Има смисъл да се говори за операции с алгебрични дроби. С алгебрични дроби са дефинирани следните действия: събиране, изваждане, умножение, деление и повишаване на естествена степен. Освен това всички тези действия са затворени, в смисъл, че в резултат на тяхното изпълнение се получава алгебрична дроб. Нека анализираме всеки един от тях по ред.

Да, веднага си струва да се отбележи, че операциите с алгебрични дроби са обобщения на съответните операции с обикновени дроби. Следователно съответните правила почти дословно съвпадат с правилата за извършване на събиране и изваждане, умножение, деление и степенуване обикновени дроби.

Навигация в страницата.

Събиране на алгебрични дроби

Добавянето на всякакви алгебрични дроби отговаря на един от следните два случая: в първия дроби с едни и същи знаменатели, във втория - с различни. Нека започнем с правилото за събиране на дроби със същите знаменатели.

За да добавите алгебрични дроби със същите знаменатели, трябва да добавите числителите и да оставите знаменателят същият.

Озвученото правило ви позволява да преминете от добавяне на алгебрични дроби към добавяне на полиноми, които са в числители. Например, .

За да добавите алгебрични дроби с различни знаменателитрябва да действате според следното правило: доведете ги до общ знаменател, а след това добавете получените дроби със същите знаменатели.

Например, когато се добавят алгебрични дроби и те първо трябва да бъдат доведени до общ знаменател, в резултат на това те ще приемат формата И съответно след което се извършва събирането на тези дроби със същите знаменатели: .

Изваждане

Следващата стъпка, изваждането на алгебричните дроби, се извършва по същия начин като събирането. Ако знаменателите на оригиналните алгебрични дроби са еднакви, тогава просто трябва да извадите полиномите в числителите и да оставите знаменателят същият. Ако знаменателите са различни, тогава първо се извършва редукция до общ знаменател, след което се изваждат получените дроби със същите знаменатели.

Да дадем примери.

Нека да извадим алгебрични дроби и , техните знаменатели са еднакви, следователно . Получената алгебрична дроб може да бъде допълнително намалена: .

Сега извадете частта от дроба. Това са алгебрични дроби с различни знаменатели, следователно първо ги довеждаме до общ знаменател, който в този случай е 5 x (x-1) , имаме И . Остава да направим изваждането:

Умножение на алгебрични дроби

Алгебричните дроби могат да се умножават. Това действие се извършва подобно на умножението на обикновени дроби според следното правило: за да умножите алгебричните дроби, трябва да умножите числителите поотделно и отделно знаменателите.

Да вземем пример. Умножете алгебрична дроб по дроб. Според посоченото правило имаме . Остава да преобразуваме получената фракция в алгебрична дроб, за това в този случай трябва да извършите умножението на моном и полином (и в общ случай- умножение на полиноми) в числителя и знаменателя: .

Струва си да се отбележи, че преди да умножите алгебричните дроби, е желателно да разложите на множители полиномите, които са в техните числители и знаменатели. Това се дължи на възможността за намаляване на получената фракция. Например,
.

Това действие е разгледано по-подробно в статията.

дивизия

Преминаваме към действия с алгебрични дроби. Следващото по ред е разделянето на алгебричните дроби. Следното правило свежда деленето на алгебрични дроби до умножение: за да разделите една алгебрична дроб на друга, трябва да умножите първата дроб по реципрочната стойност на втората.

Алгебрична дроб, обратна на дадена дроб, се разбира като дроб с пренаредени числител и знаменател. С други думи, две алгебрични дроби се считат за взаимно обратни, ако тяхното произведение е идентично равно на единица (по аналогия с).

Да вземем пример. Да направим делението . Реципрочната стойност на делителя е . По този начин, .

За по-подробна информация вижте статията, спомената в предишния параграф, умножение и деление на алгебрични дроби.

Повишаване на алгебрична дроб на степен

Накрая преминаваме към последното действие с алгебрични дроби – повишаване на естествена степен. , както и как дефинирахме умножението на алгебрични дроби, ни позволява да запишем правилото за повдигане на алгебрична дроб на степен: трябва отделно да повишите числителя на тази степен и отделно знаменателя.

Нека покажем пример за това действие. Нека повдигнем алгебрична дроб на втора степен. Според горното правило имаме . Остава да се повиши мономът в числителя на степен, а също и да се повиши полиномът в знаменателя на степен, което ще даде алгебрична дроб от вида .

Решението на други характерни примери е показано в статията за издигане на алгебрична дроб на степен.

Библиография.

• алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидатстващи в техникумите): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Авторско право от умни студенти

Всички права запазени.
Защитено от закона за авторското право. Не е част от www.website, включително вътрешни материалии външен вид, не могат да бъдат възпроизвеждани под никаква форма или използвани без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Цели: да се повтори правилото за умножение на обикновени дроби и да се научи как да се прилага това правило за умножение на произволни дроби; да затвърди уменията за редуциране на дроби и свойствата на степени със същите основи по време на упражненията.

По време на занятията

I. Анализ на контролната работа.

1. Посочете грешките, допуснати от учениците в контролната работа.

2. Решаване на задачи, предизвикали затруднения на учениците.

II. устна работа.

1. Повторете свойствата на градусите със същите основи:

2. Представя се като степен с основа

Повторете основното свойство на дроб и използвайте това свойство, за да намалите дробите.

III. Обяснения на новия материал.

1. Нека докажем, че равенството

е вярно за всякакви допустими стойности на променливите, тоест за b≠0 и d≠0.

2. Правило: За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите техните числители и да умножите знаменателите им и да напишете първото произведение като числител, а второто като знаменател на дробта.

3. Разгледайте решението на примери 1, 2, 3 и 4 на стр. 26-27 от учебника.

4. Правилото за умножение на дроби важи за произведението на три или повече фактора.

Например:

1. Решете No 108 (устно).

2. Решете No 109 (а, в, д) на дъската и в тетрадките.

Учениците решават сами, след което решението се проверява.

3. Решете № 112 (в; г; е).

Домашна работа: учебен т. 5 (1-4); решение № 109 (б; г; е),

No 112 (а; б; д), No 118 (а; в; д), No 119 (б; г), No 120 (а; в).

Урок 2

Цели: да се изведе правилото за издигане на дроб на степен и да се научат учениците да прилагат това правило при изпълнение на упражнения; да затвърди правилото за умножение на дроби и уменията за намаляване на дроби, да развие логическото мислене на учениците.

По време на занятията

I. Устна работа.

4. Проверете домашна работана тетрадките избирателно.

II. Изучаване на нов материал.

1. Разгледайте въпроса за повдигане на дроб на степен. Нека докажем това

2. Правило. За да повишите дроб на степен, трябва да повишите числителя и знаменателя на тази степен и да напишете първия резултат в числителя, а втория в знаменателя на дробта.

3. Анализирайте решението на пример 5 на стр. 28 от учебника:

III. Правете упражнения.

1. Решете устно номер 115.

2. Решете номер 116 самостоятелно с проверка или коментиране на място.

IV. Самостоятелна работа (10 мин.).

V. Резюме на урока.

1. Формирайте правило за умножение на дроби.

2. Оформете правило за повдигане на дроб на степен.

Домашна работа:научете правилата на параграф 5; решение No 117, No 121 (а; г), No 122 (а; в), No 123 (а), No 124, No 130 (а; б).

Очевидно числата със степени могат да се добавят като други количества , като ги добавите един по един с техните знаци.

И така, сборът от a 3 и b 2 е a 3 + b 2 .
Сумата от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коефициенти същите мощности на едни и същи променливиможе да се добавя или изважда.

И така, сборът от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2 .

Очевидно е също, че ако вземем два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливиИ различни степени идентични променливи, трябва да бъдат добавени, като ги добавите към техните знаци.

И така, сумата от 2 и 3 е сумата от 2 + a 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не е два пъти по-голям от квадрата на a, а е два пъти по-голям от куба на a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Изважданемощностите се извършват по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на изваждането трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Умножение на мощността

Числата със степени могат да се умножават като други количества, като се записват едно след друго, със или без знака за умножение между тях.

И така, резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3 .

Като сравняваме няколко числа (променливи) със степени, можем да видим, че ако две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на сумастепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n , a се взема като фактор толкова пъти, колкото е степента на n;

И a m , се взема като фактор толкова пъти, колкото е равна на степента m;

Ето защо, степени със същите основи могат да се умножат чрез добавяне на степените.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито експоненти са - отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равен на сбора или разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата от две числа се повдигнат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата от тези числа в четвъртистепен.

И така, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Деление на степени

Числата със степени могат да се разделят като другите числа чрез изваждане от делителя или като се поставят под формата на дроб.

Така че a 3 b 2 разделено на b 2 е 3 .

Или:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Записването на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac(a^5)(a^3)$. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и степента ще бъде равно на разликаиндикатори за делими числа.

При разделяне на степени с една и съща основа техните експоненти се изваждат..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Тоест $\frac(yyy)(yy) = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n . Тоест $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Или:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правилото важи и за числа с отрицателенстепенни стойности.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Също така $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Необходимо е да се овладее много добре умножението и деленето на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите в $\frac(5a^4)(3a^2)$ Отговор: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Намалете експонентите в $\frac(6x^6)(3x^5)$. Отговор: $\frac(2x)(1)$ или 2x.

3. Намалете степените a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и доведете до общ знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1, общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Намалете степените 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги доведете до общ знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

9. Разделете (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Силови формулиизползва се в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

номер ° Се н-та степен на число акога:

Операции с градуси.

1. Умножавайки градуси със същата основа, техните показатели се сумират:

а мa n = a m + n .

2. При деление на степени с една и съща основа техните показатели се изваждат:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Степента на дроб е равна на съотношението на степените на дивидента и делителя:

(a/b) n = a n / b n .

5. Повишавайки степен на степен, степените се умножават:

(am) n = a m n .

Всяка формула по-горе е правилна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато се повдига корен на степен, достатъчно е да се повиши коренното число на тази степен:

4. Ако увеличим степента на корена в нведнъж и в същото време повдигнете до нстепента е коренно число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалим степента на корена в н root едновременно нта степен от радикалното число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на някакво число с неположителен (целочислен) показател се дефинира като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютна стойностнеположителен индикатор:

Формула а м:a n = a m - nможе да се използва не само за м> н, но и при м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формула а м:a n = a m - nстана справедливо при m=n, имате нужда от наличието на нулева степен.

Степен с нулева степен.Силата на всяко ненулево число с нулева степен е равна на единица.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.За да съберете реално число нодо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на мстепен на това число но.

Урок на тема: "Правила за умножение и деление на степени с еднакви и различни степени. Примери"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 7 клас
Ръководство за учебника Ю.Н. Макаричева Ръководство за учебника A.G. Мордкович

Целта на урока: да се научите как да извършвате операции със степени на число.

Като начало, нека си припомним понятието "сила на число". Израз като $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ може да бъде представен като $a^n$.

Обратното също е вярно: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Това равенство се нарича "записване на степента като продукт". Ще ни помогне да определим как да умножаваме и разделяме правомощията.
Помня:
а- основата на степента.
н- степен.
Ако n=1, което означава числото новзето веднъж и съответно: $a^n= 1$.
Ако n=0, тогава $a^0= 1$.

Защо се случва това, можем да разберем, когато се запознаем с правилата за умножение и разделяне на степени.

правила за умножение

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Това свойство е удобно за използване за опростяване на работата при повишаване на число на голяма степен.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Ако степени се умножават с различна основа, но една и съща степен.
Към $a^n * b^n$ записваме степените като продукт: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Ако разменим факторите и преброим получените двойки, получаваме: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Така че $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

правила за разделяне

Значи е необходимо $\frac(a^n)(a^m)$, където n>m.

Записваме степените като дроб:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Сега нека намалим фракцията.

Оказва се: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
означава, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Това свойство ще помогне да се обясни ситуацията с повишаване на числото до степен нула. Да предположим, че n=m, тогава $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Примери.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Основите на степента са различни, показателите са еднакви.
Да приемем, че имате нужда от $\frac(a^n)(b^n)$. Записваме степените на числата като дроб:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Пример.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.