջինն է: