Մաթեմատիկան ինչ էմարդիկ վերահսկում են բնությունը և իրենց:

Խորհրդային մաթեմատիկոս, ակադեմիկոս Ա.Ն. Կոլմոգորովը

Երկրաչափական առաջընթաց.

Թվաբանական պրոգրեսիաների խնդիրների հետ մեկտեղ մաթեմատիկայի ընդունելության քննությունների ժամանակ տարածված են նաև երկրաչափական պրոգրեսիա հասկացության հետ կապված խնդիրները։ Նման խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար դուք պետք է իմանաք երկրաչափական պրոգրեսիաների հատկությունները և ունենաք դրանք օգտագործելու լավ հմտություններ:

Այս հոդվածը նվիրված է երկրաչափական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունների ներկայացմանը: Այստեղ ներկայացված են նաև տիպիկ խնդիրների լուծման օրինակներ։, փոխառված մաթեմատիկայի ընդունելության քննությունների առաջադրանքներից.

Եկեք նախ նշենք երկրաչափական առաջընթացի հիմնական հատկությունները և հիշենք ամենակարևոր բանաձևերն ու պնդումները., կապված այս հայեցակարգի հետ։

Սահմանում.Թվերի հաջորդականությունը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիա, եթե յուրաքանչյուր թիվ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին՝ բազմապատկված նույն թվով։ Թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար։

Երկրաչափական առաջընթացի համարբանաձևերը վավեր են

, (1)

Որտեղ. Բանաձև (1) կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի ընդհանուր անդամի բանաձև, իսկ բանաձևը (2) ներկայացնում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունը. պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ համընկնում է իր հարևան տերմինների երկրաչափական միջինին և .

Նշում, որ հենց այս հատկության պատճառով է, որ խնդրո առարկա առաջընթացը կոչվում է «երկրաչափական»:

Վերոնշյալ (1) և (2) բանաձևերը ընդհանրացված են հետևյալ կերպ.

, (3)

Գումարը հաշվարկելու համարառաջին երկրաչափական առաջընթացի պայմաններըբանաձևը կիրառվում է

Եթե ​​մենք նշում ենք, ապա

Որտեղ. Քանի որ , բանաձևը (6) (5) բանաձևի ընդհանրացումն է։

Այն դեպքում, երբ և երկրաչափական առաջընթացանսահման նվազում է. Գումարը հաշվարկելու համարԱնսահմանորեն նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր տերմինների համար օգտագործվում է բանաձևը

. (7)

Օրինակ՝ օգտագործելով (7) բանաձևը կարող ենք ցույց տալ, Ինչ

Որտեղ. Այս հավասարությունները ստացվում են (7) բանաձևից այն պայմանով, որ , (առաջին հավասարություն) և , (երկրորդ հավասարություն):

Թեորեմ.Եթե, ապա

Ապացույց. Եթե, ապա

Թեորեմն ապացուցված է.

Եկեք անցնենք «Երկրաչափական առաջընթաց» թեմայով խնդիրների լուծման օրինակների դիտարկմանը:

Օրինակ 1.Տրված է՝ , և . Գտնել.

Լուծում.Եթե ​​կիրառենք (5) բանաձևը, ապա

Պատասխան.

Օրինակ 2.Թող լինի: Գտնել.

Լուծում.Քանի որ և , մենք օգտագործում ենք (5), (6) բանաձևերը և ստանում հավասարումների համակարգ

Եթե ​​(9) համակարգի երկրորդ հավասարումը բաժանվում է առաջինի վրա, ապա կամ . Այստեղից հետևում է, որ . Դիտարկենք երկու դեպք.

1. Եթե, ապա (9) համակարգի առաջին հավասարումից ունենք.

2. Եթե , ապա .

Օրինակ 3.Թող , և. Գտնել.

Լուծում.Բանաձևից (2) հետևում է, որ կամ. Այդ ժամանակվանից կամ .

Ըստ պայմանի. Այնուամենայնիվ, հետևաբար. Քանի որ և ապա այստեղ մենք ունենք հավասարումների համակարգ

Եթե ​​համակարգի երկրորդ հավասարումը բաժանվում է առաջինի վրա, ապա կամ .

Քանի որ հավասարումը ունի եզակի հարմար արմատ: Այս դեպքում դա բխում է համակարգի առաջին հավասարումից.

Հաշվի առնելով (7) բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ 4.Տրված է և . Գտնել.

Լուծում.Այդ ժամանակվանից ի վեր.

Քանի որ, այն ժամանակ կամ

Համաձայն բանաձևի (2) մենք ունենք. Այս առումով հավասարությունից (10) մենք ստանում ենք կամ .

Այնուամենայնիվ, պայմանով, հետևաբար.

Օրինակ 5.Հայտնի է, որ. Գտնել.

Լուծում. Ըստ թեորեմի՝ ունենք երկու հավասարություն

Այդ ժամանակվանից կամ . Որովհետև, ուրեմն.

Պատասխան.

Օրինակ 6.Տրված է և . Գտնել.

Լուծում.Հաշվի առնելով (5) բանաձևը, մենք ստանում ենք

Այդ ժամանակվանից ի վեր. Քանի որ , և , այն ժամանակ .

Օրինակ 7.Թող լինի: Գտնել.

Լուծում.Ըստ (1) բանաձևի կարող ենք գրել

Հետեւաբար, մենք ունենք կամ . Հայտնի է, որ և , հետևաբար և .

Պատասխան.

Օրինակ 8.Գտե՛ք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը, եթե

Եվ .

Լուծում. Բանաձևից (7) հետևում էԵվ . Այստեղից և խնդրի պայմաններից մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ

Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը քառակուսի է, իսկ հետո ստացված հավասարումը բաժանեք երկրորդ հավասարման վրա, ապա մենք ստանում ենք

Կամ .

Պատասխան.

Օրինակ 9.Գտեք բոլոր արժեքները, որոնց համար , , հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է:

Լուծում.Թող , և. Համաձայն (2) բանաձևի, որը սահմանում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունը, մենք կարող ենք գրել կամ.

Այստեղից մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարումը, որոնց արմատներն ենԵվ .

Եկեք ստուգենք՝ եթե, ապա , եւ ;

եթե , ապա , եւ .և , իսկ երկրորդում՝ և .

Պատասխան՝ , .

Օրինակ 10.Լուծե՛ք հավասարումը

, (11)

որտեղ և.

Լուծում. Ձախ կողմըհավասարումը (11) անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարն է, որում և , ենթակա են՝ և .

Բանաձևից (7) հետևում է, Ինչ . Այս առումով, հավասարումը (11) ստանում է ձևկամ . Հարմար արմատ քառակուսի հավասարումէ

Պատասխան.

Օրինակ 11.Պ դրական թվերի հաջորդականությունկազմում է թվաբանական պրոգրեսիա, Ա - երկրաչափական առաջընթաց, և այստեղ. Գտնել.

Լուծում.Որովհետև թվաբանական հաջորդականություն, Դա (թվաբանական առաջընթացի հիմնական հատկությունը). Որովհետև, ապա կամ . Սրանից հետևում է. որ երկրաչափական պրոգրեսիան ունի ձև. Ըստ բանաձևի (2)Այնուհետև մենք գրում ենք դա:

ի վեր և, այնուհետև . Այս դեպքում արտահայտությունըընդունում է ձևը կամ . Ըստ պայմանի՝ այսպիսով հավասար.մենք ստանում ենք միակ լուծումըքննարկվող խնդիրը, այսինքն. .

Պատասխան.

Օրինակ 12.Հաշվարկել գումարը

. (12)

Լուծում. Բազմապատկենք հավասարության երկու կողմերը (12) 5-ով և ստացենք

Եթե ​​ստացված արտահայտությունից հանենք (12)., Դա

կամ .

Հաշվարկելու համար մենք արժեքները փոխարինում ենք (7) բանաձևով և ստանում: Այդ ժամանակվանից ի վեր.

Պատասխան.

Այստեղ տրված խնդիրների լուծման օրինակները օգտակար կլինեն դիմորդներին ընդունելության քննություններին նախապատրաստվելիս։ Խնդիրների լուծման մեթոդների ավելի խորը ուսումնասիրության համար, կապված երկրաչափական առաջընթացի հետ, կարող է օգտագործվել ուսումնական նյութերառաջարկվող գրականության ցանկից։

1. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու քոլեջների դիմորդների համար / Ed. Մ.Ի. Սկանավի. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 p.

2. Սուպրուն Վ.Պ. Մաթեմատիկա ավագ դպրոցի աշակերտների համար. լրացուցիչ բաժիններ դպրոցական ծրագիր. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 էջ.

3. Մեդինսկի Մ.Մ. Ամբողջական դասընթաց տարրական մաթեմատիկաառաջադրանքներում և վարժություններում. Գիրք 2. Թվերի հաջորդականություններ և առաջընթացներ. - Մ.: Էդիտուս, 2015. – 208 էջ.

Դեռ ունե՞ք հարցեր:

Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Դիտարկենք որոշակի շարք.

7 28 112 448 1792...

Միանգամայն պարզ է, որ նրա ցանկացած տարրի արժեքը նախորդից ուղիղ չորս անգամ մեծ է։ Նշանակում է, այս շարքըառաջընթաց է։

Երկրաչափական պրոգրեսիան թվերի անսահման հաջորդականություն է։ հիմնական հատկանիշըայն է, որ հաջորդ թիվը ստացվում է նախորդից՝ բազմապատկելով ինչ-որ կոնկրետ թվով։ Սա արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով.

a z +1 =a z ·q, որտեղ z-ն ընտրված տարրի թիվն է:

Համապատասխանաբար, z ∈ Ն.

Դպրոցում երկրաչափական պրոգրեսիա ուսումնասիրելու շրջանը 9-րդ դասարանն է։ Օրինակները կօգնեն ձեզ հասկանալ հայեցակարգը.

0.25 0.125 0.0625...

Այս բանաձևի հիման վրա առաջընթացի հայտարարը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

Ո՛չ q, ո՛չ b z-ն չեն կարող զրո լինել: Նաև պրոգրեսիայի տարրերից յուրաքանչյուրը չպետք է հավասար լինի զրոյի:

Ըստ այդմ, հաջորդ թիվը պարզելու համար անհրաժեշտ է վերջինը բազմապատկել q-ով:

Այս առաջընթացը սահմանելու համար դուք պետք է նշեք դրա առաջին տարրը և հայտարարը: Սրանից հետո հնարավոր է գտնել հետագա տերմիններից որևէ մեկը և դրանց գումարը։

Սորտերի

Կախված q և a 1-ից, այս առաջընթացը բաժանվում է մի քանի տեսակների.

• Եթե ​​և՛ 1-ը, և՛ q-ը մեկից մեծ են, ապա այդպիսի հաջորդականությունը յուրաքանչյուրի հետ մեծանում է հաջորդ տարրըերկրաչափական առաջընթաց. Դրա օրինակը ներկայացված է ստորև:

Օրինակ՝ a 1 =3, q=2 - երկու պարամետրերն էլ մեկից մեծ են:

Այնուհետև թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել այսպես.

3 6 12 24 48 ...

• Եթե ​​|ք| մեկից փոքր է, այսինքն՝ դրանով բազմապատկելը համարժեք է բաժանմանը, ապա նմանատիպ պայմաններով առաջընթացը նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա է։ Դրա օրինակը ներկայացված է ստորև:

Օրինակ՝ a 1 =6, q=1/3 - a 1-ը մեկից մեծ է, q փոքր է:

Այնուհետև թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

6 2 2/3 ... - ցանկացած տարր 3 անգամ մեծ է նրան հաջորդող տարրից:

• Փոփոխական նշան. Եթե ​​ք<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Օրինակ՝ a 1 = -3, q = -2 - երկու պարամետրերն էլ զրոյից փոքր են:

Այնուհետև թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել այսպես.

3, 6, -12, 24,...

Բանաձևեր

Երկրաչափական պրոգրեսիաների հարմար օգտագործման համար կան բազմաթիվ բանաձևեր.

• Z-տերմինի բանաձև. Թույլ է տալիս հաշվարկել տարրը որոշակի թվի տակ՝ առանց նախորդ թվերը հաշվարկելու:

Օրինակ՝ք = 3, ա 1 = 4. Պահանջվում է հաշվել առաջընթացի չորրորդ տարրը:

Լուծում:ա 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Առաջին տարրերի գումարը, որոնց թիվը հավասար է զ. Թույլ է տալիս հաշվարկել հաջորդականության բոլոր տարրերի գումարը մինչևա զներառական։

Քանի որ (1-ք) հայտարարի մեջ է, ապա (1 - q)≠ 0, հետևաբար q-ն հավասար չէ 1-ի:

Նշում. եթե q=1, ապա առաջընթացը կլինի անվերջ կրկնվող թվերի շարք:

Երկրաչափական առաջընթացի գումար, օրինակներ.ա 1 = 2, ք= -2. Հաշվեք S5.

Լուծում:Ս 5 = 22 - հաշվարկ, օգտագործելով բանաձևը.

• Գումարը, եթե |ք| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Օրինակ՝ա 1 = 2 , ք= 0,5. Գտեք գումարը.

Լուծում:Սզ = 2 · = 4

Սզ = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Որոշ հատկություններ.

• Բնութագրական հատկություն. Եթե ​​հետեւյալ պայմանը աշխատում է ցանկացածի համարզ, ապա տրված թվերի շարքը երկրաչափական պրոգրեսիա է.

ա զ 2 = ա զ -1 · աz+1

• Նաև երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած թվի քառակուսին գտնում ենք՝ ավելացնելով տվյալ շարքի ցանկացած այլ թվերի քառակուսիները, եթե դրանք հավասար են այս տարրից:

ա զ 2 = ա զ - տ 2 + ա զ + տ 2 , Որտեղտ- այս թվերի միջև եղած հեռավորությունը:

• Տարրերտարբերվում են քմեկ անգամ.
• Պրոգրեսիայի տարրերի լոգարիթմները նույնպես կազմում են պրոգրեսիա, բայց թվաբանական, այսինքն՝ նրանցից յուրաքանչյուրը որոշակի թվով մեծ է նախորդից։

Որոշ դասական խնդիրների օրինակներ

Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչ է երկրաչափական առաջընթացը, կարող են օգնել 9-րդ դասի լուծումներով օրինակները:

• Պայմաններ:ա 1 = 3, ա 3 = 48. Գտեքք.

Լուծում. յուրաքանչյուր հաջորդ տարր ավելի մեծ է, քան նախորդըք մեկ անգամ.Անհրաժեշտ է որոշ տարրեր արտահայտել մյուսների մասով՝ օգտագործելով հայտարար։

Հետևաբար,ա 3 = ք 2 · ա 1

Փոխարինման ժամանակք= 4

• Պայմաններ:ա 2 = 6, ա 3 = 12. Հաշվիր S 6.

Լուծում:Դա անելու համար պարզապես գտեք q՝ առաջին տարրը և փոխարինեք այն բանաձևով:

ա 3 = ք· ա 2 , հետևաբար,ք= 2

ա 2 = ք · a 1,Ահա թե ինչու ա 1 = 3

S 6 = 189

• · ա 1 = 10, ք= -2. Գտեք առաջընթացի չորրորդ տարրը:

Լուծում. դա անելու համար բավական է չորրորդ տարրը արտահայտել առաջինի և հայտարարի միջոցով:

a 4 = q 3· ա 1 = -80

Դիմումի օրինակ.

• Բանկի հաճախորդը ավանդ է ներդրել 10000 ռուբլու չափով, որի պայմաններով ամեն տարի հաճախորդին դրա 6%-ը կավելացվի մայր գումարին: Որքա՞ն գումար կմնա հաշվին 4 տարի հետո:

Լուծում Նախնական գումարը 10 հազար ռուբլի է: Սա նշանակում է, որ ներդրումից մեկ տարի անց հաշիվը կունենա 10,000 + 10,000 գումար · 0,06 = 10000 1,06

Ըստ այդմ, հաշվում գումարը մեկ տարի անց կարտահայտվի հետևյալ կերպ.

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Այսինքն՝ ամեն տարի այդ գումարն ավելանում է 1,06 անգամ։ Սա նշանակում է, որ 4 տարի հետո հաշվում միջոցների չափը գտնելու համար բավական է գտնել պրոգրեսիայի չորրորդ տարրը, որը տրվում է 10 հազարի հավասար առաջին տարրով և 1,06 հավասար հայտարարով։

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Գումարի հաշվարկման խնդիրների օրինակներ.

Երկրաչափական պրոգրեսիան օգտագործվում է տարբեր խնդիրների դեպքում։ Գումարը գտնելու օրինակ կարելի է բերել հետևյալ կերպ.

ա 1 = 4, ք= 2, հաշվարկիրՍ 5.

Լուծում. հաշվարկի համար անհրաժեշտ բոլոր տվյալները հայտնի են, պարզապես անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել բանաձևով:

Ս 5 = 124

• ա 2 = 6, ա 3 = 18. Հաշվի՛ր առաջին վեց տարրերի գումարը:

Լուծում:

Գեոմի մեջ. առաջընթաց, յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը q անգամ մեծ է նախորդից, այսինքն՝ գումարը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ տարրըա 1 և հայտարարք.

ա 2 · ք = ա 3

ք = 3

Նմանապես, դուք պետք է գտնեքա 1 , իմանալովա 2 Եվք.

ա 1 · ք = ա 2

ա 1 =2

Ս 6 = 728.

>> Մաթեմատիկա. Երկրաչափական առաջընթաց

Ընթերցողի հարմարության համար այս պարբերությունը կառուցված է ճիշտ նույն պլանի համաձայն, որին մենք հետևեցինք նախորդ պարբերությունում:

1. Հիմնական հասկացություններ.

Սահմանում.Թվային հաջորդականությունը, որի բոլոր անդամները տարբերվում են 0-ից, և որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, ստացվում է նախորդ անդամից՝ այն նույն թվով բազմապատկելով, կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիա։ Այս դեպքում 5 թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար։

Այսպիսով, երկրաչափական առաջընթացը թվային հաջորդականություն է (b n), որը պարբերաբար սահմանվում է հարաբերություններով.

Հնարավո՞ր է թվերի հաջորդականությանը նայել և որոշել, թե արդյոք դա երկրաչափական պրոգրեսիա է: Կարող է. Եթե ​​համոզված եք, որ հաջորդականության որևէ անդամի հարաբերակցությունը նախորդ անդամին հաստատուն է, ապա դուք ունեք երկրաչափական պրոգրեսիա։
Օրինակ 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3:

Օրինակ 2.

Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որն ունի
Օրինակ 3.

Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որն ունի
Օրինակ 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որում b 1 - 8, q = 1:

Նկատի ունեցեք, որ այս հաջորդականությունը նույնպես թվաբանական առաջընթաց է (տես օրինակ 3-ը § 15-ից):

Օրինակ 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որտեղ b 1 = 2, q = -1:

Ակնհայտ է, որ երկրաչափական պրոգրեսիան աճող հաջորդականություն է, եթե b 1 > 0, q > 1 (տես օրինակ 1), և նվազող հաջորդականություն, եթե b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Նշելու համար, որ (b n) հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, երբեմն հարմար է հետևյալ նշումը.

Սրբապատկերը փոխարինում է «երկրաչափական առաջընթաց» արտահայտությունը։
Եկեք նշենք երկրաչափական պրոգրեսիայի մեկ հետաքրքիր և միևնույն ժամանակ բավականին ակնհայտ հատկություն.
Եթե ​​հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, ապա քառակուսիների հաջորդականությունը, այսինքն. երկրաչափական պրոգրեսիա է։
Երկրորդ երկրաչափական պրոգրեսիայում առաջին անդամը հավասար է և հավասար է q 2-ին:
Եթե ​​երկրաչափական պրոգրեսիայում մենք հրաժարվում ենք b n-ին հաջորդող բոլոր տերմիններից, մենք ստանում ենք վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա:
Այս բաժնի հետագա պարբերություններում մենք կքննարկենք երկրաչափական առաջընթացի ամենակարևոր հատկությունները:

2. Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը:

Դիտարկենք երկրաչափական առաջընթացը հայտարար ք. Մենք ունենք.

Դժվար չէ կռահել, որ ցանկացած n թվի համար հավասարությունը ճիշտ է

Սա երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևն է:

Մեկնաբանություն.

Եթե ​​կարդացել եք նախորդ պարբերության կարևոր դիտողությունը և հասկացել եք այն, ապա փորձեք ապացուցել բանաձևը (1)՝ օգտագործելով մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը, ինչպես արվեց թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևի համար:

Վերաշարադրենք երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը

և ներկայացրեք նշումը. Մենք ստանում ենք y = mq 2, կամ, ավելի մանրամասն,
x արգումենտը պարունակվում է ցուցիչում, ուստի այս ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա։ Սա նշանակում է, որ երկրաչափական պրոգրեսիան կարելի է համարել որպես բնական թվերի N բազմության վրա սահմանված էքսպոնենցիալ ֆունկցիա։ Նկ. 96ա-ում ներկայացված է ֆունկցիայի գրաֆիկը Նկ. 966 - ֆունկցիայի գրաֆիկ Երկու դեպքում էլ մենք ունենք մեկուսացված կետեր (աբսցիսներով x = 1, x = 2, x = 3 և այլն), որոնք ընկած են որոշակի կորի վրա (երկու նկարներն էլ ցույց են տալիս նույն կորը, միայն տարբեր տեղակայված և տարբեր մասշտաբներով պատկերված): Այս կորը կոչվում է էքսպոնենցիալ կոր։ Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի և դրա գրաֆիկի մասին ավելի մանրամասն կքննարկվի 11-րդ դասարանի հանրահաշիվ դասընթացում:

Վերադառնանք նախորդ պարբերությունից 1-5 օրինակներին։

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի համար b 1 = 1, q = 3: Եկեք ստեղծենք n-րդ անդամի բանաձևը
2) Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի համար ստեղծենք n-րդ անդամի բանաձևը

Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որն ունի Եկեք ստեղծենք n-րդ անդամի բանաձևը
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի համար b 1 = 8, q = 1: Եկեք ստեղծենք n-րդ անդամի բանաձևը
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որտեղ b 1 = 2, q = -1: Եկեք ստեղծենք n-րդ անդամի բանաձևը

Օրինակ 6.

Հաշվի առնելով երկրաչափական առաջընթացը

Բոլոր դեպքերում լուծումը հիմնված է երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի վրա

ա) Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևում դնելով n = 6, մենք ստանում ենք.

բ) ունենք

Քանի որ 512 = 2 9, մենք ստանում ենք n - 1 = 9, n = 10:

դ) ունենք

Օրինակ 7.

Երկրաչափական պրոգրեսիայի յոթերորդ և հինգերորդ անդամների տարբերությունը 48 է, առաջընթացի հինգերորդ և վեցերորդ անդամների գումարը նույնպես 48։ Գտե՛ք այս պրոգրեսիայի տասներկուերորդ անդամը։

Առաջին փուլ.Մաթեմատիկական մոդելի կազմում:

Խնդրի պայմանները հակիրճ կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Օգտագործելով երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը, մենք ստանում ենք.
Այնուհետև խնդրի երկրորդ պայմանը (b 7 - b 5 = 48) կարելի է գրել այսպես

Խնդրի երրորդ պայմանը (b 5 + b 6 = 48) կարելի է գրել այսպես

Արդյունքում մենք ստանում ենք երկու հավասարումների համակարգ երկու b 1 և q փոփոխականներով.

որը վերը գրված 1) պայմանի հետ միասին ներկայացնում է խնդրի մաթեմատիկական մոդելը:

Երկրորդ փուլ.

Կազմված մոդելի հետ աշխատելը. Համակարգի երկու հավասարումների ձախ կողմերը հավասարեցնելով՝ ստանում ենք.

(հավասարման երկու կողմերը բաժանեցինք b 1 q 4 ոչ զրոյական արտահայտությամբ):

q 2 - q - 2 = 0 հավասարումից մենք գտնում ենք q 1 = 2, q 2 = -1: Փոխարինելով q = 2 արժեքը համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք
Փոխարինելով q = -1 արժեքը համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք b 1 1 0 = 48; այս հավասարումը լուծումներ չունի:

Այսպիսով, b 1 =1, q = 2 - այս զույգը հավասարումների կազմված համակարգի լուծումն է:

Այժմ մենք կարող ենք գրել երկրաչափական առաջընթացը, որի վերաբերյալ մենք խոսում ենքխնդրի մեջ՝ 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Երրորդ փուլ.

Պատասխանեք խնդրի հարցին. Դուք պետք է հաշվարկեք b 12: մենք ունենք

Պատասխան՝ b 12 = 2048:

3. Վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը.

Թող տրվի վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա

S n-ով նշանակենք նրա տերմինների գումարը, այսինքն.

Եկեք այս գումարը գտնելու բանաձև բերենք.

Սկսենք ամենապարզ դեպքից, երբ q = 1. Այնուհետև b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn երկրաչափական պրոգրեսիան բաղկացած է b 1-ին հավասար n թվերից, այսինքն. առաջընթացը կարծես b 1, b 2, b 3, ..., b 4: Այս թվերի գումարը nb 1 է:

Հիմա q = 1 S n գտնելու համար մենք կիրառում ենք արհեստական ​​տեխնիկա՝ կատարում ենք S n q արտահայտության որոշ փոխակերպումներ։ Մենք ունենք.

Փոխակերպումներ կատարելիս մենք, առաջին հերթին, օգտագործեցինք երկրաչափական պրոգրեսիայի սահմանումը, ըստ որի (տե՛ս հիմնավորման երրորդ տողը); երկրորդ՝ գումարել-հանել են, ինչի պատճառով արտահայտության իմաստը, իհարկե, չի փոխվել (տե՛ս պատճառաբանության չորրորդ տողը); երրորդ, մենք օգտագործեցինք երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը.

Բանաձևից (1) մենք գտնում ենք.

Սա երկրաչափական պրոգրեսիայի n տերմինների գումարի բանաձևն է (այն դեպքում, երբ q = 1):

Օրինակ 8.

Տրվում է վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա

ա) առաջընթացի ժամկետների հանրագումարը. բ) նրա անդամների քառակուսիների գումարը.

բ) Վերևում (տե՛ս էջ 132) մենք արդեն նշել ենք, որ եթե երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր անդամները քառակուսի են, ապա մենք ստանում ենք երկրաչափական պրոգրեսիա b 2 առաջին անդամով և q 2 հայտարարով։ Այնուհետև նոր առաջընթացի վեց անդամների գումարը կհաշվարկվի ըստ

Օրինակ 9.

Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի 8-րդ անդամը, որի համար

Փաստորեն, մենք ապացուցել ենք հետևյալ թեորեմը.

Թվային հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա յուրաքանչյուր անդամի քառակուսին, բացառությամբ առաջին թեորեմի (և վերջինը, վերջավոր հաջորդականության դեպքում), հավասար է նախորդ և հաջորդ անդամների արտադրյալին (a. երկրաչափական պրոգրեսիայի բնորոշ հատկություն):

Երկրաչափական առաջընթացոչ պակաս կարևոր մաթեմատիկայի մեջ՝ թվաբանության համեմատ։ Երկրաչափական առաջընթացը b1, b2,..., b[n] թվերի հաջորդականությունն է, որոնց յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը ստացվում է նախորդը բազմապատկելով հաստատուն թվով։ Այս թիվը, որը բնութագրում է նաև առաջընթացի աճի կամ նվազման արագությունը, կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարև նշել

Համար ամբողջական առաջադրանքերկրաչափական պրոգրեսիայի, բացի հայտարարից, անհրաժեշտ է իմանալ կամ որոշել դրա առաջին անդամը: Համար դրական արժեքհայտարարի առաջընթացը միապաղաղ հաջորդականություն է, և եթե թվերի այս հաջորդականությունը միապաղաղ նվազում է, և եթե այն միապաղաղ աճում է: Գործնականում չի դիտարկվում այն ​​դեպքը, երբ հայտարարը հավասար է մեկին, քանի որ մենք ունենք միանման թվերի հաջորդականություն, և դրանց գումարումը գործնական հետաքրքրություն չի ներկայացնում:

Երկրաչափական առաջընթացի ընդհանուր տերմինհաշվարկված բանաձևով

Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարըորոշվում է բանաձևով

Դիտարկենք դասական երկրաչափական պրոգրեսիայի խնդիրների լուծումները: Սկսենք հասկանալու համար ամենապարզներից:

Օրինակ 1. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 27 է, իսկ հայտարարը՝ 1/3: Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամները:

Լուծում. Եկեք ձևով գրենք խնդրի պայմանը

Հաշվարկների համար մենք օգտագործում ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը

Դրա հիման վրա մենք գտնում ենք առաջընթացի անհայտ տերմինները

Ինչպես տեսնում եք, երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանները հաշվարկելը դժվար չէ։ Առաջընթացն ինքնին այսպիսի տեսք կունենա

Օրինակ 2. Տրված են երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին երեք անդամները՝ 6; -12; 24. Գտի՛ր հայտարարը և նրա յոթերորդ անդամը:

Լուծում. Երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը հաշվում ենք՝ ելնելով դրա սահմանումից

Մենք ստացել ենք փոփոխական երկրաչափական պրոգրեսիա, որի հայտարարը հավասար է -2-ի: Յոթերորդ անդամը հաշվարկվում է բանաձևով

Սա լուծում է խնդիրը:

Օրինակ 3. Երկրաչափական պրոգրեսիան տրված է նրա երկու անդամներով . Գտե՛ք առաջընթացի տասներորդ անդամը:

Լուծում:

Տրված արժեքները գրենք բանաձևերով

Ըստ կանոնների՝ պետք է գտնել հայտարարը և փնտրել ցանկալի արժեք, բայց տասներորդ ժամկետի համար ունենք

Նույն բանաձևը կարելի է ձեռք բերել մուտքային տվյալների հետ պարզ մանիպուլյացիաների հիման վրա: Շարքի վեցերորդ անդամը բաժանում ենք մյուսի, արդյունքում ստանում ենք

Եթե ​​ստացված արժեքը բազմապատկվում է վեցերորդ անդամով, ապա ստանում ենք տասներորդը

Այսպիսով, նման առաջադրանքների համար, օգտագործելով պարզ փոխակերպումներ դեպի արագ ճանապարհդուք կարող եք գտնել ճիշտ լուծումը:

Օրինակ 4. Երկրաչափական առաջընթացը տրվում է կրկնվող բանաձևերով

Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը և առաջին վեց անդամների գումարը:

Լուծում:

Տրված տվյալները գրենք հավասարումների համակարգի տեսքով

Արտահայտի՛ր հայտարարը՝ երկրորդ հավասարումը բաժանելով առաջինի վրա

Գտնենք առաջընթացի առաջին անդամը առաջին հավասարումից

Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը գտնելու համար հաշվարկենք հետևյալ հինգ անդամները

Հրահանգներ

10, 30, 90, 270...

Պետք է գտնել երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը:
Լուծում:

Տարբերակ 1. Վերցնենք առաջընթացի կամայական անդամ (օրինակ՝ 90) և բաժանենք նախորդի (30) վրա՝ 90/30=3։

Եթե ​​հայտնի է երկրաչափական պրոգրեսիայի մի քանի անդամների գումարը կամ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր անդամների գումարը, ապա առաջընթացի հայտարարը գտնելու համար օգտագործեք համապատասխան բանաձևերը.
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), որտեղ Sn-ը երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարն է և
S = b1/(1-q), որտեղ S-ն անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարն է (մեկից փոքր հայտարար ունեցող պրոգրեսիայի բոլոր անդամների գումարը):
Օրինակ.

Նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամը հավասար է մեկի, իսկ նրա բոլոր անդամների գումարը հավասար է երկուսի։

Պահանջվում է որոշել այս առաջընթացի հայտարարը:
Լուծում:

Խնդրի տվյալները փոխարինեք բանաձևով: Կստացվի.
2=1/(1-ք), որտեղից – q=1/2:

Առաջընթացը թվերի հաջորդականություն է: Երկրաչափական պրոգրեսիայում յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը ստացվում է նախորդը բազմապատկելով որոշակի q թվով, որը կոչվում է պրոգրեսիայի հայտարար։

Հրահանգներ

Եթե ​​հայտնի են երկու կից երկրաչափական անդամներ b(n+1) և b(n), հայտարարը ստանալու համար անհրաժեշտ է մեծի թիվը բաժանել նախորդողին` q=b(n+1)/b: (n). Սա բխում է պրոգրեսիայի սահմանումից և դրա հայտարարից: Կարևոր պայմանառաջին անդամի անհավասարությունն է և զրոյի առաջընթացի հայտարարը, հակառակ դեպքում համարվում է անորոշ։

Այսպիսով, պրոգրեսիայի տերմինների միջև հաստատվում են հետևյալ հարաբերությունները՝ b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q: Օգտագործելով b(n)=b1 q^(n-1 բանաձևը) կարելի է հաշվարկել երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ, որում հայտնի են q հայտարարը և b1 տերմինը: Նաև պրոգրեսիաներից յուրաքանչյուրը մոդուլով հավասար է իր հարևան անդամների միջինին. |b(n)|=√, որտեղից էլ առաջընթացը ստացել է իր .

Երկրաչափական պրոգրեսիայի անալոգը ամենապարզն է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա y=a^x, որտեղ x-ը չափիչ է, a-ն որոշակի թիվ է: Այս դեպքում առաջընթացի հայտարարը համընկնում է առաջին անդամի և թվին հավասարա. y ֆունկցիայի արժեքը կարելի է հասկանալ այսպես n-րդ կիսամյակառաջընթաց, եթե x արգումենտն ընդունված է բնական թիվ n (հաշվիչ):

Երկրաչափական պրոգրեսիայի մեկ այլ կարևոր հատկություն, որը տվել է երկրաչափական պրոգրեսիա