Този калкулатор е изчислил 2192 проблема по темата "Площ на трапец"

КВАДРАТ КЛИЕНОВ КАМЪК

Изберете формулата за изчисляване на площта на трапец, която планирате да приложите за решаване на поставения ви проблем:

Обща теория за изчисляване на площта на трапец.

Трапец - това е плоска фигура, състояща се от четири точки, три от които не лежат на една права линия, и четири сегмента (страни), свързващи тези четири точки по двойки, в които две противоположни страни са успоредни (лежат на успоредни линии), а другите две не са успоредни.

Точките се извикват върховете на трапеца и са обозначени с главни латински букви.

Извикват се сегментите страни на трапеца и се означават с двойка главни букви латински букви според върховете, които отсечките на линиите се свързват.

Извикват се двете успоредни страни на трапеца основите на трапеца .

Извикват се двете непаралелни страни на трапец странични страни на трапеца .

Фигура # 1: Трапец ABCD

Фигура 1 показва трапец ABCD с върхове A, B , C, D и страни AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - основи на трапец ABCD.

AD, BC - странични страни на трапеца ABCD.

Ъгълът, образуван от лъчите AB и AD, се нарича ъгъл при върха A. Той се обозначава като ÐA или ÐBAD, или ÐDAB.

Ъгълът, образуван от лъчите BA и BC, се нарича ъгъл при върха B. Той се обозначава като ÐB или ÐABC, или ÐCBA.

Ъгълът, образуван от лъчите CB и CD, се нарича ъгъл при върха C. Той се обозначава като ÐC или ÐDCB, или ÐBCD.

Ъгълът, образуван от гредите AD и CD, се нарича връх ъгъл D. Той се обозначава като ÐD или ÐADC, или ÐCDA.

Фигура # 2: Трапец ABCD

На фигура 2 се нарича сегментът MN, свързващ средните точки на страничните страни средната линия на трапеца.

Средната линия на трапецауспоредно на основите и равно на тяхната полусума. Т.е., .

Фигура # 3: Равнобедрен трапец ABCD

На фигура 3 AD \u003d BC.

Извиква се трапецът равнобедрен (равнобедрен)ако страните му са равни.

Фигура # 4: Правоъгълен трапец ABCD

На фигура 4 ъгъл D е права линия (равна на 90 °).

Извиква се трапецът правоъгълен, ако ъгълът отстрани е прав.

Квадрат S плосъкфигури, към които принадлежи трапецът, се нарича ограничено затворено пространство на равнина. Квадрат плоска фигура показва размера на тази фигура.

Районът има няколко свойства:

1. Не може да бъде отрицателно.

2. Ако е дадена определена затворена област на равнина, която се състои от няколко фигури, които не се пресичат помежду си (т.е. фигурите нямат общи вътрешни точки, но може и да се допират една до друга), тогава площ на такава площ е равна на сумата от площите на фигурите, които я съставят ...

3. Ако две фигури са равни, то техните площи са равни.

4. Площта на квадрата, който е изграден върху единична линия, е равна на единица.

Per мерна единица измервания квадрати вземете площта на квадрат, чиято страна е равна на мерна единица измервания сегменти.

При решаване на задачи често се използват следните формули за изчисляване на площта на трапец:

1. Площта на трапеца е равна на полусумата от неговите основи, умножена по височината:

2. Площта на трапеца е равна на произведението на средната му линия на височината:

3. С известните дължини на основите и страните на трапеца, площта му може да се изчисли по формулата:

4. Възможно е да се изчисли площта на равнобедрен трапец с известна дължина на радиуса на окръжност, вписана в трапец и известна стойност на ъгъла в основата, като се използва следната формула:

Пример 1: Изчислете площта на трапец с основи a \u003d 7, b \u003d 3 и височина h \u003d 15.

Решение:

Отговор:

Пример 2: Намерете страната на основата на трапеца с площ S \u003d 35 cm 2, височина h \u003d 7 cm и втората основа b \u003d 2 cm.

Решение:

За да намерим страната на основата на трапеца, използваме формулата за изчисляване на площта:

Нека изразим от тази формула страната на основата на трапеца:

По този начин имаме следното:

Отговор:

Пример 3: Намерете височината на трапец с площ S \u003d 17 cm 2 и основи a \u003d 30 cm, b \u003d 4 cm.

Решение:

За да намерите височината на трапеца, използвайте формулата за изчисляване на площта:

По този начин имаме следното:

Отговор:

Пример 4: Изчислете площта на трапец с височина h \u003d 24 и средна линия m \u003d 5.

Решение:

За да намерим площта на трапеца, използваме следната формула за изчисляване на площта:

По този начин имаме следното:

Отговор:

Пример 5: Намерете височината на трапец с площ S \u003d 48 cm 2 и средна линия m \u003d 6 cm.

Решение:

За да намерим височината на трапеца, използваме формулата за изчисляване на площта на трапеца:

Нека изразим височината на трапеца от тази формула:

По този начин имаме следното:

Отговор:

Пример 6: Намерете средната линия на трапец с площ S \u003d 56 и височина h \u003d 4.

Решение:

За да намерите средната линия на трапец, използвайте формулата за изчисляване на площта на трапец:

Нека изразим от тази формула средната линия на трапеца:

По този начин имаме следното.

Трапецът е специален вид четириъгълник, в който две противоположни страни са успоредни една на друга, но другите две не са. Различни обекти от реалния живот имат трапецовидна форма, така че може да се наложи да изчислите периметъра на такава геометрична форма, за да решите ежедневни или училищни проблеми.

Трапецовидна геометрия

Трапец (от гръцки „трапец“ - маса) е фигура на равнина, ограничена от четири сегмента, два от които са успоредни, а два не. Успоредните отсечки на линиите се наричат \u200b\u200bоснови на трапеца, а непаралелните странични страни на фигурата. Страните и техните ъгли на наклон определят вида на трапеца, който може да бъде универсален, равнобедрен или правоъгълен. В допълнение към основите и страните, трапецът има още два елемента:

• височина - разстоянието между успоредните основи на фигурата;
• средна линия - сегмент, свързващ средните точки на страните.

Тази геометрична форма е широко разпространена в реалния живот.

Трапец в действителност

IN ежедневието Много реални предмети приемат трапецовидна форма. Можете лесно да намерите трапеции в следните области на човешката дейност:

• интериорен дизайн и декор - дивани, плотове, стени, килими, окачени тавани;
• ландшафтен дизайн - граници на тревни площи и изкуствени резервоари, форми на декоративни елементи;
• мода - форма на облекло, обувки и аксесоари;
• архитектура - прозорци, стени, основи на сгради;
• производство - различни продукти и части.

При такова широко използване на трапецовидна често специалистите трябва да изчисляват периметъра на геометрична фигура.

Периметър на трапеца

Периметърът на фигура е числова характеристика, която се изчислява като сбор от дължините на всички страни на n-кут. Трапецът е четириъгълник и вътре общ случай всички страни имат различна дължина, така че периметърът се изчислява по формулата:

P \u003d a + b + c + d,

където a и c са основите на фигурата, b и d са нейните страни.

Въпреки факта, че когато изчисляваме периметъра на трапец, не е необходимо да знаем височината, програмният код на калкулатора изисква тази променлива да бъде въведена. Тъй като височината не влияе по никакъв начин на изчисленията, когато използвате нашия онлайн калкулатор, можете да въведете всяка стойност на височина, която е по-голяма от нула. Нека разгледаме няколко примера.

Примери от реалния живот

Шал

Да приемем, че имате трапецовиден шал и искате да го подрежете с ресни. Ще трябва да знаете периметъра на шала, за да не купувате излишен материал или да отидете два пъти до магазина. Нека вашият равнобедрен шал има следните параметри: a \u003d 120 cm, b \u003d 60 cm, c \u003d 100 cm, d \u003d 60 cm. Вкарваме тези данни в онлайн формуляра и получаваме отговора във формата:

По този начин периметърът на шала е 340 см и точно това е дължината на плитката от ресни, за да го отрежете.

Склонове

Например решихте да направите склонове за нестандартни металопластикови прозорцикоито са трапецовидни. Такива прозорци се използват широко при проектирането на сгради, създавайки композиция от няколко крила. Най-често такива прозорци се изпълняват във формата правоъгълен трапец... Нека да разберем колко материал е необходим за направата на склоновете на такъв прозорец. Стандартният прозорец има следните параметри a \u003d 140 cm, b \u003d 20 cm, c \u003d 180 cm, d \u003d 50 cm. Използваме тези данни и получаваме резултата във формата

Следователно периметърът на трапецовидния прозорец е 390 см, колкото е необходимо да купите пластмасови панели за образуване на склонове.

Заключение

Трапецът е популярна фигура в ежедневието, чието определяне на параметри може да е необходимо в най-неочакваните ситуации. Изчисляването на периметрите с трапец е необходимо за много професионалисти: от инженери и архитекти до дизайнери и механици. Нашият каталог с онлайн калкулатори ще ви позволи да извършвате изчисления за всеки геометрични фигури и тел.

Район трапец. Поздравления! В тази публикация ще разгледаме посочената формула. Защо е точно така и как да го разберем. Ако има разбиране, тогава не е нужно да го научавате. Ако просто искате да видите тази формула и какво е спешно, можете веднага да превъртите страницата надолу))

Сега в детайли и в ред.

Трапецът е четириъгълник, двете страни на този четириъгълник са успоредни, а другите две не. Тези, които не са успоредни, са основите на трапеца. Останалите две се наричат \u200b\u200bстрани.

Ако страните са равни, тогава трапецът се нарича равнобедрен. Ако една от страничните страни е перпендикулярна на основите, тогава такъв трапец се нарича правоъгълен.

IN класическа форма трапецът е изобразен по следния начин - по-голямата основа е отдолу, съответно по-малката е отгоре. Но никой не забранява да я изобразява и обратно. Ето скиците:

Следващата важна концепция.

Средната линия на трапеца е отсечката на линията, която свързва средните точки на страните. Средната линия е успоредна на основите на трапеца и е равна на тяхната полусума.

Сега нека се задълбочим. Защо е така?

Помислете за трапец с основи a и b и със средната линия л и ще изпълним някои допълнителни конструкции: чертаем прави линии през основите и перпендикуляри през краищата на средната линия, докато те се пресичат с основите:

* Обозначенията на букви на върхове и други точки не се въвеждат умишлено, за да се избегнат ненужни обозначения.

Вижте, триъгълниците 1 и 2 са равни във втория знак за равенство на триъгълниците, триъгълниците 3 и 4 са еднакви. От равенството на триъгълниците следва равенството на елементите, а именно краката (те са посочени съответно в синьо и червено).

Сега внимание! Ако мислено „отрежем“ синия и червения сегмент от долната основа, тогава ще имаме сегмент (това е страната на правоъгълника), равен на средната линия. Освен това, ако „залепим“ отсечената синя и червена линия към горната основа на трапеца, тогава ще получим и сегмент (това е и страната на правоъгълника), равен на средната линия на трапеца.

Схванах го? Оказва се, че сумата от основите ще бъде равна на двете средни линии на трапеца:

Вижте друго обяснение

Нека направим следното - изградим права линия, минаваща през долната основа на трапеца и линия, която ще премине през точки A и B:

Получаваме триъгълници 1 и 2, те са равни на страната и ъглите в съседство с нея (вторият знак за равенство на триъгълниците). Това означава, че полученият сегмент (в скицата е обозначен в синьо) е равен на горната основа на трапеца.

Сега помислете за триъгълника:

* Средната линия на този трапец и средната линия на триъгълника съвпадат.

Известно е, че триъгълник е равен на половината от неговата успоредна основа, т.е.

Добре, разбрах. Сега за площта на трапеца.

Формула за трапецовидна област:

Те казват: площта на трапеца е равна на произведението на полусумата от неговите основи и височината.

Тоест се оказва, че е равно на произведението на средната линия и височината:

Вероятно вече сте забелязали, че това е очевидно. Геометрично това може да се изрази по следния начин: ако умствено отрежем триъгълници 2 и 4 от трапеца и ги поставим, съответно, на триъгълници 1 и 3:

След това получаваме правоъгълник по площ равна площ нашият трапец. Площта на този правоъгълник ще бъде равна на произведението на средната линия и височината, тоест можем да напишем:

Но въпросът тук не е в записването, разбира се, а в разбирането.

Изтеглете (прегледайте) материала на статията в * pdf формат

Това е всичко. Успех за вас!

С уважение, Александър.

Инструкции

За да се изяснят и двата метода, могат да се дадат няколко примера.

Пример 1: дължината на средната линия на трапец е 10 cm, площта му е 100 cm². За да намерите височината на този трапец, трябва да направите:

h \u003d 100/10 \u003d 10 cm

Отговор: височината на този трапец е 10 cm

Пример 2: площта на трапец е 100 см², дължините на основите са 8 см и 12 см. За да намерите височината на този трапец, трябва да извършите действието:

h \u003d (2 * 100) / (8 + 12) \u003d 200/20 \u003d 10 cm

Отговор: височината на този трапец е 20 cm

Забележка

Има няколко вида трапеции:
Равнобедрен трапец е трапец, при който страните са равни.
Правоъгълният трапец е трапец, който има един от вътрешни ъгли е равно на 90 градуса.
Трябва да се отбележи, че в правоъгълния трапец височината съвпада с дължината на страната при прав ъгъл.
Около трапеца можете да опишете кръг или да го впишете в тази фигура. Можете да впишете кръг само ако сумата от неговите основи е равна на сумата на противоположните страни. Кръг може да бъде описан само около равнобедрен трапец.

Полезен съвет

Паралелограмът е частен случай на трапец, тъй като определението за трапец не противоречи на определението за паралелограм. Паралелограм е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни една на друга. В случай на трапец дефиницията се занимава само с двойка от неговите страни. Следователно всеки паралелограм е също трапец. Обратното не е вярно.

Източници:

• как да намерим площта на трапецовидна формула

Съвет 2: Как да намерите височината на трапец, ако областта е известна

Трапецът е четириъгълник, в който две от четирите му страни са успоредни една на друга. Успоредните страни са основите на това, другите две са страните на това трапец... Да намеря височината трапецако е известно квадрат, ще бъде много лесно.

Инструкции

Трябва да разберете как можете да изчислите квадрат оригинала трапец... За това няколко формули, в зависимост от първоначалните данни: S \u003d ((a + b) * h) / 2, където a и b са основи трапец, а h е нейната височина (Височина трапец - перпендикуляр, спуснат от една основа трапец към друг);
S \u003d m * h, където m е права трапец (Средната линия е сегмент, основите трапец и свързваща средата на страничните му страни).

За да стане по-ясно, могат да се обмислят подобни задачи: Пример 1: Даден трапец, който квадрат 68 cm², средната линия на която е 8 cm, която искате да намерите височината даде трапец... За да разрешите този проблем, трябва да използвате формулата, получена по-рано:
h \u003d 68/8 \u003d 8,5 cm Отговор: височината на даденото трапец е 8,5 см. Пример 2: Нека y трапец квадрат равна на 120 cm², дължината на основите на това трапец Съответно 8 см и 12 см, които искате да намерите височината това трапец... За да направите това, приложете една от получените формули:
h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Отговор: дадена височина трапец равна на 12 cm

Подобни видеа

Забележка

Всеки трапец има редица свойства:

Средната линия на трапец е равна на полусумата от неговите основи;

Сегментът, който свързва диагоналите на трапеца е половината от разликата между неговите основи;

Ако през средните точки на основите се начертае права линия, тя ще пресече точката на пресичане на диагоналите на трапеца;

Кръг може да бъде вписан в трапец, ако сумата от основите на този трапец е равна на сумата от страничните му страни.

Използвайте тези свойства при решаване на проблеми.

Съвет 3: Как да намерите площта на трапец, ако основите са известни

От геометрична дефиниция трапецът е четириъгълник само с една двойка страни успоредни. Тези страни са тя основания... Разстояние между основания наречена височина трапец... Да намеря квадрат трапец възможно е да се използва геометрични формули.

Инструкции

Измерете основите и трапец AVSD. Обикновено те се дават в задачи. Влезте този пример фондация за задачи AD (a) трапец ще бъде равно на 10 см, основа BC (b) - 6 см, височина трапец BK (h) - 8 см. Нанесете геометрично, за да намерите площ трапец, ако дължините на неговите основи и височини са известни - S \u003d 1/2 (a + b) * h, където: - a - размерът на основата на AD трапец ABCD, - b - базова стойност BC, - h - стойност на височината BK.

Практиката от миналогодишните USE и GIA показва, че проблемите с геометрията създават трудности за много ученици. Можете лесно да се справите с тях, ако запомните всички необходими формули и практикувате решаване на проблеми.

В тази статия ще видите формули за намиране на площта на трапец, както и примери за проблеми с решения. Можете да намерите същите в KIM на изпити за сертифициране или на олимпиади. Затова се отнасяйте внимателно с тях.

Какво трябва да знаете за трапеца?

Първо, нека запомним това трапец наречен четириъгълник, който има две противоположни страни, те също се наричат \u200b\u200bоснови, са успоредни, а другите две не са.

Височината може да се понижи и в трапеца (перпендикулярно на основата). Начертана е средната линия - това е права линия, която е успоредна на основите и е равна на половината от сумата им. А също и диагонали, които могат да се пресичат, образувайки остри и тъпи ъгли. Или в някои случаи под прав ъгъл. Освен това, ако трапецът е равнобедрен, в него може да се впише кръг. И опишете кръг около него.

Формули на площ за трапец

Като начало разгледайте стандартните формули за намиране на площта на трапец. Ще разгледаме начини за изчисляване на площта на равнобедрен и извит трапец по-долу.

И така, представете си, че имате трапец с основи a и b, в който височината h е понижена до по-голямата основа. Изчисляването на площта на фигурата в този случай е лесно. Просто трябва да разделите сумата от дължините на основите на две и да умножите полученото по височината: S \u003d 1/2 (a + b) * h.

Нека вземем друг случай: да предположим, че в трапеца освен височината е изтеглена и средната линия m. Знаем формулата за намиране на дължината на средната линия: m \u003d 1/2 (a + b). Следователно можем с право да опростим формулата за площта на трапец до следната форма: S \u003d m * h... С други думи, за да намерите площта на трапец, трябва да умножите средната линия по височината.

Помислете за друг вариант: в трапеца се изчертават диагонали d 1 и d 2, които не се пресичат под прав ъгъл α. За да изчислите площта на такъв трапец, трябва да разделите на две произведението на диагоналите и да умножите полученото по греха на ъгъла между тях: S \u003d 1 / 2d 1 d 2 * sinα.

Сега разгледайте формулата за намиране на площта на трапец, ако за него не се знае нищо, освен дължините на всичките му страни: a, b, c и d. Това е тромаво и сложна формула, но ще ви бъде полезно да го запомните, за всеки случай: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Между другото, горните примери са верни и за случая, когато се нуждаете от формулата за площ на правоъгълен трапец. Това е трапец, чиято страна е в непосредствена близост до основите под прав ъгъл.

Равнобедрен трапец

Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен. Ще разгледаме няколко варианта за формулата за площта на равнобедрен трапец.

Първият вариант: за случая, когато в равнобедрения трапец е вписана окръжност с радиус r, а страничната страна и по-голямата основа остър ъгъл α. Кръг може да бъде вписан в трапец, при условие че сумата от дължините на основите му е равна на сумата от дължините на страните.

Площта на равнобедрен трапец се изчислява, както следва: умножете квадрата на радиуса на вписаната окръжност по четири и разделете всичко по sinα: S \u003d 4r 2 / sinα... Друга формула на площ е специален случай за случая, когато ъгълът между голямата основа и страната е 30 0: S \u003d 8r 2.

Вторият вариант: този път вземаме равнобедрен трапец, в който освен това са изчертани диагонали d 1 и d 2, както и височината h. Ако диагоналите на трапеца са взаимно перпендикулярни, височината е половината от сумата на основите: h \u003d 1/2 (a + b). Знаейки това, лесно е да трансформираме вече познатата формула за площта на трапец в следната форма: S \u003d h 2.

Формула за площта на извит трапец

Нека започнем, като разгледаме какво представлява извит трапец. Представете си координатна ос и графика на непрекъсната и неотрицателна функция f, която не променя знака в рамките на даден сегмент по оста x. Криволинейният трапец се образува от графиката на функцията y \u003d f (x) - отгоре, оста x - отдолу (сегмент) и отстрани - линиите, начертани между точки a и b и графиката на функцията.

Невъзможно е да се изчисли площта на такава нестандартна форма, използвайки горните методи. Тук трябва да приложите математически анализ и да използвате интеграла. А именно: формулата на Нютон-Лайбниц - S \u003d ∫ b a f (x) dx \u003d F (x) │ b a \u003d F (b) - F (a)... В тази формула F е антидериватът на нашата функция върху избрания сегмент. А площта на извития трапец съответства на нарастването на антидеривата на даден сегмент.

Примери за задачи

За да направите всички тези формули по-добре улегнали в главата ви, ето няколко примера за задачи за намиране на площта на трапец. Най-добре ще е, ако първо се опитате сами да разрешите проблемите и едва след това проверите получения отговор с готовото решение.

Задача номер 1: Даден трапец. По-голямата му основа е 11 см, по-малката е 4 см. Диагоналите са изчертани в трапеца, единият е с дължина 12 см, а другият с дължина 9 см.

Решение: Изградете трапецовиден AMPC. Начертайте линия PX през връх P, така че тя да се окаже успоредна на диагонала MC и да пресича права AC в точка X. Ще получите триъгълник ARX.

Ще разгледаме две фигури, получени в резултат на тези манипулации: триъгълник ARX и паралелограм CMRX.

Благодарение на паралелограма научаваме, че PX \u003d MC \u003d 12 cm и CX \u003d MR \u003d 4 cm. Къде можем да изчислим страната AX на триъгълника ARX: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Също така можем да докажем, че триъгълникът ARX е правоъгълен (за това приложите питагоровата теорема - AX 2 \u003d AR 2 + PX 2). И изчислете неговата площ: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

След това трябва да докажете, че триъгълниците AMP и PCX са еднакви по размер. Основата ще бъде равенството на страните MP и CX (вече доказано по-горе). А също и височините, които спускате от тези страни - те са равни на височината на трапеца AMRS.

Всичко това ще ви позволи да твърдите, че S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Задача номер 2: Даден е трапецът на KRMS. Точките O и E са разположени по страничните му страни, докато OE и KC са успоредни. Известно е също така, че площите на трапеците ORME и OCE са в съотношение 1: 5. PM \u003d a и KC \u003d b. Необходимо е да се намери OE.

Решение: Начертайте права линия през точка M, успоредна на RC, и посочете точката на нейното пресичане с OE чрез T. A - пресечната точка на права линия, начертана през точка E, успоредна на RC, с основата на KS.

Нека въведем още една нотация - OE \u003d x. А също и височината h 1 за триъгълника TME и височината h 2 за триъгълника AEC (можете независимо да докажете сходството на тези триъгълници).

Ще приемем, че b\u003e a. Площите на трапеци ORME и OKSE са свързани като 1: 5, което ни дава правото да съставим следното уравнение: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Нека трансформираме и да получим: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Тъй като триъгълниците TME и AEC са сходни, имаме h 1 / h 2 \u003d (x - a) / (b - x). Комбинирайте двата записа и получете: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

По този начин OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Заключение

Геометрията не е най-лесната наука, но със сигурност можете да се справите с изпитните задачи. Достатъчно е да проявите малко постоянство в подготовката. И, разбира се, запомнете всички необходими формули.

Опитахме се да съберем на едно място всички формули за изчисляване на площта на трапец, за да можете да ги използвате, когато се подготвяте за изпити и преглеждате материала.

Не забравяйте да кажете на съучениците и приятелите си за тази статия. в социалните мрежи... Нека има повече добри оценки за USE и GIA!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.