155 *. Tentukan kuantiti semulajadi kereta potong am (Rajah 153, a).

Keputusan. Seperti yang anda ketahui, unjuran garis potong pada mana-mana satah adalah sama dengan segmen itu sendiri (dengan mengambil kira skala lukisan), jika selari dengan pesawat ini

(Rajah 153, B). Daripada ini, ia mengikuti dengan menukar lukisan, adalah perlu untuk mencapai paralelisme segmen ini. V atau pl. Atau atau menambah sistem V, n pesawat lain berserenjang dengan pl. V atau untuk pl. H dan pada masa yang sama selari dengan segmen ini.

Dalam Rajah. 153, pengenalan pesawat tambahan S ditunjukkan berserenjang dengan pl. H dan selari dengan segmen yang dinyatakan.

Unjuran A S S adalah sama dengan nilai semula jadi AB.

Dalam Rajah. 153, G ditunjukkan Penerimaan lain: Segmen AV diputar di sekitar garis lurus yang melewati titik masuk dan tegak lurus ke pl. N, sebelum kedudukan selari

pl. V. Titik kekal di tempat, dan titik A menduduki kedudukan baru A 1. Dalam kedudukan baru, ufuk. Unjuran A 1 B || Axis X. Unjuran A "B" adalah sama dengan nilai semula jadi segmen AV.

156. Dana Pyramid Sabcd (Rajah 154). Tentukan nilai semula jadi tulang rusuk piramid AS dan CS menggunakan kaedah perubahan dalam pesawat unjuran, dan tulang rusuk BS dan DS menggunakan cara putaran, dan ambil paksi putaran berserenjang ke pl. H.

157 *. Tentukan jarak dari titik A ke pesawat lurus (Rajah 155, a).

Keputusan. Jarak dari titik ke garis lurus diukur dengan segmen tegak lurus yang dihabiskan dari titik langsung.

Sekiranya langsung berserenjang dengan mana-mana pesawat (Rajah 155,6), maka jarak dari titik ke garisan diukur oleh jarak antara unjuran titik dan unjuran garisan pada pesawat ini. Sekiranya menduduki langsung dalam sistem V, H kedudukan umum, maka untuk menentukan jarak dari titik ke kaedah langsung perubahan pesawat unjuran, adalah perlu untuk memperkenalkan ke dalam sistem V, H dua lagi pesawat tambahan.

Pertama (Rajah 155, C) masukkan pl. S, segmen selari matahari (paksi baru S / h selari dengan unjuran BS), dan kami membina unjuran B s C dan a. Kemudian (Rajah 155, D) Kami memperkenalkan satu lagi pl. T, serenjang dengan matahari lurus (paksi t / s baru berserenjang dengan B s s). Kami membina unjuran lurus dan titik - dengan t (B T) dan t. Jarak antara mata A T dan C T (B T) adalah sama dengan jarak L dari titik dan ke pesawat lurus.

Dalam Rajah. 155, tugas yang sama dibuat menggunakan kaedah putaran dalam bentuk itu, yang dipanggil kaedah anjakan selari. Pertama, matahari langsung dan titik A, sambil mengekalkan kedudukan bersama mereka, mengubah beberapa (tidak ditunjukkan dalam lukisan) langsung, tegak lurus kepada pl. H, supaya lapangan terbang lurus terletak di selari. V. Ini bersamaan dengan pergerakan mata A, B, C dalam pesawat selari dengan pl. H. Pada masa yang sama, ufuk. Unjuran sistem yang diberikan (BC + A) tidak berubah dalam magnitud atau oleh konfigurasi, hanya kedudukannya berubah berbanding paksi X. Kami mempunyai ufuk. Unjuran matahari lurus selari dengan paksi x (kedudukan B 1 C 1) dan menentukan unjuran A 1, meletakkan C 1 1 1 \u003d C-1 dan 1 1 1 \u003d A-1, dengan 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Setelah menghabiskan lurus B "B" 1, "A" 1, dengan "dengan" 1 selari dengan paksi X, kita dapati di hadapan mereka. Unjuran B "1, A" 1, C "1. Seterusnya, kami bergerak dalam 1, C 1 dan 1 dalam pesawat selari dengan pl. V (juga tanpa mengubah lokasi bersama mereka), untuk mendapatkan 2 ° C 2 ⊥ pl. H. Pada masa yang sama, unjuran depan akan berserenjang dengan x, b paksi 2 C "2 \u003d B" 1 C "1, dan untuk pembinaan unjuran A" 2 adalah perlu untuk mengambil B "2 2" 2 \u003d B "1 2" 1, belanja 2 "A" 2 ⊥ B "2 S "2 dan menangguhkan" 2 2 "2 \u003d A" 1 2 "1. Sekarang, setelah menghabiskan 1 C 2 dan 1 a 2 || X 1 Kami mendapat unjuran B 2 C 2 dan 2 dan jarak yang dikehendaki L dari titik A ke pesawat lurus. Tentukan jarak dari a ke pesawat, dengan memutarkan satah, ditentukan oleh titik A dan matahari langsung, di sekitar mendatar pesawat ini ke kedudukan t || pl. H (Rajah 155, e).

Dalam pesawat yang ditakrifkan oleh titik A dan pesawat lurus, kami menjalankan A-1 mendatar (Rajah 155, G) dan menghidupkannya titik V. titik bergerak ke pl. R (diberikan dalam lukisan lukisan r h) berserenjang dengan A-1; Pada titik O, pusat putaran titik V. kini ditentukan oleh nilai semula jadi radius putaran C, (Rajah 155, B). Dalam kedudukan yang dikehendaki, iaitu apabila pl. T, ditakrifkan oleh titik A dan matahari langsung, akan menjadi || pl. H, titik B diperolehi pada R h pada jarak OB 1 dari titik O (mungkin kedudukan lain pada treler yang sama R H, tetapi di sisi lain O). Titik B 1 adalah cakrawala. Unjuran dari titik selepas memindahkannya ke kedudukan dalam 1 di ruang, apabila pesawat, ditentukan oleh titik A dan matahari lurus, mengambil kedudukan T.

Selepas perbelanjaan (Rajah 155, dan) Langsung B 1 1, kami mendapat ufuk. Unjuran matahari langsung, sudah terdapat || pl. H dalam satu satah dengan A. Dalam kedudukan ini, jarak dari A hingga B 1 1 adalah jarak yang dikehendaki L. Plane P di mana unsur-unsur tertentu terletak, boleh digabungkan dengan pl. H (Rajah 155, K), menjadikan PL. R di sekitar ufuk. jejak. Pergi dari penetapan pesawat dengan titik A dan matahari langsung ke tugas Sun Direct dan A-1 (Rajah 155, L), kita dapati jejak ini langsung dan menjalankan jejak P θ dan pH melalui mereka . Kami membina (Rajah 155, M) digabungkan dengan pl. H kedudukan depan. Trace adalah p θ0.

Melalui titik dan menghabiskan ufuk. frontal unjuran; Depan gabungan melalui titik 2 pada jejak P sel selari dengan p θ0. Point a 0 - digabungkan dengan pl. H Posisi Point A. Begitu juga untuk mencari titik dalam 0. Sun langsung dalam digabungkan dengan pl. H Kedudukan melaluinya melalui titik dalam 0 dan titik M (Horizon. Garis trafik).

Jarak dari titik A 0 hingga garis lurus ke 0 C 0 sama dengan jarak yang dikehendaki L.

Anda boleh melakukan pembinaan yang ditentukan, hanya mencari satu tanda P h (Rajah 155, N dan O). Semua pembinaan adalah sama dengan menghidupkan sekitar mendatar (lihat Rajah 155, F, dalam, dan): Trace P H adalah salah satu mendatar PL. R.

Dari kaedah penukaran lukisan yang diberikan untuk menyelesaikan masalah ini, kaedah putaran di sekitar mendatar atau frontal lebih baik.

158. Dana Pyramid SABC (Rajah 156). Tentukan jarak:

a) dari puncak ke pangkalan sebelum ia adalah AC oleh kaedah pergerakan selari;

b) dari puncak piramid ke sisi matahari dan asas AV dengan cara putaran di sekitar mendatar;

c) dari bahagian atas ke muka asas kaedah perubahan pesawat unjuran.

159. Dana Prism (Rajah 157). Tentukan jarak:

a) antara iklan tulang rusuk dan kaedah perubahan pesawat unjuran;

b) antara tulang rusuk menjadi dan cf dengan putaran di sekitar depan;

c) Antara Ribs AD dan kaedah B untuk pergerakan selari.

160. Tentukan kuantiti semulajadi Quadrilateral ABCD (Rajah 158) dengan menggabungkan dari pl. N. Gunakan hanya trek mendatar pesawat.

161 *. Tentukan jarak antara laluan lintang lintang AV dan CD (Rajah 159, A) dan membina unjuran yang sama kepada mereka berserenjang.

Keputusan. Jarak antara lurus bergerak diukur oleh segmen (MN) berserenjang kepada kedua-dua langsung (Rajah 159, B). Jelas sekali, jika salah satu garis lurus berserenjang dengan apa-apa pl. T, t.

potong Mn berserenjang ke kedua-dua langsung akan selari dengan pl. Unjuran pada pesawat ini akan memaparkan jarak yang dikehendaki. Unjuran sudut langsung Menad mn n ab to pl. T juga sudut langsung antara m t n t dan a t t t, kerana salah satu sisi sudut langsung AMN, iaitu Mn. selari dengan pl. T.

Dalam Rajah. 159, IN dan G, jarak yang dikehendaki dit ditentukan oleh kaedah perubahan pesawat unjuran. Pertama, masukkan pl. unjuran secara serenjang dengan pl. H dan selari langsung CD (Rajah 159, B). Kemudian kita memasukkan tambahan tambahan. T serenjang dengan pl. S dan berserenjang dengan CD langsung yang sama (Rajah 159, D). Sekarang anda boleh membina unjuran secara serenjang dengan menjalankan m t n t dari titik c t (d t) berserenjang dengan unjuran A T B T. Mata M T dan N T - titik unjuran persimpangan ini berserenjang dengan AV dan CD lurus. Pada titik m t (rajah 159, d) kita dapati m s pada s b s: unjuran m s n s mestilah selari dengan paksi T / S. Selanjutnya, pada M dan N kita mencari M dan N pada AB dan CD, dan pada mereka M "dan N" pada "B" dan C "D".

Dalam Rajah. 159, penyelesaian masalah ini ditunjukkan dalam kaedah anjakan selari. Pertama, kami meletakkan selari CD langsung kepada pl. V: unjuran c 1 d 1 || x. Seterusnya, kami menggerakkan CD Langsung dan AB dari kedudukan C 1 D 1 dan A 1 dalam 1 hingga kedudukan C 2 B 2 dan 2 dalam 2 supaya C 2 D 2 berserenjang ke N: Unjuran dengan "2 D" 2 ⊥ x. Segmen perpenendular yang dikehendaki terletak || pl. H, dan oleh itu, M 2 N 2 menyatakan jarak yang dikehendaki di antara AV dan CD. Kami mendapati kedudukan unjuran M "2, dan N" 2 pada "2 B" 2 dan C "2 D" 2, kemudian unjuran dan M 1 dan M "1, N 1 dan N" 1, akhirnya, unjuran m "dan n", m dan n.

162. Dana Pyramid SABC (Rajah 160). Tentukan jarak antara kelebihan SB dan pangkalan asas piramid dan membina unjuran umum serenjang kepada SB dan AC, menggunakan kaedah pelan unjuran.

163. Dana Pyramid SABC (Rajah 161). Tentukan jarak antara pinggir SH dan sisi asas piramid dan membina unjuran umum serenjang dengan SX dan Matahari, menggunakan kaedah pergerakan selari.

164 *. Tentukan jarak dari titik A ke satah dalam kes di mana pesawat ditetapkan: a) Segitiga BCD (Rajah 162, a); b) Jejak (Rajah 162, B).

Keputusan. Seperti yang diketahui, jarak dari titik ke pesawat diukur dengan nilai serenjang yang dijalankan dari titik ke pesawat. Jarak ini diunjurkan pada mana-mana pl. Unjuran setiap nilai lemak, jika satah ini berserenjang dengan pl. unjuran (Rajah 162, B). Adalah mungkin untuk mencapai kedudukan sedemikian dengan mengubah lukisan, contohnya, dengan kaedah perubahan dalam pl. unjuran. Kami memperkenalkan pl. S (Rajah 16C, D) berserenjang dengan pl. Segitiga BCD. Untuk melakukan ini, belanja dalam PL. Segitiga mendatar dalam 1 dan mempunyai paksi unjuran yang berserenjang dengan unjuran B-1 mendatar. Kami membina unjuran titik dan pesawat - A dan segmen C s d s. Jarak dari A ke C S D S adalah jarak yang diinginkan ke satah ke pesawat.

Di Rio. 162, D adalah kaedah pergerakan selari. Gerakkan seluruh sistem sehingga satah B-1 mendatar menjadi serenjang dengan pesawat V: unjuran B 1 1 1 harus berserenjang dengan paksi x. Dalam kedudukan ini, satah segitiga akan menjadi projek depan, dan jarak L dari titik A kepadanya akan berubah menjadi pl. V tanpa gangguan.

Dalam Rajah. 162, pesawat B ditetapkan oleh jejak. Kami memperkenalkan (Rajah 162, E) tambahan pl. S tegak lurus kepada pl. P: S / N Axis berserenjang ke P H. Lebih jelas dari lukisan. Dalam Rajah. 162, tugas itu diselesaikan menggunakan satu pergerakan: pl. P Hasil ke Posisi P 1, I.E. Menjadi unjuran frontal. Trek. P 1h berserenjang dengan paksi x. Bina pesawat depan dalam kedudukan ini. Trace mendatar adalah titik n "1, n 1. jejak P 1θ akan melalui P 1x dan N 1. Jarak dari" 1, hingga P 1θ adalah jarak yang dikehendaki L.

165. Dana Pyramid SABC (lihat Rajah 160). Tentukan jarak dari titik A ke tepi Piramid SBC, menggunakan kaedah pergerakan selari.

166. Dana Pyramid SABC (lihat Rajah 161). Tentukan ketinggian piramid dengan menggunakan kaedah pergerakan selari.

167 *. Tentukan jarak antara lintasan garis lurus AV dan CD (lihat. 159, a) kerana jarak antara pesawat selari, yang dilakukan melalui lurus ini.

Keputusan. Dalam Rajah. 163, dan tunjukkan pesawat selari P dan Q, yang mana pl. Q telah dijalankan melalui CD selari dengan AV, dan PL. P - melalui AB selari dengan PL. Q. Jarak antara pesawat tersebut dan dianggap jarak antara lintasan lurus AV dan CD. Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk menyekat diri kita untuk pembinaan hanya satu satah, contohnya Q, selari dengan AB, dan kemudian menentukan jarak sekurang-kurangnya dari titik A ke pesawat ini.

Dalam Rajah. 163, pesawat Q, yang dibelanjakan melalui CD selari dengan AV; Dalam unjuran yang dipegang dengan "E" || A "B" dan CE || Ab. Memohon kaedah perubahan dalam pl. unjuran (Rajah 163, C), memperkenalkan PL tambahan. S tegak lurus kepada pl. V dan pada masa yang sama

berserenjang dengan pl. Q. Untuk menjalankan paksi S / V, ambil depan D-1 di dalam pesawat ini. Sekarang kita menjalankan S / V berserenjang kepada D "1" (Rajah 163, C). Pl. Q akan digambarkan di dataran. S dalam bentuk garis lurus dengan s d s. Selebihnya jelas dari lukisan.

168. Dana Pyramid SABC (lihat Rajah, 160). Tentukan jarak antara tulang rusuk SC dan AB. Lantik: 1) Kaedah perubahan dalam pl. Unjuran, 2) kaedah pergerakan selari.

169 *. Tentukan jarak antara pesawat selari, yang mana ia ditetapkan secara langsung AB dan AU, dan yang lain adalah DE dan DF langsung (Rajah 164, a). Juga membina kes apabila pesawat ditetapkan oleh jejak (Rajah 164, B).

Keputusan. Jarak (Rajah 164, C) antara pesawat selari boleh ditentukan dengan menjalankan berserenjang dari mana-mana satu satah ke satah lain. Dalam Rajah. 164, G memperkenalkan pl. S tegak lurus kepada pl. N dan kedua-dua pesawat ini. S.h Axis berserenjang ke ufuk. Unjuran mendatar yang dijalankan di salah satu pesawat. Kami membina unjuran pesawat ini dan mata dalam satah lain di pl. 5. Jarak Jarak D S untuk mengarahkan L S A s sama dengan jarak yang dikehendaki antara pesawat selari.

Dalam Rajah. 164, Dano pembinaan lain (mengikut kaedah pergerakan selari). Agar kapal terbang, dinyatakan dengan bersilang lurus AV dan AC, ternyata berserenjang dengan pl. V, ufuk. Unjuran mendatar pesawat ini berserenjang dengan paksi x: 1 1 2 1 ⊥ x. Jarak antara bahagian depan. Unjuran D "1 mata D dan mengarahkan" 1 2 "1 (depan. Unjuran pesawat) adalah sama dengan jarak yang dikehendaki antara pesawat.

Dalam Rajah. 164, E menunjukkan pengenalan pls tambahan. S tegak lurus kepada pl.h dan ke pesawat ini P dan Q (Axis S / H berserenjang dengan bangun P H, dan Q H). Membina jejak P S, dan Q s. Jarak antara mereka (lihat Rajah 164, C) adalah sama dengan jarak yang dikehendaki di antara pesawat P dan Q.

Dalam Rajah. 164, ia menunjukkan pergerakan pesawat P 1 H Q 1, untuk meletakkan P 1 dan Q 1, ketika ufuk. Jejak berubah menjadi berserenjang dengan paksi X. Jarak antara depan baru. Angka P 1θ dan Q 1θ sama dengan jarak yang dikehendaki L.

170. Dan Parallelpiped ABCDEFGH (Rajah 165). Tentukan jarak: a) Antara asas paralelepiped - L 1; b) antara tepi ABFE dan DCGH - L 2; c) antara kelenjar ADHE dan BCGF-L 3.

Artikel ini bercakap mengenai topik ini « jarak dari titik ke arah langsung », penentuan jarak dari titik ke garis lurus dengan contoh yang digambarkan oleh kaedah koordinat dianggap. Setiap blok teori pada akhir telah menunjukkan contoh menyelesaikan tugas tersebut.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Jarak dari titik ke garisan adalah melalui definisi jarak dari titik ke titik. Pertimbangkan lebih banyak maklumat.

Biarkan ada lurus A dan titik m 1 yang tidak tergolong dalam langsung yang ditentukan. Melaluinya, kami akan menjalankan garis lurus B, yang terletak berserenjang dengan yang relatif langsung. Titik persimpangan langsung mengambil untuk H 1. Kami memperoleh bahawa M 1 H 1 adalah satu tegak lurus, yang diturunkan dari titik M 1 hingga garis lurus a.

Definisi 1.

Jarak dari titik m 1 untuk mengarahkan a Jarak antara mata M 1 dan H 1 dipanggil.

Terdapat rekod definisi dengan figurasi panjang serenjang.

Definisi 2.

Jarak dari titik ke arah langsung Dipanggil panjang serenjang yang dijalankan dari titik ini ke baris ini.

Takrif adalah bersamaan. Pertimbangkan angka di bawah.

Adalah diketahui bahawa jarak dari titik ke lurus adalah yang terkecil dari semua yang mungkin. Pertimbangkan ini atas contohnya.

Jika anda mengambil satu titik Q yang berbaring di lurus A, yang tidak sepadan dengan titik M 1, maka kita memperoleh bahawa segmen M 1 Q dipanggil yang cenderung, diturunkan dari m 1 hingga garis lurus a. Ia adalah perlu untuk menetapkan bahawa tegak lurus dari titik M 1 adalah kurang daripada yang lain yang cenderung, yang dijalankan dari titik ke garis lurus.

Untuk membuktikan ini, pertimbangkan segitiga M 1 Q 1 H 1, di mana M 1 Q 1 adalah hipotenom. Adalah diketahui bahawa panjangnya sentiasa lebih besar daripada mana-mana katet. Maksud saya, kita mempunyai M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Data awal untuk mencari dari titik untuk terus membolehkan anda menggunakan beberapa kaedah penyelesaian: melalui teorem Pythagora, definisi sinus, kosino, sudut tangen dan lain-lain. Kebanyakan tugas-tugas jenis ini diselesaikan di sekolah dalam pelajaran geometri.

Apabila, apabila anda mendapati jarak dari titik untuk mengarahkan anda memasukkan sistem koordinat segi empat tepat, kaedah koordinat digunakan. Dalam perenggan ini, pertimbangkan asas dua kaedah mencari jarak yang dikehendaki dari titik yang ditentukan.

Kaedah pertama melibatkan mencari jarak sebagai serenjang yang dilakukan dari m 1 hingga garis lurus a. Dalam kaedah kedua, persamaan biasa digunakan langsung dan untuk mencari jarak yang dikehendaki.

Sekiranya pesawat mempunyai titik dengan koordinat m 1 (x 1, y 1), yang terletak di dalam sistem koordinat segi empat tepat, lurus A, dan perlu untuk mencari jarak m 1 h 1, anda boleh mengira dalam dua cara. Pertimbangkan mereka.

Kaedah pertama

Sekiranya terdapat koordinat titik H 1, sama dengan x 2, y 2, maka jarak dari titik ke langsung dikira dengan koordinat dari formula m 1 h 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - Y 1) 2.

Kami kini beralih untuk mencari koordinat titik H 1.

Adalah diketahui bahawa garis lurus dalam X y sepadan dengan persamaan langsung di atas kapal terbang. Kami mengambil cara untuk menentukan langsung melalui penulisan persamaan umum langsung atau persamaan dengan pekali sudut. Kami membentuk persamaan langsung, yang melewati titik m 1 berserenjang dengan garis langsung yang ditentukan a. Secara langsung denoted Bucken b. H 1 adalah titik persimpangan langsung A dan B, ini bermakna untuk menentukan koordinat yang diperlukan untuk menggunakan artikel di mana ini adalah ucapan Pada koordinat titik persimpangan dua baris lurus.

Ia dapat dilihat bahawa algoritma untuk mencari jarak dari titik yang diberikan M 1 (x 1, y 1) untuk mengarahkan A dijalankan mengikut item:

Definisi 3.

• mencari persamaan langsung yang sama mempunyai pandangan 1 x + B 1 y + c 1 \u003d 0, atau persamaan dengan pekali sudut yang mempunyai bentuk y \u003d k 1 x + b 1;
• mendapatkan persamaan garis langsung umum yang mempunyai bentuk 2 x + b 2 y + c 2 \u003d 0 atau persamaan dengan pekali sudut Y \u003d k 2 x + b 2, jika langsung B melintasi titik m 1 dan berserenjang dengan ditentukan langsung A;
• penentuan koordinat x 2, y 2 mata H 1, yang merupakan titik persimpangan A dan B, penyelesaian sistem diselesaikan untuk ini persamaan linear. A 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0 a 2 x + b 2 y + c 2 \u003d 0 or y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• pengiraan jarak yang dikehendaki dari titik untuk mengarahkan, menggunakan formula m 1 h 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Cara kedua.

Teorem dapat membantu menjawab soalan tentang mencari jarak dari titik dot yang ditentukan langsung di atas kapal terbang.

Teorem

Sistem koordinat segi empat tepat mempunyai oh mempunyai titik m 1 (x 1, y 1), dari mana ia langsung dan ke pesawat yang diberikan oleh persamaan biasa pesawat, mempunyai jenis COS α α · x + cos β · y - p \u003d 0, sama dengan nilai modul yang diperolehi di bahagian kiri persamaan biasa, yang langsung, dikira pada x \u003d x 1, y \u003d y 1, bermakna m 1 h 1 \u003d cos α · · x 1 + cos β · Y 1 ialah p.

Bukti

Garis lurus dan sepadan dengan persamaan biasa pesawat yang mempunyai pandangan COS α α α · x + cos β · y - p \u003d 0, kemudian n → \u003d (cos α, cos β) dianggap sebagai vektor lurus biasa dengan jarak dari jauh dari Permulaan koordinat untuk mengarahkan A dengan unit P. Ia adalah perlu untuk menggambarkan semua data dalam angka, menambah satu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1), di mana radius-vektor titik m 1 - o m 1 → \u003d (x 1, y 1). Ia perlu dibelanjakan langsung dari titik untuk mengarahkan, yang dilambangkan oleh m 1 h 1. Ia adalah perlu untuk menunjukkan unjuran M 2 dan H 2 mata m 1 dan H 2 kepada yang langsung, melalui titik O dengan vektor panduan Borang N → \u003d (COS α, COS β), dan unjuran berangka Vektor yang ditetapkan sebagai OM 1 → \u003d (x 1, y 1) ke arah n → \u003d (cos α, cos β) sebagai npn → om 1 →.

Variasi bergantung kepada lokasi titik m 1. Pertimbangkan dalam angka di bawah.

Hasilnya tetap menggunakan formula m 1 h 1 \u003d n p n → o m → 1 - p. Selepas itu, kami memberi kesamarataan kepada jenis ini m 1 h 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 - P untuk mendapatkan n pn → o m → 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y · y · 1.

Produk skalar vektor akibatnya memberikan formula yang ditukar dalam bentuk n →, om → 1 \u003d n → · npn → om 1 → \u003d npn → om 1 →, yang merupakan produk dalam Bentuk koordinat jenis N →, OM 1 → \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1. Jadi kita memperoleh bahawa n p n → o m 1 → \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1. Ia mengikuti bahawa m 1 h 1 \u003d n p n → o m 1 → - p \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 ialah p. Teorem dibuktikan.

Kami mendapatkannya untuk mencari jarak dari titik m 1 (x 1, y 1) ke arah yang langsung di atas kapal terbang, beberapa tindakan mesti dilakukan:

Definisi 4.

• mendapatkan persamaan biasa Direct A COS α α · x + cos β · y - p \u003d 0, dengan syarat ia tidak dalam tugas;
• pengiraan ungkapan cos α α · x 1 + cos β · y 1 - p, di mana nilai yang diperolehi mengambil m 1 h 1.

Sapukan kaedah ini untuk menyelesaikan tugas dengan jarak dari titik ke pesawat.

Contoh 1.

Cari jarak dari titik dengan koordinat m 1 (- 1, 2) untuk mengarahkan 4 x - 3 y + 35 \u003d 0.

Keputusan

Sapukan cara pertama untuk diselesaikan.

Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mencari persamaan garis langsung umum, yang melewati titik yang diberikan m 1 (- 1, 2), serenjang dengan garis lurus 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. Dari keadaan jelas bahawa lurus B berserenjang untuk mengarahkan A, maka vektor panduannya telah menyelaraskan sama dengan (4, - 3). Oleh itu, kita mempunyai peluang untuk merakam persamaan kanonik langsung B di atas kapal terbang, kerana terdapat koordinat titik M 1, tergolong dalam langsung b. Kami menentukan koordinat vektor panduan langsung b. Kami memperoleh x - (- 1) 4 \u003d Y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 \u003d Y - 2 - 3. Persamaan kanonik yang diperolehi mesti ditukar kepada yang biasa. Kemudian kita dapatkannya

x + 1 4 \u003d Y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) \u003d 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

Kami akan mendapati koordinat titik persimpangan langsung, yang akan mengambil untuk penamaan H 1. Transformasi kelihatan seperti:

4 x - 3 y + 35 \u003d 0 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 · 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d 3 4 · 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

Dari yang ditulis di atas, kita mempunyai koordinat titik H 1 adalah sama (- 5; 5).

Ia adalah perlu untuk mengira jarak dari titik m 1 hingga garis lurus a. Kami mempunyai koordinat mata M 1 (- 1, 2) dan H 1 (- 5, 5), maka kami menggantikan formula untuk mencari jarak dan kami mendapatnya

M 1 h 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Cara kedua untuk diselesaikan.

Untuk menyelesaikan dengan cara yang berbeza, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan biasa langsung. Kirakan nilai pengganda normalisasi dan kalikan kedua-dua bahagian persamaan 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. Dari sini kita memperoleh bahawa pengganda normalisasi adalah - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5, dan persamaan biasa akan menjadi bentuk - 1 5 · 4 x - 3 y + 35 \u003d - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 \u003d 0.

Menurut algoritma pengiraan, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan biasa langsung dan mengira dengan nilai x \u003d - 1, y \u003d 2. Kemudian kita dapatkannya

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 \u003d - 5

Dari sini kita memperoleh bahawa jarak dari titik m 1 (- 1, 2) ke 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 adalah 5 \u003d 5.

Jawab: 5 .

Ia dapat dilihat bahawa dalam kaedah ini adalah penting untuk menggunakan persamaan biasa lurus, kerana kaedah ini adalah yang paling pendek. Tetapi kaedah pertama adalah mudah kerana ia konsisten dan logik, walaupun ia mempunyai lebih banyak item pengiraan.

Contoh 2.

Di atas kapal terbang terdapat sistem koordinat segi empat tepat kira-kira X y dengan titik M 1 (8, 0) dan garis lurus Y \u003d 1 2 x + 1. Cari jarak dari titik yang ditentukan ke garis lurus.

Keputusan

Keputusan dalam cara pertama membayangkan untuk membawa persamaan yang ditentukan dengan pekali sudut untuk persamaan pandangan umum. Ia boleh dilakukan sebaliknya untuk memudahkan.

Jika produk dari koefisien sudut, garis-garis tegakular Matter - 1, maka pekali sudut Satu tegak lurus diberikan y \u003d 1 2 x + 1 ialah 2. Sekarang kita memperoleh persamaan adalah garis lurus, melalui titik dengan koordinat m 1 (8, 0). Kami mempunyai Y - 0 \u003d - 2 · (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16.

Pergi untuk mencari koordinat titik H 1, iaitu, titik persimpangan Y \u003d - 2 x + 16 dan y \u003d 1 2 x + 1. Kami membuat sistem persamaan dan mendapatkan:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ ⇔ y \u003d 1 2 · 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Ia mengikuti bahawa jarak dari titik dengan koordinat m 1 (8, 0) ke lurus y \u003d 1 2 x + 1 adalah sama dengan jarak dari titik asal dan titik akhir dengan koordinat m 1 (8, 0) dan H 1 (6, 4). Kami mengira dan mendapatkan m 1 h 1 \u003d 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5.

Keputusan dalam cara kedua adalah untuk beralih dari persamaan dengan pekali kepada normal. Iaitu, kita mendapat y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, maka nilai pengganda normalisasi akan 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5. Ia mengikuti bahawa persamaan biasa langsung mengambil bentuk - 2 5 · 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. Kami akan mengira dari titik M 1 8, 0 ke jenis lurus - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. Kita mendapatkan:

M 1 h 1 \u003d - 1 5 · 8 + 2 5 · 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Jawab: 2 5 .

Contoh 3.

Ia adalah perlu untuk mengira jarak dari titik dengan koordinat m 1 (- 2, 4) hingga langsung 2 x - 3 \u003d 0 dan y + 1 \u003d 0.

Keputusan

Kami memperoleh persamaan jenis biasa langsung 2 x - 3 \u003d 0:

2 x - 3 \u003d 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 \u003d 1 2 · 0 ⇔ x - 3 2 \u003d 0

Selepas itu, kita pergi ke pengiraan jarak dari titik M 1 - 2, 4 ke garis lurus X - 3 2 \u003d 0. Kita mendapatkan:

M 1 h 1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2

Persamaan langsung Y + 1 \u003d 0 mempunyai pengganda normalisasi dengan nilai yang sama dengan -1. Ini bermakna persamaan akan mengambil bentuk - y - 1 \u003d 0. Pergi ke jarak untuk mengira jarak dari titik m 1 (- 2, 4) ke lurus - y - 1 \u003d 0. Kami memperoleh bahawa ia adalah sama - 4 - 1 \u003d 5.

Jawab: 3 1 2 dan 5.

Pertimbangkan untuk mencari jarak dari titik satah yang dinyatakan menyelaras paksi Oh dan oh.

Dalam sistem koordinat segi empat tepat di paksi tentang Y, terdapat persamaan langsung yang tidak lengkap mempunyai spesies x \u003d 0, dan o x - y \u003d 0. Persamaan adalah normal untuk koordinat paksi, maka ia adalah perlu untuk mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 x 1, y 1 untuk mengarahkan. Ini dilakukan berdasarkan formula m 1 h 1 \u003d x 1 dan m 1 h 1 \u003d y 1. Pertimbangkan dalam angka di bawah.

Contoh 4.

Cari jarak dari titik m 1 (6, - 7) ke koordinat Direct, yang terletak di dalam pesawat mengenai x y.

Keputusan

Sejak persamaan y \u003d 0 merujuk kepada langsung tentang x, anda boleh mencari jarak dari m 1 dengan koordinat yang ditentukanUntuk ini lurus, menggunakan formula. Kami memperoleh 6 \u003d 6.

Oleh kerana persamaan x \u003d 0 merujuk kepada langsung tentang Y, maka anda boleh mencari jarak dari m 1 untuk ini langsung mengikut formula. Kemudian kita dapatkan itu - 7 \u003d 7.

Jawab:jarak dari M 1 ke O X ialah 6, dan dari M 1 hingga Oh mempunyai nilai 7.

Apabila dalam ruang tiga dimensi kita mempunyai titik dengan koordinat M 1 (x 1, Y 1, Z 1), adalah perlu untuk mencari jarak dari titik A untuk mengarahkan a.

Pertimbangkan dua kaedah yang membolehkan anda mengira jarak dari titik untuk mengarahkan yang terletak di angkasa. Kes pertama menganggap jarak dari titik M 1 hingga garis, di mana titik di atas langsung dipanggil H 1 dan merupakan asas serenjang yang dijalankan dari titik M 1 untuk mengarahkan a. Kes kedua menunjukkan bahawa titik-titik pesawat ini mesti dicari sebagai ketinggian paralelogram.

Kaedah pertama

Dari definisi, kita mempunyai jarak dari titik M 1, yang terletak di hadapan A, adalah panjang serenjang M 1 H 1, maka kita memperolehnya dengan koordinat yang dijumpai dari titik H 1, maka kita akan dapati jarak antara M 1 (x 1, y 1, z 1) dan h 1 (x 1, y 1, z 1), berdasarkan formula m 1 h 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - Y 1 2 + z 2 - Z 1 2.

Kami memperoleh bahawa keseluruhan keputusannya adalah untuk mencari koordinat asas tegak yang dijalankan dari m 1 untuk mengarahkan a. Ini adalah seperti berikut: H 1 adalah titik di mana lurus A dengan satah bersilang, yang melewati titik tertentu.

Oleh itu, algoritma untuk menentukan jarak dari titik m 1 (x 1, y 1, z 1) ke ruang langsung yang membayangkan beberapa mata:

Definisi 5.

• melukis persamaan pesawat χ sebagai persamaan pesawat yang melewati titik tertentu berserenjang dengan garis lurus;
• penentuan koordinat (X 2, Y 2, Z 2) yang dimiliki oleh titik H 1, yang merupakan titik persimpangan yang langsung dan pesawat χ;
• pengiraan jarak dari titik untuk mengarahkan dengan formula m 1 h 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - Y 1 2 + z 2 - Z 1 2.

Cara kedua.

Dari keadaan kita mempunyai lurus A, maka kita boleh menentukan vektor panduan a → \u003d a x, a y, a z dengan koordinat x 3, y 3, z 3 dan titik tertentu m 3 kepunyaan garis lurus a. Di hadapan koordinat mata M 1 (x 1, y 1) dan m 3 x 3, y 3, z 3, adalah mungkin untuk mengira m 3 m 1 →:

M 3 m 1 → \u003d (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Anda harus menangguhkan vektor A → \u003d AX, AY, AZ dan M 3 M 1 → \u003d X 1 - X 3, Y 1 - Y 3, Z 1 - Z 3 Dari titik M 3, sambungkan dan dapatkan bentuk Parallelogram. M 1 h 1 adalah ketinggian paralelogram.

Pertimbangkan dalam angka di bawah.

Kami mempunyai bahawa ketinggian m 1 h 1 adalah jarak yang dikehendaki, maka ia adalah perlu untuk mencarinya dengan formula. Iaitu, kita sedang mencari m 1 h 1.

Menunjukkan kawasan paralelogram setiap huruf, terletak mengikut formula, menggunakan vektor A → \u003d (A x, a y, a z) dan m 3 m 1 → \u003d x 1 - x 3. Y 1 - Y 3, Z 1 - Z 3. Kawasan kawasan ini mempunyai bentuk S \u003d A → × m 3 m 1 →. Juga, angka angka itu sama dengan produk panjang sisi ke ketinggian, kita memperoleh S \u003d A → · m 1 h 1 ca → \u003d kapak 2 + AY 2 + AZ 2, yang panjangnya panjang daripada vektor A → \u003d (AX, AY, AZ), yang sama dengan paralelogram. Jadi, m 1 h 1 adalah jarak dari titik untuk mengarahkan. Penemuannya dibuat mengikut formula m 1 h 1 \u003d A → × m 3 m 1 → a →.

Untuk mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (X 1, Y 1, Z 1) untuk mengarahkan A di ruang, anda mesti melakukan beberapa titik algoritma:

Definisi 6.

• penentuan vektor panduan langsung A - A → \u003d (A x, a y, a z);
• pengiraan panjang vektor panduan A → \u003d A x 2 + a 2 + a z 2;
• penyediaan koordinat X 3, Y 3, Z 3, yang dimiliki oleh titik m 3, yang mengarahkan A;
• pengiraan koordinat vektor M 3 m 1 →;
• mencari produk vektor vektor a → (kapak, ay, az) dan m 3 m 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 sebagai → × m 3 m 1 → \u003d i → j → K → Axayazx 1 - x 3 y 1 - Y 3 Z 1 - Z 3 Untuk mendapatkan panjang dengan formula A → × m 3 m 1 →;
• mengira jarak dari titik ke langsung m 1 h 1 \u003d A → × m 3 m 1 → a →.

Menyelesaikan tugas untuk mencari jarak dari titik yang dinyatakan kepada ruang yang diberikan di angkasa

Cari jarak dari titik dengan koordinat M 1 2, - 4, - 1 ke garis lurus X + 1 2 \u003d Y - 1 \u003d Z + 5 5.

Keputusan

Kaedah pertama bermula dengan rekod persamaan pesawat χ melewati m 1 dan berserenjang dengan titik tertentu. Kami mendapat ungkapan bentuk:

2 · (X - 2) - 1 · (Y - (- 4)) + 5 · (Z - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 X - Y + 5 Z - 3 \u003d 0

Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik H 1, yang merupakan titik persimpangan dengan pesawat χ kepada keadaan yang ditakrifkan langsung. Ia perlu dipindahkan dari spesies kanonik untuk bersilang. Kami bercakap dengan sistem persamaan bentuk:

x + 1 2 \u003d Y - 1 \u003d Z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) \u003d 2 · Y 5 · (x + 1) \u003d 2 · (z + 5) 5 · Y \u003d - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

Ia adalah perlu untuk mengira x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 X - Y + 5 Z \u003d 3 Mengikut contoh crawler, maka kita dapatkan itu:

Δ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 δ X \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ X \u003d δ X δ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 δ Y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ Y \u003d δ y δ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 δ Z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ Z \u003d δ Z δ \u003d 0 - 60 \u003d 0.

Dari sini kita mempunyai H 1 (1, - 1, 0).

M 1 h 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Kaedah kedua mesti bermula dengan mencari koordinat dalam persamaan kanonik. Untuk ini, anda perlu memberi perhatian kepada denominants pecahan. Kemudian a → \u003d 2, - 1, 5 adalah langsung X + 1 2 \u003d Y Panduan Vektor - 1 \u003d Z + 5 5. Ia adalah perlu untuk mengira panjang dengan formula A → \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30.

Sudah jelas bahawa X + 1 2 \u003d Y - 1 \u003d Z + 5 5 melintasi titik M 3 (- 1, 0, - 5), oleh itu kita mempunyai vektor dengan permulaan koordinat M 3 (- 1, 0, - 5) dan hujungnya pada titik M 1 2, - 4, - 1 adalah m 3 m 1 → \u003d 3, - 4, 4. Kami mendapati produk vektor A → \u003d (2, - 1, 5) dan m 3 m 1 → \u003d (3, - 4, 4).

Kami memperoleh ungkapan bentuk A → × m 3 m 1 → \u003d I → j → K → 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 · I → + 15 · J → - 8 · K → + 20 · I → - 8 · j → \u003d 16 · I → + 7 · J → - 5 · K →

kami memperoleh bahawa panjang produk vektor adalah sama dengan → × m 3 m 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330.

Semua data tersedia untuk menggunakan formula untuk mengira jarak dari titik untuk yang mudah, jadi terpakai dan dapatkannya:

M 1 h 1 \u003d A → × m 3 m 1 → a → \u003d 330 30 \u003d 11

Jawab: 11 .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila pilih dan tekan Ctrl + ENTER

St. Petersburg State Maritime University

Jabatan Grafik Komputer dan Sokongan Maklumat

Pelajaran 3.

Nombor tugas praktikal 3.

Menentukan jarak dari titik ke garis lurus.

Adalah mungkin untuk menentukan jarak antara titik dan garis langsung dengan melakukan pembinaan berikut (lihat Rajah 1):

· Dari titik Dari menghilangkan serenjang dengan lurus tetapi;

· Mark Point. Ke persimpangan tegak lurus dengan lurus;

· Ukur jumlah segmen itu Ks., permulaan yang merupakan titik tertentu, dan akhir titik persimpangan yang ditandakan.

Rajah 1. Jarak dari titik ke lurus.

Penyelesaian masalah jenis ini didasarkan pada peraturan unjuran Angle Direct: sudut lurus diunjurkan tanpa distorsi, jika sekurang-kurangnya salah satu pihaknya selari dengan pesawat unjuran (I.E. Mendudukkan kedudukan peribadi). Mari kita mulakan dengan kes sedemikian dan pertimbangkan pembinaan untuk menentukan jarak dari titik Dariuntuk memotong lurus Au..

Dalam tugas ini tidak ada contoh ujian, dan pilihan untuk melaksanakan tugas individu diberikan jadual1 dan Jadual2.. Masalahnya diterangkan di bawah, dan pembinaan yang sama ditunjukkan dalam Rajah.2.

1. Penentuan jarak dari titik ke kedudukan peribadi langsung.

Pertama adalah unjuran titik dan segmen. Unjuran A1B1. selari dengan paksi. H.. Ini bermakna segmen ini Au. Plane selari P2.. Jika dari titik itu Dari Menjalankan Perpendicular K. Au.Kemudian sudut lurus diunjurkan tanpa distorsi betul-betul di atas kapal terbang P2.. Ini membolehkan anda memegang tegak lurus dari titik C2.pada unjurannya A2B2..

Menu jatuh Potong Lukisan (Menarik.- Baris) . Tetapkan kursor ke titik C2. Dan membetulkannya sebagai titik pertama segmen. Beralih kursor ke arah normal ke segmen A2B2. dan menetapkan titik kedua pada masa itu pada masa yang cepat Normal (Berserenjang) . Nyatakan titik yang dibina K2.. Dayakan Mode. Orto (Ortho.) dan dari titik itu K2.menjalankan komunikasi menegak ke persimpangan dengan unjuran A1 B1. . Titik persimpangan K1.. Titik Keberbohong pada potongan itu Au.adalah titik persimpangan tegak yang dijalankan dari titik Dari, dengan potong Au.. Oleh itu, segmen itu Ks. Ia adalah jarak yang dikehendaki dari titik ke lurus.

Dari pembinaan, dapat dilihat bahawa segmen itu Ks. Ia menduduki situasi umum dan, oleh itu, unjurannya diputarbelitkan. Bercakap tentang jarak, selalu bermakna saiz yang benar dipotongmenyatakan jarak. Oleh itu, adalah perlu untuk mencari saiz sebenar segmen KS.mengubahnya ke kedudukan peribadi, sebagai contoh, Ks.|| P1.. Hasil pembinaan ditunjukkan dalam Rajah.2.

Dari pembinaan yang ditunjukkan dalam Rajah.2, kita boleh membuat kesimpulan: status persendirian (dipotong pesara P1. atau P2.) Membolehkan anda dengan cepat membina unjuran jarak dari titik untuk mengarahkan, tetapi mereka terdistorsi.

Rajah.2. Penentuan jarak dari titik ke kedudukan peribadi langsung.

2. Menentukan jarak dari titik ke kedudukan umum langsung.

Tidak semestinya dalam keadaan awal, segmen itu menduduki kedudukan peribadi. Dengan kedudukan awal umum, pembinaan berikut dilakukan untuk menentukan jarak dari titik untuk mengarahkan:

a) Menggunakan kaedah penukaran lukisan, menterjemahkan segmen dari kedudukan keseluruhan ke swasta - ini akan membolehkan untuk membina unjuran jarak (terdistorsi);

b) Menengah Menggunakan kaedah, menerjemahkan segmen yang sepadan dengan jarak yang dikehendaki ke kedudukan persendirian - kami memperoleh unjuran jarak dalam nilai yang sah.

Pertimbangkan urutan pembinaan untuk menentukan jarak dari titik Tetapisebelum segmen keadaan umum matahari(Gamb.3).

Dengan putaran pertama Ia adalah perlu untuk mendapatkan kedudukan peribadi segmen itu Di dalamC.. Untuk melakukan ini dalam lapisan TMR. Ia adalah perlu untuk menyambungkan mata Pada 2., C2. dan A2.. Menggunakan arahan itu Perubahan-putar (Ubah suai. – Berputar.) segi tiga B2C2A2. Hidupkan titik C2. sebelum keadaan apabila unjuran baru B2 * C2. akan ditempatkan dengan tegas (titik Dari masih dan, oleh itu, unjuran barunya bertepatan dengan permulaan dan penetapan C2 * dan C1 * Anda tidak boleh tunjukkan dalam lukisan). Akibatnya, unjuran baru segmen akan diperolehi. B2 * C2. dan mata: A2 *. Seterusnya A2 * dan Pada 2 * menegak, dan keluar dari mata Dalam 1. dan A1. Garis komunikasi mendatar. Persimpangan garis yang sepadan akan menentukan kedudukan mata unjuran mendatar baru: segmen B1 * C1.dan mata. A1 *.

Di lokasi peribadi, anda boleh membina unjuran jarak untuk ini: dari titik A1 *ia dibina normal K. B1 * C1.Titik persimpangan bersama mereka - K1 *.Dari sudut ini, garis komunikasi menegak dijalankan ke persimpangan dengan unjuran B2 * C2.Terdapat satu titik K2 *. Akibatnya, unjuran segmen diperolehi AK.Itulah jarak yang dikehendaki dari titik Tetapiuntuk memotong lurus matahari.

Seterusnya, adalah perlu untuk membina unjuran jarak dalam keadaan utama. Untuk melakukan ini dari titik K1 * Dengan mudah menjalankan garis mendatar sebelum menyeberangi unjuran B1C1. dan rujuk ke titik persimpangan K1. Kemudian titik itu dibina K2. Pada unjuran frontal segmen dan unjuran diadakan A1K1. dan A2K2.Akibat pembinaan, unjuran jarak diperoleh, tetapi juga pada awal dan dalam kedudukan peribadi segmen baru Matahari,bahagian AK.ia memerlukan keadaan umum, dan ini membawa kepada fakta bahawa semua unjurannya diputarbelitkan.

Dengan putaran kedua Ia adalah perlu untuk menghidupkan potongan itu AK. Dalam kedudukan peribadi, yang akan menentukan saiz sebenar jarak - unjuran A2 * K2 **. Hasil daripada semua pembinaan ditunjukkan dalam Rajah.3.

Nombor tugas 3-1. Dari ke garis lurus kedudukan peribadi yang ditentukan oleh segmen Au.. Jawab untuk memberi dalam mm (Jadual 1).Keluarkan dasar projek

Jadual 1.

Nombor tugas 3-2.Cari saiz sebenar jarak dari titik M. ke garis lurus kedudukan keseluruhan yang diberikan oleh segmen itu Ed. Jawab untuk memberi dalam mm (Jadual 2).

Jadual 2.

Semak dan mengimbangi nombor tugas yang lengkap 3.

Untuk mengira jarak dari titik ini m untuk mengarahkan L, anda boleh menggunakannya kaedah yang berbeza. Sebagai contoh, jika pada garis lurus L mengambil titik sewenang-wenang m 0, maka anda boleh menentukan unjuran ortogonal dari vektor M 0 m ke arah garis vektor biasa. Unjuran ini adalah tepat kepada tanda dan terdapat jarak yang dikehendaki.

Cara lain untuk mengira jarak dari titik ke langsung adalah berdasarkan penggunaan persamaan biasa Direct.. Biarkan lurus akan diberikan oleh persamaan biasa (4.23). Jika titik m (x; y) tidak terletak pada garis lurus L, maka unjuran ortogonal dari PR n om radius vektor. Mata m ke arah unit vektor Normal N Direct L adalah sama dengan produk skalar vektor OM dan N, iaitu. X cosφ + dalam sinφ. Unjuran yang sama adalah sama dengan jumlah jarak P dari asal koordinat ke lurus dan nilai δ (Rajah 4.10). Magnitud δ dalam nilai mutlak sama dengan jarak dari titik m ke garis lurus. Dalam kes ini, δ\u003e 0, jika mata M dan O berada di sisi yang berlainan dari garisan, dan δ oleh pesongan titik m dari garisan.

Penyimpangan δ untuk titik m (x; y) dari garis lurus L dikira sebagai perbezaan dalam unjuran PR n om dan jarak P dari asal-usul koordinat ke garis lurus (lihat Rajah 4.10), iaitu δ \u003d x cosφ + dalam sinφ - ms.

Menurut formula ini, adalah mungkin untuk mendapatkan jarak P (M, L) dari titik M (X; Y) ke garis lurus L, yang diberikan oleh persamaan biasa: P (M, L) \u003d | δ | \u003d | x cosφ + dalam sinφ - h ...

2 dua cohoplago dalam jumlah memberi 180 °

Memandangkan prosedur transformasi di atas persamaan umum Direct. Untuk persamaan biasa, kami mendapat formula untuk jarak dari titik m (x; y) ke garis lurus L, yang diberikan oleh persamaan keseluruhannya:

Contoh 4.8. Kami akan menemui persamaan umum Ketinggian Ah, Median Am dan Bisector AD Triangle ABC meninggalkan puncak A. Koordinat yang diketahui dari segi segi tiga A (-1; - 3), B (7; 3), C (1 ; 7).

Pertama sekali, kita menjelaskan keadaan contoh: di bawah persamaan yang dinyatakan, persamaan langsung L ah, l am dan l iklan tersirat, di mana ketinggian en, median am dan bisector segitiga yang dinyatakan adalah disusun (Rajah 4.11).

Untuk mencari persamaan garis, kita menggunakan fakta bahawa median membahagikan seberang segitiga pada separuh. Setelah mendapati koordinat (x 1; y 1) tengah sisi BC x 1 \u003d (7 + 1) / 2 \u003d 4, dalam 1 \u003d (3 + 7) / 2 \u003d 5, tulis persamaan untuk saya sebagai persamaan langsung melewati dua mata (x + 1) / (4 + 1) \u003d (y + 3) / (5 + 3). Selepas transformasi, kami memperoleh persamaan median umum 8x - 5th - 7 \u003d 0./p\u003e

Untuk mencari persamaan ketinggian L ah, kami menggunakan fakta bahawa ketinggiannya berserenjang dengan sisi pro-fungsi segitiga. Akibatnya, vektor BC berserenjang dengan ketinggian ah dan boleh dipilih sebagai vektor biasa langsung l ah. Persamaan lurus ini diperolehi dari (4.15), menggantikan koordinat titik A dan garis vektor biasa l ah:

(-6) (x + 1) + 4 (Y + 3) \u003d 0.

Selepas transformasi, kami memperoleh persamaan ketinggian umum 3x - 2AU - 3 \u003d 0.

Untuk mencari persamaan Bisector L AD, kami menggunakan hakikat bahawa iklan Bissectrix tergolong dalam set mata tersebut n (x; y), yang sama dengan LANG LB dan L AC. Persamaan set ini adalah

P (N, L AB) \u003d P (N, L AC), (4.28)

dan ia mentakrifkan dua lurus, melewati titik A dan sudut membahagikan antara garis lurus L AB dan L AC pada separuh. Menggunakan persamaan garis lurus yang melewati dua mata, kami akan mendapati persamaan umum LANG L AB dan L AC:

L AB: (x + 1) / (7 + 1) \u003d (Y + 3) / (3 + 3), l AC: (x + 1) / (1 + 1) \u003d (Y + 3) / (7 + 3)

Selepas transformasi, kita memperoleh L AB: 3x - 4U - 9 \u003d 0, l AC: 5x - dalam + 2 \u003d 0. Persamaan (4.28) menggunakan formula (4.27) untuk mengira jarak dari titik ke arah terus menulis sebagai

Kami mengubahnya, membuka modul:

Akibatnya, kami memperoleh persamaan umum dua langsung

(3 ± 25 / √26) x + (-4 ± 5 \u200b\u200b/ √26) Y + (-9 ± 10 / √26) \u003d 0

Untuk memilih dari mereka persamaan Biscomers, mengambil kira bahawa segi tiga B dan C Triangles terletak di sepanjang arah yang berbeza dari yang dikehendaki dan oleh itu penggantian penyelarasan mereka di bahagian kiri. Persamaan umum langsung L AD harus memberi nilai dengan tanda yang berbeza.. Pilih persamaan yang sepadan dengan tanda atas, iaitu.

(3 - 25 / √26) X + (-4 + 5 / √26) Y + (-9 - 10 / √26) \u003d 0

Penggantian koordinat titik B ke kiri persamaan ini memberikan nilai negatif kerana

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

dan tanda yang sama diperolehi untuk koordinat titik C, sejak

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Akibatnya, simpang B dan C terletak di satu sisi lurus dengan persamaan yang dipilih, dan oleh itu persamaan bisector adalah

(3 + 25 / √26) X + (-4 - 5 / √26) Y + (-9 + 10 / √26) \u003d 0.

Jarak dari titik ke garisan adalah panjang serenjang, diturunkan dari titik ke arah langsung. Dalam geometri deskriptif, ia ditentukan dengan grafis mengikut algoritma di bawah.

Algoritma

1. Lurus diterjemahkan ke dalam kedudukan di mana ia selari dengan mana-mana satah unjuran. Ini menggunakan kaedah untuk mengubah unjuran ortogonal.
2. Dari titik dilakukan berserenjang ke garisan. Asas pembinaan ini terletak projek untuk memproyeksikan sudut langsung.
3. Panjang serenjang ditentukan dengan menukarkan unjurannya atau menggunakan kaedah segitiga segi empat tepat.

Angka berikut membentangkan lukisan komprehensif titik M dan langsung B, yang diberikan oleh segmen CD. Ia dikehendaki untuk mencari jarak antara mereka.

Menurut algoritma kami, perkara pertama yang perlu dilakukan adalah untuk menterjemahkan terus ke kedudukan selari dengan pesawat unjuran. Adalah penting untuk memahami bahawa selepas transformasi dilakukan, jarak sebenar antara titik dan langsung tidak boleh berubah. Itulah sebabnya ia mudah untuk menggunakan kaedah penggantian pesawat yang tidak melibatkan angka bergerak di ruang angkasa.

Keputusan peringkat pertama pembinaan ditunjukkan di bawah. Angka ini menunjukkan bagaimana pesawat frontal tambahan P 4 diperkenalkan di Parallel B. Di dalam sistem baru. (P 1, P 4) Mata C "" 1, D "" 1, M "" 1 berada pada jarak yang sama dari paksi X 1 sebagai C "", D ", M" "dari paksi X.

Setelah melakukan bahagian kedua algoritma, dari M "" 1 Omit sertikular M "" 1 N "" 1 untuk mengarahkan B "" 1, kerana sudut langsung MND antara B dan Mn diunjurkan ke atas kapal P 4 setiap nilai lemak. Apabila komunikasi, kami menentukan kedudukan titik N "dan menjalankan unjuran M" N "segmen MN.

Di peringkat akhir, adalah perlu untuk menentukan jumlah segmen MN untuk unjurannya M "N" dan M "" 1 N "" 1. Untuk membina ini segitiga yang betul M "" 1 n "" 1 n 0, di mana n "" 1 n 0 adalah sama dengan perbezaan (Y M 1 - Y N 1) penyingkiran mata M "dan N" dari paksi X. Panjang hipotenus M "" 1 N 0 dari segitiga M "" 1 N "" 1 N 0 sepadan dengan jarak yang dikehendaki dari m ke b.

Cara kedua untuk menyelesaikannya

• Dalam selari, CD memperkenalkan pesawat frontal baru P 4. Ia melintasi P 1 di sepanjang paksi X 1, dengan x 1 ∥C "D". Selaras dengan kaedah penggantian pesawat, kita menentukan unjuran mata C "" 1, D "1 dan M" "1, seperti yang ditunjukkan dalam angka itu.
• Berserenjang dengan c "" 1 D "" 1 membina tambahan satah mendatar P 5, di mana B lurus diunjurkan ke titik C "2 \u003d B" 2.
• Jarak antara titik m dan langsung b ditentukan oleh panjang panjang m "2 C" 2, yang ditetapkan dalam warna merah.

Tugas yang sama: