Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա. Դասի նպատակները. Դիտարկենք իռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանը. Ներկայացրե՛ք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի սահմանումը: Ձևակերպե՛ք հիմնականները: Թվի հզորություն՝ սահմանումներ, նշումներ, օրինակներ

Կայքի բաժիններ

Խմբագրի ընտրությունը.

Գովազդ

Տուն - Կլիմա

Այս հոդվածում մենք պարզելու ենք, թե ինչ է դա թվի հզորությունը. Այստեղ կտանք թվի ուժի սահմանումներ, մինչդեռ մանրամասն կդիտարկենք բոլոր հնարավոր ցուցանիշները՝ սկսած բնական ցուցիչից մինչև իռացիոնալ։ Նյութում դուք կգտնեք աստիճանների բազմաթիվ օրինակներ՝ ընդգրկելով առաջացող բոլոր նրբությունները։

Էջի նավարկություն.

Հզորությունը բնական ցուցիչով, թվի քառակուսի, թվի խորանարդ

Սկսենք նրանից. Նայելով առաջ՝ ասենք, որ a թվի հզորության սահմանումը n բնական ցուցիչով տրված է a-ի համար, որը մենք կանվանենք. աստիճանի հիմքը, և n, որոնք մենք կանվանենք ցուցիչ. Մենք նաև նշում ենք, որ բնական ցուցիչով աստիճանը որոշվում է արտադրյալի միջոցով, ուստի ստորև բերված նյութը հասկանալու համար անհրաժեշտ է հասկանալ թվերի բազմապատկման մասին:

Սահմանում.

n բնական ցուցիչով թվի հզորությունը a n ձևի արտահայտությունն է, որի արժեքը հավասար է n գործոնի արտադրյալին, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի, այսինքն՝ .
Մասնավորապես, 1 աստիճանով a թվի հզորությունը հենց a թիվն է, այսինքն՝ a 1 =a:

Հարկ է անմիջապես նշել աստիճանների ընթերցման կանոնների մասին: a n նշումը կարդալու համընդհանուր ձևն է. «a-ն n-ի ուժին»: Որոշ դեպքերում ընդունելի են նաև հետևյալ տարբերակները՝ «ա-ից մինչև n-րդ աստիճան» և «ա-ի n-րդ ուժ»: Օրինակ, եկեք վերցնենք 8 12 հզորությունը, սա «ութը տասներկուի հզորությանը», կամ «ութը տասներկուերորդ ուժին», կամ «ութի տասներկուերորդ ուժին»:

Թվի երկրորդ հզորությունը, ինչպես նաև թվի երրորդ ուժը, ունեն իրենց անունները։ Թվի երկրորդ հզորությունը կոչվում է թիվը քառակուսիՕրինակ, 7 2-ը կարդացվում է որպես «յոթ քառակուսի» կամ «յոթ թվի քառակուսի»: Թվի երրորդ աստիճանը կոչվում է խորանարդաձեւ թվերՕրինակ, 5 3-ը կարելի է կարդալ որպես «հինգ խորանարդ» կամ կարող եք ասել «5 թվի խորանարդ»:

Ժամանակն է բերելու աստիճանների օրինակներ բնական ցուցիչներով. Սկսենք 5-րդ աստիճանից 7, այստեղ 5-ը աստիճանի հիմքն է, իսկ 7-ը՝ աստիճանը։ Բերենք ևս մեկ օրինակ՝ 4.32-ը հիմքն է, իսկ 9 բնական թիվը՝ ցուցիչը (4.32) 9:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վերջին օրինակում 4.32 հզորության հիմքը գրված է փակագծերում. անհամապատասխանություններից խուսափելու համար մենք փակագծերում կդնենք հզորության բոլոր հիմքերը, որոնք տարբերվում են բնական թվերից: Որպես օրինակ՝ բնական ցուցիչներով տալիս ենք հետևյալ աստիճանները , դրանց հիմքերը բնական թվեր չեն, ուստի դրանք գրվում են փակագծերում։ Դե, ամբողջական պարզության համար, այս պահին մենք ցույց կտանք (−2) 3 և −2 3 ձևերի գրառումներում պարունակվող տարբերությունը։ (−2) 3 արտահայտությունը −2-ի հզորություն է՝ 3 բնական ցուցիչով, իսկ −2 3 արտահայտությունը (այն կարելի է գրել −(2 3) ) համապատասխանում է թվին, 2 3 հզորության արժեքին։ .

Նկատի ունեցեք, որ a թվի հզորության նշում կա a^n ձևի n ցուցիչով: Ընդ որում, եթե n-ը բազմարժեք բնական թիվ է, ապա ցուցիչը վերցվում է փակագծերում։ Օրինակ, 4^9-ը 4 9-ի հզորության ևս մեկ նշում է: Եվ ահա «^» նշանով աստիճաններ գրելու ևս մի քանի օրինակ՝ 14^(21) , (−2,1)^(155) ։ Հետևյալում մենք հիմնականում կօգտագործենք a n ձևի աստիճանի նշումը:

Բնական ցուցիչով հզորության բարձրացման հակադարձ խնդիրներից մեկը հզորության հայտնի արժեքից և հայտնի ցուցիչից ուժի հիմքը գտնելու խնդիրն է: Այս առաջադրանքը հանգեցնում է.

Հայտնի է, որ շատերը ռացիոնալ թվերբաղկացած է ամբողջական և կոտորակային թվերից՝ յուրաքանչյուրը կոտորակային թիվկարող է ներկայացվել որպես դրական կամ բացասական ընդհանուր կոտորակ. Նախորդ պարբերությունում մենք աստիճանը սահմանեցինք ամբողջ թվով ցուցիչով, հետևաբար, աստիճանի սահմանումը լրացնենք հետևյալով. ռացիոնալ ցուցանիշ, պետք է իմաստավորել a թվի հզորությունը m/n կոտորակային ցուցիչով, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ։ Եկեք սա անենք:

Դիտարկենք աստիճանը ձևի կոտորակային ցուցիչով: Որպեսզի իշխանությունից իշխանություն հատկությունը մնա ուժի մեջ, պետք է պահպանվի հավասարությունը . Եթե հաշվի առնենք ստացված հավասարությունը և ինչպես ենք որոշել , ապա տրամաբանական է ընդունել այն, պայմանով, որ տրված m, n և a արտահայտությունը իմաստ ունի։

Հեշտ է ստուգել, որ ամբողջ թվով ցուցիչ ունեցող աստիճանի բոլոր հատկությունները վավեր են (սա արվել է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հատկությունների բաժնում):

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը թույլ է տալիս անել հետևյալը եզրակացությունեթե տրված են m, n և a արտահայտությունը իմաստ ունի, ապա m/n կոտորակային ցուցիչով a-ի հզորությունը կոչվում է a-ի n-րդ արմատը m-ի աստիճանի:

Այս պնդումը մոտեցնում է մեզ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանմանը: Մնում է միայն նկարագրել, թե ինչում է m, n և a արտահայտությունը իմաստ: Կախված m, n և a-ի վրա դրված սահմանափակումներից, կան երկու հիմնական մոտեցում.

Ամենահեշտ ձևը a-ի վրա սահմանափակում դնելն է՝ ընդունելով a≥0 դրական m և a>0 բացասական m (քանի որ m≤0-ի համար m-ի 0 աստիճանը սահմանված չէ): Այնուհետև ստանում ենք աստիճանի հետևյալ սահմանումը կոտորակային ցուցիչով.

Սահմանում.

m/n կոտորակային ցուցիչով դրական a թվի հզորությունը, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, կոչվում է a թվի n-րդ արմատը m-ի հզորությանը, այսինքն՝ .

Զրոյի կոտորակային հզորությունը որոշվում է նաև միակ նախազգուշացմամբ, որ ցուցանիշը պետք է լինի դրական:

Սահմանում.

