Šajā rakstā sniegtā informācija veido vispārēju izpratni par veseli skaitļi... Pirmkārt, tiek dota veselu skaitļu definīcija un sniegti piemēri. Tālāk tiek ņemti vērā veseli skaitļi skaitļu rindā, no kuriem kļūst skaidrs, kurus skaitļus sauc par pozitīviem un kuri ir negatīvi veseli skaitļi. Pēc tam tiek parādīts, kā daudzuma izmaiņas tiek aprakstītas, izmantojot veselus skaitļus, un tiek ņemti vērā veseli skaitļi. negatīvie skaitļi parāda izpratnē.

Lapas navigācija.

Veseli skaitļi - definīcija un piemēri

Definīcija.

Veseli skaitļi - tie ir dabiskie skaitļi, skaitlis nulle, kā arī skaitļi, kas ir pretēji dabiskajiem skaitļiem.

Veselu skaitļu definīcijā teikts, ka jebkurš no skaitļiem 1, 2, 3,…, skaitlis 0, kā arī jebkurš no skaitļiem −1, −2, −3,… ir vesels skaitlis. Tagad mēs varam viegli vadīt veselu skaitļu piemēri... Piemēram, skaitlis 38 ir vesels skaitlis, skaitlis 70 040 ir arī vesels skaitlis, nulle ir vesels skaitlis (atgādinām, ka nulle NAV dabisks skaitlis, nulle ir vesels skaitlis), skaitļi −999, −1, −8 934 832 ir arī veselu skaitļu skaitļu piemēri.

Visus veselos skaitļus ir ērti attēlot kā veselu skaitļu secību, kurai ir šāda forma: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Veselu skaitļu secību var rakstīt šādi: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Veselu skaitļu definīcija nozīmē, ka dabisko skaitļu kopa ir veselu skaitļu kopas apakškopa. Tāpēc jebkurš dabiskais skaitlis ir vesels skaitlis, bet ne jebkurš skaitlis ir dabisks skaitlis.

Veseli skaitļi koordinātu līnijā

Definīcija.

Pozitīvi veseli skaitļi Ir veseli skaitļi, kas ir lielāki par nulli.

Definīcija.

Negatīvie veseli skaitļi Vai tie ir veseli skaitļi mazāks par nulli.

Pozitīvos un negatīvos veselos skaitļus var noteikt arī pēc to pozīcijas koordinātu līnijā. Horizontālajā koordinātu līnijā punkti, kuru koordinātas ir pozitīvi veseli skaitļi, atrodas pa labi no sākuma. Savukārt punkti ar negatīvām vesela skaitļa koordinātām atrodas pa kreisi no punkta O.

Ir skaidrs, ka visu pozitīvo veselu skaitļu kopa ir dabisko skaitļu kopa. Savukārt visu negatīvo veselu skaitļu kopa ir visu skaitļu kopa, kas ir pretstatā dabiskajiem skaitļiem.

Atsevišķi mēs vēlamies pievērst jūsu uzmanību tam, ka jebkuru dabisko skaitli mēs varam droši saukt par veselu skaitli, un mēs nevienu veselu skaitli NEVAJAGAM par dabisku. Mēs varam saukt par dabisku tikai jebkuru pozitīvu veselu skaitli, jo negatīvie veseli skaitļi un nulle nav dabiski.

Nav pozitīvi un negatīvi veseli skaitļi

Sniegsim nedositīvu veselu skaitļu un negatīvu veselu skaitļu definīcijas.

Definīcija.

Tiek saukti visi pozitīvie veseli skaitļi kopā ar skaitli nulle nenegatīvi veseli skaitļi.

Definīcija.

Nav pozitīvi veseli skaitļi - tie visi ir negatīvi veseli skaitļi kopā ar skaitli 0.

Citiem vārdiem sakot, nenegatīvs vesels skaitlis ir vesels skaitlis, kas ir lielāks vai vienāds ar nulli, un pozitīvs skaitlis ir vesels skaitlis, kas ir mazāks par nulli vai vienāds ar nulli.

Nenozīmīgu veselu skaitļu piemēri ir skaitļi −511, −10 030, 0, −2, un kā negatīvu veselu skaitļu piemērus mēs norādām skaitļus 45, 506, 0, 900 321.

Visbiežāk īsuma dēļ tiek lietoti termini "veseli skaitļi, kas nav pozitīvi" un "Nenegatīvi veseli skaitļi". Piemēram, frāzes “skaitlis a ir vesels skaitlis un a ir lielāks vai vienāds ar nulli” vietā jūs varat teikt “a nav vesels skaitlis, kas nav negatīvs”.

Aprakstot mainīgās vērtības, izmantojot veselus skaitļus

Ir pienācis laiks runāt par to, kam domāti veseli skaitļi.

Veselu skaitļu galvenais mērķis ir tas, ka tos ir ērti izmantot, lai aprakstītu objektu skaita izmaiņas. Izdomāsim to ar piemēriem.

Pieņemsim, ka noliktavā ir dažas daļas. Ja, piemēram, noliktavā tiek nogādātas vēl 400 detaļas, tad noliktavā palielināsies detaļu skaits, un skaitlis 400 izsaka šīs daudzuma izmaiņas pozitīvā puse (uz augšu). Ja, piemēram, no noliktavas tiek paņemtas 100 detaļas, tad daļu skaits noliktavā samazināsies, un skaitlis 100 izteiks daudzuma izmaiņas negatīvajā virzienā (uz leju). Daļas netiks nogādātas noliktavā, un detaļas no noliktavas netiks aizvestas, tad mēs varam runāt par detaļu skaita nemainību (tas ir, mēs varam runāt par nulles daudzuma izmaiņām).

Dotajos piemēros daļu skaita izmaiņas var aprakstīt, izmantojot attiecīgi veselos skaitļus 400, -100 un 0. Pozitīvs vesels skaitlis 400 norāda uz pozitīvām daudzuma izmaiņām (pieaugumu). Negatīvs vesels skaitlis -100 izsaka negatīvas daudzuma izmaiņas (samazinājumu). Vesels skaitlis 0 norāda, ka daudzums nav mainījies.

Veselu skaitļu izmantošanas ērtība salīdzinājumā ar dabiskajiem skaitļiem ir tāda, ka jums nav skaidri jānorāda, vai skaitlis palielinās vai samazinās - vesels skaitlis izsaka izmaiņas, un vesela skaitļa zīme norāda izmaiņu virzienu.

Veseli skaitļi var arī izteikt ne tikai daudzuma izmaiņas, bet arī daudzuma izmaiņas. Risināsim to, izmantojot temperatūras izmaiņu piemēru.

Temperatūras paaugstināšanos, teiksim, par 4 grādiem izsaka kā pozitīvu veselu skaitli 4. Temperatūras pazemināšanos, piemēram, par 12 grādiem, var raksturot ar negatīvu veselu skaitli -12. Temperatūras noturība ir tās izmaiņas, ko nosaka vesels skaitlis 0.

Atsevišķi jāsaka par negatīvu veselu skaitļu interpretāciju kā parāda summu. Piemēram, ja mums ir 3 āboli, tad pozitīvais skaitlis 3 norāda mums piederošo ābolu skaitu. No otras puses, ja mums kādam ir jādod 5 āboli un mums tie nav pieejami, tad šo situāciju var aprakstīt, izmantojot negatīvu veselu skaitli −5. Šajā gadījumā mums “ir” −5 āboli, mīnus zīme norāda parādu, bet skaitlis 5 parāda kvantitāti.

Negatīva vesela skaitļa izpratne par parādu ļauj, piemēram, pamatot noteikumu par negatīvu veselu skaitļu pievienošanu. Sniegsim piemēru. Ja kāds ir parādā 2 ābolus vienai personai un vienu ābolu otram, tad kopējais parāds ir 2 + 1 \u003d 3 āboli, tātad −2 + (- 1) \u003d - 3.

Atsauces saraksts.

• Viļenkins N. Ja. un cita matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm.

Pieņemsim, ka Ahilejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas nepieciešams Ahilejam, lai veiktu šo distanci, bruņurupucis rāpo simts pakāpienus tajā pašā virzienā. Kad Ahilejs noskrien simts soļus, bruņurupucis pārmeklē vēl desmit pakāpienus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahilejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šis pamatojums bija loģisks šoks visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgels, Hilberts ... Visi viņi vienā vai otrā veidā uzskatīja par Zenona aporijām. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... pašreiz diskusijas turpinās, zinātnieku aprindām vēl nav izdevies nonākt pie kopēja viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētei tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fiziskās un filozofiskās pieejas. ; neviens no viņiem nav kļuvis par vispārpieņemtu jautājuma risinājumu ..."[Vikipēdija, Zenona Aporija"]. Visi saprot, ka viņus apmāna, bet neviens nesaprot, kas ir maldi.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri parādīja pāreju no lieluma uz. Šī pāreja nozīmē piemērošanu, nevis konstantes. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgu mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zeno aporijai. Piemērojot mūsu parasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs, domājot par inerci, abpusējam pieliekam konstantas laika mērvienības. No fiziskā viedokļa tas izskatās kā laika paplašināšanās, līdz tā pilnībā apstājas brīdī, kad Ahilejs atrodas vienā līmenī ar bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahilejs vairs nevar apsteigt bruņurupuci.

Ja apgriežam pierasto loģiku, viss nostājas savās vietās. Ahilejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa segments ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi laiks, kas pavadīts tā pārvarēšanai, ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējais. Ja mēs šajā situācijā izmantojam jēdzienu "bezgalība", tad būtu pareizi teikt: "Ahileja bezgalīgi ātri panāks bruņurupuci".

Kā jūs varat izvairīties no šiem loģiskajiem slazdiem? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nedodieties atpakaļ. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kurā Ahilejs veiks tūkstoš soļus, bruņurupucis rāpos simts pakāpienus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahilejs veiks vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis pārmeklēs simts soļus. Tagad Ahilejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina paziņojums par gaismas ātruma nepārvaramību ir ļoti līdzīgs Zeno aporijai "Ahilejs un bruņurupucis". Mums vēl ir jāizpēta, jāpārdomā un jāatrisina šī problēma. Un risinājums jāmeklē nevis bezgalīgi lielā skaitā, bet gan mērvienībās.

Vēl viena interesanta aporija Zeno stāsta par lidojošo bultiņu:

Lidojošā bulta ir nekustīga, jo ik brīdi tā ir miera stāvoklī un, tā kā tā ir miera stāvoklī katrā brīdī, tā vienmēr ir miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek ar skaidrību, ka katrā laika brīdī lidojošā bulta atpūšas dažādos kosmosa punktos, kas patiesībā ir kustība. Šeit jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās pārvietošanās faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu automašīnas kustības faktu, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laikos, bet attālumu no tiem nevar noteikt. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, jums ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienlaikus uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, taču no tām nav iespējams noteikt pārvietošanās faktu (protams, aprēķiniem joprojām ir nepieciešami papildu dati, trigonometrija palīdzēs jūs). Ko es gribu pagriezt Īpaša uzmanība, tāpēc ir tā, ka divi laika punkti un divi telpas punkti ir dažādas lietas, kuras nevajadzētu jaukt, jo tās sniedz dažādas iespējas pētījumiem.

trešdien, 2018. gada 4. jūlijā

Atšķirība starp kopu un multiset ir ļoti labi aprakstīta Wikipedia. Mēs skatāmies.

Kā redzat, "komplektā nedrīkst būt divi identiski elementi", bet, ja komplektā ir identiski elementi, šādu kopu sauc par "multiset". Šādu absurda loģiku saprātīgas būtnes nekad nesapratīs. Tādā līmenī runā papagaiļi un apmācīti pērtiķi, kuriem trūkst inteliģences no vārda "pilnīgi". Matemātiķi darbojas kā parastie treneri, sludinot mums savas absurdās idejas.

Reiz tilta testu laikā tilta būvētāji inženieri atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, nespējīgais inženieris nomira zem sava radījuma drupām. Ja tilts izturētu slodzi, talantīgs inženieris būvētu citus tiltus.

Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "čur, es esmu mājā" vai drīzāk "matemātika studē abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas nesaraujami savieno tos ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Pielietosim matemātisko kopu teoriju pašiem matemātiķiem.

Mēs ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, izsniedzam algas. Matemātiķis nāk pie mums par savu naudu. Mēs viņam saskaitām visu summu un izklājam uz mūsu galda dažādās kaudzēs, kurās mēs ievietojam vienas nominālvērtības rēķinus. Tad mēs paņemam vienu rēķinu no katras kaudzes un pasniedzam matemātiķim viņa “matemātisko algu komplektu”. Mēs izskaidrojam matemātiku, ka pārējos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad viņš pierāda, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.

Pirmkārt, darbosies deputātu loģika: "Jūs to varat piemērot citiem, jūs nevarat pieteikties uz mani!" Turklāt mēs sāksim mums apliecināt, ka uz vienas nominālvērtības rēķiniem ir atšķirīgi banknošu numuri, kas nozīmē, ka tos nevar uzskatīt par vieniem un tiem pašiem elementiem. Labi, skaitīsim algu monētās - uz monētām nav ciparu. Šeit matemātiķis sāks izmisīgi atcerēties fiziku: uz dažādām monētām ir atšķirīga summa katras monētas netīrumi, kristāla struktūra un atomu izvietojums ir unikāls ...

Un tagad man ir visvairāk interese Jautājiet: kur ir līnija, aiz kuras multiset elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Šādas līnijas nav - visu izšķir šamaņi, zinātne te nemaz netālu gulēja.

Apskatīt šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar tādu pašu laukumu. Lauku laukums ir vienāds, tas nozīmē, ka mums ir daudzskaitlis. Bet, ja ņemam vērā to pašu stadionu nosaukumus, mēs iegūstam daudz, jo nosaukumi ir atšķirīgi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa vienlaikus ir gan kopa, gan multiset. Kā tas ir pareizi? Un šeit matemātiķis-šamanis-šāvējs izvelk no piedurknes trumpja dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par kopumu, vai par multiset. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.

Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi darbojas ar kopu teoriju, sasaistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: ar ko viena kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez jebkādiem "domājamiem kā par vienu veselumu" vai "nedomājamam kopumā".

svētdiena, 2018. gada 18. marts

Skaitļa ciparu summa ir šamaņu deja ar tamburīnu, kam nav nekāda sakara ar matemātiku. Jā, matemātikas stundās mums māca atrast skaitļa ciparu summu un to izmantot, taču tāpēc viņi ir šamaņi, lai iemācītu saviem pēcnācējiem viņu prasmes un gudrību, pretējā gadījumā šamaņi vienkārši izmirs.

Nepieciešams pierādījums? Atveriet Wikipedia un mēģiniet atrast lapas ciparu summu. Tā neeksistē. Matemātikā nav formulas, pēc kuras jūs varētu atrast jebkura skaitļa ciparu summu. Galu galā skaitļi ir grafiskie simboli, ar kuras palīdzību mēs pierakstām skaitļus un matemātikas valodā uzdevums izklausās šādi: "Atrodiet grafisko simbolu summu, kas apzīmē jebkuru skaitli". Matemātiķi nevar atrisināt šo problēmu, bet šamaņi - tas ir elementāri.

Apskatīsim, ko un kā mēs darām, lai atrastu dotā skaitļa ciparu summu. Tāpēc mums būs numurs 12345. Kas jādara, lai atrastu šī skaitļa ciparu summu? Pārejam secīgi visas darbības.

1. Mēs pierakstām numuru uz papīra. Ko mēs esam izdarījuši? Mēs esam pārveidojuši skaitli par grafisko skaitļa simbolu. Šī nav matemātiska darbība.

2. Mēs sagriežam vienu iegūto attēlu vairākos attēlos ar atsevišķiem numuriem. Attēla izgriešana nav matemātiska darbība.

3. Konvertējiet atsevišķus grafiskos simbolus uz skaitļiem. Šī nav matemātiska darbība.

4. Saskaitiet iegūtos skaitļus. Tagad tā ir matemātika.

12345 ciparu summa ir 15. Tie ir matemātiķu izmantotie šamaņu "griešanas un šūšanas kursi". Bet tas vēl nav viss.

No matemātikas viedokļa nav nozīmes, kurā skaitļu sistēmā mēs rakstām skaitli. Tātad, iekšā dažādas sistēmas rēķinot viena un tā paša skaitļa ciparu summu, tā būs atšķirīga. Matemātikā skaitļu sistēma ir norādīta kā apakšindekss pa labi no skaitļa. Ar lielu skaitu 12345 es negribu mānīt galvu, apsveriet skaitli 26 no raksta par. Uzrakstīsim šo skaitli binārā, oktālā, decimālā un heksadecimālā skaitļu sistēmā. Mēs neskatīsimies uz katru soli mikroskopā, mēs to jau esam izdarījuši. Apskatīsim rezultātu.

Kā redzat, dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa ir atšķirīga. Šim rezultātam nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir tas pats, kas, ja jūs iegūtu pilnīgi atšķirīgus rezultātus, nosakot taisnstūra laukumu metros un centimetros.

Nulle visās skaitļu sistēmās izskatās vienāda, un tai nav ciparu summas. Tas ir vēl viens arguments tam, ka. Jautājums matemātiķiem: kā matemātikā tiek noteikts kaut kas tāds, kas nav skaitlis? Kas, matemātiķiem, pastāv tikai cipari? Šamaņiem es to varu atļaut, bet zinātniekiem - nē. Realitāte nebūt nav saistīta ar skaitļiem.

Rezultāts jāuzskata par pierādījumu tam, ka skaitļu sistēmas ir skaitļu mērvienības. Galu galā mēs nevaram salīdzināt skaitļus ar dažādām mērvienībām. Ja noved pie vienas un tās pašas darbības ar dažādām viena un tā paša lieluma mērvienībām dažādi rezultāti pēc to salīdzināšanas tas nozīmē, ka tam nav nekāda sakara ar matemātiku.

Kas ir īstā matemātika? Tas ir tad, kad rezultāts matemātiskā darbība nav atkarīgs no skaitļa vērtības, izmantotās mērvienības un no tā, kurš veic šo darbību.