Առաջին մակարդակ

Երկրաչափական առաջընթաց. Համապարփակ ուղեցույցօրինակներով (2019)

Թվերի հաջորդականություն

Այսպիսով, եկեք նստենք և սկսենք գրել որոշ թվեր: Օրինակ:

Դուք կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և դրանք կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք (մեր դեպքում դրանք կան): Ինչքան էլ թվեր գրենք, միշտ կարող ենք ասել, թե որն է առաջինը, որը երկրորդը, և այդպես մինչև վերջինը, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է.

Թվերի հաջորդականությունթվերի հավաքածու է, որոնցից յուրաքանչյուրին կարելի է եզակի համար հատկացնել։

Օրինակ, մեր հաջորդականության համար.

Նշանակված համարը հատուկ է հաջորդականության միայն մեկ թվին: Այսինքն՝ հաջորդականության մեջ չկան երեք երկրորդ թվեր։ Երկրորդ թիվը (ինչպես թվին) միշտ նույնն է։

Թիվ ունեցող թիվը կոչվում է հաջորդականության n-րդ անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառով (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ նույն տառն է, որի ինդեքսը հավասար է այս անդամի թվին.

Մեր դեպքում.

Առաջընթացի ամենատարածված տեսակներն են թվաբանականը և երկրաչափականը: Այս թեմայում մենք կխոսենք երկրորդ տեսակի մասին. երկրաչափական առաջընթաց.

Ինչու է անհրաժեշտ երկրաչափական պրոգրեսիան և դրա պատմությունը:

Նույնիսկ հին ժամանակներում իտալացի մաթեմատիկոս վանական Լեոնարդոն Պիզայից (ավելի հայտնի որպես Ֆիբոնաչի) զբաղվում էր առևտրի գործնական կարիքներով։ Վանականի առջեւ խնդիր էր դրված որոշել, թե որն է կշիռների ամենափոքր թիվը, որով կարելի է կշռել ապրանքը: Իր աշխատություններում Ֆիբոնաչին ապացուցում է, որ կշիռների նման համակարգը օպտիմալ է. սա առաջին իրավիճակներից մեկն է, երբ մարդիկ ստիպված են եղել դիմակայել երկրաչափական պրոգրեսիա, որի մասին հավանաբար արդեն լսել եք և առնվազն ունեք։ ընդհանուր հայեցակարգ. Թեման լիովին հասկանալուց հետո մտածեք, թե ինչու է նման համակարգը օպտիմալ:

Ներկայումս կյանքի պրակտիկայում. երկրաչափական առաջընթացԱյն դրսևորվում է բանկում փող ներդնելիս, երբ տոկոսների չափը հաշվարկվում է նախորդ ժամանակաշրջանի հաշվում կուտակված գումարի վրա։ Այլ կերպ ասած, եթե դուք գումար եք դնում խնայբանկում ժամկետային ավանդի վրա, ապա մեկ տարի անց ավանդը կավելանա սկզբնական գումարով, այսինքն. նոր գումարը հավասար կլինի ներդրմանը բազմապատկած: Եվս մեկ տարի այդ գումարը կավելանա, այսինքն. այդ ժամանակ ստացված գումարը կրկին կբազմապատկվի և այլն։ Նմանատիպ իրավիճակ նկարագրված է այսպես կոչված հաշվարկման խնդիրներում բաղադրություն հետաքրքրությունը- տոկոսը վերցվում է ամեն անգամ հաշվում եղած գումարից՝ հաշվի առնելով նախկին տոկոսները։ Այս առաջադրանքների մասին կխոսենք մի փոքր ուշ:

Կան շատ ավելի պարզ դեպքեր, երբ կիրառվում է երկրաչափական պրոգրեսիա: Օրինակ՝ գրիպի տարածումը. մի մարդ վարակել է մեկ ուրիշին, նրանք իրենց հերթին վարակել են մեկ այլ մարդու, և այսպիսով վարակի երկրորդ ալիքը մարդ է, և նրանք իրենց հերթին վարակել են մեկ ուրիշին... և այլն։ .

Ի դեպ, ֆինանսական բուրգը՝ նույն ՄՄՄ-ն, պարզ ու չոր հաշվարկ է՝ հիմնված երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկությունների վրա։ Հետաքրքի՞ր է: Եկեք պարզենք այն:

Երկրաչափական առաջընթաց.

Ենթադրենք, մենք ունենք թվային հաջորդականություն.

Դուք անմիջապես կպատասխանեք, որ դա հեշտ է, և նման հաջորդականության անունն է թվաբանական առաջընթացիր անդամների տարբերությամբ։ Ինչ կասեք այս մասին.

Եթե ​​նախորդ թիվը հանեք հաջորդ թվից, կտեսնեք, որ ամեն անգամ նոր տարբերություն եք ստանում (և այլն), բայց հաջորդականությունը հաստատ գոյություն ունի և հեշտ է նկատել. յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ նախորդից անգամ մեծ է:

Այս տեսակի թվային հաջորդականությունը կոչվում է երկրաչափական առաջընթացև նշանակված է.

Երկրաչափական պրոգրեսիան () թվային հաջորդականություն է, որի առաջին անդամը տարբերվում է զրոյից, և յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին՝ բազմապատկված նույն թվով։ Այս թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար։

Սահմանափակումները, որ առաջին անդամը ( ) հավասար չէ և պատահական չեն: Ենթադրենք, որ նրանք չկան, և առաջին անդամը դեռ հավասար է, իսկ q-ն հավասար է, հմմ.. թող լինի, հետո ստացվում է.

Համաձայնեք, որ սա արդեն առաջընթաց չէ։

Ինչպես հասկանում եք, մենք նույն արդյունքները կստանանք, եթե զրոյից բացի որևէ այլ թիվ լինի՝ ա. Այս դեպքերում ուղղակի առաջընթաց չի լինի, քանի որ ամբողջ թվային շարքը կամ կլինի բոլոր զրոները, կամ մեկ թիվ, իսկ մնացած բոլորը կլինեն զրո:

Այժմ ավելի մանրամասն խոսենք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարի մասին, այսինքն՝ o.

Կրկնենք՝ սա թիվ է քանի՞ անգամ է փոխվում յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը:երկրաչափական առաջընթաց.

Ի՞նչ եք կարծում, դա ինչ կարող է լինել: Ճիշտ է, դրական և բացասական, բայց ոչ զրոյական (սրա մասին խոսեցինք մի փոքր ավելի բարձր):

Ենթադրենք, որ մերը դրական է։ Թող մեր դեպքում ա. Ո՞րն է երկրորդ տերմինի արժեքը և. Դուք հեշտությամբ կարող եք պատասխանել դրան.

Ճիշտ է։ Համապատասխանաբար, եթե, ապա առաջընթացի բոլոր հետագա տերմիններն ունեն նույն նշանը՝ նրանք դրական են.

Իսկ եթե դա բացասական է: Օրինակ՝ ա. Ո՞րն է երկրորդ տերմինի արժեքը և.

Սա բոլորովին այլ պատմություն է

Փորձեք հաշվել այս առաջընթացի պայմանները: Որքա՞ն եք ստացել: Ես ունեմ։ Այսպիսով, եթե, ապա երկրաչափական առաջընթացի տերմինների նշանները հերթափոխվում են։ Այսինքն, եթե տեսնում եք պրոգրեսիա իր անդամների համար փոփոխվող նշաններով, ապա դրա հայտարարը բացասական է։ Այս գիտելիքը կարող է օգնել ձեզ փորձարկել ինքներդ այս թեմայի վերաբերյալ խնդիրներ լուծելիս:

Հիմա եկեք մի փոքր պարապենք. փորձեք որոշել, թե որ թվային հաջորդականություններն են երկրաչափական պրոգրեսիա և որոնք են թվաբանական առաջընթաց.

Հասկացա? Եկեք համեմատենք մեր պատասխանները.

• Երկրաչափական պրոգրեսիա - 3, 6:
• Թվաբանական առաջընթաց - 2, 4:
• Դա ոչ թվաբանական, ոչ էլ երկրաչափական պրոգրեսիա է՝ 1, 5, 7։

Եկեք վերադառնանք մեր վերջին առաջընթացին և փորձենք գտնել դրա անդամին, ինչպես թվաբանականում։ Ինչպես կռահեցիք, այն գտնելու երկու եղանակ կա:

Մենք հաջորդաբար բազմապատկում ենք յուրաքանչյուր անդամ:

Այսպիսով, նկարագրված երկրաչափական պրոգրեսիայի րդ անդամը հավասար է.

Ինչպես արդեն կռահեցիք, այժմ դուք ինքներդ կբերեք մի բանաձև, որը կօգնի ձեզ գտնել երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ: Կամ արդեն մշակե՞լ եք այն ինքներդ ձեզ համար՝ նկարագրելով, թե ինչպես կարելի է քայլ առ քայլ գտնել րդ անդամին: Եթե ​​այո, ապա ստուգեք ձեր պատճառաբանության ճիշտությունը:

Եկեք դա ցույց տանք այս առաջընթացի երրորդ անդամը գտնելու օրինակով.

Այլ կերպ ասած:

Ինքներդ գտե՛ք տվյալ երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամի արժեքը։

Տեղի է ունեցել? Եկեք համեմատենք մեր պատասխանները.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դուք ստացել եք ճիշտ նույն թիվը, ինչ նախորդ մեթոդով, երբ մենք հաջորդաբար բազմապատկեցինք երկրաչափական առաջընթացի յուրաքանչյուր նախորդ անդամով:
Փորձենք «ապանձնավորել» այս բանաձևը. եկեք այն ընդհանուր ձևով դնենք և ստանանք.

Ստացված բանաձևը ճիշտ է բոլոր արժեքների համար՝ և՛ դրական, և՛ բացասական: Ստուգեք դա ինքներդ՝ հաշվարկելով երկրաչափական առաջընթացի պայմանները հետևյալ պայմաններով.

Դուք հաշվել եք? Եկեք համեմատենք արդյունքները.

Համաձայնեք, որ պրոգրեսիայի տերմինը հնարավոր կլինի գտնել այնպես, ինչպես տերմինը, սակայն սխալ հաշվարկելու հավանականություն կա։ Եվ եթե մենք արդեն գտել ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը, ապա ինչ կարող է լինել ավելի պարզ, քան բանաձևի «կտրված» մասը օգտագործելը:

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա:

Հենց վերջերս մենք խոսեցինք այն մասին, որ կարող է լինել և՛ ավելի, և՛ զրոյից պակասԱյնուամենայնիվ, կան հատուկ արժեքներ, որոնց համար կոչվում է երկրաչափական առաջընթաց անսահման նվազում.

Ի՞նչ եք կարծում, ինչու է այս անունը տրվել:
Նախ, եկեք գրենք մի քանի երկրաչափական առաջընթաց, որը բաղկացած է տերմիններից:
Ուրեմն ասենք.

Մենք տեսնում ենք, որ յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը մեկ գործակցով փոքր է նախորդից, բայց կլինի՞ որևէ թիվ։ Դուք անմիջապես կպատասխանեք՝ «ոչ»: Դրա համար էլ այն անսահման նվազում է՝ նվազում և նվազում, բայց երբեք չի զրոյանում։

Հստակ հասկանալու համար, թե ինչպես է սա տեսողական տեսք, եկեք փորձենք գծել մեր առաջընթացի գրաֆիկը: Այսպիսով, մեր դեպքում բանաձևը ստանում է հետևյալ ձևը.

Գրաֆիկների վրա մենք սովոր ենք կախվածություն գծել, հետևաբար.

Արտահայտության էությունը չի փոխվել. առաջին մուտքում մենք ցույց ենք տվել երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամի արժեքի կախվածությունը նրա հերթական թվից, իսկ երկրորդ մուտքում մենք պարզապես վերցրել ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամի արժեքը որպես , և հերթական համարը նշանակեց ոչ թե որպես, այլ որպես։ Մնում է անել միայն գրաֆիկ կառուցելը:
Եկեք տեսնենք, թե ինչ եք ստացել: Ահա այն գծապատկերը, որի հետ ես եկել եմ.

Տեսնու՞մ ես։ Ֆունկցիան նվազում է, հակված է զրոյի, բայց երբեք չի հատում այն, ուստի այն անսահմանորեն նվազում է։ Եկեք նշենք մեր կետերը գրաֆիկի վրա և միևնույն ժամանակ, թե ինչ է կոորդինատը և նշանակում.

Փորձեք սխեմատիկորեն պատկերել երկրաչափական առաջընթացի գրաֆիկը, եթե դրա առաջին անդամը նույնպես հավասար է: Վերլուծեք, թե որն է տարբերությունը մեր նախորդ գրաֆիկի հետ:

Դուք հասցրե՞լ եք: Ահա այն գծապատկերը, որի հետ ես եկել եմ.

Այժմ, երբ դուք լիովին հասկացաք երկրաչափական պրոգրեսիայի թեմայի հիմունքները. դուք գիտեք, թե դա ինչ է, գիտեք, թե ինչպես գտնել դրա եզրույթը, ինչպես նաև գիտեք, թե ինչ է անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիան, եկեք անցնենք դրա հիմնական հատկությանը:

Երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկություն.

Հիշու՞մ եք թվաբանական առաջընթացի պայմանների հատկությունը: Այո, այո, ինչպես գտնել պրոգրեսիայի որոշակի քանակի արժեքը, երբ կան այս առաջընթացի պայմանների նախորդ և հաջորդ արժեքները: Հիշում ես? Սա:

Այժմ մենք կանգնած ենք ճիշտ նույն հարցի առաջ երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանների հետ կապված: Նման բանաձև դուրս բերելու համար սկսենք նկարել և պատճառաբանել։ Կտեսնեք, դա շատ հեշտ է, և եթե մոռանաք, կարող եք ինքներդ դուրս հանել:

Վերցնենք ևս մեկ պարզ երկրաչափական պրոգրեսիա, որում մենք գիտենք և. Ինչպե՞ս գտնել: Թվաբանական առաջընթացի դեպքում դա հեշտ է և պարզ, բայց ի՞նչ կասեք այստեղ: Իրականում, երկրաչափության մեջ էլ բարդ բան չկա, պարզապես անհրաժեշտ է գրել մեզ տրված յուրաքանչյուր արժեք՝ ըստ բանաձևի։

Դուք կարող եք հարցնել՝ ի՞նչ պետք է անենք դրա դեմ հիմա։ Այո, շատ պարզ: Նախ, եկեք պատկերենք այս բանաձևերը նկարում և փորձենք դրանցով տարբեր մանիպուլյացիաներ անել, որպեսզի հասնենք արժեքին:

Վերացնենք մեզ տրված թվերից, կենտրոնանանք միայն բանաձեւի միջոցով դրանց արտահայտման վրա. Մենք պետք է գտնենք ընդգծված արժեքը նարնջագույն, ճանաչելով դրան կից անդամներին։ Փորձենք նրանցով արտադրել տարբեր գործողություններ, որի արդյունքում մենք կարող ենք ստանալ.

