Skaitļa x n-tā sakne ir nenegatīvs skaitlis z, kas, paaugstinot līdz n-tam pakāpei, kļūst par x. Saknes definīcija ir iekļauta aritmētisko pamatoperāciju sarakstā, ar kuru mēs iepazināmies bērnībā.

Matemātiskais apzīmējums

"Sakne" nāk no latīņu vārda radix, un mūsdienās vārds "radikāls" tiek izmantots kā šī matemātiskā termina sinonīms. Kopš 13. gadsimta matemātiķi saknes izvilkšanas darbību ir apzīmējuši ar burtu r ar horizontālu joslu virs radikālas izteiksmes. 16. gadsimtā tika ieviests apzīmējums V, kas pamazām nomainīja zīmi r, bet horizontālā līnija tika saglabāta. Ir viegli drukāt tipogrāfijā vai rakstīt ar roku, bet iekšā elektroniskās publikācijas un programmēšanas izplatība burtu apzīmējums sakne - kv. Šajā rakstā mēs apzīmēsim kvadrātsaknes.

Kvadrātsakne

Skaitļa x kvadrātveida radikālis ir skaitlis z, kas, reizinot ar sevi, kļūst par x. Piemēram, ja mēs reizinām 2 ar 2, mēs iegūstam 4. Divi šajā gadījumā ir kvadrātsakne no četriem. Reiziniet 5 ar 5, iegūstam 25, un tagad mēs jau zinām izteiksmes sqrt(25) vērtību. Mēs varam reizināt un -12 ar -12 un iegūt 144, un radikāls 144 būs gan 12, gan -12. Acīmredzot kvadrātsaknes var būt gan pozitīvi, gan negatīvi skaitļi.

Atrisināšanai svarīgs ir šādu sakņu savdabīgais duālisms kvadrātvienādojumi, tāpēc, meklējot atbildes šādās problēmās, jānorāda abas saknes. Pieņemot lēmumu algebriskās izteiksmes tiek izmantotas aritmētiskās kvadrātsaknes, tas ir, tikai to pozitīvās vērtības.

Skaitļus, kuru kvadrātsaknes ir veseli skaitļi, sauc par perfektiem kvadrātiem. Ir vesela šādu skaitļu virkne, kuras sākums izskatās šādi:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Citu skaitļu kvadrātsaknes ir iracionāli skaitļi. Piemēram, sqrt(3) = 1.73205080757... un tā tālāk. Šis skaitlis ir bezgalīgs un nav periodisks, kas rada zināmas grūtības šādu radikāļu aprēķināšanā.

Skolas matemātikas kursā teikts, ka no negatīviem skaitļiem nevar ņemt kvadrātsaknes. Kā mēs mācāmies vidusskolas matemātiskās analīzes kursā, to var un vajag darīt - tieši tam ir nepieciešami kompleksie skaitļi. Tomēr mūsu programma ir izstrādāta, lai iegūtu reālās sakņu vērtības, tāpēc tā neaprēķina pat radikāļus no negatīviem skaitļiem.

kuba sakne

Skaitļa x kubiskais radikālis ir skaitlis z, kuru reizinot ar sevi trīs reizes, tiek iegūts skaitlis x. Piemēram, ja mēs reizinām 2 × 2 × 2, mēs iegūstam 8. Tāpēc divi ir astoņu kuba sakne. Reiziniet četras reizes ar sevi un iegūstiet 4 × 4 × 4 = 64. Acīmredzot četri ir skaitļa 64 kuba sakne. Ir bezgalīga skaitļu virkne, kuras kubiskie radikāļi ir veseli skaitļi. Tās sākums izskatās šādi:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Pārējiem skaitļiem kuba saknes ir neracionāli skaitļi. Atšķirībā no kvadrātveida radikāļiem, kuba saknes, tāpat kā jebkuru nepāra sakni, var ņemt no negatīviem skaitļiem. Tas viss ir par skaitļiem mazāks par nulli. Mīnuss ar mīnusu dod plusu - no skolas sola zināms noteikums. Mīnus reiz pluss padara mīnusu. Ja negatīvus skaitļus reizinat nepāra reižu skaitu, tad arī rezultāts būs negatīvs, tāpēc izņemiet nepāra radikāli no negatīvs skaitlis nekas mūs neliedz.

Tomēr kalkulatora programma darbojas citādi. Faktiski saknes iegūšana nozīmē paaugstināšanu uz apgriezto jaudu. Kvadrātsakne tiek uzskatīta par paaugstināšanu līdz 1/2, bet kubs - 1/3. Formulu paaugstināšanai līdz jaudai 1/3 var apgriezt un izteikt kā 2/6. Rezultāts ir tāds pats, taču šādu sakni nav iespējams iegūt no negatīva skaitļa. Tādējādi mūsu kalkulators aprēķina aritmētiskās saknes tikai no pozitīviem skaitļiem.

N-tā sakne

Šāds grezns radikāļu aprēķināšanas veids ļauj noteikt jebkuras pakāpes saknes no jebkuras izteiksmes. Varat iegūt skaitļa kuba piekto sakni vai skaitļa 19. radikāli uz 12. Tas viss ir eleganti īstenots kā paaugstināšana attiecīgi ar jaudu 3/5 vai 12/19.

Apsveriet piemēru

Kvadrātveida diagonāle

Kvadrāta diagonāles neracionalitāti zināja senie grieķi. Viņi saskārās ar plakana kvadrāta diagonāles aprēķināšanas problēmu, jo tā garums vienmēr ir proporcionāls divu kvadrātsaknei. Diagonāles garuma noteikšanas formula ir iegūta no un galu galā ir šāda:

d = a × sqrt(2).

Izmantojot mūsu kalkulatoru, noteiksim kvadrātveida radikāli no diviem. Šūnā "Skaitlis (x)" ievadīsim vērtību 2, bet šūnā "Jauda (n)" arī 2. Rezultātā iegūstam izteiksmi sqrt (2) = 1,4142. Tādējādi kvadrāta diagonāles aptuvenai aplēsei pietiek ar tā malu reizināt ar 1,4142.

Secinājums

Radikāla meklēšana ir standarta aritmētiska darbība, bez kuras nav nepieciešami zinātniski vai projektēšanas aprēķini. Protams, mums nav jānosaka saknes, lai risinātu ikdienas problēmas, taču mūsu tiešsaistes kalkulators noteikti noderēs skolēniem vai studentiem, lai pārbaudītu mājasdarbus algebrā vai aprēķinos.

Ir pienācis laiks izjaukt sakņu ekstrakcijas metodes. Tie ir balstīti uz sakņu īpašībām, jo ​​īpaši uz vienādību, kas attiecas uz jebkuru nenegatīvu skaitli b.

Tālāk mēs savukārt apsvērsim galvenās sakņu ieguves metodes.

Sāksim ar vienkāršāko gadījumu – sakņu izvilkšanu no naturāliem skaitļiem, izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Ja kvadrātu, kubu u.c. nav pie rokas, ir loģiski izmantot saknes iegūšanas metodi, kas ietver saknes skaitļa sadalīšanu vienkāršos faktoros.

Atsevišķi ir vērts pakavēties pie tā, kas ir iespējams saknēm ar nepāra eksponentiem.

Visbeidzot, apsveriet metodi, kas ļauj secīgi atrast saknes vērtības ciparus.

Sāksim.

Izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Vienkāršākajos gadījumos kvadrātu, kubu uc tabulas ļauj iegūt saknes. Kas ir šīs tabulas?

Veselu skaitļu kvadrātu tabula no 0 līdz 99 (ieskaitot) sastāv no divām zonām. Tabulas pirmā zona atrodas uz pelēka fona, atlasot noteiktu rindu un noteiktu kolonnu, tā ļauj izveidot skaitli no 0 līdz 99. Piemēram, atlasīsim rindu ar 8 desmitiem un kolonnu ar 3 vienībām, ar to mēs nofiksējām skaitli 83. Otrā zona aizņem pārējo tabulu. Katra tā šūna atrodas noteiktas rindas un noteiktas kolonnas krustpunktā un satur atbilstošā skaitļa kvadrātu no 0 līdz 99. Mūsu izvēlētās 8 desmitnieku rindas un viena 3. kolonnas krustpunktā atrodas šūna ar skaitli 6889, kas ir skaitļa 83 kvadrāts.

Kubu tabulas, skaitļu ceturto pakāpju tabulas no 0 līdz 99 un tā tālāk ir līdzīgas kvadrātu tabulai, tikai tās otrajā zonā satur kubus, ceturtās pakāpes utt. atbilstošos skaitļus.

Kvadrātu, kubu, ceturtās pakāpes tabulas utt. ļauj iegūt kvadrātsaknes, kubsaknes, ceturtās saknes utt. attiecīgi no skaitļiem šajās tabulās. Izskaidrosim to pielietošanas principu sakņu ieguvē.

Pieņemsim, ka no skaitļa a ir jāizvelk n-tās pakāpes sakne, savukārt skaitlis a ir ietverts n-to grādu tabulā. Saskaņā ar šo tabulu mēs atrodam skaitli b tādu, ka a=b n . Tad , tāpēc skaitlis b būs vēlamā n-tās pakāpes sakne.

Kā piemēru parādīsim, kā 19683. gada kuba sakne tiek iegūta, izmantojot kuba tabulu. Mēs atrodam kubu tabulā skaitli 19 683, no tā secinām, ka šis skaitlis ir skaitļa 27 kubs, tāpēc .

Skaidrs, ka n-to grādu tabulas ir ļoti ērtas, iegūstot saknes. Taču tās bieži vien nav pa rokai, un to sastādīšana prasa noteiktu laiku. Turklāt bieži vien ir nepieciešams iegūt saknes no skaitļiem, kas nav ietverti attiecīgajās tabulās. Šādos gadījumos ir jāizmanto citas sakņu iegūšanas metodes.

Saknes skaitļa sadalīšana pirmfaktoros

Diezgan ērts veids, kā iegūt sakni no naturālā skaitļa (ja, protams, sakne ir iegūta), ir sadalīt saknes skaitli pirmfaktoros. Viņa būtība ir šāda: pēc tam ir diezgan viegli attēlot to kā grādu ar vēlamo indikatoru, kas ļauj iegūt saknes vērtību. Paskaidrosim šo punktu.

No naturāla skaitļa a izņem n-tās pakāpes sakni, un tā vērtība ir vienāda ar b. Šajā gadījumā vienādība a=b n ir patiesa. Skaitli b kā jebkuru naturālu skaitli var attēlot kā visu tā pirmfaktoru p 1 , p 2 , …, pm reizinājumu formā p 1 p 2 pm , un saknes skaitli a šajā gadījumā attēlo kā (p 1 p 14 ... pm) n . Tā kā skaitļa sadalīšana pirmfaktoros ir unikāla, tad saknes skaitļa a sadalīšana pirmfaktoros izskatīsies šādi (p 1 ·p 2 ·…·pm) n , kas ļauj aprēķināt saknes vērtību kā .

Ņemiet vērā, ka, ja saknes skaitļa a faktorizāciju nevar attēlot formā (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , tad n-tās pakāpes sakne no šāda skaitļa a netiek pilnībā izvilkta.

Ar to nodarbosimies, risinot piemērus.

Piemērs.

Paņemiet kvadrātsakni no 144 .

Risinājums.

Ja pievēršamies iepriekšējā rindkopā dotajai kvadrātu tabulai, skaidri redzams, ka 144=12 2 , no kuras ir skaidrs, ka 144 kvadrātsakne ir 12 .

Bet, ņemot vērā šo punktu, mēs esam ieinteresēti, kā sakne tiek iegūta, sadalot saknes numuru 144 primārajos faktoros. Apskatīsim šo risinājumu.

Sadalīsimies 144 uz galvenajiem faktoriem:

Tas ir, 144=2 2 2 2 3 3 . Pamatojoties uz iegūto sadalīšanos, var veikt šādas pārvērtības: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2. Sekojoši, .

Izmantojot sakņu pakāpes un īpašību īpašības, risinājumu varētu formulēt nedaudz savādāk: .

Atbilde:

Lai konsolidētu materiālu, apsveriet vēl divu piemēru risinājumus.

Piemērs.

Aprēķiniet saknes vērtību.

Risinājums.

Saknes skaitļa 243 pirmfaktorizācija ir 243=3 5 . Pa šo ceļu, .

Atbilde:

Piemērs.

Vai saknes vērtība ir vesels skaitlis?

Risinājums.

Lai atbildētu uz šo jautājumu, sadalīsim saknes skaitli galvenajos faktoros un pārbaudīsim, vai to var attēlot kā vesela skaitļa kubu.

Mums ir 285 768=2 3 3 6 7 2 . Iegūtais sadalījums nav attēlots kā vesela skaitļa kubs, jo pakāpe galvenais faktors 7 nav reizināts ar trīs. Tāpēc kuba sakne 285 768 netiek ņemta pilnībā.

Atbilde:

Nē.

Sakņu iegūšana no daļskaitļiem

Ir pienācis laiks izdomāt, no kā tiek iegūta sakne daļskaitlis. Daļējās saknes skaitli rakstīsim kā p/q . Saskaņā ar koeficienta saknes īpašību šāda vienādība ir patiesa. No šīs vienlīdzības izriet frakcijas saknes noteikums: Daļas sakne ir vienāda ar skaitītāja saknes dalījuma ar saucēja sakni.

Apskatīsim piemēru saknes iegūšanai no frakcijas.

Piemērs.

Kas ir kvadrātsakne no kopējā frakcija 25/169 .

Risinājums.

Saskaņā ar kvadrātu tabulu mēs atklājam, ka sākotnējās daļas skaitītāja kvadrātsakne ir 5, bet saucēja kvadrātsakne ir 13. Tad . Tas pabeidz saknes ekstrakciju no parastās frakcijas 25/169.

Atbilde:

Decimāldaļas vai jaukta skaitļa sakne tiek iegūta pēc saknes skaitļu aizstāšanas ar parastajām daļām.

Piemērs.

Ņemiet decimāldaļas 474.552 kubsakni.

Risinājums.

Iedomājieties oriģinālu decimālzīme parastās daļas veidā: 474,552=474552/1000. Tad . Atliek izvilkt kuba saknes, kas atrodas iegūtās frakcijas skaitītājā un saucējā. Jo 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 un 1 000 = 10 3 , tad Un . Atliek tikai pabeigt aprēķinus .

Atbilde:

.

Negatīvā skaitļa saknes izvilkšana

Atsevišķi ir vērts pakavēties pie sakņu iegūšanas no negatīviem skaitļiem. Pētot saknes, mēs teicām, ka, ja saknes eksponents ir nepāra skaitlis, tad zem saknes zīmes var atrasties negatīvs skaitlis. Mēs piešķīrām šādiem apzīmējumiem šādu nozīmi: negatīvam skaitlim −a un nepāra eksponentam saknes 2 n−1, mums ir . Šī vienlīdzība dod noteikums nepāra sakņu iegūšanai no negatīviem skaitļiem: lai izvilktu negatīva skaitļa sakni, jāizvelk pretējā pozitīvā skaitļa sakne un rezultāta priekšā jāievieto mīnusa zīme.

Apskatīsim risinājuma piemēru.

Piemērs.

Atrodiet saknes vērtību.

Risinājums.

Mēs pārveidojam sākotnējo izteiksmi tā, lai zem saknes zīmes tas izrādītos pozitīvs skaitlis: . Tagad jaukts numurs aizstāt ar parastu daļskaitli: . Mēs piemērojam noteikumu par saknes izņemšanu no parastās frakcijas: . Atliek aprēķināt saknes iegūtās frakcijas skaitītājā un saucējā: .

Šeit ir risinājuma kopsavilkums: .

Atbilde:

.

Bitu pagrieziena saknes vērtības atrašana

IN vispārējs gadījums zem saknes ir skaitlis, kuru, izmantojot iepriekš apspriestos paņēmienus, nevar attēlot kā jebkura skaitļa n-to pakāpi. Bet tajā pašā laikā ir jāzina dotās saknes vērtība vismaz līdz noteiktai zīmei. Šajā gadījumā, lai iegūtu sakni, varat izmantot algoritmu, kas ļauj secīgi iegūt pietiekami vēlamā skaitļa ciparu vērtības.

Pirmais šī algoritma solis ir noskaidrot, kas ir vissvarīgākais saknes vērtības bits. Lai to izdarītu, skaitļus 0, 10, 100, ... secīgi paaugstina līdz pakāpei n, līdz tiek iegūts skaitlis, kas pārsniedz saknes skaitli. Tad skaitlis, ko iepriekšējā solī paaugstinājām līdz pakāpei n, norādīs atbilstošo augstāko secību.

Piemēram, izvilkšanas laikā apsveriet šo algoritma darbību kvadrātsakne no pieciem. Mēs ņemam skaitļus 0, 10, 100, ... un saliekam tos kvadrātā, līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 5 . Mums ir 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , kas nozīmē, ka nozīmīgākais cipars būs vienību cipars. Šī bita, kā arī zemāko bitu vērtība tiks atrasta nākamajās sakņu ekstrakcijas algoritma darbībās.

Visas sekojošās algoritma darbības ir vērstas uz saknes vērtības secīgu precizēšanu, jo tiek atrastas vēlamās saknes vērtības nākamo ciparu vērtības, sākot no augstākās un pārejot uz zemāko. . Piemēram, saknes vērtība pirmajā solī ir 2 , otrajā - 2,2 , trešajā - 2,23 un tā tālāk 2,236067977 ... . Aprakstīsim, kā tiek atrastas bitu vērtības.

Bitu atrašana tiek veikta, uzskaitot to iespējamās vērtības 0, 1, 2, ..., 9. Šajā gadījumā paralēli tiek aprēķinātas atbilstošo skaitļu n-tās pakāpes, un tās tiek salīdzinātas ar saknes skaitli. Ja kādā posmā pakāpes vērtība pārsniedz radikālo skaitli, tad tiek uzskatīts, ka ir atrasta iepriekšējai vērtībai atbilstošā cipara vērtība, un tiek veikta pāreja uz nākamo saknes ekstrakcijas algoritma soli, ja tas nenotiek, tad šī cipara vērtība ir 9 .

Izskaidrosim visus šos punktus, izmantojot to pašu piemēru, kā iegūt kvadrātsakni no pieci.

Vispirms atrodiet vienību cipara vērtību. Mēs atkārtosim vērtības 0, 1, 2, …, 9, attiecīgi aprēķinot 0 2 , 1 2 , …, 9 2, līdz iegūsim vērtību, kas ir lielāka par radikālo skaitli 5. Visi šie aprēķini ir ērti parādīti tabulas veidā:

Tātad vienību cipara vērtība ir 2 (jo 2 2<5 , а 2 3 >pieci). Pāriesim pie desmitās vietas vērtības atrašanas. Šajā gadījumā skaitļus 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 salīdzināsim kvadrātā, salīdzinot iegūtās vērtības ar saknes skaitli 5:

Kopš 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , tad desmitās vietas vērtība ir 2 . Varat turpināt simtdaļas vērtības atrašanu:

Tātad atrasts nākamā vērtība sakne no pieci, tas ir vienāds ar 2,23. Un tāpēc jūs varat turpināt atrast vērtības tālāk: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim saknes ekstrakciju ar simtdaļu precizitāti, izmantojot aplūkoto algoritmu.

Pirmkārt, mēs definējam vecāko ciparu. Lai to izdarītu, skaitļus 0, 10, 100 utt. līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 2151.186 . Mums ir 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , tātad nozīmīgākais cipars ir desmiti cipars.

Definēsim tā vērtību.

Kopš 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 , tad desmitcipara vērtība ir 1 . Pāriesim pie vienībām.

Tādējādi vienas vietas vērtība ir 2 . Pāriesim pie desmit.

Tā kā pat 12.9 3 ir mazāks par radikālo skaitli 2 151.186 , tad desmitās vietas vērtība ir 9 . Atliek veikt pēdējo algoritma soli, tas mums dos saknes vērtību ar nepieciešamo precizitāti.

Šajā posmā saknes vērtība tiek atrasta līdz simtdaļām: .

Noslēdzot šo rakstu, es vēlos teikt, ka ir daudz citu veidu, kā iegūt saknes. Bet lielākajai daļai uzdevumu pietiek ar tiem, kurus mēs pētījām iepriekš.

Bibliogrāfija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).

Inženiertehniskais kalkulators tiešsaistē

Mēs steidzamies ikvienam iepazīstināt ar bezmaksas inženierijas kalkulatoru. Ar to jebkurš students var ātri un, pats galvenais, ērti veikt dažāda veida matemātiskos aprēķinus tiešsaistē.

Vienkāršs un ērti lietojams inženiertehniskais kalkulators ar neuzkrītošu un intuitīvu saskarni patiesi noderēs visplašākajam interneta lietotāju lokam. Tagad, kad jums ir nepieciešams kalkulators, apmeklējiet mūsu vietni un izmantojiet bezmaksas inženierijas kalkulatoru.

Inženiertehniskais kalkulators var veikt gan vienkāršas aritmētiskas darbības, gan diezgan sarežģītus matemātiskos aprēķinus.

Web20calc ir inženierijas kalkulators, kuram ir milzīgs skaits funkciju, piemēram, kā aprēķināt visas elementārās funkcijas. Kalkulators atbalsta arī trigonometriskās funkcijas, matricas, logaritmus un pat diagrammu veidošanu.

Neapšaubāmi, Web20calc interesēs to cilvēku grupu, kas, meklējot vienkāršus risinājumus, meklētājprogrammās ieraksta vaicājumu: tiešsaistes matemātiskais kalkulators. Bezmaksas tīmekļa lietojumprogramma palīdzēs jums uzreiz aprēķināt jebkuras matemātiskas izteiksmes rezultātu, piemēram, atņemt, saskaitīt, dalīt, iegūt sakni, palielināt līdz pakāpei utt.

Izteiksmē var izmantot paaugstināšanas, saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas, procentuālās, PI konstantes darbības. Sarežģītiem aprēķiniem jāizmanto iekavas.

Inženiertehniskā kalkulatora īpašības:

1. aritmētiskās pamatoperācijas;
2. strādāt ar cipariem standarta formā;
3. trigonometrisko sakņu aprēķins, funkcijas, logaritmi, kāpināšana;
4. statistikas aprēķini: saskaitīšana, vidējā aritmētiskā vai standartnovirze;
5. atmiņas šūnas un 2 mainīgo lietotāja funkciju pielietojums;
6. darbs ar leņķiem radiānu un grādu mēros.

Inženiertehniskais kalkulators ļauj izmantot dažādas matemātiskas funkcijas:

Sakņu (kvadrātsaknes, kubiksaknes, kā arī n-tās pakāpes saknes) ekstrakcija;
ex (e līdz x jauda), eksponents;
trigonometriskās funkcijas: sine - sin, kosinuss - cos, tangenss - tan;
apgrieztās trigonometriskās funkcijas: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
hiperboliskās funkcijas: sine - sinh, kosinuss - cosh, tangenss - tanh;
logaritmi: divu bāzes binārais logaritms ir log2x, desmit bāzes desmit bāzes logaritms ir log, naturālais logaritms ir ln.

Šajā inženiertehniskajā kalkulatorā ir iekļauts arī lielumu kalkulators ar iespēju konvertēt fiziskos lielumus dažādām mērīšanas sistēmām – datora mērvienībām, attālumam, svaram, laikam utt. Izmantojot šo funkciju, jūs varat uzreiz pārvērst jūdzes kilometros, mārciņas kilogramos, sekundes stundās utt.

Lai veiktu matemātiskos aprēķinus, vispirms attiecīgajā laukā ievadiet matemātisko izteiksmju secību, pēc tam noklikšķiniet uz vienādības zīmes un skatiet rezultātu. Vērtības var ievadīt tieši no tastatūras (šim nolūkam kalkulatora apgabalam jābūt aktīvam, tāpēc būs lietderīgi ievietot kursoru ievades laukā). Cita starpā datus var ievadīt, izmantojot paša kalkulatora pogas.

Lai izveidotu grafikus ievades laukā, ierakstiet funkciju, kā norādīts piemēra laukā, vai izmantojiet īpaši šim nolūkam paredzēto rīkjoslu (lai to atvērtu, noklikšķiniet uz pogas ar ikonu diagrammas formā). Lai konvertētu vērtības, nospiediet Unit, lai strādātu ar matricām - Matrix.

Pirms kalkulatoru parādīšanās skolēni un skolotāji ar roku aprēķināja kvadrātsaknes. Ir vairāki veidi, kā manuāli aprēķināt skaitļa kvadrātsakni. Daži no tiem piedāvā tikai aptuvenu risinājumu, citi sniedz precīzu atbildi.

Soļi

Galvenā faktorizācija

Saknes skaitli faktoros, kas ir kvadrātskaitļi. Atkarībā no saknes numura jūs saņemsiet aptuvenu vai precīzu atbildi. Kvadrātskaitļi ir skaitļi, no kuriem var ņemt visu kvadrātsakni. Faktori ir skaitļi, kurus reizinot, tiek iegūts sākotnējais skaitlis. Piemēram, skaitļa 8 faktori ir 2 un 4, jo 2 x 4 = 8, skaitļi 25, 36, 49 ir ​​kvadrātskaitļi, jo √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrātveida koeficienti ir faktori, kas ir kvadrātskaitļi. Vispirms mēģiniet faktorizēt saknes skaitli kvadrātveida faktoros.

• Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 400 (manuāli). Vispirms mēģiniet ieskaitīt 400 kvadrātos. 400 ir 100 reizinātājs, tas ir, dalās ar 25 - tas ir kvadrātveida skaitlis. Dalot 400 ar 25, jūs iegūstat 16. Skaitlis 16 ir arī kvadrātveida skaitlis. Tādējādi 400 var ieskaitīt kvadrāta koeficientos 25 un 16, tas ir, 25 x 16 = 400.
• To var uzrakstīt šādi: √400 = √(25 x 16).

1. Dažu terminu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar katra termina kvadrātsakņu reizinājumu, tas ir, √(a x b) = √a x √b. Izmantojiet šo noteikumu un ņemiet kvadrātsakni no katra kvadrātveida faktora un reiziniet rezultātus, lai atrastu atbildi.

   • Mūsu piemērā ņem kvadrātsakni no 25 un 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ja saknes skaitlis nav iekļauts divos kvadrātveida faktoros (un tas notiek vairumā gadījumu), jūs nevarēsit atrast precīzu atbildi vesela skaitļa veidā. Bet jūs varat vienkāršot problēmu, sadalot saknes skaitli kvadrātveida koeficientā un parastā faktorā (skaitlī, no kura nevar ņemt visu kvadrātsakni). Tad jūs ņemsit kvadrātsakni no kvadrātveida koeficienta un jūs pieņemsit parastā faktora sakni.

   • Piemēram, aprēķiniet skaitļa 147 kvadrātsakni. Skaitli 147 nevar ieskaitīt divos kvadrātfaktoros, bet to var ieskaitīt šādos faktoros: 49 un 3. Atrisiniet uzdevumu šādi:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ja nepieciešams, novērtējiet saknes vērtību. Tagad jūs varat novērtēt saknes vērtību (atrast aptuveno vērtību), salīdzinot to ar kvadrātskaitļu sakņu vērtībām, kas ir vistuvāk (abās skaitļu līnijas pusēs) saknes skaitlim. Saknes vērtību iegūsit kā decimālo daļu, kas jāreizina ar skaitli aiz saknes zīmes.

   • Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Saknes skaitlis ir 3. Tam tuvākie kvadrāta skaitļi ir skaitļi 1 (√1 = 1) un 4 (√4 = 2). Tādējādi √3 vērtība ir no 1 līdz 2. Tā kā √3 vērtība, iespējams, ir tuvāk 2 nekā 1, mūsu aplēse ir šāda: √3 = 1,7. Mēs reizinām šo vērtību ar skaitli saknes zīmē: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ja veicat aprēķinus, izmantojot kalkulatoru, jūs saņemsiet 12,13, kas ir diezgan tuvu mūsu atbildei.
     • Šī metode darbojas arī ar lielu skaitu. Piemēram, apsveriet √35. Saknes skaitlis ir 35. Tam tuvākie kvadrāta skaitļi ir skaitļi 25 (√25 = 5) un 36 (√36 = 6). Tādējādi √35 vērtība ir no 5 līdz 6. Tā kā √35 vērtība ir daudz tuvāka 6 nekā tā ir 5 (jo 35 ir tikai par 1 mazāka par 36), mēs varam teikt, ka √35 ir nedaudz mazāka par 6. Pārbaude ar kalkulatoru dod mums atbildi 5.92 - mums bija taisnība.

4. Vēl viens veids ir sadalīt saknes skaitli galvenajos faktoros. Pirmfaktori ir skaitļi, kas dalās tikai ar 1 un paši sevi. Uzrakstiet primāros faktorus pēc kārtas un atrodiet identisku faktoru pārus. Šādus faktorus var izņemt no saknes zīmes.

   • Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 45. Saknes skaitli sadalām pirmfaktoros: 45 \u003d 9 x 5 un 9 \u003d 3 x 3. Tādējādi √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). No saknes zīmes var izņemt 3: √45 = 3√5. Tagad mēs varam novērtēt √5.
   • Apsveriet citu piemēru: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Jums ir trīs reizinātāji 2; paņemiet pāris no tiem un izņemiet tos no saknes zīmes.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Tagad mēs varam novērtēt √2 un √11 un atrast aptuvenu atbildi.

   Kvadrātsaknes manuāla aprēķināšana

   Izmantojot kolonnu dalījumu

   1. Šī metode ietver procesu, kas līdzīgs garajai dalīšanai, un sniedz precīzu atbildi. Vispirms novelciet vertikālu līniju, kas sadala lapu divās daļās, un pēc tam novelciet horizontālu līniju pa labi un nedaudz zem lapas augšējās malas līdz vertikālajai līnijai. Tagad sadaliet saknes skaitli skaitļu pāros, sākot ar daļskaitli pēc komata. Tātad numurs 79520789182.47897 tiek rakstīts kā "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Piemēram, aprēķināsim kvadrātsakni no skaitļa 780.14. Uzzīmējiet divas līnijas (kā parādīts attēlā) un augšējā kreisajā stūrī ierakstiet skaitli "7 80, 14". Tas ir normāli, ka pirmais cipars no kreisās puses ir nepāra cipars. Atbilde (norādītā skaitļa sakne) tiks ierakstīta augšējā labajā stūrī.

   2. Dots pirmais skaitļu pāris (vai viens skaitlis) no kreisās puses, atrodiet lielāko veselo skaitli n, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar attiecīgo skaitļu pāri (vai vienu skaitli). Citiem vārdiem sakot, atrodiet kvadrātveida skaitli, kas ir vistuvāk pirmajam skaitļu pārim (vai vienam skaitlim) no kreisās puses, bet mazāks par to, un ņemiet šī kvadrātskaitļa kvadrātsakni; jūs saņemsiet numuru n. Augšējā labajā stūrī ierakstiet atrasto n, bet apakšējā labajā stūrī pierakstiet kvadrātu n.

      • Mūsu gadījumā pirmais cipars pa kreisi būs cipars 7. Tālāk 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Atņemiet tikko atrastā skaitļa n kvadrātu no pirmā skaitļu pāra (vai viena skaitļa) no kreisās puses. Aprēķina rezultātu ierakstiet zem apakšdaļas (skaitļa n kvadrāts).

      • Mūsu piemērā no 7 atņemiet 4, lai iegūtu 3.

   4. Noņemiet otro skaitļu pāri un pierakstiet to blakus vērtībai, kas iegūta iepriekšējā darbībā. Pēc tam dubultojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".

      • Mūsu piemērā otrais skaitļu pāris ir "80". Ierakstiet "80" aiz 3. Pēc tam, dubultojot skaitli no augšējās labās puses, iegūstiet 4. Apakšējā labajā stūrī ierakstiet "4_×_=".

   5. Labajā pusē aizpildiet tukšās vietas.

      • Mūsu gadījumā, ja domuzīmju vietā ievietojam skaitli 8, tad 48 x 8 \u003d 384, kas ir vairāk nekā 380. Tāpēc 8 ir pārāk liels skaitlis, bet 7 ir labi. Defises vietā ierakstiet 7 un iegūstiet: 47 x 7 \u003d 329. Augšējā labajā stūrī ierakstiet 7 - tas ir otrais cipars vēlamajā skaitļa 780.14 kvadrātsaknē.

   6. Atņemiet iegūto skaitli no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē. Ierakstiet iepriekšējā soļa rezultātu zem pašreizējā skaitļa kreisajā pusē, atrodiet atšķirību un ierakstiet to zem atņemtā.

      • Mūsu piemērā no 380 atņemiet 329, kas ir vienāds ar 51.

   7. Atkārtojiet 4. darbību. Ja nojauktais skaitļu pāris ir sākotnējā skaitļa daļēja daļa, tad ievietojiet veselā skaitļa un daļdaļas atdalītāju (komatu) vēlamajā kvadrātsaknē no augšējās labās puses. Kreisajā pusē pārnesiet uz leju nākamo skaitļu pāri. Divkāršojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".

      • Mūsu piemērā nākamais skaitļu pāris, kas jānojauc, būs skaitļa 780.14 daļēja daļa, tāpēc ievietojiet veselā skaitļa un daļdaļas atdalītāju vajadzīgajā kvadrātsaknē no augšējās labās puses. Nojauciet 14 un pierakstiet apakšējā kreisajā stūrī. Divkāršs augšējā labajā stūrī (27) ir 54, tāpēc apakšējā labajā stūrī ierakstiet "54_×_=".

   8. Atkārtojiet 5. un 6. darbību. Labajā pusē atrodiet lielāko skaitli domuzīmju vietā (domuzīmju vietā ir jāaizstāj tas pats skaitlis), lai reizināšanas rezultāts būtu mazāks vai vienāds ar pašreizējo skaitli kreisajā pusē.

      • Mūsu piemērā 549 x 9 = 4941, kas ir mazāks par pašreizējo skaitli kreisajā pusē (5114). Augšējā labajā pusē ierakstiet 9 un atņemiet reizināšanas rezultātu no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ja kvadrātsaknei jāatrod vairāk zīmju aiz komata, ierakstiet nulles pāri blakus pašreizējam skaitlim kreisajā pusē un atkārtojiet 4., 5. un 6. darbību. Atkārtojiet darbības, līdz iegūstat vajadzīgās atbildes precizitāti (skaits no decimālzīmes).

   Procesa izpratne

   Lai apgūtu šo metodi, iedomājieties skaitli, kura kvadrātsakne jums jāatrod kā kvadrāta S laukumu. Šajā gadījumā jūs meklēsit šāda kvadrāta malas L garumu. Aprēķiniet L vērtību, kurai L² = S.

   Katram atbildes ciparam ievadiet burtu. Apzīmē ar A pirmo ciparu L vērtībā (vēlamā kvadrātsakne). B būs otrais cipars, C trešais un tā tālāk.

   Norādiet burtu katram sākuma ciparu pārim. Apzīmē ar S a pirmo ciparu pāri vērtībā S, ar S b otro ciparu pāri un tā tālāk.

   Izskaidrojiet šīs metodes saistību ar garo dalīšanu. Tāpat kā dalīšanas operācijā, kur katru reizi mūs interesē tikai viens nākamais dalāmā skaitļa cipars, aprēķinot kvadrātsakni, mēs strādājam ar ciparu pāri pēc kārtas (lai iegūtu nākamo vienu ciparu kvadrātsaknes vērtībā) .

   1. Apsveriet skaitļa S pirmo ciparu pāri Sa (mūsu piemērā Sa = 7) un atrodiet tā kvadrātsakni.Šajā gadījumā meklētās kvadrātsaknes vērtības pirmais cipars A būs tāds cipars, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar S a (tas ir, mēs meklējam tādu A, kas apmierina nevienādību A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Pieņemsim, ka mums ir jāsadala 88962 ar 7; šeit pirmais solis būs līdzīgs: mēs ņemam vērā dalāmā skaitļa 88962 pirmo ciparu (8) un izvēlamies lielāko skaitli, kas, reizinot ar 7, iegūst vērtību, kas ir mazāka vai vienāda ar 8. Tas ir, mēs meklējam skaitlis d, kuram ir patiesa nevienādība: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Garīgi iedomājieties kvadrātu, kura laukums jums jāaprēķina. Jūs meklējat L, tas ir, kvadrāta malas garumu, kura laukums ir S. A, B, C ir skaitļi skaitļā L. Varat to rakstīt citādi: 10A + B \u003d L (diviem -ciparu skaitlis) vai 100A + 10B + C \u003d L (trīsciparu skaitlim) un tā tālāk.

      • Ļaujiet būt (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atcerieties, ka 10A+B ir skaitlis, kura B apzīmē vieniniekus un A apzīmē desmitus. Piemēram, ja A=1 un B=2, tad 10A+B ir vienāds ar skaitli 12. (10A+B)² ir visa laukuma platība, 100A² ir lielā iekšējā kvadrāta laukums, B² ir mazā iekšējā kvadrāta laukums, 10A × B ir katra no diviem taisnstūriem laukums. Pievienojot aprakstīto figūru laukumus, jūs atradīsit sākotnējā kvadrāta laukumu.

Instrukcija

Lai palielinātu skaitli līdz 1/3, ievadiet šo skaitli, pēc tam noklikšķiniet uz barošanas pogas un ievadiet aptuveno vērtību no 1/3 līdz 0,333. Šī precizitāte ir pietiekama lielākajai daļai aprēķinu. Taču aprēķinu precizitāti ir ļoti vienkārši uzlabot – vienkārši pievienojiet tik daudz tripletu, cik ietilps kalkulatora indikatorā (piemēram, 0,3333333333333333). Pēc tam nospiediet pogu "=".

Lai aprēķinātu trešo sakni, izmantojot datoru, palaidiet programmu Windows kalkulators. Trešās pakāpes saknes aprēķināšanas procedūra ir pilnīgi līdzīga iepriekš aprakstītajai. Vienīgā atšķirība ir eksponēšanas pogas dizainā. Kalkulatora virtuālajā tastatūrā tas ir apzīmēts kā "x^y".

Trešās pakāpes sakni var aprēķināt arī programmā MS Excel. Lai to izdarītu, ievadiet "=" jebkurā šūnā un atlasiet ikonu "ievietot" (fx). Parādītajā logā atlasiet funkciju "DEGREE" un noklikšķiniet uz pogas "OK". Parādītajā logā ievadiet tā skaitļa vērtību, kuram vēlaties aprēķināt trešās pakāpes sakni. Sadaļā "Grādi" ievadiet skaitli "1/3". Sastādiet numuru 1/3 tieši šādā formā - kā parastu. Pēc tam noklikšķiniet uz pogas "OK". Tabulas šūnā, kurā tā tika izveidota, parādīsies dotā skaitļa kuba sakne.

Ja trešās pakāpes sakne ir jāaprēķina pastāvīgi, tad nedaudz uzlabojiet iepriekš aprakstīto metodi. Kā numuru, no kura vēlaties iegūt sakni, norādiet nevis pašu numuru, bet gan tabulas šūnu. Pēc tam katru reizi ievadiet šajā šūnā sākotnējo skaitli - tā kuba sakne parādīsies šūnā ar formulu.

Saistītie video

Piezīme

Secinājums. Šajā rakstā tika aplūkotas dažādas metodes kuba saknes vērtību aprēķināšanai. Izrādījās, ka kuba saknes vērtības var atrast ar iterācijas metodi, var arī tuvināt kuba sakni, palielināt skaitli līdz 1/3 pakāpei, meklēt saknes vērtības trešās pakāpes, izmantojot Microsoft Office Excel, iestatot formulas šūnās.

Noderīgs padoms

Īpaši bieži tiek izmantotas otrās un trešās pakāpes saknes, un tāpēc tām ir īpaši nosaukumi. Kvadrātsakne: šajā gadījumā eksponents parasti tiek izlaists, un termins "sakne", nenorādot pakāpi, visbiežāk nozīmē kvadrātsakni. Praktiskais sakņu aprēķins Algoritms n-tās pakāpes saknes atrašanai. Kvadrātsaknes un kubsaknes parasti tiek nodrošinātas visos kalkulatoros.

Avoti:

• trešā sakne
• Kā programmā Excel ņemt kvadrātsakni uz N grādu

Saknes atrašanas operācija trešais grāds parasti sauc par "kubiskās" saknes ekstrakciju, un tas sastāv no tāda reāla skaitļa atrašanas, kuru veidojot kubā, tiks iegūta vērtība, kas vienāda ar saknes skaitli. Jebkuras aritmētiskās saknes ekstrakcijas darbība grāds n ir ekvivalents paaugstināšanas darbībai līdz jaudai 1/n. Praksē ir vairāki veidi, kā aprēķināt kuba sakni.