Այս հոդվածում մենք պարզելու ենք, թե ինչ է դա աստիճանը. Այստեղ կտանք թվի ուժի սահմանումներ, մինչդեռ մանրամասն կդիտարկենք բոլոր հնարավոր ցուցանիշները՝ սկսած բնական ցուցիչից մինչև իռացիոնալ։ Նյութում դուք կգտնեք աստիճանների բազմաթիվ օրինակներ՝ ընդգրկելով առաջացող բոլոր նրբությունները։

Էջի նավարկություն.

Հզորությունը բնական ցուցիչով, թվի քառակուսի, թվի խորանարդ

Սկսենք նրանից. Առաջ նայելով, ասենք, որ a-ի համար բնական ցուցիչով n հզորության սահմանումը տրված է a-ի համար, որը մենք կանվանենք. աստիճանի հիմքը, և n, որոնք մենք կանվանենք ցուցիչ. Մենք նաև նշում ենք, որ բնական ցուցիչով աստիճանը որոշվում է արտադրյալի միջոցով, ուստի ստորև բերված նյութը հասկանալու համար անհրաժեշտ է հասկանալ թվերի բազմապատկման մասին:

Սահմանում.

n բնական ցուցիչով թվի հզորությունը a n ձևի արտահայտությունն է, որի արժեքը հավասար է n գործոնի արտադրյալին, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի, այսինքն՝ .
Մասնավորապես, 1 աստիճանով a թվի հզորությունը հենց a թիվն է, այսինքն՝ a 1 =a:

Հարկ է անմիջապես նշել աստիճանների ընթերցման կանոնների մասին: a n նշումը կարդալու համընդհանուր ձևն է. «a-ն n-ի ուժին»: Որոշ դեպքերում ընդունելի են նաև հետևյալ տարբերակները՝ «a-ից մինչև n-րդ աստիճան» և «a-ի n-րդ ուժ»: Օրինակ, եկեք վերցնենք 8 12 հզորությունը, սա «ութը տասներկուի հզորությանը», կամ «ութը տասներկուերորդ ուժին», կամ «ութի տասներկուերորդ ուժին»:

Թվի երկրորդ հզորությունը, ինչպես նաև թվի երրորդ ուժը, ունեն իրենց անունները։ Թվի երկրորդ հզորությունը կոչվում է թիվը քառակուսիՕրինակ, 7 2-ը կարդացվում է որպես «յոթ քառակուսի» կամ «յոթ թվի քառակուսի»: Թվի երրորդ ուժը կոչվում է խորանարդային թվերՕրինակ, 5 3-ը կարելի է կարդալ որպես «հինգ խորանարդ» կամ կարող եք ասել «5 թվի խորանարդ»:

Ժամանակն է բերելու աստիճանների օրինակներ բնական ցուցիչներով. Սկսենք 5-րդ աստիճանից 7, այստեղ 5-ը աստիճանի հիմքն է, իսկ 7-ը՝ աստիճանը: Բերենք ևս մեկ օրինակ՝ 4.32-ը հիմքն է, իսկ 9 բնական թիվը՝ ցուցիչը (4.32) 9:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վերջին օրինակում 4.32 հզորության հիմքը գրված է փակագծերում. անհամապատասխանություններից խուսափելու համար մենք փակագծերում կդնենք հզորության բոլոր հիմքերը, որոնք տարբերվում են բնական թվերից: Որպես օրինակ՝ բնական ցուցիչներով տալիս ենք հետևյալ աստիճանները , դրանց հիմքերը բնական թվեր չեն, ուստի դրանք գրվում են փակագծերում։ Դե, ամբողջական պարզության համար, այս պահին մենք ցույց կտանք (−2) 3 և −2 3 ձևերի գրառումներում պարունակվող տարբերությունը։ (−2) 3 արտահայտությունը −2-ի հզորություն է՝ 3 բնական ցուցիչով, իսկ −2 3 արտահայտությունը (այն կարելի է գրել −(2 3) ) համապատասխանում է թվին, 2 3 հզորության արժեքին։ .

Նկատի ունեցեք, որ a թվի հզորության նշում կա a^n ձևի n ցուցիչով: Ընդ որում, եթե n-ը բազմարժեք բնական թիվ է, ապա ցուցիչը վերցվում է փակագծերում։ Օրինակ, 4^9-ը 4 9-ի հզորության ևս մեկ նշում է: Եվ ահա «^» նշանով աստիճաններ գրելու ևս մի քանի օրինակ՝ 14^(21) , (−2,1)^(155) ։ Հետևյալում մենք հիմնականում կօգտագործենք a n ձևի աստիճանի նշումը:

Բնական ցուցիչով հզորության բարձրացման հակադարձ խնդիրներից մեկը հզորության հայտնի արժեքից և հայտնի ցուցիչից ուժի հիմքը գտնելու խնդիրն է: Այս առաջադրանքը հանգեցնում է.

Հայտնի է, որ շատերը ռացիոնալ թվերբաղկացած է ամբողջական և կոտորակային թվերից՝ յուրաքանչյուրը կոտորակային թիվկարող է ներկայացվել որպես դրական կամ բացասական ընդհանուր կոտորակ. Նախորդ պարբերությունում մենք աստիճանը սահմանեցինք ամբողջ թվով ցուցիչով, հետևաբար, աստիճանի սահմանումը լրացնենք հետևյալով. ռացիոնալ ցուցանիշ, պետք է իմաստավորել a թվի հզորությունը m/n կոտորակային ցուցիչով, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ։ Եկեք անենք դա։

Դիտարկենք աստիճանը ձևի կոտորակային ցուցիչով: Որպեսզի իշխանությունից իշխանություն հատկությունը մնա վավերական, պետք է պահպանվի հավասարությունը . Եթե ​​հաշվի առնենք ստացված հավասարությունը և ինչպես ենք որոշել , ապա տրամաբանական է ընդունել այն, պայմանով, որ տրված m, n և a արտահայտությունը իմաստ ունի։

Հեշտ է ստուգել, ​​որ ամբողջ թվով ցուցիչ ունեցող աստիճանի բոլոր հատկությունները վավեր են (սա արվել է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հատկությունների բաժնում):

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը թույլ է տալիս անել հետևյալը եզրակացությունեթե տրված են m, n և a արտահայտությունը իմաստ ունի, ապա m/n կոտորակային ցուցիչով a-ի հզորությունը կոչվում է a-ի n-րդ արմատը m-ի ուժի նկատմամբ:

Այս պնդումը մոտեցնում է մեզ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանմանը: Մնում է միայն նկարագրել, թե m, n և a արտահայտությունն ինչ իմաստ ունի: Կախված m-ի, n-ի և a-ի վրա դրված սահմանափակումներից, կան երկու հիմնական մոտեցում.

Ամենահեշտ ձևը a-ի վրա սահմանափակում դնելն է՝ ընդունելով a≥0 դրական m և a>0 բացասական m (քանի որ m≤0-ի համար m-ի 0 աստիճանը սահմանված չէ): Այնուհետև մենք ստանում ենք աստիճանի հետևյալ սահմանումը կոտորակային ցուցիչով.

Սահմանում.

m/n կոտորակային ցուցիչով դրական a թվի հզորությունը, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, կոչվում է a թվի n-րդ արմատը m-ի հզորությանը, այսինքն՝ .

Զրոյի կոտորակային հզորությունը որոշվում է նաև միակ նախազգուշացմամբ, որ ցուցանիշը պետք է լինի դրական:

Սահմանում.

Մ/ն կոտորակային դրական ցուցիչով զրոյի հզորություն, որտեղ m-ը դրական ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, սահմանվում է որպես .
Երբ աստիճանը որոշված ​​չէ, այսինքն՝ զրո թվի աստիճանը կոտորակի հետ բացասական ցուցանիշիմաստ չունի.

Հարկ է նշել, որ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի այս սահմանման դեպքում կա մեկ նախազգուշացում. որոշ բացասական a-ի և որոշ m-ի և n-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի, և մենք մերժեցինք այս դեպքերը՝ ներմուծելով a≥0 պայմանը: Օրինակ, գրառումները իմաստ ունեն կամ, և վերը տրված սահմանումը մեզ ստիպում է ասել, որ ձևի կոտորակային ցուցիչ ունեցող ուժերը. իմաստ չունի, քանի որ հիմքը չպետք է բացասական լինի:

Մ/ն կոտորակային ցուցիչով աստիճանը որոշելու մեկ այլ մոտեցում է արմատի զույգ և կենտ ցուցիչները առանձին դիտարկելն է: Այս մոտեցումը պահանջում է լրացուցիչ պայման՝ a թվի հզորությունը, որի ցուցիչը , համարվում է a թվի հզորությունը, որի ցուցիչը համապատասխան անկրճատելի կոտորակն է (այս պայմանի կարևորությունը կբացատրենք ստորև. ). Այսինքն, եթե m/n-ն անկրճատելի կոտորակ է, ապա ցանկացած բնական թվի համար k աստիճանը սկզբում փոխարինվում է .

Նույնիսկ n-ի և դրական m-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի ցանկացած ոչ բացասական a-ի համար (բացասական թվի զույգ արմատը իմաստ չունի m-ի համար, a թիվը դեռ պետք է տարբերվի զրոյից (հակառակ դեպքում կլինի բաժանում): զրոյով): Իսկ կենտ n-ի և դրական m-ի համար a թիվը կարող է լինել ցանկացած (կենտ աստիճանի արմատը սահմանվում է ցանկացած իրական թվի համար), իսկ բացասական m-ի համար a թիվը պետք է լինի ոչ զրոյական (որպեսզի բաժանում չլինի): զրո)։

Վերոհիշյալ պատճառաբանությունը մեզ տանում է դեպի կոտորակային ցուցիչ ունեցող աստիճանի այս սահմանումը:

Սահմանում.

Թող m/n-ը լինի անկրճատելի կոտորակ, m-ը` ամբողջ, իսկ n-ը` բնական թիվ: Ցանկացած կրճատվող կոտորակի համար աստիճանը փոխարինվում է . m/n անկրճատելի կոտորակային ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը համար է



Եկեք բացատրենք, թե ինչու է կրճատվող կոտորակային ցուցիչով աստիճանը սկզբում փոխարինվում է անկրճատելի ցուցիչով աստիճանով: Եթե ​​մենք պարզապես սահմանեինք աստիճանը որպես , և վերապահում չանեինք m/n կոտորակի անկրճատելիության վերաբերյալ, ապա մենք կբախվեինք հետևյալի նման իրավիճակներին. քանի որ 6/10 = 3/5, ապա հավասարությունը պետք է պահպանվի: , Բայց , Ա .

ՄԱՍ II. ԳԼՈՒԽ 6
ԹՎԵՐԻ ՀԵՐԹԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հասկացությունը

Թող a-ն լինի դրական, իսկ a-ն՝ իռացիոնալ թիվ:
Ի՞նչ նշանակություն պետք է տալ a* արտահայտությանը:
Ներկայացումն ավելի պարզ դարձնելու համար մենք այն կանցկացնենք մասնավոր
օրինակ։ Մասնավորապես, դնենք a - 2 և a = 1, 624121121112: . . .
Այստեղ, և - անվերջ տասնորդական, կազմված ըստ սրա
օրենք՝ սկսած չորրորդ տասնորդականից՝ ա պատկերի համար
Օգտագործվում են միայն 1 և 2 համարները, իսկ թվերի թիվը 1 է,
անընդմեջ գրված է 2 թվից առաջ՝ անընդհատ մեծանալով
մեկ. a կոտորակը ոչ պարբերական է, քանի որ հակառակ դեպքում թվանշանների թիվը 1 է,
իր կերպարով անընդմեջ արձանագրված կլիներ սահմանափակ։
Հետևաբար, a-ն իռացիոնալ թիվ է:
Այսպիսով, ինչ իմաստ պետք է տալ արտահայտությանը
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . Ռ
Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք ստեղծենք արժեքների հաջորդականություն
իսկ թերությամբ և ավելցուկով՝ (0.1)* ճշգրտությամբ։ Մենք ստանում ենք
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Ստեղծենք 2 թվի լիազորությունների համապատասխան հաջորդականությունները.
2 մ. 2 մ*; 21*624; 21'62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Վւ 21.6Շ; . (4)
Հաջորդականությունը (3) աճում է հաջորդականության մեծացման հետ
(1) (Թեորեմ 2 § 6):
Հաջորդականությունը (4) նվազում է, քանի որ հաջորդականությունը նվազում է
(2).
(3) հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ փոքր է հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամից
(4), և այդպիսով (3) հաջորդականությունը սահմանափակ է
վերևից, իսկ հաջորդականությունը (4) սահմանափակված է ներքևում:
Հիմնվելով միատոն սահմանափակ հաջորդականության թեորեմի վրա
(3) և (4) հաջորդականություններից յուրաքանչյուրն ունի սահման: Եթե

384 Գ աստիճանի հասկացություն իռացիոնալ ցուցանիշ. .

այժմ պարզվում է, որ (4) և (3) հաջորդականությունների միջև տարբերությունը համընկնում է
մինչև զրոյի, ապա կհետևի, որ այս երկու հաջորդականությունները,
ունեն ընդհանուր սահման.
(3) և (4) հաջորդականությունների առաջին անդամների տարբերությունը.
21-7 - 21'* = 2|, (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Երկրորդ տերմինների տարբերությունը
21’63 - 21,62 = 21,62 (2°’01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
n-րդ տերմինների տարբերությունը
0,0000. ..0 1
2>.««…(2» - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Հիմնվելով թեորեմ 3 § 6-ի վրա
lim 10″ / 2 = 1:
Այսպիսով, (3) և (4) հաջորդականություններն ունեն ընդհանուր սահման: Սա
սահմանը միակ իրական թիվն է, որն ավելի մեծ է
հաջորդականության բոլոր անդամները (3) և պակաս, քան հաջորդականության բոլոր անդամները
(4), նպատակահարմար է համարել այն 2*-ի ճշգրիտ արժեքը:
Ասվածից հետևում է, որ ընդհանուր առմամբ նպատակահարմար է ընդունել
հետևյալ սահմանումը.
Սահմանում. Եթե ​​a^> 1, ապա a-ի հզորությունը իռացիոնալով
a ցուցիչը իրական թիվ է
որն ավելի մեծ է այս թվի բոլոր հզորություններից, որոնց ցուցիչներն են
ռացիոնալ մոտարկումներ ա՝ թերություն ունեցող, և բոլոր աստիճաններից պակաս
այս թիվը, որի ցուցիչները ռացիոնալ մոտավորություններ են և հետ
ավելցուկ.
Եթե<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
իրական թիվն է, որը մեծ է բոլոր հզորություններից
այս թիվը, որի ցուցիչները ռացիոնալ մոտավորություններ են և
ավելցուկով, և ավելի քիչ, քան այս թվի բոլոր լիազորությունները, որոնց ցուցանիշները
- ռացիոնալ մոտարկումներ a թերություն ունեցող.
.Եթե a- 1, ապա դրա աստիճանը իռացիոնալ ցուցիչով a
1 է։
Օգտագործելով սահման հասկացությունը՝ կարելի է ձևակերպել այս սահմանումը
Այսպիսով.
Իռացիոնալ ցուցիչով դրական թվի հզորությունը
և կոչվում է այն սահմանը, որին ուղղված է հաջորդականությունը
այս թվի ռացիոնալ ուժերը՝ պայմանով, որ հաջորդականությունը
այս աստիճանների ցուցիչները հակված են a-ին, այսինքն.
аа = lim аЧ
բ — *
13 D, K. Fatsheev, I. S. Sominsky

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճան, նրա հատկությունները:

Արտահայտությունը a n սահմանված է բոլոր a-ի և n-ի համար, բացառությամբ a=0-ի n≤0 դեպքի: Հիշենք նման ուժերի հատկությունները։

Ցանկացած a, b և m և n ամբողջ թվերի համար հավասարությունները վավեր են.

A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0):

Ուշադրություն դարձրեք նաև հետևյալ հատկությանը.

Եթե ​​m>n, ապա m >a n a>1-ի և a m-ի համար<а n при 0<а<1.

Այս բաժնում մենք ընդհանրացնենք թվի հզորությունների հասկացությունը՝ իմաստ տալով 2-րդ տիպի արտահայտություններին 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 և այլն: Բնական է այնպիսի սահմանում տալ, որ ռացիոնալ ցուցիչներով ուժերն ունենան նույն հատկությունները (կամ գոնե դրանց մի մասը), ինչ ամբողջ թվով չափիչ ունեցող ուժերը: Այնուհետեւ, մասնավորապես, թվի n-րդ աստիճանըպետք է հավասար լինի aմ . Իսկապես, եթե գույքը

(a p) q =a pq

կատարվում է, ապա

Վերջին հավասարությունը նշանակում է (n-րդ արմատի սահմանմամբ), որ թիվըպետք է լինի a-ի n-րդ արմատըմ.

Սահմանում.

r= ռացիոնալ ցուցիչով a>0 թվի հզորությունը, որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ (n > 1), դա թիվն է։

Այսպիսով, ըստ սահմանման

(1)

0-ի հզորությունը սահմանվում է միայն դրական ցուցիչների համար. ըստ սահմանման 0 r = 0 ցանկացած r>0-ի համար:

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով:

Իռացիոնալ թիվկարող է ներկայացվել ձևովռացիոնալ թվերի հաջորդականության սահմանը: .

Թող . Այնուհետև կան ուժեր՝ ռացիոնալ ցուցիչով։ Կարելի է ապացուցել, որ այս ուժերի հաջորդականությունը կոնվերգենտ է։ Այս հաջորդականության սահմանը կոչվում է աստիճանը բազային և իռացիոնալ ցուցիչով: .

Եկեք մի քանի կետ գծենք y = 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա x նախապես հաշվարկելով 2 արժեքը՝ օգտագործելով հաշվիչ x հատվածի վրա [-2; 3] 1/4 քայլով (նկ. 1, ա), իսկ հետո 1/8 քայլով (նկ. 1, բ) մտովի շարունակելով նույն կոնստրուկցիաները 1/16, 1/32, և այլն, մենք տեսնում ենք, որ ստացված կետերը կարելի է միացնել հարթ կորով, որը բնականաբար կարելի է համարել ինչ-որ ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը սահմանվում և մեծանում է ամբողջ թվային գծի երկայնքով և ընդունում արժեքներ։ռացիոնալ կետերում(նկ. 1, գ): Բավականաչափ կառուցելով մեծ թիվֆունկցիայի գրաֆիկի կետերը, կարող եք համոզվել, որ այս ֆունկցիան ունի նմանատիպ հատկություններ (տարբերությունն այն է, որ ֆունկցիաննվազում է R):

Այս դիտարկումները հուշում են, որ 2 թվերը կարող են սահմանվել այսպեսα և յուրաքանչյուր իռացիոնալ α-ի համար, որ y=2 բանաձեւերով տրված ֆունկցիաները x և կլինի շարունակական, իսկ y=2 ֆունկցիան x մեծանում է, իսկ ֆունկցիաննվազում է ամբողջ թվային գծի երկայնքով:

Եկեք ընդհանուր ձևով նկարագրենք, թե ինչպես է որոշվում a թիվը α իռացիոնալ α-ի համար a>1-ի համար: Մենք ցանկանում ենք ապահովել, որ y = a ֆունկցիան x ավելանում էր. Հետո ցանկացած ռացիոնալ ռ 1 և r 2 այնպես, որ r 1<αպետք է բավարարի անհավասարությունները ա r 1<а α <а r 1 .

r արժեքների ընտրություն 1 և r 2 մոտենալով x-ին, կարելի է նկատել, որ a-ի համապատասխան արժեքները r 1 և a r 2 քիչ կտարբերվի. Կարելի է ապացուցել, որ գոյություն ունի և միայն մեկ թիվ y, որը մեծ է բոլոր a-ից r 1 բոլոր ռացիոնալ ռ 1 և առնվազն a r 2 բոլոր ռացիոնալ ռ 2 . Այս y թիվը ըստ սահմանման a է α .

Օրինակ՝ օգտագործելով հաշվիչը՝ 2 արժեքը հաշվարկելու համար x x n և x` n կետերում, որտեղ x n և x` n - թվերի տասնորդական մոտարկումներմենք կգտնենք, որ որքան մոտ է x n և x`n k , այնքան քիչ են տարբերվում 2-ը x n և 2 x` n:

Այդ ժամանակվանից

եւ, հետեւաբար,

Նմանապես, հաշվի առնելով հետևյալ տասնորդական մոտավորություններըըստ թերության և ավելցուկի՝ մենք հասնում ենք հարաբերություններին

;

;

;

;

.

Իմաստը Հաշվիչի վրա հաշվարկված է.

.

Ա թիվը որոշվում է նույն կերպ α 0-ի համար<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 ցանկացած α-ի և 0-ի համարα =0 α>0-ի համար:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.

ժամը ա > 0, ա = 1, գործառույթը սահմանված է y = ա x, տարբերվում է հաստատունից։ Այս ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիահիմքովա.

y= ա xժամը ա> 1:

0 հիմքով էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկները< ա < 1 и ա> 1-ը ցույց է տրված նկարում:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները y= ա x 0-ին< ա < 1:

• Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային տողն է։
• Ֆունկցիոնալ միջակայք - ինտերվալ (0; + ) .
• Ֆունկցիան խիստ միապաղաղ մեծանում է ամբողջ թվային տողի վրա, այսինքն՝ եթե x 1 < x 2, ապա կացին 1 > ա x 2 .
• ժամը x= 0 ֆունկցիայի արժեքը 1 է:
• Եթե x> 0, ապա 0< ա < 1 եւ եթե x < 0, то կացին > 1.
TO ընդհանուր հատկություններէքսպոնենցիալ ֆունկցիա, ինչպես 0-ում< a < 1, так и при a > 1 ներառում է.
• ա x 1 ա x 2 = ա x 1 + x 2, բոլորի համար x 1 Եվ x 2.
• ա − x= ( ա x) − 1 = 1 աxորեւէ մեկի համար x.
• nա x= ա

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճան, նրա հատկությունները:

Արտահայտությունը a n սահմանված է բոլոր a-ի և n-ի համար, բացառությամբ a=0-ի n≤0 դեպքի: Հիշենք նման ուժերի հատկությունները։

Ցանկացած a, b և m և n ամբողջ թվերի համար հավասարությունները վավեր են.

A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0):

Ուշադրություն դարձրեք նաև հետևյալ հատկությանը.

Եթե ​​m>n, ապա m >a n a>1-ի և a m-ի համար<а n при 0<а<1.

Այս բաժնում մենք ընդհանրացնենք թվի հզորությունների հասկացությունը՝ իմաստ տալով 2-րդ տիպի արտահայտություններին 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 և այլն: Բնական է այնպիսի սահմանում տալ, որ ռացիոնալ ցուցիչներով ուժերն ունենան նույն հատկությունները (կամ գոնե դրանց մի մասը), ինչ ամբողջ թվով չափիչ ունեցող ուժերը: Այնուհետեւ, մասնավորապես, թվի n-րդ աստիճանըպետք է հավասար լինի aմ . Իսկապես, եթե գույքը

(a p) q =a pq

կատարվում է, ապա

Վերջին հավասարությունը նշանակում է (n-րդ արմատի սահմանմամբ), որ թիվըպետք է լինի a-ի n-րդ արմատըմ.

Սահմանում.

r= ռացիոնալ ցուցիչով a>0 թվի հզորությունը, որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ (n > 1), դա թիվն է։

Այսպիսով, ըստ սահմանման

(1)

0-ի հզորությունը սահմանվում է միայն դրական ցուցիչների համար. ըստ սահմանման 0 r = 0 ցանկացած r>0-ի համար:

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով:

Իռացիոնալ թիվկարող է ներկայացվել ձևովռացիոնալ թվերի հաջորդականության սահմանը: .

Թող . Այնուհետև կան ուժեր՝ ռացիոնալ ցուցիչով։ Կարելի է ապացուցել, որ այս ուժերի հաջորդականությունը կոնվերգենտ է։ Այս հաջորդականության սահմանը կոչվում է աստիճանը բազային և իռացիոնալ ցուցիչով: .

Եկեք մի քանի կետ գծենք y = 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա x նախապես հաշվարկելով 2 արժեքը՝ օգտագործելով հաշվիչ x հատվածի վրա [-2; 3] 1/4 քայլով (նկ. 1, ա), իսկ հետո 1/8 քայլով (նկ. 1, բ) մտովի շարունակելով նույն կոնստրուկցիաները 1/16, 1/32, և այլն, մենք տեսնում ենք, որ ստացված կետերը կարելի է միացնել հարթ կորով, որը բնականաբար կարելի է համարել ինչ-որ ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը սահմանվում և մեծանում է ամբողջ թվային գծի երկայնքով և ընդունում արժեքներ։ռացիոնալ կետերում(նկ. 1, գ): Ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա բավականաչափ մեծ թվով կետեր կառուցելով, կարող եք համոզվել, որ այս ֆունկցիան ունի նմանատիպ հատկություններ (տարբերությունն այն է, որ ֆունկցիաննվազում է R):

Այս դիտարկումները հուշում են, որ 2 թվերը կարող են սահմանվել այսպեսα և յուրաքանչյուր իռացիոնալ α-ի համար, որ y=2 բանաձեւերով տրված ֆունկցիաները x և կլինի շարունակական, իսկ y=2 ֆունկցիան x մեծանում է, իսկ ֆունկցիաննվազում է ամբողջ թվային գծի երկայնքով:

Եկեք ընդհանուր ձևով նկարագրենք, թե ինչպես է որոշվում a թիվը α իռացիոնալ α-ի համար a>1-ի համար: Մենք ցանկանում ենք ապահովել, որ y = a ֆունկցիան x ավելանում էր. Հետո ցանկացած ռացիոնալ ռ 1 և r 2 այնպես, որ r 1<αպետք է բավարարի անհավասարությունները ա r 1<а α <а r 1 .

r արժեքների ընտրություն 1 և r 2 մոտենալով x-ին, կարելի է նկատել, որ a-ի համապատասխան արժեքները r 1 և a r 2 քիչ կտարբերվի. Կարելի է ապացուցել, որ գոյություն ունի և միայն մեկ թիվ y, որը մեծ է բոլոր a-ից r 1 բոլոր ռացիոնալ ռ 1 և առնվազն a r 2 բոլոր ռացիոնալ ռ 2 . Այս y թիվը ըստ սահմանման a է α .

Օրինակ՝ օգտագործելով հաշվիչը՝ 2 արժեքը հաշվարկելու համար x x n և x` n կետերում, որտեղ x n և x` n - թվերի տասնորդական մոտարկումներմենք կգտնենք, որ որքան մոտ է x n և x`n k , այնքան քիչ են տարբերվում 2-ը x n և 2 x` n:

Այդ ժամանակվանից

եւ, հետեւաբար,

Նմանապես, հաշվի առնելով հետևյալ տասնորդական մոտավորություններըըստ թերության և ավելցուկի՝ մենք հասնում ենք հարաբերություններին

;

;

;

;

.

Իմաստը Հաշվիչի վրա հաշվարկված է.

.

Ա թիվը որոշվում է նույն կերպ α 0-ի համար<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 ցանկացած α-ի և 0-ի համարα =0 α>0-ի համար:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.

ժամը ա > 0, ա = 1, գործառույթը սահմանված է y = ա x, տարբերվում է հաստատունից։ Այս ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիահիմքովա.

y= ա xժամը ա> 1:

0 հիմքով էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկները< ա < 1 и ա> 1-ը ցույց է տրված նկարում:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները y= ա x 0-ին< ա < 1:

• Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային տողն է։
• Ֆունկցիոնալ միջակայք - ինտերվալ (0; + ) .
• Ֆունկցիան խիստ միապաղաղ մեծանում է ամբողջ թվային տողի վրա, այսինքն՝ եթե x 1 < x 2, ապա կացին 1 > ա x 2 .
• ժամը x= 0 ֆունկցիայի արժեքը 1 է:
• Եթե x> 0, ապա 0< ա < 1 եւ եթե x < 0, то կացին > 1.
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ընդհանուր հատկություններին 0-ում< a < 1, так и при a > 1 ներառում է.
• ա x 1 ա x 2 = ա x 1 + x 2, բոլորի համար x 1 Եվ x 2.
• ա − x= ( ա x) − 1 = 1 աxորեւէ մեկի համար x.
• nա x= ա

Տեղեկատվական բում Կենսաբանության մեջ. մանրէների գաղութներ Պետրիի ճաշատեսակում Ճագարներ Ավստրալիայում Շղթայական ռեակցիաներ՝ քիմիայում Ֆիզիկայի մեջ՝ ռադիոակտիվ քայքայում, փոփոխություն մթնոլորտային ճնշումբարձրության փոփոխությամբ, մարմնի սառեցում ֆիզիկայում՝ ռադիոակտիվ քայքայում, մթնոլորտային ճնշման փոփոխություն բարձրության փոփոխությամբ, մարմնի սառեցում։ Արյան մեջ ադրենալինի արտազատում և դրա ոչնչացում Նրանք նաև պնդում են, որ տեղեկատվության քանակը կրկնապատկվում է 10 տարին մեկ։

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5

Արտահայտություն 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1,7 1,73; 1,732;1,73205; 1, ;… հաջորդականությունը մեծանում է 2 1; 2 1.7; 2 1.73 ;2 1.732 ; 2 1.73205; 2 1, ;… հաջորդականությունը մեծանում է Bounded, ինչը նշանակում է, որ այն համընկնում է մեկ սահմանի վրա՝ արժեքը 2 3

Կարելի է սահմանել π ​​0

10 10 18 Ֆունկցիայի հատկությունները y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title=" y ֆունկցիայի հատկությունները = a x n \ n a >10 21

Տեղեկատվության քանակը կրկնապատկվում է յուրաքանչյուր 10 տարին մեկ Եզի առանցքի երկայնքով՝ ըստ թվաբանական առաջընթացի օրենքի՝ 1,2,3,4… Oy առանցքի երկայնքով - ըստ օրենքի երկրաչափական առաջընթաց 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի գրաֆիկ, այն կոչվում է ցուցիչ (լատիներեն exponere - ցույց տալ)