Հավելում.
Փորձենք ավելացնել երկու արտահայտություն և ստանում ենք.

Այս արտահայտությունից, ինչպես տեսնում եք, մենք այն ոչ մի կերպ չենք կարող արտահայտել, հետեւաբար, կփորձենք մեկ այլ տարբերակ՝ հանում։

Հանում.

Ինչպես տեսնում եք, մենք դա էլ չենք կարող արտահայտել, հետևաբար, փորձենք այս արտահայտությունները բազմապատկել միմյանցով:

Բազմապատկում.

Այժմ ուշադիր նայեք, թե ինչ ունենք՝ բազմապատկելով մեզ տրված երկրաչափական առաջընթացի պայմանները՝ համեմատելով այն, ինչ պետք է գտնել.

Գուշակեք, թե ինչի մասին եմ խոսում: Ճիշտ է, գտնելու համար պետք է վերցնել Քառակուսի արմատցանկալիին հարող երկրաչափական առաջընթացի թվերից՝ բազմապատկված միմյանցով.

Ահա դուք գնացեք: Դուք ինքներդ ստացաք երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկությունը: Փորձեք գրել այս բանաձևը ընդհանուր տեսարան. Տեղի է ունեցել?

Մոռացել եք պայմանը Մտածեք, թե ինչու է դա կարևոր, օրինակ՝ փորձեք ինքներդ հաշվարկել։ Ի՞նչ կլինի այս դեպքում։ Դա ճիշտ է, լրիվ անհեթեթություն, քանի որ բանաձևը հետևյալն է.

Համապատասխանաբար, մի մոռացեք այս սահմանափակումը:

Հիմա եկեք հաշվարկենք, թե դա ինչի է հավասար

Ճիշտ պատասխան - ! Եթե ​​հաշվարկի ժամանակ չեք մոռացել երկրորդ հնարավոր արժեքը, ապա դուք հիանալի եք և կարող եք անմիջապես անցնել մարզմանը, իսկ եթե մոռացել եք, կարդացեք ստորև քննարկվածը և ուշադրություն դարձրեք, թե ինչու պետք է երկու արմատները գրվեն. պատասխան։

Եկեք գծենք մեր երկու երկրաչափական առաջընթացները՝ մեկը արժեքով, մյուսը՝ արժեքով և ստուգենք, թե երկուսն էլ գոյության իրավունք ունեն.

Այսպիսի երկրաչափական պրոգրեսիա գոյություն ունի՞, թե՞ ոչ, ստուգելու համար անհրաժեշտ է տեսնել, թե արդյոք դրա բոլոր տրված տերմինները նույնն են։ Հաշվեք q առաջին և երկրորդ դեպքերի համար:

Տեսնես ինչու պետք է երկու պատասխան գրենք։ Քանի որ ձեր փնտրած տերմինի նշանը կախված է նրանից, թե դա դրական է, թե բացասական: Եվ քանի որ մենք չգիտենք, թե դա ինչ է, մենք պետք է երկու պատասխանները գրենք գումարած և մինուսով:

Այժմ, երբ դուք տիրապետել եք հիմնական կետերին և ստացել եք երկրաչափական առաջընթացի հատկության բանաձևը, գտեք, իմանալը և

Համեմատեք ձեր պատասխանները ճիշտ պատասխանների հետ.

Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ կլիներ, եթե մեզ տրվեին ոչ թե ցանկալի թվին կից երկրաչափական առաջընթացի տերմինների արժեքները, այլ նրանից հավասար հեռավորության վրա: Օրինակ, մենք պետք է գտնել, եւ տալ եւ. Կարո՞ղ ենք այս դեպքում օգտագործել մեր ստացած բանաձևը: Փորձեք հաստատել կամ հերքել այս հնարավորությունը նույն կերպ՝ նկարագրելով, թե ինչից է բաղկացած յուրաքանչյուր արժեք, ինչպես դա արեցիք, երբ սկզբնապես ստացաք բանաձևը, ժամը:
Ի՞նչ ստացաք:

Հիմա նորից ուշադիր նայեք։
և համապատասխանաբար.

Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ բանաձևը գործում է ոչ միայն հարեւանների հետերկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկալի տերմիններով, այլ նաև հետ հավասար հեռավորության վրաայն, ինչ փնտրում են անդամները:

Այսպիսով, մեր նախնական բանաձևը ստանում է ձև.

Այսինքն, եթե առաջին դեպքում ասում էինք, հիմա ասում ենք, որ այն կարող է հավասար լինել ցանկացած բնական թվի, որն ավելի փոքր է։ Գլխավորն այն է, որ երկու թվերի համար էլ նույնն է։

Զբաղվել կոնկրետ օրինակներ, ուղղակի չափազանց զգույշ եղեք։

1. , . Գտեք.
2. , . Գտեք.
3. , . Գտեք.

Որոշե՞լ եք: Հուսով եմ, որ դուք չափազանց ուշադիր էիք և նկատեցիք մի փոքրիկ բռնում:

Եկեք համեմատենք արդյունքները.

Առաջին երկու դեպքերում մենք հանգիստ կիրառում ենք վերը նշված բանաձեւը և ստանում ենք հետևյալ արժեքները.

Երրորդ դեպքում, մեզ տրված համարների սերիական համարների մանրակրկիտ ուսումնասիրությունից հետո մենք հասկանում ենք, որ դրանք հավասարապես հեռու չեն մեր փնտրած թվից. դա նախորդ համարն է, բայց հեռացվում է դիրքում, ուստի անհնար է կիրառել բանաձևը.

Ինչպե՞ս լուծել այն: Դա իրականում այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է: Եկեք գրենք, թե ինչից է բաղկացած մեզ տրված յուրաքանչյուր համարը և այն թիվը, որը մենք փնտրում ենք:

Ուրեմն ունենք և. Եկեք տեսնենք, թե ինչ կարող ենք անել նրանց հետ: Առաջարկում եմ բաժանել. Մենք ստանում ենք.

Մենք մեր տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով.

Հաջորդ քայլը, որը մենք կարող ենք գտնել, դրա համար մենք պետք է անենք խորանարդի արմատստացված թվից։

Հիմա նորից նայենք, թե ինչ ունենք։ Մենք ունենք այն, բայց մենք պետք է գտնենք այն, և այն, իր հերթին, հավասար է.

Մենք գտանք բոլոր անհրաժեշտ տվյալները հաշվարկի համար։ Փոխարինեք բանաձևի մեջ.

Մեր պատասխանը. .

Փորձեք ինքներդ լուծել մեկ այլ նմանատիպ խնդիր.
Տրված է՝ ,
Գտնել.

Որքա՞ն եք ստացել: Ես ունեմ - ։

Ինչպես տեսնում եք, ըստ էության ձեզ անհրաժեշտ է հիշեք ընդամենը մեկ բանաձև- . Մնացած բոլորը կարող եք ինքներդ դուրս բերել առանց որևէ դժվարության ցանկացած պահի: Դա անելու համար պարզապես թղթի վրա գրեք ամենապարզ երկրաչափական առաջընթացը և գրեք, թե ինչի է հավասար դրա յուրաքանչյուր թիվը՝ համաձայն վերը նկարագրված բանաձևի:

Երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների գումարը:

Այժմ եկեք նայենք բանաձևերին, որոնք թույլ են տալիս արագորեն հաշվարկել երկրաչափական առաջընթացի պայմանների գումարը տվյալ միջակայքում.

Վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը ստանալու համար վերը նշված հավասարման բոլոր մասերը բազմապատկեք: Մենք ստանում ենք.

Ուշադիր նայեք. ի՞նչ ընդհանրություն ունեն վերջին երկու բանաձևերը: Այդպես է, օրինակ ընդհանուր անդամները և այլն, բացառությամբ առաջին և վերջին անդամի: Փորձենք 1-ին հանել 2-րդ հավասարումից։ Ի՞նչ ստացաք:

Այժմ արտահայտեք երկրաչափական առաջընթացի տերմինը բանաձևի միջոցով և ստացված արտահայտությունը փոխարինեք մեր վերջին բանաձևով.

Խմբավորել արտահայտությունը. Դուք պետք է ստանաք.

Մնում է միայն արտահայտել.

Ըստ այդմ, այս դեպքում.

Ինչ կլինի եթե? Այդ դեպքում ո՞ր բանաձևն է աշխատում: Պատկերացրեք երկրաչափական առաջընթացը ժամը. Ինչպիսի՞ն է նա: Նույնական թվերի շարքը ճիշտ է, ուստի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

Կան բազմաթիվ լեգենդներ ինչպես թվաբանական, այնպես էլ երկրաչափական առաջընթացի մասին: Դրանցից մեկը շախմատի ստեղծող Սեթի լեգենդն է։

Շատերը գիտեն, որ շախմատը հորինել են Հնդկաստանում։ Երբ հինդու թագավորը հանդիպեց նրան, նա հիացած էր նրա խելքով և նրա մեջ հնարավոր դիրքերի բազմազանությամբ: Իմանալով, որ այն հորինել է իր հպատակներից մեկը՝ թագավորը որոշեց անձամբ պարգեւատրել նրան։ Նա իր մոտ կանչեց գյուտարարին և հրամայեց խնդրել նրանից այն ամենը, ինչ ուզում էր՝ խոստանալով կատարել նույնիսկ ամենահմուտ ցանկությունը։

Սետան ժամանակ խնդրեց մտածելու համար, և երբ հաջորդ օրը Սետան հայտնվեց թագավորի առջև, նա զարմացրեց թագավորին իր խնդրանքի աննախադեպ համեստությամբ։ Նա խնդրեց ցորենի հատիկ տալ շախմատի տախտակի առաջին քառակուսու համար, ցորենի հատիկ՝ երկրորդին, ցորենի հատիկը՝ երրորդին, չորրորդին և այլն։

Թագավորը բարկացավ և քշեց Սեթին, ասելով, որ ծառայի խնդրանքը արժանի չէ թագավորի առատաձեռնությանը, բայց խոստացավ, որ ծառան կստանա իր հացահատիկները տախտակի բոլոր քառակուսիների համար:

Եվ հիմա հարցը. օգտագործելով երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանների գումարի բանաձևը, հաշվարկեք, թե քանի հատիկ պետք է ստանա Սեթը:

Սկսենք պատճառաբանել. Քանի որ, ըստ պայմանի, Սեթը ցորենի հատիկ խնդրեց շախմատի տախտակի առաջին քառակուսու համար, երկրորդի, երրորդի, չորրորդի համար և այլն, ապա մենք տեսնում ենք, որ խնդրի մեջ. մենք խոսում ենքերկրաչափական առաջընթացի մասին. Ինչի՞ն է հավասար այս դեպքում:
Ճիշտ։

Շախմատի տախտակի ընդհանուր քառակուսիները. Համապատասխանաբար, . Մենք ունենք բոլոր տվյալները, մնում է այն միացնել բանաձևին և հաշվարկել:

Տրված թվի առնվազն մոտավորապես «սանդղակը» պատկերացնելու համար մենք փոխակերպում ենք՝ օգտագործելով աստիճանի հատկությունները.

Իհարկե, եթե ցանկանում եք, կարող եք հաշվիչ վերցնել և հաշվարկել, թե ինչ թիվ եք ստանում, իսկ եթե ոչ, ապա պետք է ընդունեք իմ խոսքը. արտահայտության վերջնական արժեքը կլինի:
Այն է:

կվինտիլիոն կվադրիլիոն տրիլիոն միլիարդ միլիոն միլիոն հազար:

Phew) Եթե ցանկանում եք պատկերացնել այս թվի հսկայականությունը, ապա գնահատեք, թե որքան մեծ գոմ կպահանջվի հացահատիկի ամբողջ քանակությունը տեղավորելու համար:
Եթե ​​գոմը մ բարձրություն ունի և մ լայնություն, ապա դրա երկարությունը պետք է երկարի կմ, այսինքն. երկու անգամ ավելի հեռու, քան Երկրից Արեգակ:

Եթե ​​թագավորը ուժեղ լիներ մաթեմատիկայի մեջ, նա կարող էր հենց գիտնականին հրավիրել՝ հաշվելու հատիկները, քանի որ միլիոն հատիկ հաշվելու համար նրան առնվազն մեկ օր անխոնջ հաշվելու կարիք կունենար, և հաշվի առնելով, որ անհրաժեշտ է հաշվել քվինտիլիոններ, հացահատիկները պետք է հաշվել նրա ողջ կյանքի ընթացքում:

Հիմա եկեք լուծենք մի պարզ խնդիր, որը ներառում է երկրաչափական առաջընթացի պայմանների գումարը:
5Ա դասարանի աշակերտ Վասյան հիվանդացել է գրիպով, բայց շարունակում է դպրոց գնալ։ Վասյան ամեն օր վարակում է երկու հոգու, որոնք իրենց հերթին վարակում են ևս երկու հոգու և այլն։ Դասարանում միայն մարդիկ են։ Քանի՞ օրից ամբողջ դասարանը հիվանդ կլինի գրիպով:

Այսպիսով, երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին տերմինը Վասյա է, այսինքն՝ մարդ։ Երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ տերմինը երկու մարդ է, ում նա վարակել է իր ժամանելու առաջին օրը: ընդհանուր գումարըառաջընթացի անդամները հավասար են 5Ա-ի ուսանողների թվին: Ըստ այդմ, մենք խոսում ենք մի առաջընթացի մասին, որտեղ.

Եկեք մեր տվյալները փոխարինենք երկրաչափական առաջընթացի պայմանների գումարի բանաձևով.

Օրերի ընթացքում ամբողջ դասարանը կհիվանդանա։ Չե՞ք հավատում բանաձևերին և թվերին: Փորձեք ինքներդ պատկերել ուսանողների «վարակը»: Տեղի է ունեցել? Տեսեք, թե ինչպես է այն ինձ թվում.

Ինքներդ հաշվարկեք, թե քանի օր կպահանջվի, որ ուսանողները հիվանդանան գրիպով, եթե յուրաքանչյուրը վարակի մեկին, իսկ դասարանում ընդամենը մեկ հոգի լինի:

Ի՞նչ արժեք եք ստացել: Պարզվեց, որ բոլորը սկսել են հիվանդանալ մեկ օր անց։

Ինչպես տեսնում եք, նման առաջադրանքը և դրա համար նկարելը բուրգ է հիշեցնում, որում յուրաքանչյուր հաջորդը «բերում է» նոր մարդկանց։ Սակայն վաղ թե ուշ գալիս է մի պահ, երբ վերջինս չի կարող որևէ մեկին գրավել։ Մեր դեպքում, եթե պատկերացնենք, որ դասը մեկուսացված է, ապա անձը փակում է շղթան (): Այսպիսով, եթե անձը ներգրավված է եղել ֆինանսական բուրգում, որում գումար է տրվել, եթե դուք բերել եք երկու այլ մասնակիցների, ապա անձը (կամ ընդհանուր դեպք) ոչ մեկին չէին բերի, և, համապատասխանաբար, նրանք կկորցնեին այն ամենը, ինչ ներդրել էին այս ֆինանսական խարդախության մեջ։

Այն ամենը, ինչ ասվեց վերևում, վերաբերում է նվազող կամ աճող երկրաչափական առաջընթացին, բայց, ինչպես հիշում եք, մենք ունենք հատուկ տեսակ՝ անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա: Ինչպե՞ս հաշվարկել նրա անդամների գումարը: Իսկ ինչո՞ւ է առաջընթացի այս տեսակն ունի որոշակի առանձնահատկություններ: Եկեք միասին պարզենք:

Այսպիսով, նախ, եկեք կրկին նայենք մեր օրինակից անսահման նվազող երկրաչափական առաջընթացի այս գծագրին.

Հիմա եկեք տեսնենք երկրաչափական առաջընթացի գումարի բանաձևը, որը ստացվել է մի փոքր ավելի վաղ.
կամ

Ինչի՞ ենք մենք ձգտում։ Ճիշտ է, գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ այն ձգտում է զրոյի: Այսինքն, ժամը, կլինի գրեթե հավասար, համապատասխանաբար, արտահայտությունը հաշվարկելիս կստանանք համարյա։ Այս առումով, մենք կարծում ենք, որ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը հաշվարկելիս այս փակագիծը կարելի է անտեսել, քանի որ այն հավասար է լինելու։

- բանաձևը անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանների գումարն է:

ԿԱՐԵՎՈՐ!Մենք օգտագործում ենք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների գումարի բանաձևը միայն այն դեպքում, եթե պայմանը բացահայտորեն ասում է, որ մենք պետք է գտնենք գումարը անսահմանանդամների թիվը։

Եթե ​​նշված է կոնկրետ թիվ n, ապա մենք օգտագործում ենք n տերմինների գումարի բանաձևը, նույնիսկ եթե կամ.

Հիմա եկեք պարապենք:

1. Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամների գումարը և.
2. Գտե՛ք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարը և.

Հուսով եմ, որ դուք չափազանց զգույշ էիք: Եկեք համեմատենք մեր պատասխանները.

Այժմ դուք գիտեք ամեն ինչ երկրաչափական առաջընթացի մասին, և ժամանակն է անցնելու տեսությունից պրակտիկային: Քննության ժամանակ հանդիպող երկրաչափական առաջընթացի ամենատարածված խնդիրներն են բարդ տոկոսների հաշվարկման խնդիրները: Սրանք են, որոնց մասին կխոսենք։

Բարդ տոկոսների հաշվարկման խնդիրներ.

Դուք հավանաբար լսել եք այսպես կոչված բարդ տոկոսադրույքի բանաձևի մասին: Հասկանու՞մ եք, թե դա ինչ է նշանակում։ Եթե ​​ոչ, եկեք պարզենք, որովհետև երբ հասկանաք ինքնին գործընթացը, անմիջապես կհասկանաք, թե ինչ կապ ունի դրա հետ երկրաչափական առաջընթացը:

Մենք բոլորս գնում ենք բանկ և գիտենք, որ կան տարբեր պայմաններավանդների վրա. սա ժամկետն է, և հավելյալ սպասարկումը, և տոկոսները երկուսով տարբեր ճանապարհներդրա հաշվարկները՝ պարզ և բարդ:

ՀԵՏ պարզ հետաքրքրությունամեն ինչ քիչ թե շատ պարզ է՝ ավանդի ժամկետի վերջում տոկոսներ են հաշվարկվում մեկ անգամ։ Այսինքն՝ եթե ասենք, որ մեկ տարով 100 ռուբլի ենք մուտքագրում, ապա դրանք կհաշվառվեն միայն տարեվերջին։ Ըստ այդմ, մինչև ավանդի ավարտը մենք կստանանք ռուբլի:

Բաղադրություն հետաքրքրությունը- սա տարբերակ է, որում դա տեղի է ունենում տոկոսների կապիտալացում, այսինքն. ավանդի գումարին դրանց ավելացում և եկամուտների հետագա հաշվարկ ոչ թե սկզբնական, այլ կուտակված ավանդի գումարից: Կապիտալիզացիան անընդհատ չի լինում, բայց որոշակի հաճախականությամբ։ Որպես կանոն, նման ժամանակահատվածները հավասար են և ամենից հաճախ բանկերն օգտագործում են մեկ ամիս, եռամսյակ կամ տարի:

Ենթադրենք, որ մենք ավանդադրում ենք նույն ռուբլին տարեկան, բայց ավանդի ամսական կապիտալիզացիայով: Ինչ ենք մենք անում?

Դուք այստեղ ամեն ինչ հասկանու՞մ եք։ Եթե ​​ոչ, եկեք պարզենք դա քայլ առ քայլ:

Ռուբլի բերեցինք բանկ։ Մինչեւ ամսվա վերջ մենք մեր հաշվին պետք է ունենանք գումար, որը բաղկացած է մեր ռուբլուց գումարած դրանց տոկոսագումարները, այսինքն.

Համաձայնվել?

Մենք կարող ենք այն հանել փակագծերից, ապա ստանում ենք.

Համաձայն եմ, այս բանաձեւն արդեն ավելի նման է մեր սկզբում գրածին։ Մնում է միայն պարզել տոկոսները

Խնդրի հայտարարության մեջ մեզ ասվում է տարեկան դրույքաչափերի մասին։ Ինչպես գիտեք, մենք չենք բազմապատկվում, մենք տոկոսները փոխարկում ենք տասնորդականներ, այն է:

Ճիշտ? Հիմա կարող եք հարցնել՝ որտեղի՞ց է այդ թիվը: Շատ պարզ!
Կրկնում եմ՝ խնդրի հայտարարության մեջ ասվում է ՏԱՐԵԿԱՆտոկոսներ, որոնք գոյանում են ԱՄՍԱԿԱՆ. Ինչպես գիտեք, մեկ տարի հետո, համապատասխանաբար, բանկը մեզնից կգանձի տարեկան տոկոսագումարի մի մասը.

Հասկացա՞ր: Հիմա փորձեք գրել, թե ինչ տեսք կունենա բանաձևի այս մասը, եթե ասեմ, որ տոկոսները հաշվարկվում են օրական։
Դուք հասցրե՞լ եք: Եկեք համեմատենք արդյունքները.

Լավ արեցիր։ Վերադառնանք մեր առաջադրանքին՝ գրեք, թե երկրորդ ամսում որքան է մուտքագրվելու մեր հաշվին, հաշվի առնելով, որ կուտակված ավանդի գումարի վրա տոկոսներ են հաշվարկվում։
Ահա թե ինչ եմ ստացել.

Կամ, այլ կերպ ասած.

Կարծում եմ, որ դուք արդեն նկատել եք օրինաչափություն և տեսել եք այս ամենի մեջ երկրաչափական առաջընթաց։ Գրեք, թե ինչին է հավասարվելու նրա անդամը, կամ, այլ կերպ ասած, ամսվա վերջում ինչ գումար ենք ստանալու։
Արդյո՞ք Եկեք ստուգենք!

Ինչպես տեսնում եք, եթե մեկ տարի բանկում գումար դնեք պարզ տոկոսադրույքով, ապա կստանաք ռուբլի, իսկ եթե բարդ տոկոսադրույքով, ապա կստանաք ռուբլի: Օգուտը փոքր է, բայց դա տեղի է ունենում միայն երրորդ տարվա ընթացքում, բայց ավելի երկար ժամանակահատվածի համար կապիտալիզացիան շատ ավելի շահավետ է.

Դիտարկենք բարդ տոկոսների հետ կապված խնդրի մեկ այլ տեսակ: Այն բանից հետո, ինչ դուք հասկացել եք, դա ձեզ համար տարրական կլինի։ Այսպիսով, առաջադրանքը.

Zvezda ընկերությունը սկսել է ներդրումներ կատարել արդյունաբերության մեջ 2000 թվականին՝ կապիտալը դոլարով: 2001 թվականից սկսած ամեն տարի ստացել է նախորդ տարվա կապիտալին հավասար շահույթ։ Որքա՞ն շահույթ կստանա «Զվեզդա» ընկերությունը 2003 թվականի վերջին, եթե շահույթը չհանվի շրջանառությունից:

Zvezda ընկերության կապիտալը 2000 թ.
- Zvezda ընկերության կապիտալը 2001 թ.
- Zvezda ընկերության կապիտալը 2002 թ.
- Zvezda ընկերության կապիտալը 2003 թ.

Կամ կարող ենք հակիրճ գրել.

Մեր գործի համար.

2000, 2001, 2002 և 2003 թթ.

Համապատասխանաբար.
ռուբլի
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս հարցում մենք բաժանում չունենք ոչ ըստ, ոչ ըստ, քանի որ տոկոսը տրվում է ՏԱՐԵԿԱՆ և այն հաշվարկվում է ՏԱՐԵԿԱՆ։ Այսինքն՝ բարդ տոկոսների վերաբերյալ խնդիր կարդալիս ուշադրություն դարձրեք, թե ինչ տոկոս է տրված և ինչ ժամկետում է այն հաշվարկվում, և միայն դրանից հետո անցեք հաշվարկներին։
Այժմ դուք գիտեք ամեն ինչ երկրաչափական առաջընթացի մասին:

Ուսուցում.

1. Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինը, եթե հայտնի է, որ և
2. Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամների գումարը, եթե հայտնի է, որ և
3. MDM Capital ընկերությունը սկսել է ներդրումներ կատարել արդյունաբերության մեջ 2003 թվականին՝ կապիտալը դոլարով: 2004 թվականից սկսած ամեն տարի ստացել է նախորդ տարվա կապիտալին հավասար շահույթ։ MSK Cash Flows ընկերությունը արդյունաբերության մեջ սկսել է ներդրումներ կատարել 2005 թվականին 10,000 ԱՄՆ դոլարի չափով, սկսելով շահույթ ստանալ 2006 թվականի չափով: Քանի՞ դոլարով է մի ընկերության կապիտալը մյուսից մեծ 2007 թվականի վերջի դրությամբ, եթե շահույթը շրջանառությունից չհանվի։

Պատասխանները:

1. Քանի որ խնդրի հայտարարությունը չի ասում, որ առաջընթացը անվերջ է, և պահանջվում է գտնել դրա տերմինների որոշակի քանակի գումարը, հաշվարկն իրականացվում է ըստ բանաձևի.
2. 
   MDM Capital ընկերություն.

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 թթ.
   - ավելանում է 100%-ով, այսինքն՝ 2 անգամ։
   Համապատասխանաբար.
   ռուբլի
   MSK Cash Flows ընկերություն.

   2005, 2006, 2007 թթ.
   - ավելանում է, այսինքն՝ անգամներով։
   Համապատասխանաբար.
   ռուբլի
   ռուբլի

Եկեք ամփոփենք.

1) Երկրաչափական պրոգրեսիան ( ) թվային հաջորդականություն է, որի առաջին անդամը տարբերվում է զրոյից, և յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին՝ բազմապատկված նույն թվով։ Այս թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար։

2) Երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների հավասարումը .

3) կարող է վերցնել ցանկացած արժեք, բացի և.

• եթե, ապա առաջընթացի բոլոր հետագա տերմիններն ունեն նույն նշանը՝ նրանք դրական են;
• եթե, ապա առաջընթացի բոլոր հետագա պայմանները այլընտրանքային նշաններ;
• երբ - պրոգրեսիան կոչվում է անսահման նվազող:

4) , at - երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկություն (հարակից տերմիններ)

կամ
, ժամը (հավասար հեռավոր պայմաններով)

Երբ գտնեք այն, մի մոռացեք դա պետք է լինի երկու պատասխան.

Օրինակ,

5) Երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների գումարը հաշվարկվում է բանաձևով.
կամ

Եթե ​​առաջընթացը անսահմանորեն նվազում է, ապա.
կամ

ԿԱՐԵՎՈՐ!Մենք օգտագործում ենք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների գումարի բանաձևը միայն այն դեպքում, եթե պայմանը բացահայտորեն ասում է, որ մենք պետք է գտնենք անսահման թվով անդամների գումարը:

6) բաղադրյալ տոկոսով առաջադրանքները նույնպես հաշվարկվում են երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ անդամի բանաձևով, պայմանով, որ. կանխիկշրջանառությունից հանված չեն.

ԵՐԿՐԱԶԳԱՅԻՆ ՊՐՈԳՐԵՍԻԱ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ

Երկրաչափական առաջընթաց( ) թվային հաջորդականություն է, որի առաջին անդամը տարբերվում է զրոյից, և յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին՝ բազմապատկված նույն թվով։ Այս համարը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար.

Երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարկարող է վերցնել ցանկացած արժեք, բացի և.

• Եթե, ապա առաջընթացի բոլոր հետագա տերմիններն ունեն նույն նշանը, ապա դրանք դրական են.
• եթե, ապա առաջընթացի բոլոր հաջորդ անդամները փոխարինում են.
• երբ - պրոգրեսիան կոչվում է անսահման նվազող:

Երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների հավասարումը - .

Երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների գումարըհաշվարկված բանաձևով.
կամ

Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը շատ պարզ է. Ե՛վ իմաստով, և՛ ընդհանուր տեսքով։ Բայց n-րդ տերմինի բանաձևի վրա կան բոլոր տեսակի խնդիրներ՝ շատ պարզունակից մինչև բավականին լուրջ: Իսկ մեր ծանոթության ընթացքում երկուսն էլ անպայման կդիտարկենք։ Դե արի ծանոթանա՞նք :)

Այսպիսով, սկսելու համար իրականում բանաձեւըn

Ահա նա.

b n = բ 1 · qn -1

Բանաձևը պարզապես բանաձև է, ոչ մի գերբնական բան: Այն նույնիսկ ավելի պարզ և կոմպակտ տեսք ունի, քան նմանատիպ բանաձևը: Բանաձևի իմաստը նույնպես պարզ է, ինչպես ֆետրյա կոշիկները։

Այս բանաձևը թույլ է տալիս գտնել երկրաչափական պրոգրեսիայի ՑԱՆԿԱՑԱԾ անդամ ԻՐ ԹՎԱՆՈՎ » n".

Ինչպես տեսնում եք, իմաստը լրիվ անալոգիա է թվաբանական առաջընթացի հետ: Մենք գիտենք n թիվը, մենք կարող ենք նաև հաշվել այս թվի տակ գտնվող տերմինը: Ով ուզում ենք։ Առանց բազմիցս բազմապատկելու «ք»-ով շատ ու շատ անգամներ: Սա է ամբողջ իմաստը:)

Ես հասկանում եմ, որ պրոգրեսիաների հետ աշխատելու այս մակարդակում բանաձևում ներառված բոլոր քանակությունները պետք է արդեն պարզ լինեն ձեզ համար, բայց ես դեռ իմ պարտքն եմ համարում վերծանել յուրաքանչյուրը։ Ամեն դեպքում:

Այսպիսով, ահա մենք գնում ենք.

բ 1 – առաջիներկրաչափական առաջընթացի ժամկետ;

ք – ;

n- անդամի համարը;

b n – n-րդ (nրդ)երկրաչափական առաջընթացի տերմին.

Այս բանաձևը միացնում է ցանկացած երկրաչափական առաջընթացի չորս հիմնական պարամետրերը. բn, բ 1 , քԵվ n. Եվ առաջընթացի բոլոր խնդիրները պտտվում են այս չորս հիմնական գործիչների շուրջ:

«Ինչպե՞ս է այն հեռացվում»:– Հետաքրքիր հարց եմ լսում... Տարրական: Նայել!

Ինչին հավասար է երկրորդառաջընթացի անդամ. Ոչ մի խնդիր! Մենք ուղղակիորեն գրում ենք.

b 2 = b 1 ·q

Ինչ վերաբերում է երրորդ անդամին: Խնդիր չէ նաև! Մենք բազմապատկում ենք երկրորդ անդամը ևս մեկ անգամք.

Սրա նման:

B 3 = b 2 q

Այժմ հիշենք, որ երկրորդ անդամն իր հերթին հավասար է b 1 ·q-ի և այս արտահայտությունը փոխարինենք մեր հավասարությամբ.

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Մենք ստանում ենք.

Բ 3 = b 1 ·ք 2

Այժմ կարդանք մեր գրառումը ռուսերեն. երրորդանդամը հավասար է առաջին անդամին բազմապատկված q in-ով երկրորդաստիճաններ. Դուք հասկանու՞մ եք: Դեռ ոչ? Լավ, ևս մեկ քայլ:

Ո՞րն է չորրորդ ժամկետը: Ամեն ինչ նույնն է! Բազմապատկել նախորդ(այսինքն երրորդ տերմինը) q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Ընդամենը:

Բ 4 = b 1 ·ք 3

Եվ կրկին ռուսերեն ենք թարգմանում. չորրորդանդամը հավասար է առաջին անդամին բազմապատկված q in-ով երրորդաստիճաններ.

Եվ այսպես շարունակ։ Այսպիսով, ինչպես է դա: Դուք բռնե՞լ եք նախշը: Այո՛ Ցանկացած թվով անդամի համար q նույնական գործակիցների թիվը (այսինքն՝ հայտարարի աստիճանը) միշտ կլինի. մեկով պակաս ցանկալի անդամի թվիցn.

Հետևաբար, մեր բանաձևը կլինի առանց տարբերակների.

b n =բ 1 · qn -1

Այսքանը։)

Դե, եկեք լուծենք խնդիրները, ենթադրում եմ:)

Բանաձևի խնդիրների լուծումnերկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը:

Սկսենք, ինչպես միշտ, բանաձևի ուղղակի կիրառումից։ Ահա բնորոշ խնդիր.

Երկրաչափական պրոգրեսիայում հայտնի է, որ բ 1 = 512 և ք = -1/2. Գտե՛ք առաջընթացի տասներորդ անդամը:

Իհարկե, այս խնդիրը կարելի է լուծել առանց որևէ բանաձևի։ Ուղիղ երկրաչափական պրոգրեսիայի իմաստով։ Բայց մենք պետք է ջերմացնենք n-րդ կիսամյակի բանաձևով, այնպես չէ՞: Ահա մենք տաքանում ենք։

Բանաձևի կիրառման մեր տվյալները հետևյալն են.

Հայտնի է առաջին անդամը. Սա 512 է։

բ 1 = 512.

Հայտնի է նաև առաջընթացի հայտարարը. ք = -1/2.

Մնում է պարզել, թե որն է n անդամի թիվը: Ոչ մի խնդիր! Մեզ հետաքրքրու՞մ է տասներորդ ժամկետը։ Այսպիսով, մենք n-ի փոխարեն տասը փոխարինում ենք ընդհանուր բանաձևում:

Եվ ուշադիր հաշվարկեք թվաբանությունը.

Պատասխան՝ -1

Ինչպես տեսնում եք, առաջընթացի տասներորդ ժամկետը մինուս է ստացվել։ Զարմանալի ոչինչ չկա. մեր առաջընթացի հայտարարը -1/2 է, այսինքն. բացասականթիվ։ Եվ սա մեզ ասում է, որ մեր առաջընթացի նշանները փոխարինվում են, այո):

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Ահա նմանատիպ խնդիր, բայց հաշվարկների առումով մի փոքր ավելի բարդ։

Երկրաչափական պրոգրեսիայում հայտնի է, որ.

բ 1 = 3

Գտե՛ք առաջընթացի տասներեքերորդ անդամը:

Ամեն ինչ նույնն է, միայն թե այս անգամ առաջընթացի հայտարարն է իռացիոնալ. Երկուսի արմատ. Դե, դա լավ է: Բանաձևը ունիվերսալ բան է, այն կարող է գլուխ հանել ցանկացած թվից։

Մենք աշխատում ենք ուղղակիորեն ըստ բանաձևի.

Բանաձեւը, իհարկե, աշխատեց այնպես, ինչպես պետք է, բայց... ահա, որտեղ ոմանք խրվում են։ Ի՞նչ անել հետո արմատի հետ: Ինչպե՞ս արմատ բարձրացնել մինչև տասներկուերորդ ուժը:

Ինչպես-ինչպես... Դուք պետք է հասկանաք, որ ցանկացած բանաձև, իհարկե, լավ բան է, բայց նախորդ բոլոր մաթեմատիկայի իմացությունը չեղյալ չի հայտարարվում: Ինչպե՞ս կառուցել: Այո, հիշեք աստիճանների հատկությունները: Արմատը վերածենք կոտորակային աստիճանև – ըստ աստիճանի աստիճանի բարձրացման բանաձևի:

Սրա նման:

Պատասխան՝ 192

Եվ այսքանը։)

Ո՞րն է n-րդ տերմինի բանաձևի ուղղակի կիրառման հիմնական դժվարությունը: Այո՛ Հիմնական դժվարությունն այն է աշխատել աստիճանների հետ!Մասնավորապես, էքսպոենտացիա բացասական թվեր, կոտորակներ, արմատներ և նմանատիպ կառուցվածքներ։ Այսպիսով, նրանք, ովքեր խնդիրներ ունեն դրա հետ, խնդրում ենք կրկնել աստիճանները և դրանց հատկությունները: Թե չէ այս թեման էլ կդանդաղեցնեք, հա...)

Հիմա եկեք լուծենք որոնման բնորոշ խնդիրները բանաձևի տարրերից մեկը, եթե մնացած բոլորը տրվեն։ Նման խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար բաղադրատոմսը միատեսակ է և ահավոր պարզ. գրեք բանաձևըn-րդ անդամն ընդհանրապես։Հենց վիճակի կողքի նոթատետրում։ Եվ հետո պայմանից մենք պարզում ենք, թե ինչ է մեզ տրված և ինչն է պակասում։ Եվ մենք արտահայտում ենք բանաձեւից պահանջվող արժեքը. Բոլորը!

Օրինակ, նման անվնաս խնդիր.

3 հայտարարով երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը 567 է։ Գտե՛ք այս պրոգրեսիայի առաջին անդամը։

Ոչ մի բարդ բան. Մենք աշխատում ենք ուղղակիորեն ըստ ուղղագրության:

Գրենք n-րդ անդամի բանաձևը։

b n = բ 1 · qn -1

Ի՞նչ է մեզ տրվել։ Նախ, առաջընթացի հայտարարը տրվում է. ք = 3.

Ավելին, մեզ տրված է հինգերորդ անդամ: բ 5 = 567 .

Բոլորը. Ո՛չ։ Մեզ տրվել է նաև թիվ n! Սա հինգ է՝ n = 5:

Հուսով եմ՝ արդեն հասկացաք, թե ինչ կա ձայնագրության մեջ բ 5 = 567 միանգամից երկու պարամետր թաքնված է. սա ինքնին հինգերորդ տերմինն է (567) և դրա համարը (5): Ես արդեն խոսել եմ այս մասին նմանատիպ դասում, բայց կարծում եմ, որ այստեղ նույնպես արժե նշել:)

Այժմ մենք մեր տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով.

567 = բ 1 ·3 5-1

Կատարում ենք թվաբանություն, պարզեցնում և ստանում ենք մի պարզ բան գծային հավասարում:

81 բ 1 = 567

Մենք լուծում և ստանում ենք.

բ 1 = 7

Ինչպես տեսնում եք, առաջին տերմինը գտնելու հետ կապված խնդիրներ չկան: Բայց երբ որոնում է հայտարարը քև թվեր nՀնարավոր են նաև անակնկալներ. Եվ դուք նույնպես պետք է պատրաստ լինեք դրանց (անակնկալների), այո:

Օրինակ, այս խնդիրը.

Դրական հայտարարով երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը 162 է, իսկ այս պրոգրեսիայի առաջին անդամը՝ 2։ Գտե՛ք պրոգրեսիայի հայտարարը։

Այս անգամ մեզ տրվում են առաջին և հինգերորդ անդամները, և խնդրում ենք գտնել առաջընթացի հայտարարը: Գնացի՜նք։

Մենք գրում ենք բանաձևըnանդամ!

b n = բ 1 · qn -1

Մեր նախնական տվյալները կլինեն հետևյալը.

բ 5 = 162

բ 1 = 2

n = 5

Արժեքը բացակայում է ք. Ոչ մի խնդիր! Եկեք գտնենք այն հիմա:) Մենք փոխարինում ենք այն ամենը, ինչ գիտենք բանաձևով:

Մենք ստանում ենք.

162 = 2ք 5-1

2 ք 4 = 162

ք 4 = 81

Չորրորդ աստիճանի պարզ հավասարում. Իսկ հիմա - ուշադիր!Վրա այս փուլումլուծումներ, շատ ուսանողներ անմիջապես ուրախությամբ հանում են արմատը (չորրորդ աստիճանի) և ստանում պատասխանը ք=3 .

Սրա նման:

q4 = 81

ք = 3

Բայց իրականում սա անավարտ պատասխան է։ Ավելի ճիշտ՝ թերի։ Ինչո՞ւ։ Բանն այն է, որ պատասխանը ք = -3 նույնպես հարմար է. (-3) 4-ը նույնպես կլինի 81:

Դա պայմանավորված է նրանով, որ ուժի հավասարումը x n = ամիշտ ունեցել է երկու հակադիր արմատներժամը նույնիսկn . Պլյուսով և մինուսով.

Երկուսն էլ հարմար են։

Օրինակ՝ որոշելիս (այսինքն. երկրորդաստիճաններ)

x 2 = 9

Ինչ-ինչ պատճառներով դուք չեք զարմանում արտաքինից երկուարմատներ x=±3? Նույնն է այստեղ։ Եվ ցանկացած այլի հետ նույնիսկաստիճանը (չորրորդ, վեցերորդ, տասներորդ և այլն) կլինի նույնը: Մանրամասները՝ թեմայում

Ահա թե ինչու ճիշտ լուծումկլինի այսպես.

ք 4 = 81

ք= ± 3

Լավ, մենք դասավորել ենք նշանները: Ո՞րն է ճիշտ՝ գումարած, թե մինուս: Դե, եկեք նորից կարդանք խնդրի հայտարարությունը փնտրելու համար լրացուցիչ տեղեկություն. Իհարկե, դա կարող է չլինել, բայց այս խնդրի մեջ նման տեղեկություն հասանելի.Մեր պայմանը պարզ տեքստով նշում է, որ տրված է առաջընթաց դրական հայտարար.

Հետևաբար պատասխանն ակնհայտ է.

ք = 3

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Ի՞նչ եք կարծում, ինչ տեղի կունենար, եթե խնդրի հայտարարությունն այսպիսին լիներ.

Երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը 162 է, իսկ այս պրոգրեսիայի առաջին անդամը՝ 2։ Գտե՛ք պրոգրեսիայի հայտարարը։

Որն է տարբերությունը? Այո՛ Վիճակով Ոչինչհայտարարի նշանի մասին չի նշվում։ Ո՛չ ուղղակի, ո՛չ անուղղակի։ Եվ այստեղ խնդիրն արդեն կլիներ երկու լուծում!

ք = 3 Եվ ք = -3

Այո այո! Ե՛վ պլյուսով, և՛ մինուսով։) Մաթեմատիկորեն այս փաստը կնշանակի, որ կան երկու առաջընթաց, որոնք համապատասխանում են խնդրի պայմաններին։ Եվ յուրաքանչյուրն ունի իր հայտարարը: Պարզապես զվարճանալու համար, վարժվեք և գրեք յուրաքանչյուրի առաջին հինգ տերմինները:)

Այժմ փորձենք գտնել անդամի համարը: Այս խնդիրն ամենադժվարն է, այո։ Բայց նաև ավելի կրեատիվ։)

Հաշվի առնելով երկրաչափական առաջընթացը.

3; 6; 12; 24; …

Այս առաջընթացի ո՞ր թիվն է 768 թիվը:

Առաջին քայլը դեռ նույնն է. գրեք բանաձևըnանդամ!

b n = բ 1 · qn -1

Եվ հիմա, ինչպես միշտ, մենք փոխարինում ենք մեզ հայտնի տվյալները: Հմ... չի ստացվում։ Որտե՞ղ է առաջին տերմինը, որտեղ է հայտարարը, որտեղ է մնացած ամեն ինչ:

Որտե՞ղ, որտե՞ղ... Ինչո՞ւ են մեզ պետք աչքերը: Թարթել թարթիչները. Այս անգամ պրոգրեսիան մեզ տրվում է ուղղակի ձևով հաջորդականություններ.Կարո՞ղ ենք տեսնել առաջին անդամին: Մենք տեսնում ենք! Սա եռակի է (b 1 = 3): Ինչ վերաբերում է հայտարարին: Մենք դա դեռ չենք տեսնում, բայց շատ հեշտ է հաշվել: Եթե, իհարկե, հասկանաք...

Այսպիսով, մենք հաշվում ենք: Անմիջապես ըստ երկրաչափական պրոգրեսիայի նշանակության՝ վերցնում ենք նրա ցանկացած տերմին (բացի առաջինից) և բաժանում նախորդի վրա։

Համենայն դեպս այսպես.

ք = 24/12 = 2

Էլ ի՞նչ գիտենք։ Մենք նաև գիտենք այս պրոգրեսիայի որոշ անդամ, որը հավասար է 768-ի: Որոշ n թվի տակ.

b n = 768

Մենք չգիտենք նրա համարը, բայց մեր խնդիրը հենց նրան գտնելն է:) Այսպիսով, մենք փնտրում ենք: Մենք արդեն ներբեռնել ենք բանաձևում փոխարինելու համար անհրաժեշտ բոլոր տվյալները: Ինքներդ չգիտեք:)

Այստեղ մենք փոխարինում ենք.

768 = 3 2n -1

Կատարենք տարրականները՝ երկու կողմերը բաժանենք երեքի և վերաշարադրենք հավասարումը սովորական ձևով՝ անհայտը ձախ կողմում է, հայտնիը՝ աջ:

Մենք ստանում ենք.

2 n -1 = 256

Սա հետաքրքիր հավասարում է։ Մենք պետք է գտնենք «n»: Ի՞նչ, անսովոր: Այո, ես չեմ վիճում: Իրականում սա ամենապարզ բանն է։ Այն այդպես է կոչվում, քանի որ անհայտը (in այս դեպքումայս թիվը n) ծախսերը ցուցիչաստիճաններ.

Երկրաչափական պրոգրեսիայի մասին սովորելու փուլում (սա իններորդ դասարան է) քեզ չեն սովորեցնում, թե ինչպես լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումներ, այո... Սա ավագ դպրոցի թեմա է։ Բայց ոչ մի սարսափելի բան չկա: Նույնիսկ եթե չգիտեք, թե ինչպես են լուծվում նման հավասարումները, եկեք փորձենք գտնել մեր n, առաջնորդվելով պարզ տրամաբանությամբ և ողջախոհությամբ։

Եկեք սկսենք խոսել: Ձախ կողմում մենք ունենք դյուզ որոշակի չափով. Մենք դեռ չգիտենք, թե կոնկրետ ինչ է այս աստիճանը, բայց դա սարսափելի չէ: Բայց մենք հաստատ գիտենք, որ այս աստիճանը հավասար է 256-ի: Այսպիսով, մենք հիշում ենք, թե որքանով է երկուսը մեզ տալիս 256: Հիշու՞մ եք: Այո՛ IN ութերորդաստիճաններ!

256 = 2 8

Եթե ​​դուք չեք հիշում կամ աստիճանները ճանաչելու հետ կապված խնդիրներ ունեք, ապա դա նույնպես նորմալ է. պարզապես հաջորդաբար քառակուսի երկու, խորանարդ, չորրորդ, հինգերորդ և այլն: Ընտրությունը, ըստ էության, բայց այս մակարդակում բավականին լավ կաշխատի։

Այսպես թե այնպես մենք ստանում ենք.

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Այսպիսով, 768-ը իններորդմեր առաջընթացի անդամ։ Վերջ, խնդիրը լուծված է։)

Պատասխան՝ 9

Ինչ? Ձանձրալի? Հոգնե՞լ եք տարրական բաներից: Համաձայնվել։ Եվ ես նույնպես։ Եկեք անցնենք հաջորդ մակարդակին:)

Ավելի բարդ առաջադրանքներ.

Հիմա եկեք լուծենք ավելի դժվար խնդիրներ: Ոչ թե գերծանրքաշային, այլ այնպիսիք, որոնք մի փոքր աշխատանք են պահանջում պատասխանին հասնելու համար:

Օրինակ, այս մեկը.

Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի երկրորդ անդամը, եթե նրա չորրորդ անդամը -24 է, իսկ յոթերորդ անդամը՝ 192։

Սա ժանրի դասական է։ Հայտնի են առաջընթացի երկու տարբեր տերմիններ, սակայն պետք է գտնել մեկ այլ տերմին: Ավելին, բոլոր անդամները հարեւան ՉԵՆ։ Ինչը սկզբում շփոթեցնող է, այո...

Ինչպես ևս, նման խնդիրները լուծելու համար մենք կքննարկենք երկու մեթոդ. Առաջին մեթոդը ունիվերսալ է. Հանրահաշիվ. Աշխատում է անթերի ցանկացած աղբյուրի տվյալների հետ: Ահա թե ինչու մենք կսկսենք դրանից:)

Մենք նկարագրում ենք յուրաքանչյուր տերմին ըստ բանաձևի nանդամ!

Ամեն ինչ ճիշտ նույնն է, ինչ թվաբանական առաջընթացի դեպքում: Միայն այս անգամ ենք աշխատում ուրիշընդհանուր բանաձեւ. Այսքանը։) Բայց էությունը մեկն է՝ վերցնում ենք ու Հերթով, մեկ - մեկՄենք մեր նախնական տվյալները փոխարինում ենք n-րդ անդամի բանաձևով: Յուրաքանչյուր անդամի համար՝ իրենցը:

Չորրորդ ժամկետի համար մենք գրում ենք.

բ 4 = բ 1 · ք 3

-24 = բ 1 · ք 3

Ուտել։ Մեկ հավասարումը պատրաստ է:

Յոթերորդ կիսամյակի համար մենք գրում ենք.

բ 7 = բ 1 · ք 6

192 = բ 1 · ք 6

Ընդհանուր առմամբ, մենք ստացանք երկու հավասարում նույն առաջընթացը .

Մենք դրանցից համակարգ ենք հավաքում.

Չնայած իր սպառնալից տեսքին, համակարգը բավականին պարզ է: Ամենաակնառու լուծումը պարզ փոխարինումն է։ Մենք արտահայտում ենք բ 1 վերին հավասարումից և այն փոխարինիր ստորինով.

Ներքևի հավասարումը մի փոքր շուռ տալուց հետո (նվազեցնելով հզորությունները և բաժանելով -24-ի), մենք ստանում ենք.

ք 3 = -8

Ի դեպ, այս նույն հավասարմանը կարելի է հասնել ավելի պարզ ձևով։ Որ մեկը? Հիմա ես ձեզ ցույց կտամ մեկ այլ գաղտնիք, բայց շատ գեղեցիկ, հզոր և օգտակար միջոցլուծումներ նման համակարգերի համար: Այնպիսի համակարգեր, որոնց հավասարումները ներառում են աշխատում է միայն.Գոնե մեկում։ Կանչել բաժանման մեթոդմի հավասարումը մյուսին:

Այսպիսով, մենք ունենք համակարգ.

Ձախ կողմում գտնվող երկու հավասարումներում - աշխատանք, իսկ աջ կողմում ընդամենը թիվ է։ Սա շատ լավ նշան։) Վերցնենք ու... բաժանենք, ասենք, ստորին հավասարումը վերինի վրա։ Ինչ է նշանակում, եկեք մի հավասարումը բաժանենք մյուսի վրա?Շատ պարզ։ Վերցնենք ձախ կողմ մեկ հավասարում (ստորին) և բաժանելնրա վրա ձախ կողմմեկ այլ հավասարում (վերին): Աջ կողմը նման է. աջ կողմմեկ հավասարում բաժանելվրա աջ կողմուրիշ.

Բաժանման ամբողջ գործընթացը հետևյալն է.

Այժմ, նվազեցնելով այն ամենը, ինչ կարելի է կրճատել, մենք ստանում ենք.

ք 3 = -8

Ի՞նչն է այս մեթոդի լավը: Այո, քանի որ նման բաժանման գործընթացում ամեն վատ և անհարմար կարող է ապահով կերպով կրճատվել և մնում է միանգամայն անվնաս հավասարում: Ահա թե ինչու է այդքան կարևոր ունենալ միայն բազմապատկումհամակարգի հավասարումներից առնվազն մեկում: Բազմապատկումներ չկան-նվազեցնելու բան չկա, այո...

Ընդհանրապես, այս մեթոդը (ինչպես համակարգերի լուծման շատ այլ ոչ տրիվիալ մեթոդներ) նույնիսկ առանձին դասի է արժանի։ Ես անպայման կանդրադառնամ դրան ավելի մանրամասն: Մի օր…

Այնուամենայնիվ, կարևոր չէ, թե կոնկրետ ինչպես եք լուծում համակարգը, ամեն դեպքում, այժմ մենք պետք է լուծենք ստացված հավասարումը.

ք 3 = -8

Խնդիր չկա. հանեք խորանարդի արմատը և պատրաստ եք:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ արդյունահանման ժամանակ այստեղ գումարած/մինուս դնելու կարիք չկա: Մեր արմատը կենտ (երրորդ) աստիճանի է։ Եվ պատասխանը նույնպես նույնն է՝ այո։)

Այսպիսով, առաջընթացի հայտարարը գտնվել է. Մինուս երկու. Հիանալի Գործընթացը շարունակվում է։)

Առաջին անդամի համար (ասենք, վերին հավասարումից) ստանում ենք.

Հիանալի Մենք գիտենք առաջին անդամը, գիտենք հայտարարը: Եվ հիմա մենք հնարավորություն ունենք գտնելու պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ։ Այդ թվում՝ երկրորդը։)

Երկրորդ տերմինի համար ամեն ինչ բավականին պարզ է.

բ 2 = բ 1 · ք= 3·(-2) = -6

Պատասխան՝ -6

Այսպիսով, մենք բաժանեցինք խնդրի լուծման հանրահաշվական մեթոդը: Դժվա՞ր: Իրականում ոչ, համաձայն եմ: Երկար ու ձանձրալի? Այո, միանշանակ։ Բայց երբեմն դուք կարող եք զգալիորեն նվազեցնել աշխատանքի ծավալը: Դրա համար կա գրաֆիկական մեթոդ.Լավ հին և մեզ ծանոթ:)

Եկեք խնդիր նկարենք։

Այո՛ Հենց այդպես. Կրկին պատկերում ենք մեր առաջընթացը թվային առանցքի վրա: Պետք չէ հետևել քանոնին, պետք չէ հավասար ընդմիջումներ պահպանել տերմինների միջև (որն, ի դեպ, նույնը չի լինի, քանի որ առաջընթացը երկրաչափական է), այլ պարզապես. սխեմատիկորենԵկեք գծենք մեր հաջորդականությունը.

Ես ստացա այսպես.

Այժմ նայեք նկարին և պարզեք այն: Քանի՞ նույնական գործոն է առանձնանում «ք»-ը չորրորդԵվ յոթերորդանդամներ? Ճիշտ է, երեք!

Հետևաբար, մենք լիակատար իրավունք ունենք գրելու.

-24·ք 3 = 192

Այստեղից այժմ հեշտ է գտնել q.

ք 3 = -8

ք = -2

Դա հիանալի է, մենք արդեն ունենք հայտարարը մեր գրպանում: Հիմա նորից նայենք նկարին. քանի՞ նման հայտարարի միջև է նստած երկրորդԵվ չորրորդանդամներ? Երկու! Հետևաբար, այս տերմինների միջև կապը գրանցելու համար մենք կկառուցենք հայտարարը քառակուսի.

Այսպիսով, մենք գրում ենք.

բ 2 · ք 2 = -24 , որտեղ բ 2 = -24/ ք 2

Մենք մեր գտած հայտարարը փոխարինում ենք b 2 արտահայտությամբ, հաշվում և ստանում.

Պատասխան՝ -6

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ շատ ավելի պարզ և արագ է, քան համակարգի միջոցով: Ավելին, այստեղ մենք ընդհանրապես կարիք չունեինք հաշվել առաջին կիսամյակը: Ընդհանրապես։)

Ահա այսպիսի պարզ և տեսողական ճանապարհ-լույս: Բայց այն ունի նաև մի լուրջ թերություն. Դուք գուշակեցի՞ք։ Այո՛ Դա լավ է միայն առաջընթացի շատ կարճ հատվածների համար: Նրանք, որտեղ մեզ հետաքրքրող անդամների միջև հեռավորությունները շատ մեծ չեն։ Բայց մնացած բոլոր դեպքերում արդեն դժվար է նկարել, այո... Հետո խնդիրը լուծում ենք վերլուծական եղանակով, համակարգի միջոցով։) Իսկ համակարգերը ունիվերսալ բաներ են։ Նրանք կարող են կարգավորել ցանկացած թվեր:

Մեկ այլ էպիկական մարտահրավեր.

Երկրաչափական պրոգրեսիայի երկրորդ անդամը 10-ով ավելի է առաջինից, իսկ երրորդ անդամը 30-ով ավելի է երկրորդից։ Գտեք առաջընթացի հայտարարը:

Ի՞նչ, թույն: Ընդհանրապես! Ամեն ինչ նույնն է։ Կրկին մենք թարգմանում ենք խնդրի դրույթը մաքուր հանրահաշվի:

1) Մենք նկարագրում ենք յուրաքանչյուր տերմին ըստ բանաձևի nանդամ!

Երկրորդ տերմինը՝ b 2 = b 1 q

Երրորդ տերմինը՝ b 3 = b 1 q 2

2) Խնդրի հայտարարությունից գրում ենք անդամների կապը:

Մենք կարդում ենք պայմանը. «Երկրաչափական պրոգրեսիայի երկրորդ անդամը 10-ով մեծ է առաջինից»:Դադարեցրեք, սա արժեքավոր է:

Այսպիսով, մենք գրում ենք.

բ 2 = բ 1 +10

Եվ մենք այս արտահայտությունը թարգմանում ենք մաքուր մաթեմատիկայի.

բ 3 = բ 2 +30

Ստացանք երկու հավասարում. Եկեք դրանք միավորենք համակարգի մեջ.

Համակարգը պարզ տեսք ունի. Բայց տառերի համար չափազանց շատ տարբեր ցուցանիշներ կան: Երկրորդ և երրորդ անդամների փոխարեն նրանց արտահայտությունները փոխարինենք առաջին անդամով և հայտարարով։ Իզո՞ւր էինք դրանք նկարել։

Մենք ստանում ենք.

Բայց նման համակարգն այլեւս նվեր չէ, այո... Ինչպե՞ս լուծել սա։ Ցավոք, բարդությունների լուծման համընդհանուր գաղտնի հմայքը չկա ոչ գծայինՄաթեմատիկայում համակարգեր չկան և չեն կարող լինել։ Դա ֆանտաստիկ է! Բայց առաջին բանը, որ պետք է ձեր մտքով անցնի, երբ փորձում եք կոտրել նման կոշտ ընկույզը, դա պարզելն է Բայց չէ՞ որ համակարգի հավասարումներից մեկը կրճատելի է գեղեցիկ տեսարան, թույլ տալով, օրինակ, հեշտությամբ արտահայտել փոփոխականներից մեկը մյուսով:

Եկեք պարզենք այն: Համակարգի առաջին հավասարումը ակնհայտորեն ավելի պարզ է, քան երկրորդը: Մենք նրան տանջելու ենք։) Չփորձե՞նք առաջին հավասարումից ինչ - որ բանարտահայտել միջոցով ինչ - որ բան?Քանի որ մենք ուզում ենք գտնել հայտարարը ք, ապա մեզ համար առավել ձեռնտու կլինի արտահայտվել բ 1 միջոցով ք.

Այսպիսով, եկեք փորձենք անել այս ընթացակարգը առաջին հավասարմամբ, օգտագործելով լավ հինները.

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Բոլորը! Այսպիսով, մենք արտահայտեցինք ավելորդտվեք մեզ փոփոխականը (b 1) միջոցով անհրաժեշտ(ք). Այո, դա մեր ստացած ամենապարզ արտահայտությունը չէ: Ինչ-որ կոտորակ... Բայց մեր համակարգը կարգին մակարդակի է, այո։)

Տիպիկ. Մենք գիտենք՝ ինչ անել։

Մենք գրում ենք ՕՁ (Պարտադիր!) :

q ≠ 1

Մենք ամեն ինչ բազմապատկում ենք հայտարարով (q-1) և ջնջում ենք բոլոր կոտորակները.

10 ք 2 = 10 ք + 30(ք-1)

Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք տասը, բացում փակագծերը և հավաքում ենք ամեն ինչ ձախից.

ք 2 – 4 ք + 3 = 0

Մենք լուծում ենք արդյունքը և ստանում ենք երկու արմատ.

ք 1 = 1

ք 2 = 3

Կա միայն մեկ վերջնական պատասխան. ք = 3 .

Պատասխան՝ 3

Ինչպես տեսնում եք, երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի հետ կապված խնդիրների մեծ մասի լուծման ճանապարհը միշտ նույնն է. կարդալ: ուշադիրխնդրի պայմանը և օգտագործելով n-րդ անդամի բանաձևը թարգմանում ենք ամբողջը օգտակար տեղեկատվությունմաքուր հանրահաշիվ:

Այսինքն:

1) Մենք նկարագրում ենք խնդրի մեջ տրված յուրաքանչյուր տերմին՝ ըստ բանաձևիnրդ անդամ.

2) Խնդրի պայմաններից մենք անդամների միջև կապը թարգմանում ենք մաթեմատիկական ձևի: Մենք կազմում ենք հավասարում կամ հավասարումների համակարգ:

3) Մենք լուծում ենք ստացված հավասարումը կամ հավասարումների համակարգը, գտնում ենք պրոգրեսիայի անհայտ պարամետրերը:

4) Ոչ միանշանակ պատասխանի դեպքում ուշադիր կարդացեք խնդրի հայտարարությունը լրացուցիչ տեղեկությունների որոնման համար (եթե այդպիսիք կան): Մենք նաև ստուգում ենք ստացված պատասխանը DL-ի պայմաններով (եթե այդպիսիք կան):

Այժմ թվարկենք այն հիմնական խնդիրները, որոնք առավել հաճախ հանգեցնում են սխալների երկրաչափական առաջընթացի խնդիրների լուծման գործընթացում:

1. Տարրական թվաբանություն. Գործողություններ կոտորակների և բացասական թվերի հետ:

2. Եթե ​​այս երեք կետերից գոնե մեկի հետ կապված խնդիրներ կան, ապա այս թեմայում անխուսափելիորեն սխալներ կանեք։ Ցավոք սրտի... Ուրեմն մի ծուլացեք ու կրկնեք վերը նշվածը։ Եվ հետևեք հղումներին - գնացեք: Երբեմն դա օգնում է:)

Փոփոխված և կրկնվող բանաձևեր.

Հիմա եկեք նայենք մի քանի տիպիկ քննության խնդիրներին՝ պայմանի ավելի քիչ ծանոթ ներկայացմամբ: Այո, այո, դուք կռահեցիք: Սա փոփոխվածԵվ կրկնվող n-րդ տերմինի բանաձևերը. Մենք արդեն հանդիպել ենք նման բանաձևերի և աշխատել թվաբանական պրոգրեսիայի վրա։ Այստեղ ամեն ինչ նման է. Էությունը նույնն է.

Օրինակ, այս խնդիրը OGE-ից.

Երկրաչափական առաջընթացը տրվում է բանաձևով b n = 3 2 n . Գտե՛ք նրա առաջին և չորրորդ անդամների գումարը:

Այս անգամ առաջընթացը մեզ համար այնքան էլ սովորական չէ։ Ինչ-որ բանաձևի տեսքով. Եւ ինչ? Այս բանաձեւն է նաև բանաձևnանդամ!Ես և դու գիտենք, որ n-րդ անդամի բանաձևը կարելի է գրել և՛ ընդհանուր ձևով, և՛ տառերով, և՛ համար կոնկրետ առաջընթաց. ՀԵՏ կոնկրետառաջին անդամ և հայտարար.

Մեր դեպքում մեզ, փաստորեն, տրվում է երկրաչափական առաջընթացի ընդհանուր տերմինի բանաձև՝ հետևյալ պարամետրերով.

բ 1 = 6

ք = 2

Եկեք ստուգենք?) Գրենք n-րդ անդամի բանաձևը ընդհանուր ձևով և փոխարինենք դրանով. բ 1 Եվ ք. Մենք ստանում ենք.

b n = բ 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Մենք պարզեցնում ենք՝ օգտագործելով ֆակտորիզացիան և հզորությունների հատկությունները, և ստանում ենք.

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ արդար է։ Բայց մեր նպատակը կոնկրետ բանաձևի ածանցումը ցույց տալը չէ: Սա այդպես է, լիրիկական շեղում։ Զուտ հասկանալու համար։) Մեր նպատակն է խնդիրը լուծել պայմանի մեջ մեզ տրված բանաձեւով։ Հասկացա՞ք:) Այսպիսով, մենք ուղղակիորեն աշխատում ենք փոփոխված բանաձևի հետ:

Մենք հաշվում ենք առաջին կիսամյակը. Եկեք փոխարինենք n=1 ընդհանուր բանաձևի մեջ.

բ 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Սրա նման։ Ի դեպ, ես չեմ ծուլանա և ևս մեկ անգամ ձեր ուշադրությունը հրավիրեմ առաջին կիսամյակի հաշվարկի հետ կապված տիպիկ սխալի վրա: ՉԵ՛, նայելով բանաձևին b n= 3 2n, անմիջապես շտապեք գրել, որ առաջին տերմինը եռյակ է։ Սա կոպիտ սխալ է, այո...)

Շարունակենք. Եկեք փոխարինենք n=4 և հաշվել չորրորդ անդամը.

բ 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Եվ վերջապես, մենք հաշվարկում ենք պահանջվող գումարը.

բ 1 + բ 4 = 6+48 = 54

Պատասխան՝ 54

Մեկ այլ խնդիր.

Երկրաչափական առաջընթացը որոշվում է հետևյալ պայմաններով.

բ 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Գտե՛ք առաջընթացի չորրորդ անդամը:

Այստեղ առաջընթացը տրվում է կրկնվող բանաձևով. Դե, լավ:) Ինչպես աշխատել այս բանաձևի հետ -Մենք էլ գիտենք.

Այսպիսով, մենք գործում ենք: Քայլ առ քայլ։

1) Հաշվեք երկու հաջորդականառաջընթացի անդամ։

Առաջին ժամկետն արդեն տրված է մեզ։ Մինուս յոթ. Բայց հաջորդ՝ երկրորդ տերմինը կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել՝ օգտագործելով կրկնության բանաձևը։ Եթե ​​հասկանում եք դրա գործողության սկզբունքը, իհարկե։)

Այսպիսով, մենք հաշվում ենք երկրորդ ժամկետը ըստ հայտնի առաջինի.

բ 2 = 3 բ 1 = 3·(-7) = -21

2) Հաշվի՛ր առաջընթացի հայտարարը

Ոչ մի խնդիր էլ. Ուղիղ, եկեք բաժանենք երկրորդԴիկ վրա առաջին։

Մենք ստանում ենք.

ք = -21/(-7) = 3

3) Գրի՛ր բանաձևըnրդ անդամը սովորական ձևով և հաշվարկիր անհրաժեշտ անդամը:

Այսպիսով, մենք գիտենք առաջին անդամը և հայտարարը: Այսպիսով, մենք գրում ենք.

b n= -7·3n -1

բ 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Պատասխան՝ -189

Ինչպես տեսնում եք, երկրաչափական պրոգրեսիայի համար նման բանաձևերի հետ աշխատելը ըստ էության չի տարբերվում թվաբանական պրոգրեսիայից: Կարևոր է միայն հասկանալ այս բանաձևերի ընդհանուր էությունն ու իմաստը։ Դե, դուք նույնպես պետք է հասկանաք երկրաչափական պրոգրեսիայի իմաստը, այո:) Եվ հետո հիմար սխալներ չեն լինի:

Դե, արի ինքներս որոշենք?)

Տաքացման համար շատ հիմնական առաջադրանքներ.

1. Տրվում է երկրաչափական պրոգրեսիա, որում բ 1 = 243, ա ք = -2/3. Գտե՛ք առաջընթացի վեցերորդ անդամը:

2. Երկրաչափական պրոգրեսիայի ընդհանուր տերմինը տրվում է բանաձևով b n = 5∙2 n +1 . Գտե՛ք այս առաջընթացի վերջին եռանիշ անդամի թիվը։

3. Երկրաչափական առաջընթացը տրվում է պայմաններով.

բ 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Գտե՛ք առաջընթացի հինգերորդ անդամը:

Մի փոքր ավելի բարդ.

4. Հաշվի առնելով երկրաչափական առաջընթացը.

բ 1 =2048; ք =-0,5

Ինչի՞ է հավասար վեցերորդ բացասական անդամը:

Ինչն է թվում գերծանրքաշային: Ընդհանրապես։ Տրամաբանությունը և երկրաչափական պրոգրեսիայի իմաստի ըմբռնումը ձեզ կփրկեն: Դե, n-րդ կիսամյակի բանաձեւը, իհարկե։

5. Երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը -14 է, իսկ ութերորդը՝ 112։Գտե՛ք պրոգրեսիայի հայտարարը։

6. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին և երկրորդ անդամների գումարը 75 է, իսկ երկրորդ և երրորդ անդամները՝ 150։Գտե՛ք պրոգրեսիայի վեցերորդ անդամը։

Պատասխաններ (խառնաշփոթ)՝ 6; -3888; -1; 800; -32; 448։

Սա գրեթե բոլորն է: Մեզ մնում է միայն հաշվել սովորել երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարըայո բացահայտել անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիաև դրա չափը։ Ի դեպ, շատ հետաքրքիր և անսովոր բան. Այս մասին ավելի շատ հաջորդ դասերում։)

Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար n համապատասխանել իրական թվին a n , հետո ասում են՝ տրված է թվերի հաջորդականություն :

ա 1 , ա 2 , ա 3 , . . . , a n , . . . .

Այսպիսով, թվերի հաջորդականությունը բնական փաստարկի ֆունկցիա է։

Թիվ ա 1 կանչեց հաջորդականության առաջին անդամը , թիվ ա 2 — հաջորդականության երկրորդ տերմինը , թիվ ա 3 — երրորդ եւ այլն։ Թիվ a n կանչեց n-րդ կիսամյակհաջորդականություններ , և բնական թիվ n — նրա համարը .

Երկու հարակից անդամներից a n Եվ a n +1 հաջորդականության անդամ a n +1 կանչեց հետագա (դեպի a n ), Ա a n — նախորդ (դեպի a n +1 ).

Հերթականություն սահմանելու համար անհրաժեշտ է նշել մեթոդ, որը թույլ է տալիս գտնել հաջորդականության անդամ ցանկացած թվով:

Հաճախ հաջորդականությունը նշվում է օգտագործելով n-րդ տերմինի բանաձևերը , այսինքն՝ բանաձեւ, որը թույլ է տալիս որոշել հաջորդականության անդամը իր թվով։

Օրինակ,

Դրական կենտ թվերի հաջորդականությունը կարող է տրվել բանաձևով

a n= 2n- 1,

և հերթափոխման հաջորդականությունը 1 Եվ -1 - բանաձեւ

բ n = (-1)n +1 . ◄

Հերթականությունը կարելի է որոշել կրկնվող բանաձեւ, այսինքն՝ բանաձև, որն արտահայտում է հաջորդականության ցանկացած անդամ՝ սկսած որոշներից՝ նախորդ (մեկ կամ մի քանի) անդամների միջոցով։

Օրինակ,

Եթե ա 1 = 1 , Ա a n +1 = a n + 5

ա 1 = 1,

ա 2 = ա 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ա 3 = ա 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ա 4 = ա 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ա 5 = ա 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Եթե ա 1= 1, ա 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , ապա թվային հաջորդականության առաջին յոթ անդամները սահմանվում են հետևյալ կերպ.

ա 1 = 1,

ա 2 = 1,

ա 3 = ա 1 + ա 2 = 1 + 1 = 2,

ա 4 = ա 2 + ա 3 = 1 + 2 = 3,

ա 5 = ա 3 + ա 4 = 2 + 3 = 5,

ա 6 = ա 4 + ա 5 = 3 + 5 = 8,

ա 7 = ա 5 + ա 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Հերթականությունները կարող են լինել եզրափակիչ Եվ անվերջ .

Հաջորդականությունը կոչվում է վերջնական , եթե այն ունի վերջավոր թվով անդամներ։ Հաջորդականությունը կոչվում է անվերջ , եթե այն ունի անսահման շատ անդամներ։

Օրինակ,

երկնիշ բնական թվերի հաջորդականություն.

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

եզրափակիչ.

Պարզ թվերի հաջորդականություն.

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

անվերջ. ◄

Հաջորդականությունը կոչվում է աճող , եթե նրա անդամներից յուրաքանչյուրը, սկսած երկրորդից, մեծ է նախորդից։

Հաջորդականությունը կոչվում է նվազում է , եթե նրա յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, պակաս է նախորդից։

Օրինակ,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - աճող հաջորդականություն;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - նվազող հաջորդականություն. ◄

Այն հաջորդականությունը, որի տարրերը չեն նվազում թվի աճի հետ, կամ, ընդհակառակը, չեն ավելանում, կոչվում է միապաղաղ հաջորդականություն .

Միապաղաղ հաջորդականությունները, մասնավորապես, աճող և նվազող հաջորդականություններ են։

Թվաբանական առաջընթաց

Թվաբանական առաջընթաց հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին, որին գումարվում է նույն թիվը։

ա 1 , ա 2 , ա 3 , . . . , a n, . . .

թվաբանական առաջընթաց է, եթե այդպիսիք կան բնական թիվ n պայմանը բավարարված է.

a n +1 = a n + դ,

Որտեղ դ - որոշակի թիվ.

Այսպիսով, տրված թվաբանական առաջընթացի հաջորդ և նախորդ անդամների միջև տարբերությունը միշտ հաստատուն է.

ա 2 - ա 1 = ա 3 - ա 2 = . . . = a n +1 - a n = դ.

Թիվ դ կանչեց թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.

Թվաբանական առաջընթացը սահմանելու համար բավական է նշել դրա առաջին անդամը և տարբերությունը։

Օրինակ,

Եթե ա 1 = 3, դ = 4 , ապա հաջորդականության առաջին հինգ անդամները գտնում ենք հետևյալ կերպ.

ա 1 =3,

ա 2 = ա 1 + դ = 3 + 4 = 7,

ա 3 = ա 2 + դ= 7 + 4 = 11,

ա 4 = ա 3 + դ= 11 + 4 = 15,

ա 5 = ա 4 + դ= 15 + 4 = 19. ◄

Առաջին անդամով թվաբանական առաջընթացի համար ա 1 և տարբերությունը դ նրա n

a n = ա 1 + (n- 1)դ.

Օրինակ,

գտնել թվաբանական առաջընթացի երեսուներորդ անդամը

1, 4, 7, 10, . . .

ա 1 =1, դ = 3,

ա 30 = ա 1 + (30 - 1)դ = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = ա 1 + (n- 2)դ,

a n= ա 1 + (n- 1)դ,

a n +1 = ա 1 + րդ,

ապա ակնհայտորեն

Թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ և հաջորդ անդամների թվաբանական միջինին:

a, b և c թվերը որոշ թվաբանական առաջընթացի հաջորդական անդամներ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից մեկը հավասար է մյուս երկուսի միջին թվաբանականին:

Օրինակ,

a n = 2n- 7 , թվաբանական պրոգրեսիա է։

Եկեք օգտագործենք վերը նշված հայտարարությունը. Մենք ունենք:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Հետևաբար,

◄

Նշենք, որ n Թվաբանական առաջընթացի երրորդ անդամը կարելի է գտնել ոչ միայն միջոցով ա 1 , այլեւ ցանկացած նախկինում ա կ

a n = ա կ + (n- կ)դ.

Օրինակ,

Համար ա 5 կարելի է գրել

ա 5 = ա 1 + 4դ,

ա 5 = ա 2 + 3դ,

ա 5 = ա 3 + 2դ,

ա 5 = ա 4 + դ. ◄

a n = ա ն-կ + կդ,

a n = a n+k - կդ,

ապա ակնհայտորեն

Թվաբանական առաջընթացի ցանկացած անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է այս թվաբանական առաջընթացի հավասարապես բաժանված անդամների գումարի կեսին:

Բացի այդ, ցանկացած թվաբանական առաջընթացի համար գործում է հետևյալ հավասարությունը.

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Օրինակ,

թվաբանական առաջընթացի մեջ

1) ա 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ա 9 + ա 11 )/2;

2) 28 = ա 10 = ա 3 + 7դ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ա 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ա 7 + ա 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, որովհետեւ

ա 2 + ա 12= 4 + 34 = 38,

ա 5 + ա 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Ս ն= ա 1 + ա 2 + ա 3 + . . .+ a n,

առաջին n Թվաբանական առաջընթացի անդամները հավասար են ծայրահեղ անդամների գումարի կեսի և անդամների քանակի արտադրյալին.

Այստեղից, մասնավորապես, հետևում է, որ եթե ձեզ անհրաժեշտ է ամփոփել պայմանները

ա կ, ա կ +1 , . . . , a n,

ապա նախորդ բանաձևը պահպանում է իր կառուցվածքը.

Օրինակ,

թվաբանական առաջընթացի մեջ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

Ս 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = Ս 10 - Ս 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Եթե ​​տրված է թվաբանական պրոգրեսիա, ապա մեծությունները ա 1 , a n, դ, nԵվՍ n միացված է երկու բանաձևով.

Հետևաբար, եթե տրված են այս մեծություններից երեքի արժեքները, ապա մյուս երկու մեծությունների համապատասխան արժեքները որոշվում են այս բանաձևերից՝ միավորված երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի մեջ:

Թվաբանական առաջընթացը միապաղաղ հաջորդականություն է: Որտեղ:

• Եթե դ > 0 , ապա այն աճում է;
• Եթե դ < 0 , ապա այն նվազում է;
• Եթե դ = 0 , ապա հաջորդականությունը կլինի անշարժ:

Երկրաչափական առաջընթաց

Երկրաչափական առաջընթաց հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին, որը բազմապատկվում է նույն թվով։

բ 1 , բ 2 , բ 3 , . . . , b n, . . .

երկրաչափական պրոգրեսիա է, եթե ցանկացած բնական թվի համար n պայմանը բավարարված է.

b n +1 = b n · ք,

Որտեղ ք ≠ 0 - որոշակի թիվ.

Այսպիսով, տվյալ երկրաչափական պրոգրեսիայի հաջորդ անդամի հարաբերակցությունը նախորդին հաստատուն թիվ է.

բ 2 / բ 1 = բ 3 / բ 2 = . . . = b n +1 / b n = ք.

Թիվ ք կանչեց երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար.

Երկրաչափական պրոգրեսիա սահմանելու համար բավական է նշել դրա առաջին անդամը և հայտարարը։

Օրինակ,

Եթե բ 1 = 1, ք = -3 , ապա հաջորդականության առաջին հինգ անդամները գտնում ենք հետևյալ կերպ.

բ 1 = 1,

բ 2 = բ 1 · ք = 1 · (-3) = -3,

բ 3 = բ 2 · ք= -3 · (-3) = 9,

բ 4 = բ 3 · ք= 9 · (-3) = -27,

բ 5 = բ 4 · ք= -27 · (-3) = 81. ◄

բ 1 և հայտարար ք նրա n Երրորդ տերմինը կարելի է գտնել բանաձևով.

b n = բ 1 · qn -1 .

Օրինակ,

գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի յոթերորդ անդամը 1, 2, 4, . . .

բ 1 = 1, ք = 2,

բ 7 = բ 1 · ք 6 = 1 2 6 = 64. ◄

բ n-1 = բ 1 · qn -2 ,

b n = բ 1 · qn -1 ,

b n +1 = բ 1 · qn,

ապա ակնհայտորեն

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

Երկրաչափական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ և հաջորդ անդամների երկրաչափական միջինին (համամասնականին):

Քանի որ հակառակը նույնպես ճշմարիտ է, հետևում է հետևյալ հայտարարությունը.

a, b և c թվերը ինչ-որ երկրաչափական առաջընթացի հաջորդական անդամներ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից մեկի քառակուսին հավասար է մյուս երկուսի արտադրյալին, այսինքն՝ թվերից մեկը մյուս երկուսի երկրաչափական միջինն է։

Օրինակ,

Փաստենք, որ բանաձևով տրված հաջորդականությունը b n= -3 2 n , երկրաչափական պրոգրեսիա է։ Եկեք օգտագործենք վերը նշված հայտարարությունը. Մենք ունենք:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Հետևաբար,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

որն ապացուցում է ցանկալի հայտարարությունը: ◄

Նշենք, որ n Երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ տերմինը կարելի է գտնել ոչ միայն միջոցով բ 1 , այլեւ ցանկացած նախորդ անդամ բ կ , որի համար բավական է օգտագործել բանաձեւը

b n = բ կ · qn - կ.

Օրինակ,

Համար բ 5 կարելի է գրել

բ 5 = բ 1 · ք 4 ,

բ 5 = բ 2 · ք 3,

բ 5 = բ 3 · ք 2,

բ 5 = բ 4 · ք. ◄

b n = բ կ · qn - կ,

b n = b n - կ · ք կ,

ապա ակնհայտորեն

b n 2 = b n - կ· b n + կ

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի քառակուսին, սկսած երկրորդից, հավասար է այս պրոգրեսիայի հավասարապես բաժանված անդամների արտադրյալին:

Բացի այդ, ցանկացած երկրաչափական առաջընթացի համար հավասարությունը ճշմարիտ է.

բ մ· b n= բ կ· բ լ,

մ+ n= կ+ լ.

Օրինակ,

երկրաչափական առաջընթացի մեջ

1) բ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = բ 5 · բ 7 ;

2) 1024 = բ 11 = բ 6 · ք 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) բ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = բ 4 · բ 8 ;

4) բ 2 · բ 7 = բ 4 · բ 5 , որովհետեւ

բ 2 · բ 7 = 2 · 64 = 128,

բ 4 · բ 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Ս ն= բ 1 + բ 2 + բ 3 + . . . + b n

առաջին n երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամներ հայտարարով ք ≠ 0 հաշվարկված բանաձևով.

Եւ երբ ք = 1 - ըստ բանաձևի

Ս ն= նբ 1

Նկատի ունեցեք, որ եթե Ձեզ անհրաժեշտ է ամփոփել պայմանները

բ կ, բ կ +1 , . . . , b n,

ապա օգտագործվում է բանաձևը.

Օրինակ,

երկրաչափական առաջընթացի մեջ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

Ս 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = Ս 10 - Ս 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Եթե ​​տրված է երկրաչափական պրոգրեսիա, ապա մեծությունները բ 1 , b n, ք, nԵվ Ս ն միացված է երկու բանաձևով.

Հետևաբար, եթե տրված են այս մեծություններից որևէ երեքի արժեքները, ապա մյուս երկու մեծությունների համապատասխան արժեքները որոշվում են այս բանաձևերից՝ միավորված երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգում:

Առաջին անդամով երկրաչափական առաջընթացի համար բ 1 և հայտարար ք տեղի են ունենում հետևյալը միապաղաղության հատկություններ :

• առաջընթացը աճում է, եթե բավարարվում է հետևյալ պայմաններից մեկը.

բ 1 > 0 Եվ ք> 1;

բ 1 < 0 Եվ 0 < ք< 1;

• Առաջընթացը նվազում է, եթե բավարարվում է հետևյալ պայմաններից մեկը.

բ 1 > 0 Եվ 0 < ք< 1;

բ 1 < 0 Եվ ք> 1.

Եթե ք< 0 , ապա երկրաչափական պրոգրեսիան փոփոխական է՝ կենտ թվերով նրա անդամներն ունեն նույն նշանը, ինչ առաջին անդամը, իսկ զույգ թվերով անդամները՝ հակառակ նշանը։ Պարզ է, որ փոփոխական երկրաչափական պրոգրեսիան միապաղաղ չէ:

Առաջինի արտադրանքը n Երկրաչափական առաջընթացի պայմանները կարող են հաշվարկվել բանաձևով.

Պ ն= բ 1 · բ 2 · բ 3 · . . . · b n = (բ 1 · b n) n / 2 .

Օրինակ,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա կոչվում է անսահման երկրաչափական պրոգրեսիա, որի հայտարարի մոդուլը փոքր է 1 , այն է

|ք| < 1 .

Նկատի ունեցեք, որ անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիան չի կարող նվազող հաջորդականություն լինել: Այն համապատասխանում է առիթին

1 < ք< 0 .

Նման հայտարարի դեպքում հաջորդականությունը փոփոխական է։ Օրինակ,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը անվանել այն թիվը, որին անսահմանափակ է մոտենում առաջինների գումարը n պրոգրեսիայի անդամներ՝ թվի անսահմանափակ աճով n . Այս թիվը միշտ վերջավոր է և արտահայտվում է բանաձևով

Օրինակ,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացների փոխհարաբերությունները

Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացները սերտորեն կապված են: Դիտարկենք ընդամենը երկու օրինակ։

ա 1 , ա 2 , ա 3 , . . . դ , Դա

բ ա 1 , բ ա 2 , բ ա 3 , . . . բ դ .

Օրինակ,

1, 3, 5, . . . - թվաբանական առաջընթաց տարբերությամբ 2 Եվ

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - երկրաչափական առաջընթաց հայտարարով 7 2 . ◄

բ 1 , բ 2 , բ 3 , . . . - երկրաչափական առաջընթաց հայտարարով ք , Դա

log a b 1, գրանցամատյան ա բ 2, log a b 3, . . . - թվաբանական առաջընթաց տարբերությամբ մուտք աք .

Օրինակ,

2, 12, 72, . . . - երկրաչափական առաջընթաց հայտարարով 6 Եվ

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - թվաբանական առաջընթաց տարբերությամբ lg 6 . ◄

Դիտարկենք որոշակի շարք.

7 28 112 448 1792...

Միանգամայն պարզ է, որ նրա ցանկացած տարրի արժեքը նախորդից ուղիղ չորս անգամ մեծ է։ Նշանակում է, այս շարքըառաջընթաց է։

Երկրաչափական պրոգրեսիան թվերի անսահման հաջորդականություն է։ հիմնական հատկանիշըայն է, որ հաջորդ թիվը ստացվում է նախորդից՝ բազմապատկելով ինչ-որ կոնկրետ թվով։ Սա արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով.

a z +1 =a z ·q, որտեղ z-ն ընտրված տարրի թիվն է:

Համապատասխանաբար, z ∈ Ն.

Դպրոցում երկրաչափական պրոգրեսիա ուսումնասիրելու շրջանը 9-րդ դասարանն է։ Օրինակները կօգնեն ձեզ հասկանալ հայեցակարգը.

0.25 0.125 0.0625...

Այս բանաձևի հիման վրա առաջընթացի հայտարարը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

Ո՛չ q, ո՛չ b z-ն չեն կարող զրո լինել: Նաև պրոգրեսիայի տարրերից յուրաքանչյուրը չպետք է հավասար լինի զրոյի:

Ըստ այդմ, հաջորդ թիվը պարզելու համար անհրաժեշտ է վերջինը բազմապատկել q-ով:

Այս առաջընթացը սահմանելու համար դուք պետք է նշեք դրա առաջին տարրը և հայտարարը: Սրանից հետո հնարավոր է գտնել հետագա տերմիններից որևէ մեկը և դրանց գումարը։

Սորտերի

Կախված q և a 1-ից, այս առաջընթացը բաժանվում է մի քանի տեսակների.

• Եթե ​​և՛ a 1-ը, և՛ q-ը մեկից մեծ են, ապա այդպիսի հաջորդականությունը մեծանում է յուրաքանչյուրի հետ հաջորդ տարրըերկրաչափական առաջընթաց. Դրա օրինակը ներկայացված է ստորև:

Օրինակ՝ a 1 =3, q=2 - երկու պարամետրերն էլ մեկից մեծ են:

Այնուհետև թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել այսպես.

3 6 12 24 48 ...

• Եթե ​​|ք| մեկից փոքր է, այսինքն՝ դրանով բազմապատկելը համարժեք է բաժանմանը, ապա նմանատիպ պայմաններով առաջընթացը նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա է։ Դրա օրինակը ներկայացված է ստորև:

Օրինակ՝ a 1 =6, q=1/3 - a 1-ը մեկից մեծ է, q փոքր է:

Այնուհետև թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

6 2 2/3 ... - ցանկացած տարր 3 անգամ մեծ է նրան հաջորդող տարրից:

• Փոփոխական նշան. Եթե ​​ք<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Օրինակ՝ a 1 = -3, q = -2 - երկու պարամետրերն էլ զրոյից փոքր են:

Այնուհետև թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել այսպես.

3, 6, -12, 24,...

Բանաձևեր

Երկրաչափական պրոգրեսիաների հարմար օգտագործման համար կան բազմաթիվ բանաձևեր.

• Z-տերմինի բանաձև. Թույլ է տալիս հաշվարկել տարրը որոշակի թվի տակ՝ առանց նախորդ թվերը հաշվարկելու:

Օրինակ:ք = 3, ա 1 = 4. Պահանջվում է հաշվել առաջընթացի չորրորդ տարրը:

Լուծում:ա 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Առաջին տարրերի գումարը, որոնց թիվը հավասար է զ. Թույլ է տալիս հաշվարկել հաջորդականության բոլոր տարրերի գումարը մինչևա զներառական։

Քանի որ (1-ք) հայտարարի մեջ է, ապա (1 - q)≠ 0, հետևաբար q-ն հավասար չէ 1-ի:

Նշում. եթե q=1, ապա առաջընթացը կլինի անվերջ կրկնվող թվերի շարք:

Երկրաչափական առաջընթացի գումար, օրինակներ.ա 1 = 2, ք= -2. Հաշվեք S5.

Լուծում:Ս 5 = 22 - հաշվարկ, օգտագործելով բանաձևը.

• Գումարը, եթե |ք| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Օրինակ:ա 1 = 2 , ք= 0,5. Գտեք գումարը.

Լուծում:Սզ = 2 · = 4

Սզ = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Որոշ հատկություններ.

• Բնութագրական հատկություն. Եթե ​​հետեւյալ պայմանը աշխատում է ցանկացածի համարզ, ապա տրված թվերի շարքը երկրաչափական պրոգրեսիա է.

ա զ 2 = ա զ -1 · աz+1

• Նաև երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած թվի քառակուսին գտնում ենք՝ ավելացնելով տվյալ շարքի ցանկացած այլ թվերի քառակուսիները, եթե դրանք հավասար են այս տարրից:

ա զ 2 = ա զ - տ 2 + ա զ + տ 2 , Որտեղտ- այս թվերի միջև եղած հեռավորությունը:

• Տարրերտարբերվում են քմեկ անգամ.
• Պրոգրեսիայի տարրերի լոգարիթմները նույնպես կազմում են պրոգրեսիա, բայց թվաբանական, այսինքն՝ նրանցից յուրաքանչյուրը որոշակի թվով մեծ է նախորդից։

Որոշ դասական խնդիրների օրինակներ

Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչ է երկրաչափական առաջընթացը, կարող են օգնել 9-րդ դասի լուծումներով օրինակները:

• Պայմաններ:ա 1 = 3, ա 3 = 48. Գտեքք.

Լուծում. յուրաքանչյուր հաջորդ տարր ավելի մեծ է, քան նախորդըք մեկ անգամ.Անհրաժեշտ է որոշ տարրեր արտահայտել մյուսների մասով՝ օգտագործելով հայտարար։

Հետևաբար,ա 3 = ք 2 · ա 1

Փոխարինման ժամանակք= 4

• Պայմաններ:ա 2 = 6, ա 3 = 12. Հաշվիր S 6.

Լուծում:Դա անելու համար պարզապես գտեք q՝ առաջին տարրը և փոխարինեք այն բանաձևով:

ա 3 = ք· ա 2 , հետևաբար,ք= 2

ա 2 = ք · a 1,Ահա թե ինչու ա 1 = 3

S 6 = 189

• · ա 1 = 10, ք= -2. Գտեք առաջընթացի չորրորդ տարրը:

Լուծում. դա անելու համար բավական է չորրորդ տարրն արտահայտել առաջինի և հայտարարի միջոցով:

a 4 = q 3· ա 1 = -80

Դիմումի օրինակ.

• Բանկի հաճախորդը ավանդ է ներդրել 10000 ռուբլու չափով, որի պայմաններով ամեն տարի հաճախորդին դրա 6%-ը կավելացվի մայր գումարին: Որքա՞ն գումար կմնա հաշվին 4 տարի հետո:

Լուծում Նախնական գումարը 10 հազար ռուբլի է: Սա նշանակում է, որ ներդրումից մեկ տարի անց հաշիվը կունենա 10,000 + 10,000 գումար · 0,06 = 10000 1,06

Ըստ այդմ, հաշվում գումարը մեկ տարի անց կարտահայտվի հետևյալ կերպ.

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Այսինքն՝ ամեն տարի այդ գումարն ավելանում է 1,06 անգամ։ Սա նշանակում է, որ 4 տարի հետո հաշվում միջոցների չափը գտնելու համար բավական է գտնել պրոգրեսիայի չորրորդ տարրը, որը տրվում է 10 հազարի հավասար առաջին տարրով և 1,06 հավասար հայտարարով։

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Գումարների հաշվարկման հետ կապված խնդիրների օրինակներ.

Երկրաչափական պրոգրեսիան օգտագործվում է տարբեր խնդիրների դեպքում։ Գումարը գտնելու օրինակ կարելի է բերել հետևյալ կերպ.

ա 1 = 4, ք= 2, հաշվարկիրՍ 5.

Լուծում. հաշվարկի համար անհրաժեշտ բոլոր տվյալները հայտնի են, պարզապես անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել բանաձևով:

Ս 5 = 124

• ա 2 = 6, ա 3 = 18. Հաշվի՛ր առաջին վեց տարրերի գումարը:

Լուծում:

Գեոմի մեջ. առաջընթաց, յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը q անգամ մեծ է նախորդից, այսինքն՝ գումարը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ տարրըա 1 և հայտարարք.

ա 2 · ք = ա 3

ք = 3

Նմանապես, դուք պետք է գտնեքա 1 , իմանալովա 2 Եվք.

ա 1 · ք = ա 2

ա 1 =2

Ս 6 = 728.

Երկրաչափական առաջընթացոչ պակաս կարևոր մաթեմատիկայի մեջ՝ թվաբանության համեմատ։ Երկրաչափական առաջընթացը b1, b2,..., b[n] թվերի հաջորդականությունն է, որոնց յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը ստացվում է նախորդը բազմապատկելով հաստատուն թվով։ Այս թիվը, որը նաև բնութագրում է առաջընթացի աճի կամ նվազման տեմպերը, կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարև նշել

Երկրաչափական պրոգրեսիան ամբողջությամբ նշելու համար, բացի հայտարարից, անհրաժեշտ է իմանալ կամ որոշել դրա առաջին անդամը: Հայտարարի դրական արժեքի համար պրոգրեսիան միապաղաղ հաջորդականություն է, և եթե թվերի այս հաջորդականությունը միապաղաղ նվազում է, իսկ եթե միապաղաղ աճում է։ Գործնականում չի դիտարկվում այն ​​դեպքը, երբ հայտարարը հավասար է մեկին, քանի որ մենք ունենք միանման թվերի հաջորդականություն, և դրանց գումարումը գործնական հետաքրքրություն չի ներկայացնում:

Երկրաչափական առաջընթացի ընդհանուր տերմինհաշվարկված բանաձևով

Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարըորոշվում է բանաձևով

Դիտարկենք դասական երկրաչափական պրոգրեսիայի խնդիրների լուծումները: Սկսենք հասկանալու համար ամենապարզներից:

Օրինակ 1. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 27 է, իսկ հայտարարը՝ 1/3: Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամները:

Լուծում. Եկեք ձևով գրենք խնդրի պայմանը

Հաշվարկների համար մենք օգտագործում ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը

Դրա հիման վրա մենք գտնում ենք առաջընթացի անհայտ տերմինները

Ինչպես տեսնում եք, երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանները հաշվարկելը դժվար չէ։ Առաջընթացն ինքնին այսպիսի տեսք կունենա

Օրինակ 2. Տրված են երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին երեք անդամները՝ 6; -12; 24. Գտի՛ր հայտարարը և նրա յոթերորդ անդամը:

Լուծում. Մենք հաշվարկում ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը՝ ելնելով դրա սահմանումից

Մենք ստացել ենք փոփոխական երկրաչափական պրոգրեսիա, որի հայտարարը հավասար է -2-ի: Յոթերորդ անդամը հաշվարկվում է բանաձևով

Սա լուծում է խնդիրը։

Օրինակ 3. Երկրաչափական պրոգրեսիան տրված է նրա երկու անդամներով . Գտե՛ք առաջընթացի տասներորդ անդամը:

Լուծում:

Տրված արժեքները գրենք բանաձևերով

Ըստ կանոնների՝ մեզ պետք է գտնենք հայտարարը և որոնենք ցանկալի արժեքը, սակայն տասներորդ անդամի համար մենք ունենք.

Նույն բանաձևը կարելի է ձեռք բերել մուտքային տվյալների հետ պարզ մանիպուլյացիաների հիման վրա: Շարքի վեցերորդ անդամը բաժանում ենք մյուսի և արդյունքում ստանում ենք

Եթե ​​ստացված արժեքը բազմապատկվում է վեցերորդ անդամով, ապա ստանում ենք տասներորդը

Այսպիսով, նման խնդիրների դեպքում, օգտագործելով պարզ փոխակերպումները արագ ճանապարհով, կարող եք գտնել ճիշտ լուծումը։

Օրինակ 4. Երկրաչափական առաջընթացը տրվում է կրկնվող բանաձևերով

Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը և առաջին վեց անդամների գումարը:

Լուծում:

Տրված տվյալները գրենք հավասարումների համակարգի տեսքով

Արտահայտի՛ր հայտարարը՝ երկրորդ հավասարումը բաժանելով առաջինի վրա

Գտնենք առաջընթացի առաջին անդամը առաջին հավասարումից

Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը գտնելու համար հաշվարկենք հետևյալ հինգ անդամները