Թվաբանական առաջընթացանվանել թվերի հաջորդականություն (առաջընթացի պայմաններ)

Որում յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը նախորդից տարբերվում է նոր տերմինով, որը նաև կոչվում է քայլի կամ առաջընթացի տարբերություն.

Այսպիսով, նշելով առաջընթացի քայլը և դրա առաջին տերմինը, կարող եք գտնել դրա ցանկացած տարր՝ օգտագործելով բանաձևը

Հատկություններ թվաբանական առաջընթաց

1) Թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդ թվից, առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամների թվաբանական միջինն է.

Ճիշտ է նաև հակառակը. Եթե ​​պրոգրեսիայի հարակից կենտ (զույգ) անդամների թվաբանական միջինը հավասար է նրանց միջև եղած անդամին, ապա թվերի այս հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է։ Օգտագործելով այս հայտարարությունը, շատ հեշտ է ստուգել ցանկացած հաջորդականություն:

Նաև, ըստ թվաբանական առաջընթացի հատկության, վերը նշված բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել հետևյալի վրա

Սա հեշտ է ստուգել, ​​եթե հավասարության նշանի աջ կողմում գրեք պայմանները

Այն հաճախ օգտագործվում է պրակտիկայում խնդիրներում հաշվարկները պարզեցնելու համար:

2) Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը հաշվարկվում է բանաձևով

Լավ հիշեք թվաբանական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը, որն անփոխարինելի է հաշվարկներում և բավականին հաճախ հանդիպում է պարզ կյանքի իրավիճակներում.

3) Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել ոչ թե ամբողջ գումարը, այլ հաջորդականության մի մասը՝ սկսած իր k-րդ անդամից, ապա ձեզ օգտակար կլինի գումարի հետևյալ բանաձևը.

4) Գործնական հետաքրքրություն է ներկայացնում k-րդ թվից սկսած թվաբանական առաջընթացի n անդամների գումարը գտնելը: Դա անելու համար օգտագործեք բանաձևը

Սա եզրափակում է տեսական նյութը և անցնում գործնականում ընդհանուր խնդիրների լուծմանը։

Օրինակ 1. Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի քառասուներորդ անդամը 4;7;...

Լուծում:

Ըստ մեր ունեցած պայմանի

Եկեք որոշենք առաջընթացի քայլը

Օգտագործելով հայտնի բանաձևը, մենք գտնում ենք առաջընթացի քառասուներորդ անդամը

Օրինակ 2.

Լուծում:

Թվաբանական առաջընթացը տրվում է նրա երրորդ և յոթերորդ անդամներով: Գտե՛ք առաջընթացի առաջին անդամը և տասը գումարը:

Բանաձևերով գրենք առաջընթացի տրված տարրերը

Առաջինը հանում ենք երկրորդ հավասարումից, արդյունքում գտնում ենք առաջընթացի քայլը

Գտնված արժեքը փոխարինում ենք ցանկացած հավասարումով՝ թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը գտնելու համար

Մենք հաշվարկում ենք առաջընթացի առաջին տասը անդամների գումարը

Առանց բարդ հաշվարկների օգտագործման՝ մենք գտանք բոլոր անհրաժեշտ քանակությունները։

Լուծում:

Օրինակ 3. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հայտարարով և նրա անդամներից մեկով: Գտե՛ք պրոգրեսիայի առաջին անդամը՝ 50-ից սկսած նրա 50 անդամների գումարը և առաջին 100-ի գումարը։

Գրենք պրոգրեսիայի հարյուրերորդ տարրի բանաձևը

և գտիր առաջինը

Առաջինի հիման վրա մենք գտնում ենք առաջընթացի 50-րդ տերմինը

Գտնելով առաջընթացի մասի գումարը

և առաջին 100-ի գումարը

Առաջընթացի գումարը 250 է։

Օրինակ 4.

Գտեք թվաբանական առաջընթացի անդամների թիվը, եթե.

Լուծում:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111:

Գրենք հավասարումները առաջին անդամի և առաջընթացի աստիճանով և որոշենք դրանք

Ստացված արժեքները փոխարինում ենք գումարի բանաձևով՝ գումարում տերմինների քանակը որոշելու համար

Մենք իրականացնում ենք պարզեցումներ

և լուծել քառակուսի հավասարումը

Գտնված երկու արժեքներից միայն 8 թիվը համապատասխանում է խնդրի պայմաններին: Այսպիսով, առաջընթացի առաջին ութ անդամների գումարը 111 է։

Օրինակ 5.

Լուծե՛ք հավասարումը

1+3+5+...+x=307.

Լուծում. Այս հավասարումը թվաբանական պրոգրեսիայի գումարն է: Եկեք դուրս գրենք դրա առաջին անդամը և գտնենք առաջընթացի տարբերությունը Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար n համապատասխանել իրական թվին a n , հետո ասում են՝ տրված է :

թվերի հաջորդականություն 1 , թվերի հաջորդականություն 2 , թվերի հաջորդականություն 3 , . . . , ա , . . . .

a n

Այսպիսով, թվերի հաջորդականությունը բնական փաստարկի ֆունկցիա է։ թվերի հաջորդականություն 1 Թիվ կանչեց հաջորդականության առաջին տերմինը թվերի հաջորդականություն 2 — , թիվ հաջորդականության երկրորդ տերմինը թվերի հաջորդականություն 3 — , թիվ երրորդ համապատասխանել իրական թվին Թիվ եւ այլն։ Թիվ n-րդ կիսամյակ հաջորդականություններ , և բնական թիվ — n .

նրա համարը ա Երկու հարակից անդամներից ա +1 Եվ ա +1 Թիվ հաջորդականության անդամ հետագա համապատասխանել իրական թվին (դեպի համապատասխանել իրական թվին — ), Ա հետագա ա +1 ).

Հերթականություն սահմանելու համար անհրաժեշտ է նշել մեթոդ, որը թույլ է տալիս գտնել հաջորդականության անդամ ցանկացած թվով:

Հաճախ հաջորդականությունը նշվում է օգտագործելով n-րդ տերմինի բանաձևերը , այսինքն՝ բանաձեւ, որը թույլ է տալիս որոշել հաջորդականության անդամը իր թվով։

Օրինակ,

Դրական կենտ թվերի հաջորդականությունը կարող է տրվել բանաձևով

ա= 2n- 1,

և հերթափոխման հաջորդականությունը 1 Եվ -1 - բանաձեւ

բ n = (-1)n +1 . ◄

Հերթականությունը կարելի է որոշել կրկնվող բանաձեւ, այսինքն՝ բանաձև, որն արտահայտում է հաջորդականության ցանկացած անդամ՝ սկսած որոշներից՝ նախորդ (մեկ կամ մի քանի) անդամների միջոցով։

Օրինակ,

Եթե թվերի հաջորդականություն 1 = 1 , Ա ա +1 = ա + 5

թվերի հաջորդականություն 1 = 1,

թվերի հաջորդականություն 2 = թվերի հաջորդականություն 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

թվերի հաջորդականություն 3 = թվերի հաջորդականություն 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

թվերի հաջորդականություն 4 = թվերի հաջորդականություն 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

թվերի հաջորդականություն 5 = թվերի հաջորդականություն 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Եթե ա 1= 1, ա 2 = 1, ա +2 = ա + ա +1 , ապա թվային հաջորդականության առաջին յոթ անդամները սահմանվում են հետևյալ կերպ.

ա 1 = 1,

ա 2 = 1,

ա 3 = ա 1 + ա 2 = 1 + 1 = 2,

ա 4 = ա 2 + ա 3 = 1 + 2 = 3,

ա 5 = ա 3 + ա 4 = 2 + 3 = 5,

թվերի հաջորդականություն 6 = թվերի հաջորդականություն 4 + թվերի հաջորդականություն 5 = 3 + 5 = 8,

թվերի հաջորդականություն 7 = թվերի հաջորդականություն 5 + թվերի հաջորդականություն 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Հերթականությունները կարող են լինել եզրափակիչ Երկու հարակից անդամներից անվերջ .

Հաջորդականությունը կոչվում է վերջնական , եթե այն ունի վերջավոր թվով անդամներ։ Հաջորդականությունը կոչվում է անվերջ , եթե այն ունի անսահման շատ անդամներ։

Օրինակ,

երկնիշի հաջորդականություն բնական թվեր:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

եզրափակիչ.

Պարզ թվերի հաջորդականություն.

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

անվերջ. ◄

Հաջորդականությունը կոչվում է աճող , եթե նրա անդամներից յուրաքանչյուրը, սկսած երկրորդից, մեծ է նախորդից։

Հաջորդականությունը կոչվում է նվազում , եթե նրա յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, պակաս է նախորդից։

Օրինակ,

2, 4, 6, 8, . . . , 2, և բնական թիվ, . . . - աճող հաջորդականություն;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - նվազող հաջորդականություն. ◄

Այն հաջորդականությունը, որի տարրերը չեն նվազում թվի աճի հետ, կամ, ընդհակառակը, չեն ավելանում, կոչվում է միապաղաղ հաջորդականություն .

Միապաղաղ հաջորդականությունները, մասնավորապես, աճող և նվազող հաջորդականություններ են։

Թվաբանական առաջընթաց

Թվաբանական առաջընթաց հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին, որին գումարվում է նույն թիվը։

թվերի հաջորդականություն 1 , թվերի հաջորդականություն 2 , թվերի հաջորդականություն 3 , . . . , ա, . . .

թվաբանական պրոգրեսիա է, եթե ցանկացած բնական թվի համար Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար պայմանը բավարարված է.

ա +1 = ա + դ,

Որտեղ դ - որոշակի թիվ.

Այսպիսով, տրված թվաբանական առաջընթացի հաջորդ և նախորդ անդամների միջև տարբերությունը միշտ հաստատուն է.

ա 2 - թվերի հաջորդականություն 1 = ա 3 - թվերի հաջորդականություն 2 = . . . = ա +1 - ա = դ.

Այսպիսով, թվերի հաջորդականությունը բնական փաստարկի ֆունկցիա է։ դ Թիվ թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.

Թվաբանական առաջընթացը սահմանելու համար բավական է նշել դրա առաջին անդամը և տարբերությունը։

Օրինակ,

Եթե թվերի հաջորդականություն 1 = 3, դ = 4 , ապա հաջորդականության առաջին հինգ անդամները գտնում ենք հետևյալ կերպ.

ա 1 =3,

ա 2 = ա 1 + դ = 3 + 4 = 7,

ա 3 = ա 2 + դ= 7 + 4 = 11,

ա 4 = ա 3 + դ= 11 + 4 = 15,

թվերի հաջորդականություն 5 = թվերի հաջորդականություն 4 + դ= 15 + 4 = 19. ◄

Առաջին անդամով թվաբանական առաջընթացի համար թվերի հաջորդականություն 1 և տարբերությունը դ նրա Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար

ա = ա 1 + (, և բնական թիվ- 1)դ.

Օրինակ,

գտնել թվաբանական առաջընթացի երեսուներորդ անդամը

1, 4, 7, 10, . . .

ա 1 =1, դ = 3,

ա 30 = ա 1 + (30 - 1)դ = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = ա 1 + (, և բնական թիվ- 2)դ,

ա= ա 1 + (, և բնական թիվ- 1)դ,

ա +1 = թվերի հաջորդականություն 1 + րդ,

ապա ակնհայտորեն

Թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ և հաջորդ անդամների թվաբանական միջինին:

a, b և c թվերը որոշ թվաբանական առաջընթացի հաջորդական անդամներ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից մեկը հավասար է մյուս երկուսի միջին թվաբանականին:

Օրինակ,

ա = 2, և բնական թիվ- 7 , թվաբանական պրոգրեսիա է։

Եկեք օգտագործենք վերը նշված հայտարարությունը. Մենք ունենք:

ա = 2, և բնական թիվ- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2, և բնական թիվ- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2, և բնական թիվ- 5.

