Ստորև բերված բանաձևը կլինի սահմանումը աստիճաններ բնական ցուցիչով(a-ն հզորության հիմքն է և կրկնվող գործակիցը, իսկ n-ն այն ցուցանիշն է, որը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է կրկնվում գործակիցը).

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ n բնական ցուցիչ ունեցող a թվի հզորությունը n գործոնի արտադրյալն է, չնայած այն հանգամանքին, որ գործակիցներից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի:

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - բազային աստիճան,

5 - ցուցիչ,

1419857 աստիճանի արժեքն է։

Զրո ցուցիչով հզորությունը հավասար է 1-ի, պայմանով, որ a\neq 0:

a^0=1.

Օրինակ՝ 2^0=1

Երբ ձեզ անհրաժեշտ է մեծ թիվ գրել, սովորաբար օգտագործում եք 10 հզորություն:

Օրինակ՝ Երկրի ամենահին դինոզավրերից մեկն ապրել է մոտ 280 միլիոն տարի առաջ։ Նրա տարիքը գրված է այսպես՝ 2.8 \cdot 10^8 .

10-ից մեծ յուրաքանչյուր թիվ կարելի է գրել որպես \cdot 10^n, պայմանով, որ 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют թվի ստանդարտ ձև.

Նման թվերի օրինակներ. 6978=6.978 \cdot 10^3, 569000=5.69 \cdot 10^5.

Դուք կարող եք ասել և՛ «ա n-րդ աստիճանին», և՛ «ա թվի n-րդ աստիճանին», և՛ «ա n-րդ աստիճանին»:

4^5 - «չորսը 5-ի չափով» կամ «4-ը հինգերորդ աստիճանի» կամ կարող եք նաև ասել «4-ի հինգերորդ ուժը»:

IN այս օրինակում 4-ը աստիճանի հիմքն է, 5-ը՝ ցուցիչը։

Այժմ բերենք կոտորակների և բացասական թվերի օրինակ: Շփոթությունից խուսափելու համար ընդունված է փակագծերում գրել այլ հիմքեր, բացի բնական թվերից.

(7,38)^2 , \ձախ (\frac 12 \աջ)^7, (-1)^4 և այլն։

Ուշադրություն դարձրեք նաև տարբերությունը.

(-5)^6 - նշանակում է −5 բացասական թվի հզորությունը 6 բնական ցուցիչով։

5^6 - համապատասխանում է հակառակ 5^6 թվին։

Բնական ցուցիչով աստիճանների հատկությունները

աստիճանի հիմնական հատկությունը

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Հիմքը մնում է նույնը, բայց ցուցիչները ավելացվում են:

Օրինակ՝ 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Նույն հիմքերով քանորդների հատկությունը

a^n՝ a^k=a^(n-k), եթե n > k.

Ցուցանիշները հանվում են, բայց հիմքը մնում է նույնը:

Այս սահմանափակումը n > k ներդրվում է բնական ցուցիչներից այն կողմ չանցնելու համար։ Իրոք, n > k-ի համար a^(n-k) ցուցանիշը բնական թիվ կլինի, հակառակ դեպքում՝ բացասական թիվ (k)< n ), либо нулем (k-n ).

Օրինակ՝ 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Իշխանությունը իշխանության հասցնելու հատկություն

(a^n)^k=a^(nk)

Հիմքը մնում է նույնը, միայն ցուցիչները բազմապատկվում են:

Օրինակ՝ (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Արտադրանքի հզորացման հատկությունը

Յուրաքանչյուր գործոն բարձրացվում է մինչև n հզորություն:

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Օրինակ՝ 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Կոտորակի աստիճանի հատկություն

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \աջ) ^n, b \neq 0

Կոտորակի և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը բարձրացվում են աստիճանի: \ձախ(\frac(2)(5) \աջ)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

Այս նյութում մենք կանդրադառնանք, թե ինչ է թվի ուժը: Բացի հիմնական սահմանումներից, մենք կձևակերպենք, թե ինչ ուժեր են բնական, ամբողջ թվով, ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչներով: Ինչպես միշտ, բոլոր հասկացությունները կներկայացվեն օրինակային խնդիրներով:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Նախ ձևակերպենք աստիճանի հիմնական սահմանումը բնական ցուցիչով: Դա անելու համար մենք պետք է հիշենք բազմապատկման հիմնական կանոնները: Նախապես պարզաբանենք, որ առայժմ որպես հիմք ընդունելու ենք իրական թիվը (նշվում է a տառով), իսկ բնական թիվը (նշվում է n տառով)։

Սահմանում 1

n բնական ցուցիչով a թվի հզորությունը n-րդ թվի գործոնների արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a թվին: Դիպլոմը գրված է այսպես. a n, և բանաձևի տեսքով դրա կազմը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Օրինակ, եթե աստիճանը 1 է, իսկ հիմքը՝ a, ապա a-ի առաջին հզորությունը գրվում է այսպես ա 1. Հաշվի առնելով, որ a-ն գործոնի արժեքն է, իսկ 1-ը՝ գործոնների թիվը, կարող ենք եզրակացնել, որ ա 1 = ա.

Ընդհանուր առմամբ, կարելի է ասել, որ աստիճանը մեծ թվով հավասար գործոններ գրելու հարմար ձև է։ Այսպիսով, ձևի գրառում 8 8 8 8կարող է կրճատվել մինչև 8 4 . Նույն կերպ, ստեղծագործությունն օգնում է մեզ խուսափել ձայնագրությունից մեծ թվովպայմաններ (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); Սա արդեն քննարկել ենք բնական թվերի բազմապատկմանը նվիրված հոդվածում։

Ինչպե՞ս ճիշտ կարդալ աստիճանի մուտքագրումը: Ընդհանուր ընդունված տարբերակն է «a-ն n-ի ուժով»: Կամ կարող եք ասել «ա-ի n-րդ ուժ» կամ «անթ ուժ»: Եթե, ասենք, օրինակում հանդիպեցինք մուտքին 8 12 , կարող ենք կարդալ «8-ը 12-րդ աստիճանին», «8-ը 12-ի հզորությանը» կամ «8-ի 12-րդ աստիճանին»։

Թվերի երկրորդ և երրորդ ուժերն ունեն իրենց հաստատված անվանումները՝ քառակուսի և խորանարդ։ Եթե ​​տեսնում ենք երկրորդ հզորությունը, օրինակ՝ 7 թիվը (7 2), ապա կարող ենք ասել «7 քառակուսի» կամ «7 թվի քառակուսի»։ Նմանապես, երրորդ աստիճանը կարդացվում է այսպես. 5 3 - սա «5 թվի խորանարդն է» կամ «5 խորանարդը»: Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք նաև օգտագործել ստանդարտ ձևակերպումը «մինչև երկրորդ/երրորդ ուժ», սա սխալ չի լինի:

Օրինակ 1

Դիտարկենք բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի օրինակ՝ for 5 7 հինգը կլինի հիմքը, իսկ յոթը կլինի ցուցանիշը:

Պարտադիր չէ, որ հիմքը ամբողջ թիվ լինի՝ աստիճանի համար (4 , 32) 9 հիմքը կլինի 4 կոտորակը, 32, իսկ աստիճանը կլինի ինը: Ուշադրություն դարձրեք փակագծերին. այս նշումը կատարվում է բոլոր այն հզորությունների համար, որոնց հիմքերը տարբերվում են բնական թվերից:

Օրինակ՝ 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3:

Ինչի՞ համար են փակագծերը: Նրանք օգնում են խուսափել հաշվարկների սխալներից: Ենթադրենք, մենք ունենք երկու մուտք. (− 2) 3 Եվ − 2 3 . Դրանցից առաջինը նշանակում է բացասական թիվ՝ հանած երկու, որը բարձրացված է երեքի բնական ցուցիչ ունեցող հզորության. երկրորդը աստիճանի հակառակ արժեքին համապատասխանող թիվն է 2 3 .

Երբեմն գրքերում կարելի է գտնել թվի ուժի մի փոքր այլ ուղղագրություն. ա^ն(որտեղ a-ն հիմքն է, իսկ n-ը՝ ցուցանիշը): Այսինքն՝ 4^9 նույնն է, ինչ 4 9 . Եթե ​​n-ը բազմանիշ թիվ է, ապա այն դրվում է փակագծերում։ Օրինակ՝ 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) ։ Բայց մենք կօգտագործենք նշումը a nորպես ավելի տարածված:

Հեշտ է կռահել, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել ցուցիչի արժեքը բնական ցուցիչով դրա սահմանումից. պարզապես անհրաժեշտ է բազմապատկել n-րդ թիվը: Այս մասին ավելին գրել ենք մեկ այլ հոդվածում։

Աստիճան հասկացությունը մեկ այլ մաթեմատիկական հասկացության հակադարձ է՝ թվի արմատը։ Եթե ​​իմանանք հզորության և աստիճանի արժեքը, կարող ենք հաշվարկել դրա հիմքը։ Դիպլոմն ունի որոշ հատուկ հատկություններ, որոնք օգտակար են խնդիրների լուծման համար, որոնք մենք քննարկել ենք առանձին նյութում։

Ցուցանիշները կարող են ներառել ոչ միայն բնական թվեր, այլև ընդհանրապես ցանկացած ամբողջ արժեք, ներառյալ բացասականները և զրոները, քանի որ դրանք նույնպես պատկանում են ամբողջ թվերի բազմությանը:

Սահմանում 2

Դրական ամբողջ թվի ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը կարելի է ներկայացնել որպես բանաձև. .

Այս դեպքում n-ը ցանկացած դրական ամբողջ թիվ է:

Եկեք հասկանանք զրոյական աստիճան հասկացությունը։ Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք մոտեցում, որը հաշվի է առնում հավասար հիմքերով հզորությունների քանորդ հատկությունը: Այն ձևակերպված է այսպես.

Սահմանում 3

Հավասարություն a m: a n = a m − nճշմարիտ կլինի հետևյալ պայմաններում՝ m և n բնական թվեր են, m< n , a ≠ 0 .

Վերջին պայմանը կարևոր է, քանի որ այն խուսափում է զրոյի բաժանումից: Եթե ​​m-ի և n-ի արժեքները հավասար են, ապա մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքը. a n: a n = a n − n = a 0

Բայց միևնույն ժամանակ a n: a n = 1 գործակից է հավասար թվեր a nև ա. Ստացվում է, որ ցանկացած ոչ զրոյական թվի զրոյական հզորությունը հավասար է մեկի։

Այնուամենայնիվ, նման ապացույցը չի վերաբերում զրոյական հզորությանը: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է հզորությունների մեկ այլ հատկություն՝ հավասար հիմքերով հզորությունների արտադրյալների սեփականություն։ Այն կարծես այսպիսին է. a m · a n = a m + n .

Եթե ​​n-ը հավասար է 0-ի, ապա a m · a 0 = a m(այս հավասարությունը նաև մեզ դա է ապացուցում a 0 = 1): Բայց եթե և-ն նույնպես հավասար է զրոյի, ապա մեր հավասարությունը ձև է ստանում 0 մ · 0 0 = 0 մ, Դա ճիշտ կլինի n-ի ցանկացած բնական արժեքի համար, և կարևոր չէ, թե կոնկրետ որն է աստիճանի արժեքը 0 0 , այսինքն՝ այն կարող է հավասար լինել ցանկացած թվի, և դա չի ազդի հավասարության ճշգրտության վրա։ Հետևաբար, ձևի նշում 0 0 չունի իր հատուկ նշանակությունը, և մենք դրան չենք վերագրի։

Ցանկության դեպքում դա հեշտ է ստուգել a 0 = 1համընկնում է աստիճանի հատկության հետ (a m) n = a m nպայմանով, որ աստիճանի հիմքը զրո չէ։ Այսպիսով, զրո ցուցիչով ցանկացած ոչ զրոյական թվի հզորությունը մեկ է։

Օրինակ 2

Դիտարկենք կոնկրետ թվերով օրինակ. 5 0 - միավոր, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , իսկ արժեքը 0 0 սահմանված չէ:

Զրոյական աստիճանից հետո մենք պարզապես պետք է հասկանանք, թե ինչ է բացասական աստիճանը: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է հավասար հիմքերով հզորությունների արտադրյալի նույն հատկությունը, որը մենք արդեն օգտագործել ենք վերևում՝ a m · a n = a m + n:

Ներկայացնենք պայմանը՝ m = − n, ապա a-ն չպետք է հավասար լինի զրոյի։ Այստեղից հետևում է, որ a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ստացվում է, որ մի n և a−nմենք ունենք փոխադարձ թվեր։

Արդյունքում՝ ընդհանուր առմամբ բացասական աստիճանոչ այլ ինչ է, քան 1 a n կոտորակը:

Այս ձևակերպումը հաստատում է, որ ամբողջ թվով աստիճանի համար բացասական ցուցանիշվավեր են բոլոր այն նույն հատկությունները, որոնք ունի բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանը (պայմանով, որ հիմքը հավասար չէ զրոյի):

Օրինակ 3

n բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով a հզորությունը կարող է ներկայացվել որպես 1 a n կոտորակ: Այսպիսով, a - n = 1 a n ենթակա է a ≠ 0իսկ n-ը ցանկացած բնական թիվ է:

Եկեք պատկերացնենք մեր գաղափարը կոնկրետ օրինակներով.

Օրինակ 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Պարբերության վերջին մասում մենք կփորձենք պատկերել այն ամենը, ինչ ասվել է հստակ մեկ բանաձևով.

Սահմանում 4

z բնական ցուցիչով թվի հզորությունը հետևյալն է՝ a z = a z, e l-ով և z - դրական ամբողջ թիվ 1, z = 0 և a ≠ 0, (z = 0 և a = 0-ի համար արդյունքը 0 0 է, 0 0 արտահայտության արժեքները սահմանված չեն) 1 a z, եթե և z-ն բացասական ամբողջ թիվ է, և a ≠ 0 (եթե z-ն բացասական ամբողջ թիվ է և a = 0, ապա կստանաք 0 z, egoz արժեքը անորոշ է)

Որո՞նք են ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժերը:

Մենք ուսումնասիրեցինք այն դեպքերը, երբ ցուցիչը պարունակում է ամբողջ թիվ։ Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք թիվը հասցնել հզորության նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա ցուցանիշը պարունակում է կոտորակային թիվ: Սա կոչվում է աստիճան c ռացիոնալ ցուցանիշ. Այս բաժնում մենք կապացուցենք, որ այն ունի նույն հատկությունները, ինչ մյուս ուժերը:

Ինչ է պատահել ռացիոնալ թվեր? Նրանց բազմազանությունը ներառում է ինչպես ամբողջական, այնպես էլ կոտորակային թվեր, մինչդեռ կոտորակային թվերը կարող են ներկայացվել որպես սովորական կոտորակներ (և դրական և բացասական)։ Ձևակերպենք a թվի հզորության սահմանումը m/n կոտորակային ցուցիչով, որտեղ n-ը բնական թիվ է, իսկ m-ը՝ ամբողջ թիվ։

Մենք ունենք որոշակի աստիճան a m n կոտորակային ցուցիչով: Որպեսզի գույքը հզորացնելու հզորությունը պահպանվի, a m n n = a m n · n = a m հավասարությունը պետք է լինի ճշմարիտ:

Հաշվի առնելով n-րդ արմատի սահմանումը և որ a m n n = a m, մենք կարող ենք ընդունել a m n = a m n պայմանը, եթե m n-ն իմաստ ունի m, n և a-ի տրված արժեքների համար:

Ամբողջ թվի ցուցիչ ունեցող աստիճանի վերը նշված հատկությունները ճշմարիտ կլինեն a m n = a m n պայմանով:

Մեր հիմնավորումից հիմնական եզրակացությունը հետևյալն է. m/n կոտորակային ցուցիչ ունեցող a թվի հզորությունը a թվի n-րդ արմատն է m հզորությանը: Սա ճիշտ է, եթե m-ի, n-ի և a-ի տրված արժեքների համար a m n արտահայտությունը մնում է իմաստալից:

1. Մենք կարող ենք սահմանափակել աստիճանի հիմքի արժեքը. վերցնենք a, որը m-ի դրական արժեքների համար մեծ կամ հավասար կլինի 0-ի, իսկ բացասական արժեքների համար՝ խիստ փոքր (քանի որ m-ի համար ≤ 0. մենք ստանում ենք 0 մ, բայց նման աստիճան սահմանված չէ)։ Այս դեպքում կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Որոշ դրական a թվի համար m/n կոտորակային ցուցիչ ունեցող հզորությունը a-ի n-րդ արմատն է՝ բարձրացված m հզորության: Սա կարող է արտահայտվել որպես բանաձև.

Զրոյական հիմք ունեցող հզորության համար այս դրույթը նույնպես հարմար է, բայց միայն այն դեպքում, եթե դրա ցուցանիշը դրական թիվ է:

Զրո հիմքով և կոտորակային դրական ցուցիչով m/n հզորությունը կարող է արտահայտվել այսպես

0 m n = 0 m n = 0 պայմանով, որ m-ը դրական ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը բնական թիվ:

Բացասական հարաբերակցության համար m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Նկատենք մեկ կետ. Քանի որ մենք մտցրեցինք պայմանը, որ a-ն մեծ է կամ հավասար է զրոյի, մենք վերջացրինք որոշ դեպքեր:

a m n արտահայտությունը երբեմն դեռ իմաստ ունի a-ի և որոշ m-ի որոշ բացասական արժեքների համար: Այսպիսով, ճիշտ գրառումներն են (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, որոնցում հիմքը բացասական է:

2. Երկրորդ մոտեցումը a m n արմատն առանձին դիտարկելն է՝ զույգ և կենտ ցուցիչներով: Այնուհետև մեզ անհրաժեշտ կլինի ներկայացնել ևս մեկ պայման՝ a աստիճանը, որի ցուցիչում կա կրճատվող սովորական կոտորակ, համարվում է a աստիճանը, որի ցուցիչում կա համապատասխան անկրճատելի կոտորակը։ Ավելի ուշ մենք կբացատրենք, թե ինչու է մեզ անհրաժեշտ այս պայմանը և ինչու է այն այդքան կարևոր: Այսպիսով, եթե մենք ունենք a m · k n · k նշումը, ապա այն կարող ենք կրճատել մինչև m n և պարզեցնել հաշվարկները:

Եթե ​​n-ը կենտ թիվ է, իսկ m-ի արժեքը դրական է, իսկ a-ն ցանկացած ոչ բացասական թիվ է, ապա m n-ն իմաստ ունի: A-ի ոչ բացասական լինելու պայմանը անհրաժեշտ է, քանի որ բացասական թվից հնարավոր չէ դուրս բերել զույգ աստիճանի արմատ: Եթե ​​m-ի արժեքը դրական է, ապա a-ն կարող է լինել և՛ բացասական, և՛ զրո, քանի որ Կենտ արմատը կարելի է վերցնել ցանկացած իրական թվից։

Եկեք միացնենք վերը նշված բոլոր սահմանումները մեկ գրառման մեջ.

Այստեղ m/n նշանակում է անկրճատելի կոտորակ, m-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը ցանկացած բնական թիվ։

Սահմանում 5

Ցանկացած սովորական կրճատելի կոտորակի համար m · k n · k աստիճանը կարող է փոխարինվել m n-ով:

Անկրճատելի կոտորակային ցուցիչով a թվի հզորությունը m / n – կարելի է արտահայտել m n հետևյալ դեպքերում՝ - ցանկացած իրական a, ամբողջ թվի համար դրական արժեքներմ և կենտ բնական արժեքներ n. Օրինակ՝ 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19:

Ցանկացած ոչ զրոյական իրական a, m-ի բացասական ամբողջ արժեքների և n-ի կենտ արժեքների համար, օրինակ՝ 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Ցանկացած ոչ բացասական a, դրական ամբողջ թվի համար m և նույնիսկ n, օրինակ՝ 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18:

Ցանկացած դրական a, բացասական ամբողջ թվի համար m և նույնիսկ n, օրինակ, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Այլ արժեքների դեպքում աստիճանը կոտորակային ցուցիչով որոշված ​​չէ։ Նման աստիճանների օրինակներ՝ - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5:

Հիմա եկեք բացատրենք վերը քննարկված պայմանի կարևորությունը. ինչու՞ կոտորակը փոխարինել կրճատելի ցուցիչով կոտորակի հետ անկրճատելի ցուցիչով: Եթե ​​մենք դա չանեինք, կունենայինք հետևյալ իրավիճակները, ասենք, 6/10 = 3/5: Այնուհետև այն պետք է լինի ճիշտ (- 1) 6 10 = - 1 3 5, բայց - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, և (- 1) 3 5 = (- 1): ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1:

Կոտորակի ցուցիչով աստիճանի սահմանումը, որը մենք առաջինը ներկայացրեցինք, գործնականում ավելի հարմար է օգտագործել, քան երկրորդը, ուստի մենք կշարունակենք օգտագործել այն։

Սահմանում 6

Այսպիսով, m/n կոտորակային ցուցիչով a դրական թվի հզորությունը սահմանվում է որպես 0 m n = 0 m n = 0: Բացասականի դեպքում ա a m n նշումը իմաստ չունի: Զրո հզորությունը դրական կոտորակային ցուցիչների համար մ/նսահմանվում է որպես 0 m n = 0 m n = 0, բացասական կոտորակային ցուցիչների համար մենք չենք սահմանում զրոյի աստիճանը:

Եզրակացություններում մենք նշում ենք, որ ցանկացած կոտորակային ցուցանիշ կարող է գրվել ձևով խառը թիվ, իսկ տասնորդական կոտորակի տեսքով՝ 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7։

Հաշվարկելիս ավելի լավ է փոխարինել ցուցիչը սովորական կոտորակև շարունակեք օգտագործել աստիճանի սահմանումը կոտորակային ցուցիչով: Վերոնշյալ օրինակների համար մենք ստանում ենք.

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Որո՞նք են իռացիոնալ և իրական ցուցիչներով ուժերը:

Որո՞նք են իրական թվերը: Նրանց հավաքածուն ներառում է ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թվեր։ Հետևաբար, որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է իրական ցուցիչով աստիճանը, մենք պետք է սահմանենք աստիճաններ ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչներով: Վերևում արդեն նշել ենք ռացիոնալները։ Եկեք քայլ առ քայլ զբաղվենք իռացիոնալ ցուցանիշներով։

Օրինակ 5

Ենթադրենք, որ մենք ունենք a իռացիոնալ թիվ և նրա տասնորդական մոտավորությունների հաջորդականությունը a 0, a 1, a 2, : . . . Օրինակ, վերցնենք a = 1.67175331 արժեքը: . . , Հետո

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Մոտավորությունների հաջորդականությունները կարող ենք կապել a a 0, a a 1, a a 2, աստիճանների հաջորդականության հետ: . . . Եթե ​​հիշենք այն, ինչ ավելի վաղ ասացինք թվերը ռացիոնալ ուժերին հասցնելու մասին, ապա մենք կարող ենք ինքներս հաշվարկել այդ ուժերի արժեքները:

Օրինակ վերցնենք a = 3, ապա a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . և այլն:

Հզորությունների հաջորդականությունը կարող է կրճատվել մինչև թվի, որը կլինի a հիմքով և իռացիոնալ ցուցիչով հզորության արժեքը։ Արդյունքում՝ աստիճան 3 1, 67175331 ձևի իռացիոնալ ցուցիչով։ . կարող է կրճատվել մինչև 6, 27 թիվը։

Սահմանում 7

a իռացիոնալ ցուցիչով դրական a թվի ուժը գրվում է a . Դրա արժեքը a a 0, a a 1, a a 2, հաջորդականության սահմանն է: . . , որտեղ a 0 , a 1 , a 2 , . . . a իռացիոնալ թվի հաջորդական տասնորդական մոտարկումներն են։ Զրոյական հիմքով աստիճան կարող է սահմանվել նաև դրական իռացիոնալ ցուցիչների համար՝ 0 a = 0 Այսպիսով, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0: Բայց դա հնարավոր չէ անել բացասականների համար, քանի որ, օրինակ, 0 - 5, 0 - 2 π արժեքը սահմանված չէ: Ցանկացածի համար կառուցված միավոր իռացիոնալ աստիճան, մնում է մեկը, օրինակ, և 1 2, 1 5-ը 2-ում և 1 - 5-ը հավասար կլինի 1-ի:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Վիդեո ձեռնարկ 2: Բնական ցուցիչով աստիճանը և դրա հատկությունները

Դասախոսություն:

Աստիճան բնական ցուցանիշով

Տակ աստիճանինչ-որ թիվ «Ա»ինչ-որ ցուցանիշով «n»հասկանալ թվի արտադրյալը «Ա»ինքնուրույն «n»մեկ անգամ.

Երբ խոսում ենք բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի մասին, նշանակում է, որ թիվը «n»պետք է լինի ամբողջ թիվ և ոչ բացասական:

Ա- աստիճանի հիմքը, որը ցույց է տալիս, թե որ թիվը պետք է բազմապատկվի ինքն իրեն,

n- ցուցիչ - այն ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է անհրաժեշտ բազան ինքն իրենով բազմապատկել:

Օրինակ՝

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

IN այս դեպքումԱստիճանի հիմքը հասկացվում է որպես «8» թիվը, աստիճանի ցուցիչը՝ «4» թիվը, իսկ աստիճանի արժեքը՝ «4096» թիվը։

Աստիճանը հաշվարկելիս ամենամեծ և ամենատարածված սխալը ցուցիչը բազայի վրա բազմապատկելն է. ՍԱ ՃԻՇՏ ՉԷ:

Երբ մենք խոսում ենքբնական ցուցիչով աստիճանի մասին, այսինքն՝ միայն ցուցիչը (n)պետք է լինի բնական թիվ:

Դուք կարող եք ցանկացած թիվ վերցնել թվային տողի վրա որպես հիմք:

Օրինակ՝

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Մաթեմատիկական գործողությունը, որը կատարվում է հիմքի և աստիճանի վրա, կոչվում է աստիճանավորում։

Գումարը\հանումը առաջին փուլի մաթեմատիկական գործողություն է, բազմապատկում\բաժանումը երկրորդ փուլի գործողություն է, հզորության բարձրացումը երրորդ աստիճանի մաթեմատիկական գործողություն է, այսինքն՝ ամենաբարձրներից։

Այս հիերարխիան մաթեմատիկական գործողություններորոշում է հաշվարկի հերթականությունը. Եթե ​​այս գործողությունը տեղի է ունենում նախորդ երկու առաջադրանքների մեջ, ապա դա արվում է առաջինը:

Օրինակ՝

15 + 6 *2 2 = 39

Այս օրինակում նախ պետք է 2-ը բարձրացնեք հզորության, այսինքն՝

ապա արդյունքը բազմապատկեք 6-ով, այսինքն

Բնական ցուցիչով հզորությունը օգտագործվում է ոչ միայն կոնկրետ հաշվարկների, այլև մեծ թվեր գրելու հարմարության համար։ Այս դեպքում օգտագործվում է նաև հասկացությունը «Թվերի ստանդարտ ձև». Այս գրառումըներառում է 1-ից 9 թվի բազմապատկումը 10-ին հավասար հզորությամբ որոշ ցուցիչով:

Օրինակ, Երկրի շառավիղը ստանդարտ ձևով գրանցելու համար օգտագործեք հետևյալ նշումը.

6400000 մ = 6,4 * 10 6 մ,

իսկ Երկրի զանգվածը, օրինակ, գրված է հետևյալ կերպ.

աստիճանի հատկություններ

Օրինակներ աստիճաններով լուծելու հարմարության համար դուք պետք է իմանաք դրանց հիմնական հատկությունները.

1. Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է բազմապատկել երկու հզորություններ, որոնք ունեն նույն հիմքը, ապա այս դեպքում հիմքը պետք է թողնել անփոփոխ և ավելացնել ցուցիչները։

a n * a m = a n+m

Օրինակ՝

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Եթե ​​անհրաժեշտ է բաժանել երկու աստիճան, որոնք ունեն նույն հիմքերը, ապա այս դեպքում հիմքը պետք է թողնել անփոփոխ, իսկ աստիճանները հանել։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բնական ցուցիչով հզորություններով գործողությունների համար շահաբաժնի աստիճանը պետք է ավելի մեծ լինի, քան բաժանարարի աստիճանը: Հակառակ դեպքում այս գործողության գործակիցը կլինի բացասական ցուցիչ ունեցող թիվ:

a n / a m = a n-m

Օրինակ՝

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Եթե ​​անհրաժեշտ է մեկ հզորություն բարձրացնել մյուսին, ապա նույն թիվը մնում է արդյունքի հիմքը, և աստիճանները բազմապատկվում են:

(a n) m = a n*m

Օրինակ՝

4. Եթե ​​անհրաժեշտ է ապրանքը ինչ-որ չափով բարձրացնել կամայական թվեր, ապա մենք կարող ենք օգտագործել որոշակի բաշխիչ օրենքը, որի համաձայն մենք ստանում ենք տարբեր հիմքերի արտադրյալը նույն աստիճանով։

(a * b) m = a m * b m

Օրինակ՝

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Նմանատիպ հատկությունը կարող է օգտագործվել լիազորությունները բաժանելու, այլ կերպ ասած՝ սովորական կրկնակի ուժը բարձրացնելու համար։

(ա / բ) m = a m / b մ

6. Ցանկացած թիվ, որը բարձրացվում է մեկին հավասար ցուցանիշի, հավասար է սկզբնական թվին:

ա 1 = ա

Օրինակ՝

7. Զրո ցուցիչով ցանկացած թիվ բարձրացնելիս այս հաշվարկի արդյունքը միշտ կլինի մեկ:

և 0 = 1

Օրինակ,

Մուտքի մակարդակ

Աստիճանը և դրա հատկությունները: Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Ինչու են անհրաժեշտ աստիճաններ: Որտեղ ձեզ դրանք պետք կգան: Ինչո՞ւ պետք է ժամանակ հատկացնեք դրանք ուսումնասիրելու համար:

Իմանալ ամեն ինչ աստիճանների մասին, ինչի համար են դրանք, ինչպես օգտագործել ձեր գիտելիքները առօրյա կյանքկարդալ այս հոդվածը:

Եվ, իհարկե, աստիճանների իմացությունը ձեզ ավելի կմոտեցնի հաջողությանը անցնելով OGEկամ միասնական պետական ​​քննություն և ընդունելություն քո երազանքների համալսարան:

Եկեք գնանք ... (Եկեք գնանք):

Կարևոր նշում! Եթե ​​բանաձևերի փոխարեն տեսնում եք gobbledygook, մաքրեք ձեր քեշը: Դա անելու համար սեղմեք CTRL+F5 (Windows-ում) կամ Cmd+R (Mac-ում):

ՄՈՒՏՔԻ ՄԱՐԴԱԿ

Իշխանության բարձրացումը նույնն է մաթեմատիկական գործողությունինչպես գումարումը, հանումը, բազմապատկումը կամ բաժանումը:

Հիմա ես ամեն ինչ կբացատրեմ մարդկային լեզվով պարզ օրինակներ. Զգույշ եղեք. Օրինակները տարրական են, բայց բացատրում են կարևոր բաներ։

Սկսենք ավելացումից։

Այստեղ բացատրելու բան չկա։ Դուք արդեն ամեն ինչ գիտեք՝ մենք ութ հոգի ենք։ Յուրաքանչյուր ոք ունի երկու շիշ կոլա: Որքա՞ն կոլա կա այնտեղ: Ճիշտ է` 16 շիշ:

Հիմա բազմապատկում.

Կոլայի հետ նույն օրինակը կարելի է տարբեր կերպ գրել. Մաթեմատիկոսները խորամանկ և ծույլ մարդիկ են։ Նրանք նախ նկատում են որոշ օրինաչափություններ, իսկ հետո պարզում են դրանք ավելի արագ «հաշվելու» միջոց: Մեր դեպքում նրանք նկատեցին, որ ութ հոգուց յուրաքանչյուրն ունի նույն քանակությամբ կոլա շշեր և հայտնագործեցին մի տեխնիկա, որը կոչվում է բազմապատկում: Համաձայն եմ, այն համարվում է ավելի հեշտ և արագ, քան:

Այսպիսով, ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների հաշվելու համար պարզապես անհրաժեշտ է հիշել բազմապատկման աղյուսակ. Իհարկե, դուք կարող եք ամեն ինչ անել ավելի դանդաղ, ավելի դժվար և սխալներով: Բայց…

Ահա բազմապատկման աղյուսակը. Կրկնել.

Եվ մեկ այլ, ավելի գեղեցիկ.

Ուրիշ ի՞նչ: խորամանկ հնարքներարդյո՞ք հաշիվները հորինել են ծույլ մաթեմատիկոսները: Աջ - թիվը հասցնելով ուժի.

Թիվը հզորության բարձրացում

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է թիվն ինքն իրենով հինգ անգամ բազմապատկել, ապա մաթեմատիկոսներն ասում են, որ պետք է այդ թիվը հասցնել հինգերորդ աստիճանի։ Օրինակ, . Մաթեմատիկոսները հիշում են, որ երկուսից հինգերորդ ուժը... Եվ նրանք իրենց գլխում լուծում են այդպիսի խնդիրներ՝ ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների։

Ձեզ անհրաժեշտ է միայն հիշեք, թե ինչն է գույնով ընդգծված թվերի հզորությունների աղյուսակում. Հավատացեք ինձ, սա ձեր կյանքը շատ կհեշտացնի:

Ի դեպ, ինչո՞ւ է այն կոչվում երկրորդ աստիճան։ քառակուսիթվեր, իսկ երրորդը՝ խորանարդ? Ի՞նչ է դա նշանակում։ Շատ լավ հարց. Այժմ դուք կունենաք և՛ քառակուսիներ, և՛ խորանարդներ:

Իրական կյանքի օրինակ թիվ 1

Սկսենք քառակուսուց կամ թվի երկրորդ աստիճանից։

Պատկերացրեք քառակուսի լողավազան, որը չափում է մեկ մետր մեկ մետր: Լողավազանը ձեր տնակում է։ Շոգ է, և ես շատ եմ ուզում լողալ: Բայց... լողավազանը հատակ չունի։ Դուք պետք է ծածկեք լողավազանի հատակը սալիկներով: Քանի սալիկ է ձեզ հարկավոր: Դա որոշելու համար դուք պետք է իմանաք լողավազանի ստորին հատվածը:

Պարզապես կարող եք մատով ցույց տալ, որ լողավազանի հատակը բաղկացած է մետր առ մետր խորանարդներից։ Եթե ​​դուք ունեք սալիկներ մեկ մետր մեկ մետր, ապա ձեզ անհրաժեշտ կլինեն կտորներ: Հեշտ է... Բայց որտե՞ղ եք տեսել այդպիսի սալիկներ։ Կղմինդրը, ամենայն հավանականությամբ, կլինի սմ-ով, իսկ հետո ձեզ կտանջեն «մատով հաշվելով»: Հետո պետք է բազմապատկել։ Այսպիսով, լողավազանի հատակի մի կողմում մենք կտեղավորենք սալիկներ (կտորներ), իսկ մյուս կողմում նույնպես սալիկներ: Բազմապատկեք և կստանաք սալիկներ ():

Նկատեցի՞ք, որ լողավազանի հատակի մակերեսը որոշելու համար մենք նույն թիվն ինքնին բազմապատկեցինք։ Ի՞նչ է դա նշանակում։ Քանի որ մենք բազմապատկում ենք նույն թիվը, մենք կարող ենք օգտագործել «ցուցադրման» տեխնիկան: (Իհարկե, երբ դուք ունեք ընդամենը երկու թիվ, դուք դեռ պետք է բազմապատկեք դրանք կամ հասցնեք դրանք հզորության: Բայց եթե դրանք շատ են, ապա դրանք հզորության հասցնելը շատ ավելի հեշտ է, և նաև ավելի քիչ սխալներ կան հաշվարկներում: Միասնական պետական ​​քննության համար սա շատ կարևոր է):
Այսպիսով, երեսունից երկրորդ ուժը կլինի (): Կամ կարող ենք ասել, որ կլինի երեսուն քառակուսի: Այլ կերպ ասած, թվի երկրորդ աստիճանը միշտ կարող է ներկայացվել որպես քառակուսի: Եվ հակառակը, եթե քառակուսի եք տեսնում, այն ՄԻՇՏ ինչ-որ թվի երկրորդ աստիճանն է։ Քառակուսին թվի երկրորդ աստիճանի պատկերն է։

Իրական կյանքի օրինակ #2

Ահա ձեզ համար առաջադրանք՝ հաշվեք, թե քանի քառակուսի կա շախմատի տախտակի վրա՝ օգտագործելով թվի քառակուսին... Բջիջների մի կողմում և մյուս կողմում՝ նույնպես: Դրանց թիվը հաշվարկելու համար պետք է ութը բազմապատկել ութով կամ... եթե նկատում եք, որ շախմատի տախտակը կողով քառակուսի է, ապա կարող եք քառակուսի դնել ութը։ Դուք կստանաք բջիջներ: () Ուրեմն?

Իրական կյանքի օրինակ #3

Այժմ խորանարդը կամ թվի երրորդ ուժը: Նույն լողավազան. Բայց հիմա պետք է պարզել, թե որքան ջուր պետք է լցվի այս լողավազանի մեջ։ Դուք պետք է հաշվարկեք ծավալը: (Ծավալներն ու հեղուկները, ի դեպ, չափվում են խորանարդ մետր. Անսպասելի է, չէ՞:) Նկարեք լողավազան. մետր չափող հատակ և մետր խորություն և փորձեք հաշվել, թե մետրը մետր չափող քանի խորանարդ կտեղավորվի ձեր լողավազանում:

Պարզապես ցույց տվեք ձեր մատը և հաշվեք: Մեկ, երկու, երեք, չորս... քսաներկու, քսաներեք...Քանի՞ն եք ստացել։ Չե՞ք կորցրել: Դժվա՞ր է մատով հաշվել։ Վե՛րջ: Օրինակ վերցրեք մաթեմատիկոսներից: Նրանք ծույլ են, ուստի նկատել են, որ լողավազանի ծավալը հաշվարկելու համար պետք է միմյանցով բազմապատկել դրա երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը։ Մեր դեպքում լողավազանի ծավալը հավասար կլինի խորանարդի... Ավելի հեշտ չէ՞։

Հիմա պատկերացրեք, թե որքան ծույլ և խորամանկ են մաթեմատիկոսները, եթե սա էլ պարզեցնեն։ Մենք ամեն ինչ կրճատեցինք մեկ գործողության. Նրանք նկատել են, որ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը հավասար են, և որ նույն թիվը բազմապատկվում է ինքն իրեն... Ի՞նչ է սա նշանակում։ Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք օգտվել աստիճանից: Այսպիսով, այն, ինչ դուք ժամանակին հաշվում էիք մատով, նրանք անում են մեկ գործողությամբ՝ երեք խորանարդը հավասար է։ Գրված է այսպես.

Մնում է միայն հիշեք աստիճանների աղյուսակը. Եթե, իհարկե, մաթեմատիկոսների նման ծույլ ու խորամանկ չեք։ Եթե ​​սիրում եք շատ աշխատել և սխալներ թույլ տալ, կարող եք շարունակել հաշվել մատով։

Դե, վերջապես ձեզ համոզելու համար, որ աստիճանները թողածներն ու խորամանկ մարդիկ են հորինել իրենց կյանքի խնդիրները լուծելու, այլ ոչ թե ձեզ համար խնդիրներ ստեղծելու համար, ահա ևս մի երկու օրինակ կյանքից։

Իրական կյանքի օրինակ #4

Դուք ունեք մեկ միլիոն ռուբլի: Ամեն տարվա սկզբին ձեր վաստակած յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց դուք ևս մեկ միլիոն եք վաստակում: Այսինքն՝ ձեր յուրաքանչյուր միլիոնը կրկնապատկվում է ամեն տարվա սկզբին։ Որքա՞ն գումար կունենաք տարիների ընթացքում: Եթե ​​հիմա նստած «մատով հաշվում ես», ուրեմն շատ աշխատասեր մարդ ես ու... հիմար։ Բայց, ամենայն հավանականությամբ, մի քանի վայրկյանից պատասխան կտաս, քանի որ դու խելացի ես։ Ուրեմն, առաջին տարում` երկուսը բազմապատկած երկուսով... երկրորդ տարում` ինչ եղավ, ևս երկուսով, երրորդ տարում... Կանգ առեք: Նկատեցիք, որ թիվը բազմապատկվում է ինքն իրենով։ Այսպիսով, երկուսից հինգերորդ ուժը միլիոն է: Հիմա պատկերացրեք, որ դուք ունեք մրցույթ, և նա, ով կարող է ամենաարագ հաշվել, կստանա այս միլիոնները... Արժե հիշել թվերի ուժերը, չէ՞:

Իրական կյանքի օրինակ #5

Դուք ունեք մեկ միլիոն: Ամեն տարվա սկզբին ձեր վաստակած յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց դուք ևս երկու վաստակում եք: Հիանալի չէ՞ Յուրաքանչյուր միլիոնը եռապատկվում է։ Որքա՞ն գումար կունենաք մեկ տարվա ընթացքում: Եկեք հաշվենք. Առաջին տարին՝ բազմապատկեք, հետո արդյունքը մեկով... Դա արդեն ձանձրալի է, որովհետև դուք արդեն ամեն ինչ հասկացաք. երեքն ինքն իրենով բազմապատկվում է անգամ: Այսպիսով, չորրորդ իշխանությանը հավասար է միլիոնի։ Պարզապես պետք է հիշել, որ երեքից չորրորդ ուժը կամ է:

Այժմ դուք գիտեք, որ թիվն ուժի հասցնելով դուք շատ կհեշտացնեք ձեր կյանքը: Եկեք ավելի մանրամասն նայենք, թե ինչ կարող եք անել աստիճաններով և ինչ պետք է իմանաք դրանց մասին:

Տերմիններ և հասկացություններ.. չշփոթվելու համար

Այսպիսով, նախ, եկեք սահմանենք հասկացությունները: Կարծում եք ինչ է ցուցիչը? Դա շատ պարզ է՝ դա այն թիվն է, որը գտնվում է թվի հզորության «վերևում»: Գիտական ​​չէ, բայց պարզ ու հեշտ հիշվող...

