Մուտքի մակարդակ

Աստիճանը և դրա հատկությունները: Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Ինչու են անհրաժեշտ աստիճաններ: Որտեղ ձեզ դրանք պետք կգան: Ինչո՞ւ պետք է ժամանակ հատկացնեք դրանք ուսումնասիրելու համար:

Իմանալ ամեն ինչ աստիճանների մասին, ինչի համար են դրանք, ինչպես օգտագործել ձեր գիտելիքները առօրյա կյանքկարդալ այս հոդվածը.

Եվ, իհարկե, աստիճանների իմացությունը ձեզ ավելի կմոտեցնի հաջողությանը անցնելով OGEկամ միասնական պետական ​​քննություն և ընդունելություն քո երազանքների համալսարան:

Եկեք գնանք ... (Եկեք գնանք):

Կարևոր նշում! Եթե ​​բանաձևերի փոխարեն տեսնում եք gobbledygook, մաքրեք ձեր քեշը: Դա անելու համար սեղմեք CTRL+F5 (Windows-ում) կամ Cmd+R (Mac-ում):

ՄՈՒՏՔԻ ՄԱՐԴԱԿ

Իշխանության բարձրացումը նույնն է մաթեմատիկական գործողությունինչպես գումարումը, հանումը, բազմապատկումը կամ բաժանումը:

Հիմա ես ամեն ինչ կբացատրեմ մարդկային լեզվով պարզ օրինակներ. Զգույշ եղեք. Օրինակները տարրական են, բայց բացատրում են կարևոր բաներ։

Սկսենք ավելացումից։

Այստեղ բացատրելու բան չկա։ Դուք արդեն ամեն ինչ գիտեք՝ մենք ութ հոգի ենք։ Յուրաքանչյուր ոք ունի երկու շիշ կոլա: Որքա՞ն կոլա կա այնտեղ: Ճիշտ է` 16 շիշ:

Հիմա բազմապատկում.

Կոլայի հետ նույն օրինակը կարելի է տարբեր կերպ գրել. Մաթեմատիկոսները խորամանկ և ծույլ մարդիկ են։ Նրանք նախ նկատում են որոշ օրինաչափություններ, իսկ հետո պարզում են դրանք ավելի արագ «հաշվելու» միջոց: Մեր դեպքում նրանք նկատեցին, որ ութ հոգուց յուրաքանչյուրն ունի նույն թվով կոլայի շշեր և հայտնագործեցին մի տեխնիկա, որը կոչվում է բազմապատկում: Համաձայն եմ, այն համարվում է ավելի հեշտ և արագ, քան:

Այսպիսով, ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների հաշվելու համար պարզապես անհրաժեշտ է հիշել բազմապատկման աղյուսակ. Իհարկե, դուք կարող եք ամեն ինչ անել ավելի դանդաղ, ավելի դժվար և սխալներով: Բայց…

Ահա բազմապատկման աղյուսակը. Կրկնել.

Եվ մեկ այլ, ավելի գեղեցիկ.

Ուրիշ ի՞նչ: խորամանկ հնարքներարդյո՞ք հաշիվները հորինել են ծույլ մաթեմատիկոսները: Աջ - թիվը հասցնելով ուժի.

Թիվը հզորության բարձրացում

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է թիվն ինքն իրենով հինգ անգամ բազմապատկել, ապա մաթեմատիկոսներն ասում են, որ պետք է այդ թիվը հասցնել հինգերորդ աստիճանի։ Օրինակ, . Մաթեմատիկոսները հիշում են, որ երկուսից հինգերորդ ուժը... Եվ նրանք իրենց գլխում լուծում են այդպիսի խնդիրներ՝ ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների։

Ձեզ անհրաժեշտ է միայն հիշեք, թե ինչն է գույնով ընդգծված թվերի հզորությունների աղյուսակում. Հավատացեք ինձ, սա ձեր կյանքը շատ կհեշտացնի:

Ի դեպ, ինչո՞ւ է այն կոչվում երկրորդ աստիճան։ քառակուսիթվեր, իսկ երրորդը՝ խորանարդ? Ի՞նչ է դա նշանակում։ Շատ լավ հարց. Այժմ դուք կունենաք և՛ քառակուսիներ, և՛ խորանարդներ:

Իրական կյանքի օրինակ թիվ 1

Սկսենք քառակուսուց կամ թվի երկրորդ աստիճանից։

Պատկերացրեք քառակուսի լողավազան՝ մեկ մետր մեկ մետրի չափով: Լողավազանը ձեր տնակում է։ Շոգ է, և ես շատ եմ ուզում լողալ: Բայց... լողավազանը հատակ չունի։ Դուք պետք է ծածկեք լողավազանի հատակը սալիկներով: Քանի սալիկ է ձեզ հարկավոր: Դա որոշելու համար դուք պետք է իմանաք լողավազանի ստորին հատվածը:

Պարզապես կարող եք մատով ցույց տալ, որ լողավազանի հատակը բաղկացած է մետր առ մետր խորանարդներից։ Եթե ​​դուք ունեք սալիկներ մեկ մետր մեկ մետր, ապա ձեզ անհրաժեշտ կլինեն կտորներ: Հեշտ է... Բայց որտե՞ղ եք տեսել այդպիսի սալիկներ։ Կղմինդրը, ամենայն հավանականությամբ, կլինի սմ-ով, իսկ հետո «մատով հաշվելով» ձեզ կտանջեն։ Հետո պետք է բազմապատկել։ Այսպիսով, լողավազանի հատակի մի կողմում մենք կտեղավորենք սալիկներ (կտորներ), իսկ մյուս կողմում նույնպես սալիկներ: Բազմապատկեք և կստանաք սալիկներ ():

Նկատե՞լ եք, որ լողավազանի հատակի մակերեսը որոշելու համար մենք նույն թիվն ինքնին բազմապատկեցինք։ Ի՞նչ է դա նշանակում։ Քանի որ մենք բազմապատկում ենք նույն թիվը, մենք կարող ենք օգտագործել «ցուցադրման» տեխնիկան: (Իհարկե, երբ դուք ունեք ընդամենը երկու թիվ, դուք դեռ պետք է բազմապատկեք դրանք կամ հասցնեք դրանք հզորության: Բայց եթե դրանք շատ են, ապա դրանք հզորության հասցնելը շատ ավելի հեշտ է, և նաև ավելի քիչ սխալներ կան հաշվարկներում: Միասնական պետական ​​քննության համար սա շատ կարևոր է):
Այսպիսով, երեսունից երկրորդ ուժը կլինի (): Կամ կարող ենք ասել, որ կլինի երեսուն քառակուսի: Այլ կերպ ասած, թվի երկրորդ աստիճանը միշտ կարող է ներկայացվել որպես քառակուսի: Եվ հակառակը, եթե քառակուսի եք տեսնում, ապա այն ՄԻՇՏ ինչ-որ թվի երկրորդ աստիճանն է։ Քառակուսին թվի երկրորդ աստիճանի պատկերն է։

Իրական կյանքի օրինակ #2

Ահա ձեզ համար առաջադրանք. հաշվեք, թե քանի քառակուսի կա շախմատի տախտակի վրա՝ օգտագործելով թվի քառակուսին... Բջիջների մի կողմում և մյուս կողմից նույնպես: Դրանց թիվը հաշվարկելու համար պետք է ութը բազմապատկել ութով կամ... եթե նկատում եք, որ շախմատի տախտակը կողով քառակուսի է, ապա կարող եք քառակուսի դնել ութը։ Դուք կստանաք բջիջներ: () Ուրեմն?

Իրական կյանքի օրինակ #3

Այժմ խորանարդը կամ թվի երրորդ ուժը: Նույն լողավազան. Բայց հիմա պետք է պարզել, թե որքան ջուր պետք է լցվի այս լողավազանի մեջ։ Դուք պետք է հաշվարկեք ծավալը: (Ծավալներն ու հեղուկները, ի դեպ, չափվում են խորանարդ մետր. Անսպասելի է, չէ՞:) Նկարեք լողավազան. մետր չափող հատակ և մետր խորություն և փորձեք հաշվել, թե մետրը մետր չափող քանի խորանարդ կտեղավորվի ձեր լողավազանում:

Պարզապես ցույց տվեք ձեր մատը և հաշվեք: Մեկ, երկու, երեք, չորս... քսաներկու, քսաներեք...Քանի՞ն եք ստացել։ Չե՞ք կորցրել: Դժվա՞ր է մատով հաշվել։ Վե՛րջ: Օրինակ վերցրեք մաթեմատիկոսներից. Նրանք ծույլ են, ուստի նկատել են, որ լողավազանի ծավալը հաշվարկելու համար պետք է միմյանցով բազմապատկել դրա երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը։ Մեր դեպքում լողավազանի ծավալը հավասար կլինի խորանարդի... Ավելի հեշտ չէ՞։

Հիմա պատկերացրեք, թե որքան ծույլ և խորամանկ են մաթեմատիկոսները, եթե սա էլ պարզեցնեն։ Մենք ամեն ինչ կրճատեցինք մեկ գործողության. Նրանք նկատել են, որ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը հավասար են, և որ նույն թիվը բազմապատկվում է ինքն իրեն... Ի՞նչ է սա նշանակում։ Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք օգտվել աստիճանից: Այսպիսով, ինչ որ ժամանակին մատով էիր հաշվում, անում են մեկ գործողությամբ՝ երեք խորանարդը հավասար է։ Գրված է այսպես.

Մնում է միայն հիշեք աստիճանների աղյուսակը. Եթե, իհարկե, մաթեմատիկոսների նման ծույլ ու խորամանկ չեք։ Եթե ​​սիրում եք շատ աշխատել և սխալներ թույլ տալ, կարող եք շարունակել հաշվել մատով։

Դե, վերջապես ձեզ համոզելու համար, որ աստիճանները թողածներն ու խորամանկ մարդիկ են հորինել իրենց կյանքի խնդիրները լուծելու, այլ ոչ թե ձեզ համար խնդիրներ ստեղծելու համար, ահա ևս մի երկու օրինակ կյանքից։

Իրական կյանքի օրինակ #4

Դուք ունեք մեկ միլիոն ռուբլի: Ամեն տարվա սկզբին ձեր վաստակած յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց դուք ևս մեկ միլիոն եք վաստակում: Այսինքն՝ ձեր յուրաքանչյուր միլիոնը կրկնապատկվում է ամեն տարվա սկզբին։ Որքա՞ն գումար կունենաք տարիների ընթացքում: Եթե ​​հիմա նստած «մատով հաշվում ես», ուրեմն շատ աշխատասեր մարդ ես ու... հիմար։ Բայց, ամենայն հավանականությամբ, մի քանի վայրկյանից պատասխան կտաս, քանի որ դու խելացի ես։ Ուրեմն, առաջին տարում` երկուսը բազմապատկած երկուսով... երկրորդ տարում` ինչ եղավ, ևս երկուսով, երրորդ տարում... Կանգ առեք: Նկատեցիք, որ թիվը բազմապատկվում է ինքն իրենով։ Այսպիսով, երկուսից հինգերորդ ուժը միլիոն է: Հիմա պատկերացրեք, որ դուք ունեք մրցույթ, և նա, ով կարող է ամենաարագ հաշվել, կստանա այս միլիոնները... Արժե հիշել թվերի ուժերը, չե՞ք կարծում:

Իրական կյանքի օրինակ #5

Դուք ունեք մեկ միլիոն: Ամեն տարվա սկզբին ձեր վաստակած յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց դուք ևս երկու վաստակում եք: Հիանալի չէ՞ Յուրաքանչյուր միլիոնը եռապատկվում է։ Որքա՞ն գումար կունենաք մեկ տարվա ընթացքում: Եկեք հաշվենք. Առաջին տարին՝ բազմապատկեք, հետո արդյունքը մեկով... Դա արդեն ձանձրալի է, որովհետև դուք արդեն ամեն ինչ հասկացաք. երեքն ինքն իրենով բազմապատկվում է անգամ: Այսպիսով, չորրորդ իշխանությանը հավասար է միլիոնի։ Պարզապես պետք է հիշել, որ երեքից չորրորդ ուժը կամ է:

Այժմ դուք գիտեք, որ թիվն ուժի հասցնելով դուք շատ կհեշտացնեք ձեր կյանքը: Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք, թե ինչ կարող եք անել աստիճաններով և ինչ պետք է իմանաք դրանց մասին:

Տերմիններ և հասկացություններ... չշփոթվելու համար

Այսպիսով, նախ, եկեք սահմանենք հասկացությունները: Կարծում եք ինչ է ցուցիչը? Դա շատ պարզ է՝ դա այն թիվն է, որը գտնվում է թվի հզորության «վերևում»: Գիտական ​​չէ, բայց պարզ ու հեշտ հիշվող...

Դե, միեւնույն ժամանակ, ինչ նման աստիճանի հիմք? Նույնիսկ ավելի պարզ - սա այն թիվն է, որը գտնվում է ներքևում, հիմքում:

Ահա մի նկարչություն լավ չափման համար:

Դե ներս ընդհանուր տեսարան, ընդհանրացնելու և ավելի լավ հիշելու համար... « » հիմքով և « ցուցիչով» աստիճանը կարդացվում է «դեպի աստիճան» և գրվում է հետևյալ կերպ.

Բնական ցուցիչով թվի հզորությունը

Դուք հավանաբար արդեն կռահեցիք, քանի որ ցուցիչը բնական թիվ է: Այո, բայց ինչ է դա բնական թիվ? Տարրական! Բնական թվերն այն թվերն են, որոնք օգտագործվում են հաշվելիս առարկաները թվարկելիս՝ մեկ, երկու, երեք... Երբ հաշվում ենք առարկաները, չենք ասում՝ «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»։ Մենք նաև չենք ասում՝ «մեկ երրորդ», կամ «զրո կետ հինգ»։ Սրանք բնական թվեր չեն։ Ձեր կարծիքով ի՞նչ թվեր են դրանք:

«մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ» թվերը վերաբերում են ամբողջ թվեր.Ընդհանուր առմամբ, ամբողջ թվերը ներառում են բոլոր բնական թվերը, բնական թվերին հակառակ թվերը (այսինքն՝ վերցված մինուս նշանով) և թիվը։ Զրոն հեշտ է հասկանալ, դա այն է, երբ ոչինչ չկա: Ի՞նչ են նշանակում բացասական («մինուս») թվերը: Բայց դրանք հորինվել են հիմնականում պարտքերը նշելու համար. եթե հեռախոսում հաշվեկշիռ ունեք ռուբլով, դա նշանակում է, որ դուք օպերատորին պարտք եք ռուբլով:

Բոլոր կոտորակները ռացիոնալ թվեր են: Ինչպե՞ս են դրանք առաջացել, ի՞նչ եք կարծում։ Շատ պարզ. Մի քանի հազար տարի առաջ մեր նախնիները հայտնաբերել են, որ երկարությունը, քաշը, մակերեսը և այլն չափելու համար բնական թվեր չունեն: Եվ նրանք եկան ռացիոնալ թվեր... Հետաքրքիր է, այնպես չէ՞։

Կան նաև իռացիոնալ թվեր։ Որո՞նք են այս թվերը: Մի խոսքով, անվերջ տասնորդական. Օրինակ, եթե շրջանագծի շրջագիծը բաժանես տրամագծի վրա, կստանաս իռացիոնալ թիվ։

Ռեզյումե:

Եկեք սահմանենք աստիճանի հասկացությունը, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ թիվ և դրական):

1. Առաջին աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է ինքն իրեն.
2. Թիվ քառակուսի դնել նշանակում է բազմապատկել այն ինքն իրենով.
3. Թիվը խորանարդի մեջ դնել նշանակում է այն երեք անգամ բազմապատկել ինքն իրենով.

Սահմանում.Բարձրացրեք համարը բնական աստիճան- նշանակում է թվի բազմապատկում ինքն իրենով.
.

Աստիճանների հատկությունները

Որտեղի՞ց են առաջացել այս հատկությունները: Ես ձեզ հիմա ցույց կտամ:

Տեսնենք՝ ինչ է դա Եվ ?

Ըստ սահմանման.

Քանի՞ բազմապատկիչ կա ընդհանուր առմամբ:

Դա շատ պարզ է՝ մենք գործոններին ավելացրեցինք բազմապատկիչներ, և արդյունքը բազմապատկիչ է:

Բայց ըստ սահմանման, սա ցուցիչով թվի հզորություն է, այսինքն՝ , ինչը պետք է ապացուցվեր։

ՕրինակՊարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում:

Օրինակ՝Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Լուծում:Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում Պարտադիրպետք է լինեն նույն պատճառները!
Հետևաբար, մենք միավորում ենք ուժերը բազայի հետ, բայց դա մնում է առանձին գործոն.

միայն ուժերի արդյունքի համար։

Ոչ մի դեպքում չես կարող դա գրել։

2. վերջ թվի րդ հզորությունը

Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք դիմենք աստիճանի սահմանմանը.

Ստացվում է, որ արտահայտությունը բազմապատկվում է ինքն իրենով անգամ, այսինքն, ըստ սահմանման, սա թվի երրորդ ուժն է.

Սա, ըստ էության, կարելի է անվանել «ցուցանիշը փակագծերից հանել»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ.

Հիշենք կրճատված բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ էինք ուզում գրել։

Բայց սա, ի վերջո, ճիշտ չէ։

Հզորությունը բացասական հիմքով

Մինչև այս պահը մենք միայն քննարկել ենք, թե ինչպիսին պետք է լինի ցուցանիշը։

Բայց ի՞նչը պետք է հիմք հանդիսանա։

-ի լիազորություններում բնական ցուցանիշհիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ. Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թվեր՝ լինեն դրանք դրական, բացասական կամ զույգ։

Եկեք մտածենք, թե ո՞ր նշանները («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ։

Օրինակ՝ թիվը դրակա՞ն է, թե՞ բացասական։ Ա. ? Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք իրարով, արդյունքը կլինի դրական։

Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Մենք հիշում ենք պարզ կանոնը 6-րդ դասարանից. «մինուս մինուսի դիմաց տալիս է գումարած»: Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք, ստացվում է:

Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.

Դուք հասցրե՞լ եք:

Ահա պատասխանները. Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք հիմքին և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Օրինակ 5-ում) ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. ի վերջո, կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի:

Դե, բացի այն դեպքերից, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը հավասար չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):

Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ:

6 օրինակ պրակտիկայի համար

Լուծման վերլուծություն 6 օրինակ

Եթե ​​անտեսենք ութերորդ իշխանությունը, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Հիշենք 7-րդ դասարանի ծրագիրը. Այսպիսով, դուք հիշում եք. Սա կրճատ բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։ Մենք ստանում ենք.

Եկեք ուշադիր նայենք հայտարարին: Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների հերթականությունը սխալ է։ Եթե ​​դրանք փոխվեն, ապա կանոնը կարող է կիրառվել:

Բայց ինչպես դա անել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է. այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը:

Կախարդական կերպով տերմինները փոխեցին տեղերը: Այս «երևույթը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք հեշտությամբ կարող ենք փոխել փակագծերի նշանները։

Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ!

Վերադառնանք օրինակին.

Եվ կրկին բանաձևը.

Ամբողջականմենք անվանում ենք բնական թվերը, դրանց հակադիրները (այսինքն՝ վերցված « » նշանով) և թիվը։

ամբողջ դրական թիվ , և դա ոչնչով չի տարբերվում բնականից, այնուհետև ամեն ինչ ճիշտ է թվում, ինչպես նախորդ բաժնում:

Հիմա նայենք նոր դեպքերին։ Սկսենք հավասար ցուցանիշից.

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Ինչպես միշտ, եկեք ինքներս մեզ հարցնենք՝ ինչո՞ւ է այդպես։

Դիտարկենք ինչ-որ աստիճան հիմքով։ Վերցրեք, օրինակ, և բազմապատկեք հետևյալով.

Այսպիսով, մենք թիվը բազմապատկեցինք և ստացանք նույնը, ինչ եղել է - . Ի՞նչ թվով պետք է բազմապատկել, որպեսզի ոչինչ չփոխվի: Ճիշտ է, շարունակվում է: Միջոցներ.

Նույնը կարող ենք անել կամայական թվով.

Կրկնենք կանոնը.

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Բայց կան բացառություններ շատ կանոններից: Եվ այստեղ այն նույնպես կա - սա թիվ է (որպես հիմք):

Մի կողմից, այն պետք է հավասար լինի ցանկացած աստիճանի - ինչքան էլ զրոն իր վրա բազմապատկես, միեւնույն է, զրո կստանաս, սա պարզ է։ Բայց մյուս կողմից, ինչպես զրոյական հզորության ցանկացած թիվ, այն պետք է հավասար լինի։ Այսպիսով, որքանո՞վ է դա ճիշտ: Մաթեմատիկոսները որոշեցին չխառնվել և հրաժարվեցին զրոն բարձրացնել զրոյական հզորության։ Այսինքն՝ հիմա մենք չենք կարող ոչ միայն զրոյի բաժանել, այլեւ հասցնել զրոյական հզորության։

Անցնենք առաջ։ Բացի բնական թվերից և թվերից, ամբողջ թվերը ներառում են նաև բացասական թվեր։ Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է բացասական աստիճանը, եկեք անենք այնպես, ինչպես նախորդ անգամ. մի քանի նորմալ թիվ բազմապատկենք նույն թվով բացասական աստիճան:

Այստեղից հեշտ է արտահայտել այն, ինչ փնտրում եք.

Այժմ եկեք ընդլայնենք ստացված կանոնը կամայական աստիճանի.

Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք կանոն.

Բացասական հզորությամբ թիվը դրական հզորությամբ նույն թվի փոխադարձն է: Բայց միևնույն ժամանակ Հիմքը չի կարող զրոյական լինել.(քանի որ դուք չեք կարող բաժանել):

Ամփոփենք.

I. Արտահայտությունը գործով սահմանված չէ։ Եթե, ապա.

II. Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի.

III. Թիվը, որը հավասար չէ զրոյի բացասական հզորությանը, նույն թվի հակադարձն է դրական հզորությանը.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

Դե, ինչպես միշտ, օրինակներ անկախ լուծումների համար.

Անկախ լուծման համար խնդիրների վերլուծություն.

Գիտեմ, գիտեմ, թվերը սարսափելի են, բայց միասնական պետական ​​քննությանը պետք է պատրաստ լինել ամեն ինչի: Լուծե՛ք այս օրինակները կամ վերլուծե՛ք դրանց լուծումները, եթե չկարողացաք լուծել դրանք, և դուք կսովորեք հեշտությամբ հաղթահարել դրանք քննության ժամանակ:

Եկեք շարունակենք ընդլայնել «հարմար» թվերի շրջանակը որպես ցուցիչ:

Հիմա դիտարկենք ռացիոնալ թվեր.Ո՞ր թվերն են կոչվում ռացիոնալ:

Պատասխան՝ այն ամենը, ինչ կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են, և.

Հասկանալու համար, թե ինչ է դա «կոտորակային աստիճան», հաշվի առեք կոտորակը.

Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ հասցնենք հզորության.

Հիմա հիշենք կանոնը «աստիճանից աստիճան»:

Ի՞նչ թիվ պետք է բարձրացվի հզորության հասնելու համար:

Այս ձևակերպումը րդ աստիճանի արմատի սահմանումն է։

Հիշեցնեմ՝ թվի ()-ի րդ աստիճանի արմատը այն թիվն է, որին, երբ բարձրացվում է աստիճանի, հավասարվում է:

Այսինքն, րդ հզորության արմատը հզորության բարձրացման հակադարձ գործողությունն է.

Պարզվում է, որ. Ակնհայտորեն սա հատուկ դեպքկարելի է ընդլայնել.

Այժմ մենք ավելացնում ենք համարիչը՝ ի՞նչ է դա։ Պատասխանը հեշտ է ստանալ՝ օգտագործելով իշխանությունից իշխանություն կանոնը.

Բայց հիմքը կարո՞ղ է լինել որևէ թիվ: Ի վերջո, արմատը չի կարող հանվել բոլոր թվերից:

Ոչ մեկը:

Հիշենք կանոնը. ցանկացած թիվ, որը բարձրացվում է մինչև զույգ մեծության, դրական թիվ է: Այսինքն՝ բացասական թվերից հնարավոր չէ նույնիսկ արմատներ հանել։

Սա նշանակում է, որ նման թվերը չեն կարող բարձրացվել կոտորակային հզորության՝ զույգ հայտարարով, այսինքն՝ արտահայտությունն իմաստ չունի։

Ինչ վերաբերում է արտահայտությանը.

Բայց այստեղ խնդիր է առաջանում.

Թիվը կարող է ներկայացվել այլ, կրճատվող կոտորակների տեսքով, օրինակ, կամ.

Եվ պարզվում է, որ այն կա, բայց չկա, բայց դրանք ընդամենը երկու տարբեր գրառումներ են նույն թվով։

Կամ մեկ այլ օրինակ՝ մեկ անգամ, հետո կարող ես գրել: Բայց եթե ցուցանիշը այլ կերպ գրենք, նորից փորձանքի մեջ ենք ընկնելու. (այսինքն՝ լրիվ այլ արդյունք ենք ստացել):

Նման պարադոքսներից խուսափելու համար մենք համարում ենք միայն դրական բազային ցուցիչ կոտորակային ցուցիչով.

Այսպիսով, եթե.

• - բնական թիվ;
• - ամբողջ թիվ;

Օրինակներ.

Ռացիոնալ ցուցիչները շատ օգտակար են արմատներով արտահայտությունները փոխակերպելու համար, օրինակ.

5 օրինակ պրակտիկայի համար

Վերապատրաստման 5 օրինակների վերլուծություն

Դե, հիմա գալիս է ամենադժվարը: Հիմա մենք դա կպարզենք աստիճան գ իռացիոնալ ցուցանիշ .

Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, բացառությամբ.

Ի վերջո, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն, իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ ռացիոնալների):

Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչներով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ մենք ստեղծում էինք որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն ավելի ծանոթ տերմիններով:

Օրինակ՝ բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանը իրենով մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է.

...թիվը զրոյական հզորության- սա, այսպես ասած, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկած թիվ է, այսինքն, նրանք դեռ չեն սկսել բազմապատկել այն, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքնին դեռ չի հայտնվել, հետևաբար արդյունքը միայն որոշակի «դատարկ թիվ» է: , մասնավորապես թիվ;

...բացասական ամբողջ աստիճան- կարծես ինչ-որ բան է պատահել հակադարձ գործընթաց», այսինքն՝ թիվն ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։

Ի դեպ, գիտության մեջ հաճախ օգտագործվում է բարդ ցուցիչ ունեցող աստիճան, այսինքն՝ ցուցանիշը նույնիսկ իրական թիվ չէ։

Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:

ՈՐՏԵՂ ՎՍՏԱՀ ԵՆՔ, ԴՈՒ ԳՆԱԼՈՒ ԵՔ: (եթե սովորես լուծել նման օրինակներ :))

Օրինակ.

Ինքներդ որոշեք.

Լուծումների վերլուծություն.

1. Սկսենք իշխանությունը իշխանության բարձրացման սովորական կանոնից.

Հիմա նայեք ցուցանիշին. Նա ձեզ ոչինչ չի՞ հիշեցնում։ Հիշենք քառակուսիների տարբերության կրճատ բազմապատկման բանաձևը.

Այս դեպքում,

Ստացվում է, որ.

Պատասխան. .

2. Ցուցանիշներով կոտորակները կրճատում ենք նույն ձևով` կա՛մ երկու տասնորդական, կա՛մ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.

Պատասխան՝ 16

3. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք օգտագործում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.

Ընդլայնված ՄԱՐԴԱԿ

աստիճանի որոշում

Աստիճանը ձևի արտահայտությունն է՝ , որտեղ.

• — աստիճանի բազա;
• - ցուցիչ:

Աստիճան բնական ցուցանիշով (n = 1, 2, 3,...)

Թիվը բնական n հզորության հասցնելը նշանակում է թիվն ինքն իրենով բազմապատկել.

Աստիճան ամբողջ թվով ցուցիչով (0, ±1, ±2,...)

Եթե ​​ցուցիչն է դրական ամբողջ թիվհամարը:

Շինարարություն զրոյական աստիճանի:

Արտահայտությունն անորոշ է, քանի որ, մի կողմից, ցանկացած աստիճան սա է, իսկ մյուս կողմից՝ երրորդ աստիճանի ցանկացած թիվ սա է։

Եթե ​​ցուցիչն է բացասական ամբողջ թիվհամարը:

(քանի որ դուք չեք կարող բաժանել):

Եվս մեկ անգամ զրոների մասին. արտահայտությունը գործով սահմանված չէ։ Եթե, ապա.

Օրինակներ.

Հզորությունը ռացիոնալ ցուցիչով

• - բնական թիվ;
• - ամբողջ թիվ;

Օրինակներ.

Աստիճանների հատկությունները

Խնդիրները լուծելն ավելի հեշտ դարձնելու համար եկեք փորձենք հասկանալ. որտեղի՞ց են առաջացել այս հատկությունները: Եկեք ապացուցենք դրանք։

Տեսնենք՝ ինչ է և.

Ըստ սահմանման.

Այսպիսով, այս արտահայտության աջ կողմում մենք ստանում ենք հետևյալ արտադրանքը.

Բայց ըստ սահմանման դա ցուցիչով թվի ուժ է, այսինքն.

Ք.Ե.Դ.

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում : .

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում Պարտադիրպետք է լինեն նույն պատճառները. Հետևաբար, մենք միավորում ենք ուժերը բազայի հետ, բայց դա մնում է առանձին գործոն.

Մեկ այլ կարևոր նշում. այս կանոնը. միայն ուժերի արդյունքի համար!

Ոչ մի դեպքում չես կարող դա գրել։

Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք դիմենք աստիճանի սահմանմանը.

Եկեք վերախմբավորենք այս աշխատանքը այսպես.

Ստացվում է, որ արտահայտությունը բազմապատկվում է ինքն իրենով անգամ, այսինքն, ըստ սահմանման, սա թվի երրորդ ուժն է.

Սա, ըստ էության, կարելի է անվանել «ցուցանիշը փակագծերից հանել»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ.

Հիշենք կրճատված բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ ենք ուզում գրել։ Բայց սա, ի վերջո, ճիշտ չէ։

Բացասական հիմքով հզորություն.

Մինչև այս պահը մենք միայն քննարկել ենք, թե ինչպիսին պետք է լինի ցուցիչաստիճաններ. Բայց ի՞նչը պետք է հիմք հանդիսանա։ -ի լիազորություններում բնական ցուցիչ հիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ .

Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թվեր՝ լինեն դրանք դրական, բացասական կամ զույգ։ Եկեք մտածենք, թե ո՞ր նշանները («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ։

Օրինակ՝ թիվը դրակա՞ն է, թե՞ բացասական։ Ա. ?

Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք իրարով, արդյունքը կլինի դրական։

Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Մենք հիշում ենք պարզ կանոնը 6-րդ դասարանից. «մինուս մինուսի դիմաց տալիս է գումարած»: Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք (-ով), կստանանք - .

Եվ այսպես անվերջ. յուրաքանչյուր հաջորդ բազմապատկման հետ նշանը կփոխվի: Կարող ենք ձևակերպել հետևյալը պարզ կանոններ:

1. նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
2. Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
3. Ցանկացած աստիճանի դրական թիվը դրական թիվ է:
4. Զրո ցանկացած հզորության հավասար է զրոյի:

Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.

Դուք հասցրե՞լ եք: Ահա պատասխանները.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք հիմքին և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։

Օրինակ 5-ում) ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. ի վերջո, կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի: Դե, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը հավասար չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):

Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ: Այստեղ դուք պետք է պարզեք, թե որն է ավելի քիչ. Եթե ​​դա հիշենք, պարզ է դառնում, որ, հետևաբար՝ հիմքը զրոյից պակաս. Այսինքն՝ մենք կիրառում ենք 2-րդ կանոնը՝ արդյունքը կլինի բացասական։

Եվ կրկին օգտագործում ենք աստիճանի սահմանումը.

Ամեն ինչ սովորական է. մենք գրում ենք աստիճանների սահմանումը և դրանք բաժանում ենք միմյանց, բաժանում զույգերի և ստանում.

Նախքան վերջին կանոնին նայելը, եկեք մի քանի օրինակ լուծենք։

Հաշվիր արտահայտությունները.

Լուծումներ :

Եթե ​​անտեսենք ութերորդ իշխանությունը, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Հիշենք 7-րդ դասարանի ծրագիրը. Այսպիսով, դուք հիշում եք. Սա կրճատ բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։

Մենք ստանում ենք.

Ուշադիր նայենք հայտարարին։ Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների հերթականությունը սխալ է։ Եթե ​​դրանք չեղարկվեին, 3-րդ կանոնը կարող էր կիրառվել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է. այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը:

Եթե ​​այն բազմապատկես, ոչինչ չի փոխվում, չէ՞: Բայց հիմա ստացվում է այսպես.

Կախարդական կերպով տերմինները փոխեցին տեղերը: Այս «երևույթը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք հեշտությամբ կարող ենք փոխել փակագծերի նշանները։ Բայց կարևոր է հիշել. Բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ:Դուք չեք կարող փոխարինել այն՝ փոխելով միայն մեկ թերություն, որը մեզ դուր չի գալիս:

Վերադառնանք օրինակին.

Եվ կրկին բանաձևը.

Այսպիսով, հիմա վերջին կանոնը.

Ինչպե՞ս ենք դա ապացուցելու։ Իհարկե, ինչպես միշտ. եկեք ընդլայնենք աստիճանի հայեցակարգը և պարզեցնենք այն.

Դե, հիմա բացենք փակագծերը։ Քանի՞ տառ կա ընդհանուր առմամբ: անգամ բազմապատկիչներով - ինչի՞ մասին է սա ձեզ հիշեցնում: Սա ոչ այլ ինչ է, քան գործողության սահմանում բազմապատկումԱյնտեղ միայն բազմապատկիչներ կային։ Այսինքն, սա, ըստ սահմանման, ցուցիչով թվի ուժ է.

Օրինակ՝

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

Ի հավելումն միջին մակարդակի աստիճանների մասին տեղեկատվության, մենք աստիճանը կվերլուծենք իռացիոնալ ցուցիչով: Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, բացառությամբ, ի վերջո, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն. , իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):

Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչներով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ մենք ստեղծում էինք որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն ավելի ծանոթ տերմիններով: Օրինակ՝ բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանը իրենով մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է. զրոյական հզորության թիվն, իբրև թե, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկած թիվ է, այսինքն՝ նրանք դեռ չեն սկսել բազմապատկել այն, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքը դեռևս չի հայտնվել, հետևաբար արդյունքը միայն որոշակի է։ «դատարկ թիվ», մասնավորապես՝ թիվ. մի աստիճան ամբողջ թվով բացասական ցուցիչով - կարծես ինչ-որ «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվը ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է:

Չափազանց դժվար է պատկերացնել աստիճանը իռացիոնալ ցուցիչով (ինչպես դժվար է պատկերացնել 4-չափ տարածությունը): Դա ավելի շուտ զուտ մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը մաթեմատիկոսները ստեղծել են աստիճանի հասկացությունը թվերի ողջ տարածության վրա տարածելու համար:

Ի դեպ, գիտության մեջ հաճախ օգտագործվում է բարդ ցուցիչ ունեցող աստիճան, այսինքն՝ ցուցանիշը նույնիսկ իրական թիվ չէ։ Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:

Այսպիսով, ի՞նչ անենք, եթե տեսնենք իռացիոնալ ցուցիչ: Մենք ամեն կերպ փորձում ենք ազատվել դրանից :)

Օրինակ.

Ինքներդ որոշեք.

Պատասխաններ:

1. Հիշենք քառակուսիների բանաձևի տարբերությունը. Պատասխան.
2. Կոտորակները կրճատում ենք նույն ձևի. կա՛մ երկու տասնորդական, կա՛մ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.
3. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք օգտագործում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.

ԲԱԺԻՆԻ ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎԵՐԸ

աստիճանկոչվում է ձևի արտահայտություն՝ , որտեղ:

Աստիճան՝ ամբողջ թվով ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ թիվ և դրական)։

Հզորությունը ռացիոնալ ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը բացասական և կոտորակային թվերն են։

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը անվերջ տասնորդական կոտորակ կամ արմատ է:

Աստիճանների հատկությունները

Աստիճանների առանձնահատկությունները.

• Բացասական թիվը բարձրացված է նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
• Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
• Ցանկացած աստիճանի դրական թիվը դրական թիվ է:
• Զրոն հավասար է ցանկացած հզորության:
• Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է:

ՀԻՄԱ ԴՈՒՔ ԽՈՍՔԸ...

Ինչպե՞ս եք հավանում հոդվածը: Ստորև գրեք մեկնաբանություններում՝ ձեզ դուր եկավ, թե ոչ։

Պատմեք մեզ աստիճանի հատկությունների օգտագործման ձեր փորձի մասին:

Երևի հարցեր ունեք։ Կամ առաջարկություններ.

Գրեք մեկնաբանություններում։

Եվ հաջողություն ձեր քննություններին:

Տեղեկատվական բում Կենսաբանության մեջ. մանրէների գաղութներ Պետրիի ճաշատեսակում Ճագարներ Ավստրալիայում Շղթայական ռեակցիաներ՝ քիմիայում Ֆիզիկայի մեջ՝ ռադիոակտիվ քայքայում, փոփոխություն մթնոլորտային ճնշումբարձրության փոփոխությամբ, մարմնի սառեցում ֆիզիկայում՝ ռադիոակտիվ քայքայում, մթնոլորտային ճնշման փոփոխություն բարձրության փոփոխությամբ, մարմնի սառեցում։ Արյան մեջ ադրենալինի արտազատում և դրա ոչնչացում Նրանք նաև պնդում են, որ տեղեկատվության քանակը կրկնապատկվում է 10 տարին մեկ։

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5

Արտահայտություն 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1,7 1,73; 1,732;1,73205; 1, ;… հաջորդականությունը մեծանում է 2 1; 2 1.7; 2 1.73 ;2 1.732 ; 2 1.73205; 2 1, ;… հաջորդականությունը մեծանում է Bounded, ինչը նշանակում է, որ այն համընկնում է մեկ սահմանի վրա՝ արժեքը 2 3

Կարելի է սահմանել π ​​0

10 10 18 Ֆունկցիայի հատկությունները y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title=" y ֆունկցիայի հատկությունները = a x n \ n a >10 21

Տեղեկատվության քանակը կրկնապատկվում է յուրաքանչյուր 10 տարին մեկ Եզի առանցքի երկայնքով՝ ըստ թվաբանական առաջընթացի օրենքի՝ 1,2,3,4… Oy առանցքի երկայնքով - ըստ օրենքի երկրաչափական առաջընթաց 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի գրաֆիկ, այն կոչվում է ցուցիչ (լատիներեն exponere - ցույց տալ)

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճան, նրա հատկությունները:

Արտահայտությունը a n սահմանված a և n բոլորի համար, բացառությամբ a=0 n≤0 դեպքի: Հիշենք նման ուժերի հատկությունները։

Ցանկացած a, b և m և n ամբողջ թվերի համար հավասարությունները վավեր են.

A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0):

Ուշադրություն դարձրեք նաև հետևյալ հատկությանը.

Եթե ​​m>n, ապա m >a n a>1-ի և a m-ի համար<а n при 0<а<1.

Այս բաժնում մենք ընդհանրացնենք թվի հզորությունների հասկացությունը՝ իմաստ տալով 2-րդ տիպի արտահայտություններին 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 և այլն: Բնական է այնպիսի սահմանում տալ, որ ռացիոնալ ցուցիչներով ուժերն ունենան նույն հատկությունները (կամ գոնե դրանց մի մասը), ինչ ամբողջ թվով չափիչ ունեցող ուժերը: Այնուհետեւ, մասնավորապես, թվի n-րդ աստիճանըպետք է հավասար լինի aմ . Իսկապես, եթե գույքը

(a p) q =a pq

կատարվում է, ապա

Վերջին հավասարությունը նշանակում է (n-րդ արմատի սահմանմամբ), որ թիվըպետք է լինի a-ի n-րդ արմատըմ.

Սահմանում.

r= ռացիոնալ ցուցիչով a>0 թվի հզորությունը, որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ (n > 1), դա թիվն է։

Այսպիսով, ըստ սահմանման

(1)

0-ի հզորությունը սահմանվում է միայն դրական ցուցիչների համար. ըստ սահմանման 0 r = 0 ցանկացած r>0-ի համար:

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով:

Իռացիոնալ թիվկարող է ներկայացվել ձևովռացիոնալ թվերի հաջորդականության սահմանը: .

Թող . Այնուհետև կան ուժեր՝ ռացիոնալ ցուցիչով։ Կարելի է ապացուցել, որ այս ուժերի հաջորդականությունը կոնվերգենտ է։ Այս հաջորդականության սահմանը կոչվում է աստիճանը բազային և իռացիոնալ ցուցիչով: .

Եկեք մի քանի կետ գծենք y = 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա x նախապես հաշվարկելով 2 արժեքը՝ օգտագործելով հաշվիչ x հատվածի վրա [-2; 3] 1/4 քայլով (նկ. 1, ա), իսկ հետո 1/8 քայլով (նկ. 1, բ) մտովի շարունակելով նույն կոնստրուկցիաները 1/16, 1/32, և այլն, մենք տեսնում ենք, որ ստացված կետերը կարող են միացված լինել հարթ կորով, որը բնականաբար կարելի է համարել ինչ-որ ֆունկցիայի գրաֆիկ՝ սահմանված և մեծանալով ամբողջ թվային գծի երկայնքով և վերցնելով արժեքներ։ռացիոնալ կետերում(նկ. 1, գ): Բավականաչափ կառուցելով մեծ թվովֆունկցիայի գրաֆիկի կետերը, կարող եք համոզվել, որ այս ֆունկցիան ունի նմանատիպ հատկություններ (տարբերությունն այն է, որ ֆունկցիաննվազում է R):

Այս դիտարկումները հուշում են, որ 2 թվերը կարող են սահմանվել այսպեսα և յուրաքանչյուր իռացիոնալ α-ի համար, որ y=2 բանաձեւերով տրված ֆունկցիաները x և կլինի շարունակական, իսկ y=2 ֆունկցիան x մեծանում է, իսկ ֆունկցիաննվազում է ամբողջ թվային գծի երկայնքով:

Եկեք ընդհանուր ձևով նկարագրենք, թե ինչպես է որոշվում a թիվը α իռացիոնալ α-ի համար a>1-ի համար: Մենք ցանկանում ենք ապահովել, որ y = a ֆունկցիան x ավելանում էր. Հետո ցանկացած ռացիոնալ ռ 1 և r 2 այնպես, որ r 1<αպետք է բավարարի անհավասարությունները ա r 1<а α <а r 1 .

r արժեքների ընտրություն 1 և r 2 մոտենալով x-ին, կարելի է նկատել, որ a-ի համապատասխան արժեքները r 1 և a r 2 քիչ կտարբերվի. Կարելի է ապացուցել, որ գոյություն ունի և միայն մեկ թիվ y, որը մեծ է բոլոր a-ից r 1 բոլոր ռացիոնալ ռ 1 և առնվազն a r 2 բոլոր ռացիոնալ ռ 2 . Այս y թիվը ըստ սահմանման a է α .

Օրինակ՝ օգտագործելով հաշվիչը՝ 2 արժեքը հաշվարկելու համար x x n և x` n կետերում, որտեղ x n և x` n - թվերի տասնորդական մոտարկումներմենք կգտնենք, որ որքան մոտ է x n և x`n k , այնքան քիչ են տարբերվում 2-ը x n և 2 x` n:

Այդ ժամանակից ի վեր

և, հետևաբար,

Նմանապես, հաշվի առնելով հետևյալ տասնորդական մոտավորություններըըստ թերության և ավելցուկի՝ մենք հասնում ենք հարաբերություններին

;

;

;

;

.

Իմաստը Հաշվիչի վրա հաշվարկված է.

.

Ա թիվը որոշվում է նույն կերպ α 0-ի համար<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 ցանկացած α-ի և 0-ի համարα =0 α>0-ի համար:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.

ժամը ա > 0, ա = 1, գործառույթը սահմանված է y = ա x, տարբերվում է հաստատունից։ Այս ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիահիմքովա.

y=ա xժամը ա> 1:

0 հիմքով էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկները< ա < 1 и ա> 1-ը ցույց է տրված նկարում:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները y=ա x 0-ին< ա < 1:

• Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային տողն է։
• Ֆունկցիոնալ միջակայք - ինտերվալ (0; + ) .
• Ֆունկցիան խիստ միապաղաղ մեծանում է ամբողջ թվային տողի վրա, այսինքն՝ եթե x 1 < x 2, ապա ա x 1 > ա x 2 .
• ժամը x= 0 ֆունկցիայի արժեքը 1 է:
• Եթե x> 0, ապա 0< ա < 1 և եթե x < 0, то ա x > 1.
TO ընդհանուր հատկություններէքսպոնենցիալ ֆունկցիա, ինչպես 0-ում< a < 1, так и при a > 1 ներառում է.
• ա x 1 ա x 2 = ա x 1 + x 2, բոլորի համար x 1 Եվ x 2.
• ա − x= ( ա x) − 1 = 1 աxորեւէ մեկի համար x.
• nա x= ա

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճան, նրա հատկությունները:

Արտահայտությունը a n սահմանված a և n բոլորի համար, բացառությամբ a=0 n≤0 դեպքի: Հիշենք նման ուժերի հատկությունները։

Ցանկացած a, b և m և n ամբողջ թվերի համար հավասարությունները վավեր են.

A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0):

Ուշադրություն դարձրեք նաև հետևյալ հատկությանը.

Եթե ​​m>n, ապա m >a n a>1-ի և a m-ի համար<а n при 0<а<1.

Այս բաժնում մենք ընդհանրացնենք թվի հզորությունների հասկացությունը՝ իմաստ տալով 2-րդ տիպի արտահայտություններին 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 և այլն: Բնական է այնպիսի սահմանում տալ, որ ռացիոնալ ցուցիչներով ուժերն ունենան նույն հատկությունները (կամ գոնե դրանց մի մասը), ինչ ամբողջ թվով չափիչ ունեցող ուժերը: Այնուհետեւ, մասնավորապես, թվի n-րդ աստիճանըպետք է հավասար լինի aմ . Իսկապես, եթե գույքը

(a p) q =a pq

կատարվում է, ապա

Վերջին հավասարությունը նշանակում է (n-րդ արմատի սահմանմամբ), որ թիվըպետք է լինի a-ի n-րդ արմատըմ.

Սահմանում.

r= ռացիոնալ ցուցիչով a>0 թվի հզորությունը, որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ (n > 1), դա թիվն է։

Այսպիսով, ըստ սահմանման

(1)

0-ի հզորությունը սահմանվում է միայն դրական ցուցիչների համար. ըստ սահմանման 0 r = 0 ցանկացած r>0-ի համար:

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով:

Իռացիոնալ թիվկարող է ներկայացվել ձևովռացիոնալ թվերի հաջորդականության սահմանը: .

Թող . Այնուհետև կան ուժեր՝ ռացիոնալ ցուցիչով։ Կարելի է ապացուցել, որ այս ուժերի հաջորդականությունը կոնվերգենտ է։ Այս հաջորդականության սահմանը կոչվում է աստիճանը բազային և իռացիոնալ ցուցիչով: .

Եկեք մի քանի կետ գծենք y = 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա x նախապես հաշվարկելով 2 արժեքը՝ օգտագործելով հաշվիչ x հատվածի վրա [-2; 3] 1/4 քայլով (նկ. 1, ա), իսկ հետո 1/8 քայլով (նկ. 1, բ) մտովի շարունակելով նույն կոնստրուկցիաները 1/16, 1/32, և այլն, մենք տեսնում ենք, որ ստացված կետերը կարող են միացված լինել հարթ կորով, որը բնականաբար կարելի է համարել ինչ-որ ֆունկցիայի գրաֆիկ՝ սահմանված և մեծանալով ամբողջ թվային գծի երկայնքով և վերցնելով արժեքներ։ռացիոնալ կետերում(նկ. 1, գ): Ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա բավականաչափ մեծ թվով կետեր կառուցելով, կարող եք համոզվել, որ այս ֆունկցիան ունի նմանատիպ հատկություններ (տարբերությունն այն է, որ ֆունկցիաննվազում է R):

Այս դիտարկումները հուշում են, որ 2 թվերը կարող են սահմանվել այսպեսα և յուրաքանչյուր իռացիոնալ α-ի համար, որ y=2 բանաձեւերով տրված ֆունկցիաները x և կլինի շարունակական, իսկ y=2 ֆունկցիան x մեծանում է, իսկ ֆունկցիաննվազում է ամբողջ թվային գծի երկայնքով:

Եկեք ընդհանուր ձևով նկարագրենք, թե ինչպես է որոշվում a թիվը α իռացիոնալ α-ի համար a>1-ի համար: Մենք ցանկանում ենք ապահովել, որ y = a ֆունկցիան x ավելանում էր. Հետո ցանկացած ռացիոնալ ռ 1 և r 2 այնպես, որ r 1<αպետք է բավարարի անհավասարությունները ա r 1<а α <а r 1 .

r արժեքների ընտրություն 1 և r 2 մոտենալով x-ին, կարելի է նկատել, որ a-ի համապատասխան արժեքները r 1 և a r 2 քիչ կտարբերվի. Կարելի է ապացուցել, որ գոյություն ունի և միայն մեկ թիվ y, որը մեծ է բոլոր a-ից r 1 բոլոր ռացիոնալ ռ 1 և առնվազն a r 2 բոլոր ռացիոնալ ռ 2 . Այս y թիվը ըստ սահմանման a է α .

Օրինակ՝ օգտագործելով հաշվիչը՝ 2 արժեքը հաշվարկելու համար x x n և x` n կետերում, որտեղ x n և x` n - թվերի տասնորդական մոտարկումներմենք կգտնենք, որ որքան մոտ է x n և x`n k , այնքան քիչ են տարբերվում 2-ը x n և 2 x` n:

Այդ ժամանակից ի վեր

և, հետևաբար,

Նմանապես, հաշվի առնելով հետևյալ տասնորդական մոտավորություններըըստ թերության և ավելցուկի՝ մենք հասնում ենք հարաբերություններին

;

;

;

;

.

Իմաստը Հաշվիչի վրա հաշվարկված է.

.

Ա թիվը որոշվում է նույն կերպ α 0-ի համար<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 ցանկացած α-ի և 0-ի համարα =0 α>0-ի համար:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.

ժամը ա > 0, ա = 1, գործառույթը սահմանված է y = ա x, տարբերվում է հաստատունից։ Այս ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիահիմքովա.

y=ա xժամը ա> 1:

0 հիմքով էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկները< ա < 1 и ա> 1-ը ցույց է տրված նկարում:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները y=ա x 0-ին< ա < 1:

• Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային տողն է։
• Ֆունկցիոնալ միջակայք - ինտերվալ (0; + ) .
• Ֆունկցիան խիստ միապաղաղ մեծանում է ամբողջ թվային տողի վրա, այսինքն՝ եթե x 1 < x 2, ապա ա x 1 > ա x 2 .
• ժամը x= 0 ֆունկցիայի արժեքը 1 է:
• Եթե x> 0, ապա 0< ա < 1 և եթե x < 0, то ա x > 1.
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ընդհանուր հատկություններին 0-ում< a < 1, так и при a > 1 ներառում է.
• ա x 1 ա x 2 = ա x 1 + x 2, բոլորի համար x 1 Եվ x 2.
• ա − x= ( ա x) − 1 = 1 աxորեւէ մեկի համար x.
• nա x= ա