155*. Déterminer la taille réelle du segment de droite AB situation générale(Fig. 153, a).

La solution. Comme vous le savez, la projection d'un segment de droite sur n'importe quel plan est égale au segment lui-même (en tenant compte de l'échelle du dessin), s'il est parallèle à ce plan

(Fig. 153, b). Il en résulte qu'en convertissant le dessin il faut réaliser le parallélisme de ce segment pl. V ou pl. H ou compléter le système V, H avec un autre plan perpendiculaire au carré. V ou au pl. H et en même temps parallèle au segment donné.

Sur la fig. 153, c montre l'introduction d'un plan supplémentaire S, perpendiculaire au carré. H et parallèle au segment donné AB.

La projection a s b s est égale à la valeur naturelle du segment AB.

Sur la fig. 153, d montre une autre méthode : le segment AB est tourné autour d'une droite passant par le point B et perpendiculaire au carré. H, à une position parallèle

m² V. Dans ce cas, le point B reste en place, et le point A occupe une nouvelle position A 1 . Horizon dans une nouvelle position. projection a 1 b || axe x. La projection a "1 b" est égale à la valeur naturelle du segment AB.

156. Pyramide SABCD est donnée (Fig. 154). Déterminez la taille naturelle des arêtes de la pyramide AS et CS en utilisant la méthode de changement des plans de projection, et les arêtes BS et DS en utilisant la méthode de rotation, et prenez l'axe de rotation perpendiculaire au carré. H

157*. Déterminez la distance entre le point A et la ligne droite BC (Fig. 155, a).

La solution. La distance d'un point à une droite est mesurée par un segment d'une perpendiculaire tracée d'un point à une droite.

Si la ligne est perpendiculaire à un plan (Fig. 155.6), la distance du point à la ligne est mesurée par la distance entre la projection du point et le point de projection de la ligne sur ce plan. Si une ligne droite occupe une position générale dans le système V, H, alors pour déterminer la distance d'un point à une ligne droite en changeant les plans de projection, deux plans supplémentaires doivent être introduits dans le système V, H.

D'abord (Fig. 155, c) nous entrons dans la place. S, parallèle au segment BC (le nouvel axe S/H est parallèle à la projection bс), et on construit les projections b s c s et a s . Ensuite (Fig. 155, d) nous introduisons un autre carré. T perpendiculaire à la droite BC (nouvel axe T/S perpendiculaire à b s c s). Nous construisons des projections d'une droite et d'un point - avec t (b t) et a t. La distance entre les points a t et c t (b t) est égale à la distance l du point A à la ligne BC.

Sur la fig. 155e, la même tâche est accomplie par la méthode de rotation dans sa forme, qui s'appelle la méthode du mouvement parallèle. Premièrement, la ligne BC et le point A, en gardant leur position mutuelle inchangée, tournent autour d'une ligne (non indiquée sur le dessin) perpendiculaire au carré. H, de sorte que la droite BC soit parallèle au carré. V. Cela équivaut à déplacer les points A, B, C dans des plans parallèles au carré. H. En même temps, l'horizon. la projection d'un système donné (BC + A) ne change ni en grandeur ni en configuration, seule sa position par rapport à l'axe des abscisses change. Fixez-vous un horizon. la projection de la droite BC parallèle à l'axe x (position b 1 c 1) et déterminer la projection a 1, en mettant de côté c 1 1 1 \u003d c-1 et a 1 1 1 \u003d a-1, et a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. En traçant des lignes droites b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 parallèles à l'axe x, nous trouvons le front sur celles-ci. projections b "1, a" 1, c "1. Ensuite, nous déplaçons les points B 1, C 1 et A 1 dans des plans parallèles au carré V (également sans changer leur position relative), de manière à obtenir B 2 C 2 ⊥ aire H. Dans ce cas, la projection de la droite vers l'avant sera perpendiculaire à axes x,b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1, et pour construire la projection a" 2, vous devez prendre b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1, dessiner 2 "a" 2 ⊥ b " 2 c" 2 et mettez de côté a" 2 2" 2 \u003d a" 1 2" 1. Maintenant, en glissant de 1 à 2 et a 1 a 2 || x 1 nous obtenons les projections b 2 c 2 et a 2 et la distance souhaitée l du point A à la ligne BC. Vous pouvez déterminer la distance de A à BC en tournant le plan défini par le point A et la droite BC autour de l'horizontale de ce plan jusqu'à la position T || m² H (Fig. 155, e).

Dans le plan donné par le point A et la droite BC, nous traçons une ligne horizontale A-1 (Fig. 155, g) et tournons autour d'elle le point B. Le point B se déplace vers le carré. R (indiqué sur le dessin suivant R h), perpendiculaire à A-1 ; au point O est le centre de rotation du point B. Nous déterminons maintenant la valeur naturelle du rayon de rotation de VO, (Fig. 155, c). Dans la position requise, c'est-à-dire lorsque pl. T défini par le point A et la ligne BC deviendra || m² H, le point B débouchera sur R h à une distance Ob 1 du point O (il peut y avoir une autre position sur la même voie R h, mais de l'autre côté de O). Le point b 1 est l'horizon. la projection du point B après l'avoir déplacé vers la position B 1 dans l'espace, lorsque le plan défini par le point A et la droite BC a pris la position T.

Après avoir tracé (Fig. 155, et) la ligne droite b 1 1, nous obtenons l'horizon. projection de la droite BC, déjà localisée || m² H est dans le même plan que A. Dans cette position, la distance de a à b 1 1 est égale à la distance l souhaitée. Le plan P, dans lequel se trouvent les éléments donnés, peut être combiné avec le carré. H (Fig. 155, j), tournant le carré. P autour de son horizon. trace. Passé de la définition du plan par le point A et la ligne BC à la définition des lignes BC et A-1 (Fig. 155, l), nous trouvons les traces de ces lignes et traçons les traces P ϑ et P h à travers elles. Nous construisons (Fig. 155, m) combiné avec le carré. Position H avant. trace - P ϑ0 .

Dessinez l'horizon par le point a. projection frontale ; le frontal combiné passe par le point 2 sur la trace Р h parallèle à Р ϑ0 . Point A 0 - combiné avec pl. H est la position du point A. De même, on trouve le point B 0 . Soleil direct combiné avec pl. La position H passe par le point B 0 et le point m (trace horizontale d'une droite).

La distance du point A 0 à la droite B 0 C 0 est égale à la distance l souhaitée.

Il est possible de réaliser la construction indiquée en trouvant une seule trace P h (Fig. 155, n et o). L'ensemble de la construction s'apparente à tourner autour de l'horizontale (voir Fig. 155, f, c, i) : la trace P h est l'une des lignes horizontales du carré. R

Parmi les méthodes de conversion d'un dessin données pour résoudre ce problème, la méthode de rotation autour d'une horizontale ou frontale est préférable.

158. Pyramide SABC est donnée (Fig. 156). Déterminez les distances :

a) du haut B de la base à son côté AC par la méthode du mouvement parallèle ;

b) du sommet S de la pyramide aux côtés BC et AB de la base par rotation autour de l'horizontale ;

c) du sommet S au côté AC de la base en changeant les plans de projection.

159. Étant donné un prisme (Fig. 157). Déterminez les distances :

a) entre les arêtes AD et CF en changeant les plans de projection ;

b) entre les côtes BE et CF par rotation autour de l'avant ;

c) entre les arêtes AD et BE par la méthode du mouvement parallèle.

160. Déterminer la taille réelle du quadrilatère ABCD (Fig. 158) en combinant avec le carré. N. Utilisez uniquement la trace horizontale du plan.

161*. Déterminez la distance entre les lignes d'intersection AB et CD (Fig. 159, a) et construisez des projections de la perpendiculaire commune à celles-ci.

La solution. La distance entre les lignes de croisement est mesurée par le segment (MN) de la perpendiculaire aux deux lignes (Fig. 159, b). Évidemment, si l'une des lignes est placée perpendiculairement à n'importe quel carré. T alors

le segment MN de la perpendiculaire aux deux droites sera parallèle au carré. Sa projection sur ce plan affichera la distance souhaitée. Projection angle droit ménade MN n AB sur le carré. T s'avère également être un angle droit entre m t n t et a t b t , puisque l'un des côtés de l'angle droit AMN, à savoir MN. parallèle au carré. T

Sur la fig. 159, c et d, la distance souhaitée l est déterminée par la méthode de modification des plans de projection. Tout d'abord, nous introduisons un carré supplémentaire. projections S, perpendiculaires au carré. H et parallèle à la droite CD (Fig. 159, c). Ensuite, nous introduisons un autre carré supplémentaire. T, perpendiculaire au carré. S et perpendiculaire à la même ligne CD (Fig. 159, d). Vous pouvez maintenant construire une projection de la perpendiculaire commune en dessinant m t n t à partir du point c t (d t) perpendiculaire à la projection a t b t . Les points m t et n t sont des projections des points d'intersection de cette perpendiculaire avec les droites AB et CD. A partir du point m t (Fig. 159, e) on trouve m s sur a s b s : la projection m s n s doit être parallèle à l'axe T / S. De plus, de m s et n s nous trouvons m et n sur ab et cd, et d'eux m "et n" sur a "b" et c "d".

Sur la fig. 159, en montre la solution à ce problème par la méthode des mouvements parallèles. Tout d'abord, nous mettons la droite CD parallèle au carré. V : projection c 1 d 1 || X. Ensuite, nous déplaçons les droites CD et AB des positions C 1 D 1 et A 1 B 1 aux positions C 2 B 2 et A 2 B 2 de sorte que C 2 D 2 soit perpendiculaire à H : projection c "2 d" 2 ⊥ X. Le segment de la perpendiculaire recherché est situé || m² H, et, par conséquent, m 2 n 2 exprime la distance requise l entre AB et CD. On trouve la position des projections m "2, et n" 2 sur a "2 b" 2 et c "2 d" 2, puis les projections et m 1 et m "1, n 1 et n" 1, enfin, les projections m" et n ", m et n.

162. Pyramide SABC est donnée (Fig. 160). Déterminer la distance entre l'arête SB et le côté AC de la base de la pyramide et construire des projections de la perpendiculaire commune à SB et AC, en utilisant la méthode de changement des plans de projection.

163. Pyramide SABC est donnée (Fig. 161). Déterminer la distance entre l'arête SH et le côté BC de la base de la pyramide et construire les projections de la perpendiculaire commune à SX et BC en utilisant la méthode des déplacements parallèles.

164*. Déterminez la distance du point A au plan dans les cas où le plan est donné: a) par le triangle BCD (Fig. 162, a); b) traces (Fig. 162, b).

La solution. Comme vous le savez, la distance d'un point à un plan est mesurée par la grandeur de la perpendiculaire tirée du point au plan. Cette distance est projetée sur n'importe quel carré. projections grandeur nature, si le plan donné est perpendiculaire au carré. saillies (Fig. 162, c). Cette situation peut être obtenue en convertissant le dessin, par exemple en changeant le carré. projections. Introduisons le carré. S (Fig. 16ts, d), perpendiculaire au carré. triangle BCD. Pour ce faire, nous passons dans le carré. triangle horizontal B-1 et positionner l'axe des projections S perpendiculairement à la projection b-1 horizontale. Nous construisons des projections d'un point et d'un plan - a s et un segment c s d s . La distance de a s à c s d s est égale à la distance souhaitée l du point au plan.

Sur rio. 162, d la méthode du mouvement parallèle est appliquée. On déplace tout le système jusqu'à ce que l'horizontale B-1 du plan devienne perpendiculaire au plan V : la projection b 1 1 1 doit être perpendiculaire à l'axe des abscisses. Dans cette position, le plan du triangle deviendra en saillie vers l'avant et la distance l du point A à celui-ci deviendra carrée. V sans distorsion.

Sur la fig. 162b le plan est donné par des traces. Nous introduisons (Fig. 162, e) un carré supplémentaire. S, perpendiculaire au carré. P : l'axe S/H est perpendiculaire à P h . Le reste ressort clairement du dessin. Sur la fig. 162, eh bien le problème est résolu à l'aide d'un seul déplacement : pl. P passe en position P 1 , c'est-à-dire qu'il devient en saillie vers l'avant. Pister. P 1h est perpendiculaire à l'axe des abscisses. Nous construisons un front dans cette position de l'avion. la trace de l'horizontale est le point n "1, n 1. La trace P 1ϑ passera par P 1x et n 1. La distance de a" 1 à P 1ϑ est égale à la distance l souhaitée.

165. La pyramide SABC est donnée (voir fig. 160). Déterminez la distance entre le point A et la face SBC de la pyramide en utilisant la méthode de déplacement parallèle.

166. La pyramide SABC est donnée (voir fig. 161). Déterminez la hauteur de la pyramide en utilisant la méthode de déplacement parallèle.

167*. Déterminez la distance entre les lignes d'intersection AB et CD (voir Fig. 159, a) comme la distance entre les plans parallèles tracés à travers ces lignes.

La solution. Sur la fig. 163, et les plans P et Q sont représentés parallèles l'un à l'autre, dont pl. Q est tiré à travers CD parallèlement à AB, et pl. P - passant par AB parallèle au carré. Q. La distance entre ces plans est considérée comme étant la distance entre les lignes obliques AB et CD. Cependant, vous pouvez vous limiter à construire un seul plan, par exemple Q, parallèle à AB, puis déterminer la distance au moins du point A à ce plan.

Sur la fig. 163c montre le plan Q passant par CD parallèle à AB ; dans les projections maintenues avec "e" || a"b" et se || un B. En utilisant la méthode de changement de carré. projections (Fig. 163, c), nous introduisons un carré supplémentaire. S, perpendiculaire au carré. V et en même temps

perpendiculaire au carré. Q. Pour tracer l'axe S/V, on prend la frontale D-1 dans ce plan. Maintenant, nous dessinons S / V perpendiculairement à d "1" (Fig. 163, c). PL. Q sera affiché sur le carré. S comme une droite avec s d s . Le reste ressort clairement du dessin.

168. La pyramide SABC est donnée (voir Fig. 160). Déterminer la distance entre les bords SC et AB Appliquer : 1) méthode de changement de surface. projections, 2) une méthode de mouvement parallèle.

169*. Déterminez la distance entre des plans parallèles, dont l'un est donné par les droites AB et AC, et l'autre par les droites DE et DF (Fig. 164, a). Effectuez également la construction pour le cas où les plans sont donnés par des traces (Fig. 164, b).

La solution. La distance (Fig. 164, c) entre des plans parallèles peut être déterminée en traçant une perpendiculaire de n'importe quel point d'un plan à un autre plan. Sur la fig. 164, g introduit un carré supplémentaire. S perpendiculaire au carré. H et aux deux plans donnés. L'axe S.H est perpendiculaire à l'horizon. projection d'une ligne horizontale tracée dans l'un des plans. Nous construisons une projection de ce plan et des points Dans un autre plan sur Sq. 5. La distance du point d s à la ligne l s a s est égale à la distance désirée entre les plans parallèles.

Sur la fig. 164, d une autre construction est donnée (selon la méthode du mouvement parallèle). Pour que le plan exprimé par les droites sécantes AB et AC soit perpendiculaire au carré. V, horizon. on pose la projection horizontale de ce plan perpendiculaire à l'axe des x : 1 1 2 1 ⊥ x. Distance entre les façades. la projection d"1 du point D et la droite a" 1 2 "1 (projection frontale du plan) est égale à la distance souhaitée entre les plans.

Sur la fig. 164, e montre l'introduction d'un carré supplémentaire. S, perpendiculaire à pl.H et aux plans donnés P et Q (l'axe S/H est perpendiculaire aux traces P h et Q h). Nous construisons des traces Р s , et Q s . La distance entre eux (voir Fig. 164, c) est égale à la distance souhaitée l entre les plans P et Q.

Sur la fig. 164, g montre le mouvement des plans P 1 n Q 1, vers la position P 1 et Q 1 lorsque l'horizon. les traces s'avèrent être perpendiculaires à l'axe des abscisses. Distance entre le nouveau front. les traces P 1ϑ et Q 1ϑ est égale à la distance l souhaitée.

170. Soit un parallélépipède ABCDEFGH (Fig. 165). Déterminer les distances : a) entre les bases du parallélépipède - l 1 ; b) entre les faces ABFE et DCGH - l 2 ; c) entre les faces ADHE et BCGF-l 3 .

Cet article parle du sujet « distance d'un point à une ligne », les définitions de la distance d'un point à une ligne sont considérées avec des exemples illustrés par la méthode des coordonnées. Chaque bloc de théorie à la fin a montré des exemples de résolution de problèmes similaires.

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La distance d'un point à une ligne se trouve en déterminant la distance d'un point à un point. Considérons plus en détail.

Soit une droite a et un point M 1 n'appartenant pas à la droite donnée. Tracez-y une ligne bloquée perpendiculaire à la ligne a. Prendre le point d'intersection des lignes comme H 1. Nous obtenons que M 1 H 1 est une perpendiculaire, qui a été abaissée du point M 1 à la ligne a.

Définition 1

Distance du point M 1 à la droite a appelée distance entre les points M 1 et H 1 .

Il existe des enregistrements de la définition avec le chiffre de la longueur de la perpendiculaire.

Définition 2

Distance d'un point à une ligne est la longueur de la perpendiculaire tirée d'un point donné à une droite donnée.

Les définitions sont équivalentes. Considérez la figure ci-dessous.

On sait que la distance d'un point à une droite est la plus petite possible. Regardons cela avec un exemple.

Si nous prenons le point Q situé sur la ligne a, ne coïncidant pas avec le point M 1, alors nous obtenons que le segment M 1 Q est appelé oblique, abaissé de M 1 à la ligne a. Il faut indiquer que la perpendiculaire du point M 1 est inférieure à toute autre oblique tracée du point à la droite.

Pour le prouver, considérons le triangle M 1 Q 1 H 1 , où M 1 Q 1 est l'hypoténuse. On sait que sa longueur est toujours supérieure à la longueur de l'une quelconque des pattes. On a donc que M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Les données initiales pour trouver d'un point à une droite permettent d'utiliser plusieurs méthodes de résolution : à travers le théorème de Pythagore, les définitions de sinus, cosinus, tangente d'un angle, et autres. La plupart des tâches de ce type sont résolues à l'école dans les cours de géométrie.

Lorsque, lors de la recherche de la distance d'un point à une ligne, il est possible d'entrer un système de coordonnées rectangulaires, la méthode des coordonnées est utilisée. Dans ce paragraphe, nous considérons les deux principales méthodes pour trouver la distance souhaitée à partir d'un point donné.

La première méthode consiste à trouver la distance sous la forme d'une perpendiculaire tirée de M 1 à la ligne a. La deuxième méthode utilise l'équation normale de la droite a pour trouver la distance requise.

S'il y a un point sur le plan avec des coordonnées M 1 (x 1, y 1) situé dans un système de coordonnées rectangulaire, une ligne droite a, et que vous devez trouver la distance M 1 H 1, vous pouvez calculer de deux manières. Considérons-les.

Première manière

S'il existe des coordonnées du point H 1 égales à x 2, y 2, alors la distance du point à la ligne est calculée à partir des coordonnées de la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - et 1) 2.

Passons maintenant à la recherche des coordonnées du point H 1.

On sait qu'une droite en O x y correspond à l'équation d'une droite dans un plan. Prenons un moyen de définir une droite a en écrivant une équation générale d'une droite ou une équation avec une pente. On compose l'équation d'une droite passant par le point M 1 perpendiculaire à une droite donnée a. Notons la ligne hêtre b . H 1 est le point d'intersection des lignes a et b, donc pour déterminer les coordonnées, vous devez utiliser l'article dans lequel Dans la question sur les coordonnées des points d'intersection de deux droites.

On voit que l'algorithme pour trouver la distance d'un point donné M 1 (x 1, y 1) à la droite a s'effectue en fonction des points :

Définition 3

• trouver l'équation générale de la droite a , ayant la forme A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, ou une équation avec un coefficient de pente, ayant la forme y \u003d k 1 x + b 1;
• obtenir l'équation générale de la ligne b, qui a la forme A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ou une équation avec une pente y \u003d k 2 x + b 2 si la ligne b coupe le point M 1 et est perpendiculaire à la ligne donnée a ;
• détermination des coordonnées x 2, y 2 du point H 1, qui est le point d'intersection de a et b, pour cela le système est résolu équations linéaires UNE 1 X + B 1 y + C 1 = 0 UNE 2 X + B 2 y + C 2 = 0 ou y = k 1 X + b 1 y = k 2 X + b 2 ;
• calcul de la distance requise d'un point à une ligne droite, en utilisant la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Deuxième voie

Le théorème peut aider à répondre à la question de trouver la distance d'un point donné à une ligne donnée sur un plan.

Théorème

Un système de coordonnées rectangulaires a O x y a un point M 1 (x 1, y 1), à partir duquel une ligne droite est tracée a au plan, donné par l'équation normale du plan, ayant la forme cos α x + cos β y - p \u003d 0, égal au modulo de la valeur obtenue du côté gauche de l'équation de la droite normale, calculée à x = x 1, y = y 1, signifie que M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Preuve

La droite a correspond à l'équation normale du plan, qui a la forme cos α x + cos β y - p = 0, alors n → = (cos α , cos β) est considéré comme un vecteur normal de la droite a en a distance de l'origine à la ligne a avec p unités . Il est nécessaire de représenter toutes les données de la figure, d'ajouter un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1) , où le rayon vecteur du point M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Il faut tracer une droite allant d'un point à une droite, que nous noterons M 1 H 1 . Il faut montrer les projections M 2 et H 2 des points M 1 et H 2 sur une droite passant par le point O avec un vecteur directeur de la forme n → = (cos α , cos β) , et la projection numérique du vecteur sera notée O M 1 → = (x 1 , y 1) à la direction n → = (cos α , cos β) comme n p n → O M 1 → .

Les variations dépendent de l'emplacement du point M 1 lui-même. Considérez la figure ci-dessous.

On fixe les résultats à l'aide de la formule M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Puis on ramène l'égalité sous cette forme M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p pour obtenir n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Le produit scalaire des vecteurs donne une formule transformée de la forme n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , qui est un produit sous forme de coordonnées du forme n → , O M 1 → = cos α · X 1 + cos β · y 1 . Par conséquent, nous obtenons que n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Il s'ensuit que M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Le théorème a été prouvé.

On obtient que pour trouver la distance du point M 1 (x 1, y 1) à la droite a sur le plan, plusieurs actions doivent être effectuées :

Définition 4

• obtenir l'équation normale de la ligne a cos α · x + cos β · y - p = 0, à condition qu'elle ne soit pas dans la tâche ;
• calcul de l'expression cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , où la valeur résultante prend M 1 H 1 .

Appliquons ces méthodes pour résoudre des problèmes de recherche de la distance d'un point à un plan.

Exemple 1

Trouvez la distance entre le point de coordonnées M 1 (- 1 , 2) et la ligne 4 x - 3 y + 35 = 0 .

La solution

Utilisons la première méthode pour résoudre.

Pour ce faire, vous devez trouver l'équation générale de la ligne b, qui passe par un point donné M 1 (- 1 , 2) perpendiculaire à la ligne 4 x - 3 y + 35 = 0 . On le voit à partir de la condition que la ligne b est perpendiculaire à la ligne a, alors son vecteur directeur a pour coordonnées égales à (4, - 3) . Ainsi, nous avons la possibilité d'écrire l'équation canonique de la ligne b sur le plan, puisqu'il existe des coordonnées du point M 1, appartient à la ligne b. Déterminons les coordonnées du vecteur directeur de la droite b . Nous obtenons que x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . L'équation canonique résultante doit être convertie en une équation générale. Alors on obtient ça

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Trouvons les coordonnées des points d'intersection des lignes, que nous prendrons comme désignation H 1. Les transformations ressemblent à ceci :

4 x - 3 ans + 35 = 0 3 x + 4 ans - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 3 x + 4 ans - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 3 3 4 ans - 35 4 + 4 ans - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 ans = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 ans = 5 ⇔ x = - 5 ans = 5

De ce qui précède, nous avons que les coordonnées du point H 1 sont (- 5 ; 5) .

Il faut calculer la distance du point M 1 à la droite a. Nous avons que les coordonnées des points M 1 (- 1, 2) et H 1 (- 5, 5), puis nous substituons dans la formule pour trouver la distance et nous obtenons que

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

La deuxième solution.

Pour résoudre d'une autre manière, il faut obtenir l'équation normale d'une droite. Nous calculons la valeur du facteur de normalisation et multiplions les deux côtés de l'équation 4 x - 3 y + 35 = 0 . De là, nous obtenons que le facteur de normalisation est - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , et l'équation normale sera de la forme - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Selon l'algorithme de calcul, il faut obtenir l'équation normale d'une droite et la calculer avec les valeurs x = - 1 , y = 2 . Alors on obtient ça

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

De là, nous obtenons que la distance entre le point M 1 (- 1 , 2) et la ligne droite donnée 4 x - 3 y + 35 = 0 a la valeur - 5 = 5 .

Réponse: 5 .

On voit que dans cette méthode il est important d'utiliser l'équation normale d'une droite, puisque cette méthode est la plus courte. Mais la première méthode est pratique dans la mesure où elle est cohérente et logique, bien qu'elle ait plus de points de calcul.

Exemple 2

Sur le plan, il y a un système de coordonnées rectangulaire O x y avec un point M 1 (8, 0) et une droite y = 1 2 x + 1. Trouver la distance entre un point donné et une droite.

La solution

La solution de la première manière implique la réduction d'une équation donnée avec un coefficient de pente à l'équation vue générale. Pour simplifier, vous pouvez le faire différemment.

Si le produit des pentes des droites perpendiculaires vaut - 1, alors pente la droite perpendiculaire à y = 1 2 x + 1 donné vaut 2 . Nous obtenons maintenant l'équation d'une droite passant par un point de coordonnées M 1 (8, 0) . Nous avons que y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nous procédons à la recherche des coordonnées du point H 1, c'est-à-dire les points d'intersection y \u003d - 2 x + 16 et y \u003d 1 2 x + 1. On compose un système d'équations et on obtient :

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Il s'ensuit que la distance du point de coordonnées M 1 (8 , 0) à la ligne y = 1 2 x + 1 est égale à la distance du point de départ et du point final de coordonnées M 1 (8 , 0) et H 1 (6 , 4) . Calculons et obtenons que M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

La solution de la deuxième manière est de passer de l'équation à coefficient à sa forme normale. Autrement dit, nous obtenons y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, alors la valeur du facteur de normalisation sera - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Il s'ensuit que l'équation normale d'une droite prend la forme - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Calculons du point M 1 8 , 0 à une droite de la forme - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . On a:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Réponse: 2 5 .

Exemple 3

Il est nécessaire de calculer la distance entre le point de coordonnées M 1 (- 2 , 4) et les droites 2 x - 3 = 0 et y + 1 = 0 .

La solution

On obtient l'équation de la forme normale de la droite 2 x - 3 = 0 :

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Ensuite, nous procédons au calcul de la distance entre le point M 1 - 2, 4 et la droite x - 3 2 = 0. On a:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

L'équation de ligne droite y + 1 = 0 a un facteur de normalisation avec une valeur de -1. Cela signifie que l'équation prendra la forme - y - 1 = 0 . Nous procédons au calcul de la distance du point M 1 (- 2 , 4) à la droite - y - 1 = 0 . On obtient qu'il est égal à - 4 - 1 = 5.

Réponse: 3 1 2 et 5 .

Examinons de plus près comment trouver la distance entre un point donné de l'avion et axes de coordonnées Ox et Oy.

Dans un système de coordonnées rectangulaires, l'axe O y a une équation d'une ligne droite, qui est incomplète et a la forme x \u003d 0, et O x - y \u003d 0. Les équations sont normales pour les axes de coordonnées, il faut alors trouver la distance du point de coordonnées M 1 x 1 , y 1 aux droites. Cela se fait sur la base des formules M 1 H 1 = x 1 et M 1 H 1 = y 1 . Considérez la figure ci-dessous.

Exemple 4

Trouver la distance entre le point M 1 (6, - 7) et les lignes de coordonnées situées dans le plan O x y.

La solution

Puisque l'équation y \u003d 0 fait référence à la ligne O x, vous pouvez trouver la distance de M 1 avec coordonnées données, à cette ligne, en utilisant la formule. Nous obtenons que 6 = 6 .

Étant donné que l'équation x \u003d 0 fait référence à la ligne O y, vous pouvez trouver la distance entre M 1 et cette ligne à l'aide de la formule. Alors nous obtenons que - 7 = 7 .

Réponse: la distance de M 1 à O x vaut 6, et de M 1 à O y vaut 7.

Lorsque dans l'espace tridimensionnel nous avons un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1), il est nécessaire de trouver la distance du point A à la ligne a.

Considérez deux façons qui vous permettent de calculer la distance d'un point à une ligne droite située dans l'espace. Le premier cas considère la distance du point M 1 à la droite, où le point sur la droite est appelé H 1 et est la base de la perpendiculaire tirée du point M 1 à la droite a. Le deuxième cas suggère que les points de ce plan doivent être recherchés comme la hauteur du parallélogramme.

Première manière

De la définition, nous avons que la distance du point M 1 situé sur la droite a est la longueur de la perpendiculaire M 1 H 1, puis nous obtenons cela avec les coordonnées trouvées du point H 1, puis nous trouvons la distance entre M 1 (x 1, y 1, z 1 ) et H 1 (x 1, y 1, z 1) selon la formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Nous obtenons que toute la solution consiste à trouver les coordonnées de la base de la perpendiculaire tirée de M 1 à la ligne a. Cela se fait de la manière suivante : H 1 est le point d'intersection de la droite a avec le plan passant par le point donné.

Cela signifie que l'algorithme de détermination de la distance du point M 1 (x 1, y 1, z 1) à la droite a de l'espace implique plusieurs points :

Définition 5

• établir l'équation du plan χ comme une équation du plan passant par un point donné perpendiculaire à la droite ;
• détermination des coordonnées (x 2 , y 2 , z 2 ) appartenant au point H 1 qui est le point d'intersection de la droite a et du plan χ ;
• calcul de la distance d'un point à une ligne à l'aide de la formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Deuxième voie

A partir de la condition, nous avons une ligne a, alors nous pouvons déterminer le vecteur de direction a → = a x, a y, a z avec les coordonnées x 3, y 3, z 3 et un certain point M 3 appartenant à la ligne a. Etant donné les coordonnées des points M 1 (x 1 , y 1) et M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → peuvent être calculés :

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Il faut reporter les vecteurs a → \u003d a x, a y, a z et M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 du point M 3, connecter et obtenir une figure en parallélogramme. M 1 H 1 est la hauteur du parallélogramme.

Considérez la figure ci-dessous.

Nous avons que la hauteur M 1 H 1 est la distance souhaitée, alors vous devez la trouver en utilisant la formule. Autrement dit, nous recherchons M 1 H 1 .

Dénotons l'aire du parallélogramme par la lettre S, se trouve par la formule utilisant le vecteur a → = (a x , a y , a z) et M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . La formule de l'aire a la forme S = a → × M 3 M 1 → . De plus, l'aire de la figure est égale au produit des longueurs de ses côtés et de la hauteur, on obtient que S \u003d a → M 1 H 1 avec a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, qui est la longueur du vecteur a → \u003d (a x, a y, a z) , qui est égal au côté du parallélogramme. Par conséquent, M 1 H 1 est la distance du point à la droite. On le trouve par la formule M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Pour trouver la distance d'un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) à une droite a dans l'espace, vous devez effectuer plusieurs points de l'algorithme :

Définition 6

• détermination du vecteur directeur de la droite a - a → = (a x , a y , a z) ;
• calcul de la longueur du vecteur directeur a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• obtenir les coordonnées x 3 , y 3 , z 3 appartenant au point M 3 situé sur la ligne a ;
• calcul des coordonnées du vecteur M 3 M 1 → ;
• trouver le produit croisé des vecteurs a → (a x, a y, a z) et M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 comme a → × M 3 M 1 → = i → j → k → une X une y une z X 1 - X 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 pour obtenir la longueur selon la formule a → × M 3 M 1 → ;
• calcul de la distance d'un point à une ligne M 1 H 1 = une → × M 3 M 1 → une → .

Résoudre des problèmes sur la recherche de la distance d'un point donné à une ligne droite donnée dans l'espace

Trouver la distance entre le point de coordonnées M 1 2 , - 4 , - 1 et la droite x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

La solution

La première méthode commence par écrire l'équation du plan χ passant par M 1 et perpendiculaire à un point donné. On obtient une expression du type :

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Il faut trouver les coordonnées du point H 1, qui est le point d'intersection avec le plan χ à la droite donnée par la condition. Il faut passer de la forme canonique à celle croisée. On obtient alors un système d'équations de la forme :

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 X - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ X + 2 y + 1 = 0 5 X - 2 z - 5 = 0

Il faut calculer le système x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 par la méthode de Cramer, alors on obtient que :

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ X = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ X = ∆ X ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

On a donc H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

La deuxième méthode doit commencer par rechercher des coordonnées dans l'équation canonique. Pour ce faire, faites attention aux dénominateurs de la fraction. Alors a → = 2 , - 1 , 5 est le vecteur directeur de la droite x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Il est nécessaire de calculer la longueur à l'aide de la formule a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Il est clair que la droite x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 coupe le point M 3 (- 1 , 0 , - 5), donc on a que le vecteur d'origine M 3 (- 1 , 0 , - 5) et sa fin au point M 1 2 , - 4 , - 1 est M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Trouver le produit vectoriel a → = (2, - 1, 5) et M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

On obtient une expression de la forme a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 je → + 7 j → - 5 k →

on obtient que la longueur du produit croisé est a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Nous avons toutes les données pour utiliser la formule de calcul de la distance d'un point pour une ligne droite, nous l'appliquons donc et obtenons :

M 1 H 1 = une → × M 3 M 1 → une → = 330 30 = 11

Réponse: 11 .

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Université technique maritime d'État de Saint-Pétersbourg

Département d'infographie et de soutien à l'information

ACTIVITÉ 3

TÂCHE PRATIQUE №3

Déterminer la distance d'un point à une droite.

Vous pouvez déterminer la distance entre un point et une droite en effectuant les constructions suivantes (voir Fig. 1):

d'un point DE déposer une perpendiculaire à une droite un;

marquer un point À intersection d'une perpendiculaire avec une droite;

mesurer la longueur de la coupe KS, dont le début est le point donné et dont la fin est le point d'intersection marqué.

Fig. 1. La distance d'un point à une ligne.

La base pour résoudre des problèmes de ce type est la règle de projection à angle droit : un angle droit est projeté sans distorsion si au moins un de ses côtés est parallèle au plan de projection(c'est-à-dire occupe une position privée). Commençons par un tel cas et considérons les constructions pour déterminer la distance du point DEà une ligne droite UN B.

Il n'y a pas de cas de test dans cette tâche, et les options pour effectuer des tâches individuelles sont données dans tableau1 et tableau2. La solution du problème est décrite ci-dessous et les constructions correspondantes sont illustrées à la Fig.2.

1. Détermination de la distance d'un point à une ligne de position particulière.

Tout d'abord, des projections d'un point et d'un segment sont construites. Projection A1B1 parallèle à l'axe X. Cela signifie que la coupe UN B parallèle au plan P2. Si d'un point DE tracer une perpendiculaire à UN B, alors l'angle droit est projeté sans distorsion précisément sur le plan P2. Cela vous permet de tracer une perpendiculaire à partir du point C2 sur la projection A2B2.

Menu déroulant Dessin au trait (Dessiner- ligne) . Placer le curseur sur le point C2 et fixez-le comme premier point du segment. Déplacez le curseur dans la direction de la normale au segment A2B2 et fixez le deuxième point dessus au moment où l'invite apparaît Normal (Perpendiculaire) . Désigner le point construit K2. Activer le mode ORTHO(ORTHO) , et du point K2 tracer une ligne de connexion verticale à l'intersection avec la projection A1 B1. Le point d'intersection est noté K1. Point À couché sur le segment UN B, est le point d'intersection de la perpendiculaire tirée du point DE, avec segments UN B. Ainsi, la coupe KS est la distance souhaitée entre le point et la ligne.

Il ressort des constructions que le segment KS occupe une position générale et, par conséquent, ses projections sont déformées. Parler de distance signifie toujours la vraie valeur du segment exprimer la distance. Par conséquent, nous devons trouver la vraie valeur du segment KS, en le transformant en position privée, par exemple, KS|| P1. Le résultat des constructions est représenté sur la Fig.2.

A partir des constructions montrées sur la Fig. 2, nous pouvons conclure : la position particulière de la droite (le segment est parallèle à P1 ou P2) vous permet de construire rapidement des projections de la distance d'un point à une ligne, mais elles sont déformées.

Fig.2. Détermination de la distance d'un point à une ligne de position particulière.

2. Détermination de la distance d'un point à une ligne en position générale.

Le segment n'occupe pas toujours une position particulière dans la condition initiale. Avec une position initiale commune, les constructions suivantes sont effectuées pour déterminer la distance d'un point à une ligne :

a) en utilisant la méthode de transformation du dessin, convertissez le segment de la position générale à la position privée - cela vous permettra de construire des projections de distance (déformées);

b) en utilisant la méthode une seconde fois, traduisez le segment correspondant à la distance requise dans une position particulière - nous obtiendrons la projection de la distance en termes d'une valeur égale à la valeur réelle.

Considérez une séquence de constructions pour déterminer la distance à partir d'un point MAIS jusqu'à un segment en position générale Soleil(Fig. 3).

Au premier tour il faut obtenir une position particulière du segment ÀC. Pour ce faire, dans la couche RTM besoin de relier les points EN 2, C2 et A2. Utilisation de la commande Edition-Rotation (Modifier – Tourner) Triangle B2C2A2 tourner autour d'un point C2 au point où la nouvelle projection B2*C2 sera situé strictement horizontalement (point DE est immobile et, par conséquent, sa nouvelle projection coïncide avec celle d'origine et la notation C2* et C1* peut ne pas apparaître sur le dessin). En conséquence, de nouvelles projections du segment seront obtenues B2*C2 et pointe : A2*. Venant des points A2* et EN 2* sont dessinés verticalement, et à partir de points EN 1 et A1 lignes de communication horizontales. L'intersection des lignes correspondantes déterminera la position des points de la nouvelle projection horizontale : le segment B1*C1 et points A1*.

Dans la position particulière résultante, vous pouvez construire des projections de distance pour cela : du point A1* construire une normale à B1*C1. Le point de leur intersection mutuelle - K1*. Une ligne de connexion verticale est tracée à partir de ce point jusqu'à l'intersection avec la projection B2*C2. Point marqué K2*. Par conséquent, les projections du segment AK, qui est la distance désirée du point MAISà une ligne droite Soleil.

Ensuite, vous devez construire des projections de la distance dans la condition initiale. Pour cela, du point K1* il est pratique de tracer une ligne horizontale à l'intersection avec la projection B1C1 et marquer le point d'intersection K1. Puis un point est construit K2 sur la projection frontale du segment et des projections sont réalisées A1K1 et A2K2.À la suite des constructions, des projections de distance ont été obtenues, mais à la fois dans la position initiale et dans la nouvelle position particulière du segment Soleil, segment de ligne AK occupe une position générale, ce qui conduit au fait que toutes ses projections sont déformées.

Au deuxième tour le segment doit être tourné AKà une position particulière, ce qui vous permettra de déterminer la vraie valeur de la distance - la projection A2*K2**. Le résultat de toutes les constructions est montré dans la Fig.3.

TÂCHE №3-1. DEà une droite de position privée, donnée par un segment UN B. Donnez votre réponse en mm (Tableau 1).Supprimer les lignes de projection

Tableau 1

TÂCHE №3-2. Trouver la vraie distance d'un point Mà une droite en position générale donnée par un segment DE. Donnez votre réponse en mm (Tableau 2).

Tableau 2

Vérifier et créditer la TÂCHE n° 3 terminée.

Pour calculer la distance d'un point donné M à une ligne L, vous pouvez utiliser différentes façons. Par exemple, si nous prenons un point arbitraire M 0 sur la droite L, alors nous pouvons définir projection orthogonale du vecteur M 0 M sur la direction du vecteur normal de la droite. Cette projection, à un signe près, est la distance requise.

Une autre façon de calculer la distance d'un point à une ligne est d'utiliser équation normale d'une droite. Soit la droite L donnée par l'équation normale (4.23). Si le point M(x; y) ne se trouve pas sur la droite L, alors la projection orthogonale pr n OM rayon-vecteur point M à la direction du vecteur normal unitaire n de la droite L est égal au produit scalaire des vecteurs OM et n, c'est-à-dire x cosφ + y sinφ. La même projection est égale à la somme de la distance p de l'origine à la droite et d'une certaine valeur δ (Fig. 4.10). La valeur de δ selon valeur absolueégale à la distance du point M à la droite. Dans ce cas, δ > 0 si les points M et O sont sur les côtés opposés de la droite, et δ est l'écart du point M par rapport à la droite.

L'écart δ du point M(x; y) par rapport à la ligne L est calculé comme la différence entre la projection pr n OM et la distance p de l'origine à la ligne (voir Fig. 4.10), c'est-à-dire δ \u003d x cosφ + y sinφ - p.

En utilisant cette formule, on peut aussi obtenir la distance p(M, L) du point M(x; y) à la droite L donnée par l'équation normale : p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Deux angles adjacents totalisent 180°

Compte tenu de la procédure de conversion ci-dessus équation générale d'une droite dans son équation normale, on obtient une formule de la distance du point M(x; y) à la droite L, donnée par son équation générale :

Exemple 4.8. Trouvons les équations générales pour la hauteur AH, la médiane AM et la bissectrice AD ​​du triangle ABC issu du sommet A. Les coordonnées des sommets du triangle A(-1;-3), B(7; 3 ), C(1;7) sont connus.

Tout d'abord, clarifions la condition de l'exemple : les équations indiquées signifient les équations des lignes L AH, L AM et L AD, sur lesquelles se situent la hauteur AH, la médiane AM et la bissectrice AD ​​du triangle spécifié, respectivement (Fig. 4.11).

Pour trouver l'équation de la droite L AM , on utilise le fait que la médiane divise en deux le côté opposé du triangle. Ayant trouvé les coordonnées (x 1; y 1) du milieu du côté BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, on écrit l'équation pour L AM sous la forme équation d'une droite passant par deux points,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Après transformations, on obtient l'équation générale de la médiane 8x - 5y - 7 \u003d 0./p>

Pour trouver l'équation de la hauteur L AH, on utilise le fait que la hauteur est perpendiculaire au côté opposé du triangle. Par conséquent, le vecteur BC est perpendiculaire à la hauteur AH et peut être choisi comme vecteur normal de la droite L AH . L'équation de cette droite s'obtient à partir de (4.15) en substituant les coordonnées du point A et le vecteur normal de la droite L AH :

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Après transformations, on obtient l'équation générale de la hauteur 3x - 2y - 3 = 0.

Pour trouver l'équation de la bissectrice L AD , on utilise le fait que la bissectrice AD ​​appartient à l'ensemble des points N(x; y) équidistants des droites L AB et L AC . L'équation de cet ensemble a la forme

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)

et il définit deux droites passant par le point A et divisant par deux les angles entre les droites L AB et L AC. En utilisant l'équation d'une droite passant par deux points, on trouve les équations générales des droites L AB et L AC :

L AB : (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC : (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

Après transformations, on obtient L AB: 3x - 4y - 9 \u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \u003d 0. Équation (4.28) utilisant la formule (4.27) pour calculer la distance d'un point à une droite, nous écrivons sous la forme

Transformons-le en élargissant les modules :

En conséquence, nous obtenons les équations générales de deux droites

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Pour en choisir l'équation bissectrice, nous tenons compte du fait que les sommets B et C du triangle sont situés sur des côtés opposés de la ligne souhaitée et substituent donc leurs coordonnées dans côté gauche de l'équation générale de la droite L AD doit donner des valeurs avec différents signes. On choisit l'équation correspondant au signe supérieur, c'est-à-dire

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

La substitution des coordonnées du point B dans le côté gauche de cette équation donne une valeur négative car

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

et le même signe est obtenu pour les coordonnées du point C, puisque

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Par conséquent, les sommets B et C sont situés du même côté de la droite avec l'équation choisie, et donc l'équation de la bissectrice est

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

La distance d'un point à une droite est la longueur de la perpendiculaire du point à la droite. En géométrie descriptive, elle est déterminée graphiquement selon l'algorithme ci-dessous.

Algorithme

1. La ligne droite est transférée à une position dans laquelle elle sera parallèle à n'importe quel plan de projection. Pour ce faire, appliquez les méthodes de transformation des projections orthogonales.
2. Tracez une perpendiculaire d'un point à une droite. Cette construction est basée sur le théorème de projection à angle droit.
3. La longueur d'une perpendiculaire est déterminée en convertissant ses projections ou en utilisant la méthode du triangle rectangle.

La figure suivante montre un dessin complexe du point M et de la droite b définis par le segment de droite CD. Vous devez trouver la distance qui les sépare.

Selon notre algorithme, la première chose à faire est de déplacer la ligne vers une position parallèle au plan de projection. Il est important de comprendre qu'après les transformations, la distance réelle entre le point et la ligne ne doit pas changer. C'est pourquoi il est pratique d'utiliser ici la méthode de remplacement d'avion, qui n'implique pas de déplacer des personnages dans l'espace.

Les résultats de la première phase de constructions sont présentés ci-dessous. La figure montre comment un plan frontal supplémentaire P 4 est introduit parallèlement à b. À nouveau système(P 1 , P 4) les points C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 sont à la même distance de l'axe X 1 que C"", D"", M"" de l'axe X.

En effectuant la deuxième partie de l'algorithme, de M"" 1 on abaisse la perpendiculaire M"" 1 N"" 1 à la droite b"" 1, puisque l'angle droit MND entre b et MN est projeté sur le plan P 4 en pleine grandeur. On détermine la position du point N" le long de la ligne de communication et on trace la projection M"N" du segment MN.

A l'étape finale, il faut déterminer la valeur du segment MN par ses projections M"N" et M"" 1 N"" 1 . Pour cela nous construisons triangle rectangle M"" 1 N"" 1 N 0 , dont la jambe N"" 1 N 0 est égale à la différence (Y M 1 – Y N 1) du retrait des points M" et N" de l'axe X 1. La longueur de l'hypoténuse M"" 1 N 0 du triangle M"" 1 N"" 1 N 0 correspond à la distance souhaitée de M à b.

La deuxième façon de résoudre

• Parallèlement à CD nous introduisons un nouveau plan frontal П 4 . Il coupe P 1 le long de l'axe X 1, et X 1 ∥C"D". Conformément à la méthode de remplacement des plans, nous déterminons les projections des points C "" 1, D"" 1 et M"" 1, comme indiqué sur la figure.
• Perpendiculairement à C"" 1 D"" 1 nous construisons un plan horizontal P 5, sur lequel la ligne b est projetée au point C "2 = b" 2.
• La distance entre le point M et la droite b est déterminée par la longueur du segment M "2 C" 2 marqué en rouge.

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