Հետևաբար,

◄

Նշենք, որ Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար Թվաբանական առաջընթացի երրորդ անդամը կարելի է գտնել ոչ միայն միջոցով թվերի հաջորդականություն 1 , այլեւ ցանկացած նախկինում ա կ

ա = ա կ + (, և բնական թիվ- կ)դ.

Օրինակ,

Համար թվերի հաջորդականություն 5 կարելի է գրել

ա 5 = ա 1 + 4դ,

ա 5 = ա 2 + 3դ,

ա 5 = ա 3 + 2դ,

ա 5 = ա 4 + դ. ◄

ա = ա ն-կ + կդ,

ա = a n+k - կդ,

ապա ակնհայտորեն

Թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է այս թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարի կեսին, որոնք հավասարապես բաժանված են նրանից:

Բացի այդ, ցանկացած թվաբանական առաջընթացի համար գործում է հետևյալ հավասարությունը.

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Օրինակ,

թվաբանական առաջընթացի մեջ

1) թվերի հաջորդականություն 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (թվերի հաջորդականություն 9 + թվերի հաջորդականություն 11 )/2;

2) 28 = ա 10 = ա 3 + 7դ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ա 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ա 7 + ա 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, որովհետեւ

ա 2 + ա 12= 4 + 34 = 38,

ա 5 + ա 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Ս ն= ա 1 + ա 2 + ա 3 + . . .+ ա,

առաջին Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար Թվաբանական առաջընթացի անդամները հավասար են ծայրահեղ անդամների գումարի կեսի և անդամների քանակի արտադրյալին.

Այստեղից, մասնավորապես, հետևում է, որ եթե ձեզ անհրաժեշտ է ամփոփել պայմանները

ա կ, ա կ +1 , . . . , ա,

ապա նախորդ բանաձևը պահպանում է իր կառուցվածքը.

Օրինակ,

թվաբանական առաջընթացի մեջ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

Ս 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = Ս 10 - Ս 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Եթե ​​տրված է թվաբանական պրոգրեսիա, ապա մեծությունները թվերի հաջորդականություն 1 , ա, դ, , և բնական թիվԵվՍ Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար միացված է երկու բանաձևով.

Հետևաբար, եթե տրված են այս մեծություններից երեքի արժեքները, ապա մյուս երկու մեծությունների համապատասխան արժեքները որոշվում են այս բանաձևերից՝ միավորված երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի մեջ:

Թվաբանական առաջընթացը միապաղաղ հաջորդականություն է: Որտեղ:

• Եթե դ > 0 , ապա այն աճում է;
• Եթե դ < 0 , ապա այն նվազում է;
• Եթե դ = 0 , ապա հաջորդականությունը կլինի անշարժ:

Երկրաչափական առաջընթաց

Երկրաչափական առաջընթաց հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին, որը բազմապատկվում է նույն թվով։

բ 1 , բ 2 , բ 3 , . . . , b n, . . .

երկրաչափական պրոգրեսիա է, եթե ցանկացած բնական թվի համար Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար պայմանը բավարարված է.

b n +1 = b n · ք,

Որտեղ ք ≠ 0 - որոշակի թիվ.

Այսպիսով, տվյալ երկրաչափական պրոգրեսիայի հաջորդ անդամի հարաբերակցությունը նախորդին հաստատուն թիվ է.

բ 2 / բ 1 = բ 3 / բ 2 = . . . = b n +1 / b n = ք.

Այսպիսով, թվերի հաջորդականությունը բնական փաստարկի ֆունկցիա է։ ք Թիվ երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար.

Երկրաչափական պրոգրեսիա սահմանելու համար բավական է նշել դրա առաջին անդամը և հայտարարը։

Օրինակ,

Եթե բ 1 = 1, ք = -3 , ապա հաջորդականության առաջին հինգ անդամները գտնում ենք հետևյալ կերպ.

բ 1 = 1,

բ 2 = բ 1 · ք = 1 · (-3) = -3,

բ 3 = բ 2 · ք= -3 · (-3) = 9,

բ 4 = բ 3 · ք= 9 · (-3) = -27,

բ 5 = բ 4 · ք= -27 · (-3) = 81. ◄

բ 1 և հայտարար ք նրա Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար Երրորդ տերմինը կարելի է գտնել բանաձևով.

b n = բ 1 · qn -1 .

Օրինակ,

գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի յոթերորդ անդամը 1, 2, 4, . . .

բ 1 = 1, ք = 2,

բ 7 = բ 1 · ք 6 = 1 2 6 = 64. ◄

բ n-1 = բ 1 · qn -2 ,

b n = բ 1 · qn -1 ,

b n +1 = բ 1 · qn,

ապա ակնհայտորեն

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

Երկրաչափական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ և հաջորդ անդամների երկրաչափական միջինին (համամասնականին):

Քանի որ հակառակը նույնպես ճշմարիտ է, հետևում է հետևյալ հայտարարությունը.

a, b և c թվերը ինչ-որ երկրաչափական առաջընթացի հաջորդական անդամներ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից մեկի քառակուսին հավասար է մյուս երկուսի արտադրյալին, այսինքն՝ թվերից մեկը մյուս երկուսի երկրաչափական միջինն է։

Օրինակ,

Փաստենք, որ բանաձևով տրված հաջորդականությունը b n= -3 2 n , երկրաչափական պրոգրեսիա է։ Եկեք օգտագործենք վերը նշված հայտարարությունը. Մենք ունենք:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Հետևաբար,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

որն ապացուցում է ցանկալի հայտարարությունը: ◄

Նշենք, որ Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար Երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ տերմինը կարելի է գտնել ոչ միայն միջոցով բ 1 , այլեւ ցանկացած նախորդ անդամ բ կ , որի համար բավական է օգտագործել բանաձեւը

b n = բ կ · qn - կ.

Օրինակ,

Համար բ 5 կարելի է գրել

բ 5 = բ 1 · ք 4 ,

բ 5 = բ 2 · ք 3,

բ 5 = բ 3 · ք 2,

բ 5 = բ 4 · ք. ◄

b n = բ կ · qn - կ,

b n = b n - կ · ք կ,

ապա ակնհայտորեն

b n 2 = b n - կ· b n + կ

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի քառակուսին, սկսած երկրորդից, հավասար է այս պրոգրեսիայի հավասարապես բաժանված անդամների արտադրյալին:

Բացի այդ, ցանկացած երկրաչափական առաջընթացի համար հավասարությունը ճշմարիտ է.

բ մ· b n= բ կ· բ լ,

մ+ , և բնական թիվ= կ+ լ.

Օրինակ,

երկրաչափական առաջընթացի մեջ

1) բ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = բ 5 · բ 7 ;

2) 1024 = բ 11 = բ 6 · ք 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) բ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = բ 4 · բ 8 ;

4) բ 2 · բ 7 = բ 4 · բ 5 , որովհետեւ

բ 2 · բ 7 = 2 · 64 = 128,

բ 4 · բ 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Ս ն= բ 1 + բ 2 + բ 3 + . . . + b n

առաջին Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամներ հայտարարով ք ≠ 0 հաշվարկվում է բանաձևով.

Եւ երբ ք = 1 - ըստ բանաձևի

Ս ն= նբ 1

Նկատի ունեցեք, որ եթե Ձեզ անհրաժեշտ է ամփոփել պայմանները

բ կ, բ կ +1 , . . . , b n,

ապա օգտագործվում է բանաձևը.

Օրինակ,

երկրաչափական առաջընթացի մեջ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

Ս 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = Ս 10 - Ս 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Եթե ​​տրված է երկրաչափական պրոգրեսիա, ապա մեծությունները բ 1 , b n, ք, , և բնական թիվԵվ Ս ն միացված է երկու բանաձևով.

Հետևաբար, եթե տրված են այս մեծություններից որևէ երեքի արժեքները, ապա մյուս երկու մեծությունների համապատասխան արժեքները որոշվում են այս բանաձևերից՝ միավորված երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգում:

Առաջին անդամով երկրաչափական առաջընթացի համար բ 1 և հայտարար ք տեղի են ունենում հետևյալը միապաղաղության հատկություններ :

• առաջընթացը աճում է, եթե բավարարվում է հետևյալ պայմաններից մեկը.

բ 1 > 0 Եվ ք> 1;

բ 1 < 0 Եվ 0 < ք< 1;

• Առաջընթացը նվազում է, եթե բավարարվում է հետևյալ պայմաններից մեկը.

բ 1 > 0 Եվ 0 < ք< 1;

բ 1 < 0 Եվ ք> 1.

Եթե ք< 0 , ապա երկրաչափական պրոգրեսիան փոփոխական է՝ կենտ թվերով նրա անդամներն ունեն նույն նշանը, ինչ առաջին անդամը, իսկ զույգ թվերով անդամները՝ հակառակ նշանը։ Պարզ է, որ փոփոխական երկրաչափական պրոգրեսիան միապաղաղ չէ:

Առաջինի արտադրանքը Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար Երկրաչափական առաջընթացի պայմանները կարող են հաշվարկվել բանաձևով.

Pn= բ 1 · բ 2 · բ 3 · . . . · b n = (բ 1 · b n) , և բնական թիվ / 2 .

Օրինակ,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա կոչվում է անսահման երկրաչափական պրոգրեսիա, որի հայտարարի մոդուլը փոքր է 1 , այն է

|ք| < 1 .

Նկատի ունեցեք, որ անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիան չի կարող նվազող հաջորդականություն լինել: Այն համապատասխանում է առիթին

1 < ք< 0 .

Նման հայտարարի դեպքում հաջորդականությունը փոփոխական է։ Օրինակ,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը անվանել այն թիվը, որին անսահմանափակ է մոտենում առաջինների գումարը Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար պրոգրեսիայի անդամներ՝ թվի անսահմանափակ աճով Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թվի համար . Այս թիվը միշտ վերջավոր է և արտահայտվում է բանաձևով

Օրինակ,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացների փոխհարաբերությունները

Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացները սերտորեն կապված են: Դիտարկենք ընդամենը երկու օրինակ։

թվերի հաջորդականություն 1 , թվերի հաջորդականություն 2 , թվերի հաջորդականություն 3 , . . . դ , Դա

բ ա 1 , բ ա 2 , բ ա 3 , . . . բ դ .

Օրինակ,

1, 3, 5, . . . - թվաբանական առաջընթաց տարբերությամբ 2 Եվ

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - երկրաչափական առաջընթաց հայտարարով 7 2 . ◄

բ 1 , բ 2 , բ 3 , . . . - երկրաչափական առաջընթաց հայտարարով ք , Դա

գրանցամատյան ա բ 1, գրանցամատյան ա բ 2, գրանցամատյան ա բ 3, . . . - թվաբանական առաջընթաց տարբերությամբ մուտք աք .

Օրինակ,

2, 12, 72, . . . - երկրաչափական առաջընթաց հայտարարով 6 Եվ

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - թվաբանական առաջընթաց տարբերությամբ lg 6 . ◄

Նախքան մենք սկսում ենք որոշել թվաբանական առաջընթացի խնդիրներ, եկեք դիտարկենք, թե ինչ է թվերի հաջորդականությունը, քանի որ թվաբանական պրոգրեսիան է հատուկ դեպքթվերի հաջորդականություն.

Թվային հաջորդականությունը թվային բազմություն է, որի յուրաքանչյուր տարր ունի իր հերթական համարը. Այս բազմության տարրերը կոչվում են հաջորդականության անդամներ։ Հերթական տարրի սերիական համարը նշվում է ինդեքսով.

Հերթականության առաջին տարրը;

Հերթականության հինգերորդ տարրը;

- հաջորդականության «n-րդ» տարրը, այսինքն. «հերթում կանգնած» տարրը թիվ n-ում:

Կա հարաբերություն հաջորդականության տարրի արժեքի և դրա հաջորդական համարի միջև: Հետևաբար հաջորդականությունը կարող ենք դիտարկել որպես ֆունկցիա, որի արգումենտը հաջորդականության տարրի հերթական թիվն է։ Այսինքն՝ կարելի է դա ասել հաջորդականությունը բնական փաստարկի ֆունկցիա է.

Հերթականությունը կարող է սահմանվել երեք եղանակով.

1 . Հերթականությունը կարելի է սահմանել աղյուսակի միջոցով:Այս դեպքում մենք պարզապես սահմանում ենք հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամի արժեքը:

Օրինակ, ինչ-որ մեկը որոշել է զբաղվել ժամանակի անձնական կառավարմամբ և սկսելու համար հաշվել, թե շաբաթվա ընթացքում որքան ժամանակ է նա ծախսում VKontakte-ում: Աղյուսակում գրանցելով ժամանակը, նա կստանա յոթ տարրերից բաղկացած հաջորդականություն.

Աղյուսակի առաջին տողում նշվում է շաբաթվա օրվա թիվը, երկրորդը` ժամը րոպեներով: Մենք տեսնում ենք, որ, այսինքն՝ երկուշաբթի, ինչ-որ մեկը VKontakte-ում ծախսել է 125 րոպե, այսինքն՝ հինգշաբթի օրը՝ 248 րոպե, իսկ, այսինքն՝ ուրբաթ օրը՝ ընդամենը 15։

2 . Հաջորդականությունը կարելի է ճշտել՝ օգտագործելով n-րդ տերմինի բանաձևը:

Այս դեպքում հաջորդականության տարրի արժեքի կախվածությունը նրա թվից ուղղակիորեն արտահայտվում է բանաձևի տեսքով։

Օրինակ, եթե, ապա

Տրված թվով հաջորդականության տարրի արժեքը գտնելու համար տարրի թիվը փոխարինում ենք n-րդ անդամի բանաձևով։

Մենք նույնն ենք անում, եթե մեզ անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի արժեքը, եթե արգումենտի արժեքը հայտնի է: Մենք արգումենտի արժեքը փոխարինում ենք ֆունկցիայի հավասարման մեջ.

Եթե, օրինակ, , Դա

Եվս մեկ անգամ նշեմ, որ հաջորդականության մեջ, ի տարբերություն կամայական թվային ֆունկցիայի, արգումենտը կարող է լինել միայն բնական թիվ։

3 . Հերթականությունը կարելի է սահմանել՝ օգտագործելով բանաձև, որն արտահայտում է n հաջորդականության անդամի արժեքի կախվածությունը նախորդ անդամների արժեքներից:

Այս դեպքում մեզ համար բավական չէ իմանալ միայն հաջորդականության անդամի թիվը՝ դրա արժեքը գտնելու համար։ Մենք պետք է նշենք հաջորդականության առաջին անդամը կամ առաջին մի քանի անդամները: ,

Օրինակ, հաշվի առեք հաջորդականությունը Մենք կարող ենք գտնել հաջորդականության անդամների արժեքներըհաջորդականությամբ

, սկսած երրորդից. Այսինքն՝ ամեն անգամ հաջորդականության n-րդ անդամի արժեքը գտնելու համար վերադառնում ենք նախորդ երկուսին։ Հաջորդականությունը նշելու այս մեթոդը կոչվում էկրկնվող , լատիներեն բառիցկրկնել

- վերադարձիր:

Թվաբանական առաջընթաց Այժմ մենք կարող ենք սահմանել թվաբանական առաջընթաց: Թվաբանական առաջընթացը թվային հաջորդականության պարզ հատուկ դեպք է:

թվային հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նույն թվին ավելացված նախորդին։ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունՀամարը կոչվում է

. Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը կարող է լինել դրական, բացասական կամ հավասար զրոյի։">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} If title="d>0.

աճող

Օրինակ, 2; 5; 8; տասնմեկ;... Եթե ​​, ապա թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ փոքր է նախորդից, և առաջընթացը՝.

նվազում

Օրինակ, 2; -1; -4; -7;... Եթե ​​, ապա պրոգրեսիայի բոլոր անդամները հավասար են նույն թվին, և պրոգրեսիան է.

ստացիոնար

Օրինակ՝ 2;2;2;2;...

Թվաբանական առաջընթացի հիմնական հատկությունը.

Եկեք նայենք նկարին։

Մենք դա տեսնում ենք

, և միևնույն ժամանակ

.

Այս երկու հավասարությունները գումարելով՝ մենք ստանում ենք.

Եկեք հավասարության երկու կողմերը բաժանենք 2-ի.

Այսպիսով, թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է երկու հարևանների միջին թվաբանականին.

Մենք դա տեսնում ենք

, Դա

Ավելին, քանի որ

, եւ, հետեւաբար">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ՝ սկսած title="k>l

Երրորդ կիսամյակի բանաձևը.

Մենք տեսնում ենք, որ թվաբանական առաջընթացի պայմանները բավարարում են հետևյալ հարաբերությունները.

եւ, վերջապես Մենք ստացանք

n-րդ կիսամյակի բանաձևը.ԿԱՐԵՎՈՐ!

Թվաբանական առաջընթացի ցանկացած անդամ կարող է արտահայտվել և. Իմանալով առաջին անդամը և թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը, կարող եք գտնել դրա անդամներից որևէ մեկը:

Թվաբանական պրոգրեսիայի n անդամների գումարը։

Թվաբանական կամայական առաջընթացի դեպքում ծայրահեղներից հավասար հեռավորության վրա գտնվող տերմինների գումարները հավասար են միմյանց.

Առաջընթացի տերմինները դասավորենք սկզբում թվերի աճման, իսկ հետո նվազման կարգով.

Ավելացնենք զույգերով.

Յուրաքանչյուր փակագծի գումարը , զույգերի թիվը n է:

Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, թվաբանական պրոգրեսիայի n տերմինների գումարը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Եկեք դիտարկենք թվաբանական առաջընթացի խնդիրների լուծում.

1 . Հաջորդականությունը տրված է n-րդ անդամի բանաձևով. . Ապացուցեք, որ այս հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է:

Փաստենք, որ հաջորդականության երկու հարակից անդամների տարբերությունը հավասար է նույն թվին։

Մենք պարզեցինք, որ հաջորդականության երկու հարևան անդամների միջև տարբերությունը կախված չէ նրանց թվից և հաստատուն է: Հետևաբար, ըստ սահմանման, այս հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է։

2 . Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացը -31; -27;...

ա) Գտե՛ք առաջընթացի 31 անդամ.

բ) Որոշեք, թե արդյոք 41 թիվը ներառված է այս առաջընթացի մեջ:

Ա)Մենք տեսնում ենք, որ;

Եկեք գրենք մեր առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը:

Ընդհանուր առմամբ

Մեր դեպքում , Ահա թե ինչու

Կամ թվաբանությունը կարգավորված թվային հաջորդականության տեսակ է, որի հատկությունները ուսումնասիրվում են դպրոցական դասընթացհանրահաշիվ. Այս հոդվածում մանրամասն քննարկվում է այն հարցը, թե ինչպես կարելի է գտնել թվաբանական առաջընթացի գումարը:

Ինչպիսի՞ առաջընթաց է սա:

Մինչև հարցին անցնելը (ինչպես գտնել թվաբանական առաջընթացի գումարը), արժե հասկանալ, թե ինչի մասին է խոսքը։

Իրական թվերի ցանկացած հաջորդականություն, որը ստացվում է յուրաքանչյուր նախորդ թվից ինչ-որ արժեք գումարելով (հանելով), կոչվում է հանրահաշվական (թվաբանական) պրոգրեսիա։ Այս սահմանումը, երբ թարգմանվում է մաթեմատիկական լեզվով, ստանում է հետևյալ ձևը.

Ահա i-ն a i շարքի տարրի սերիական համարն է։ Այսպիսով, իմանալով ընդամենը մեկ մեկնարկային համար, կարող եք հեշտությամբ վերականգնել ամբողջ շարքը: Բանաձևում d պարամետրը կոչվում է առաջընթացի տարբերություն։

Հեշտությամբ կարելի է ցույց տալ, որ դիտարկվող թվերի շարքի համար գործում է հետևյալ հավասարությունը.

a n = a 1 + d * (n - 1):

Այսինքն՝ n-րդ տարրի արժեքը հերթականությամբ գտնելու համար պետք է առաջին a տարրին d տարբերությունը ավելացնել 1 n-1 անգամ։

Որքա՞ն է թվաբանական առաջընթացի գումարը. բանաձև

Նախքան նշված գումարի բանաձևը տալը, արժե դիտարկել մի պարզ հատուկ դեպք. Հաշվի առնելով բնական թվերի առաջընթացը 1-ից մինչև 10, դուք պետք է գտնեք դրանց գումարը: Քանի որ պրոգրեսիայում (10) քիչ տերմիններ կան, հնարավոր է խնդիրը լուծել առերես, այսինքն՝ գումարել բոլոր տարրերը հերթականությամբ։

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55:

Մի բան արժե հաշվի առնել հետաքրքիր բանքանի որ յուրաքանչյուր անդամ հաջորդից տարբերվում է նույն արժեքով d = 1, ապա առաջինի տասներորդի, երկրորդի իններորդի հետ և այլն զույգ-զույգ գումարումը կտա նույն արդյունքը։ Իրոք.

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Ինչպես տեսնում եք, այդ գումարներից ընդամենը 5-ն է, այսինքն՝ ուղիղ երկու անգամ պակաս, քան շարքի տարրերի թիվը։ Այնուհետև (5) գումարների թիվը բազմապատկելով յուրաքանչյուր գումարի (11) արդյունքով, կհասնեք առաջին օրինակում ստացված արդյունքին։

Եթե ​​ընդհանրացնենք այս փաստարկները, կարող ենք գրել հետևյալ արտահայտությունը.

S n = n * (a 1 + a n) / 2:

Այս արտահայտությունը ցույց է տալիս, որ բոլորովին անհրաժեշտ չէ անընդմեջ գումարել բոլոր տարրերը, բավական է իմանալ առաջինի a 1-ի և վերջինի a n-ի արժեքը, ինչպես նաև ընդհանուր թիվը n պայմաններ.

Ենթադրվում է, որ Գաուսն առաջինն է մտածել այս հավասարության մասին, երբ փնտրում էր տվյալ խնդրի լուծումը։ դպրոցի ուսուցիչԱռաջադրանք՝ գումարել առաջին 100 ամբողջ թվերը:

m-ից n տարրերի գումարը՝ բանաձև

Նախորդ պարբերությունում տրված բանաձևը պատասխանում է այն հարցին, թե ինչպես կարելի է գտնել թվաբանական առաջընթացի գումարը (առաջին տարրերը), բայց հաճախ խնդիրներում անհրաժեշտ է լինում թվերի շարք գումարել պրոգրեսիայի մեջտեղում։ Ինչպե՞ս դա անել:

Այս հարցին պատասխանելու ամենահեշտ ձևը հետևյալ օրինակն է. թող անհրաժեշտ լինի գտնել m-րդից n-րդ անդամների գումարը: Խնդիրը լուծելու համար պրոգրեսիայի m-ից n տրված հատվածը պետք է ներկայացնել նոր թվային շարքի տեսքով։ Նման մ-րդ ներկայացում a m տերմինը կլինի առաջինը, իսկ a n-ը կհամարակալվի n-(m-1): Այս դեպքում, կիրառելով գումարի ստանդարտ բանաձևը, կստացվի հետևյալ արտահայտությունը.

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2:

Բանաձևերի օգտագործման օրինակ

Իմանալով, թե ինչպես գտնել թվաբանական առաջընթացի գումարը, արժե դիտարկել վերը նշված բանաձևերի օգտագործման պարզ օրինակը:

Ստորև բերված է թվային հաջորդականություն, որտեղ դուք պետք է գտնեք դրա տերմինների գումարը՝ սկսած 5-րդից և վերջացրած 12-ով.

Տրված թվերը ցույց են տալիս, որ d տարբերությունը հավասար է 3-ի: Օգտագործելով n-րդ տարրի արտահայտությունը, կարող եք գտնել պրոգրեսիայի 5-րդ և 12-րդ անդամների արժեքները: Պարզվում է:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29:

Իմանալով դիտարկվող հանրահաշվական առաջընթացի ծայրերում գտնվող թվերի արժեքները, ինչպես նաև իմանալով, թե շարքի ինչ թվեր են նրանք զբաղեցնում, կարող եք օգտագործել նախորդ պարբերությունում ստացված գումարի բանաձևը: Կստացվի.

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148:

Հարկ է նշել, որ այս արժեքը կարելի էր տարբեր կերպ ստանալ. նախ գտեք առաջին 12 տարրերի գումարը ստանդարտ բանաձևով, ապա հաշվարկեք առաջին 4 տարրերի գումարը նույն բանաձևով, ապա հանեք երկրորդը առաջին գումարից:

I. V. Yakovlev | Մաթեմատիկայի նյութեր | MathUs.ru

Թվաբանական առաջընթաց

Թվաբանական առաջընթացն է հատուկ տեսակհաջորդականություն։ Հետևաբար, նախքան թվաբանական (և այնուհետև երկրաչափական) առաջընթացը սահմանելը, մենք պետք է համառոտ քննարկենք. կարևոր հայեցակարգթվերի հաջորդականություն.

Հաջորդականություն

Պատկերացրեք մի սարք, որի էկրանին մեկը մյուսի հետևից ցուցադրվում են որոշակի թվեր։ Ասենք 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : :: Թվերի այս բազմությունը հենց հաջորդականության օրինակ է։

Սահմանում. Թվային հաջորդականությունը թվերի մի շարք է, որտեղ յուրաքանչյուր թվի կարող է վերագրվել եզակի թիվ (այսինքն՝ կապված մեկ բնական թվի հետ)1։ n թիվը կոչվում է հաջորդականության n-րդ անդամ։

Այսպիսով, վերը նշված օրինակում առաջին համարը 2 է, սա հաջորդականության առաջին անդամն է, որը կարող է նշանակվել a1-ով; թիվ հինգն ունի 6 թիվը հաջորդականության հինգերորդ անդամն է, որը կարելի է նշանակել a5-ով: Ընդհանրապես, n-րդ կիսամյակհաջորդականությունները նշվում են an-ով (կամ bn, cn և այլն):

Շատ հարմար իրավիճակ է, երբ հաջորդականության n-րդ անդամը կարելի է նշել ինչ-որ բանաձևով։ Օրինակ, an = 2n 3 բանաձեւը սահմանում է հաջորդականությունը՝ 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n բանաձևը սահմանում է հաջորդականությունը՝ 1; 1; 1; 1; : ::

Թվերի ամեն մի շարք չէ, որ հաջորդականություն է: Այսպիսով, հատվածը հաջորդականություն չէ. այն պարունակում է «չափազանց շատ» թվեր, որոնք պետք է վերահամարակալվեն: Բոլոր իրական թվերի R բազմությունը նույնպես հաջորդականություն չէ։ Այս փաստերը ապացուցված են մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքում:

Թվաբանական առաջընթաց. հիմնական սահմանումներ

Այժմ մենք պատրաստ ենք սահմանել թվաբանական պրոգրեսիա։

Սահմանում. Թվաբանական առաջընթացը այն հաջորդականությունն է, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ (սկսած երկրորդից) հավասար է նախորդ անդամի գումարին և որոշ ֆիքսված թվին (կոչվում է թվաբանական առաջընթացի տարբերություն):

Օրինակ, հաջորդականություն 2; 5; 8; տասնմեկ; : : : թվաբանական պրոգրեսիա է առաջին անդամ 2-ով և 3 տարբերությամբ: Հերթականություն 7; 2; 3; 8; : : : թվաբանական պրոգրեսիա է՝ առաջին անդամ 7-ով և 5 տարբերությամբ։ 3; 3; : : : զրոյի հավասար տարբերությամբ թվաբանական առաջընթաց է։

Համարժեք սահմանում. an հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական առաջընթաց, եթե an+1 an տարբերությունը հաստատուն արժեք է (n-ից անկախ):

Թվաբանական առաջընթացը կոչվում է աճող, եթե դրա տարբերությունը դրական է, և նվազում, եթե տարբերությունը բացասական է:

1 Բայց ահա ավելի հակիրճ սահմանում. հաջորդականությունը բնական թվերի բազմության վրա սահմանված ֆունկցիա է: Օրինակ, իրական թվերի հաջորդականությունը f ֆունկցիան է՝ N ! Ռ.

Լռելյայնորեն հաջորդականությունները համարվում են անվերջ, այսինքն՝ պարունակում են անսահման թվով թվեր։ Բայց ոչ ոք մեզ չի խանգարում դիտարկել վերջավոր հաջորդականությունները. իրականում թվերի ցանկացած վերջավոր բազմություն կարելի է անվանել վերջավոր հաջորդականություն: Օրինակ, ավարտվող հաջորդականությունը 1 է; 2; 3; 4; 5-ը կազմված է հինգ թվերից։

Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը

Հեշտ է հասկանալ, որ թվաբանական պրոգրեսիան ամբողջությամբ որոշվում է երկու թվով՝ առաջին անդամ և տարբերություն: Ուստի հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս, իմանալով առաջին անդամը և տարբերությունը, գտնել թվաբանական առաջընթացի կամայական անդամ։

Ստացեք պահանջվող բանաձեւըԹվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամը դժվար չէ։ Թող ան

Խնդիր 1. Թվաբանական առաջընթացում 2; 5; 8; տասնմեկ; : : : գտե՛ք n-րդ անդամի բանաձևը և հաշվարկե՛ք հարյուրերորդ անդամը։

Լուծում. Ըստ բանաձևի (1) մենք ունենք.

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Թվաբանական առաջընթացի հատկությունն ու նշանը

Թվաբանական առաջընթացի հատկությունը. Թվաբանական առաջընթացում an ցանկացածի համար

Այլ կերպ ասած, թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ (սկսած երկրորդից) իր հարևան անդամների թվաբանական միջինն է։

ինչը պահանջվում էր.

Ավելի ընդհանուր առմամբ, թվաբանական առաջընթացը բավարարում է հավասարությանը

a n = a n k+ a n+k

ցանկացած n > 2-ի և ցանկացած բնական k-ի համար< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ստացվում է, որ (2) բանաձևը ծառայում է ոչ միայն որպես անհրաժեշտ, այլև որպես բավարար պայման, որպեսզի հաջորդականությունը լինի թվաբանական պրոգրեսիա։

Թվաբանական առաջընթացի նշան. Եթե ​​հավասարությունը (2) պահպանվում է բոլոր n > 2-ի համար, ապա an հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է:

Ապացույց. Վերաշարադրենք (2) բանաձևը հետևյալ կերպ.

a na n 1= a n+1a n:

Այստեղից մենք կարող ենք տեսնել, որ an+1 an տարբերությունը կախված չէ n-ից, և սա հենց նշանակում է, որ an հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է։

Թվաբանական առաջընթացի հատկությունն ու նշանը կարելի է ձևակերպել մեկ հայտարարության տեսքով. Հարմարության համար մենք դա կանենք երեք թվի համար (սա այն իրավիճակն է, որը հաճախ հանդիպում է խնդիրների դեպքում):

Թվաբանական առաջընթացի բնութագրում. Երեք a, b, c թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց, եթե և միայն եթե 2b = a + c:

Խնդիր 2. (ՄՊՀ, Տնտեսագիտության ֆակուլտետ, 2007 թ.) Նշված հերթականությամբ երեք թվեր 8x, 3 x2 և 4 կազմում են նվազող թվաբանական պրոգրեսիա: Գտե՛ք x և նշե՛ք այս առաջընթացի տարբերությունը:

Լուծում. Թվաբանական առաջընթացի հատկությամբ ունենք.

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Եթե ​​x = 1, ապա մենք ստանում ենք 8, 2, 4 նվազող պրոգրեսիա՝ 6 տարբերությամբ: Եթե x = 5, ապա մենք ստանում ենք 40, 22, 4 աճող պրոգրեսիա; այս դեպքը հարմար չէ.

Պատասխան՝ x = 1, տարբերությունը 6 է։

Թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարը

Լեգենդն ասում է, որ մի օր ուսուցիչը երեխաներին ասել է, որ գտնեն 1-ից մինչև 100 թվերի գումարը և հանգիստ նստեց թերթը կարդալու: Սակայն մի քանի րոպե չէր անցել, երբ մի տղա ասաց, որ խնդիրը լուծել է։ Դա 9-ամյա Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսն էր, հետագայում նրանցից մեկը մեծագույն մաթեմատիկոսներպատմության մեջ։

Փոքրիկ Գաուսի միտքը հետևյալն էր. Թող

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Այս գումարը գրենք հակառակ հերթականությամբ.

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

և ավելացրեք այս երկու բանաձևերը.

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Փակագծերում յուրաքանչյուր անդամ հավասար է 101-ի, և ընդհանուր առմամբ կա 100 այդպիսի անդամ

2S = 101 100 = 10100;

Մենք օգտագործում ենք այս գաղափարը գումարի բանաձևը ստանալու համար

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

(3) բանաձևի օգտակար փոփոխությունը ստացվում է, եթե դրա մեջ փոխարինենք n-րդ անդամի բանաձևը an = a1 + (n 1)d.

Խնդիր 3. Գտե՛ք 13-ի բաժանվող բոլոր դրական եռանիշ թվերի գումարը:

Լուծում. Եռանիշ թվերը, որոնք 13-ի բազմապատիկ են, կազմում են թվաբանական առաջընթաց, որտեղ առաջին անդամը 104 է, իսկ տարբերությունը՝ 13; Այս առաջընթացի n-րդ անդամն ունի ձև.

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Եկեք պարզենք, թե քանի տերմին է պարունակում մեր առաջընթացը: Դա անելու համար եկեք լուծենք անհավասարությունը.

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Այսպիսով, մեր առաջընթացում կա 69 անդամ։ Օգտագործելով բանաձևը (4) մենք գտնում ենք պահանջվող գումարը.

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2