Նախորդ հոդվածներից մեկում արդեն նշել էինք թվի հզորությունը։ Այսօր մենք կփորձենք կողմնորոշվել դրա իմաստը գտնելու գործընթացում: Գիտականորեն մենք կպարզենք, թե ինչպես ճիշտ բարձրացնել իշխանությանը: Մենք կպարզենք, թե ինչպես է իրականացվում այս գործընթացը, և միևնույն ժամանակ կանդրադառնանք բոլոր հնարավոր ցուցանիշներին՝ բնական, իռացիոնալ, ռացիոնալ, ամբողջ թիվ։

Այսպիսով, եկեք ավելի սերտ նայենք օրինակների լուծումներին և պարզենք, թե ինչ է դա նշանակում.

1. Հայեցակարգի սահմանում.
2. Բացասական արվեստի բարձրացում.
3. Ամբողջ թվի ցուցիչ.
4. Թիվ բարձրացնելով դեպի իռացիոնալ աստիճան.

Ահա մի սահմանում, որը ճշգրտորեն արտացոլում է իմաստը.

Համապատասխանաբար, ա թիվը բարձրացնելով Արվեստ. r և a աստիճանի արժեքը r ցուցանիշով գտնելու գործընթացը նույնական հասկացություններ են։ Օրինակ, եթե խնդիրն է հաշվարկել հզորության արժեքը (0,6)6″, ապա այն կարելի է պարզեցնել «0,6 թիվը բարձրացրեք 6-ի» արտահայտությամբ:

Դրանից հետո դուք կարող եք ուղղակիորեն անցնել շինարարության կանոններին:

Բացասական ուժի բարձրացում

Պարզության համար պետք է ուշադրություն դարձնել հետևյալ արտահայտությունների շղթային.

110=0,1=1* 10 հանած 1 ճաշի գդալ,

1100=0.01=1*10 մինուս 2 աստիճանով,

11000=0.0001=1*10 մինուս 3 ստ.,

110000=0.00001=1*10-ից մինուս 4 աստիճան:

Այս օրինակների շնորհիվ դուք կարող եք հստակ տեսնել 10-ը ցանկացած մինուս հզորության ակնթարթորեն հաշվարկելու ունակությունը: Այդ նպատակով բավական է պարզապես տեղափոխել տասնորդական բաղադրիչը.

• 10-ից -1 աստիճան - մեկից առաջ կա 1 զրո;
• -3-ում - երեք զրո մեկից առաջ;
• -9-ում կա 9 զրո և այլն:

Այս գծապատկերից նույնպես հեշտ է հասկանալ, թե որքան կլինի 10 մինուս 5 ճաշի գդալ: -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Ինչպես թիվը հասցնել բնական ուժի

Հիշելով սահմանումը, մենք հաշվի ենք առնում, որ բնական թիվը ա Արվեստում. n-ը հավասար է n գործոնի արտադրյալին, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a. Եկեք պատկերացնենք. (a*a*…a)n, որտեղ n-ը բազմապատկված թվերի թիվն է: Համապատասխանաբար, a-ն n-ի հասցնելու համար անհրաժեշտ է հաշվել հետևյալ ձևի արտադրյալը՝ a*a*…a բաժանված n-ի վրա։

Սրանից ակնհայտ է դառնում, որ բարձրացնելով բնական ս. հիմնված է բազմապատկման ունակության վրա(այս նյութը ներկայացված է իրական թվերի բազմապատկման բաժնում): Եկեք նայենք խնդրին.

Բարձրացրեք -2 4-րդ փ.

Մենք գործ ունենք բնական ցուցանիշի հետ։ Ըստ այդմ, որոշման ընթացքը կլինի հետևյալը՝ (-2) Արվեստ. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2): Այժմ մնում է ամբողջ թվերը բազմապատկել՝ (-2)*(-2)*(-2)*(-2): Մենք ստանում ենք 16:

Խնդրի պատասխանը.

(-2) Արվեստում. 4=16.

Օրինակ:

Հաշվիր արժեքը՝ երեք կետ երկու յոթերորդ քառակուսի:

Այս օրինակըհավասար է հետևյալ արտադրյալին՝ երեք կետ երկու յոթերորդ բազմապատկած երեք կետով երկու յոթերորդ: Հիշելով, թե ինչպես են բազմապատկվում խառը թվերը, մենք ավարտում ենք շինարարությունը.

• 3 միավոր 2 յոթերորդները բազմապատկված իրենց վրա;
• հավասար է 23 յոթերորդների բազմապատկած 23 յոթերորդով;
• հավասար է 529 քառասունիններորդ;
• կրճատում ենք և ստանում ենք 10 երեսունինը քառասունիններորդ:

Պատասխան. 10 39/49

Ինչ վերաբերում է իռացիոնալ ցուցանիշին բարձրացնելու խնդրին, ապա պետք է նշել, որ հաշվարկները սկսում են իրականացվել աստիճանի հիմքի նախնական կլորացման ավարտից հետո ցանկացած թվանշանի վրա, որը թույլ կտա տվյալ ճշգրտությամբ ստանալ արժեքը: Օրինակ, մենք պետք է քառակուսի դարձնենք P թիվը (pi):

Մենք սկսում ենք P-ն հարյուրերորդականի կլորացնելով և ստանում.

P քառակուսի = (3.14)2 = 9.8596: Այնուամենայնիվ, եթե P-ն նվազեցնենք մինչև տասը հազարերորդական, մենք կստանանք P = 3,14159: Այնուհետև քառակուսի տալը բոլորովին այլ թիվ է տալիս՝ 9,8695877281:

Այստեղ պետք է նշել, որ շատ խնդիրներում կարիք չկա իռացիոնալ թվերը հասցնել իշխանության։ Որպես կանոն, պատասխանը մուտքագրվում է կամ փաստացի աստիճանի տեսքով, օրինակ՝ 6-ի արմատը 3-ի չափով, կամ, եթե արտահայտությունը թույլ է տալիս, կատարվում է դրա փոխակերպումը. արմատը 5-ից 7 աստիճան = 5-ի 125 արմատը:

Ինչպես թիվը հասցնել ամբողջ թվի

Այս հանրահաշվական մանիպուլյացիան տեղին է հաշվի առնել հետևյալ դեպքերը.

• ամբողջ թվերի համար;
• զրոյական ցուցանիշի համար;
• դրական ամբողջ թվի ցուցիչի համար:

Քանի որ գրեթե բոլոր դրական ամբողջ թվերը համընկնում են բնական թվերի զանգվածի հետ, դրական ամբողջ հզորության սահմանումը նույն գործընթացն է, ինչ Արվեստում սահմանելը: բնական. Մենք նկարագրեցինք այս գործընթացը նախորդ պարբերությունում:

Հիմա անդրադառնանք սբ. դատարկ։ Վերևում մենք արդեն պարզեցինք, որ a թվի զրոյական հզորությունը կարող է որոշվել ցանկացած ոչ զրոյական a-ի համար (իրական), մինչդեռ a-ն Արվեստում։ 0-ը հավասար կլինի 1-ի:

Համապատասխանաբար, ցանկացած իրական թիվ բարձրացնելով զրոյական ստ. կտա մեկը.

Օրինակ՝ 10-ը 0=1-ում, (-3.65)0=1, իսկ 0-ը՝ ստ. 0-ը չի կարող որոշվել:

Ամբողջական հզորության բարձրացումն ավարտելու համար մնում է որոշել բացասական ամբողջ արժեքների տարբերակները: Մենք հիշում ենք, որ Արվեստ. a-ից -z-ն ամբողջ թվով ցուցիչով կսահմանվի որպես կոտորակ: Կոտորակի հայտարարը ստ. դրական ամբողջ արժեքով, որի արժեքը մենք արդեն սովորել ենք գտնել։ Այժմ մնում է դիտարկել շինարարության օրինակ։

Օրինակ:

Հաշվի՛ր բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով խորանարդված 2 թվի արժեքը։

Լուծման գործընթաց.

Բացասական ցուցիչով աստիճանի սահմանման համաձայն՝ նշանակում ենք՝ երկու մինուս 3 աստիճան։ հավասար է մեկից երկու երրորդ ուժի:

Հայտարարը հաշվարկվում է պարզապես. երկու խորանարդ;

3 = 2*2*2=8.

Պատասխան. երկուսից մինուս 3-րդ փ. = մեկ ութերորդ:

Այս նյութում մենք կանդրադառնանք, թե ինչ է թվի ուժը: Բացի հիմնական սահմանումներից, մենք կձևակերպենք, թե ինչ ուժեր են բնական, ամբողջ թվով, ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչներով: Ինչպես միշտ, բոլոր հասկացությունները կներկայացվեն օրինակային խնդիրներով:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Նախ ձևակերպենք աստիճանի հիմնական սահմանումը բնական ցուցիչով: Դա անելու համար մենք պետք է հիշենք բազմապատկման հիմնական կանոնները: Նախապես պարզաբանենք, որ առայժմ որպես հիմք ընդունելու ենք իրական թիվը (նշվում է ա տառով), իսկ բնական թիվը (նշվում է n տառով)։

Սահմանում 1

n բնական ցուցիչ ունեցող a թվի հզորությունը n-րդ թվի գործոնների արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a թվին: Աստիճանը գրված է այսպես. a n, և բանաձևի տեսքով դրա կազմը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Օրինակ, եթե աստիճանը 1 է, իսկ հիմքը՝ a, ապա a-ի առաջին հզորությունը գրվում է այսպես ա 1. Հաշվի առնելով, որ a-ն գործոնի արժեքն է, իսկ 1-ը՝ գործոնների թիվը, կարող ենք եզրակացնել, որ ա 1 = ա.

Ընդհանուր առմամբ, կարելի է ասել, որ աստիճանը մեծ թվով հավասար գործոններ գրելու հարմար ձև է։ Այսպիսով, ձևի գրառում 8 8 8 8կարելի է կրճատել մինչև 8 4 . Նույն կերպ, ստեղծագործությունն օգնում է մեզ խուսափել ձայնագրությունից մեծ թիվպայմաններ (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); Սա արդեն քննարկել ենք բնական թվերի բազմապատկմանը նվիրված հոդվածում։

Ինչպե՞ս ճիշտ կարդալ աստիճանի մուտքագրումը: Ընդհանուր ընդունված տարբերակն է «a-ն n-ի ուժով»: Կամ կարող եք ասել «ա-ի n-րդ ուժ» կամ «անթ ուժ»: Եթե, ասենք, օրինակում հանդիպեցինք մուտքին 8 12 , կարող ենք կարդալ «8-ը 12-րդ աստիճանին», «8-ը՝ 12-ի ուժին» կամ «8-ի 12-րդ աստիճանին»։

Թվերի երկրորդ և երրորդ ուժերն ունեն իրենց հաստատված անվանումները՝ քառակուսի և խորանարդ։ Եթե ​​տեսնում ենք երկրորդ հզորությունը, օրինակ՝ 7 թիվը (7 2), ապա կարող ենք ասել «7 քառակուսի» կամ «7 թվի քառակուսի»։ Նմանապես, երրորդ աստիճանը կարդում է այսպես. 5 3 - սա «5 թվի խորանարդն է» կամ «5 խորանարդը»: Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք նաև օգտագործել ստանդարտ ձևակերպումը «մինչև երկրորդ/երրորդ ուժ», սա սխալ չի լինի:

Օրինակ 1

Դիտարկենք բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի օրինակ՝ for 5 7 հինգը կլինի հիմքը, իսկ յոթը կլինի ցուցանիշը:

Պարտադիր չէ, որ հիմքը լինի ամբողջ թիվ՝ աստիճանի համար (4 , 32) 9 հիմքը կլինի 4 կոտորակը, 32, իսկ աստիճանը կլինի ինը: Ուշադրություն դարձրեք փակագծերին. այս նշումը կատարվում է բոլոր այն հզորությունների համար, որոնց հիմքերը տարբերվում են բնական թվերից:

Օրինակ՝ 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3:

Ինչի՞ համար են փակագծերը: Նրանք օգնում են խուսափել հաշվարկների սխալներից: Ենթադրենք, մենք ունենք երկու մուտք. (− 2) 3 Եվ − 2 3 . Առաջինը նշանակում է բացասական թիվմինուս երկու բարձրացված ուժի բնական ցուցիչով երեք; երկրորդը աստիճանի հակառակ արժեքին համապատասխանող թիվն է 2 3 .

