Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Aritmetik ilerleme her sayının bir öncekinden aynı miktarda daha büyük (veya daha az) olduğu bir sayı dizisidir.

Bu konu çoğu zaman karmaşık ve anlaşılmaz görünmektedir. Harf endeksleri n'inci terim ilerlemeler, ilerleme farklılıkları - bunların hepsi bir şekilde kafa karıştırıcı, evet... Aritmetik ilerlemenin anlamını çözelim ve her şey hemen daha iyi hale gelecektir.)

Aritmetik ilerleme kavramı.

Aritmetik ilerleme çok basit ve açık bir kavramdır. Herhangi bir şüpheniz var mı? Boşuna.) Kendiniz görün.

Bitmemiş bir sayı dizisi yazacağım:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu seriyi uzatabilir misiniz? Beşten sonra hangi sayılar gelecek? Herkes... uh... kısacası herkes bundan sonra 6, 7, 8, 9 vb. sayıların geleceğini anlayacak.

Görevi karmaşıklaştıralım. Size bitmemiş bir sayı dizisi veriyorum:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Deseni yakalayabilecek, seriyi genişletebilecek ve isim verebileceksiniz. yedinci satır numarası?

Bu sayının 20 olduğunu fark ettiyseniz tebrikler! Sadece hissetmedin önemli noktalar aritmetik ilerleme, ama aynı zamanda bunları iş hayatında da başarıyla kullandı! Eğer çözemediyseniz okumaya devam edin.

Şimdi duyumlardaki önemli noktaları matematiğe çevirelim.)

İlk önemli nokta.

Aritmetik ilerleme sayı dizileriyle ilgilidir. Bu ilk başta kafa karıştırıcıdır. Denklem çözmeye, grafik çizmeye falan alışığız... Ama burada seriyi genişletiyoruz, serinin numarasını buluyoruz...

Önemli değil. Sadece ilerlemeler matematiğin yeni bir dalıyla ilk tanışmadır. Bu bölüme "Seriler" adı verilir ve özellikle sayı ve ifade dizileriyle çalışır. Buna alışın.)

İkinci önemli nokta.

Aritmetik ilerlemede her sayı bir öncekinden farklıdır aynı miktarda.

İlk örnekte bu fark birdir. Hangi sayıyı alırsanız alın, bir öncekinin bir fazlasıdır. İkincisinde - üç. Herhangi bir sayı bir öncekinden üç fazladır. Aslında bize kalıbı kavrama ve sonraki sayıları hesaplama fırsatını veren de bu andır.

Üçüncü önemli nokta.

Bu an çok çarpıcı değil evet... Ama çok ama çok önemli. İşte: her biri ilerleme numarası yerinde duruyor. Birinci sayı var, yedinci var, kırk beşinci var vs. Bunları rastgele karıştırırsanız desen kaybolur. Aritmetik ilerleme de ortadan kalkacaktır. Geriye sadece bir dizi sayı kaldı.

Bütün mesele bu.

Elbette yeni bir konuda yeni terimler ve tanımlar ortaya çıkıyor. Onları bilmeniz gerekiyor. Aksi halde görevi anlayamazsınız. Örneğin, şöyle bir şeye karar vermeniz gerekecek:

a 2 = 5, d = -2,5 ise, aritmetik ilerlemenin ilk altı terimini (a n) yazın.

İlham verici mi?) Mektuplar, bazı dizinler... Ve bu arada, görev daha kolay olamazdı. Sadece terimlerin ve tanımların anlamını anlamanız gerekir. Şimdi bu konuya hakim olacağız ve göreve döneceğiz.

Terimler ve tanımlar.

Aritmetik ilerleme her sayının bir öncekinden farklı olduğu bir sayı dizisidir aynı miktarda.

Bu miktara denir . Bu konsepte daha detaylı bakalım.

Aritmetik ilerleme farkı.

Aritmetik ilerleme farkı herhangi bir ilerleme sayısının ne kadar olduğu Dahaönceki.

Bir önemli nokta. Lütfen söze dikkat edin "Daha". Matematiksel olarak bu, her ilerleme sayısının ekleyerekönceki sayıya aritmetik ilerleme farkı.

Hesaplamak için diyelim ki ikinci serinin numaraları, yapmanız gereken Birinci sayı eklemek aritmetik ilerlemedeki bu fark. Hesaplama için beşinci- fark gerekli eklemekİle dördüncü, peki vb.

Aritmetik ilerleme farkı Belki pozitif, o zaman serideki her sayının gerçek olduğu ortaya çıkacak öncekinden daha fazla. Bu ilerlemeye denir artan.Örneğin:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Burada her sayı elde edilir ekleyerek pozitif sayı, bir öncekine +5.

Fark olabilir negatif, o zaman serideki her sayı öncekinden daha az. Bu ilerlemeye denir (buna inanmayacaksınız!) azalıyor.

Örneğin:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Burada her sayı da elde edilir ekleyerek bir öncekine, ama zaten negatif sayı, -5.

Bu arada, ilerlemeyle çalışırken, ister artıyor ister azalıyor olsun, doğasını hemen belirlemek çok faydalıdır. Bu, karar vermenize, hatalarınızı tespit etmenize ve çok geç olmadan bunları düzeltmenize çok yardımcı olur.

Aritmetik ilerleme farkı genellikle harfle gösterilir D.

Nasıl bulunur? D? Çok basit. Serideki herhangi bir sayıdan çıkarma yapmak gerekir öncesi sayı. Çıkar. Bu arada çıkarma sonucuna "fark" denir.)

Örneğin şunu tanımlayalım: D aritmetik ilerlemeyi artırmak için:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Dizide istediğimiz herhangi bir sayıyı alıyoruz örneğin 11. Ondan çıkarıyoruz önceki numara onlar. 8:

Bu doğru cevaptır. Bu aritmetik ilerleme için fark üçtür.

Alabilirsin herhangi bir ilerleme numarası,Çünkü belirli bir ilerleme için D-hep aynı. En azından sıranın başında bir yerde, en azından ortada, en azından herhangi bir yerde. Yalnızca ilk sayıyı alamazsınız. Basitçe çünkü ilk sayı önceki yok.)

Bu arada bunu bilerek d=3 Bu ilerlemenin yedinci sayısını bulmak çok basittir. Beşinci sayıya 3 ekleyelim - altıncıyı elde ederiz, 17 olur. Altıncı sayıya üç ekleyelim, yedinci sayıyı - yirmiyi elde ederiz.

Hadi tanımlayalım D azalan aritmetik ilerleme için:

8; 3; -2; -7; -12; .....

İşaretler ne olursa olsun, belirlemeniz gerektiğini size hatırlatırım. D herhangi bir numaradan lazım öncekini götür. Herhangi bir ilerleme numarasını seçin, örneğin -7. Önceki numarası -2'dir. Daha sonra:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmetik ilerlemenin farkı herhangi bir sayı olabilir: tam sayı, kesirli, irrasyonel, herhangi bir sayı.

Diğer terimler ve tanımlar.

Dizideki her sayıya denir aritmetik ilerlemenin üyesi.

İlerlemenin her üyesi kendi numarası vardır. Rakamlar hiçbir hile olmaksızın kesinlikle sıralıdır. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü vb. Örneğin, 2, 5, 8, 11, 14, ... diziliminde ilk terim iki, ikinci terim beş, dördüncü terim onbir, yani anlıyor musunuz...) Lütfen açıkça anlayın - sayıların kendisi kesinlikle herhangi bir şey olabilir, bütün, kesirli, negatif, her ne olursa olsun, ama sayıların numaralandırılması- kesinlikle sırayla!

bir ilerleme nasıl yazılır genel görünüm? Soru yok! Bir dizideki her sayı bir harf olarak yazılır. Aritmetik ilerlemeyi belirtmek için genellikle harf kullanılır A. Üye numarası sağ altta bir indeksle gösterilir. Terimleri virgülle (veya noktalı virgülle) ayırarak şu şekilde yazarız:

bir 1, bir 2, bir 3, bir 4, bir 5, .....

1- bu ilk sayı, 3- üçüncü vb. Süslü bir şey yok. Bu seriyi kısaca şu şekilde yazabiliriz: (BİR).

İlerlemeler oluyor sonlu ve sonsuz.

Nihai ilerleme var sınırlı miktarüyeler. Beş, otuz sekiz, her neyse. Ama bu sonlu bir sayı.

Sonsuz ilerleme - tahmin edebileceğiniz gibi sonsuz sayıda üyeye sahiptir.)

Son ilerlemeyi bunun gibi bir seri aracılığıyla, tüm terimleri ve sonunda bir noktayı yazabilirsiniz:

1, 2, 3, 4, 5.

Veya çok sayıda üye varsa şöyle:

bir 1, bir 2,... bir 14, bir 15.

Kısa girişte ayrıca üye sayısını da belirtmeniz gerekecektir. Örneğin (yirmi üye için), şöyle:

(bir n), n = 20

Bu dersteki örneklerde olduğu gibi, satırın sonundaki üç nokta ile sonsuz bir ilerleme fark edilebilir.

Artık görevleri çözebilirsiniz. Görevler basit, yalnızca aritmetik ilerlemenin anlamını anlamaya yönelik.

Aritmetik ilerlemeyle ilgili görev örnekleri.

Yukarıda verilen göreve ayrıntılı olarak bakalım:

1. a 2 = 5, d = -2,5 ise, aritmetik ilerlemenin ilk altı terimini (a n) yazın.

Görevi anlaşılır bir dile çeviriyoruz. Sonsuz bir aritmetik ilerleme verilmiştir. Bu ilerlemenin ikinci sayısı biliniyor: 2 = 5.İlerleme farkı bilinmektedir: d = -2,5. Bu ilerlemenin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci ve altıncı terimlerini bulmamız gerekiyor.

Netlik sağlamak için sorunun koşullarına göre bir dizi yazacağım. İkinci terimin beş olduğu ilk altı terim:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

3 = bir 2 + D

İfadeye ikame bir 2 = 5 Ve d = -2,5. Eksileri unutma!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Üçüncü dönem çıktı ikiden az. Her şey mantıklı. Sayı öncekinden büyükse negatif değer, bu da sayının kendisinin öncekinden daha az olacağı anlamına gelir. İlerleme azalıyor. Tamam dikkate alalım.) Serimizin dördüncü dönemini sayıyoruz:

4 = 3 + D

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + D

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + D

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Böylece üçüncüden altıncıya kadar olan terimler hesaplandı. Sonuç aşağıdaki seridir:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Geriye ilk terimi bulmak kalıyor 1İle ünlü ikinci. Bu, diğer yönde, sola doğru bir adımdır.) Yani, aritmetik ilerlemenin farkı D eklenmemelidir bir 2, A götürmek:

1 = bir 2 - D

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

İşte bu. Ödev cevabı:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Bu arada, bu görevi çözdüğümüzü belirtmek isterim. tekrarlayan yol. Bu korkunç kelime yalnızca ilerlemenin bir üyesinin aranması anlamına gelir önceki (bitişik) numaraya göre. Aşağıda ilerlemeyle çalışmanın diğer yollarına bakacağız.

Bu basit görevden önemli bir sonuç çıkarılabilir.

Hatırlamak:

Bir aritmetik ilerlemenin en az bir terimini ve farkını biliyorsak, bu ilerlemenin herhangi bir terimini bulabiliriz.

Hatırlıyor musun? Bu basit sonuç çoğu sorunu çözmenize olanak tanır okul kursu bu konu hakkında. Tüm görevler etrafında döner üç ana parametreler: Bir aritmetik ilerlemenin üyesi, bir ilerlemenin farkı, ilerlemenin bir üyesinin sayısı. Tüm.

Elbette önceki cebirlerin tümü iptal edilmez.) Eşitsizlikler, denklemler ve diğer şeyler ilerlemeye bağlıdır. Ancak ilerlemenin kendisine göre- her şey üç parametre etrafında dönüyor.

Örnek olarak bu konuyla ilgili bazı popüler görevlere bakalım.

2. n=5, d = 0,4 ve a 1 = 3,6 ise sonlu aritmetik ilerlemeyi bir seri olarak yazın.

Burada her şey basit. Her şey zaten verildi. Bir aritmetik dizinin üyelerinin nasıl sayıldığını hatırlamanız, saymanız ve yazmanız gerekir. Görev koşullarındaki kelimeleri kaçırmamanız tavsiye edilir: “final” ve “ n=5". Yüzün tamamen morarıncaya kadar saymamak için.) Bu ilerlemede yalnızca 5 (beş) üye var:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

bir 3 = bir 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Cevabı yazmaya devam ediyor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Başka bir görev:

3. 7 sayısının aritmetik ilerlemenin (a n) bir üyesi olup olmayacağını belirleyin: a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hımm... Kim bilir? Bir şey nasıl belirlenir?

Nasıl-nasıl... İlerlemeyi bir seri halinde yazın ve orada yedi olup olmayacağını görün! Biz sayıyoruz:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Şimdi sadece yedi kişi olduğumuz açıkça görülüyor içinden geçti 6,5 ile 7,7 arasında! Yedi, sayı dizimize girmedi ve bu nedenle yedi, verilen ilerlemenin bir üyesi olmayacak.

Cevap: hayır.

Ve işte GIA'nın gerçek versiyonuna dayanan bir problem:

4. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılır:

...; 15; X; 9; 6; ...

İşte sonu ve başlangıcı olmayan yazılmış bir seri. Üye sayısı yok, fark yok D. Önemli değil. Sorunu çözmek için aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak yeterlidir. Hadi bakalım ve neyin mümkün olduğunu görelim bilmek bu seriden mi? Üç ana parametre nedir?

Üye numaraları? Burada tek bir numara yok.

Ama üç sayı var ve - dikkat! - kelime "tutarlı" durumda. Bu, sayıların boşluksuz, kesinlikle sıralı olduğu anlamına gelir. Bu sırada iki tane mi var? komşu bilinen numaralar? Evet, yaptım! Bunlar 9 ve 6'dır. Dolayısıyla aritmetik ilerlemenin farkını hesaplayabiliriz! Altıdan çıkar öncesi sayı, yani dokuz:

Geriye sadece önemsiz şeyler kaldı. X'in bir önceki sayısı hangi sayı olacak? On beş. Bu, X'in basit toplama işlemiyle kolayca bulunabileceği anlamına gelir. Aritmetik ilerlemenin farkını 15'e ekleyin:

İşte bu. Cevap: x=12

Aşağıdaki sorunları kendimiz çözüyoruz. Not: Bu problemler formüllere dayalı değildir. Tamamen aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak için.) Sadece bir dizi rakam ve harf yazıyoruz, bakıp anlıyoruz.

5. a 5 = -3 ise aritmetik ilerlemenin ilk pozitif terimini bulun; d = 1.1.

6. 5,5 sayısının aritmetik ilerlemenin (an n) bir üyesi olduğu bilinmektedir; burada a 1 = 1,6; d = 1,3. Bu üyenin n sayısını belirleyin.

7. Aritmetik ilerlemede a 2 = 4 olduğu bilinmektedir; 5 = 15,1. 3'ü bulun.

8. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:

...; 15.6; X; 3.4; ...

İlerlemenin x harfiyle gösterilen terimini bulun.

9. Tren, hızını dakikada 30 metre artırarak istasyondan hareket etmeye başladı. Beş dakika sonra trenin hızı ne olacak? Cevabınızı km/saat olarak verin.

10. Aritmetik ilerlemede a 2 = 5 olduğu bilinmektedir; a 6 = -5. 1'i bul.

Cevaplar (karışıklık içinde): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.

Her şey yolunda gitti mi? İnanılmaz! Aşağıdaki derslerde aritmetik ilerlemede daha yüksek düzeyde ustalaşabilirsiniz.

Her şey yolunda gitmedi mi? Sorun değil. Özel Bölüm 555'te tüm bu sorunlar parça parça açıklanmıştır.) Ve elbette basit bir pratik teknik, bu tür görevlerin çözümünü bir bakışta açıkça, net bir şekilde vurgulayan!

Bu arada, tren bulmacasında insanların sıklıkla karşılaştığı iki sorun var. Biri tamamen ilerleme açısından, ikincisi ise matematik ve fizikteki herhangi bir problem için geneldir. Bu, boyutların birinden diğerine çevrilmesidir. Bu sorunların nasıl çözüleceğini gösteriyor.

Bu derste aritmetik ilerlemenin temel anlamına ve ana parametrelerine baktık. Bu, bu konudaki hemen hemen tüm sorunları çözmek için yeterlidir. Eklemek D sayılara seri yaz her şey çözülecek.

Parmak çözümü, bu dersteki örneklerde olduğu gibi, sıranın çok kısa parçaları için işe yarar. Seri uzunsa hesaplamalar daha karmaşık hale gelir. Örneğin, eğer sorudaki 9. problemde yerine koyarsak "beş dakika" Açık "otuz beş dakika" sorun önemli ölçüde daha da kötüleşecektir.)

Ayrıca özünde basit ancak hesaplamalar açısından saçma olan görevler de vardır, örneğin:

Aritmetik ilerleme (a n) verilmiştir. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.

Peki 1/6'yı defalarca mı toplayacağız? Kendini öldürebilirsin!?

Yapabilirsiniz.) Bu tür görevleri bir dakika içinde çözebileceğiniz basit bir formül bilmiyorsanız. Bu formül bir sonraki derste olacak. Ve bu sorun orada çözüldü. Bir dakika içinde.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Pekala arkadaşlar, eğer bu metni okuyorsanız, o zaman iç kanıt bana aritmetik ilerlemenin ne olduğunu henüz bilmediğinizi, ancak gerçekten (hayır, şöyle: Çooook!) bilmek istediğinizi söylüyor. Bu nedenle uzun tanıtımlarla sizi sıkmayacağım ve doğrudan konuya gireceğim.

Öncelikle birkaç örnek. Birkaç sayı kümesine bakalım:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Tüm bu setlerin ortak noktası nedir? İlk bakışta hiçbir şey yok. Ama aslında bir şey var. Yani: Her sonraki öğeöncekinden aynı sayıda farklı.

Kendiniz karar verin. İlk küme, her biri bir öncekinden bir fazla olan ardışık sayılardan oluşur. İkinci durumda, bitişik sayılar arasındaki fark zaten beştir, ancak bu fark hala sabittir. Üçüncü durumda ise tamamen kökler vardır. Bununla birlikte, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ve $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yani. ve bu durumda, sonraki her öğe $\sqrt(2)$ kadar artar (ve bu sayının irrasyonel olduğundan korkmayın).

Yani: bu tür dizilerin tümüne aritmetik ilerlemeler denir. Kesin bir tanım verelim:

Tanım. Her birinin bir öncekinden tam olarak aynı miktarda farklı olduğu sayı dizisine aritmetik ilerleme denir. Sayıların farklı olduğu miktara ilerleme farkı denir ve çoğunlukla $d$ harfiyle gösterilir.

Gösterim: $\left(((a)_(n)) \right)$ ilerlemenin kendisidir, $d$ onun farkıdır.

Ve sadece birkaç önemli not. İlk olarak, ilerleme yalnızca dikkate alınır sipariş edildi sayıların sırası: kesinlikle yazıldıkları sıraya göre okunmalarına izin verilir - başka hiçbir şeye izin verilmez. Sayılar yeniden düzenlenemez veya değiştirilemez.

İkincisi, dizinin kendisi sonlu veya sonsuz olabilir. Örneğin (1; 2; 3) kümesinin sonlu bir aritmetik ilerleme olduğu açıktır. Ancak (1; 2; 3; 4; ...) ruhuyla bir şey yazarsanız, bu zaten sonsuz bir ilerlemedir. Dörtten sonraki üç nokta, daha pek çok sayının geleceğini ima ediyor gibi görünüyor. Mesela sonsuz sayıda :)

İlerlemelerin artabileceğini veya azalabileceğini de belirtmek isterim. Artanları zaten gördük - aynı küme (1; 2; 3; 4; ...). İşte azalan ilerlemelerin örnekleri:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Tamam tamam: son örnek aşırı karmaşık görünebilir. Ama gerisini sanırım anlıyorsunuz. Bu nedenle yeni tanımlar sunuyoruz:

Tanım. Aritmetik ilerlemeye denir:

1. her bir sonraki öğenin bir öncekinden büyük olması durumunda artan;
2. aksine, sonraki her öğe bir öncekinden daha azsa azalır.

Ek olarak, "durağan" diziler de vardır - bunlar aynı tekrar eden sayıdan oluşur. Örneğin, (3; 3; 3; ...).

Geriye tek bir soru kalıyor: Artan ilerlemeyi azalan ilerlemeden nasıl ayırt edebiliriz? Neyse ki, buradaki her şey yalnızca $d$ sayısının işaretine bağlıdır, yani. ilerleme farklılıkları:

1. $d \gt 0$ ise ilerleme artar;
2. $d \lt 0$ ise ilerleme açıkça azalıyor demektir;
3. Son olarak, $d=0$ durumu vardır - bu durumda tüm ilerleme aynı sayıların sabit bir dizisine indirgenir: (1; 1; 1; 1; ...), vb.

Yukarıda verilen üç azalan ilerleme için $d$ farkını hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için herhangi iki bitişik öğeyi (örneğin birinci ve ikinci) alıp soldaki sayıyı sağdaki sayıdan çıkarmak yeterlidir. Şunun gibi görünecek:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Gördüğümüz gibi her konuda üç vaka fark aslında negatif çıktı. Artık tanımları az çok anladığımıza göre, ilerlemelerin nasıl tanımlandığını ve hangi özelliklere sahip olduğunu anlamanın zamanı geldi.

İlerleme terimleri ve yineleme formülü

Dizilerimizin elemanları değiştirilemediği için numaralandırılabilirler:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Sağ\)\]

Bu kümenin bireysel elemanlarına bir ilerlemenin üyeleri denir. Bir sayıyla belirtilirler: birinci üye, ikinci üye vb.

Ek olarak, zaten bildiğimiz gibi, ilerlemenin komşu terimleri aşağıdaki formülle ilişkilidir:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kısacası, bir ilerlemenin $n$th terimini bulmak için $n-1$th terimini ve $d$ farkını bilmeniz gerekir. Bu formüle yinelenen denir, çünkü onun yardımıyla herhangi bir sayıyı yalnızca öncekini (ve aslında öncekilerin tümünü) bilerek bulabilirsiniz. Bu çok sakıncalıdır, bu nedenle hesaplamaları ilk terime ve farka indirgeyen daha kurnaz bir formül vardır:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Muhtemelen bu formülle zaten karşılaşmışsınızdır. Her türlü referans kitaplarında ve çözüm kitaplarında bunu vermekten hoşlanıyorlar. Ve herhangi bir mantıklı matematik ders kitabında ilklerden biridir.

Ancak biraz pratik yapmanızı öneririm.

Görev No.1. Aritmetik ilerlemenin ilk üç terimini $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$ yazın.

Çözüm. Yani, ilk terimi $((a)_(1))=8$ ve $d=-5$ ilerlemesinin farkını biliyoruz. Az önce verilen formülü kullanalım ve $n=1$, $n=2$ ve $n=3$ yerine koyalım:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizala)\]

Cevap: (8; 3; −2)

İşte bu! Lütfen dikkat: ilerlememiz azalıyor.

Tabii ki, $n=1$ değiştirilemez - ilk terim bizim tarafımızdan zaten bilinmektedir. Ancak birliği yerine koyarak formülümüzün ilk terim için bile işe yaradığına ikna olduk. Diğer durumlarda her şey banal aritmetiğe indirgendi.

Görev No.2. Bir aritmetik dizinin yedinci terimi -40'a ve on yedinci terimi -50'ye eşitse ilk üç terimini yazın.

Çözüm. Sorunun durumunu tanıdık terimlerle yazalım:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Sağ.\]

Sistem işaretini koydum çünkü bu gereksinimlerin aynı anda karşılanması gerekiyor. Şimdi şunu belirtelim ki ikinci denklemden birinciyi çıkarırsak (sistemimiz olduğu için bunu yapmaya hakkımız var) şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizala)\]

İlerleme farkını bulmak işte bu kadar kolay! Geriye kalan tek şey, bulunan sayıyı sistemdeki denklemlerden herhangi birine koymaktır. Örneğin, ilkinde:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matris)\]

Şimdi, ilk terimi ve farkı bildiğimize göre, ikinci ve üçüncü terimleri bulmaya devam ediyoruz:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizala)\]

Hazır! Sorun çözüldü.

Cevap: (−34; −35; −36)

İlerlemeyle ilgili keşfettiğimiz ilginç özelliğe dikkat edin: $n$th ve $m$th terimlerini alıp bunları birbirinden çıkarırsak, ilerlemenin farkını $n-m$ sayısıyla çarparak elde ederiz:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Basit ama çok kullanışlı özellik Kesinlikle bilmeniz gereken - onun yardımıyla birçok ilerleme sorununun çözümünü önemli ölçüde hızlandırabilirsiniz. İşte bunun açık bir örneği:

Görev No.3. Bir aritmetik ilerlemenin beşinci terimi 8,4, onuncu terimi ise 14,4'tür. Bu ilerlemenin on beşinci terimini bulun.

Çözüm. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ve $((a)_(15))$'ı bulmamız gerektiğinden, şunu not ediyoruz:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizala)\]

Ancak $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ koşuluna göre, dolayısıyla $5d=6$, bundan şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizala)\]

Cevap: 20.4

İşte bu! Herhangi bir denklem sistemi oluşturmamıza ve ilk terimi ve farkı hesaplamamıza gerek yoktu; her şey sadece birkaç satırda çözüldü.

Şimdi başka bir problem türüne bakalım: ilerlemenin negatif ve pozitif terimlerini bulmaya. Bir ilerleme artarsa ​​ve ilk terimi negatifse, er ya da geç olumlu terimlerin içinde görüneceği bir sır değildir. Ve bunun tersi de geçerlidir: azalan ilerlemenin koşulları er ya da geç olumsuz hale gelecektir.

Aynı zamanda unsurları sırayla geçerek bu anı “kafa kafaya” bulmak her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman problemler öyle bir şekilde yazılır ki formülleri bilmeden hesaplamalar birkaç sayfa kağıt alır; biz cevabı bulurken uykuya dalarız. Bu nedenle bu sorunları daha hızlı çözmeye çalışalım.

Görev No.4. Aritmetik ilerlemede kaç tane negatif terim var −38,5; −35,8; ...?

Çözüm. Yani, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, buradan farkı hemen buluruz:

Farkın pozitif olduğunu, dolayısıyla ilerlemenin arttığını unutmayın. İlk terim negatiftir, dolayısıyla bir noktada pozitif sayılara rastlayacağız. Tek soru bunun ne zaman olacağıdır.

Terimlerin olumsuzluğunun ne kadar süreyle (yani hangi $n$ doğal sayısına kadar) kaldığını bulmaya çalışalım:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizala)\]

Son satır biraz açıklama gerektiriyor. Yani $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu biliyoruz. Öte yandan, sayının yalnızca tamsayı değerleriyle yetiniyoruz (ayrıca: $n\in \mathbb(N)$), dolayısıyla izin verilen en büyük sayı tam olarak $n=15$'dır ve hiçbir durumda 16 değildir. .

Görev No.5. Aritmetik ilerlemede $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu ilerlemenin ilk pozitif teriminin sayısını bulun.

Bu, bir öncekiyle tamamen aynı problem olacaktır, ancak $((a)_(1))$'ı bilmiyoruz. Ancak komşu terimler biliniyor: $((a)_(5))$ ve $((a)_(6))$, böylece ilerlemenin farkını kolayca bulabiliriz:

Ayrıca standart formülü kullanarak beşinci terimi birinci ve fark üzerinden ifade etmeye çalışalım:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizala)\]

Şimdi önceki göreve benzeterek ilerliyoruz. Pozitif sayıların dizimizin hangi noktasında görüneceğini öğrenelim:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(hizala)\]

Bu eşitsizliğin minimum tamsayı çözümü 56 sayısıdır.

Lütfen unutmayın: son görevde her şey katı eşitsizliğe indi, bu nedenle $n=55$ seçeneği bize uymayacaktır.

Artık basit problemleri nasıl çözeceğimizi öğrendiğimize göre, daha karmaşık problemlere geçelim. Ama önce, aritmetik ilerlemelerin bize çok fazla zaman kazandıracak ve gelecekte eşit olmayan hücrelere sahip olmamızı sağlayacak çok yararlı başka bir özelliğini inceleyelim. :)

Aritmetik ortalama ve eşit girintiler

Artan aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimini ele alalım $\left(((a)_(n)) \right)$. Bunları sayı doğrusunda işaretlemeye çalışalım:

Özellikle $((a)_(n-3))),...,((a)_(n+3))$ gibi rastgele terimleri işaretledim, $((a)_(1)) ,\'yi değil. ((a)_(2))),\ ((a)_(3))$, vb. Çünkü şimdi anlatacağım kural her “segment” için aynı şekilde işliyor.

Ve kural çok basit. Tekrarlanan formülü hatırlayalım ve işaretli tüm terimler için yazalım:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizala)\]

Ancak bu eşitlikler farklı şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizala)\]

Ne olmuş? Ve $((a)_(n-1))$ ve $((a)_(n+1))$ terimlerinin $((a)_(n)) $'dan aynı uzaklıkta olması . Ve bu mesafe $d$'a eşittir. Aynı şey $((a)_(n-2))$ ve $((a)_(n+2))$ terimleri için de söylenebilir - bunlar aynı zamanda $((a)_(n) öğesinden de kaldırılmıştır. )$ aynı mesafede $2d$'a eşittir. Sonsuza kadar devam edebiliriz, ancak bunun anlamı resimde çok iyi bir şekilde gösterilmiştir.

Bu bizim için ne anlama geliyor? Bu, eğer komşu sayılar biliniyorsa $((a)_(n))$ öğesinin bulunabileceği anlamına gelir:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1))))(2)\]

Mükemmel bir ifade elde ettik: Bir aritmetik ilerlemenin her terimi, komşu terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir! Üstelik: $((a)_(n))$'dan sola ve sağa bir adım değil, $k$ adımlarla geri adım atabiliriz - ve formül yine de doğru olacaktır:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]

Onlar. $((a)_(100))$ ve $((a)_(200))$$'ı biliyorsak kolayca $((a)_(150))$ bulabiliriz, çünkü $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200))))(2)$. İlk bakışta bu gerçeğin bize hiçbir faydası olmadığı düşünülebilir. Ancak pratikte birçok problem aritmetik ortalamayı kullanacak şekilde özel olarak uyarlanmıştır. Bir göz atın:

Görev No. 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ve $14+4((x)^(2))$ sayılarının ardışık terimler olduğu tüm $x$ değerlerini bulun. aritmetik ilerleme (belirtilen sıraya göre).

Çözüm. Bu sayılar bir ilerlemenin üyeleri olduğundan, aritmetik ortalama koşulu onlar için karşılanmıştır: merkezi öğe $x+1$ komşu öğeler cinsinden ifade edilebilir:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2))))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizala)\]

Klasik çıktı ikinci dereceden denklem. Kökleri: $x=2$ ve $x=-3$ yanıtlardır.

Cevap: −3; 2.

Görev No.7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ sayılarının aritmetik bir ilerleme oluşturduğu (bu sırayla) $$ değerlerini bulun.

Çözüm. Ortadaki terimi yine komşu terimlerin aritmetik ortalaması üzerinden ifade edelim:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(hizala)\]

Tekrar ikinci dereceden denklem. Ve yine iki kök var: $x=6$ ve $x=1$.

Cevap: 1; 6.

Bir sorunu çözme sürecinde bazı acımasız rakamlarla karşılaşırsanız veya bulunan cevapların doğruluğundan tam olarak emin değilseniz, o zaman kontrol etmenizi sağlayan harika bir teknik var: sorunu doğru çözdük mü?

Diyelim ki 6 numaralı problemde −3 ve 2 cevaplarını aldık. Bu cevapların doğru olup olmadığı nasıl kontrol edilir? Bunları orijinal durumuna takalım ve ne olacağını görelim. Bir aritmetik ilerleme oluşturması gereken üç sayımız ($-6(()^(2))$, $+1$ ve $14+4(()^(2))$) olduğunu hatırlatmama izin verin. $x=-3$ yerine koyalım:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(hizala)\]

−54 sayısını aldık; −2; Farkı 52 olan 50 sayısı şüphesiz bir aritmetik ilerlemedir. Aynı şey $x=2$ için de olur:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(hizala)\]

Yine ilerleme oldu ama 27'lik bir farkla. Böylece sorun doğru bir şekilde çözüldü. İsteyen ikinci sorunu kendi başına kontrol edebilir ama hemen söyleyeyim: orada da her şey doğru.

Genel olarak son problemleri çözerken başka bir şeyle karşılaştık ilginç gerçekşunu da unutmamak lazım:

Eğer üç sayı ikincisi birincinin ve sonuncunun aritmetik ortalaması olacak şekildeyse, bu sayılar aritmetik bir ilerleme oluşturur.

Gelecekte, bu ifadeyi anlamak, sorunun koşullarına göre gerekli ilerlemeleri kelimenin tam anlamıyla "inşa etmemize" olanak tanıyacaktır. Ancak böyle bir "inşaa" girişmeden önce, daha önce tartışılanlardan doğrudan çıkan bir gerçeğe daha dikkat etmeliyiz.

Öğeleri gruplama ve toplama

Tekrar sayı eksenine dönelim. Burada ilerlemenin birkaç üyesini not edelim, belki bunlar arasında. diğer birçok üyeye değer:

“Sol kuyruğu” $((a)_(n))$ ve $d$ aracılığıyla, “sağ kuyruğu” ise $((a)_(k))$ ve $d$ aracılığıyla ifade etmeye çalışalım. Çok basit:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizala)\]

Şimdi aşağıdaki miktarların eşit olduğunu unutmayın:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(hizala)\]

Basitçe söylemek gerekirse, ilerlemenin toplamda $S$ sayısına eşit olan iki unsurunu başlangıç ​​olarak düşünürsek ve sonra bu unsurlardan zıt yönlerde (birbirine doğru veya tam tersi uzaklaşmak için) adım atmaya başlarsak, Daha sonra rastlayacağımız elementlerin toplamları da eşit olacak$S$. Bu en açık şekilde grafiksel olarak gösterilebilir:

Bu gerçeği anlamak, sorunları daha temelde çözmemizi sağlayacaktır. yüksek seviye Yukarıda ele aldığımız zorluklardan daha fazla zorluk. Örneğin, bunlar:

Görev No.8. İlk terimi 66 olan ve ikinci ve onikinci terimlerin çarpımının mümkün olan en küçük olduğu aritmetik ilerlemenin farkını belirleyin.

Çözüm. Bildiğimiz her şeyi yazalım:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(hizala)\]

Yani $d$ ilerleme farkını bilmiyoruz. Aslında, $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ çarpımı aşağıdaki gibi yeniden yazılabileceğinden, çözümün tamamı fark etrafında inşa edilecektir:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(hizala)\]

Tanktakiler için: İkinci gruptan genel çarpan olan 11'i çıkardım. Dolayısıyla gerekli çarpım $d$ değişkenine göre ikinci dereceden bir fonksiyondur. Bu nedenle, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ fonksiyonunu düşünün - grafiği, dalları yukarıya doğru olan bir parabol olacaktır, çünkü parantezleri genişletirsek şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Gördüğünüz gibi en yüksek terimin katsayısı 11'dir - bu pozitif sayı, yani aslında dalları yukarı doğru olan bir parabolle uğraşıyoruz:

takvim ikinci dereceden fonksiyon- parabol

Lütfen aklınızda bulundurun: minimum değer bu parabol, apsisli tepe noktasında $((d)_(0))$ alır. Elbette bu apsisi şu şekilde hesaplayabiliriz: standart şema($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formülü vardır), ancak istenen tepe noktasının simetri ekseninde yer aldığını not etmek çok daha mantıklı olacaktır. parabol olduğundan $((d) _(0))$ noktası $f\left(d \right)=0$ denkleminin köklerine eşit uzaklıktadır:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizala)\]

Bu yüzden parantezleri açmak için özel bir acelem yoktu: orijinal hallerinde kökleri bulmak çok çok kolaydı. Bu nedenle apsis, −66 ve −6 sayılarının aritmetik ortalamasına eşittir:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Keşfedilen sayı bize ne veriyor? Bununla birlikte, gerekli ürün en küçük değeri alır (bu arada, $((y)_(\min ))$'yi asla hesaplamadık - bu bizim için gerekli değildir). Aynı zamanda bu sayı orijinal ilerlemenin farkıdır, yani. Cevabı bulduk :)

Cevap: −36

Görev No.9. $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac(1)(6)$ sayıları arasına üç sayı ekleyin, böylece bu sayılarla birlikte bir aritmetik ilerleme oluştursunlar.

Çözüm. Temel olarak, ilk ve son sayı zaten bilinen beş sayıdan oluşan bir dizi oluşturmamız gerekiyor. Eksik sayıları $x$, $y$ ve $z$ değişkenleriyle gösterelim:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

$y$ sayısının dizimizin "ortası" olduğuna dikkat edin - $x$ ve $z$ sayılarından ve $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac sayılarından eşit uzaklıkta (1)(6)$. Ve şu anda $x$ ve $z$ sayılarından $y$ elde edemiyorsak, ilerlemenin sonlarında durum farklıdır. Aritmetik ortalamayı hatırlayalım:

Şimdi $y$'ı bildiğimize göre kalan sayıları bulacağız. $x$'ın az önce bulduğumuz $-\frac(1)(2)$ ve $y=-\frac(1)(3)$ sayıları arasında yer aldığını unutmayın. Bu yüzden

Benzer akıl yürütmeyi kullanarak kalan sayıyı buluruz:

Hazır! Üç sayıyı da bulduk. Bunları orijinal sayıların arasına yerleştirilmesi gereken sırayla cevapta yazalım.

Cevap: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Görev No. 10. 2 ile 42 sayıları arasına, eklenen sayıların birinci, ikinci ve sonuncusunun toplamının 56 olduğunu biliyorsanız, bu sayılarla birlikte aritmetik bir ilerleme oluşturan birkaç sayı ekleyin.

Çözüm. Daha da fazlası zor görev ancak bu, öncekilerle aynı şemaya göre aritmetik ortalama yoluyla çözülür. Sorun şu ki, kaç sayının eklenmesi gerektiğini tam olarak bilmiyoruz. Bu nedenle, kesin olarak, her şeyi yerleştirdikten sonra tam olarak $n$ sayıların olacağını ve bunların ilkinin 2 ve sonuncusunun 42 olduğunu varsayalım. Bu durumda gerekli aritmetik ilerleme şu şekilde gösterilebilir:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Ancak $((a)_(2))$ ve $((a)_(n-1))$ sayılarının kenarlardaki 2 ve 42 sayılarından birbirine bir adım yaklaşarak elde edildiğini unutmayın, yani. dizinin merkezine. Ve bu şu anlama geliyor

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ancak bu durumda yukarıda yazılan ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizala)\]

$((a)_(3))$ ve $((a)_(1))$'ı bilerek, ilerleme farkını kolayca bulabiliriz:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ok d=5. \\ \end(hizala)\]

Geriye kalan tek şey kalan terimleri bulmak:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(hizala)\]

Böylece, 9. adımda dizinin sol ucuna ulaşacağız - 42 sayısı. Toplamda yalnızca 7 sayının eklenmesi gerekiyordu: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Cevap: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

İlerlemelerle ilgili kelime problemleri

Sonuç olarak, nispeten basit birkaç sorunu ele almak istiyorum. Bu kadar basit: Okulda matematik eğitimi alan ve yukarıda yazılanları okumayan çoğu öğrenci için bu problemler zor görünebilir. Yine de bunlar matematikte OGE ve Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkan problem türleridir, bu yüzden bunlara aşina olmanızı öneririm.

Görev No.11. Ekip Ocak ayında 62 parça üretti ve sonraki her ayda bir önceki aya göre 14 parça daha fazla üretti. Ekip Kasım ayında kaç parça üretti?

Çözüm. Açıkçası, aya göre listelenen parça sayısı artan bir aritmetik ilerlemeyi temsil edecektir. Dahası:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Kasım yılın 11. ayı olduğundan $((a)_(11))$ bulmamız gerekiyor:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Dolayısıyla kasım ayında 202 parça üretilecek.

Görev No. 12. Ciltleme atölyesi Ocak ayında 216 kitap ciltledi ve sonraki her ayda bir öncekine göre 4 kitap daha ciltledi. Atölye Aralık ayında kaç kitap ciltledi?

Çözüm. Her şey aynı:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Aralık yılın son 12. ayı olduğundan $((a)_(12))$ ifadesini arıyoruz:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Cevap bu: Aralık ayında 260 kitap ciltlenecek.

Buraya kadar okuduysanız sizi tebrik etmek için acele ediyorum: aritmetik ilerlemelerde "genç dövüşçü kursunu" başarıyla tamamladınız. İlerlemenin toplamı formülünü ve bunun önemli ve çok faydalı sonuçlarını inceleyeceğimiz bir sonraki derse güvenle geçebilirsiniz.

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler

Teorik bilgiler

	Aritmetik ilerleme	Geometrik ilerleme
Tanım	Aritmetik ilerleme BİR ikinciden başlayarak her üyenin aynı numaraya eklenen önceki üyeye eşit olduğu bir dizidir D (D- ilerleme farkı)	Geometrik ilerleme bn her terimi ikinciden başlayarak önceki terimin aynı sayıyla çarpımına eşit olan sıfırdan farklı sayılar dizisidir Q (Q- ilerlemenin paydası)
Tekrarlama formülü	Herhangi bir doğal için N bir n + 1 = bir n + d	Herhangi bir doğal için N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formül n'inci terim	bir n = bir 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Karakteristik özellik
İlk n terimin toplamı

Yorum içeren görev örnekleri

Görev 1

Aritmetik ilerlemede ( BİR) 1 = -6, bir 2

N'inci terimin formülüne göre:

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 gün

Koşula göre:

1= -6 ise 22= -6 + 21d .

İlerleme farkını bulmak gerekir:

d = bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Cevap : 22 = -48.

Görev 2

Geometrik ilerlemenin beşinci terimini bulun: -3; 6;....

1. yöntem (n-terim formülünü kullanarak)

Geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülüne göre:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Çünkü b 1 = -3,

2. yöntem (tekrarlayan formülü kullanarak)

İlerlemenin paydası -2 (q = -2) olduğuna göre:

b3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Cevap : b5 = -48.

Görev 3

Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir 74 = 34; 76= 156. Bu ilerlemenin yetmiş beşinci terimini bulun.

Aritmetik bir ilerleme için karakteristik özellik şu şekildedir: .

Bundan şu sonuç çıkıyor:

.

Verileri formülde yerine koyalım:

Cevap: 95.

Görev 4

Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir n= 3n - 4. İlk on yedi terimin toplamını bulun.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamını bulmak için iki formül kullanılır:

.

Hangisi var bu durumda kullanımı daha mı uygun?

Koşullu olarak, orijinal ilerlemenin n'inci teriminin formülü bilinmektedir ( BİR) BİR= 3n - 4. Hemen bulabilir ve 1, Ve 16 bulmadan d. Bu nedenle ilk formülü kullanacağız.

Cevap: 368.

Görev 5

Aritmetik ilerlemede ( BİR) 1 = -6; bir 2= -8. İlerlemenin yirmi ikinci terimini bulun.

N'inci terimin formülüne göre:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21g.

Koşullara göre ise 1= -6 ise 22= -6 + 21d . İlerlemelerin farkını bulmak gerekir:

d = bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Cevap : 22 = -48.

Görev 6

Geometrik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:

İlerlemenin x ile gösterilen terimini bulun.

Çözerken n'inci terimin formülünü kullanacağız b n = b 1 ∙ q n - 1 geometrik ilerlemeler için. İlerlemenin ilk dönemi. Q ilerlemesinin paydasını bulmak için, ilerlemenin verilen terimlerinden herhangi birini alıp bir öncekine bölmeniz gerekir. Örneğimizde alıp bölebiliriz. q = 3 elde ederiz. Belirli bir geometrik ilerlemenin üçüncü terimini bulmak gerektiğinden formülde n yerine 3 koyarız.

Bulunan değerleri formülde değiştirerek şunu elde ederiz:

.

Cevap : .

Görev 7

N'inci terimin formülüyle verilen aritmetik ilerlemelerden, koşulun sağlandığı terimi seçin 27 > 9:

İlerlemenin 27. terimi için verilen koşulun sağlanması gerektiğinden, dört ilerlemenin her birinde n yerine 27 koyarız. 4. ilerlemede şunu elde ederiz:

.

Cevap: 4.

Görev 8

Aritmetik ilerlemede 1= 3, d = -1,5. Belirt en yüksek değer n eşitsizliğin geçerli olduğu yer BİR > -6.

Cebir okurken ortaokul(9. sınıf) önemli konulardan biri geometrik ve aritmetik ilerlemeleri içeren sayı dizilerinin incelenmesidir. Bu yazıda aritmetik ilerlemeye ve çözümlü örneklere bakacağız.

Aritmetik ilerleme nedir?

Bunu anlamak için hem söz konusu ilerlemeyi tanımlamak hem de daha sonra problemlerin çözümünde kullanılacak temel formülleri sağlamak gerekir.

Bazı cebirsel ilerlemelerde 1. terimin 6'ya, 7. terimin ise 18'e eşit olduğu bilinmektedir. Farkı bulup bu diziyi 7. terime geri döndürmek gerekir.

Bilinmeyen terimi belirlemek için şu formülü kullanalım: a n = (n - 1) * d + a 1 . Koşuldan bilinen verileri, yani a 1 ve a 7 sayılarını yerine koyalım: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifadeden farkı kolayca hesaplayabilirsiniz: d = (18 - 6) /6 = 2. Böylece problemin ilk kısmını cevaplamış olduk.

Diziyi 7. terime geri döndürmek için cebirsel ilerlemenin tanımını kullanmalısınız, yani a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d vb. Sonuç olarak tüm diziyi geri yükleriz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Örnek No. 3: bir ilerlemenin hazırlanması

Sorunu daha da karmaşık hale getirelim. Şimdi aritmetik ilerlemenin nasıl bulunacağı sorusunu cevaplamamız gerekiyor. Şu örneği verebiliriz: İki sayı veriliyor örneğin - 4 ve 5. Bunların arasına üç terim daha yerleştirilecek şekilde cebirsel bir ilerleme oluşturmak gerekiyor.

Bu sorunu çözmeye başlamadan önce, verilen sayıların gelecekteki ilerlemede nasıl bir yer tutacağını anlamalısınız. Aralarında üç terim daha olacağı için a 1 = -4 ve a 5 = 5 olur. Bunu belirledikten sonra bir öncekine benzer probleme geçiyoruz. Yine formülü kullandığımız n'inci terim için şunu elde ederiz: a 5 = a 1 + 4 * d. Başlangıç: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Burada elde ettiğimiz şey farkın tam sayı değeri değil, rasyonel bir sayıdır, dolayısıyla cebirsel ilerlemenin formülleri aynı kalır.

Şimdi bulunan farkı 1'e ekleyelim ve ilerlemenin eksik terimlerini geri yükleyelim. Şunu elde ederiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, bunlar çakışıyor Sorunun koşulları ile.

Örnek No. 4: ilerlemenin ilk dönemi

Çözümlü aritmetik ilerleme örnekleri vermeye devam edelim. Önceki problemlerin hepsinde cebirsel ilerlemenin ilk sayısı biliniyordu. Şimdi farklı türde bir problem düşünelim: a 15 = 50 ve a 43 = 37 olmak üzere iki sayı verilsin. Bu dizinin hangi sayıyla başladığını bulmak gerekiyor.

Şu ana kadar kullanılan formüller a 1 ve d'nin bilgisini varsaymaktadır. Problem ifadesinde bu sayılar hakkında hiçbir şey bilinmemektedir. Bununla birlikte, hakkında bilgi bulunan her terim için ifadeleri yazacağız: a 15 = a 1 + 14 * d ve a 43 = a 1 + 42 * d. 2 bilinmeyen miktarın (a 1 ve d) olduğu iki denklem aldık. Bu, problemin bir doğrusal denklem sisteminin çözümüne indirgendiği anlamına gelir.

Bu sistemi çözmenin en kolay yolu, her denklemde 1'i ifade etmek ve ardından elde edilen ifadeleri karşılaştırmaktır. Birinci denklem: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci denklem: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Bu ifadeleri eşitleyerek şunu elde ederiz: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, dolayısıyla fark d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (yalnızca 3 ondalık basamak verilmiştir).

D'yi bildiğinize göre, 1 için yukarıdaki 2 ifadeden herhangi birini kullanabilirsiniz. Örneğin ilk olarak: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Elde edilen sonuçtan şüpheniz varsa kontrol edebilirsiniz, örneğin durumda belirtilen ilerlemenin 43. dönemini belirleyebilirsiniz. Şunu elde ederiz: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Küçük hata, hesaplamalarda binde birine yuvarlamanın kullanılmasından kaynaklanmaktadır.

Örnek No. 5: tutar

Şimdi bir aritmetik ilerlemenin toplamının çözümlerini içeren birkaç örneğe bakalım.

Aşağıdaki formun sayısal ilerlemesi verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu sayıların 100'ünün toplamı nasıl hesaplanır?

Bilgisayar teknolojisinin gelişmesi sayesinde bu sorunu çözmek, yani tüm sayıları sırayla eklemek mümkündür; kişi Enter tuşuna bastığı anda bilgisayarın yapacağı bunu yapar. Ancak sunulan sayı serisinin cebirsel bir ilerleme olduğuna ve farkının 1'e eşit olduğuna dikkat ederseniz sorun zihinsel olarak çözülebilir. Toplam formülünü uygulayarak şunu elde ederiz: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Bu problemin "Gaussian" olarak adlandırılması ilginçtir çünkü XVIII'in başı yüzyılda ünlü Alman, henüz 10 yaşında olmasına rağmen bu soruyu birkaç saniye içinde kafasında çözmeyi başarmıştı. Çocuk cebirsel ilerlemenin toplamının formülünü bilmiyordu ama dizinin sonundaki sayıları çiftler halinde toplarsanız her zaman aynı sonucu elde ettiğinizi fark etti: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ve bu toplamlar tam olarak 50 (100/2) olacağından doğru cevabı almak için 50'yi 101 ile çarpmak yeterlidir.

Örnek No. 6: n'den m'ye terimlerin toplamı

Aritmetik ilerlemenin toplamının bir başka tipik örneği şudur: 3, 7, 11, 15, ... gibi bir sayı dizisi verildiğinde, 8'den 14'e kadar olan terimlerin toplamının neye eşit olacağını bulmanız gerekir. .

Sorun iki şekilde çözülür. Bunlardan ilki, 8'den 14'e kadar bilinmeyen terimleri bulmayı ve ardından bunları sırayla toplamayı içerir. Terim sayısı az olduğundan bu yöntem pek emek yoğun değildir. Bununla birlikte, bu sorunun daha evrensel olan ikinci bir yöntemle çözülmesi önerilmektedir.

Buradaki fikir, n > m'nin tamsayı olduğu m ve n terimleri arasındaki cebirsel ilerlemenin toplamı için bir formül elde etmektir. Her iki durumda da toplam için iki ifade yazıyoruz:

1. S m = m * (bir m + bir 1) / 2.
2. S n = n * (bir n + bir 1) / 2.

n > m olduğundan 2. toplamın birinciyi içerdiği açıktır. Son sonuç, bu toplamlar arasındaki farkı alıp buna a m terimini eklersek (farkın alınması durumunda S n toplamından çıkarılır), probleme gerekli cevabı elde edeceğimiz anlamına gelir. Elimizde: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifadede a n ve a m formüllerini yerine koymak gerekir. O zaman şunu elde ederiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ortaya çıkan formül biraz hantaldır, ancak S mn toplamı yalnızca n, m, a 1 ve d'ye bağlıdır. Bizim durumumuzda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu sayıları yerine koyarsak şunu elde ederiz: S mn = 301.

Yukarıdaki çözümlerden de görülebileceği gibi, tüm problemler n'inci terimin ifadesi ve ilk terimler kümesinin toplamı formülü bilgisine dayanmaktadır. Bu sorunlardan herhangi birini çözmeye başlamadan önce, durumu dikkatlice okumanız, neyi bulmanız gerektiğini açıkça anlamanız ve ancak o zaman çözüme devam etmeniz önerilir.

Başka bir ipucu da basitlik için çabalamaktır, yani bir soruyu karmaşık matematiksel hesaplamalar kullanmadan cevaplayabiliyorsanız, o zaman tam da bunu yapmanız gerekir, çünkü bu durumda hata yapma olasılığı daha azdır. Örneğin, 6 numaralı çözümle aritmetik ilerleme örneğinde, S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formülünde durabiliriz ve genel problemi ayrı alt görevlere bölün (bu durumda önce a n ve a m terimlerini bulun).

Elde edilen sonuç hakkında şüpheleriniz varsa, verilen bazı örneklerde yapıldığı gibi kontrol etmeniz önerilir. Aritmetik ilerlemeyi nasıl bulacağımızı öğrendik. Bunu anlarsanız, o kadar da zor değil.

Aritmetik ilerlemeyle ilgili problemler eski zamanlarda zaten mevcuttu. Pratik bir ihtiyaçları olduğu için ortaya çıktılar ve çözüm talep ettiler.

Yani papirüslerden birinde Eski Mısır"Matematiksel bir içeriğe sahip olan Rhind papirüsü (M.Ö. 19. yüzyıl) şu görevi içerir: on ölçek ekmeği, aralarındaki farkın ölçünün sekizde biri olması şartıyla on kişiye bölmek."

Antik Yunanlıların matematik eserlerinde aritmetik ilerlemeyle ilgili zarif teoremler vardır. Böylece, İskenderiyeli Hypsicles (2. yüzyıl, birçok ilginç problemi derleyen ve Euclid'in Elementleri'ne on dördüncü kitabı ekleyen) şu fikri formüle etti: “Çift sayıda terimi olan bir aritmetik dizide, 2. yarının terimlerinin toplamı üye sayısının 1/2 karesindeki 1'incinin terimlerinin toplamından daha büyüktür."

Sıra bir ile gösterilir. Bir dizinin sayıları, üyeleri olarak adlandırılır ve genellikle bu üyenin seri numarasını gösteren indeksli harflerle gösterilir (a1, a2, a3 ... okuyun: “a 1”, “a 2”, “a 3” ve benzeri ).

Dizi sonsuz veya sonlu olabilir.

Aritmetik ilerleme nedir? Bununla, ilerleme farkı olan önceki terimi (n) aynı d sayısıyla toplayarak elde edilen terimi kastediyoruz.

Eğer d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 ise bu ilerlemenin arttığı kabul edilir.

Bir aritmetik ilerlemenin yalnızca ilk birkaç terimi dikkate alınırsa sonlu olarak adlandırılır. Çok sayıda üyeyle bu zaten sonsuz bir ilerlemedir.

Herhangi bir aritmetik ilerleme aşağıdaki formülle tanımlanır:

an =kn+b, b ve k ise bazı sayılardır.

Bunun tersi ifade kesinlikle doğrudur: Eğer bir dizi benzer bir formülle veriliyorsa, bu tam olarak şu özelliklere sahip bir aritmetik ilerlemedir:

1. İlerlemedeki her terim, bir önceki ve bir sonraki terimin aritmetik ortalamasıdır.
2. Tersi: eğer, 2.den başlayarak, her terim bir önceki ve bir sonraki terimin aritmetik ortalaması ise, yani; koşul karşılanırsa bu dizi aritmetik bir ilerlemedir. Bu eşitlik aynı zamanda ilerlemenin de bir işaretidir, bu nedenle genellikle ilerlemenin karakteristik özelliği olarak adlandırılır.
   Aynı şekilde, bu özelliği yansıtan teorem doğrudur: Bir dizi, ancak bu eşitliğin 2'den başlayarak dizinin herhangi bir terimi için doğru olması durumunda aritmetik bir ilerlemedir.

Bir aritmetik ilerlemenin herhangi dört sayısının karakteristik özelliği, eğer n + m = k + l ise (m, n, k ilerleme sayılarıdır), an + am = ak + al formülüyle ifade edilebilir.

Aritmetik ilerlemede gerekli herhangi bir (N'inci) terim aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Örneğin: aritmetik dizide ilk terim (a1) verilir ve üçe eşit olur, fark (d) ise dört olur. Bu ilerlemenin kırk beşinci terimini bulmanız gerekiyor. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) formülü, bilinmesi koşuluyla, aritmetik ilerlemenin n'inci terimini k'inci terimlerinden herhangi biri aracılığıyla belirlemenize olanak tanır.

Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı (sonlu bir ilerlemenin 1. n terimi anlamına gelir) şu şekilde hesaplanır:

Sn = (a1+an) n/2.

1. terim de biliniyorsa, hesaplama için başka bir formül uygundur:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

N terim içeren bir aritmetik ilerlemenin toplamı şu şekilde hesaplanır:

Hesaplamalar için formüllerin seçimi problemlerin koşullarına ve ilk verilere bağlıdır.

1,2,3,...,n,... gibi herhangi bir sayının doğal serisi aritmetik ilerlemenin en basit örneğidir.

Aritmetik ilerlemenin yanı sıra kendine has özellikleri ve özellikleri olan geometrik bir ilerleme de vardır.