Մ/ն կոտորակային դրական ցուցիչով զրոյի հզորություն, որտեղ m-ը դրական ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, սահմանվում է որպես .
Երբ աստիճանը որոշված չէ, այսինքն՝ զրո թվի աստիճանը կոտորակային բացասական ցուցիչով իմաստ չունի։

Հարկ է նշել, որ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի այս սահմանման դեպքում կա մեկ նախազգուշացում. որոշ բացասական a-ի և որոշ m-ի և n-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի, և մենք մերժեցինք այս դեպքերը՝ ներմուծելով a≥0 պայմանը: Օրինակ, գրառումները իմաստ ունեն կամ, և վերը տրված սահմանումը մեզ ստիպում է ասել, որ ձևի կոտորակային ցուցիչ ունեցող ուժերը. իմաստ չունի, քանի որ հիմքը չպետք է բացասական լինի:

Մ/ն կոտորակային ցուցիչով աստիճանը որոշելու մեկ այլ մոտեցում է արմատի զույգ և կենտ ցուցիչները առանձին դիտարկելն է: Այս մոտեցումը պահանջում է լրացուցիչ պայման՝ a թվի հզորությունը, որի ցուցիչը , համարվում է a թվի հզորությունը, որի ցուցիչը համապատասխան անկրճատելի կոտորակն է (այս պայմանի կարևորությունը կբացատրենք ստորև. ) Այսինքն, եթե m/n-ն անկրճատելի կոտորակ է, ապա ցանկացած բնական թվի համար k աստիճանը սկզբում փոխարինվում է .

Նույնիսկ n-ի և դրական m-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի ցանկացած ոչ բացասական a-ի համար (բացասական թվի զույգ արմատը իմաստ չունի m-ի համար, a թիվը դեռ պետք է տարբերվի զրոյից (հակառակ դեպքում կլինի բաժանում): զրոյով): Իսկ կենտ n-ի և դրական m-ի համար a թիվը կարող է լինել ցանկացած (կենտ աստիճանի արմատը սահմանվում է ցանկացած իրական թվի համար), իսկ բացասական m-ի համար a թիվը պետք է լինի ոչ զրոյական (որպեսզի բաժանում չլինի): զրո):

Վերոհիշյալ պատճառաբանությունը մեզ տանում է դեպի կոտորակային ցուցիչ ունեցող աստիճանի այս սահմանումը:

Սահմանում.

Թող m/n-ը լինի անկրճատելի կոտորակ, m-ը՝ ամբողջ, իսկ n-ը՝ բնական թիվ: Ցանկացած կրճատվող կոտորակի համար աստիճանը փոխարինվում է . Մ/ն անկրճատելի կոտորակային ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը համար է

Բացատրենք, թե ինչու է կրճատվող կոտորակային ցուցիչով աստիճանը սկզբում փոխարինվում է անկրճատելի ցուցիչով աստիճանով: Եթե մենք պարզապես սահմանեինք աստիճանը որպես , և վերապահում չանեինք m/n կոտորակի անկրճատելիության վերաբերյալ, ապա մենք կբախվեինք հետևյալի նման իրավիճակներին. քանի որ 6/10 = 3/5, ապա հավասարությունը պետք է պահպանվի: , Բայց , Ա .

Թվի հզորությունը որոշելուց հետո տրամաբանական է խոսել աստիճանի հատկություններ. Այս հոդվածում մենք կտանք թվի հզորության հիմնական հատկությունները՝ միաժամանակ անդրադառնալով բոլոր հնարավոր ցուցանիշներին։ Այստեղ մենք կներկայացնենք աստիճանների բոլոր հատկությունների ապացույցները, ինչպես նաև ցույց կտանք, թե ինչպես են այդ հատկությունները օգտագործվում օրինակներ լուծելիս:

Էջի նավարկություն.

Բնական ցուցիչներով աստիճանների հատկությունները

Բնական ցուցիչ ունեցող հզորության սահմանմամբ a n հզորությունը n գործոնի արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի: Այս սահմանման հիման վրա և նաև օգտագործելով Իրական թվերի բազմապատկման հատկությունները, կարող ենք ձեռք բերել և հիմնավորել հետևյալը աստիճանի հատկությունները բնական ցուցիչով:

a m ·a n =a m+n աստիճանի հիմնական հատկությունը, դրա ընդհանրացումը;
Նույնական հիմքերով քանորդ հզորությունների հատկություն a m:a n =a m−n ;
արտադրանքի հզորության հատկություն (a·b) n =a n ·b n, դրա ընդլայնումը;
քանորդի հատկությունը բնական աստիճանին (a:b) n =a n:b n ;
աստիճանի բարձրացում մինչև հզորության (a m) n =a m·n, դրա ընդհանրացումը ((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
աստիճանի համեմատությունը զրոյի հետ.
- եթե a>0, ապա a n>0 ցանկացած n բնական թվի համար;
- եթե a=0, ապա a n =0;
- եթե ա<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0, եթե ա<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
եթե a-ն և b-ը դրական թվեր են և a
եթե m-ը և n-ն այնպիսի բնական թվեր են, որ m>n, ապա 0-ում 0 a m >a n անհավասարությունը ճիշտ է:

Անմիջապես նշենք, որ բոլոր գրավոր հավասարություններն են նույնականՆշված պայմանների դեպքում դրանց և՛ աջ, և՛ ձախ մասերը կարող են փոխանակվել: Օրինակ՝ a m ·a n =a m+n կոտորակի հիմնական հատկությունը պարզեցնող արտահայտություններհաճախ օգտագործվում է a m+n =a m ·a n ձևով:

Այժմ եկեք մանրամասն նայենք դրանցից յուրաքանչյուրին:

Սկսենք նույն հիմքերով երկու հզորությունների արտադրյալի հատկությունից, որը կոչվում է աստիճանի հիմնական հատկությունըցանկացած իրական թվի և m և n բնական թվերի համար a m ·a n =a m+n հավասարությունը ճիշտ է:

Եկեք ապացուցենք աստիճանի հիմնական հատկությունը. Բնական ցուցիչ ունեցող հզորության սահմանմամբ՝ m ·a n ձևի նույն հիմքերով հզորությունների արտադրյալը կարելի է գրել որպես արտադրյալ։ Բազմապատկման հատկությունների շնորհիվ ստացված արտահայտությունը կարելի է գրել այսպես , և այս արտադրյալը a թվի հզորությունն է՝ m+n բնական ցուցիչով, այսինքն՝ m+n։ Սա լրացնում է ապացույցը:

Բերենք աստիճանի հիմնական հատկությունը հաստատող օրինակ։ Վերցնենք աստիճաններ նույն 2 հիմքերով և 2 և 3 բնական հզորություններով, օգտագործելով աստիճանների հիմնական հատկությունը կարող ենք գրել 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 հավասարությունը։ Եկեք ստուգենք դրա վավերականությունը՝ հաշվարկելով 2 2 · 2 3 և 2 5 արտահայտությունների արժեքները: Իրականացնելով աստիճանավորում՝ ունենք 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32և 2 5 =2·2·2·2·2=32, քանի որ ստացվում են հավասար արժեքներ, ուրեմն ճիշտ է 2 2 ·2 3 =2 5 հավասարությունը, և այն հաստատում է աստիճանի հիմնական հատկությունը:

Աստիճանի հիմնական հատկությունը, որը հիմնված է բազմապատկման հատկությունների վրա, կարող է ընդհանրացվել երեք կամ ավելի հզորությունների արտադրյալին՝ նույն հիմքերով և բնական ցուցիչներով։ Այսպիսով, n 1, n 2, …, n k բնական թվերի ցանկացած k թվի համար հավասարությունը ճիշտ է a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Օրինակ՝ (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Մենք կարող ենք անցնել բնական ցուցիչով հզորությունների հաջորդ հատկությանը. Նույն հիմքերով քանորդ հզորությունների հատկությունըցանկացած ոչ զրոյական իրական թվի և m>n պայմանը բավարարող m և n կամայական բնական թվերի համար a m:a n =a m−n հավասարությունը ճիշտ է։

Մինչ այս հատկության ապացույցը ներկայացնելը, եկեք քննարկենք ձևակերպման լրացուցիչ պայմանների նշանակությունը: a≠0 պայմանն անհրաժեշտ է զրոյի բաժանումից խուսափելու համար, քանի որ 0 n=0, իսկ երբ ծանոթացանք բաժանմանը, համաձայնեցինք, որ չենք կարող բաժանել զրոյի։ m>n պայմանը մտցվում է, որպեսզի բնական ցուցիչներից այն կողմ չանցնենք։ Իրոք, m>n-ի համար a m−n ցուցանիշը բնական թիվ է, հակառակ դեպքում այն կլինի կամ զրո (ինչը տեղի է ունենում m−n-ի դեպքում), կամ բացասական թիվ (ինչը տեղի է ունենում m-ի համար):
Ապացույց. Կոտորակի հիմնական հատկությունը թույլ է տալիս գրել հավասարությունը a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Ստացված հավասարությունից a m−n ·a n =a m և հետևում է, որ m−n a m և a n հզորությունների քանորդն է։ Սա ապացուցում է նույնական հիմքերով քանորդ հզորությունների հատկությունը։

Օրինակ բերենք. Վերցնենք երկու աստիճան միևնույն π և բնական ցուցիչներով 5 և 2, հավասարությունը π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 համապատասխանում է աստիճանի դիտարկվող հատկությանը։

Հիմա դիտարկենք արտադրանքի հզորության հատկությունըցանկացած երկու իրական թվերի արտադրյալի n բնական հզորությունը հավասար է a n և b n հզորությունների արտադրյալին, այսինքն՝ (a·b) n =a n ·b n:

Իսկապես, բնական ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ մենք ունենք . Հիմնվելով բազմապատկման հատկությունների վրա՝ վերջին արտադրյալը կարող է վերաշարադրվել որպես , որը հավասար է a n · b n .

Ահա մի օրինակ. .

Այս հատկությունը տարածվում է երեք կամ ավելի գործոնների արտադրյալի հզորության վրա: Այսինքն՝ k գործակիցների արտադրյալի բնական աստիճանի n հատկությունը գրվում է այսպես (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Պարզության համար մենք այս հատկությունը ցույց կտանք օրինակով: Երեք գործակիցների արտադրյալի համար 7-ի հզորությամբ մենք ունենք .

Հետևյալ գույքն է գործակիցի հատկությունը բնօրինակով a և b, b≠0 իրական թվերի քանորդը n բնական հզորությանը հավասար է a n և b n հզորությունների քանորդին, այսինքն՝ (a:b) n =a n:b n։

Ապացույցը կարող է իրականացվել՝ օգտագործելով նախորդ գույքը։ Այսպիսով (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, և (a:b) n ·b n =a n հավասարությունից հետևում է, որ (a:b) n-ը a n-ի քանորդն է, որը բաժանվում է b n-ի:

Եկեք գրենք այս հատկությունը՝ օգտագործելով հատուկ թվեր որպես օրինակ. .

Հիմա եկեք բարձրաձայնենք իշխանությունը իշխանության հասցնելու հատկությունցանկացած իրական թվի և m և n բնական թվերի համար a m-ի հզորությունը n-ի հզորությանը հավասար է a թվի հզորությանը m·n ցուցիչով, այսինքն՝ (a m) n =a m·n:

Օրինակ՝ (5 2) 3 =5 2·3 =5 6:

Հզորության աստիճանի հատկության ապացույցը հավասարումների հետևյալ շղթան է. .

Դիտարկվող գույքը կարող է ընդլայնվել աստիճանից աստիճանի աստիճանի և այլն: Օրինակ՝ p, q, r և s ցանկացած բնական թվերի համար հավասարությունը . Ավելի մեծ պարզության համար, ահա կոնկրետ թվերով օրինակ. (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Մնում է անդրադառնալ աստիճանները բնական ցուցիչի հետ համեմատելու հատկություններին:

Սկսենք ապացուցելով զրո և հզորությունը բնական ցուցիչի հետ համեմատելու հատկությունը։

Նախ, եկեք ապացուցենք, որ a n >0 ցանկացած a>0-ի համար:

Երկու դրական թվերի արտադրյալը դրական թիվ է, ինչպես հետևում է բազմապատկման սահմանումից: Այս փաստը և բազմապատկման հատկությունները հուշում են, որ ցանկացած թվով դրական թվերի բազմապատկման արդյունքը նույնպես դրական թիվ կլինի։ Իսկ n բնական ցուցիչ ունեցող a թվի հզորությունը, ըստ սահմանման, n գործոնի արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի: Այս փաստարկները մեզ թույլ են տալիս պնդել, որ ցանկացած դրական հիմքի համար a n աստիճանը դրական թիվ է: Ապացուցված սեփականության շնորհիվ 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 և .

Միանգամայն ակնհայտ է, որ a=0 n-ի ցանկացած դրական ամբողջ թվի համար a n-ի աստիճանը զրո է: Իրոք, 0 n =0·0·…·0=0: Օրինակ՝ 0 3 =0 և 0 762 =0:

Անցնենք աստիճանի բացասական հիմքերին։

Սկսենք այն դեպքից, երբ ցուցանիշը զույգ թիվ է, այն նշանակենք 2·m, որտեղ m-ը բնական թիվ է։ Հետո . a·a ձևի արտադրյալներից յուրաքանչյուրի համար հավասար է a և a թվերի մոդուլների արտադրյալին, ինչը նշանակում է, որ դա դրական թիվ է։ Հետեւաբար, ապրանքը նույնպես դրական կլինի և աստիճան a 2·մ. Օրինակներ բերենք՝ (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 և .

Վերջապես, երբ a հիմքը բացասական թիվ է, իսկ ցուցիչը կենտ թիվ 2 m−1, ապա . Բոլոր արտադրյալները a·a դրական թվեր են, այս դրական թվերի արտադրյալը նույնպես դրական է, և դրա բազմապատկումը մնացածով. բացասական թիվ a արդյունքը բացասական թիվ է: Այս հատկության շնորհիվ (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Անցնենք միևնույն բնական ցուցիչներով հզորությունները համեմատելու հատկությանը, որն ունի հետևյալ ձևակերպումը. նույն բնական ցուցիչներով երկու հզորությունների n-ը փոքր է նրանից, ում հիմքն ավելի փոքր է, և մեծ է նա, ում հիմքն ավելի մեծ է։ . Եկեք ապացուցենք դա։

Անհավասարություն a n անհավասարությունների հատկություններըճշմարիտ է նաև a n ձևի ապացուցելի անհավասարությունը .

Մնում է ապացուցել ուժերի թվարկված հատկություններից վերջինը՝ բնական ցուցիչներով։ Եկեք այն ձևակերպենք. Բնական ցուցիչներով և մեկից պակաս միանման դրական հիմքերով երկու հզորություններից ավելի մեծ է այն, որի ցուցիչը փոքր է. և երկու հզորությունների բնական ցուցիչներով և մեկից մեծ միանման հիմքերով, ավելի մեծ է այն մեկը, որի ցուցանիշը մեծ է: Եկեք անցնենք այս սեփականության ապացույցին:

Ապացուցենք, որ m>n-ի և 0-ի համար 0՝ պայմանավորված m>n սկզբնական պայմանով, ինչը նշանակում է, որ 0-ում
Մնում է ապացուցել սեփականության երկրորդ մասը։ Ապացուցենք, որ m>n-ի և a>1-ի համար a m >a n-ը ճիշտ է: a m −a n տարբերությունը n-ը փակագծերից հանելուց հետո ստանում է a n ·(a m−n −1) ձև: Այս արտադրյալը դրական է, քանի որ a>1-ի համար a n աստիճանը դրական թիվ է, իսկ a m−n −1 տարբերությունը դրական թիվ է, քանի որ m−n>0 նախնական պայմանի պատճառով, իսկ a>1-ի համար՝ աստիճանը։ a m−n-ը մեկից մեծ է: Հետևաբար, a m −a n >0 և a m >a n, ինչը պետք է ապացուցվեր: Այս հատկությունը պատկերված է 3 7 >3 2 անհավասարությամբ:

Ամբողջ թվերի ցուցիչներով հզորությունների հատկությունները
Քանի որ դրական ամբողջ թվերը բնական թվեր են, ուրեմն դրական ամբողջ թվերի ցուցիչներով հզորությունների բոլոր հատկությունները ճիշտ համընկնում են նախորդ պարբերությունում թվարկված և ապացուցված բնական ցուցիչներով հզորությունների հատկությունների հետ:

Մենք սահմանեցինք աստիճան ամբողջ թվով բացասական ցուցիչով, ինչպես նաև զրոյական ցուցիչով աստիճան այնպես, որ հավասարություններով արտահայտված բնական ցուցիչներով աստիճանների բոլոր հատկությունները մնան վավեր: Հետևաբար, այս բոլոր հատկությունները վավեր են և՛ զրոյական, և՛ բացասական ցուցիչների համար, մինչդեռ, իհարկե, հզորությունների հիմքերը տարբերվում են զրոյից։

Այսպիսով, ցանկացած իրական և ոչ զրոյական a և b թվերի, ինչպես նաև m և n ցանկացած ամբողջ թվերի համար ճշմարիտ են հետևյալը. ամբողջ թվային ցուցիչներով հզորությունների հատկությունները:

a m ·a n =a m+n;

a m:a n =a m−n;

(a·b) n =a n ·b n ;

(a:b) n =a n:b n;

(a m) n =a m·n ;

եթե n-ը դրական ամբողջ թիվ է, ապա a-ն և b-ն դրական թվեր են, և a b−n ;

եթե m-ը և n-ն ամբողջ թվեր են, և m>n, ապա 0-ում 1 գործում է a m >a n անհավասարությունը:

Երբ a=0, a m և a n ուժերն իմաստ ունեն միայն այն դեպքում, երբ և՛ m, և՛ n-ն դրական ամբողջ թվեր են, այսինքն՝ բնական թվեր: Այսպիսով, հենց նոր գրված հատկությունները վավեր են նաև այն դեպքերի համար, երբ a=0, իսկ m և n թվերը դրական ամբողջ թվեր են։

Այս հատկություններից յուրաքանչյուրն ապացուցելը դժվար չէ դա անել, բավական է օգտագործել աստիճանների սահմանումները բնական և ամբողջ թվերով, ինչպես նաև իրական թվերով գործողությունների հատկությունները: Որպես օրինակ՝ եկեք ապացուցենք, որ «power-to-power» հատկությունը գործում է ինչպես դրական, այնպես էլ ոչ դրական ամբողջ թվերի համար: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ եթե p-ն զրո է կամ բնական թիվ, իսկ q-ն զրո է կամ բնական թիվ, ապա հավասարությունները (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) և (a −p) −q =a (−p)·(−q). Եկեք սա անենք:

Դրական p-ի և q-ի համար (a p) q =a p·q հավասարությունն ապացուցվել է նախորդ պարբերությունում: Եթե p=0, ապա մենք ունենք (a 0) q =1 q =1 և a 0·q =a 0 =1, որտեղից (a 0) q =a 0·q: Նմանապես, եթե q=0, ապա (a p) 0 =1 և a p·0 =a 0 =1, որտեղից (a p) 0 =a p·0: Եթե և՛ p=0, և՛ q=0, ապա (a 0) 0 =1 0 =1 և a 0·0 =a 0 =1, որտեղից (a 0) 0 =a 0,0:

Այժմ մենք ապացուցում ենք, որ (a −p) q =a (−p)·q . Բացասական ամբողջ թվի ցուցիչով հզորության սահմանմամբ, ապա . Իշխանությունների քանորդների հատկությամբ մենք ունենք . Քանի որ 1 p =1·1·…·1=1 և , ապա . Վերջին արտահայտությունը, ըստ սահմանման, a −(p·q) ձևի ուժ է, որը բազմապատկման կանոնների շնորհիվ կարելի է գրել որպես (−p)·q։

Նմանապես .

ԵՎ .

Օգտագործելով նույն սկզբունքը, դուք կարող եք ապացուցել աստիճանի բոլոր մյուս հատկությունները ամբողջ թվային ցուցիչով, որը գրված է հավասարումների տեսքով:

Արձանագրված հատկություններից նախավերջինում արժե կանգ առնել a −n >b −n անհավասարության ապացույցի վրա, որը վավեր է ցանկացած բացասական ամբողջ թվի համար −n և ցանկացած դրական a և b-ի համար, որի համար a պայմանը բավարարված է։ . Քանի որ պայմանով ա 0 . a n · b n արտադրյալը նույնպես դրական է որպես a n և b n դրական թվերի արտադրյալ: Այնուհետև ստացված կոտորակը դրական է որպես b n −a n և a n ·b n դրական թվերի քանորդ: Հետևաբար, որտեղից է a −n >b −n, որն ապացուցման կարիք ուներ։

Ամբողջ թվով չափորոշիչներով հզորությունների վերջին հատկությունն ապացուցվում է այնպես, ինչպես բնական ցուցիչներով հզորությունների միանման հատկությունը։

Ռացիոնալ ցուցիչներով հզորությունների հատկությունները

Մենք աստիճանը սահմանեցինք կոտորակային ցուցիչով՝ ընդլայնելով նրան ամբողջ թվով աստիճանի հատկությունները: Այլ կերպ ասած, կոտորակային ցուցիչներով հզորություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ ամբողջ թվային ցուցիչներով հզորությունները: Մասնավորապես.

Կոտորակային ցուցիչներով աստիճանների հատկությունների ապացուցումը հիմնված է կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանման վրա, իսկ ամբողջ թվով ցուցիչով աստիճանի հատկությունների վրա։ Եկեք ապացույցներ ներկայացնենք.

Ըստ կոտորակային ցուցիչ ունեցող հզորության սահմանման և , ապա . Թվաբանական արմատի հատկությունները թույլ են տալիս գրել հետևյալ հավասարումները. Այնուհետև, օգտագործելով աստիճանի հատկությունը ամբողջ թվով ցուցիչով, մենք ստանում ենք , որից կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ ունենք. , իսկ ստացված աստիճանի ցուցիչը կարող է փոխակերպվել հետևյալ կերպ. Սա լրացնում է ապացույցը:

Բացարձակապես նույն կերպ ապացուցված է կոտորակային չափորոշիչներով հզորությունների երկրորդ հատկությունը.

Մնացած հավասարությունները ապացուցվում են նմանատիպ սկզբունքներով.

Անցնենք հաջորդ սեփականության ապացուցմանը։ Ապացուցենք, որ ցանկացած դրական a-ի և b-ի դեպքում a b p . p ռացիոնալ թիվը գրենք m/n, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը բնական թիվ։ Պայմաններ p<0 и p>0 այս դեպքում պայմանները մ<0 и m>0 համապատասխանաբար: m>0 և a-ի համար
Նմանապես, մ<0 имеем a m >b m, որտեղից, այսինքն, և a p >b p.

Մնում է ապացուցել թվարկված հատկություններից վերջինը։ Փաստենք, որ p և q ռացիոնալ թվերի համար p>q 0-ում 0 – անհավասարություն a p >a q . Մենք միշտ կարող ենք p և q ռացիոնալ թվերը կրճատել ընդհանուր հայտարարի, նույնիսկ եթե ստանանք սովորական կոտորակներ և , որտեղ m 1 և m 2 ամբողջ թվեր են, իսկ n-ը բնական թիվ: Այս դեպքում p>q պայմանը կհամապատասխանի m 1 >m 2 պայմանին, որը բխում է. Այնուհետև նույն հիմքերով և 0-ով բնական ցուցանիշներով հզորությունները համեմատելու հատկությամբ 1 – անհավասարություն a m 1 >a m 2: Արմատների հատկությունների այս անհավասարությունները կարող են համապատասխանաբար վերաշարադրվել որպես Եվ . Իսկ ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի սահմանումը թույլ է տալիս անցնել անհավասարություններին և համապատասխանաբար. Այստեղից մենք վերջնական եզրակացություն ենք անում՝ p>q-ի և 0-ի համար 0 – անհավասարություն a p >a q .

Իռացիոնալ ցուցիչներով ուժերի հատկությունները

Իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի սահմանման ձևից կարելի է եզրակացնել, որ այն ունի ռացիոնալ ցուցիչներով աստիճանների բոլոր հատկությունները: Այսպիսով, ցանկացած a>0, b>0 և p և q իռացիոնալ թվերի համար ճիշտ են հետևյալը Իռացիոնալ ցուցիչներով հզորությունների հատկությունները:

a p ·a q =a p+q ;

a p:a q =a p−q ;

(a·b) p =a p ·b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(a p) q =a p·q ;

ցանկացած դրական թվերի համար a և b, a 0 անհավասարությունը a p բ p ;

p և q իռացիոնալ թվերի համար, p>q 0-ում 0 – անհավասարություն a p >a q .

Այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ p և q ցանկացած իրական չափորոշիչներ ունեցող հզորությունները a>0-ի համար ունեն նույն հատկությունները:

Հղումներ.

Վիլենկին Ն.Յա., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկայի դասագիրք 5-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.

Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ. Դասագիրք 7-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.

Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ. Դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.

Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ. Դասագիրք 9-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.

Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար:

Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար).

