5.1. Հայեցակարգ միջին չափը

Միջին արժեքը -Սա երեւույթի բնորոշ մակարդակը բնութագրող ընդհանուր ցուցանիշ է։ Այն արտահայտում է հատկանիշի արժեքը բնակչության միավորի համար:

Միջինը միշտ ընդհանրացնում է հատկանիշի քանակական փոփոխությունը, այսինքն. միջին արժեքներում վերացվում են պատահական հանգամանքների պատճառով բնակչության միավորների միջև անհատական ​​տարբերությունները: Ի տարբերություն միջինի բացարձակ արժեք, որը բնութագրում է բնակչության առանձին միավորի բնութագրիչի մակարդակը, թույլ չի տալիս համեմատել բնութագրի արժեքները տարբեր պոպուլյացիաներին պատկանող միավորների միջև: Այսպիսով, եթե դուք պետք է համեմատեք երկու ձեռնարկությունների աշխատողների վարձատրության մակարդակները, ապա այս հիման վրա չեք կարող համեմատել տարբեր ձեռնարկությունների երկու աշխատողների: Համեմատության համար ընտրված աշխատողների փոխհատուցումը կարող է բնորոշ չլինել այս ձեռնարկություններին: Եթե ​​համեմատենք քննարկվող ձեռնարկություններում աշխատավարձի ֆոնդերի չափը, ապա աշխատողների թիվը հաշվի չի առնվում, և, հետևաբար, անհնար է որոշել, թե որտեղ է աշխատավարձի բարձր մակարդակը: Ի վերջո, կարելի է համեմատել միայն միջին ցուցանիշները, այսինքն. Որքա՞ն է միջինում մեկ աշխատողը վաստակում յուրաքանչյուր ձեռնարկությունում: Այսպիսով, անհրաժեշտություն կա հաշվարկել միջին արժեքը որպես բնակչության ընդհանրացնող հատկանիշ։

Միջին հաշվարկը ընդհանուր ընդհանրացման մեթոդներից մեկն է. Միջին ցուցանիշը հերքում է այն, ինչ ընդհանուր է (բնորոշ) ուսումնասիրվող բնակչության բոլոր միավորների համար, մինչդեռ միևնույն ժամանակ անտեսում է առանձին միավորների տարբերությունները: Յուրաքանչյուր երևույթի և դրա զարգացման մեջ կա պատահականության և անհրաժեշտության համադրություն։ Միջինները հաշվարկելիս, մեծ թվերի օրենքի պատճառով, պատահականությունը չեղարկվում և հավասարակշռվում է, ուստի հնարավոր է վերացական լինել երևույթի անկարևոր հատկանիշներից, յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում հատկանիշի քանակական արժեքներից: Առանձին արժեքների և տատանումների պատահականությունից վերացվելու ունակությունը միջինների գիտական ​​արժեքն է որպես ագրեգատների ընդհանրացնող բնութագրեր:

Որպեսզի միջինն իսկապես ներկայացուցչական լինի, այն պետք է հաշվարկվի՝ հաշվի առնելով որոշակի սկզբունքներ։

Եկեք նայենք մի քանիսին ընդհանուր սկզբունքներմիջին արժեքների կիրառում.
1. Միջինը պետք է որոշվի որակապես միատարր միավորներից բաղկացած պոպուլյացիաների համար:
2. Միջինը պետք է հաշվարկվի բավարար թվից բաղկացած բնակչության համար մեծ թիվմիավորներ.
3. Միջինը պետք է հաշվարկվի բնակչության համար, որի միավորները գտնվում են նորմալ, բնական վիճակում:
4. Միջինը պետք է հաշվարկվի՝ հաշվի առնելով ուսումնասիրվող ցուցանիշի տնտեսական բովանդակությունը։

5.2. Միջինների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները

Այժմ դիտարկենք միջին արժեքների տեսակները, դրանց հաշվարկման առանձնահատկությունները և կիրառման ոլորտները: Միջին արժեքները բաժանվում են երկու մեծ դասի` հզորության միջիններ, կառուցվածքային միջիններ:

TO հզորությունը միջինԴրանք ներառում են առավել հայտնի և հաճախ օգտագործվող տեսակները, ինչպիսիք են երկրաչափական միջինը, միջին թվաբանականը և քառակուսի միջինը:

Ինչպես կառուցվածքային միջիններըռեժիմը և մեդիանը դիտարկվում են:

Եկեք կենտրոնանանք հզորության միջին ցուցանիշների վրա: Հզորության միջին ցուցանիշները, կախված աղբյուրի տվյալների ներկայացումից, կարող են լինել պարզ կամ կշռված: Պարզ միջինԱյն հաշվարկվում է չխմբավորված տվյալների հիման վրա և ունի հետևյալ ընդհանուր ձևը.

որտեղ X i-ը միջինացված բնութագրիչի տարբերակն է (արժեքը).

n - թվային տարբերակ:

Միջին կշռվածհաշվարկվում է խմբավորված տվյալների հիման վրա և ունի ընդհանուր տեսք

,

որտեղ X i-ը միջինացված բնութագրիչի տարբերակն է (արժեքը) կամ այն ​​միջակայքի միջին արժեքը, որով չափվում է տարբերակը.
մ – միջին աստիճանի ինդեքս;
f i – հաճախականություն, որը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է դա տեղի ունենում i-e արժեքըմիջինացման հատկանիշ.

Որպես օրինակ բերենք 20 հոգանոց խմբում ուսանողների միջին տարիքի հաշվարկը.

Մենք հաշվարկում ենք միջին տարիքը՝ օգտագործելով պարզ միջին բանաձևը.

Խմբավորենք աղբյուրի տվյալները։ Մենք ստանում ենք հաջորդ շարքըբաշխումներ:

Խմբավորման արդյունքում ստանում ենք նոր ցուցանիշ՝ հաճախականություն՝ նշելով X տարեկան աշակերտների թիվը։ Հետևաբար, խմբում սովորողների միջին տարիքը կհաշվարկվի միջին կշռված բանաձևով.

Հզորության միջինների հաշվարկման ընդհանուր բանաձևերը ունեն աստիճան (m): Կախված այն արժեքից, որը վերցնում է, առանձնանում են էներգիայի միջինների հետևյալ տեսակները.
ներդաշնակ միջին, եթե m = -1;
երկրաչափական միջին, եթե m –> 0;
միջին թվաբանական, եթե m = 1;
միջին քառակուսի, եթե m = 2;
միջին խորանարդ, եթե m = 3:

Միջին հզորության բանաձևերը տրված են Աղյուսակում: 4.4.

Եթե ​​հաշվարկեք բոլոր տեսակի միջինները նույն նախնական տվյալների համար, ապա դրանց արժեքները տարբեր կլինեն: Այստեղ կիրառվում է միջինների մեծամասնության կանոնը՝ երբ մեծանում է m ցուցանիշը, համապատասխան միջին արժեքը նույնպես մեծանում է.