Երբեմն գրքերում կարելի է գտնել թվի ուժի մի փոքր այլ ուղղագրություն. ա^ն(որտեղ a-ն հիմքն է, իսկ n-ը՝ ցուցանիշը): Այսինքն՝ 4^9 նույնն է, ինչ 4 9 . Եթե ​​n-ը բազմանիշ թիվ է, ապա այն դրվում է փակագծերում։ Օրինակ՝ 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) ։ Բայց մենք կօգտագործենք նշումը a nորպես ավելի տարածված:

Հեշտ է կռահել, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել ցուցիչի արժեքը բնական ցուցիչով դրա սահմանումից. պարզապես անհրաժեշտ է բազմապատկել n-րդ թիվը: Այս մասին ավելին գրել ենք մեկ այլ հոդվածում։

Աստիճան հասկացությունը մեկ այլ մաթեմատիկական հայեցակարգի հակադարձ է՝ թվի արմատ: Եթե ​​իմանանք հզորության և աստիճանի արժեքը, կարող ենք հաշվարկել դրա հիմքը։ Դիպլոմն ունի որոշ հատուկ հատկություններ, որոնք օգտակար են խնդիրների լուծման համար, որոնք մենք քննարկել ենք առանձին նյութում։

Ցուցանիշները կարող են ներառել ոչ միայն բնական թվեր, այլև ընդհանրապես ցանկացած ամբողջ արժեք, ներառյալ բացասականները և զրոները, քանի որ դրանք նույնպես պատկանում են ամբողջ թվերի բազմությանը:

Սահմանում 2

Դրական ամբողջ թվի ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը կարելի է ներկայացնել որպես բանաձև. .

Այս դեպքում n-ը ցանկացած դրական ամբողջ թիվ է:

Եկեք հասկանանք զրոյական աստիճան հասկացությունը։ Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք մոտեցում, որը հաշվի է առնում հավասար հիմքերով հզորությունների քանորդ հատկությունը: Այն ձևակերպված է այսպես.

Սահմանում 3

Հավասարություն a m: a n = a m − nճշմարիտ կլինի հետևյալ պայմաններում՝ m և n բնական թվեր են, m< n , a ≠ 0 .

Վերջին պայմանը կարևոր է, քանի որ այն խուսափում է զրոյի բաժանումից: Եթե ​​m-ի և n-ի արժեքները հավասար են, ապա մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքը. a n: a n = a n − n = a 0

Բայց միևնույն ժամանակ a n: a n = 1 գործակից է հավասար թվեր a nև ա. Ստացվում է, որ ցանկացած ոչ զրոյական թվի զրոյական հզորությունը հավասար է մեկի։

Այնուամենայնիվ, նման ապացույցը չի վերաբերում զրոյական հզորությանը: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է հզորությունների մեկ այլ հատկություն՝ հավասար հիմքերով հզորությունների արտադրյալների սեփականություն։ Այն կարծես այսպիսին է. a m · a n = a m + n .

Եթե ​​n-ը հավասար է 0-ի, ապա a m · a 0 = a m(այս հավասարությունը նաև մեզ դա է ապացուցում a 0 = 1) Բայց եթե և-ն նույնպես հավասար է զրոյի, ապա մեր հավասարությունը ձև է ստանում 0 մ · 0 0 = 0 մ, Դա ճիշտ կլինի n-ի ցանկացած բնական արժեքի համար, և կարևոր չէ, թե ինչի է հավասար աստիճանի արժեքը 0 0 , այսինքն՝ այն կարող է հավասար լինել ցանկացած թվի, և դա չի ազդի հավասարության ճշգրտության վրա։ Հետևաբար, ձևի նշում 0 0 չունի իր հատուկ նշանակությունը, և մենք դա չենք վերագրի դրան։

Ցանկության դեպքում հեշտ է դա ստուգել a 0 = 1համընկնում է աստիճանի հատկության հետ (a m) n = a m nպայմանով, որ աստիճանի հիմքը զրո չէ։ Այսպիսով, զրո ցուցիչով ցանկացած ոչ զրոյական թվի հզորությունը մեկ է։

Օրինակ 2

Եկեք դիտարկենք կոնկրետ թվերով օրինակ. 5 0 - միավոր, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , իսկ արժեքը 0 0 չսահմանված։

Զրոյական աստիճանից հետո մենք պարզապես պետք է հասկանանք, թե ինչ է բացասական աստիճանը: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է հավասար հիմքերով հզորությունների արտադրյալի նույն հատկությունը, որը մենք արդեն օգտագործել ենք վերևում՝ a m · a n = a m + n:

Ներկայացնենք պայմանը՝ m = − n, ապա a-ն չպետք է հավասար լինի զրոյի: Դրանից բխում է, որ a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ստացվում է, որ մի n և a−nմենք ունենք փոխադարձ թվեր։

Արդյունքում, a-ն դեպի բացասական ամբողջ հզորությունը ոչ այլ ինչ է, քան 1 a n կոտորակը:

Այս ձևակերպումը հաստատում է, որ ամբողջ թվով բացասական ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար վավեր են բոլոր այն նույն հատկությունները, որոնք ունեն բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանը (պայմանով, որ հիմքը հավասար չէ զրոյի):

Օրինակ 3

n բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով a հզորությունը կարող է ներկայացվել որպես 1 a n կոտորակ: Այսպիսով, a - n = 1 a n ենթակա է a ≠ 0իսկ n-ը ցանկացած բնական թիվ է:

Եկեք պատկերացնենք մեր գաղափարը կոնկրետ օրինակներով.

