takrifan:

melampau dipanggil maksimum nilai minimum berfungsi pada set tertentu.

titik melampau ialah titik di mana nilai maksimum atau minimum fungsi dicapai.

Titik maksimum adalah titik di mana nilai maksimum fungsi.

Titik rendah ialah titik di mana nilai minimum fungsi dicapai.

Penjelasan.

Dalam rajah, di sekitar titik x = 3, fungsi mencapai nilai maksimumnya (iaitu, di sekitar titik tertentu ini, tidak ada titik yang lebih tinggi). Dalam kejiranan x = 8, ia sekali lagi mempunyai nilai maksimum (sekali lagi, kami jelaskan: dalam kejiranan ini tidak ada titik di atas). Pada titik ini, peningkatan digantikan dengan penurunan. Mereka adalah mata maksimum:

xmaks = 3, xmaks = 8.

Di sekitar titik x = 5, nilai minimum fungsi dicapai (iaitu, di sekitar x = 5, tiada titik di bawah). Pada ketika ini, penurunan digantikan dengan peningkatan. Ia adalah titik minimum:

Mata maksimum dan minimum ialah titik ekstrem fungsi, dan nilai fungsi pada titik ini adalah melampau.

Titik kritikal dan pegun fungsi:

Syarat yang diperlukan untuk ekstrem:

Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem:

Pada segmen, fungsi y = f(x) boleh mencapai nilai minimum atau maksimumnya sama ada pada titik kritikal atau di hujung segmen.

Algoritma untuk mengkaji fungsi berterusany = f(x) untuk monotonicity dan extrema:

Pertimbangkan rajah berikut.

Ia menunjukkan graf fungsi y = x^3 - 3*x^2. Pertimbangkan beberapa selang yang mengandungi titik x = 0, contohnya, dari -1 hingga 1. Selang sedemikian juga dipanggil kejiranan titik x = 0. Seperti yang boleh dilihat pada graf, dalam kejiranan ini fungsi y = x ^3 - 3*x^2 mengambil nilai terbesar tepat pada titik x = 0.

Maksimum dan minimum fungsi

Dalam kes ini, titik x = 0 dipanggil titik maksimum fungsi. Dengan analogi dengan ini, titik x = 2 dipanggil titik minimum bagi fungsi y = x^3 - 3*x^2. Kerana terdapat kejiranan pada titik ini di mana nilai pada ketika ini akan menjadi minimum di antara semua nilai lain dari kejiranan ini.

titik maksimum fungsi f(x) dipanggil titik x0, dengan syarat terdapat kejiranan bagi titik x0 supaya untuk semua x tidak sama dengan x0 dari kejiranan ini, ketaksamaan f(x)< f(x0).

titik minimum fungsi f(x) dipanggil titik x0, dengan syarat terdapat kejiranan bagi titik x0 supaya untuk semua x tidak sama dengan x0 dari kejiranan ini, ketaksamaan f(x) > f(x0) dipenuhi.

Pada titik maksimum dan minimum fungsi, nilai terbitan fungsi adalah sama dengan sifar. Tetapi ini bukanlah syarat yang mencukupi untuk kewujudan fungsi pada titik maksimum atau minimum.

Sebagai contoh, fungsi y = x^3 pada titik x = 0 mempunyai terbitan sama dengan sifar. Tetapi titik x = 0 bukanlah titik minimum atau maksimum fungsi. Seperti yang anda ketahui, fungsi y = x^3 bertambah pada keseluruhan paksi nyata.

Oleh itu, titik minimum dan maksimum akan sentiasa berada di antara punca persamaan f’(x) = 0. Tetapi tidak semua punca persamaan ini akan menjadi titik maksimum atau minimum.

Titik pegun dan kritikal

Titik di mana nilai terbitan fungsi bersamaan dengan sifar dipanggil titik pegun. Terdapat juga titik maksimum atau minimum pada titik di mana terbitan fungsi tidak wujud sama sekali. Contohnya, y = |x| pada titik x = 0 mempunyai minimum, tetapi terbitan tidak wujud pada ketika ini. Titik ini akan menjadi titik kritikal fungsi.

Titik kritikal fungsi ialah titik di mana terbitan adalah sama dengan sifar, atau derivatif tidak wujud pada ketika ini, iaitu, fungsi pada titik ini tidak boleh dibezakan. Untuk mencari maksimum atau minimum fungsi, syarat yang mencukupi mesti dipenuhi.

Biarkan f(x) ialah beberapa fungsi yang boleh dibezakan pada selang (a;b). Titik x0 tergolong dalam selang ini dan f'(x0) = 0. Kemudian:

1. jika, apabila melalui titik pegun x0, fungsi f (x) dan terbitannya bertukar tanda, daripada "tambah" kepada "tolak", maka titik x0 ialah titik maksimum fungsi itu.

2. jika, apabila melalui titik pegun x0, fungsi f (x) dan terbitannya bertukar tanda, daripada "tolak" kepada "tambah", maka titik x0 ialah titik minimum fungsi itu.

Mata kritikal ialah titik di mana terbitan fungsi itu sama dengan sifar atau tidak wujud. Jika derivatif ialah 0 maka fungsi pada titik itu mengambil minimum atau maksimum tempatan. Pada graf pada titik tersebut, fungsi tersebut mempunyai asimtot mendatar, iaitu tangen adalah selari dengan paksi Lembu.

Titik sedemikian dipanggil pegun. Jika anda melihat "bonggol" atau "lubang" pada carta fungsi berterusan, ingat bahawa maksimum atau minimum dicapai pada titik kritikal. Pertimbangkan tugas berikut sebagai contoh.

Contoh 1 Cari titik genting bagi fungsi y=2x^3-3x^2+5 .
Penyelesaian. Algoritma untuk mencari titik kritikal adalah seperti berikut:

Jadi fungsi mempunyai dua titik kritikal.

Selanjutnya, jika anda perlu mengkaji fungsi tersebut, maka kami menentukan tanda terbitan di sebelah kiri dan kanan titik kritikal. Jika derivatif menukar tanda daripada "-" kepada "+" apabila melalui titik kritikal, maka fungsi itu mengambil minimum tempatan. Jika daripada "+" kepada "-" sepatutnya maksimum tempatan.

Jenis kedua titik kritikal ini ialah sifar bagi penyebut bagi fungsi pecahan dan tak rasional

Berfungsi dengan logaritma dan trigonometri yang tidak ditakrifkan pada titik ini


Jenis titik kritikal ketiga mempunyai fungsi dan modul berterusan piecewise.
Sebagai contoh, mana-mana modul-fungsi mempunyai minimum atau maksimum pada titik putus.

Contohnya modul y = | x -5 | pada titik x = 5 mempunyai minimum (titik kritikal).
Derivatif tidak wujud di dalamnya, tetapi di sebelah kanan dan di sebelah kiri ia mengambil nilai 1 dan -1, masing-masing.

Cuba kenal pasti titik kritikal fungsi

1)
2)
3)
4)
5)

Jika sebagai tindak balas anda mendapat nilai
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
maka anda sudah tahu bagaimana untuk mencari titik kritikal dan dapat menghadapi kawalan atau ujian yang mudah.

Domain bagi suatu fungsi, hitung terbitannya, cari domain terbitan bagi suatu fungsi, cari mata penukaran derivatif kepada sifar, buktikan bahawa titik yang ditemui tergolong dalam domain takrifan fungsi asal.

Contoh 1 Kenal pasti Kritis mata fungsi y = (x - 3)² (x-2).

PenyelesaianCari skop fungsi, dalam kes ini tiada sekatan: x ∈ (-∞; +∞); Kira terbitan y’. Mengikut peraturan pembezaan hasil darab dua, terdapat: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. Selepas ia ternyata persamaan kuadratik: y' = 3 x² - 16 x + 21.

Cari domain terbitan bagi fungsi: x ∈ (-∞; +∞).Selesaikan persamaan 3 x² - 16 x + 21 = 0 untuk mencari yang mana ia hilang: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Jadi, terbitan lenyap untuk nilai x sama dengan 3 dan 7/3.

Tentukan sama ada yang ditemui tergolong mata domain fungsi asal. Oleh kerana x (-∞; +∞), maka kedua-duanya mata adalah kritikal.

Contoh 2 Kenal pasti Kritis mata fungsi y = x² - 2/x.

Penyelesaian Domain bagi fungsi: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) kerana x berada dalam penyebut. Kira terbitan y’ = 2 x + 2/x².

Domain terbitan fungsi adalah sama dengan domain asal: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Selesaikan persamaan 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -satu.

Jadi, terbitan lenyap pada x = -1. Keadaan kritikal yang perlu tetapi tidak mencukupi dipenuhi. Oleh kerana x=-1 jatuh ke dalam selang (-∞; 0) ∪ (0; +∞), titik ini adalah kritikal.

Sumber:

• Jumlah jualan kritikal, pcsThreshold

Ramai wanita mengalami sindrom pramenstruasi, yang ditunjukkan bukan sahaja oleh sensasi yang menyakitkan, tetapi juga oleh peningkatan selera makan. Akibatnya hari kritikal boleh melambatkan proses penurunan berat badan dengan ketara.

Punca selera makan meningkat semasa hari kritikal

Sebab peningkatan selera makan semasa tempoh hari kritikal adalah perubahan dalam latar belakang hormon umum dalam badan wanita. Beberapa hari sebelum permulaan haid, tahap hormon progesteron meningkat, badan menyesuaikan diri dengan kemungkinan dan cuba membuat rizab tenaga tambahan dalam bentuk lemak badan, walaupun wanita itu sedang duduk. Oleh itu, perubahan berat badan pada hari kritikal adalah fenomena biasa.

Cara makan semasa haid

Cuba jangan makan gula-gula, gula-gula dan makanan berkalori tinggi yang lain yang mengandungi "cepat" hari ini. Lebihan mereka akan segera disimpan dalam lemak. Ramai wanita dalam tempoh ini benar-benar ingin makan coklat, dalam kes ini anda boleh membeli coklat gelap dan merawat diri anda dengan beberapa keping, tetapi tidak lebih. Semasa haid, anda tidak boleh mengambil minuman beralkohol, perapan, jeruk, daging salai, biji dan kacang. Jeruk dan daging asap secara amnya harus dihadkan dalam diet 6-8 hari sebelum permulaan haid, kerana produk tersebut meningkatkan rizab air dalam badan, dan tempoh ini dicirikan oleh peningkatan pengumpulan cecair. Untuk mengurangkan jumlah garam dalam diet, tambahkannya dalam jumlah minimum kepada makanan sedia.

Adalah disyorkan untuk menggunakan produk tenusu rendah lemak, makanan tumbuhan, bijirin. Kekacang, kentang rebus, nasi akan berguna - produk yang mengandungi karbohidrat "lambat". Makanan laut, hati, ikan, daging lembu, ayam, telur, kekacang, buah-buahan kering akan membantu menambah kehilangan zat besi. Dedak gandum akan berguna. Bengkak adalah tindak balas semula jadi semasa haid. Herba diuretik ringan akan membantu membetulkan keadaan: selasih, dill, pasli, saderi. Mereka boleh digunakan sebagai perasa. Pada separuh kedua kitaran, disyorkan untuk mengambil produk protein (daging dan ikan tanpa lemak, produk tenusu), dan jumlah karbohidrat dalam diet harus dikurangkan sebanyak mungkin.

Konsep ekonomi volum kritikal jualan sepadan dengan kedudukan perusahaan dalam pasaran, di mana hasil daripada penjualan barangan adalah minimum. Keadaan ini dipanggil titik pulang modal, apabila permintaan untuk produk jatuh dan keuntungan hampir tidak dapat menampung kos. Untuk menentukan isipadu kritikal jualan menggunakan beberapa kaedah.

Arahan

Kitaran kerja tidak terhad kepada aktivitinya - pengeluaran atau perkhidmatan. Ini adalah kerja kompleks struktur tertentu, termasuk kerja kakitangan utama, kakitangan pengurusan, pengurus, dll., serta ahli ekonomi, yang tugasnya adalah analisis kewangan perusahaan.

Tujuan analisis ini adalah untuk mengira beberapa kuantiti yang, pada satu darjah atau yang lain, mempengaruhi saiz keuntungan akhir. ini jenis lain pengeluaran dan volum jualan, penuh dan purata, penunjuk permintaan, dsb. Tugas utama adalah untuk mengenal pasti jumlah pengeluaran sedemikian di mana hubungan yang stabil antara kos dan keuntungan diwujudkan.

Isipadu Minimum jualan, di mana pendapatan menampung sepenuhnya kos, tetapi tidak meningkat ekuiti syarikat dipanggil volum kritikal jualan. Terdapat tiga kaedah untuk mengira kaedah penunjuk ini: kaedah persamaan, pendapatan marginal dan grafik.

Untuk menentukan isipadu kritikal jualan mengikut kaedah pertama, buat persamaan bentuk: Vp - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, di mana: Vp - hasil daripada jualan dan ; Zper dan Zpos - kos berubah dan tetap; Pp - untung daripada jualan dan.

Mengikut kaedah lain, istilah pertama, hasil daripada jualan, mewakili sebagai hasil pendapatan marginal daripada seunit barang mengikut volum jualan Begitu juga dengan kos berubah. kos tetap terpakai pada keseluruhan kumpulan barangan, jadi biarkan komponen ini biasa: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Ungkapkan nilai N daripada persamaan ini, dan anda mendapat isipadu kritikal jualan:N = Zpos / (MD - Zper1), di mana Zper1 - kos berubah seunit barang.

Kaedah grafik melibatkan pembinaan. Mohon kepada satah koordinat dua baris: fungsi hasil daripada jualan tolak kedua-dua fungsi kos dan keuntungan. Pada paksi-x, plotkan isipadu pengeluaran, dan pada paksi-y, pendapatan daripada kuantiti barang yang sepadan, dinyatakan dalam unit monetari. Titik persilangan garis-garis ini sepadan dengan isipadu genting jualan, kedudukan pulang modal.

Sumber:

• bagaimana untuk mengenal pasti kerja kritikal

Pemikiran kritis ialah satu set pertimbangan berdasarkan kesimpulan tertentu yang dibentuk, dan penilaian terhadap objek kritikan dibuat. Ia adalah ciri khas penyelidik dan saintis semua cabang sains. Pemikiran kritis menduduki tahap yang lebih tinggi daripada pemikiran biasa.

Nilai pengalaman dalam pembentukan pemikiran kritis

Sukar untuk menganalisis dan membuat kesimpulan tentang perkara yang anda tidak faham dengan baik. Oleh itu, untuk belajar berfikir secara kritis, adalah perlu untuk mengkaji objek dalam semua kemungkinan hubungan dan hubungan dengan fenomena lain. Serta sangat penting dalam kes ini, dia mempunyai maklumat tentang objek tersebut, keupayaan untuk membina rantaian logik pertimbangan dan membuat kesimpulan yang munasabah.

Sebagai contoh, nilaikan nilai karya seni hanya mungkin dengan mengetahui banyak buah aktiviti sastera yang lain. Pada masa yang sama, tidak salah menjadi pakar dalam sejarah perkembangan manusia, pembentukan sastera dan kritikan sastera. Mengasingkan diri daripada konteks sejarah, karya itu mungkin kehilangan maknanya. Agar penilaian karya seni menjadi cukup lengkap dan wajar, ia juga perlu menggunakan pengetahuan sastera anda, yang termasuk peraturan untuk membina teks artistik dalam genre individu, sistem pelbagai peranti sastera, klasifikasi dan analisis gaya dan aliran sedia ada dalam sastera, dsb. Pada masa yang sama, penting juga untuk mengkaji logik dalaman plot, urutan tindakan, penempatan dan interaksi watak dalam karya seni.

Ciri-ciri pemikiran kritis

Ciri-ciri lain pemikiran kritis termasuk:
- pengetahuan tentang objek yang dikaji hanyalah titik permulaan untuk aktiviti otak selanjutnya yang berkaitan dengan pembinaan rantai logik;
- penaakulan yang dibina secara konsisten dan berdasarkan akal fikiran membawa kepada pengenalpastian maklumat yang benar dan salah tentang objek yang dikaji;
- pemikiran kritis sentiasa dikaitkan dengan penilaian maklumat yang ada tentang objek yang diberi dan kesimpulan yang sepadan, penilaian pula adalah berkaitan dengan kemahiran yang sedia ada.

Tidak seperti pemikiran biasa, pemikiran kritis tidak tertakluk kepada kepercayaan buta. Pemikiran kritis membolehkan menggunakan keseluruhan sistem penilaian tentang objek kritikan untuk memahami intipatinya, mendedahkan pengetahuan sebenar mengenainya dan menyangkal yang palsu. Ia berdasarkan logik, kedalaman dan kesempurnaan kajian, kebenaran, kecukupan dan ketekalan pertimbangan. Pada masa yang sama, kenyataan yang jelas dan terbukti diterima sebagai postulat dan tidak memerlukan pembuktian dan penilaian berulang.

Dalam alasan di atas, kami tidak menggunakan kaedah teknikal kalkulus pembezaan sama sekali.

Sukar untuk tidak mengakui bahawa kaedah asas kami lebih mudah dan lebih langsung daripada kaedah analisis. Secara umum, apabila menangani masalah saintifik tertentu, adalah lebih baik untuk meneruskan dari ciri-ciri individunya daripada bergantung semata-mata pada kaedah biasa, walaupun sebaliknya, prinsip umum, menjelaskan maksud prosedur khas yang digunakan, sudah tentu, harus sentiasa memainkan peranan utama. Begitulah tepatnya kepentingan kaedah kalkulus pembezaan dalam menangani masalah yang melampau. Diperhatikan dalam sains moden keinginan untuk keumuman hanya mewakili satu bahagian dalam perkara itu, kerana apa yang benar-benar penting dalam matematik, tanpa sebarang keraguan, ditentukan oleh ciri-ciri individu masalah yang sedang dipertimbangkan dan kaedah yang digunakan.

Dalam dia perkembangan sejarah kalkulus pembezaan telah terjejas pada tahap yang sangat besar oleh masalah individu yang berkaitan dengan mencari nilai kuantiti terbesar dan terkecil. Kaitan antara masalah ekstrem dan kalkulus pembezaan boleh difahami seperti berikut. Dalam Bab VIII, kita akan mengkaji secara terperinci terbitan f "(x) bagi fungsi f (x) dan makna geometrinya. Di sana kita akan melihat bahawa, secara ringkasnya, terbitan f" (x) ialah cerun tangen. kepada lengkung y = f(x) pada titik (x, y). Secara geometri jelas bahawa pada titik maksimum atau minimum lengkung licin y = f(x) tangen kepada lengkung mestilah mendatar, iaitu, cerun mestilah sifar. Oleh itu, kita memperoleh syarat untuk titik ekstrem f"(x) = 0.

Untuk lebih jelas tentang apa terbitan f "(x) kepada sifar, pertimbangkan lengkung yang ditunjukkan dalam Rajah 191. Kita lihat di sini lima titik A, B, C, D, ?, di mana tangen kepada lengkung itu mendatar; kita menandakan nilai f(x) yang sepadan pada titik ini dengan a, b, c, d, e. Nilai tertinggi f(x) (dalam kawasan yang digambarkan dalam lukisan) dicapai pada titik D, yang terkecil - pada titik A. Pada titik B terdapat maksimum - dalam erti kata bahawa di semua titik beberapa kejiranan titik B, nilai f(x) adalah kurang daripada b, walaupun pada titik yang hampir dengan D, nilai f(x) masih lebih besar daripada b. Atas sebab ini, adalah kebiasaan untuk mengatakan bahawa pada titik B ada maksimum relatif fungsi f(x), manakala pada titik D - maksimum mutlak. Begitu juga, pada titik C kita ada minimum relatif, dan pada titik A minimum mutlak. Akhir sekali, mengenai titik E, tidak ada maksimum atau minimum di dalamnya, walaupun kesamaan f"(x) = Q, Ia berikutan bahawa lenyapnya terbitan f "(x) ialah perlu, tetapi tidak sama sekali mencukupi keadaan untuk kemunculan ekstrem bagi fungsi licin f(x); dalam erti kata lain, pada mana-mana titik di mana terdapat ekstrem (mutlak atau relatif), kesaksamaan f"(x) = 0, tetapi tidak pada bila-bila masa f"(x) = 0, mestilah ekstrem. Titik di mana terbitan f "(x) hilang, tidak kira sama ada ia mempunyai ekstrem, dipanggil pegun. Analisis lanjut membawa kepada keadaan yang lebih atau kurang rumit berkenaan derivatif yang lebih tinggi bagi fungsi f(x) dan mencirikan sepenuhnya maksimum, minima dan titik pegun lain.