Դե, միեւնույն ժամանակ, ինչ նման աստիճանի հիմք? Նույնիսկ ավելի պարզ - սա այն թիվն է, որը գտնվում է ներքևում, հիմքում:

Ահա մի նկարչություն լավ չափման համար:

Դե ներս ընդհանուր տեսարան, ընդհանրացնելու և ավելի լավ հիշելու համար... « » հիմքով և « ցուցիչով» աստիճանը կարդացվում է «դեպի աստիճան» և գրվում է հետևյալ կերպ.

Բնական ցուցիչով թվի հզորությունը

Դուք հավանաբար արդեն կռահեցիք, քանի որ ցուցիչը բնական թիվ է: Այո, բայց ինչ է դա բնական թիվ? Տարրական! Բնական թվերն այն թվերն են, որոնք օգտագործվում են հաշվելիս առարկաները թվարկելիս՝ մեկ, երկու, երեք... Երբ հաշվում ենք առարկաները, չենք ասում՝ «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»։ Մենք նաև չենք ասում՝ «մեկ երրորդ», կամ «զրո կետ հինգ»։ Սրանք բնական թվեր չեն։ Ի՞նչ թվեր են դրանք, ըստ Ձեզ:

Նման թվերը վերաբերում են «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»: ամբողջ թվեր.Ընդհանուր առմամբ, ամբողջ թվերը ներառում են բոլոր բնական թվերը, բնական թվերին հակառակ թվերը (այսինքն՝ վերցված մինուս նշանով) և թիվը։ Զրոն հեշտ է հասկանալ, դա այն է, երբ ոչինչ չկա: Ի՞նչ են նշանակում բացասական («մինուս») թվերը: Բայց դրանք հորինվել են հիմնականում պարտքերը նշելու համար. եթե հեռախոսում հաշվեկշիռ ունեք ռուբլով, դա նշանակում է, որ դուք օպերատորին պարտք եք ռուբլով:

Բոլոր կոտորակները ռացիոնալ թվեր են: Ինչպե՞ս են դրանք առաջացել, ի՞նչ եք կարծում։ Շատ պարզ. Մի քանի հազար տարի առաջ մեր նախնիները հայտնաբերել են, որ երկարությունը, քաշը, մակերեսը և այլն չափելու համար բնական թվեր չունեն: Եվ նրանք եկան ռացիոնալ թվեր... Հետաքրքիր է, չէ՞։

Կան նաև իռացիոնալ թվեր։ Որո՞նք են այս թվերը: Մի խոսքով, անվերջ տասնորդական. Օրինակ, եթե շրջանագծի շրջագիծը բաժանես տրամագծի վրա, կստանաս իռացիոնալ թիվ։

Ռեզյումե:

Եկեք սահմանենք աստիճանի հասկացությունը, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ թիվ և դրական):

1. Առաջին աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է ինքն իրեն.
2. Թիվ քառակուսի դնել նշանակում է բազմապատկել այն ինքն իրենով.
3. Թիվը խորանարդի մեջ դնել նշանակում է այն երեք անգամ բազմապատկել ինքն իրենով.

Սահմանում.Թիվը բնական հզորության հասցնելը նշանակում է թիվը բազմապատկել ինքն իրենով.
.

Աստիճանների հատկությունները

Որտեղի՞ց են առաջացել այս հատկությունները: Ես ձեզ հիմա ցույց կտամ:

Տեսնենք՝ ինչ է դա Եվ ?

Ըստ սահմանման.

Քանի՞ բազմապատկիչ կա ընդհանուր առմամբ:

Դա շատ պարզ է՝ մենք գործոններին ավելացրեցինք բազմապատկիչներ, և արդյունքը բազմապատկիչ է:

Բայց ըստ սահմանման, սա ցուցիչով թվի հզորություն է, այսինքն՝ , ինչը պետք է ապացուցվեր։

ՕրինակՊարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում:

Օրինակ՝Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Լուծում:Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում Պարտադիրպետք է լինեն նույն պատճառները!
Հետևաբար, մենք միավորում ենք ուժերը բազայի հետ, բայց դա մնում է առանձին գործոն.

միայն ուժերի արդյունքի համար:

Ոչ մի դեպքում չես կարող դա գրել։

2. վերջ թվի րդ հզորությունը

Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք դիմենք աստիճանի սահմանմանը.

Ստացվում է, որ արտահայտությունը բազմապատկվում է ինքն իրենով անգամ, այսինքն, ըստ սահմանման, սա թվի երրորդ ուժն է.

Սա, ըստ էության, կարելի է անվանել «ցուցանիշը փակագծերից հանել»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ.

Հիշենք կրճատված բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ էինք ուզում գրել։

Բայց սա ճիշտ չէ, ի վերջո:

Հզորությունը բացասական հիմքով

Մինչև այս պահը մենք միայն քննարկել ենք, թե ինչպիսին պետք է լինի ցուցանիշը։

Բայց ի՞նչը պետք է հիմք հանդիսանա։

-ի լիազորություններում բնական ցուցանիշհիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ. Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թվեր՝ լինեն դրանք դրական, բացասական կամ զույգ։

Եկեք մտածենք, թե ո՞ր նշանները («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ։

Օրինակ՝ թիվը դրակա՞ն է, թե՞ բացասական։ Ա. ? Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք իրարով, արդյունքը կլինի դրական։

Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Մենք հիշում ենք պարզ կանոնը 6-րդ դասարանից. «մինուս մինուսի դիմաց տալիս է գումարած»: Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք, ստացվում է:

Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.

Դուք հասցրե՞լ եք:

Ահա պատասխանները. Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք հիմքին և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Օրինակ 5-ում) ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. ի վերջո, կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի:

Դե, բացի այն դեպքերից, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը հավասար չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):

Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ:

6 օրինակ պրակտիկայի համար

Լուծման վերլուծություն 6 օրինակ

Եթե ​​անտեսենք ութերորդ իշխանությունը, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Հիշենք 7-րդ դասարանի ծրագիրը. Այսպիսով, դուք հիշում եք. Սա կրճատ բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։ Մենք ստանում ենք.

Եկեք ուշադիր նայենք հայտարարին: Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների հերթականությունը սխալ է։ Եթե ​​դրանք փոխվեն, ապա կանոնը կարող է կիրառվել:

Բայց ինչպես դա անել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է. այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը:

Կախարդական կերպով տերմինները փոխեցին տեղերը: Այս «երևույթը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք հեշտությամբ կարող ենք փոխել փակագծերի նշանները։

Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ!

Վերադառնանք օրինակին.

Եվ կրկին բանաձևը.

Ամբողջականմենք անվանում ենք բնական թվերը, դրանց հակադիրները (այսինքն՝ վերցված « » նշանով) և թիվը։

դրական ամբողջ թիվ, և դա ոչնչով չի տարբերվում բնականից, ապա ամեն ինչ ճիշտ այնպես, ինչպես նախորդ բաժնում:

Հիմա նայենք նոր դեպքերին։ Սկսենք հավասար ցուցանիշից.

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Ինչպես միշտ, եկեք ինքներս մեզ հարցնենք՝ ինչո՞ւ է այդպես։

Դիտարկենք ինչ-որ աստիճան հիմքով։ Վերցրեք, օրինակ, և բազմապատկեք հետևյալով.

Այսպիսով, մենք թիվը բազմապատկեցինք և ստացանք նույնը, ինչ եղել է - . Ի՞նչ թվով պետք է բազմապատկել, որպեսզի ոչինչ չփոխվի: Ճիշտ է, շարունակվում է: Միջոցներ.

Նույնը կարող ենք անել կամայական թվով.

Կրկնենք կանոնը.

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Բայց կան բացառություններ շատ կանոններից: Եվ այստեղ այն նույնպես կա - սա թիվ է (որպես հիմք):

Մի կողմից, այն պետք է հավասար լինի ցանկացած աստիճանի - ինչքան էլ զրոն իր վրա բազմապատկես, միեւնույն է, զրո կստանաս, սա պարզ է։ Բայց մյուս կողմից, ինչպես զրոյական հզորության ցանկացած թիվ, այն պետք է հավասար լինի։ Այսպիսով, որքանո՞վ է դա ճիշտ: Մաթեմատիկոսները որոշեցին չխառնվել և հրաժարվեցին զրոն հասցնել զրո հզորության։ Այսինքն՝ հիմա մենք չենք կարող ոչ միայն զրոյի բաժանել, այլեւ հասցնել զրոյական հզորության։

Անցնենք առաջ։ Բացի բնական թվերից և թվերից, ամբողջ թվերը ներառում են նաև բացասական թվեր։ Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է բացասական հզորությունը, եկեք անենք այնպես, ինչպես նախորդ անգամ.

Այստեղից հեշտ է արտահայտել այն, ինչ փնտրում եք.

Այժմ եկեք ընդլայնենք ստացված կանոնը կամայական աստիճանի.

Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք կանոն.

Բացասական հզորությամբ թիվը դրական հզորությամբ նույն թվի փոխադարձն է: Բայց միևնույն ժամանակ Հիմքը չի կարող զրոյական լինել.(քանի որ դուք չեք կարող բաժանել):

Ամփոփենք.

I. Արտահայտությունը գործով սահմանված չէ։ Եթե, ապա.

II. Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի.

III. Թիվը, որը հավասար չէ զրոյի բացասական հզորությանը, նույն թվի հակադարձ է դրական հզորությանը.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

Դե, ինչպես միշտ, օրինակներ անկախ լուծումների համար.

Անկախ լուծման համար խնդիրների վերլուծություն.

Գիտեմ, գիտեմ, թվերը սարսափելի են, բայց միասնական պետական ​​քննությանը պետք է պատրաստ լինել ամեն ինչի: Լուծե՛ք այս օրինակները կամ վերլուծե՛ք դրանց լուծումները, եթե չկարողացաք լուծել դրանք, և դուք կսովորեք հեշտությամբ հաղթահարել դրանք քննության ժամանակ:

Եկեք շարունակենք ընդլայնել «հարմար» թվերի շրջանակը որպես ցուցիչ:

Հիմա դիտարկենք ռացիոնալ թվեր.Ո՞ր թվերն են կոչվում ռացիոնալ:

Պատասխան՝ այն ամենը, ինչ կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են, և.

Հասկանալու համար, թե ինչ է դա «կոտորակային աստիճան», հաշվի առեք կոտորակը.

Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ հասցնենք հզորության.

Հիմա հիշենք կանոնը «աստիճանից աստիճան»:

Ի՞նչ թիվ պետք է բարձրացվի հզորության հասնելու համար:

Այս ձևակերպումը րդ աստիճանի արմատի սահմանումն է։

Հիշեցնեմ՝ թվի ()-ի րդ աստիճանի արմատը այն թիվն է, որին, երբ բարձրացվում է աստիճանի, հավասարվում է:

Այսինքն, րդ հզորության արմատը հզորության բարձրացման հակադարձ գործողությունն է.

Պարզվում է, որ. Ակնհայտորեն սա հատուկ դեպքկարելի է ընդլայնել.

Այժմ մենք ավելացնում ենք համարիչը՝ ի՞նչ է դա։ Պատասխանը հեշտ է ստանալ՝ օգտագործելով իշխանությունից իշխանություն կանոնը.

Բայց հիմքը կարո՞ղ է լինել որևէ թիվ: Ի վերջո, արմատը չի կարող հանվել բոլոր թվերից:

Ոչ մեկը:

Հիշենք կանոնը. ցանկացած թիվ, որը բարձրացվում է զույգի, դրական թիվ է: Այսինքն՝ բացասական թվերից հնարավոր չէ նույնիսկ արմատներ հանել։

Սա նշանակում է, որ նման թվերը չեն կարող բարձրացվել կոտորակային հզորության՝ զույգ հայտարարով, այսինքն՝ արտահայտությունն իմաստ չունի։

Ինչ վերաբերում է արտահայտությանը.

Բայց այստեղ խնդիր է առաջանում.

Թիվը կարող է ներկայացվել այլ, կրճատվող կոտորակների տեսքով, օրինակ, կամ.

Եվ պարզվում է, որ այն կա, բայց չկա, բայց դրանք ընդամենը երկու տարբեր գրառումներ են նույն թվով։

Կամ մեկ այլ օրինակ՝ մեկ անգամ, հետո կարող ես գրել: Բայց եթե ցուցանիշն այլ կերպ գրենք, նորից փորձանքի մեջ ենք ընկնելու. (այսինքն՝ բոլորովին այլ արդյունք ենք ստացել):

Նման պարադոքսներից խուսափելու համար մենք համարում ենք միայն դրական բազային ցուցիչ կոտորակային ցուցիչով.

Այսպիսով, եթե.

• - բնական թիվ;
• - ամբողջ թիվ;

Օրինակներ.

Ռացիոնալ ցուցիչները շատ օգտակար են արմատներով արտահայտությունները փոխակերպելու համար, օրինակ.

5 օրինակ պրակտիկայի համար

Վերապատրաստման 5 օրինակների վերլուծություն

Դե, հիմա գալիս է ամենադժվարը: Հիմա մենք դա կպարզենք աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով.

Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, բացառությամբ.

Ի վերջո, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն, իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ ռացիոնալների):

Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչներով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ մենք ստեղծում էինք որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն ավելի ծանոթ տերմիններով:

Օրինակ՝ բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանը իրենով մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է.

...թիվը զրոյական հզորության- սա, այսպես ասած, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկած թիվ է, այսինքն, նրանք դեռ չեն սկսել բազմապատկել այն, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքնին դեռ չի հայտնվել, հետևաբար արդյունքը միայն որոշակի «դատարկ թիվ» է: , մասնավորապես թիվ;

...բացասական ամբողջ աստիճան- կարծես ինչ-որ բան է պատահել հակադարձ գործընթաց», այսինքն՝ թիվն ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։

Ի դեպ, գիտության մեջ հաճախ օգտագործվում է բարդ ցուցիչ ունեցող աստիճան, այսինքն՝ ցուցանիշը նույնիսկ իրական թիվ չէ։

Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:

ՈՐՏԵՂ ՎՍՏԱՀ ԵՆՔ, ԴՈՒ ԳՆԱԼՈՒ ԵՔ: (եթե սովորես լուծել նման օրինակներ :))

Օրինակ՝

Ինքներդ որոշեք.

Լուծումների վերլուծություն.

1. Սկսենք իշխանությունը իշխանության բարձրացման սովորական կանոնից.

Հիմա նայեք ցուցանիշին. Նա ձեզ ոչինչ չի՞ հիշեցնում։ Հիշենք քառակուսիների տարբերության կրճատ բազմապատկման բանաձևը.

Այս դեպքում,

Ստացվում է, որ.

Պատասխան. .

2. Ցուցանիշներով կոտորակները կրճատում ենք նույն ձևով` կա՛մ երկու տասնորդական, կա՛մ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.

Պատասխան՝ 16

3. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք օգտագործում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.

Ընդլայնված ՄԱՐԴԱԿ

աստիճանի որոշում

Աստիճանը ձևի արտահայտությունն է՝ , որտեղ.

• — աստիճանի բազա;
• - ցուցիչ:

Աստիճան բնական ցուցանիշով (n = 1, 2, 3,...)

Թիվը բնական n հզորության հասցնելը նշանակում է թիվն ինքն իրենով բազմապատկել.

Աստիճան ամբողջ թվով ցուցիչով (0, ±1, ±2,...)

Եթե ​​ցուցիչն է դրական ամբողջ թիվհամարը:

Շինարարություն զրոյական աստիճանի:

Արտահայտությունն անորոշ է, քանի որ, մի կողմից, ցանկացած աստիճան սա է, իսկ մյուս կողմից՝ երրորդ աստիճանի ցանկացած թիվ սա է։

Եթե ​​ցուցիչն է բացասական ամբողջ թիվհամարը:

(քանի որ դուք չեք կարող բաժանել):

Եվս մեկ անգամ զրոների մասին. արտահայտությունը գործով սահմանված չէ։ Եթե, ապա.

Օրինակներ.

Հզորությունը ռացիոնալ ցուցիչով

• - բնական թիվ;
• - ամբողջ թիվ;

Օրինակներ.

Աստիճանների հատկությունները

Խնդիրները լուծելն ավելի հեշտ դարձնելու համար եկեք փորձենք հասկանալ. որտեղի՞ց են առաջացել այս հատկությունները: Եկեք ապացուցենք դրանք։

Տեսնենք՝ ինչ է և.

Ըստ սահմանման.

Այսպիսով, այս արտահայտության աջ կողմում մենք ստանում ենք հետևյալ արտադրանքը.

Բայց ըստ սահմանման դա ցուցիչով թվի ուժ է, այսինքն.

Ք.Ե.Դ.

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում : .

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում Պարտադիրպետք է լինեն նույն պատճառները. Հետևաբար, մենք միավորում ենք ուժերը բազայի հետ, բայց դա մնում է առանձին գործոն.

Մեկ այլ կարևոր նշում. այս կանոնը. միայն ուժերի արդյունքի համար!

Ոչ մի դեպքում չես կարող դա գրել։

Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք դիմենք աստիճանի սահմանմանը.

Եկեք վերախմբավորենք այս աշխատանքը այսպես.

Ստացվում է, որ արտահայտությունը բազմապատկվում է ինքն իրենով անգամ, այսինքն, ըստ սահմանման, սա թվի երրորդ ուժն է.

Սա, ըստ էության, կարելի է անվանել «ցուցանիշը փակագծերից հանել»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ.

Հիշենք կրճատված բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ ենք ուզում գրել։ Բայց սա, ի վերջո, ճիշտ չէ։

Բացասական հիմքով հզորություն.

Մինչև այս պահը մենք միայն քննարկել ենք, թե ինչպիսին պետք է լինի ցուցիչաստիճաններ։ Բայց ի՞նչը պետք է հիմք հանդիսանա։ -ի լիազորություններում բնական ցուցիչ հիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ .

Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թվեր՝ լինեն դրանք դրական, բացասական կամ զույգ։ Եկեք մտածենք, թե ո՞ր նշանները («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ։

Օրինակ՝ թիվը դրակա՞ն է, թե՞ բացասական։ Ա. ?

Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք իրարով, արդյունքը կլինի դրական։

Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Մենք հիշում ենք պարզ կանոնը 6-րդ դասարանից. «մինուս մինուսի դիմաց տալիս է գումարած»: Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք (-ով), կստանանք - .

Եվ այսպես անվերջ. յուրաքանչյուր հաջորդ բազմապատկման հետ նշանը կփոխվի: Կարող ենք ձևակերպել հետևյալը պարզ կանոններ:

1. նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
2. Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
3. Ցանկացած աստիճանի դրական թիվը դրական թիվ է:
4. Զրո ցանկացած հզորության հավասար է զրոյի:

Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.

Դուք հասցրե՞լ եք: Ահա պատասխանները.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք բազային և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։

Օրինակ 5-ում) ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. ի վերջո, կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի: Դե, բացի այն դեպքերից, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը հավասար չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):

Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ: Այստեղ դուք պետք է պարզեք, թե որն է ավելի քիչ. Եթե ​​դա հիշենք, պարզ է դառնում, որ, հետևաբար՝ հիմքը զրոյից պակաս. Այսինքն՝ կիրառում ենք 2-րդ կանոնը՝ արդյունքը կլինի բացասական։

Եվ կրկին օգտագործում ենք աստիճանի սահմանումը.

Ամեն ինչ սովորական է. մենք գրում ենք աստիճանների սահմանումը և դրանք բաժանում ենք միմյանց, բաժանում զույգերի և ստանում.

Նախքան վերջին կանոնին նայելը, եկեք մի քանի օրինակ լուծենք։

Հաշվիր արտահայտությունները.

Լուծումներ :

Եթե ​​անտեսենք ութերորդ իշխանությունը, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Հիշենք 7-րդ դասարանի ծրագիրը. Այսպիսով, դուք հիշում եք. Սա կրճատ բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։

Մենք ստանում ենք.

Եկեք ուշադիր նայենք հայտարարին: Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների հերթականությունը սխալ է։ Եթե ​​դրանք չեղարկվեին, 3-րդ կանոնը կարող էր կիրառվել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է. այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը:

Եթե ​​այն բազմապատկես, ոչինչ չի փոխվում, չէ՞: Բայց հիմա ստացվում է այսպես.

Կախարդական կերպով տերմինները փոխեցին տեղերը: Այս «երևույթը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք հեշտությամբ կարող ենք փոխել փակագծերի նշանները։ Բայց կարևոր է հիշել. Բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ:Դուք չեք կարող փոխարինել այն՝ փոխելով միայն մեկ թերություն, որը մեզ դուր չի գալիս:

Վերադառնանք օրինակին.

Եվ կրկին բանաձևը.

Այսպիսով, հիմա վերջին կանոնը.

Ինչպե՞ս ենք դա ապացուցելու։ Իհարկե, ինչպես միշտ. եկեք ընդլայնենք աստիճանի հայեցակարգը և պարզեցնենք այն.

Դե, հիմա բացենք փակագծերը։ Քանի՞ տառ կա ընդհանուր առմամբ: անգամ բազմապատկիչներով. ինչի՞ մասին է սա ձեզ հիշեցնում: Սա ոչ այլ ինչ է, քան գործողության սահմանում բազմապատկումԱյնտեղ միայն բազմապատկիչներ կային։ Այսինքն, սա, ըստ սահմանման, ցուցիչով թվի ուժ է.

Օրինակ՝

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

Ի հավելումն միջին մակարդակի աստիճանների մասին տեղեկատվության, մենք աստիճանը կվերլուծենք իռացիոնալ ցուցիչով: Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, բացառությամբ, ի վերջո, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն. , իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):

Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչներով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ մենք ստեղծում էինք որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն ավելի ծանոթ տերմիններով: Օրինակ՝ բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանը իրենով մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է. զրոյական հզորության թիվն, այսպես ասած, ինքն իրենով բազմապատկած թիվ է, այսինքն՝ նրանք դեռ չեն սկսել բազմապատկել այն, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքնին դեռ չի էլ հայտնվել, հետևաբար արդյունքը միայն որոշակի է։ «դատարկ թիվ», մասնավորապես՝ թիվ. մի աստիճան ամբողջ թվով բացասական ցուցիչով - կարծես ինչ-որ «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվը ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է:

Չափազանց դժվար է պատկերացնել աստիճանը իռացիոնալ ցուցիչով (ինչպես դժվար է պատկերացնել 4-չափ տարածությունը): Դա ավելի շուտ զուտ մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը մաթեմատիկոսները ստեղծել են աստիճանի հասկացությունը թվերի ողջ տարածության վրա տարածելու համար:

Ի դեպ, գիտության մեջ հաճախ օգտագործվում է բարդ ցուցիչ ունեցող աստիճան, այսինքն՝ ցուցանիշը նույնիսկ իրական թիվ չէ։ Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:

Ուրեմն ինչ անենք, եթե տեսնենք իռացիոնալ ցուցանիշաստիճաններ? Մենք ամեն կերպ փորձում ենք ազատվել դրանից :)

Օրինակ՝

Ինքներդ որոշեք.

Պատասխաններ:

1. Հիշենք քառակուսիների բանաձևի տարբերությունը. Պատասխան.
2. Կոտորակները կրճատում ենք նույն ձևի. կա՛մ երկու տասնորդական, կա՛մ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.
3. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք օգտագործում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.

ԲԱԺԻՆԻ ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎԵՐԸ

աստիճանկոչվում է ձևի արտահայտություն՝ , որտեղ:

Աստիճան՝ ամբողջ թվով ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ թիվ և դրական)։

Հզորությունը ռացիոնալ ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը բացասական և կոտորակային թվերն են։

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը անվերջ տասնորդական կոտորակ կամ արմատ է:

Աստիճանների հատկությունները

Աստիճանների առանձնահատկությունները.

• Բացասական թիվը բարձրացված է նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
• Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
• Ցանկացած աստիճանի դրական թիվը դրական թիվ է:
• Զրոն հավասար է ցանկացած հզորության:
• Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է:

ՀԻՄԱ ԴՈՒ ՈՒՆԵՍ ԽՈՍՔԸ...

Ինչպե՞ս եք հավանում հոդվածը: Ստորև գրեք մեկնաբանություններում՝ ձեզ դուր եկավ, թե ոչ։

Պատմեք մեզ աստիճանի հատկությունների օգտագործման ձեր փորձի մասին:

Երևի հարցեր ունեք։ Կամ առաջարկություններ.

Գրեք մեկնաբանություններում։

Եվ հաջողություն ձեր քննություններին: