Оу! Това не е ли дамска тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изследване на безразборната святост на душите по време на възнесението на небето! Ореол отгоре и стрелка, сочеща нагоре. Каква друга тоалетна?

Женски ... Нимбът отгоре и стрелката надолу са мъжки.

Ако едно дизайнерско изкуство като това мига пред очите ви няколко пъти на ден,

Тогава не е изненадващо, че изведнъж откривате странна икона в колата си:

Лично аз полагам усилия върху себе си, така че в един акащ човек (една снимка) да мога да видя минус четири градуса (композиция от няколко картини: знак минус, номер четири, обозначение на степени). И не мисля, че това момиче е глупачка, която не знае физика. Тя просто има стереотип на възприемане на графични изображения. И математиците постоянно ни учат на това. Ето един пример.

1А не е "минус четири градуса" или "едно а". Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетична форма. Тези хора, които постоянно работят в тази числова система, автоматично възприемат числото и буквата като един графичен символ.

\ [(\ Голям (\ текст (Безплатен Keystone))) \]

Определения

Трапецът е изпъкнал четириъгълник, в който двете страни са успоредни, а другите две не са успоредни.

Успоредните страни на трапец се наричат ​​неговите основи, а другите две страни се наричат ​​странични страни.

Височината на трапец е перпендикуляр, спуснат от всяка точка на една основа към друга основа.

Теореми: свойства на трапец

1) Сумата от ъглите при страната е \ (180 ^ \ circ \).

2) Диагоналите разделят трапеца на четири триъгълника, два от които са подобни, а другите два са равни.

Доказателство

1) Защото \ (AD \ успоредно BC \), тогава ъглите \ (\ ъгъл BAD \) и \ (\ ъгъл ABC \) са едностранни за тези прави и секущата \ (AB \), следователно, \ (\ ъгъл BAD + \ ъгъл ABC = 180 ^ \ circ \).

2) Защото \ (AD \ паралел BC \) и \ (BD \) е секанс, след което \ (\ ъгъл DBC = \ ъгъл BDA \) като кръстосано кръстосване.
Също така \ (\ ъгъл BOC = \ ъгъл AOD \) като вертикален.
Следователно, под два ъгъла \ (\ триъгълник BOC \ sim \ триъгълник AOD \).

Нека докажем това \ (S _ (\ триъгълник AOB) = S _ (\ триъгълник COD) \)... Нека \ (h \) е височината на трапеца. Тогава \ (S _ (\ триъгълник ABD) = \ frac12 \ cdot h \ cdot AD = S _ (\ триъгълник ACD) \)... Тогава: \

Определение

Средната линия на трапеца е сегмент, свързващ средните точки на страните.

Теорема

Средната линия на трапеца е успоредна на основите и равна на тяхната полусума.

доказателство*

1) Нека докажем паралелизма.

Начертайте права линия \ (MN "\ успоредна AD \) (\ (N" \ в CD \)) през точката \ (M \). Тогава, по теоремата на Талес (т.е. \ (MN "\ паралел AD \ паралел BC, AM = MB \)) точката \ (N "\) е средата на отсечката \ (CD \). Следователно точките \ (N \) и \ (N" \) ще съвпадат.

2) Нека докажем формулата.

Нека стартираме \ (BB "\ perp AD, CC" \ perp AD \). Нека бъде \ (BB "\ cap MN = M", CC "\ cap MN = N" \).

Тогава, според теоремата на Талес, \ (M "\) и \ (N" \) са средните точки на отсечките \ (BB "\) и \ (CC" \), съответно. И така, \ (MM "\) е средната линия \ (\ триъгълник ABB" \), \ (NN "\) е средната линия \ (\ триъгълник DCC" \). Ето защо: \

Защото \ (MN \ паралел AD \ паралел BC \)и \ (BB ", CC" \ perp AD \), тогава \ (B "M" N "C" \) и \ (BM "N" C \) са правоъгълници. По теоремата на Талес от \ (MN \ паралелна AD \) и \ (AM = MB \) следва, че \ (B "M" = M "B \). Следователно \ (B" M "N" C "). \) и \ (BM "N" C \) са равни правоъгълници, следователно \ (M "N" = B "C" = BC \).

Поради това:

\ \ [= \ dfrac12 \ вляво (AB "+ B" C "+ BC + C" D \ вдясно) = \ dfrac12 \ вляво (AD + BC \ вдясно) \]

Теорема: свойство на произволен трапец

Средните точки на основите, пресечната точка на диагоналите на трапеца и пресечната точка на разширенията на страничните страни лежат на една права линия.

доказателство*
Препоръчително е да прочетете доказателството след изучаване на темата „Сходство на триъгълниците“.

1) Нека докажем, че точките \ (P \), \ (N \) и \ (M \) лежат на една права линия.

Начертайте линията \ (PN \) (\ (P \) е пресечната точка на разширенията на страничните страни, \ (N \) е средата на \ (BC \)). Нека пресича страната \ (AD \) в точката \ (M \). Нека докажем, че \ (M \) е средата на \ (AD \).

Помислете за \ (\ триъгълник BPN \) и \ (\ триъгълник APM \). Те са сходни в два ъгъла (\ (\ ъгъл APM \) - общ, \ (\ ъгъл PAM = \ ъгъл PBN \) като съответстващ на \ (AD \ паралел BC \) и \ (AB \) секуща). означава: \ [\ dfrac (BN) (AM) = \ dfrac (PN) (PM) \]

Помислете за \ (\ триъгълник CPN \) и \ (\ триъгълник DPM \). Те са сходни в два ъгъла (\ (\ ъгъл DPM \) - общ, \ (\ ъгъл PDM = \ ъгъл PCN \) като съответстващ на \ (AD \ паралел BC \) и \ (CD \) секуща). означава: \ [\ dfrac (CN) (DM) = \ dfrac (PN) (PM) \]

Оттук \ (\ dfrac (BN) (AM) = \ dfrac (CN) (DM) \)... Но \ (BN = NC \), следователно \ (AM = DM \).

2) Нека докажем, че точките \ (N, O, M \) са колинеарни.

Нека \ (N \) е средата на \ (BC \), \ (O \) е пресечната точка на диагоналите. Начертайте права линия \ (NO \), тя пресича страната \ (AD \) в точка \ (M \). Нека докажем, че \ (M \) е средата на \ (AD \).

\ (\ триъгълник BNO \ sim \ триъгълник DMO \)под два ъгъла (\ (\ ъгъл OBN = \ ъгъл ODM \) като напречно с \ (BC \ паралел AD \) и \ (BD \) секанс; \ (\ ъгъл BON = \ ъгъл DOM \) като вертикален). означава: \ [\ dfrac (BN) (MD) = \ dfrac (ON) (OM) \]

По същия начин \ (\ триъгълник CON \ sim \ триъгълник AOM \)... означава: \ [\ dfrac (CN) (MA) = \ dfrac (ON) (OM) \]

Оттук \ (\ dfrac (BN) (MD) = \ dfrac (CN) (MA) \)... Но \ (BN = CN \), следователно \ (AM = MD \).

\ [(\ Голям (\ текст (равнобедрен трапец))) \]

Определения

Трапецът се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е прав.

Трапецът се нарича равнобедрен, ако страните му са равни.

Теореми: свойства на равнобедрен трапец

1) При равнобедрен трапец ъглите в основата са равни.

2) Диагоналите на равнобедрен трапец са равни.

3) Двата триъгълника, образувани от диагоналите и основата, са равнобедрени.

Доказателство

1) Помислете за равнобедрен трапец \ (ABCD \).

От върховете \ (B \) и \ (C \) пускаме перпендикулярите \ (BM \) и \ (CN \) съответно към страната \ (AD \). Тъй като \ (BM \ perp AD \) и \ (CN \ perp AD \), то \ (BM \ parallel CN ​​\); \ (AD \ паралел BC \), тогава \ (MBCN \) е паралелограм, следователно \ (BM = CN \).

Помислете за правоъгълни триъгълници \ (ABM \) и \ (CDN \). Тъй като техните хипотенузи са равни и катета \ (BM \) е равен на катета \ (CN \), тези триъгълници са равни, следователно \ (\ ъгъл DAB = \ ъгъл CDA \).

2)

Защото \ (AB = CD, \ ъгъл A = \ ъгъл D, AD \)- общо, тогава на първа основа. Следователно, \ (AC = BD \).

3) Защото \ (\ триъгълник ABD = \ триъгълник ACD \)тогава \ (\ ъгъл BDA = \ ъгъл CAD \). Следователно триъгълникът \ (\ триъгълник AOD \) е равнобедрен. По същия начин се доказва, че \ (\ триъгълник BOC \) е равнобедрен.

Теореми: признаци на равнобедрен трапец

1) Ако ъглите в основата на трапеца са равни, тогава той е равнобедрен.

2) Ако диагоналите на трапеца са равни, тогава той е равнобедрен.

Доказателство

Да разгледаме трапец \ (ABCD \), такъв, че \ (\ ъгъл A = \ ъгъл D \).

Нека завършим трапеца до триъгълника \ (AED \), както е показано на снимката. Тъй като \ (\ ъгъл 1 = \ ъгъл 2 \), триъгълникът \ (AED \) е равнобедрен и \ (AE = ED \). Ъглите \ (1 \) и \ (3 \) са равни като съответни за успоредни прави \ (AD \) и \ (BC \) и секуща \ (AB \). По същия начин ъглите \ (2 \) и \ (4 \) са равни, но \ (\ ъгъл 1 = \ ъгъл 2 \), тогава \ (\ ъгъл 3 = \ ъгъл 1 = \ ъгъл 2 = \ ъгъл 4 \), следователно, триъгълникът \ (BEC \) също е равнобедрен и \ (BE = EC \).

В крайна сметка \ (AB = AE - BE = DE - CE = CD \), тоест \ (AB = CD \), както се изисква.

2) Нека \ (AC = BD \). Защото \ (\ триъгълник AOD \ sim \ триъгълник BOC \), тогава обозначаваме техния коефициент на подобие като \ (k \). Тогава ако \ (BO = x \), то \ (OD = kx \). По същия начин \ (CO = y \ Стрелка надясно AO = ky \).

Защото \ (AC = BD \), след това \ (x + kx = y + ky \ Стрелка надясно x = y \). Така че \ (\ триъгълник AOD \) е равнобедрен и \ (\ ъгъл OAD = \ ъгъл ODA \).

Така според първия знак \ (\ триъгълник ABD = \ триъгълник ACD \) (\ (AC = BD, \ ъгъл OAD = \ ъгъл ODA, AD \)- общ). И така, \ (AB = CD \) и т.н.

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално, ще говорим за Общи чертии свойства на трапец, както и за свойствата на вписан трапец и на окръжност, вписана в трапец. Ще се докоснем до свойствата на равнобедрените и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на разглежданите свойства ще ви помогне да подредите на места в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

За начало нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от страните на която са успоредни една на друга (това са основите). И две не са успоредни - това са страните.

В трапеца височината може да се намали - перпендикулярно на основите. Изчертават се средната линия и диагоналите. И също така от всеки ъгъл на трапеца е възможно да се начертае бисектриса.

относно различни свойствасвързани с всички тези елементи и техните комбинации, сега ще говорим.

Свойства на трапецовидни диагонали

За да стане по-ясно, докато четете, скицирайте трапец AKME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

1. Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (нека да обозначим тези точки като X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапец е, че сегментът XT лежи на средната линия. И неговата дължина може да се получи чрез разделяне на основната разлика на две: XT = (a - b) / 2.
2. Пред нас е същият трапец на АКМЕ. Диагоналите се пресичат в точка O. Нека разгледаме триъгълниците AOE и MOC, образувани от отсечките на линията заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на подобие k на триъгълници се изразява чрез съотношението на основите на трапеца: k = AE / KM.
   Съотношението на площите на триъгълниците AOE и MOC се описва с коефициента k 2.
3. Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка O. Само този път ще разгледаме триъгълниците, които сегментите на диагоналите образуваха заедно със страничните страни на трапеца. Площите на триъгълниците AKO и EMO са равни - площите им са еднакви.
4. Друго свойство на трапец включва чертане на диагонали. Така че, ако продължим страничните страни на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат до някаква точка. Освен това, през средните точки на основите на трапеца, начертайте права линия. Той пресича основите в точки X и T.
   Ако сега удължим линията XT, тогава тя ще свърже заедно точката на пресичане на диагоналите на трапец O, точката, в която се пресичат разширенията на страничните страни и средните точки на основите на X и T.
5. През точката на пресичане на диагоналите начертайте сегмент, който свързва основите на трапеца (T лежи върху по-малката основа на CM, X - върху по-голямата AE). Точката на пресичане на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO / OX = KM / AE.
6. И сега, през точката на пресичане на диагоналите, нарисувайте сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмент с помощта на формулата 2ab / (a ​​+ b).

Свойства на централната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

1. Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b) / 2.
2. Ако нарисувате сегмент (напр. височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство на симетрала на трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовящата. Вземете например ъгъла KAE на нашия трапец AKME. След като сте завършили конструкцията сами, можете лесно да се уверите, че ъглополовящата отрязва от основата (или нейното продължение по права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на трапецовиден ъгъл

1. Който и от двете двойки ъгли, съседни на страничната страна да изберете, сумата от ъглите в една двойка винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0.
2. Свържете средните точки на основите на трапеца с TX сегмент. Сега нека разгледаме ъглите в основата на трапеца. Ако сумата от ъглите при някой от тях е 90 0, дължината на сегмента TX може лесно да се изчисли въз основа на разликата в дължините на основите, разделена наполовина: TX = (AE - KM) / 2.
3. Ако се начертаят успоредни прави линии през страните на ъгъла на трапеца, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равнобедрен) трапец

1. В равнобедрен трапец ъглите са равни при всяка от основите.
2. Сега отново нарисувайте трапеца, за да улесните да си представите за какво става въпрос. Погледнете внимателно основата на AE - върхът на противоположната основа на M се проектира в точка от правата, която съдържа AE. Разстоянието от връх A до точката на проекция на връх M и средната линия на равнобедрения трапец са равни.
3. Няколко думи за свойството на диагоналите на равнобедрен трапец - дължините им са равни. И също така ъглите на наклон на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
4. Само около равнобедрен трапец може да се опише кръг, тъй като сумата от противоположните ъгли на четириъгълник 180 0 е предпоставка за това.
5. Свойството на равнобедрен трапец следва от предишния параграф - ако може да се опише кръг близо до трапеца, той е равнобедрен.
6. От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапеца: ако диагоналите му се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b) / 2.
7. Начертайте отново сегмент от TX през средните точки на основите на трапеца - в равнобедрен трапец той е перпендикулярен на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
8. Този път намалете до по-голямата основа (означете я с а) височината от противоположния връх на трапеца. Ще има два сегмента. Дължината на един може да бъде намерена, ако дължините на основите се сгънат и намалят наполовина: (a + b) / 2... Второто се получава, когато извадим по-малката от по-голямата основа и разделим получената разлика на две: (а - б) / 2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорихме за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По-специално, когато центърът на окръжността е по отношение на трапеца. Тук също се препоръчва да не бъдете твърде мързеливи, за да вземете молив в ръка и да нарисувате това, което ще бъде разгледано по-долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

1. Местоположението на центъра на окръжността се определя от ъгъла на наклон на диагонала на трапеца към страничната му страна. Например, диагонал може да се простира от върха на трапец под прав ъгъл към страната. В този случай по-голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно в средата (R = ½AE).
2. Диагоналът и страната също могат да се срещат под остър ъгъл- тогава центърът на окръжността е вътре в трапеца.
3. Центърът на описаната окръжност може да бъде извън трапеца, отвъд голямата му основа, ако между диагонала на трапеца и страничната страна има тъп ъгъл.
4. Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца AKME (вписан ъгъл), е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½ MOE.
5. Накратко за два начина за намиране на радиуса на описаната окръжност. Метод първи: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно ще забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери като отношение на страната на триъгълник към синуса на противоположния ъгъл, умножен на две. Например, R = AE / 2 * sinAME... По същия начин, формулата може да бъде написана за всяка страна на двата триъгълника.
6. Метод втори: намираме радиуса на описаната окръжност през площта на триъгълника, образуван от диагонала, страната и основата на трапеца: R = AM * ME * AE / 4 * S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Възможно е да се впише кръг в трапец, ако е изпълнено едно условие. Повече за това по-долу. И заедно, тази комбинация от форми има редица интересни свойства.

1. Ако в трапеца е вписан кръг, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d) / 2.
2. В трапеца AKME, описан около окръжност, сумата от дължините на основите е равна на сумата от дължините на страничните страни: AK + ME = KM + AE.
3. От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в този трапец може да бъде вписана окръжност, чийто сбор от основи е равен на сбора от страничните страни.
4. Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписана в трапец, разделя страничната страна на две отсечки, нека ги наречем a и b. Радиусът на окръжността може да се изчисли по формулата: r = √ab.
5. И още един имот. За да не се объркате, нарисувайте този пример сами. Имаме добър стар трапец AKME, описан около окръжност. В него са начертани диагонали, пресичащи се в точка O. Триъгълниците AOK и EOM, образувани от сегменти от диагонали и страни, са правоъгълни.
   Височините на тези триъгълници, пуснати върху хипотенузите (т.е. страничните страни на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца съвпада с диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Нарича се правоъгълен трапец, единият от ъглите на който е десен. И свойствата му произтичат от това обстоятелство.

1. При правоъгълен трапец една от страничните страни е перпендикулярна на основите.
2. Височината и страната на трапеца в съседство с прав ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец (обща формула S = (a + b) * h / 2) не само през височината, но и през страничната страна, съседна на десния ъгъл.
3. За правоъгълен трапец са от значение общите свойства на диагоналите на трапец, които вече са описани по-горе.

Доказателства за някои свойства на трапеца

Равенство на ъглите в основата на равнобедрен трапец:

• Вероятно вече сами се досещате, че тук отново се нуждаем от трапец AKME - нарисувайте равнобедрен трапец. Начертайте права линия MT от върха на M, успоредна на страничната страна на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е паралелограм (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Откъдето AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме, че трапец AKME е равнобедрен:

• За начало нека начертаем права линия MX - MX || KE. Получаваме паралелограм KMXE (база - MX || KE и KM || EX).

∆AMX е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, следователно MAE = MXE.

Оказа се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, тъй като AM = KE и AE са общата страна на два триъгълника. И също така MAE = MXE. Можем да заключим, че AK = ME и от това следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за повторение

Основите на трапеца AKME са 9 cm и 21 cm, страничната страна на космическия кораб, равна на 8 cm, образува ъгъл от 150 0 с по-малка основа. Необходимо е да се намери площта на трапеца.

Решение: От върха на K спускаме височината до по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Това означава, че те дават общо 180 0. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойствата на ъглите на трапеца).

Помислете сега за правоъгълен ∆ANK (мисля, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него намираме височината на трапеца KN - в триъгълника това е катетът, който лежи срещу ъгъла 30 0. Следователно KH = ½AB = 4 cm.

Площта на трапеца се намира по формулата: S AKME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте проучили внимателно и внимателно тази статия, не сте били твърде мързеливи да нарисувате трапеци за всички горепосочени свойства с молив в ръцете си и да ги разглобите на практика, материалът трябва да е добре разбран от вас.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но вие сами сте се убедили, че разликата е огромна.

Вече имате подробен план на всичко общи свойстватрапец. Както и специфичните свойства и особености на равнобедрените и правоъгълните трапеции. Много е удобно да ги използвате за подготовка за тестове и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато оставите заявка на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме тези програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в пробен период, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - за разкриване на Ваша лична информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на подходящата трета страна – правоприемник.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е безопасна, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално, ще говорим за общи признаци и свойства на трапец, както и за свойствата на вписан трапец и за окръжност, вписана в трапец. Ще засегнем и свойствата на равнобедрен и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на разглежданите свойства ще ви помогне да подредите на места в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

За начало нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от страните на която са успоредни една на друга (това са основите). И две не са успоредни - това са страните.

В трапеца височината може да се намали - перпендикулярно на основите. Изчертават се средната линия и диагоналите. И също така от всеки ъгъл на трапеца е възможно да се начертае бисектриса.

Сега ще говорим за различните свойства, свързани с всички тези елементи и техните комбинации.

Свойства на трапецовидни диагонали

За да стане по-ясно, докато четете, скицирайте трапец AKME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

1. Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (нека да обозначим тези точки като X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапец е, че сегментът XT лежи на средната линия. И неговата дължина може да се получи чрез разделяне на основната разлика на две: XT = (a - b) / 2.
2. Пред нас е същият трапец на АКМЕ. Диагоналите се пресичат в точка O. Нека разгледаме триъгълниците AOE и MOC, образувани от отсечките на линията заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на подобие k на триъгълници се изразява чрез съотношението на основите на трапеца: k = AE / KM.
   Съотношението на площите на триъгълниците AOE и MOC се описва с коефициента k 2.
3. Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка O. Само този път ще разгледаме триъгълниците, които сегментите на диагоналите образуваха заедно със страничните страни на трапеца. Площите на триъгълниците AKO и EMO са равни - площите им са еднакви.
4. Друго свойство на трапец включва чертане на диагонали. Така че, ако продължим страничните страни на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат до някаква точка. Освен това, през средните точки на основите на трапеца, начертайте права линия. Той пресича основите в точки X и T.
   Ако сега удължим линията XT, тогава тя ще свърже заедно точката на пресичане на диагоналите на трапец O, точката, в която се пресичат разширенията на страничните страни и средните точки на основите на X и T.
5. През точката на пресичане на диагоналите начертайте сегмент, който свързва основите на трапеца (T лежи върху по-малката основа на CM, X - върху по-голямата AE). Точката на пресичане на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO / OX = KM / AE.
6. И сега, през точката на пресичане на диагоналите, нарисувайте сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмент с помощта на формулата 2ab / (a ​​+ b).

Свойства на централната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

1. Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b) / 2.
2. Ако нарисувате сегмент (напр. височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство на симетрала на трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовящата. Вземете например ъгъла KAE на нашия трапец AKME. След като сте завършили конструкцията сами, можете лесно да се уверите, че ъглополовящата отрязва от основата (или нейното продължение по права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на трапецовиден ъгъл

1. Който и от двете двойки ъгли, съседни на страничната страна да изберете, сумата от ъглите в една двойка винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0.
2. Свържете средните точки на основите на трапеца с TX сегмент. Сега нека разгледаме ъглите в основата на трапеца. Ако сумата от ъглите при някой от тях е 90 0, дължината на сегмента TX може лесно да се изчисли въз основа на разликата в дължините на основите, разделена наполовина: TX = (AE - KM) / 2.
3. Ако се начертаят успоредни прави линии през страните на ъгъла на трапеца, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равнобедрен) трапец

1. В равнобедрен трапец ъглите са равни при всяка от основите.
2. Сега отново нарисувайте трапеца, за да улесните да си представите за какво става въпрос. Погледнете внимателно основата на AE - върхът на противоположната основа на M се проектира в точка от правата, която съдържа AE. Разстоянието от връх A до точката на проекция на връх M и средната линия на равнобедрения трапец са равни.
3. Няколко думи за свойството на диагоналите на равнобедрен трапец - дължините им са равни. И също така ъглите на наклон на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
4. Само около равнобедрен трапец може да се опише кръг, тъй като сумата от противоположните ъгли на четириъгълник 180 0 е предпоставка за това.
5. Свойството на равнобедрен трапец следва от предишния параграф - ако може да се опише кръг близо до трапеца, той е равнобедрен.
6. От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапеца: ако диагоналите му се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b) / 2.
7. Начертайте отново сегмент от TX през средните точки на основите на трапеца - в равнобедрен трапец той е перпендикулярен на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
8. Този път намалете до по-голямата основа (означете я с а) височината от противоположния връх на трапеца. Ще има два сегмента. Дължината на един може да бъде намерена, ако дължините на основите се сгънат и намалят наполовина: (a + b) / 2... Второто се получава, когато извадим по-малката от по-голямата основа и разделим получената разлика на две: (а - б) / 2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорихме за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По-специално, когато центърът на окръжността е по отношение на трапеца. Тук също се препоръчва да не бъдете твърде мързеливи, за да вземете молив в ръка и да нарисувате това, което ще бъде разгледано по-долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

1. Местоположението на центъра на окръжността се определя от ъгъла на наклон на диагонала на трапеца към страничната му страна. Например, диагонал може да се простира от върха на трапец под прав ъгъл към страната. В този случай по-голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно в средата (R = ½AE).
2. Диагоналът и страната също могат да се срещат под остър ъгъл - тогава центърът на окръжността е вътре в трапеца.
3. Центърът на описаната окръжност може да бъде извън трапеца, отвъд голямата му основа, ако между диагонала на трапеца и страничната страна има тъп ъгъл.
4. Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца AKME (вписан ъгъл), е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½ MOE.
5. Накратко за два начина за намиране на радиуса на описаната окръжност. Метод първи: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно ще забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери като отношение на страната на триъгълник към синуса на противоположния ъгъл, умножен на две. Например, R = AE / 2 * sinAME... По същия начин, формулата може да бъде написана за всяка страна на двата триъгълника.
6. Метод втори: намираме радиуса на описаната окръжност през площта на триъгълника, образуван от диагонала, страната и основата на трапеца: R = AM * ME * AE / 4 * S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Възможно е да се впише кръг в трапец, ако е изпълнено едно условие. Повече за това по-долу. И заедно, тази комбинация от форми има редица интересни свойства.

1. Ако в трапеца е вписан кръг, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d) / 2.
2. В трапеца AKME, описан около окръжност, сумата от дължините на основите е равна на сумата от дължините на страничните страни: AK + ME = KM + AE.
3. От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в този трапец може да бъде вписана окръжност, чийто сбор от основи е равен на сбора от страничните страни.
4. Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписана в трапец, разделя страничната страна на две отсечки, нека ги наречем a и b. Радиусът на окръжността може да се изчисли по формулата: r = √ab.
5. И още един имот. За да не се объркате, нарисувайте този пример сами. Имаме добър стар трапец AKME, описан около окръжност. В него са начертани диагонали, пресичащи се в точка O. Триъгълниците AOK и EOM, образувани от сегменти от диагонали и страни, са правоъгълни.
   Височините на тези триъгълници, пуснати върху хипотенузите (т.е. страничните страни на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца съвпада с диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Нарича се правоъгълен трапец, единият от ъглите на който е десен. И свойствата му произтичат от това обстоятелство.

1. При правоъгълен трапец една от страничните страни е перпендикулярна на основите.
2. Височината и страничната страна на трапеца, съседни на десния ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец (обща формула S = (a + b) * h / 2) не само през височината, но и през страничната страна, съседна на десния ъгъл.
3. За правоъгълен трапец са от значение общите свойства на диагоналите на трапец, които вече са описани по-горе.

Доказателства за някои свойства на трапеца

Равенство на ъглите в основата на равнобедрен трапец:

• Вероятно вече сами се досещате, че тук отново се нуждаем от трапец AKME - нарисувайте равнобедрен трапец. Начертайте права линия MT от върха на M, успоредна на страничната страна на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е паралелограм (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Откъдето AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме, че трапец AKME е равнобедрен:

• За начало нека начертаем права линия MX - MX || KE. Получаваме паралелограм KMXE (база - MX || KE и KM || EX).

∆AMX е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, следователно MAE = MXE.

Оказа се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, тъй като AM = KE и AE са общата страна на два триъгълника. И също така MAE = MXE. Можем да заключим, че AK = ME и от това следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за повторение

Основите на трапеца AKME са 9 cm и 21 cm, страничната страна на космическия кораб, равна на 8 cm, образува ъгъл от 150 0 с по-малка основа. Необходимо е да се намери площта на трапеца.

Решение: От върха на K спускаме височината до по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Това означава, че те дават общо 180 0. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойствата на ъглите на трапеца).

Помислете сега за правоъгълен ∆ANK (мисля, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него намираме височината на трапеца KN - в триъгълника това е катетът, който лежи срещу ъгъла 30 0. Следователно KH = ½AB = 4 cm.

Площта на трапеца се намира по формулата: S AKME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте проучили внимателно и внимателно тази статия, не сте били твърде мързеливи да нарисувате трапеци за всички горепосочени свойства с молив в ръцете си и да ги разглобите на практика, материалът трябва да е добре разбран от вас.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но вие сами сте се убедили, че разликата е огромна.

Вече имате подробно описание на всички общи свойства на трапец. Както и специфичните свойства и особености на равнобедрените и правоъгълните трапеции. Много е удобно да ги използвате за подготовка за тестове и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

блог.сайт, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.