ՄԱՍ II. ԳԼՈՒԽ 6
ԹՎԵՐԻ ՀԵՐԹԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հասկացությունը

Թող a-ն լինի դրական, իսկ a-ն՝ իռացիոնալ թիվ:
Ի՞նչ նշանակություն պետք է տալ a* արտահայտությանը:
Ներկայացումն ավելի պարզ դարձնելու համար մենք այն կանցկացնենք մասնավոր
օրինակ. Մասնավորապես, դնենք a - 2 և a = 1, 624121121112: . . .
Այստեղ a-ն անվերջ տասնորդական կոտորակ է, որը կազմված է հետևյալ կերպ
օրենք՝ սկսած չորրորդ տասնորդականից՝ ա պատկերի համար
Օգտագործվում են միայն 1 և 2 համարները, իսկ թվերի թիվը 1 է,
անընդմեջ գրված է 2 թվից առաջ՝ անընդհատ մեծանալով
մեկ. a կոտորակը ոչ պարբերական է, քանի որ հակառակ դեպքում թվանշանների թիվը 1 է,
իր կերպարով անընդմեջ արձանագրված կլիներ սահմանափակ։
Հետևաբար, a-ն իռացիոնալ թիվ է:
Այսպիսով, ինչ իմաստ պետք է տալ արտահայտությանը
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . r
Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք ստեղծենք արժեքների հաջորդականություն
իսկ թերությամբ և ավելցուկով՝ (0.1)* ճշգրտությամբ։ Մենք ստանում ենք
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Ստեղծենք 2 թվի լիազորությունների համապատասխան հաջորդականությունները.
2 մ. 2 մ*; 21*624; 21'62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Վւ 21.6Շ; . (4)
Հաջորդականությունը (3) աճում է հաջորդականության մեծացման հետ
(1) (Թեորեմ 2 § 6):
Հաջորդականությունը (4) նվազում է, քանի որ հաջորդականությունը նվազում է
(2).
(3) հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ փոքր է հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամից
(4), և այդպիսով (3) հաջորդականությունը սահմանափակ է
վերևից, իսկ հաջորդականությունը (4) սահմանափակված է ներքևում:
Հիմնվելով միատոն սահմանափակ հաջորդականության թեորեմի վրա
(3) և (4) հաջորդականություններից յուրաքանչյուրն ունի սահման: Եթե

384 Իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հասկացությունը . .

այժմ պարզվում է, որ (4) և (3) հաջորդականությունների միջև տարբերությունը համընկնում է
մինչև զրոյի, ապա կհետևի, որ այս երկու հաջորդականությունները,
ունեն ընդհանուր սահման.
(3) և (4) հաջորդականությունների առաջին անդամների տարբերությունը.
21-7 - 21'* = 2|, (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Երկրորդ տերմինների տարբերությունը
21’63 - 21,62 = 21,62 (2°’01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
n-րդ տերմինների տարբերությունը
0,0000. ..0 1
2>.««…(2» - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Հիմնվելով թեորեմ 3 § 6-ի վրա
lim 10″ / 2 = 1:
Այսպիսով, (3) և (4) հաջորդականություններն ունեն ընդհանուր սահման: Սա
սահմանը միակ իրական թիվն է, որն ավելի մեծ է
հաջորդականության բոլոր անդամները (3) և ավելի քիչ, քան հաջորդականության բոլոր անդամները
(4), նպատակահարմար է համարել այն 2*-ի ճշգրիտ արժեքը:
Ասվածից հետևում է, որ ընդհանուր առմամբ նպատակահարմար է ընդունել
հետևյալ սահմանումը.
Սահմանում. Եթե a^> 1, ապա a-ի հզորությունը իռացիոնալով
a ցուցիչը իրական թիվ է
որն ավելի մեծ է այս թվի բոլոր հզորություններից, որոնց ցուցիչներն են
ռացիոնալ մոտարկումներ ա՝ թերություն ունեցող, և բոլոր աստիճաններից պակաս
այս թիվը, որի ցուցիչները ռացիոնալ մոտավորություններ են և հետ
ավելցուկ.
Եթե ա<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
իրական թիվն է, որը մեծ է բոլոր հզորություններից
այս թիվը, որի ցուցիչները ռացիոնալ մոտավորություններ են և
ավելցուկով, և ավելի քիչ, քան այս թվի բոլոր լիազորությունները, որոնց ցուցանիշները
- ռացիոնալ մոտարկումներ a թերություն ունեցող.
.Եթե a- 1, ապա դրա աստիճանը իռացիոնալ ցուցիչով a
1 է։
Օգտագործելով սահման հասկացությունը՝ կարելի է ձևակերպել այս սահմանումը
Այսպիսով.
Իռացիոնալ ցուցիչով դրական թվի հզորությունը
և կոչվում է այն սահմանը, որին ուղղված է հաջորդականությունը
այս թվի ռացիոնալ ուժերը՝ պայմանով, որ հաջորդականությունը
այս ուժերի արտահայտիչները հակված են դեպի ա, այսինքն.
аа = lim аЧ
բ — *
13 D, K. Fatsheev, I. S. Sominsky

Այս նյութում մենք կանդրադառնանք, թե ինչ է թվի ուժը: Բացի հիմնական սահմանումներից, մենք կձևակերպենք, թե ինչ ուժեր են բնական, ամբողջ թվով, ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչներով: Ինչպես միշտ, բոլոր հասկացությունները կներկայացվեն օրինակային խնդիրներով:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Նախ ձևակերպենք աստիճանի հիմնական սահմանումը բնական ցուցիչով: Դա անելու համար մենք պետք է հիշենք բազմապատկման հիմնական կանոնները: Նախապես պարզաբանենք, որ առայժմ որպես հիմք ընդունելու ենք իրական թիվը (նշվում է a տառով), իսկ բնական թիվը (նշվում է n տառով)։
Սահմանում 1
n բնական ցուցիչ ունեցող a թվի հզորությունը n-րդ թվի գործոնների արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a թվին: Դիպլոմը գրված է այսպես. a n, և բանաձևի տեսքով դրա կազմը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Օրինակ, եթե աստիճանը 1 է, իսկ հիմքը՝ a, ապա a-ի առաջին հզորությունը գրվում է այսպես ա 1. Հաշվի առնելով, որ a-ն գործոնի արժեքն է, իսկ 1-ը՝ գործոնների թիվը, կարող ենք եզրակացնել, որ ա 1 = ա.

Ընդհանուր առմամբ, կարելի է ասել, որ աստիճանը մեծ թվով հավասար գործոններ գրելու հարմար ձև է։ Այսպիսով, ձևի գրառում 8 8 8 8կարող է կրճատվել մինչև 8 4 . Նույն կերպ, արտադրանքն օգնում է մեզ խուսափել մեծ թվով տերմիններ գրելուց (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Սա արդեն քննարկել ենք բնական թվերի բազմապատկմանը նվիրված հոդվածում։

Ինչպե՞ս ճիշտ կարդալ աստիճանի մուտքագրումը: Ընդհանուր ընդունված տարբերակն է «a-ն n-ի ուժով»: Կամ կարող եք ասել «ա-ի n-րդ ուժ» կամ «անթ ուժ»: Եթե, ասենք, օրինակում հանդիպեցինք մուտքին 8 12 , կարող ենք կարդալ «8-ը 12-րդ աստիճանին», «8-ը՝ 12-ի ուժին» կամ «8-ի 12-րդ աստիճանին»։

Թվերի երկրորդ և երրորդ ուժերն ունեն իրենց հաստատված անվանումները՝ քառակուսի և խորանարդ։ Եթե տեսնում ենք երկրորդ հզորությունը, օրինակ՝ 7 թիվը (7 2), ապա կարող ենք ասել «7 քառակուսի» կամ «7 թվի քառակուսի»։ Նմանապես, երրորդ աստիճանը կարդում է այսպես. 5 3 - սա «5 թվի խորանարդն է» կամ «5 խորանարդը»: Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք նաև օգտագործել ստանդարտ ձևակերպումը «մինչև երկրորդ/երրորդ ուժ», սա սխալ չի լինի:
Օրինակ 1
Դիտարկենք բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի օրինակ՝ for 5 7 հինգը կլինի հիմքը, իսկ յոթը կլինի ցուցանիշը:

Պարտադիր չէ, որ հիմքը լինի ամբողջ թիվ՝ աստիճանի համար (4 , 32) 9 հիմքը կլինի 4 կոտորակը, 32, իսկ աստիճանը կլինի ինը: Ուշադրություն դարձրեք փակագծերին. այս նշումը կատարվում է բոլոր այն հզորությունների համար, որոնց հիմքերը տարբերվում են բնական թվերից:

Օրինակ՝ 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3:

Ինչի՞ համար են փակագծերը: Նրանք օգնում են խուսափել հաշվարկների սխալներից: Ենթադրենք, մենք ունենք երկու մուտք. (− 2) 3 Եվ − 2 3 . Դրանցից առաջինը նշանակում է բացասական թիվ՝ հանած երկու, որը բարձրացված է երեքի բնական ցուցիչ ունեցող հզորության. երկրորդը աստիճանի հակառակ արժեքին համապատասխանող թիվն է 2 3 .

Երբեմն գրքերում կարելի է գտնել թվի ուժի մի փոքր այլ ուղղագրություն. ա^ն(որտեղ a-ն հիմքն է, իսկ n-ը՝ ցուցանիշը): Այսինքն՝ 4^9 նույնն է, ինչ 4 9 . Եթե n-ը բազմանիշ թիվ է, ապա այն դրվում է փակագծերում։ Օրինակ՝ 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) ։ Բայց մենք կօգտագործենք նշումը a nորպես ավելի տարածված:

Հեշտ է կռահել, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել ցուցիչի արժեքը բնական ցուցիչով դրա սահմանումից. պարզապես անհրաժեշտ է բազմապատկել n-րդ թիվը: Այս մասին ավելին գրել ենք մեկ այլ հոդվածում։

Աստիճան հասկացությունը մեկ այլ մաթեմատիկական հայեցակարգի հակադարձ է՝ թվի արմատ: Եթե իմանանք հզորության և աստիճանի արժեքը, կարող ենք հաշվարկել դրա հիմքը։ Դիպլոմն ունի որոշ հատուկ հատկություններ, որոնք օգտակար են խնդիրների լուծման համար, որոնք մենք քննարկել ենք առանձին նյութում։

Ցուցանիշները կարող են ներառել ոչ միայն բնական թվեր, այլև ընդհանրապես ցանկացած ամբողջ արժեք, ներառյալ բացասականները և զրոները, քանի որ դրանք նույնպես պատկանում են ամբողջ թվերի բազմությանը:
Սահմանում 2
Դրական ամբողջ թվի ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը կարելի է ներկայացնել որպես բանաձև. .

Այս դեպքում n-ը ցանկացած դրական ամբողջ թիվ է:

Եկեք հասկանանք զրոյական աստիճան հասկացությունը։ Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք մոտեցում, որը հաշվի է առնում հավասար հիմքերով հզորությունների քանորդ հատկությունը: Այն ձևակերպված է այսպես.
Սահմանում 3
Հավասարություն a m: a n = a m − nճշմարիտ կլինի հետևյալ պայմաններում՝ m և n բնական թվեր են, m< n , a ≠ 0 .

Վերջին պայմանը կարևոր է, քանի որ այն խուսափում է զրոյի բաժանումից: Եթե m-ի և n-ի արժեքները հավասար են, ապա մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքը. a n: a n = a n − n = a 0

Բայց միևնույն ժամանակ a n: a n = 1 հավասար թվերի քանորդն է a nև ա. Ստացվում է, որ ցանկացած ոչ զրոյական թվի զրոյական հզորությունը հավասար է մեկի։

Այնուամենայնիվ, նման ապացույցը չի վերաբերում զրոյական հզորությանը: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է հզորությունների մեկ այլ հատկություն՝ հավասար հիմքերով հզորությունների արտադրյալների սեփականություն։ Այն կարծես այսպիսին է. a m · a n = a m + n .

Եթե n-ը հավասար է 0-ի, ապա a m · a 0 = a m(այս հավասարությունը նաև մեզ դա է ապացուցում a 0 = 1) Բայց եթե և-ն նույնպես հավասար է զրոյի, ապա մեր հավասարությունը ձև է ստանում 0 մ · 0 0 = 0 մ, Դա ճիշտ կլինի n-ի ցանկացած բնական արժեքի համար, և կարևոր չէ, թե ինչի է հավասար աստիճանի արժեքը 0 0 , այսինքն՝ այն կարող է հավասար լինել ցանկացած թվի, և դա չի ազդի հավասարության ճշգրտության վրա։ Հետևաբար, ձևի նշում 0 0 չունի իր հատուկ նշանակությունը, և մենք դրան չենք վերագրի։

Ցանկության դեպքում հեշտ է դա ստուգել a 0 = 1համընկնում է աստիճանի հատկության հետ (a m) n = a m nպայմանով, որ աստիճանի հիմքը զրո չէ։ Այսպիսով, զրո ցուցիչով ցանկացած ոչ զրոյական թվի հզորությունը մեկ է։
Օրինակ 2
Դիտարկենք կոնկրետ թվերով օրինակ. 5 0 - միավոր, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , իսկ արժեքը 0 0 սահմանված չէ:

Զրոյական աստիճանից հետո մենք պարզապես պետք է հասկանանք, թե ինչ է բացասական աստիճանը: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է հավասար հիմքերով հզորությունների արտադրյալի նույն հատկությունը, որը մենք արդեն օգտագործել ենք վերևում՝ a m · a n = a m + n:

Ներկայացնենք պայմանը՝ m = − n, ապա a-ն չպետք է հավասար լինի զրոյի։ Այստեղից հետևում է, որ a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ստացվում է, որ մի n և a−nմենք ունենք փոխադարձ թվեր։

Արդյունքում, a-ն դեպի բացասական ամբողջ հզորությունը ոչ այլ ինչ է, քան 1 a n կոտորակը:

Այս ձևակերպումը հաստատում է, որ ամբողջ թվով բացասական ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար վավեր են բոլոր այն նույն հատկությունները, որոնք ունեն բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանը (պայմանով, որ հիմքը հավասար չէ զրոյի):
Օրինակ 3
n բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով a հզորությունը կարող է ներկայացվել որպես 1 a n կոտորակ: Այսպիսով, a - n = 1 a n ենթակա է a ≠ 0իսկ n-ը ցանկացած բնական թիվ է:

Եկեք պատկերացնենք մեր գաղափարը կոնկրետ օրինակներով.
Օրինակ 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Պարբերության վերջին մասում մենք կփորձենք պատկերել այն ամենը, ինչ ասվել է հստակ մեկ բանաձևով.
Սահմանում 4
z բնական ցուցիչով թվի հզորությունը հետևյալն է՝ a z = a z, e l-ով և z - դրական ամբողջ թիվ 1, z = 0 և a ≠ 0, (z = 0 և a = 0-ի համար արդյունքը 0 0 է, 0 0 արտահայտության արժեքները սահմանված չեն) 1 a z, եթե և z-ն բացասական ամբողջ թիվ է, և a ≠ 0 (եթե z-ն բացասական ամբողջ թիվ է, իսկ a = 0-ը, ապա կստանաք 0 z, egoz արժեքը անորոշ է)

Որո՞նք են ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժերը:

Մենք ուսումնասիրեցինք այն դեպքերը, երբ ցուցիչը պարունակում է ամբողջ թիվ։ Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք թիվը հասցնել հզորության նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա ցուցանիշը պարունակում է կոտորակային թիվ: Սա կոչվում է ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող հզորություն: Այս բաժնում մենք կապացուցենք, որ այն ունի նույն հատկությունները, ինչ մյուս ուժերը:

Որո՞նք են ռացիոնալ թվերը: Դրանց հավաքածուն ներառում է և՛ ամբողջ, և՛ կոտորակային թվեր, իսկ կոտորակային թվերը կարող են ներկայացվել որպես սովորական կոտորակներ (և՛ դրական, և՛ բացասական): Ձևակերպենք a թվի հզորության սահմանումը m/n կոտորակային ցուցիչով, որտեղ n-ը բնական թիվ է, իսկ m-ը՝ ամբողջ թիվ։

Մենք ունենք որոշակի աստիճան a m n կոտորակային ցուցիչով: Որպեսզի գույքը հզորացնելու հզորությունը պահպանվի, a m n n = a m n · n = a m հավասարությունը պետք է լինի ճշմարիտ:

Հաշվի առնելով n-րդ արմատի սահմանումը և որ a m n n = a m, մենք կարող ենք ընդունել a m n = a m n պայմանը, եթե m n-ն իմաստ ունի m, n և a-ի տրված արժեքների համար:

Ամբողջ թվի ցուցիչ ունեցող աստիճանի վերը նշված հատկությունները ճշմարիտ կլինեն a m n = a m n պայմանով:

Մեր հիմնավորումից հիմնական եզրակացությունը հետևյալն է. m/n կոտորակային ցուցիչ ունեցող a թվի հզորությունը a թվի n-րդ արմատն է m հզորությանը: Սա ճիշտ է, եթե m-ի, n-ի և a-ի տրված արժեքների համար a m n արտահայտությունը մնում է իմաստալից:

1. Մենք կարող ենք սահմանափակել աստիճանի հիմքի արժեքը. վերցնենք a, որը m-ի դրական արժեքների համար մեծ կամ հավասար կլինի 0-ի, իսկ բացասական արժեքների համար՝ խիստ փոքր (քանի որ m-ի համար ≤ 0. մենք ստանում ենք 0 մ, բայց նման աստիճան սահմանված չէ)։ Այս դեպքում կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Որոշ դրական a թվի համար m/n կոտորակային ցուցիչ ունեցող հզորությունը a-ի n-րդ արմատն է՝ բարձրացված m հզորության: Սա կարող է արտահայտվել որպես բանաձև.

Զրոյական հիմք ունեցող հզորության համար այս դրույթը նույնպես հարմար է, բայց միայն այն դեպքում, եթե դրա ցուցանիշը դրական թիվ է:

Զրո հիմքով և կոտորակային դրական ցուցիչով m/n հզորությունը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ

0 m n = 0 m n = 0 պայմանով, որ m-ը դրական ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը բնական թիվ:

Բացասական հարաբերակցության համար m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Նկատենք մեկ կետ. Քանի որ մենք ներդրեցինք պայմանը, որ a-ն մեծ է կամ հավասար է զրոյի, մենք ի վերջո մերժեցինք որոշ դեպքեր:

a m n արտահայտությունը երբեմն դեռ իմաստ ունի a-ի և որոշ m-ի որոշ բացասական արժեքների համար: Այսպիսով, ճիշտ գրառումներն են (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, որոնցում հիմքը բացասական է:

2. Երկրորդ մոտեցումը a m n արմատն առանձին դիտարկելն է՝ զույգ և կենտ ցուցիչներով: Այնուհետև մեզ անհրաժեշտ կլինի ներկայացնել ևս մեկ պայման՝ a աստիճանը, որի ցուցիչում կա կրճատվող սովորական կոտորակ, համարվում է a աստիճանը, որի ցուցիչում կա համապատասխան անկրճատելի կոտորակը։ Ավելի ուշ մենք կբացատրենք, թե ինչու է մեզ անհրաժեշտ այս պայմանը և ինչու է այն այդքան կարևոր: Այսպիսով, եթե ունենք a m · k n · k նշումը, ապա այն կարող ենք կրճատել մինչև m n և պարզեցնել հաշվարկները։

Եթե n-ը կենտ թիվ է, իսկ m-ի արժեքը դրական է, իսկ a-ն ցանկացած ոչ բացասական թիվ է, ապա m n-ն իմաստ ունի: A-ի ոչ բացասական լինելու պայմանն անհրաժեշտ է, քանի որ բացասական թվից հնարավոր չէ դուրս բերել զույգ աստիճանի արմատ: Եթե m-ի արժեքը դրական է, ապա a-ն կարող է լինել և՛ բացասական, և՛ զրո, քանի որ Կենտ արմատը կարելի է վերցնել ցանկացած իրական թվից։

Եկեք միացնենք վերը նշված բոլոր սահմանումները մեկ գրառման մեջ.

Այստեղ m/n նշանակում է անկրճատելի կոտորակ, m-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը ցանկացած բնական թիվ:
Սահմանում 5
Ցանկացած սովորական կրճատելի կոտորակի համար m · k n · k աստիճանը կարող է փոխարինվել m n-ով:

Մ / n անկրճատելի կոտորակային ցուցիչով a թվի հզորությունը կարող է արտահայտվել որպես m n հետևյալ դեպքերում. Օրինակ՝ 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19:

Ցանկացած ոչ զրոյական իրական a, m-ի բացասական ամբողջ արժեքների և n-ի կենտ արժեքների համար, օրինակ՝ 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Ցանկացած ոչ բացասական a, դրական ամբողջ թվի համար m և նույնիսկ n, օրինակ՝ 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18:

Ցանկացած դրական a, բացասական ամբողջ թվի համար m և նույնիսկ n, օրինակ, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Այլ արժեքների դեպքում աստիճանը կոտորակային ցուցիչով որոշված չէ։ Նման աստիճանների օրինակներ՝ - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5:

Հիմա եկեք բացատրենք վերը քննարկված պայմանի կարևորությունը. ինչու՞ կոտորակը փոխարինել կրճատելի ցուցիչով կոտորակի հետ անկրճատելի ցուցիչով: Եթե մենք դա չանեինք, կունենայինք հետևյալ իրավիճակները, ասենք, 6/10 = 3/5: Այնուհետև այն պետք է լինի ճիշտ (- 1) 6 10 = - 1 3 5, բայց - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, և (- 1) 3 5 = (- 1): ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1:

Կոտորակի ցուցիչով աստիճանի սահմանումը, որը մենք առաջինը ներկայացրեցինք, գործնականում ավելի հարմար է օգտագործել, քան երկրորդը, ուստի մենք կշարունակենք օգտագործել այն։
Սահմանում 6
Այսպիսով, m/n կոտորակային ցուցիչով a դրական թվի հզորությունը սահմանվում է որպես 0 m n = 0 m n = 0: Բացասականի դեպքում ա a m n նշումը իմաստ չունի: Զրո հզորությունը դրական կոտորակային ցուցիչների համար մ/նսահմանվում է որպես 0 m n = 0 m n = 0, բացասական կոտորակային ցուցիչների համար մենք չենք սահմանում զրոյի աստիճանը:

Եզրակացություններում մենք նշում ենք, որ ցանկացած կոտորակային ցուցանիշ կարող եք գրել ինչպես խառը թվով, այնպես էլ որպես տասնորդական կոտորակ՝ 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7:

Հաշվարկելիս ավելի լավ է ցուցիչը փոխարինել սովորական կոտորակով, իսկ հետո օգտագործել աստիճանի սահմանումը կոտորակային ցուցիչով։ Վերոնշյալ օրինակների համար մենք ստանում ենք.

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Որո՞նք են իռացիոնալ և իրական ցուցիչներ ունեցող ուժերը:

Որո՞նք են իրական թվերը: Նրանց հավաքածուն ներառում է ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թվեր։ Հետևաբար, որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է իրական ցուցիչով աստիճանը, մենք պետք է սահմանենք աստիճաններ ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչներով: Վերևում արդեն նշել ենք ռացիոնալները։ Եկեք քայլ առ քայլ զբաղվենք իռացիոնալ ցուցանիշներով։
Օրինակ 5
Ենթադրենք, որ մենք ունենք a իռացիոնալ թիվ և նրա տասնորդական մոտավորությունների հաջորդականությունը a 0, a 1, a 2, : . . . Օրինակ, վերցնենք a = 1.67175331 արժեքը: . . , Հետո

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Մոտավորությունների հաջորդականությունը կարող ենք կապել a a 0, a a 1, a a 2, աստիճանների հաջորդականության հետ: . . . Եթե հիշենք այն, ինչ ավելի վաղ ասացինք թվերը ռացիոնալ ուժերին հասցնելու մասին, ապա մենք կարող ենք ինքներս հաշվարկել այդ ուժերի արժեքները:

Օրինակ վերցնենք a = 3, ապա a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . և այլն:

Հզորությունների հաջորդականությունը կարող է կրճատվել մինչև թվի, որը կլինի a հիմքով և իռացիոնալ ցուցիչով հզորության արժեքը։ Արդյունքում՝ աստիճան 3 1, 67175331 ձևի իռացիոնալ ցուցիչով: . կարելի է կրճատել մինչև 6, 27 թիվը։
Սահմանում 7
a իռացիոնալ ցուցիչով դրական a թվի ուժը գրվում է a . Դրա արժեքը a a 0, a a 1, a a 2, հաջորդականության սահմանն է: . . , որտեղ a 0 , a 1 , a 2 , . . . a իռացիոնալ թվի հաջորդական տասնորդական մոտարկումներ են։ Զրոյական հիմքով աստիճան կարող է սահմանվել նաև դրական իռացիոնալ ցուցիչների համար՝ 0 a = 0 Այսպիսով, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0: Բայց դա հնարավոր չէ անել բացասականների համար, քանի որ, օրինակ, 0 - 5, 0 - 2 π արժեքը սահմանված չէ: Ցանկացած իռացիոնալ ուժի բարձրացված միավորը, օրինակ, մնում է միավոր, և 1 2, 1 5-ը 2-ում և 1 - 5-ը հավասար կլինի 1-ի:

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճան, նրա հատկությունները:
Արտահայտությունը a n սահմանված a և n բոլորի համար, բացառությամբ a=0 n≤0 դեպքի: Հիշենք նման ուժերի հատկությունները։

Ցանկացած a, b և m և n ամբողջ թվերի համար հավասարությունները վավեր են.
A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0):

Ուշադրություն դարձրեք նաև հետևյալ հատկությանը.

Եթե m>n, ապա m >a n a>1-ի և a m-ի համար<а n при 0<а<1.

Այս բաժնում մենք ընդհանրացնենք թվի հզորությունների հասկացությունը՝ իմաստ տալով 2-րդ տիպի արտահայտություններին 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 և այլն: Բնական է այնպիսի սահմանում տալ, որ ռացիոնալ ցուցիչներով ուժերն ունենան նույն հատկությունները (կամ գոնե դրանց մի մասը), ինչ ամբողջ թվով չափիչ ունեցող ուժերը: Այնուհետեւ, մասնավորապես, թվի n-րդ աստիճանըպետք է հավասար լինի aմ . Իսկապես, եթե գույքը
(a p) q =a pq

կատարվում է, ապա

Վերջին հավասարությունը նշանակում է (n-րդ արմատի սահմանմամբ), որ թիվըպետք է լինի a-ի n-րդ արմատըմ.

Սահմանում.

r= ռացիոնալ ցուցիչով a>0 թվի հզորությունը, որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ (n > 1), դա թիվն է։

Այսպիսով, ըստ սահմանման
(1)

0-ի հզորությունը սահմանվում է միայն դրական ցուցիչների համար. ըստ սահմանման 0 r = 0 ցանկացած r>0-ի համար:
Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով:
Իռացիոնալ թիվկարող է ներկայացվել ձևովռացիոնալ թվերի հաջորդականության սահմանը: .
Թող . Այնուհետև կան ուժեր՝ ռացիոնալ ցուցիչով։ Կարելի է ապացուցել, որ այս ուժերի հաջորդականությունը կոնվերգենտ է։ Այս հաջորդականության սահմանը կոչվում է աստիճանը բազային և իռացիոնալ ցուցիչով: .
Եկեք ամրագրենք դրական թիվ a և վերագրենք այն յուրաքանչյուր թվին. Այսպիսով մենք ստանում ենք f(x) = a թվային ֆունկցիան x , որը սահմանված է ռացիոնալ թվերի Q բազմության վրա և տիրապետում է նախկինում թվարկված հատկություններին։ Երբ a=1 ֆունկցիա f(x) = a x հաստատուն է, քանի որ 1 x =1 ցանկացած ռացիոնալ x-ի համար:

Եկեք մի քանի կետ գծենք y = 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա x նախապես հաշվարկելով 2 արժեքը՝ օգտագործելով հաշվիչ x հատվածի վրա [-2; 3] 1/4 քայլով (նկ. 1, ա), իսկ հետո 1/8 քայլով (նկ. 1, բ) մտովի շարունակելով նույն կոնստրուկցիաները 1/16, 1/32, և այլն, մենք տեսնում ենք, որ ստացված կետերը կարող են միացված լինել հարթ կորով, որը բնականաբար կարելի է համարել ինչ-որ ֆունկցիայի գրաֆիկ՝ սահմանված և մեծանալով ամբողջ թվային գծի երկայնքով և վերցնելով արժեքներ։ռացիոնալ կետերում(նկ. 1, գ): Բավականաչափ կառուցելով մեծ թվովֆունկցիայի գրաֆիկի կետերը, կարող եք համոզվել, որ այս ֆունկցիան ունի նմանատիպ հատկություններ (տարբերությունն այն է, որ ֆունկցիաննվազում է R):

Այս դիտարկումները հուշում են, որ 2 թվերը կարող են սահմանվել այսպեսα և յուրաքանչյուր իռացիոնալ α-ի համար, որ y=2 բանաձեւերով տրված ֆունկցիաները x և կլինի շարունակական, իսկ y=2 ֆունկցիան x մեծանում է, իսկ ֆունկցիաննվազում է ամբողջ թվային գծի երկայնքով:

Եկեք ընդհանուր ձևով նկարագրենք, թե ինչպես է որոշվում a թիվը α իռացիոնալ α-ի համար a>1-ի համար: Մենք ցանկանում ենք ապահովել, որ y = a ֆունկցիան x ավելանում էր. Հետո ցանկացած ռացիոնալ ռ 1 և r 2 այնպես, որ r 1<αպետք է բավարարի անհավասարությունները ա r 1<а α <а r 1 .

r արժեքների ընտրություն 1 և r 2 մոտենալով x-ին, կարելի է նկատել, որ a-ի համապատասխան արժեքները r 1 և a r 2 քիչ կտարբերվի. Կարելի է ապացուցել, որ գոյություն ունի և միայն մեկ թիվ y, որը մեծ է բոլոր a-ից r 1 բոլոր ռացիոնալ ռ 1 և առնվազն a r 2 բոլոր ռացիոնալ ռ 2 . Այս y թիվը ըստ սահմանման a է α .

Օրինակ՝ օգտագործելով հաշվիչը՝ 2 արժեքը հաշվարկելու համար x x n և x` n կետերում, որտեղ x n և x` n - թվերի տասնորդական մոտարկումներմենք կգտնենք, որ որքան մոտ է x n և x`n k , այնքան քիչ են տարբերվում 2-ը x n և 2 x` n:

Այդ ժամանակից ի վեր

և, հետևաբար,

Նմանապես, հաշվի առնելով հետևյալ տասնորդական մոտավորություններըըստ թերության և ավելցուկի՝ մենք հասնում ենք հարաբերություններին
;

;

;

;

.

Իմաստը Հաշվիչի վրա հաշվարկված է.
.

Ա թիվը որոշվում է նույն կերպ α 0-ի համար<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 ցանկացած α-ի և 0-ի համարα =0 α>0-ի համար:
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.

ժամը ա > 0, ա = 1, գործառույթը սահմանված է y = ա x, տարբերվում է հաստատունից։ Այս ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիահիմքովա.

y=ա xժամը ա> 1:

0 հիմքով էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկները< ա < 1 и ա> 1-ը ցույց է տրված նկարում:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները y=ա x 0-ին< ա < 1:
Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային տողն է։

Ֆունկցիոնալ միջակայք - ինտերվալ (0; + ) .

Ֆունկցիան խիստ միապաղաղ մեծանում է ամբողջ թվային տողի վրա, այսինքն՝ եթե x 1 < x 2, ապա ա x 1 > ա x 2 .

ժամը x= 0 ֆունկցիայի արժեքը 1 է:

Եթե x> 0, ապա 0< ա < 1 և եթե x < 0, то ա x > 1.
TO ընդհանուր հատկություններէքսպոնենցիալ ֆունկցիա, ինչպես 0-ում< a < 1, так и при a > 1 ներառում է.
ա x 1 ա x 2 = ա x 1 + x 2, բոլորի համար x 1 Եվ x 2.

ա − x= ( ա x) − 1 = 1 աxորեւէ մեկի համար x.

nա x= ա

Կարդացեք.

Հնարավոր առաքելություն. Ռուսաստանին նշանակվել է առանցքային դեր Մարս արշավում Ինչպես հաշվարկել մոմենտը Արևի մաքրման մեթոդներ՝ դիալիզ, էլեկտրադիալիզ, ուլտրաֆիլտրացիա «Մաքուր արվեստ»՝ Ֆ.Ի. Տյուտչևը։ «Մաքուր արվեստի» պոեզիա. ավանդույթներ և նորարարություն Մաքուր արվեստի ներկայացուցիչներ ռուս գրականության մեջ Ինչպես պատրաստել տավարի լեզուն տանը

Կարդացեք.