Վիճակագրական պրակտիկայում թվաբանական և ներդաշնակ կշռված միջոցներն ավելի հաճախ են օգտագործվում, քան միջին կշռվածների այլ տեսակներ:

Աղյուսակ 5.1

Ուժային միջոցների տեսակները

Իշխանության տեսակ միջին	Ցուցանիշ աստիճան (մ)	Հաշվարկի բանաձև
		Պարզ	կշռված
Հարմոնիկ	-1
Երկրաչափական	0
Թվաբանություն	1
Քառակուսի	2
խորանարդ	3

Ներդաշնակ միջինն ավելին ունի համալիր դիզայնքան միջին թվաբանականը։ Հարմոնիկ միջինը օգտագործվում է հաշվարկների համար, երբ որպես կշիռներ օգտագործվում են ոչ թե բնակչության միավորները՝ հատկանիշի կրողները, այլ այդ միավորների արտադրյալը բնութագրիչի արժեքներով (այսինքն m = Xf): Միջին ներդաշնակ պարզին պետք է դիմել, օրինակ՝ աշխատանքի, ժամանակի, նյութերի միջին արժեքը արտադրության միավորի համար, մեկ մասի համար երկու (երեք, չորս և այլն) ձեռնարկությունների, արտադրությամբ զբաղվող աշխատողների համար։ նույնի ապրանքի տեսակը, նույն մաս, ապրանք.

Միջին արժեքի հաշվարկման բանաձևի հիմնական պահանջն այն է, որ հաշվարկի բոլոր փուլերն ունենան իրական իմաստալից հիմնավորում. ստացված միջինը պետք է փոխարինի անհատական ​​արժեքներյուրաքանչյուր օբյեկտի համար հատկանշական՝ առանց խաթարելու անհատական ​​և ամփոփ ցուցանիշների միջև կապը: Այլ կերպ ասած, միջին արժեքը պետք է հաշվարկվի այնպես, որ երբ միջինացված ցուցանիշի յուրաքանչյուր առանձին արժեք փոխարինվի իր միջին արժեքով, որոշ վերջնական ամփոփ ցուցանիշ մնա անփոփոխ, հարակից թեմակամ այլ կերպ միջինացվածի հետ։ Այս ընդհանուրը կոչվում է սահմանելովքանի որ առանձին արժեքների հետ դրա հարաբերությունների բնույթը որոշում է միջին արժեքը հաշվարկելու հատուկ բանաձևը: Եկեք ցույց տանք այս կանոնը՝ օգտագործելով երկրաչափական միջինի օրինակը:

Երկրաչափական միջին բանաձև

առավել հաճախ օգտագործվում է անհատական ​​հարաբերական դինամիկայի հիման վրա միջին արժեքը հաշվարկելիս:

Երկրաչափական միջինն օգտագործվում է, եթե տրված է շղթայի հարաբերական դինամիկայի հաջորդականություն՝ նշելով, օրինակ, արտադրության աճը նախորդ տարվա մակարդակի համեմատ՝ i 1, i 2, i 3,..., i n։ Ակնհայտ է, որ արտադրության ծավալը մ անցած տարիորոշվում է դրա սկզբնական մակարդակով (q 0) և տարիների ընթացքում հետագա աճով.

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n.

Որպես որոշիչ ցուցիչ ընդունելով q n-ը և դինամիկայի ցուցիչների առանձին արժեքները փոխարինելով միջին արժեքներով՝ հանգում ենք հարաբերությանը.

Այստեղից

5.3. Կառուցվածքային միջիններ

Ուսումնասիրության համար օգտագործվում է միջինների հատուկ տեսակ՝ կառուցվածքային միջիններ ներքին կառուցվածքըհատկանիշի արժեքների բաշխման շարքը, ինչպես նաև միջին արժեքը (հզորության տեսակը) գնահատելու համար, եթե դրա հաշվարկը հնարավոր չէ իրականացնել առկա վիճակագրական տվյալների համաձայն (օրինակ, եթե դիտարկված օրինակում երկու ծավալի վերաբերյալ էլ տվյալներ չեն եղել. արտադրության և ձեռնարկությունների խմբերի ծախսերի չափը):

Ցուցանիշներն առավել հաճախ օգտագործվում են որպես կառուցվածքային միջիններ նորաձևություն -հատկանիշի ամենահաճախ կրկնվող արժեքը – and միջիններ -բնութագրիչի արժեքը, որը բաժանում է իր արժեքների պատվիրված հաջորդականությունը երկու հավասար մասերի: Արդյունքում, պոպուլյացիայի միավորների մի կեսի համար հատկանիշի արժեքը չի գերազանցում մեդիանային մակարդակը, իսկ մյուս կեսի համար՝ դրանից ոչ պակաս։

Եթե ​​ուսումնասիրվող բնութագիրը ունի դիսկրետ արժեքներ, ապա ռեժիմը և մեդիանը հաշվարկելիս առանձնակի դժվարություններ չկան: Եթե ​​X հատկանիշի արժեքների վերաբերյալ տվյալները ներկայացվում են դրա փոփոխության պատվիրված միջակայքերի (ինտերվալների շարքի) տեսքով, ապա ռեժիմի և մեդիանայի հաշվարկը որոշ չափով ավելի բարդ է դառնում: Քանի որ մեդիանային արժեքը ամբողջ պոպուլյացիան բաժանում է երկու հավասար մասերի, այն հայտնվում է X բնորոշ ինտերվալներից մեկում: Ինտերպոլացիայի միջոցով մեդիանայի արժեքը հայտնաբերվում է այս մեդինդալում.

,

որտեղ X Me-ը միջին միջակայքի ստորին սահմանն է.
h Me – դրա արժեքը;
(Գումարը մ)/2 – կեսը ընդհանուր թիվըդիտարկումներ կամ ցուցիչի ծավալի կեսը, որն օգտագործվում է որպես կշռում միջին արժեքի հաշվարկման բանաձևերում (բացարձակ կամ հարաբերական առումով).
S Me-1 – դիտումների գումարը (կամ կշռման հատկանիշի ծավալը) կուտակված մինչև մեդիանային միջակայքի սկիզբը.
m Me – դիտարկումների թիվը կամ կշռման բնութագրիչի ծավալը մեդիանային միջակայքում (նաև բացարձակ կամ հարաբերական թվերով):

Մեր օրինակում կարելի է ձեռք բերել նույնիսկ երեք միջին արժեք՝ հիմնված ձեռնարկությունների քանակի, արտադրության ծավալի և բնութագրերի վրա. ընդհանուր գումարըարտադրության ծախսերը.

Այսպիսով, ձեռնարկությունների կեսում արտադրության միավորի արժեքը գերազանցում է 125,19 հազար ռուբլին, արտադրանքի ընդհանուր ծավալի կեսը արտադրվում է մեկ ապրանքի արժեքով ավելի քան 124,79 հազար ռուբլի: իսկ ընդհանուր ծախսերի 50%-ը ձևավորվում է, երբ մեկ ապրանքի արժեքը գերազանցում է 125,07 հազար ռուբլին։ Նկատի ունեցեք նաև, որ որոշակի միտում կա արժեքի աճի նկատմամբ, քանի որ Me 2 = 124,79 հազար ռուբլի, իսկ միջին մակարդակը 123,15 հազար ռուբլի է:

Ինտերվալային շարքի տվյալների հիման վրա բնութագրիչի մոդալ արժեքը հաշվարկելիս անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել այն փաստին, որ միջակայքերը նույնական են, քանի որ X-ի բնութագրիչի արժեքների կրկնելիության ցուցանիշը կախված է դրանից հավասար ընդմիջումներով ինտերվալային շարք, ռեժիմի մեծությունը որոշվում է որպես

որտեղ X Mo-ը մոդալ միջակայքի ստորին արժեքն է.
m Mo – մոդալ ինտերվալում կշռման բնութագրիչի դիտարկումների քանակը կամ ծավալը (բացարձակ կամ հարաբերական թվերով).
m Mo -1 – նույնը մոդալին նախորդող միջակայքի համար.
m Mo+1 – նույնը մոդալին հաջորդող միջակայքի համար;
h – խմբերում բնութագրի փոփոխության միջակայքի արժեքը:

Մեր օրինակի համար մենք կարող ենք հաշվարկել երեքը մոդալ իմաստներձեռնարկությունների քանակի, արտադրության ծավալի և ծախսերի քանակի հիման վրա։ Բոլոր երեք դեպքերում մոդալային միջակայքը նույնն է, քանի որ նույն ինտերվալի համար ձեռնարկությունների թիվը, արտադրության ծավալը և արտադրության ծախսերի ընդհանուր գումարը ամենամեծն են.

Այսպիսով, ամենից հաճախ կան ձեռնարկություններ, որոնց արժեքը կազմում է 126,75 հազար ռուբլի, ամենից հաճախ արտադրանքը արտադրվում է 126,69 հազար ռուբլի ինքնարժեքով, և ամենից հաճախ արտադրության ծախսերը բացատրվում են 123,73 հազար ռուբլի ծախսերի մակարդակով:

5.4. Տատանումների ցուցանիշներ

Հատուկ պայմանները, որոնցում գտնվում է ուսումնասիրված օբյեկտներից յուրաքանչյուրը, ինչպես նաև դրանց առանձնահատկությունները սեփական զարգացում(սոցիալական, տնտեսական և այլն) արտահայտվում են վիճակագրական ցուցանիշների համապատասխան թվային մակարդակներով։ Այսպիսով, տատանումներ,դրանք. նույն ցուցանիշի մակարդակների միջև անհամապատասխանությունը տարբեր առարկաներ, ունի օբյեկտիվ բնույթ եւ օգնում է հասկանալ ուսումնասիրվող երեւույթի էությունը։

Կան մի քանի մեթոդներ, որոնք օգտագործվում են վիճակագրության տատանումները չափելու համար:

Ամենապարզը ցուցանիշը հաշվարկելն է տատանումների շրջանակ H որպես բնութագրիչի առավելագույն (X max) և նվազագույն (X min) դիտարկված արժեքների տարբերություն.

H=X max - X min .

Այնուամենայնիվ, տատանումների շրջանակը ցույց է տալիս հատկանիշի միայն ծայրահեղ արժեքները: Այստեղ հաշվի չի առնվում միջանկյալ արժեքների կրկնելիությունը:

Ավելի խիստ բնութագրիչները փոփոխականության ցուցիչներն են՝ կապված հատկանիշի միջին մակարդակի հետ: Այս տեսակի ամենապարզ ցուցանիշն է միջին գծային շեղում L որպես միջին թվաբանական արժեքըԲնութագրի բացարձակ շեղումները նրա միջին մակարդակից.

Եթե ​​X-ի առանձին արժեքները կրկնվող են, օգտագործեք բանաձևը թվաբանական միջինկշռված:

(Հիշեք դա հանրահաշվական գումարմիջին մակարդակից շեղումները զրո են։)

Գտնվել է միջին գծային շեղումը լայն կիրառությունպրակտիկայի վրա։ Նրա օգնությամբ, օրինակ, վերլուծվում են աշխատողների կազմը, արտադրության ռիթմը, նյութերի մատակարարումների միատեսակությունը, մշակվում են նյութական խրախուսման համակարգեր։ Բայց, ցավոք, այս ցուցանիշը բարդացնում է հավանականական հաշվարկները և բարդացնում մաթեմատիկական վիճակագրության մեթոդների կիրառումը։ Հետեւաբար, վիճակագրական գիտական ​​հետազոտությունտատանումները չափելու համար ամենից հաճախ օգտագործվող ցուցանիշն է շեղումներ.

Բնութագրի (ներ 2) շեղումը որոշվում է քառակուսի հզորության միջինի հիման վրա.

.

Այն ցուցիչը, որը հավասար է, կոչվում է ստանդարտ շեղում.

Վիճակագրության ընդհանուր տեսության մեջ դիսպերսիայի ցուցիչը համանուն հավանականության տեսության ցուցիչի գնահատումն է և (որպես քառակուսի շեղումների գումար) մաթեմատիկական վիճակագրության դիսպերսիայի գնահատումը, ինչը հնարավորություն է տալիս օգտագործել սույն դրույթները։ սոցիալ-տնտեսական գործընթացների վերլուծության տեսական առարկաներ։

Եթե ​​տատանումները գնահատվում են անսահմանափակ պոպուլյացիայից վերցված փոքր թվով դիտարկումներից, ապա բնութագրիչի միջին արժեքը որոշվում է որոշակի սխալով: Ստացվում է, որ ցրվածության հաշվարկված արժեքը տեղափոխվում է նվազման: Անկողմնակալ գնահատում ստանալու համար նախկինում տրված բանաձևերի միջոցով ստացված նմուշի շեղումը պետք է բազմապատկվի n / (n - 1) արժեքով: Արդյունքում, փոքր թվով դիտարկումներով (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Սովորաբար, արդեն n > (15÷20) համար կողմնակալ և անաչառ գնահատականների միջև անհամապատասխանությունը դառնում է աննշան: Նույն պատճառով շեղումներ ավելացնելու բանաձևում կողմնակալությունը սովորաբար հաշվի չի առնվում:

Եթե ​​ընդհանուր պոպուլյացիայից վերցվում են մի քանի նմուշներ և ամեն անգամ որոշվում է որևէ հատկանիշի միջին արժեքը, ապա խնդիր է առաջանում գնահատել միջինների փոփոխականությունը։ Գնահատեք շեղումը միջին արժեքըդա հնարավոր է միայն մեկ նմուշի դիտարկման հիման վրա՝ օգտագործելով բանաձևը

,

որտեղ n-ը նմուշի չափն է. s 2 – նմուշի տվյալներից հաշվարկված բնութագրի շեղում:

Մեծություն կոչվում է միջին նմուշառման սխալև X հատկանիշի օրինակելի միջին արժեքի շեղման բնութագիրն է իր իրական միջին արժեքից: Միջին սխալի ցուցիչը օգտագործվում է նմուշի դիտարկման արդյունքների հավաստիությունը գնահատելու համար:

Հարաբերական ցրման ցուցանիշներ.Ուսումնասիրվող հատկանիշի փոփոխականության չափումը բնութագրելու համար փոփոխականության ցուցանիշները հաշվարկվում են հարաբերական արժեքներով: Նրանք հնարավորություն են տալիս համեմատել դիսպերսիայի բնույթը տարբեր բաշխումներում (նույն բնութագրի դիտարկման տարբեր միավորներ երկու պոպուլյացիաներում, տարբեր իմաստներմիջինները՝ տարբեր պոպուլյացիաների համեմատության ժամանակ): Հարաբերական ցրման չափման ցուցիչների հաշվարկն իրականացվում է որպես բացարձակ դիսպերսիայի ցուցանիշի հարաբերակցություն միջին թվաբանականին, բազմապատկված 100%-ով:

1. Տատանման գործակիցըարտացոլում է բնութագրի ծայրահեղ արժեքների հարաբերական տատանումները միջինի շուրջ

.

2. Հարաբերական գծային անջատումը բնութագրում է միջին արժեքից բացարձակ շեղումների նշանի միջին արժեքի համամասնությունը.

.

3. Տատանումների գործակից.

փոփոխականության ամենատարածված չափումն է, որն օգտագործվում է միջին արժեքների բնորոշությունը գնահատելու համար:

Վիճակագրության մեջ տարասեռ են համարվում 30–35%-ից ավելի տատանումների գործակից ունեցող պոպուլյացիաները։

Տատանումների գնահատման այս մեթոդը ունի նաև զգալի թերություն. Իսկապես, թող, օրինակ, 15 տարվա միջին փորձ ունեցող աշխատողների սկզբնական բնակչությունը, s = 10 տարվա ստանդարտ շեղումով, «ծերանա» ևս 15 տարով։ Այժմ = 30 տարի և միջին ստանդարտ շեղումդեռ հավասար է 10-ի: Նախկինում տարասեռ բնակչությունը (10/15 × 100 = 66,7%), այդպիսով ժամանակի ընթացքում բավականին միատարր է (10/30 × 100 = 33,3%):

Բոյարսկի Ա.Յա. Տեսական ուսումնասիրություններ վիճակագրության մեջ. Շաբ. Գիտական Տրուդով - Մ.: Վիճակագրություն, 1974 թ. էջ 19–57։

Միջինի ամենակարևոր հատկությունն այն է, որ այն արտացոլում է այն, ինչ ընդհանուր է ուսումնասիրվող բնակչության բոլոր միավորների համար: Բնակչության առանձին միավորների հատկանիշի արժեքները տարբերվում են բազմաթիվ գործոնների ազդեցության տակ, որոնց թվում կարող են լինել և՛ հիմնական, և՛ պատահական: Միջինի էությունը կայանում է նրանում, որ այն փոխադարձաբար փոխհատուցում է բնութագրիչի արժեքների շեղումները, որոնք առաջանում են պատահական գործոնների ազդեցությամբ, և կուտակում (հաշվի է առնում) փոփոխությունները, որոնք առաջանում են հիմնական գործոնների ազդեցությամբ: . Սա թույլ է տալիս միջինին արտացոլել հատկանիշի բնորոշ մակարդակը և վերացական լինել անհատական ​​հատկանիշներ, բնորոշ առանձին միավորներին:

Որպեսզի միջինն իսկապես ներկայացուցչական լինի, այն պետք է հաշվարկվի՝ հաշվի առնելով որոշակի սկզբունքներ։

Միջինների օգտագործման հիմնական սկզբունքները.

1. Միջինը պետք է որոշվի որակապես միատարր միավորներից բաղկացած պոպուլյացիաների համար:

2. Միջինը պետք է հաշվարկվի բավական մեծ թվով միավորներից բաղկացած բնակչության համար:

3. Բնակչության համար միջինը պետք է հաշվարկվի ստացիոնար պայմաններում (երբ ազդող գործոնները չեն փոխվում կամ էապես չեն փոխվում):

4. Միջինը պետք է հաշվարկվի՝ հաշվի առնելով ուսումնասիրվող ցուցանիշի տնտեսական բովանդակությունը։

Առավել կոնկրետ վիճակագրական ցուցանիշների հաշվարկը հիմնված է հետևյալի օգտագործման վրա.

· միջին ագրեգատ;

· միջին հզորություն (ներդաշնակ, երկրաչափական, թվաբանական, քառակուսի, խորանարդ);

· միջին ժամանակագրական (տես բաժինը):

Բոլոր միջինները, բացառությամբ համախառն միջինի, կարող են հաշվարկվել երկու եղանակով՝ կշռված կամ չկշռված:

Միջին ագրեգատ. Օգտագործված բանաձևը հետևյալն է.

Որտեղ w i= x i* զ i;

x i- i-րդ ​​տարբերակբնութագրիչը միջինացված է;

զ i, - քաշը ես-րդ տարբերակը.

Միջին հզորություն. IN ընդհանուր տեսարանհաշվարկման բանաձև.

որտեղ է աստիճանը կ- միջին հզորության տեսակը.

Միևնույն նախնական տվյալների համար հզորության միջինների հիման վրա հաշվարկված միջինների արժեքները նույնը չեն: Քանի որ k ցուցանիշը մեծանում է, համապատասխան միջին արժեքը նույնպես մեծանում է.

Միջին ժամանակագրական. Ամսաթվերի միջև հավասար ընդմիջումներով մի պահ ժամանակային շարքի համար այն հաշվարկվում է բանաձևով.

,

Որտեղ x 1Եվ Xnցուցիչի արժեքը սկզբի և ավարտի ամսաթվի դրությամբ.

Միջին հզորության հաշվարկման բանաձևեր

Օրինակ։ Ըստ աղյուսակի. 2.1-ը պահանջում է ընդհանուր առմամբ երեք ձեռնարկությունների միջին աշխատավարձի հաշվարկը:

Աղյուսակ 2.1

ԲԸ ձեռնարկությունների աշխատավարձերը

Կոնկրետ հաշվարկման բանաձևկախված է նրանից, թե ինչ տվյալներ են աղյուսակում: 7-ը բնօրինակներն են։ Համապատասխանաբար, հնարավոր են հետևյալ տարբերակները՝ 1-ին (աշխատողների թիվը) և 2-րդ (ամսական աշխատավարձ) սյունակների տվյալները. կամ - 1 (ՊՄԳ թիվը) և 3 (միջին աշխատավարձ); կամ 2 (ամսական աշխատավարձ) և 3 (միջին աշխատավարձ):

Եթե ​​հասանելի են միայն 1-ին և 2-րդ սյունակների տվյալները. Այս սյունակների արդյունքները պարունակում են անհրաժեշտ արժեքներ ցանկալի միջինը հաշվարկելու համար: Միջին ագրեգատային բանաձևը օգտագործվում է.

Եթե ​​հասանելի են միայն 1-ին և 3-րդ սյունակների տվյալները, ապա սկզբնական հարաբերակցության հայտարարը հայտնի է, բայց նրա համարիչը հայտնի չէ։ Այնուամենայնիվ, աշխատավարձի ֆոնդը կարելի է ստանալ՝ միջին աշխատավարձը բազմապատկելով դասախոսների թվով: Հետևաբար, ընդհանուր միջինը կարելի է հաշվարկել բանաձևով թվաբանական միջին կշռված:

Պետք է հաշվի առնել, որ քաշը ( զ i) որոշ դեպքերում կարող է լինել երկու կամ նույնիսկ երեք արժեքների արտադրյալ:

Բացի այդ, միջինը կիրառվում է նաև վիճակագրական պրակտիկայում։ թվաբանություն՝ չկշռված:

որտեղ n-ը բնակչության ծավալն է:

Այս միջինը օգտագործվում է, երբ կշիռները ( զ i) բացակայում են (բնութագրի յուրաքանչյուր տարբերակ հանդիպում է միայն մեկ անգամ) կամ հավասար են միմյանց։

Եթե ​​կան միայն տվյալներ 2-րդ և 3-րդ սյունակներից:, այսինքն՝ սկզբնական հարաբերակցության համարիչը հայտնի է, բայց նրա հայտարարը հայտնի չէ։ Յուրաքանչյուր ձեռնարկության աշխատողների թիվը կարելի է ստանալ՝ բաժանելով աշխատավարձը միջին աշխատավարձի վրա։ Այնուհետև երեք ձեռնարկությունների միջին աշխատավարձը հաշվարկվում է բանաձևով կշռված ներդաշնակ միջին:

Եթե ​​կշիռները հավասար են ( զ i) միջինի հաշվարկը կարող է կատարվել ներդաշնակ միջինը չկշռված.

Մեր օրինակում մենք օգտագործեցինք տարբեր ձևերմիջին, բայց ստացել է նույն պատասխանը: Դա պայմանավորված է նրանով, որ կոնկրետ տվյալների համար ամեն անգամ ներդրվել է միջինի նույն սկզբնական հարաբերակցությունը։

Միջին ցուցանիշները կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով դիսկրետ և միջակայքային տատանումների շարքեր: Այս դեպքում հաշվարկը կատարվում է օգտագործելով կշռված թվաբանական միջինը: Դիսկրետ շարքի համար այս բանաձևը օգտագործվում է նույն կերպ, ինչպես վերը նշված օրինակում: Ինտերվալային շարքում հաշվարկի համար որոշվում են միջակայքերի միջնակետերը:

Օրինակ։ Ըստ աղյուսակի. 2.2 մենք որոշում ենք պայմանական մարզում ամսական մեկ շնչի հաշվով միջին դրամական եկամտի չափը:

Աղյուսակ 2.2

Սկզբնական տվյալներ (տարբերակների շարք)

Excel-ում միջին արժեքը գտնելու համար (անկախ նրանից՝ դա թվային, տեքստային, տոկոսային կամ այլ արժեք է), կան բազմաթիվ գործառույթներ։ Եվ նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր առանձնահատկություններն ու առավելությունները: Իրոք, այս առաջադրանքում կարող են սահմանվել որոշակի պայմաններ։

Օրինակ, Excel-ում մի շարք թվերի միջին արժեքները հաշվարկվում են վիճակագրական գործառույթների միջոցով: Կարող եք նաև ձեռքով մուտքագրել ձեր սեփական բանաձևը: Դիտարկենք տարբեր տարբերակներ.

Ինչպե՞ս գտնել թվերի միջին թվաբանականը:

Միջին թվաբանականը գտնելու համար պետք է գումարել բազմության բոլոր թվերը և գումարը բաժանել քանակի վրա։ Օրինակ՝ աշակերտի գնահատականները համակարգչային գիտությունից՝ 3, 4, 3, 5, 5։ Ինչ է ներառված եռամսյակում՝ 4. Թվաբանական միջինը գտել ենք՝ օգտագործելով բանաձևը՝ =(3+4+3+5+5) /5.

Ինչպե՞ս արագ դա անել՝ օգտագործելով Excel գործառույթները: Օրինակ բերենք շարքը պատահական թվերշարքում:

Կամ՝ դարձրեք ակտիվ բջիջը և պարզապես ձեռքով մուտքագրեք բանաձևը՝ =AVERAGE(A1:A8):

Հիմա տեսնենք, թե էլ ինչ կարող է անել AVERAGE ֆունկցիան:

Գտնենք առաջին երկու և վերջին երեք թվերի միջին թվաբանականը։ Բանաձև՝ =ՄԻՋԻՆ (A1:B1,F1:H1): Արդյունք:

Վիճակը միջին

Միջին թվաբանականը գտնելու պայմանը կարող է լինել թվային չափանիշ կամ տեքստային: Մենք կօգտագործենք ֆունկցիան՝ =AVERAGEIF():

Գտե՛ք 10-ից մեծ կամ հավասար թվերի միջին թվաբանականը:

Ֆունկցիան՝ =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Երրորդ փաստարկը` «Միջին տիրույթը», բաց է թողնված: Նախ, դա պարտադիր չէ. Երկրորդ, ծրագրի կողմից վերլուծված միջակայքը պարունակում է ՄԻԱՅՆ թվային արժեքներ. Առաջին արգումենտում նշված բջիջները կփնտրվեն երկրորդ արգումենտում նշված պայմանի համաձայն:

Ուշադրություն.

Որոնման չափանիշը կարող է նշվել բջիջում: Եվ դրա հղումը դարձրեք բանաձևում:

Տեքստի չափանիշով գտնենք թվերի միջին արժեքը։ Օրինակ, ապրանքի միջին վաճառքի «աղյուսակներ»:

Ֆունկցիան կունենա հետևյալ տեսքը՝ =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12): Շրջանակ - ապրանքի անվանումներով սյունակ: Որոնման չափանիշը «աղյուսակներ» բառով բջիջի հղումն է (A7 հղման փոխարեն կարող եք տեղադրել «աղյուսակներ» բառը): Միջին տիրույթ - այն բջիջները, որոնցից տվյալները կվերցվեն միջին արժեքը հաշվարկելու համար:

Ֆունկցիան հաշվարկելու արդյունքում ստանում ենք հետևյալ արժեքը.

Ուշադրություն.

Տեքստի չափանիշի (պայմանի) համար պետք է նշվի միջինացման միջակայքը:

Ինչպե՞ս հաշվարկել միջին կշռված գինը Excel-ում:

Օգտագործելով SUMPRODUCT բանաձևը, մենք պարզում ենք ընդհանուր եկամուտը ապրանքների ամբողջ քանակությունը վաճառելուց հետո: Իսկ SUM ֆունկցիան ամփոփում է ապրանքների քանակը։ Ապրանքների վաճառքից ստացված ընդհանուր հասույթը ապրանքների միավորների ընդհանուր թվի վրա բաժանելով՝ գտանք միջին կշռված գինը։ Այս ցուցանիշը հաշվի է առնում յուրաքանչյուր գնի «կշիռը»: Նրա մասնաբաժինը արժեքների ընդհանուր զանգվածում։

Ստանդարտ շեղում. բանաձև Excel-ում

Կան ստանդարտ շեղումներ ընդհանուր բնակչության և ընտրանքի համար: Առաջին դեպքում սա ընդհանուր շեղման արմատն է: Երկրորդում՝ ընտրանքի շեղումից։

Այս վիճակագրական ցուցանիշը հաշվարկելու համար կազմվում է դիսպերսիայի բանաձև։ Արմատը հանվում է դրանից։ Բայց Excel-ում ստանդարտ շեղումը գտնելու պատրաստի ֆունկցիա կա։

Ստանդարտ շեղումը կապված է աղբյուրի տվյալների սանդղակի հետ: Սա բավարար չէ վերլուծված միջակայքի տատանումների պատկերավոր ներկայացման համար: Տվյալների ցրման հարաբերական մակարդակը ստանալու համար հաշվարկվում է տատանումների գործակիցը.

ստանդարտ շեղում / միջին թվաբանական

Excel-ի բանաձևը հետևյալն է.

STDEV (արժեքների միջակայք) / AVERAGE (արժեքների միջակայք):

Տատանումների գործակիցը հաշվարկվում է որպես տոկոս: Հետևաբար, մենք վանդակում սահմանում ենք տոկոսային ձևաչափը:

Վիճակագրական ագրեգատների միավորների բնութագրերն իրենց նշանակությամբ տարբեր են, օրինակ՝ ձեռնարկության միևնույն մասնագիտության աշխատողների աշխատավարձը նույն ժամանակահատվածի համար նույնը չէ, նույն ապրանքների շուկայական գները, շրջանի բերքատվությունը. ֆերմերային տնտեսություններ և այլն: Հետևաբար, բնութագրիչի արժեքը որոշելու համար, որը բնորոշ է ուսումնասիրվող միավորների ամբողջ բնակչությանը, հաշվարկվում են միջին արժեքները:
միջին արժեքը – սա որոշակի քանակական բնութագրի անհատական ​​արժեքների մի շարք ընդհանրացնող բնութագիր է:

Քանակական հիմունքներով ուսումնասիրված բնակչությունը բաղկացած է անհատական ​​արժեքներից. նրանք ազդված են ընդհանուր պատճառներ, և անհատական ​​պայմաններ: Միջին արժեքում անհատական ​​արժեքներին բնորոշ շեղումները չեղյալ են հայտարարվում: Միջինը, լինելով առանձին արժեքների բազմության ֆունկցիա, ներկայացնում է ամբողջ ագրեգատը մեկ արժեքով և արտացոլում է այն, ինչ ընդհանուր է նրա բոլոր միավորների համար:

Որակական միատարր միավորներից բաղկացած պոպուլյացիաների համար հաշվարկված միջինը կոչվում է բնորոշ միջին. Օրինակ, կարող եք հաշվարկել որոշակի մասնագիտական ​​խմբի աշխատակցի (հանքագործ, բժիշկ, գրադարանավար) միջին ամսական աշխատավարձը: Իհարկե, հանքագործների ամսական աշխատավարձի մակարդակները, պայմանավորված նրանց որակավորումների, աշխատանքային ստաժի, ամսական աշխատած ժամանակի և բազմաթիվ այլ գործոններով, տարբերվում են միմյանցից և միջին աշխատավարձի մակարդակից։ Այնուամենայնիվ, միջին մակարդակը արտացոլում է հիմնական գործոնները, որոնք ազդում են աշխատավարձի մակարդակի վրա, և աշխատողի անհատական ​​\u200b\u200bբնութագրերի պատճառով առաջացող տարբերությունները չեղյալ են հայտարարվում: Միջին աշխատավարձը արտացոլում է տվյալ տեսակի աշխատողի վարձատրության բնորոշ մակարդակը: Տիպիկ միջինի ստացմանը պետք է նախորդի տվյալ բնակչությունը որակապես միատարր լինելու վերլուծությունը: Եթե ​​հավաքածուն բաղկացած է դրանցից առանձին մասեր, այն պետք է բաժանել բնորոշ խմբերի (միջին ջերմաստիճանը հիվանդանոցում)։

Միջին արժեքները, որոնք օգտագործվում են որպես տարասեռ պոպուլյացիաների բնութագրիչներ, կոչվում են համակարգի միջին ցուցանիշները. Օրինակ՝ մեկ շնչի հաշվով միջին համախառն ներքին արդյունքը (ՀՆԱ), միջին սպառումը տարբեր խմբերապրանքներ մեկ անձի համար և նմանատիպ այլ արժեքներ, որոնք ներկայացնում են պետության ընդհանուր բնութագրերը որպես միասնական տնտեսական համակարգ:

Միջինը պետք է հաշվարկվի բավականաչափ մեծ թվով միավորներից բաղկացած պոպուլյացիաների համար: Այս պայմանին համապատասխանելը անհրաժեշտ է մեծ թվերի օրենքի ուժի մեջ մտնելու համար, որի արդյունքում առանձին արժեքների պատահական շեղումները ընդհանուր միտումից փոխադարձաբար չեղարկվում են:

Միջինների տեսակները և դրանց հաշվարկման մեթոդները

Միջին տեսակի ընտրությունը որոշվում է որոշակի ցուցանիշի տնտեսական բովանդակությամբ և աղբյուրի տվյալներով: Այնուամենայնիվ, ցանկացած միջին արժեք պետք է հաշվարկվի այնպես, որ երբ այն փոխարինում է միջինացված բնութագրիչի յուրաքանչյուր տարբերակին, վերջնականը, ընդհանրացնողը կամ, ինչպես սովորաբար կոչվում է, չփոխվի։ սահմանող ցուցանիշ, որը կապված է միջինացված ցուցանիշի հետ։ Օրինակ, երբ ուղու առանձին հատվածներում իրական արագությունները փոխարինվում են իրենց միջին արագությամբ, անցած ընդհանուր տարածությունը չպետք է փոխվի: փոխադրամիջոցմիեւնույն ժամանակ; ձեռնարկության առանձին աշխատողների փաստացի աշխատավարձը միջին աշխատավարձով փոխարինելիս աշխատավարձի ֆոնդը չպետք է փոխվի: Հետևաբար, յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում, կախված առկա տվյալների բնույթից, կա միայն մեկ իրական միջին արժեք, որը համարժեք է ուսումնասիրվող սոցիալ-տնտեսական երևույթի հատկություններին և էությանը:
Առավել հաճախ օգտագործվում են միջին թվաբանականը, ներդաշնակ միջինը, երկրաչափական միջինը, քառակուսի միջինը և միջին խորանարդը:
Թվարկված միջին ցուցանիշները պատկանում են դասին հանգստացնողմիջինները և համակցված են ընդհանուր բանաձևով.
,
որտեղ է ուսումնասիրվող հատկանիշի միջին արժեքը.
մ – միջին աստիճանի ինդեքս;
– միջինացված բնութագրիչի ընթացիկ արժեքը (տարբերակը).
n - հատկանիշների քանակը:
Կախված m ցուցանիշի արժեքից՝ առանձնանում են հզորության միջինների հետևյալ տեսակները.
երբ m = -1 - ներդաշնակ միջին;
m = 0 - երկրաչափական միջին;
m = 1-ի համար – թվաբանական միջին;
m = 2 - արմատի միջին քառակուսի;
m = 3 – միջին խորանարդ:
Նույն սկզբնական տվյալներն օգտագործելիս, որքան մեծ է m ցուցանիշը վերը նշված բանաձևում, այնքան ավելի արժեքմիջին չափը:
.
Միջին ուժի այս հատկությունը, որը մեծանում է որոշիչ ֆունկցիայի ցուցիչի աճով, կոչվում է միջինների մեծամասնության կանոնը.
Նշված միջիններից յուրաքանչյուրը կարող է ունենալ երկու ձև. պարզԵվ կշռված.
Պարզ միջին ձևօգտագործվում է, երբ միջինը հաշվարկվում է առաջնային (չխմբավորված) տվյալներից: Կշռված ձև– երկրորդական (խմբային) տվյալների հիման վրա միջինը հաշվարկելիս:

Թվաբանական միջին

Թվաբանական միջինը օգտագործվում է, երբ բնակչության ծավալը տարբեր բնութագրիչի բոլոր առանձին արժեքների գումարն է: Հարկ է նշել, որ եթե միջինի տեսակը չի նշվում, ապա ենթադրվում է միջին թվաբանական։ Դրա տրամաբանական բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

Պարզ թվաբանական միջինհաշվարկված հիմնված չխմբավորված տվյալների վրա ըստ բանաձևի.
կամ ,
որտեղ են բնութագրի անհատական ​​արժեքները.
j-ը դիտարկման միավորի սերիական համարն է, որը բնութագրվում է արժեքով.
N – դիտորդական միավորների քանակը (բնակչության ծավալը):
Օրինակ։«Վիճակագրական տվյալների ամփոփում և խմբավորում» դասախոսությունը ուսումնասիրել է 10 հոգանոց թիմի աշխատանքային փորձի դիտարկման արդյունքները։ Հաշվենք թիմի աշխատողների միջին աշխատանքային ստաժը։ 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4:

Օգտագործելով պարզ թվաբանական միջին բանաձևը, մենք կարող ենք նաև հաշվարկել միջինները ժամանակագրական շարքերում, եթե ժամանակային ընդմիջումները, որոնց համար ներկայացված են բնորոշ արժեքները, հավասար են:
Օրինակ։Առաջին եռամսյակում իրացված ապրանքների ծավալը կազմել է 47 դրամ։ միավոր, երկրորդի համար՝ 54, երրորդի համար՝ 65, չորրորդի համար՝ 58 դեն։ միավորներ Միջին եռամսյակային շրջանառությունը (47+54+65+58)/4 = 56 դն. միավորներ
Եթե ​​ակնթարթային ցուցանիշները տրվում են ժամանակագրական շարքով, ապա միջինը հաշվարկելիս դրանք փոխարինվում են ժամանակաշրջանի սկզբի և վերջի արժեքների կիսագումարներով:
Եթե ​​կան ավելի քան երկու պահեր, և դրանց միջև ընդմիջումները հավասար են, ապա միջինը հաշվարկվում է միջին ժամանակագրական բանաձևով.

,
որտեղ n-ը ժամանակային կետերի թիվն է
Այն դեպքում, երբ տվյալները խմբավորվում են ըստ բնորոշ արժեքների (այսինքն՝ կառուցվել է դիսկրետ տատանումների բաշխման շարք) հետ թվաբանական միջին կշռվածհաշվարկված՝ օգտագործելով կամ հաճախականությունները կամ բնութագրիչի հատուկ արժեքների դիտարկման հաճախականությունները, որոնց թիվը (k) նշանակալի է քիչ թիվդիտարկումներ (N) .
,
,
որտեղ k-ը տատանումների շարքի խմբերի թիվն է,
i – տատանումների շարքի խմբի համարը:
Քանի որ, a, մենք ստանում ենք գործնական հաշվարկների համար օգտագործվող բանաձևերը.
Եվ
Օրինակ։Եկեք հաշվարկենք աշխատանքային թիմերի միջին ստաժը խմբավորված շարքով:
ա) հաճախականություններ օգտագործելով.

բ) հաճախականություններ օգտագործելով.

Այն դեպքում, երբ տվյալները խմբավորված են ընդմիջումներով , այսինքն. ներկայացվում են միջակայքի բաշխման շարքերի տեսքով միջին թվաբանականը հաշվարկելիս, որպես բնութագրիչի արժեք ընդունվում է միջակայքի միջինը՝ ելնելով այն ենթադրությունից, որ. միասնական բաշխումբնակչության միավորները տվյալ ընդմիջումով: Հաշվարկն իրականացվում է բանաձևերի միջոցով.
Եվ
որտեղ է միջակայքի միջինը.
որտեղ և են միջակայքերի ստորին և վերին սահմանները (պայմանով, որ տվյալ ինտերվալի վերին սահմանը համընկնում է հաջորդ միջակայքի ստորին սահմանի հետ):

Օրինակ։Հաշվարկենք 30 աշխատողների տարեկան աշխատավարձի ուսումնասիրության արդյունքների հիման վրա կառուցված միջակայքային տատանումների շարքի միջին թվաբանականը (տե՛ս «Վիճակագրական տվյալների ամփոփում և խմբավորում» դասախոսությունը):
Աղյուսակ 1 – Ինտերվալային տատանումների շարքի բաշխում:

UAH կամ UAH
Աղբյուրի տվյալների և միջակայքի տատանումների շարքերի հիման վրա հաշվարկված թվաբանական միջոցները կարող են չհամընկնել միջակայքում ատրիբուտների արժեքների անհավասար բաշխման պատճառով: Այս դեպքում, կշռված թվաբանական միջինի ավելի ճշգրիտ հաշվարկի համար պետք է օգտագործել ոչ թե միջակայքերի միջինները, այլ յուրաքանչյուր խմբի համար հաշվարկված պարզ թվաբանական միջինները ( խմբի միջին ցուցանիշները). Խմբային միջոցներից հաշվարկված միջինը կշռված հաշվարկման բանաձևով կոչվում է ընդհանուր միջին.
Միջին թվաբանականն ունի մի շարք հատկություններ.
1. Միջին տարբերակից շեղումների գումարը զրո է.
.
2. Եթե օպցիոնի բոլոր արժեքները մեծանում կամ նվազում են A չափով, ապա միջին արժեքը մեծանում կամ նվազում է նույն չափով A.

3. Եթե յուրաքանչյուր տարբերակ ավելացվի կամ նվազեցվի B անգամ, ապա միջին արժեքը նույնպես կաճի կամ կնվազի նույնքան անգամ.
կամ
4. Օպցիոնի արտադրյալների գումարն ըստ հաճախականության հավասար է միջին արժեքի արտադրյալին հաճախականությունների գումարով.

5. Եթե բոլոր հաճախականությունները բաժանվեն կամ բազմապատկվեն որեւէ թվով, ապա միջին թվաբանականը չի փոխվի.

6) եթե բոլոր ինտերվալներում հաճախականությունները հավասար են միմյանց, ապա կշռված թվաբանական միջինը հավասար է պարզ թվաբանական միջինին.
,
որտեղ k-ը տատանումների շարքի խմբերի թիվն է:

Միջինի հատկությունների օգտագործումը թույլ է տալիս պարզեցնել դրա հաշվարկը:
Ենթադրենք, որ բոլոր տարբերակները (x) սկզբում կրճատվում են նույն A թվով, իսկ հետո կրճատվում են B գործակցով։ Առավելագույն պարզեցում է ձեռք բերվում, երբ ամենաբարձր հաճախականությամբ ինտերվալի միջին արժեքն ընտրվում է որպես A, իսկ միջակայքի արժեքը (նույն ինտերվալներով շարքերի համար)՝ B։ A մեծությունը կոչվում է ծագում, ուստի միջինը հաշվարկելու այս մեթոդը կոչվում է ճանապարհբ ohm հղում պայմանական զրոյիցկամ պահերի ճանապարհը.
Նման փոխակերպումից հետո մենք ստանում ենք նոր փոփոխական բաշխման շարք, որի տարբերակները հավասար են . Նրանց թվաբանական միջինը, որը կոչվում է առաջին պատվերի պահը,արտահայտվում է բանաձևով և, ըստ երկրորդ և երրորդ հատկությունների, միջին թվաբանականը հավասար է սկզբնական տարբերակի միջինին՝ կրճատվելով սկզբում A-ով, ապա B-ով, այսինքն.
ստանալու համար իրական միջին(բնօրինակ շարքի միջինը) անհրաժեշտ է առաջին կարգի պահը բազմապատկել B-ով և ավելացնել A.

Միջին թվաբանականի հաշվարկը մոմենտների մեթոդով ցույց է տրված աղյուսակի տվյալներով: 2.
Աղյուսակ 2 – Գործարանի խանութների աշխատողների բաշխումն ըստ աշխատանքային ստաժի

Գտնելով առաջին կարգի պահը . Այնուհետև, իմանալով, որ A = 17,5 և B = 5, մենք հաշվարկում ենք արտադրամասի աշխատողների միջին ստաժը.
տարիներ

Հարմոնիկ միջին
Ինչպես ցույց է տրված վերևում, միջին թվաբանականը օգտագործվում է բնութագրիչի միջին արժեքը հաշվարկելու համար այն դեպքերում, երբ հայտնի են նրա x տարբերակները և դրանց հաճախականությունները f:
Եթե ​​վիճակագրական տեղեկատվությունը չի պարունակում f հաճախականություններ բնակչության x առանձին տարբերակների համար, այլ ներկայացված է որպես դրանց արտադրանք, ապա կիրառվում է բանաձևը. կշռված ներդաշնակ միջին. Միջինը հաշվարկելու համար նշենք, թե որտեղ . Փոխարինելով այս արտահայտությունները թվաբանական կշռված միջինի բանաձևով, մենք ստանում ենք ներդաշնակ կշռված միջինի բանաձևը.
,
որտեղ է ցուցիչի հատկանիշի արժեքների ծավալը (քաշը) i համարակալված միջակայքում (i=1,2,…, k):

Այսպիսով, ներդաշնակ միջինը օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ գումարման ենթակա են ոչ թե ընտրանքները, այլ դրանց փոխադարձները. .
Այն դեպքերում, երբ յուրաքանչյուր տարբերակի կշիռը հավասար է մեկի, այսինքն. հակադարձ բնութագրի անհատական ​​արժեքները տեղի են ունենում մեկ անգամ, կիրառվում են նշանակում է ներդաշնակ պարզ:
,
որտեղ կան հակադարձ բնութագրիչի առանձին տարբերակներ, որոնք տեղի են ունենում մեկ անգամ.
N - թվային տարբերակ:
Եթե ​​կան ներդաշնակ միջիններ բնակչության երկու մասի համար, ապա ամբողջ բնակչության համար ընդհանուր միջինը հաշվարկվում է բանաձևով.

և կոչվում է Խմբային միջոցների կշռված ներդաշնակ միջինը.

Օրինակ։Արտարժույթի բորսայում առևտրի ընթացքում աշխատանքի առաջին ժամում կնքվել է երեք գործարք. Գրիվնայի վաճառքի ծավալի և ԱՄՆ դոլարի նկատմամբ գրիվնայի փոխարժեքի վերաբերյալ տվյալները բերված են աղյուսակում: 3 (սյունակներ 2 և 3): Որոշեք գրիվնայի միջին փոխարժեքը ԱՄՆ դոլարի նկատմամբ առևտրի առաջին ժամի համար:
Աղյուսակ 3. Տվյալներ արտարժույթով առևտրի ընթացքի վերաբերյալ

Դոլարի միջին փոխարժեքը որոշվում է բոլոր գործարքների ընթացքում վաճառված գրիվնայի քանակի և նույն գործարքների արդյունքում ձեռք բերված դոլարի հարաբերակցությամբ։ Գրիվնայի վաճառքի վերջնական գումարը հայտնի է աղյուսակի 2-րդ սյունակից, և յուրաքանչյուր գործարքում գնված դոլարի քանակը որոշվում է՝ գրիվնայի վաճառքի գումարը բաժանելով փոխարժեքի վրա (սյունակ 4): Երեք գործարքների ընթացքում ձեռք է բերվել ընդհանուր առմամբ 22 մլն դոլար։ Սա նշանակում է, որ գրիվնայի միջին փոխարժեքը մեկ դոլարի դիմաց եղել է
.
Ստացված արժեքը իրական է, քանի որ Գործարքներում գրիվնայի փաստացի փոխարժեքով փոխարինելը չի ​​փոխի գրիվնայի վաճառքի վերջնական գումարը, որը ծառայում է որպես. սահմանող ցուցանիշ: միլիոն UAH
Եթե ​​հաշվարկի համար օգտագործվել է միջին թվաբանականը, այսինքն. գրիվնա, ապա 22 մլն դոլարի գնման փոխարժեքով։ անհրաժեշտ կլիներ ծախսել 110,66 մլն UAH, ինչը ճիշտ չէ։

Երկրաչափական միջին
Երկրաչափական միջինն օգտագործվում է երևույթների դինամիկան վերլուծելու համար և թույլ է տալիս որոշել միջին աճի գործակիցը։ Երկրաչափական միջինը հաշվարկելիս բնութագրիչի առանձին արժեքները դինամիկայի հարաբերական ցուցիչներ են, որոնք կառուցված են շղթայական արժեքների տեսքով, որպես յուրաքանչյուր մակարդակի հարաբերակցությունը նախորդին:
Պարզ երկրաչափական միջինը հաշվարկվում է բանաձևով.
,
որտեղ է ապրանքի նշանը,
N - միջինացված արժեքների քանակը:
Օրինակ։ 4 տարվա ընթացքում գրանցված հանցագործությունների թիվն աճել է 1,57 անգամ, այդ թվում՝ 1-ին՝ 1,08, 2-ին՝ 1,1, 3-ին՝ 1,18, 4-ին՝ 1,12 անգամ։ Այնուհետև հանցագործությունների թվի միջին տարեկան աճի տեմպը հետևյալն է. գրանցված հանցագործությունների թիվը տարեկան աճել է միջինը 12%-ով։

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96