Օրինակ 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Պարբերության վերջին մասում մենք կփորձենք պատկերել այն ամենը, ինչ ասվել է հստակ մեկ բանաձևով.

Սահմանում 4

z բնական ցուցիչով թվի հզորությունը հետևյալն է՝ a z = a z, e l-ով և z - դրական ամբողջ թիվ 1, z = 0 և a ≠ 0, (z = 0 և a = 0-ի համար արդյունքը 0 0 է, 0 0 արտահայտության արժեքները սահմանված չեն) 1 a z, եթե և z-ն բացասական ամբողջ թիվ է, և a ≠ 0 (եթե z-ն բացասական ամբողջ թիվ է և a = 0, ապա կստանաք 0 z, egoz արժեքը անորոշ է)

Որո՞նք են ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժերը:

Մենք ուսումնասիրեցինք այն դեպքերը, երբ ցուցիչը պարունակում է ամբողջ թիվ։ Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք թիվը հասցնել հզորության նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա ցուցանիշը պարունակում է կոտորակային թիվ: Սա կոչվում է գ աստիճան ռացիոնալ ցուցանիշ. Այս բաժնում մենք կապացուցենք, որ այն ունի նույն հատկությունները, ինչ մյուս ուժերը:

Որո՞նք են ռացիոնալ թվերը: Նրանց բազմազանությունը ներառում է ինչպես ամբողջական, այնպես էլ կոտորակային թվեր, մինչդեռ կոտորակային թվերը կարող են ներկայացվել որպես սովորական կոտորակներ (և դրական և բացասական)։ Ձևակերպենք a թվի հզորության սահմանումը m/n կոտորակային ցուցիչով, որտեղ n-ը բնական թիվ է, իսկ m-ը՝ ամբողջ թիվ։

Մենք ունենք որոշակի աստիճան a m n կոտորակային ցուցիչով: Որպեսզի գույքը հզորացնելու հզորությունը պահպանվի, a m n n = a m n · n = a m հավասարությունը պետք է լինի ճշմարիտ:

Հաշվի առնելով n-րդ արմատի սահմանումը և որ a m n n = a m, մենք կարող ենք ընդունել a m n = a m n պայմանը, եթե m n-ն իմաստ ունի m, n և a-ի տրված արժեքների համար:

Ամբողջ թվի ցուցիչ ունեցող աստիճանի վերը նշված հատկությունները ճշմարիտ կլինեն a m n = a m n պայմանով:

Մեր հիմնավորումից հիմնական եզրակացությունը հետևյալն է. m/n կոտորակային ցուցիչ ունեցող a թվի հզորությունը a թվի n-րդ արմատն է m հզորությանը: Սա ճիշտ է, եթե m-ի, n-ի և a-ի տրված արժեքների համար a m n արտահայտությունը մնում է իմաստալից:

1. Մենք կարող ենք սահմանափակել աստիճանի հիմքի արժեքը. վերցնենք a, որը m-ի դրական արժեքների համար մեծ կամ հավասար կլինի 0-ի, իսկ բացասական արժեքների համար՝ խիստ փոքր (քանի որ m-ի համար ≤ 0. մենք ստանում ենք 0 մ, բայց նման աստիճան սահմանված չէ)։ Այս դեպքում կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Հզորությունը կոտորակային ցուցիչով m/n որոշների համար դրական թիվ a-ն a-ի n-րդ արմատն է՝ բարձրացված m-ի աստիճանի: Սա կարող է արտահայտվել որպես բանաձև.

Զրոյական հիմք ունեցող հզորության համար այս դրույթը նույնպես հարմար է, բայց միայն այն դեպքում, եթե դրա ցուցանիշը դրական թիվ է:

Զրո հիմքով և կոտորակային դրական ցուցիչով m/n հզորությունը կարող է արտահայտվել այսպես

0 m n = 0 m n = 0 պայմանով, որ m-ը դրական ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը բնական թիվ:

Բացասական հարաբերակցության համար m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Նկատենք մեկ կետ. Քանի որ մենք մտցրեցինք պայմանը, որ a-ն մեծ է կամ հավասար է զրոյի, մենք վերջացրինք որոշ դեպքեր:

a m n արտահայտությունը երբեմն դեռ իմաստ ունի a-ի և որոշ m-ի որոշ բացասական արժեքների համար: Այսպիսով, ճիշտ գրառումներն են (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, որոնցում հիմքը բացասական է:

2. Երկրորդ մոտեցումը a m n արմատն առանձին դիտարկելն է՝ զույգ և կենտ ցուցիչներով: Այնուհետև մեզ անհրաժեշտ կլինի ներկայացնել ևս մեկ պայման՝ a աստիճանը, որի ցուցիչում կա կրճատվող սովորական կոտորակ, համարվում է a աստիճանը, որի ցուցիչում կա համապատասխան անկրճատելի կոտորակը։ Ավելի ուշ մենք կբացատրենք, թե ինչու է մեզ անհրաժեշտ այս պայմանը և ինչու է այն այդքան կարևոր: Այսպիսով, եթե ունենք a m · k n · k նշումը, ապա այն կարող ենք կրճատել մինչև m n և պարզեցնել հաշվարկները։

Եթե ​​n-ը կենտ թիվ է, իսկ m-ի արժեքը դրական է, իսկ a-ն ցանկացած ոչ բացասական թիվ է, ապա m n-ն իմաստ ունի: A-ի ոչ բացասական լինելու պայմանը անհրաժեշտ է, քանի որ բացասական թվից հնարավոր չէ դուրս բերել զույգ աստիճանի արմատ: Եթե ​​m-ի արժեքը դրական է, ապա a-ն կարող է լինել և՛ բացասական, և՛ զրո, քանի որ Կենտ արմատը կարելի է վերցնել ցանկացած իրական թվից։

Եկեք միացնենք վերը նշված բոլոր սահմանումները մեկ գրառման մեջ.

Այստեղ m/n նշանակում է անկրճատելի կոտորակ, m-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը ցանկացած բնական թիվ:

Սահմանում 5

Ցանկացած սովորական կրճատելի կոտորակի համար m · k n · k աստիճանը կարող է փոխարինվել m n-ով:

Անկրճատելի կոտորակային ցուցիչով a թվի հզորությունը m / n – կարելի է արտահայտել m n հետևյալ դեպքերում. դրական արժեքներմ և կենտ բնական արժեքներ n. Օրինակ՝ 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19:

Ցանկացած ոչ զրոյական իրական a, m-ի բացասական ամբողջ արժեքների և n-ի կենտ արժեքների համար, օրինակ՝ 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Ցանկացած ոչ բացասական a, դրական ամբողջ թվի համար m և նույնիսկ n, օրինակ՝ 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18:

Ցանկացած դրական a, բացասական ամբողջ թվի համար m և նույնիսկ n, օրինակ, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Այլ արժեքների դեպքում աստիճանը կոտորակային ցուցիչով որոշված ​​չէ։ Նման աստիճանների օրինակներ՝ - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5:

Հիմա եկեք բացատրենք վերը քննարկված պայմանի կարևորությունը. ինչու՞ կոտորակը փոխարինել կրճատելի ցուցիչով կոտորակի հետ անկրճատելի ցուցիչով: Եթե ​​մենք դա չանեինք, կունենայինք հետևյալ իրավիճակները, ասենք, 6/10 = 3/5: Այնուհետև այն պետք է լինի ճիշտ (- 1) 6 10 = - 1 3 5, բայց - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, և (- 1) 3 5 = (- 1): ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1:

Կոտորակի ցուցիչով աստիճանի սահմանումը, որը մենք առաջինը ներկայացրեցինք, գործնականում ավելի հարմար է օգտագործել, քան երկրորդը, ուստի մենք կշարունակենք օգտագործել այն։

Սահմանում 6

Այսպիսով, m/n կոտորակային ցուցիչով a դրական թվի հզորությունը սահմանվում է որպես 0 m n = 0 m n = 0: Բացասականի դեպքում ա a m n մուտքն իմաստ չունի: Զրո հզորությունը դրական կոտորակային ցուցիչների համար մ/նսահմանվում է որպես 0 m n = 0 m n = 0, բացասական կոտորակային ցուցանիշների համար մենք չենք սահմանում զրոյի աստիճանը:

Եզրակացություններում մենք նշում ենք, որ ցանկացած կոտորակային ցուցանիշ կարող է գրվել ձևով խառը թիվ, և ձևով տասնորդական: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Հաշվարկելիս ավելի լավ է ցուցիչը փոխարինել սովորական կոտորակով, իսկ հետո օգտագործել աստիճանի սահմանումը կոտորակային ցուցիչով։ Վերոնշյալ օրինակների համար մենք ստանում ենք.

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Որո՞նք են իռացիոնալ և իրական ցուցիչներ ունեցող ուժերը:

Որո՞նք են իրական թվերը: Նրանց հավաքածուն ներառում է ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թվեր։ Հետևաբար, որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է իրական ցուցիչով աստիճանը, մենք պետք է սահմանենք աստիճաններ ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչներով: Վերևում արդեն նշել ենք ռացիոնալները։ Եկեք քայլ առ քայլ զբաղվենք իռացիոնալ ցուցանիշներով։

Օրինակ 5

Ենթադրենք, որ մենք ունենք a իռացիոնալ թիվ և նրա տասնորդական մոտավորությունների հաջորդականությունը a 0, a 1, a 2, : . . . Օրինակ, վերցնենք a = 1.67175331 արժեքը: . . , Հետո

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Մոտավորությունների հաջորդականությունները կարող ենք կապել a a a 0, a a 1, a a 2, աստիճանների հաջորդականության հետ: . . . Եթե ​​հիշենք այն, ինչ ավելի վաղ ասացինք թվերը ռացիոնալ ուժերին հասցնելու մասին, ապա մենք կարող ենք ինքներս հաշվարկել այդ ուժերի արժեքները:

Օրինակ վերցնենք a = 3, ապա a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . և այլն:

Հզորությունների հաջորդականությունը կարող է կրճատվել մինչև թվի, որը կլինի a հիմքով և իռացիոնալ ցուցիչով հզորության արժեքը։ Արդյունքում՝ աստիճան 3 1, 67175331 ձևի իռացիոնալ ցուցիչով։ . կարելի է կրճատել մինչև 6, 27 թիվը։

Սահմանում 7

a իռացիոնալ ցուցիչով a դրական թվի հզորությունը գրվում է a . Դրա արժեքը a a 0, a a 1, a a 2, հաջորդականության սահմանն է: . . , որտեղ a 0 , a 1 , a 2 , . . . a իռացիոնալ թվի հաջորդական տասնորդական մոտարկումներն են։ Զրոյական հիմքով աստիճան կարող է սահմանվել նաև դրական իռացիոնալ ցուցիչների համար՝ 0 a = 0 Այսպիսով, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0: Բայց դա հնարավոր չէ անել բացասականների համար, քանի որ, օրինակ, 0 - 5, 0 - 2 π արժեքը սահմանված չէ: Ցանկացած իռացիոնալ ուժի բարձրացված միավորը, օրինակ, մնում է միավոր, և 1 2, 1 5-ը 2-ում և 1-5-ը հավասար կլինի 1-ի:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Հանրահաշվի և ամբողջ մաթեմատիկայի հիմնական բնութագրիչներից մեկը աստիճանն է: Իհարկե, 21-րդ դարում բոլոր հաշվարկները կարելի է անել առցանց հաշվիչով, բայց ուղեղի զարգացման համար ավելի լավ է սովորել, թե ինչպես դա անել ինքներդ:

Այս հոդվածում մենք կքննարկենք այս սահմանման հետ կապված ամենակարևոր հարցերը: Մասնավորապես, եկեք հասկանանք, թե որն է այն ընդհանրապես և որոնք են նրա հիմնական գործառույթները, ինչ հատկություններ կան մաթեմատիկայում:

Եկեք նայենք օրինակներին, թե ինչպիսին է հաշվարկը և որոնք են հիմնական բանաձևերը: Դիտարկենք մեծությունների հիմնական տեսակները և ինչպես են դրանք տարբերվում այլ գործառույթներից։

Եկեք հասկանանք, թե ինչպես կարելի է լուծել տարբեր խնդիրներ՝ օգտագործելով այս քանակությունը: Մենք օրինակներով ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է հասցնել զրոյական հզորության՝ իռացիոնալ, բացասական և այլն։

Առցանց հզորության հաշվիչ

Ինչ է թվի հզորությունը

Ի՞նչ է նշանակում «թիվը մեծացնել» արտահայտությունը:

Թվի n հզորությունը a n անգամ անընդմեջ մեծության գործակիցների արտադրյալն է։

Մաթեմատիկորեն այն ունի հետևյալ տեսքը.

a n = a * a * a * …a n .

Օրինակ:

• 2 3 = 2 երրորդ աստիճանում: = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 դեպի քայլ: երկու = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 դեպի քայլ: չորս = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 քայլով: = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 4 քայլով: = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000:

Ստորև ներկայացված է քառակուսիների և խորանարդների աղյուսակը 1-ից 10-ը:

1-ից 10 աստիճանների աղյուսակ

Ստորև բերված են բնական թվերը դրական հզորությունների հասցնելու արդյունքները՝ «1-ից 100»:

Աստիճանների հատկությունները

Ի՞նչն է բնորոշ նման մաթեմատիկական ֆունկցիային: Եկեք նայենք հիմնական հատկություններին.

Գիտնականները հաստատել են հետևյալը բոլոր աստիճաններին բնորոշ նշաններ.

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m);
• (ա բ) մ = (ա) (բ*մ) .

Եկեք ստուգենք օրինակներով.

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Մյուս կողմից, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32:

Նմանապես՝ 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2: Հակառակ դեպքում 2 3-2 = 2 1 =2:

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Իսկ եթե դա տարբեր է: 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64:

Ինչպես տեսնում եք, կանոններն աշխատում են:

Բայց ինչ վերաբերում է գումարումով և հանումով? Դա պարզ է. Սկզբում կատարվում է հզորացում, իսկ հետո գումարում և հանում:

Դիտարկենք օրինակներ.

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ կանոնը չի գործի, եթե առաջինը հանեք՝ (5 – 3) 2 = 2 2 = 4:

Բայց այս դեպքում նախ պետք է հաշվարկել գումարումը, քանի որ փակագծերում կան գործողություններ՝ (5 + 3) 3 = 8 3 = 512:

Ինչպես արտադրել հաշվարկներ ավելին դժվար դեպքեր ? Կարգը նույնն է.

• եթե կան փակագծեր, ապա պետք է սկսել դրանցից;
• ապա աստիճանավորում;
• ապա կատարել բազմապատկման և բաժանման գործողությունները.
• գումարումից հետո հանում.

Կան հատուկ հատկություններ, որոնք բնորոշ չեն բոլոր աստիճաններին.

1. A թվի n-րդ արմատը մինչև m աստիճանը կգրվի այսպես՝ a m/n:
2. Կոտորակը մեծացնելու դեպքում այս ընթացակարգին ենթակա են և՛ համարիչը, և՛ նրա հայտարարը:
3. Ստեղծագործություն կառուցելիս տարբեր թվերմի հզորության, արտահայտությունը կհամապատասխանի այս թվերի արտադրյալին տրված հզորությանը: Այսինքն՝ (a * b) n = a n * b n .
4. Թիվը բացասական աստիճանի հասցնելիս պետք է 1-ը բաժանել նույն դարի թվի վրա, բայց «+» նշանով:
5. Եթե ​​կոտորակի հայտարարը բացասական աստիճանի է, ապա այս արտահայտությունը հավասար է համարիչի արտադրյալին, իսկ հայտարարը դրական աստիճանի։
6. Ցանկացած թիվ 0 = 1 և հզորության նկատմամբ: 1 = ինքներդ ձեզ:

Այս կանոնները կարևոր են որոշ դեպքերում, մենք դրանք ավելի մանրամասն կքննարկենք ստորև:

Բացասական ցուցիչով աստիճան

Ի՞նչ անել մինուս աստիճանի հետ, այսինքն, երբ ցուցանիշը բացասական է:

4-րդ և 5-րդ հատկությունների հիման վրա(տե՛ս վերը նշված կետը), պարզվում է:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25:

Եվ հակառակը.

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8:

Իսկ եթե դա կոտորակ է:

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9:

Աստիճան բնական ցուցանիշով

Այն հասկացվում է որպես ամբողջ թվերի հավասար ցուցիչներով աստիճան:

Հիշելու բաներ.

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... և այլն:

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... և այլն:

Բացի այդ, եթե (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...ապա արդյունքը կլինի «+» նշանով։ Եթե ​​բացասական թիվը հասցվում է կենտ հզորության, ապա հակառակը։

Նրանց բնորոշ են նաև ընդհանուր հատկությունները և վերը նկարագրված բոլոր հատուկ հատկանիշները։

Կոտորակի աստիճան

Այս տեսակը կարելի է գրել որպես սխեմա. A m / n: Կարդացեք՝ A թվի n-րդ արմատը m հզորության:

Կոտորակի ցուցիչով կարող եք անել այն, ինչ ուզում եք՝ փոքրացրեք այն, բաժանեք այն մասերի, բարձրացրեք այն մեկ այլ հզորության և այլն:

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

Թող α լինի իռացիոնալ թիվ, իսկ A ˃ 0:

Նման ցուցանիշով աստիճանի էությունը հասկանալու համար, Դիտարկենք տարբեր հնարավոր դեպքեր.

• A = 1. Արդյունքը հավասար կլինի 1-ի: Քանի որ կա աքսիոմա - 1-ը բոլոր հզորություններում հավասար է մեկի;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – ռացիոնալ թվեր;

• 0˂А˂1.

Այս դեպքում հակառակն է՝ A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 նույն պայմաններում, ինչ երկրորդ պարբերությունում։

Օրինակ, ցուցիչը π թիվն է:Դա ռացիոնալ է:

r 1 - այս դեպքում հավասար է 3;

r 2 – հավասար կլինի 4-ի:

Այնուհետև A = 1-ի համար 1 π = 1:

A = 2, ապա 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16:

A = 1/2, ապա (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8:

Նման աստիճանները բնութագրվում են բոլորի կողմից մաթեմատիկական գործողություններև վերը նկարագրված հատուկ հատկություններ:

Եզրակացություն

Ամփոփենք՝ ինչի՞ համար են անհրաժեշտ այս քանակությունները, ի՞նչ առավելություններ ունեն նման գործառույթները։ Իհարկե, նրանք առաջին հերթին պարզեցնում են մաթեմատիկոսների և ծրագրավորողների կյանքը օրինակներ լուծելիս, քանի որ թույլ են տալիս նվազագույնի հասցնել հաշվարկները, կրճատել ալգորիթմները, համակարգել տվյալները և շատ ավելին:

Ուրիշ որտե՞ղ կարող է օգտակար լինել այս գիտելիքը: Ցանկացած դեպքում աշխատանքային մասնագիտությունբժշկություն, դեղաբանություն, ատամնաբուժություն, շինարարություն, տեխնոլոգիա, ճարտարագիտություն, դիզայն և այլն:

Դիպլոմային բանաձևերօգտագործվում է բարդ արտահայտությունների կրճատման և պարզեցման գործընթացում, հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։

Թիվ գէ n- թվի-րդ հզորությունը աԵրբ:

Գործողություններ աստիճաններով.

1. Նույն հիմքով աստիճանները բազմապատկելով՝ դրանց ցուցանիշները գումարվում են.

մի մ·a n = a m + n.

2. Միևնույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս հանվում են դրանց ցուցիչները.

3. 2 կամ ավելի գործակիցների արտադրյալի աստիճանը հավասար է այս գործոնների աստիճանների արտադրյալին.

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. Կոտորակի աստիճանը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի աստիճանների հարաբերությանը.

(a/b) n = a n /b n .

5. Բարձրացնելով հզորությունը հզորության՝ աստիճանները բազմապատկվում են.

(a m) n = a m n .

Վերը նշված յուրաքանչյուր բանաձև ճիշտ է ձախից աջ և հակառակ ուղղություններով:

Օրինակ. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Գործողություններ արմատներով.

1. Մի քանի գործոնների արտադրյալի արմատը հավասար է այս գործոնների արմատների արտադրյալին.

2. Հարաբերակցության արմատը հավասար է շահաբաժնի և արմատների բաժանարարի հարաբերությանը.

3. Արմատը դեպի հզորություն բարձրացնելիս բավական է արմատական ​​թիվը հասցնել այս հզորության.

4. Եթե բարձրացնեք արմատի աստիճանը ներս nմեկ անգամ և միևնույն ժամանակ ներդնել nրդ հզորությունը արմատական ​​թիվ է, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

5. Եթե դուք նվազեցնում եք արմատի աստիճանը ներս nմիաժամանակ հանել արմատը n-արմատական ​​թվի թվի-րդ հզորությունը, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

Բացասական ցուցիչով աստիճան:Ոչ դրական (ամբողջ) ցուցիչով որոշակի թվի հզորությունը սահմանվում է որպես մեկը, որը բաժանվում է նույն թվի ուժի վրա, որի ցուցիչը հավասար է բացարձակ արժեքոչ դրական ցուցանիշ.

Բանաձև մի մ:a n =a m - nկարող է օգտագործվել ոչ միայն մ> n, այլեւ հետ մ< n.

Օրինակ. ա4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Բանաձևին մի մ:a n =a m - nդարձավ արդար, երբ m=n, զրոյական աստիճանի առկայությունը պարտադիր է։

Զրո ինդեքսով աստիճան։Զրո ցուցիչով զրոյի չհավասարվող ցանկացած թվի հզորությունը հավասար է մեկի:

Օրինակ. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Աստիճան կոտորակային ցուցիչով:Իրական թիվ բարձրացնելու համար Աաստիճանին մ/ն, դուք պետք է հանեք արմատը n-րդ աստիճանի մ- այս թվի-րդ հզորությունը Ա.

Շարունակելով թվի հզորության մասին զրույցը, տրամաբանական է պարզել, թե ինչպես կարելի է գտնել հզորության արժեքը։ Այս գործընթացը կոչվում է հզորացում. Այս հոդվածում մենք կուսումնասիրենք, թե ինչպես է կատարվում աստիճանավորումը, մինչդեռ կանդրադառնանք բոլոր հնարավոր ցուցանիշներին՝ բնական, ամբողջ, ռացիոնալ և իռացիոնալ։ Եվ ավանդույթի համաձայն, մենք մանրամասնորեն կքննարկենք տարբեր ուժերի թվերը բարձրացնելու օրինակների լուծումները:

Էջի նավարկություն.

Ի՞նչ է նշանակում «արտահայտում»:

Սկսենք բացատրելով այն, ինչ կոչվում է աստիճանականացում։ Ահա համապատասխան սահմանումը.

Սահմանում.

Էքսպոենտացիա- սա թվի հզորության արժեքը գտնելն է:

Այսպիսով, a թվի հզորության արժեքը r ցուցիչով գտնելը և a թիվը հասցնելով r աստիճանի նույն բանն է։ Օրինակ, եթե առաջադրանքը «հաշվարկեք հզորության արժեքը (0.5) 5», ապա այն կարող է վերաձեւակերպվել հետևյալ կերպ. «0.5 թիվը բարձրացրեք 5-ի։

Այժմ դուք կարող եք ուղղակիորեն անցնել այն կանոններին, որոնցով իրականացվում է աստիճանավորումը:

Թիվը բնական ուժի հասցնելը

Գործնականում, վրա հիմնված հավասարությունը սովորաբար կիրառվում է ձևով: Այսինքն՝ a թիվը կոտորակային հզորության m/n բարձրացնելիս սկզբում վերցվում է a թվի n-րդ արմատը, որից հետո ստացված արդյունքը հասցվում է ամբողջ թվի m հզորության։

Դիտարկենք կոտորակային հզորության բարձրացման օրինակների լուծումները:

Օրինակ։

Հաշվիր աստիճանի արժեքը։

Լուծում.

Մենք ցույց կտանք երկու լուծում.

Առաջին ճանապարհը. Կոտորակի ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ: Մենք հաշվարկում ենք աստիճանի արժեքը արմատային նշանի տակ, այնուհետև հանում խորանարդի արմատ: .

Երկրորդ ճանապարհ. Կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ և արմատների հատկությունների հիման վրա ճշմարիտ են հետևյալ հավասարումները. . Այժմ մենք արդյունահանում ենք արմատը , վերջապես, մենք այն բարձրացնում ենք ամբողջ թվով .

Ակնհայտ է, որ կոտորակային հզորության բարձրացման ստացված արդյունքները համընկնում են։

Պատասխան.

Նկատի ունեցեք, որ կոտորակային ցուցիչը կարող է գրվել որպես տասնորդական կոտորակ կամ խառը թիվ, այս դեպքերում այն ​​պետք է փոխարինել համապատասխան սովորական կոտորակով, այնուհետև հասցնել հզորության:

Օրինակ։

Հաշվիր (44.89) 2.5.

Լուծում.

Եկեք գրենք ցուցիչը ձևով ընդհանուր կոտորակ(անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը): . Այժմ մենք կատարում ենք կոտորակային հզորության բարձրացումը.

Պատասխան.

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Պետք է նաև ասել, որ թվերը ռացիոնալ ուժերին հասցնելը բավական է աշխատատար գործընթաց(հատկապես, երբ կոտորակային ցուցանիշի համարիչն ու հայտարարը պարունակում են բավական մեծ թվեր), որը սովորաբար իրականացվում է համակարգչային տեխնիկայի միջոցով։

Այս կետը եզրափակելու համար մենք կկենտրոնանանք զրո թիվը կոտորակային աստիճանի հասցնելու վրա: Ձևի զրոյի կոտորակային հզորությանը տվել ենք հետևյալ նշանակությունը՝ երբ ունենք , իսկ զրոյական դեպքում m/n հզորությունը սահմանված չէ։ Այսպիսով, զրոյից դեպի կոտորակային դրական ուժը զրո է, օրինակ. . Իսկ կոտորակային բացասական հզորության մեջ զրոն իմաստ չունի, օրինակ՝ 0 -4,3 արտահայտությունները իմաստ չունեն։

Իռացիոնալ ուժի բարձրացում

Երբեմն անհրաժեշտ է դառնում պարզել իռացիոնալ ցուցիչով թվի հզորության արժեքը։ Այս դեպքում, գործնական նպատակների համար սովորաբար բավական է ստանալ աստիճանի արժեքը որոշակի նշանի նկատմամբ: Անմիջապես նկատենք, որ գործնականում այս արժեքը հաշվարկվում է էլեկտրոնային համակարգիչների միջոցով, քանի որ այն ձեռքով իռացիոնալ ուժի բարձրացնելը պահանջում է մեծ թվով ծանր հաշվարկներ: Բայց մենք դեռ ընդհանուր գծերով նկարագրելու ենք գործողությունների էությունը։

Իռացիոնալ ցուցիչով a թվի հզորության մոտավոր արժեք ստանալու համար վերցվում է աստիճանի որոշակի տասնորդական մոտարկում և հաշվարկվում է հզորության արժեքը։ Այս արժեքը իռացիոնալ ցուցիչով a թվի հզորության մոտավոր արժեքն է։ Որքան ավելի ճշգրիտ լինի թվի տասնորդական մոտարկումը սկզբում, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի աստիճանի արժեքը վերջում:

Որպես օրինակ՝ եկեք հաշվարկենք 2 1,174367-ի հզորության մոտավոր արժեքը... . Վերցնենք հետևյալ տասնորդական մոտարկումը իռացիոնալ ցուցանիշ: Այժմ մենք բարձրացնում ենք 2-ը 1.17 ռացիոնալ հզորության (մենք նկարագրեցինք այս գործընթացի էությունը նախորդ պարբերությունում), ստանում ենք 2 1.17 ≈2.250116: Այսպիսով, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Եթե, օրինակ, վերցնենք իռացիոնալ ցուցիչի ավելի ճշգրիտ տասնորդական մոտարկում, ապա մենք ստանում ենք սկզբնական ցուցիչի ավելի ճշգրիտ արժեքը. 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Մատենագիտություն.

• Վիլենկին Ն.Յա., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկայի դասագիրք 5-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ. Դասագիրք 7-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ. Դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ. Դասագիրք 9-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար:
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար).