Eksponents tiek izmantots, lai būtu vieglāk uzrakstīt skaitļa reizināšanas operāciju. Piemēram, rakstīšanas vietā jūs varat rakstīt 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) (skaidrojums par šo pāreju ir sniegts šī raksta pirmajā sadaļā). Grādi atvieglo garu vai sarežģītu izteicienu vai vienādojumu rakstīšanu; arī spējas ir viegli saskaitāmas un atņemtas, kā rezultātā tiek vienkāršota izteiksme vai vienādojums (piemēram, 4 2 ∗ 4 3 \u003d 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

Piezīme: ja jums jāatrisina eksponenciāls vienādojums (šādā vienādojumā nezināms ir eksponentā), izlasiet.

Soļi

Vienkāršāko grādu problēmu risināšana

Reiziniet eksponenta bāzi ar sevi tik reižu, cik eksponents. Ja jums grādu problēma jāatrisina manuāli, pārrakstiet grādu kā reizināšanas operāciju, kur grāda bāze tiek reizināta ar sevi. Piemēram, ņemot vērā grādu 3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4))... Šajā gadījumā 3 jaudas bāze ir jāreizina ar sevi 4 reizes: 3, 3, 3, 3 (\\ displaystyle 3 * 3 * 3 * 3)... Šeit ir citi piemēri:

Vispirms reiziniet pirmos divus skaitļus. Piemēram, 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) = 4, 4, 4, 4, 4 (\\ displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4)... Neuztraucieties - aprēķinu process nav tik sarežģīts, kā šķiet no pirmā acu uzmetiena. Vispirms pavairojiet pirmos divus četriniekus un pēc tam aizstājiet tos ar savu rezultātu. Kā šis:

• 4 5 \u003d 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 ∗ 4 \u003d 16 (\\ displaystyle 4 * 4 \u003d 16)

1. Reiziniet savu rezultātu (mūsu piemērā - 16) ar šādu skaitli. Katrs nākamais rezultāts proporcionāli palielināsies. Mūsu piemērā reiziniet 16 ar 4. Šādi:

   • 4 5 \u003d 16 ∗ 4 ∗ 4 display 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 ∗ 4 \u003d 64 (\\ displaystyle 16 * 4 \u003d 64)
   • 4 5 \u003d 64 ∗ 4 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     • 64 ∗ 4 \u003d 256 (\\ displaystyle 64 * 4 \u003d 256)
   • 4 5 \u003d 256 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     • 256 ∗ 4 \u003d 1024 (\\ displaystyle 256 * 4 \u003d 1024)
   • Turpiniet pirmos divus skaitļus reizināt ar nākamo skaitli, līdz saņemat savu galīgo atbildi. Lai to izdarītu, reiziniet pirmos divus skaitļus un pēc tam rezultātu reiziniet ar nākamo kārtas numuru. Šī metode ir derīga jebkuram grādam. Mūsu piemērā jums vajadzētu iegūt: 4 5 \u003d 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 \u003d 1024 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2. Atrisiniet šādus uzdevumus. Pārbaudiet atbildi ar kalkulatoru.

   • 8 2 (\\ displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (\\ displaystyle 10 ^ (7))

3. Kalkulatorā atrodiet atslēgu ar nosaukumu “exp” vai “ x n (\\ displaystyle x ^ (n))"Vai" ^ ". Izmantojot šo taustiņu, jūs paaugstināsiet skaitli. Gandrīz nav iespējams manuāli aprēķināt pakāpi ar lielu eksponentu (piemēram, pakāpi 9 15 (\\ displaystyle 9 ^ (15))), taču kalkulators var viegli tikt galā ar šo uzdevumu. Operētājsistēmā Windows 7 standarta kalkulatoru var pārslēgt inženierijas režīmā; lai to izdarītu, noklikšķiniet uz "Skatīt" -\u003e "Inženierzinātnes". Lai pārslēgtos uz parasto režīmu, noklikšķiniet uz "Skatīt" -\u003e "Normāls".

   • Pārbaudiet saņemto atbildi, izmantojot meklētājprogrammu (Google vai Yandex)... Izmantojot datora tastatūras taustiņu "^", ievadiet izteicienu meklētājprogrammā, kas uzreiz parādīs pareizo atbildi (un, iespējams, ieteiks izpētīt līdzīgus izteicienus).

   Saskaitīšana, atņemšana, spēku reizināšana

   1. Grādus var saskaitīt un atņemt tikai tad, ja tiem ir vienādas bāzes. Ja jums jāpievieno jaudas ar vienādām bāzēm un eksponentiem, saskaitīšanas darbību varat aizstāt ar reizināšanas darbību. Piemēram, ņemot vērā izteicienu 4 5 + 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5))... Atcerieties, ka pakāpe 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) var attēlot kā 1 ∗ 4 5 (\\ displaystyle 1 * 4 ^ (5)); tādējādi 4 5 + 4 5 \u003d 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 \u003d 2 ∗ 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (kur 1 +1 \u003d 2). Tas ir, saskaitiet šādu grādu skaitu un pēc tam reiziniet šo grādu un šo skaitli. Mūsu piemērā paaugstiniet 4 līdz piektajai pakāpei un pēc tam rezultātu reiziniet ar 2. Atcerieties, ka saskaitīšanas darbību var aizstāt ar reizināšanas operāciju, piemēram, 3 + 3 \u003d 2, 3 (\\ displaystyle 3 + 3 \u003d 2 * 3)... Šeit ir citi piemēri:

      • 3 2 + 3 2 \u003d 2 ∗ 3 2 (\\ displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 ∗ 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (\\ displaystyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (\\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2. Reizinot grādus ar to pašu bāzi, tiek pievienoti to rādītāji (bāze nemainās). Piemēram, ņemot vērā izteicienu x 2 ∗ x 5 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5))... Šajā gadījumā jums vienkārši jāpieskaita rādītāji, atstājot pamatu nemainīgu. Tādējādi x 2 ∗ x 5 \u003d x 7 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7))... Šeit ir šī noteikuma vizuāls skaidrojums:

      Paaugstinot jaudu līdz jaudai, rādītāji tiek reizināti. Piemēram, tiek piešķirts grāds. Tā kā eksponenti tiek reizināti, tad (x 2) 5 \u003d x 2 ∗ 5 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10))... Šī noteikuma nozīme ir tāda, ka jūs reizināt pakāpi (x 2) (\\ displaystyle (x ^ (2))) pati piecas reizes. Kā šis:

      • (x 2) 5 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 \u003d x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Tā kā bāze ir vienāda, eksponenti tiek vienkārši pievienoti: (x 2) 5 \u003d x 2, x 2, x 2, x 2, x 2 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3. Eksponents ar negatīvu eksponentu jāpārvērš par daļu (apgrieztu). Nav svarīgi, vai nezināt, kas ir apgrieztais grāds. Piemēram, ja jums tiek piešķirts grāds ar negatīvu eksponentu, 3 - 2 (\\ displaystyle 3 ^ (- 2)), pierakstiet šo jaudu frakcijas saucējā (ielieciet skaitītājā 1) un padariet eksponentu pozitīvu. Mūsu piemērā: 1 3 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (3 ^ (2))))... Šeit ir citi piemēri:

      Dalot grādus ar to pašu bāzi, to rādītāji tiek atņemti (bāze nemainās). Dalīšana ir pretēja reizināšanai. Piemēram, ņemot vērā izteicienu 4 4 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))))... Atņemiet eksponentu saucējā no eksponenta skaitītājā (nemainiet bāzi). Tādējādi 4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • Vērtību saucējā var rakstīt šādi: 1 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\\ displaystyle 4 ^ (- 2))... Atcerieties, ka daļa ir skaitlis (eksponents, izteiksme) ar negatīvu eksponentu.

   4. Tālāk ir sniegti daži izteicieni, kas palīdzēs iemācīties atrisināt enerģijas problēmas. Sniegtie izteicieni attiecas uz šīs sadaļas materiāliem. Lai redzētu atbildi, vienkārši iezīmējiet tukšo vietu aiz vienādības zīmes.

   Frakciju eksponentu problēmu risināšana

   Eksponents ar daļēju eksponentu (piemēram,) tiek pārveidots par saknes operāciju. Mūsu piemērā: x 1 2 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (2))) = x (\\ displaystyle (\\ sqrt (x)))... Nav svarīgi, kāds skaitlis ir frakcionālā eksponenta saucējā. Piemēram, x 1 4 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (4))) ir "x" ceturtā sakne, tas ir x 4 (\\ displaystyle (\\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. Ja eksponents ir nepareiza frakcija, tad šo eksponentu var paplašināt divās daļās, lai vienkāršotu problēmas risinājumu. Tas nav grūti - vienkārši atcerieties likumu par grādu reizināšanu. Piemēram, tiek piešķirts grāds. Pārvērtiet šādu jaudu par sakni, kuras jauda būs vienāda ar daļējā rādītāja saucēju, un pēc tam paaugstiniet šo sakni līdz jaudai, kas vienāda ar daļēja rādītāja skaitītāju. Lai to izdarītu, atcerieties to 5 3 (\\ displaystyle (\\ frac (5) (3))) = (1 3) ∗ 5 (\\ displaystyle ((\\ frac (1) (3))) * 5)... Mūsu piemērā:

      • x 5 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)))
      • x 1 3 \u003d x 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (3)) \u003d (\\ sqrt [(3)] (x)))
      • x 5 3 \u003d x 5 ∗ x 1 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (\\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\\ displaystyle ((\\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
   2. Dažiem kalkulatoriem ir poga grādu aprēķināšanai (vispirms jums jāievada bāze, pēc tam nospiediet pogu un pēc tam ievadiet eksponentu). To apzīmē kā ^ vai x ^ y.
   3. Atcerieties, ka jebkurš skaitlis pirmajā jaudā ir vienāds ar sevi, piemēram, 4 1 \u003d 4. (\\ displaystyle 4 ^ (1) \u003d 4.) Turklāt jebkurš skaitlis, kas reizināts vai dalīts ar vienu, ir vienāds ar sevi, piemēram, 5 ∗ 1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5 * 1 \u003d 5) un 5/1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5/1 \u003d 5).
   4. Jāapzinās, ka pakāpe 0 0 nepastāv (šai pakāpei nav risinājuma). Ja jūs mēģināt atrisināt šādu grādu kalkulatorā vai datorā, jūs saņemsit kļūdu. Bet atcerieties, ka jebkurš skaitlis līdz nullei ir 1, piemēram, 4 0 \u003d 1. (\\ displaystyle 4 ^ (0) \u003d 1.)
   5. Augstākajā matemātikā, kas darbojas ar iedomātiem skaitļiem: e a i x \u003d c o s a x + i s i n a x (\\ displaystyle e ^ (a) ix \u003d cosax + isinax)kur i \u003d (- 1) (\\ displaystyle i \u003d (\\ sqrt (()) - 1)); e ir konstante, kas aptuveni vienāda ar 2,7; a ir patvaļīga konstante. Šīs vienlīdzības pierādījumu var atrast jebkurā augstākās matemātikas mācību grāmatā.

   Brīdinājumi

   • Palielinoties eksponentam, tā vērtība strauji palielinās. Tātad, ja atbilde jums šķiet nepareiza, tā patiesībā varētu būt pareiza. To var pārbaudīt, uzzīmējot jebkuru eksponenciālā funkcijapiem., 2 x.

Negatīvā eksponācija ir viens no matemātikas pamatelementiem, ar kuru bieži sastopas, risinot algebras problēmas. Zemāk ir detalizēta instrukcija.

Kā paaugstināt līdz negatīvam spēkam - teorija

Kad mēs esam skaitlis līdz parastajai jaudai, mēs reizinām tā vērtību vairākas reizes. Piemēram, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Ar negatīvu daļu ir tieši otrādi. Vispārējā forma formulai būs šāda forma: a -n \u003d 1 / a n. Tādējādi, lai palielinātu skaitli līdz negatīvai jaudai, jums ir jāsadala vienība ar norādīto skaitli, bet līdz pozitīvai.

Kā paaugstināt līdz negatīvam spēkam - piemēri par parastajiem skaitļiem

Paturot prātā iepriekš minēto noteikumu, atrisināsim dažus piemērus.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atbilde: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atbilde ir -4 -2 \u003d 1/16.

Bet kāpēc atbilde pirmajā un otrajā piemērā ir vienāda? Fakts ir tāds, ka būvniecības laikā negatīvs skaitlis līdz vienmērīgai jaudai (2, 4, 6 utt.) Zīme kļūst pozitīva. Ja grāds bija pat, tad mīnus palika:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kā paaugstināt līdz negatīvai pakāpei - skaitļi no 0 līdz 1

Atgādinām, ka, paaugstinot skaitli diapazonā no 0 līdz 1 līdz pozitīvai jaudai, vērtība samazinās, palielinoties jaudai. Piemēram, 0,5 2 \u003d 0,25. 0,25

3. piemērs: aprēķiniet 0,5 -2
Risinājums: 0,5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
Atbilde: 0,5 -2 \u003d 4

Analīze (darbību secība):

• Mēs tulkojam aiz komata 0,5 līdz daļai 1/2. Šādā veidā ir vieglāk.
  Paceliet 1/2 līdz negatīvai pakāpei. 1 / (2) -2. Sadaliet 1 ar 1 / (2) 2, iegūstam 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

4. piemērs: aprēķiniet 0,5-3
Risinājums: 0,5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

5. piemērs: Aprēķiniet -0,5 -3
Risinājums: -0,5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
Atbilde: -0,5 -3 \u003d -8

Pamatojoties uz 4. un 5. piemēru, mēs izdarīsim vairākus secinājumus:

• Priekš pozitīvs skaitlis diapazonā no 0 līdz 1 (4. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvai jaudai, pāra vai nepāra jauda nav svarīga, izteiksmes vērtība būs pozitīva. Turklāt jo lielāka pakāpe, jo lielāka vērtība.
• Negatīvam skaitlim diapazonā no 0 līdz 1 (5. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvai jaudai, jaudas vienmērīgumam vai dīvainībai nav nozīmes, izteiksmes vērtība būs negatīva. Turklāt, jo augstāka pakāpe, jo zemāka vērtība.

Kā paaugstināt līdz negatīvai jaudai - jauda kā daļskaitlis

Šāda veida izteiksmēm ir šāda forma: a -m / n, kur a ir parasts skaitlis, m ir grāda skaitītājs, n ir grāda saucējs.

Apskatīsim piemēru:
Aprēķiniet: 8 -1/3

Risinājums (darbību secība):

• Atcerieties noteikumu par skaitļa paaugstināšanu līdz negatīvai pakāpei. Mēs iegūstam: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Ievērojiet, ka saucējs ir 8 kā dalījuma spēks. Daļējās jaudas aprēķināšanas vispārējais skats ir šāds: a m / n \u003d n √8 m.
• Tādējādi 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). Mēs saņemam kubiskā sakne no astoņiem, kas ir 2. Pamatojoties uz to, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Atbilde: 8 -1/3 \u003d 2

Kopš skolas laika mēs visi zinām likumu par paaugstināšanu līdz jaudai: jebkurš skaitlis ar eksponentu N ir vienāds ar rezultātu, reizinot šo skaitli ar sevi N-to reižu skaitu. Citiem vārdiem sakot, 7 līdz 3 pakāpei ir 7 reizināts ar sevi trīs reizes, tas ir, 343. Cits noteikums ir tāds, ka jebkuras vērtības paaugstināšana līdz 0 jaudai dod vienu, un negatīvās vērtības palielināšana ir parastās eksponācijas rezultāts, ja tas ir pāra, un tas pats rezultāts ar mīnusa zīmi, ja tas ir nepāra.

Noteikumi arī sniedz atbildi par to, kā skaitli paaugstināt līdz negatīvam. Lai to izdarītu, vajadzīgā vērtība jāveido parastajā veidā ar indikatora moduli, un pēc tam daliet vienību ar rezultātu.

No šiem noteikumiem kļūst skaidrs, ka būs nepieciešami reāli uzdevumi, darbojoties lielos daudzumos tehniskie līdzekļi... Manuāli izrādīsies, ka tas pats reizina maksimālo skaitļu diapazonu līdz divdesmit trīsdesmit un pēc tam ne vairāk kā trīs vai četras reizes. Tas nemaz nerunājot par faktu, ka vēlāk dalīt vienību ar rezultātu. Tāpēc tiem, kuriem pie rokas nav īpaša inženierkalkulatora, mēs jums pateiksim, kā Excel programmā skaitli palielināt līdz negatīvai jaudai.

Problēmu risināšana programmā Excel

Programma Excel ļauj izmantot vienu no divām iespējām, lai atrisinātu problēmas, paaugstinot spēkus.

Pirmais ir izmantot formulu ar standarta vāciņa zīmi. Darblapas šūnās ievadiet šādus datus:

Tādā pašā veidā jūs varat paaugstināt nepieciešamo vērtību līdz jebkurai jaudai - negatīvai, daļējai. Izpildīsim šādas darbības un atbildiet uz jautājumu, kā skaitli paaugstināt līdz negatīvam. Piemērs:

Jūs varat izlabot \u003d B2 ^ -C2 tieši formulā.

Otra iespēja ir izmantot gatavo funkciju "Grāds", kurai nepieciešami divi nepieciešamie argumenti - skaitlis un indikators. Lai sāktu to lietot, vienkārši ievietojiet vienādības zīmi (\u003d) jebkurā brīvajā šūnā, norādot formulas sākumu, un ievadiet iepriekš minētos vārdus. Atliek izvēlēties divas šūnas, kas piedalīsies operācijā (vai manuāli norādīt konkrētus numurus), un nospiediet taustiņu Enter. Apskatīsim dažus vienkāršus piemērus.

Kā redzat, nav nekas grūts, kā palielināt skaitli līdz negatīvajai un parastajai, izmantojot programmu Excel. Patiešām, lai atrisinātu šo problēmu, varat izmantot gan pazīstamo simbolu “vāciņš”, gan programmas iebūvēto funkciju, kuru ir viegli atcerēties. Tas ir noteikts plus!

Pārejam pie sarežģītākiem piemēriem. Atgādināsim likumu par to, kā palielināt skaitli līdz negatīvai daļai, un mēs redzēsim, ka šo uzdevumu programmā Excel ir ļoti viegli atrisināt.

Daļēji rādītāji

Īsāk sakot, skaitļa aprēķināšanas algoritms ar daļēju eksponentu ir šāds.

1. Pārvērst daļēju eksponentu par pareizu vai nepareizu daļu.
2. Paaugstiniet mūsu skaitli līdz iegūtās pārveidotās daļas skaitītājam.
3. Aprēķiniet sakni no iepriekšējā rindkopā iegūtā skaitļa ar nosacījumu, ka pirmajā posmā iegūtās frakcijas saucējs būs saknes rādītājs.

Piekrītu, ka pat strādājot ar nelielu skaitu un pareizās frakcijas šādi aprēķini var aizņemt ilgu laiku. Ir labi, ka Excel izklājlapu procesoram ir vienalga, kādu skaitli un kādā pakāpē paaugstināt. Mēģiniet atrisināt šo Excel darblapas piemēru:

Izmantojot iepriekš minētos noteikumus, varat pārbaudīt, vai aprēķins ir pareizs.

Mūsu raksta beigās mēs tabulas veidā ar formulām un rezultātiem sniegsim vairākus piemērus, kā skaitli paaugstināt līdz negatīvai pakāpei, kā arī vairākus piemērus, darbojoties ar daļskaitļiem un jaudām.

Tabulas piemērs

Pārbaudiet šos piemērus savā Excel darbgrāmatas darblapā. Lai viss darbotos pareizi, kopējot formulu, jāizmanto jaukta saite. Fiksējiet kolonnas numuru, kurā ir pacelamais skaitlis, un tās rindas numuru, kurā ir mērs. Jūsu formulai vajadzētu izskatīties apmēram šādi: "\u003d $ B4 ^ C $ 3".

Lūdzu, ņemiet vērā, ka pozitīvos skaitļus (pat ne veselos skaitļus) jebkuriem rādītājiem aprēķina bez problēmām. Nevienu skaitļu paaugstināšanai līdz veseliem rādītājiem nav problēmu. Bet negatīvā skaitļa palielināšana līdz daļskaitlim jums izrādīsies kļūda, jo nav iespējams ievērot mūsu raksta sākumā norādīto noteikumu par negatīvo skaitļu konstruēšanu, jo paritāte ir raksturīga tikai INTEGRAL numuru.

Skaits paaugstināts līdz jaudai sauc par skaitli, kas pats tiek reizināts vairākas reizes.

Skaitļa ar negatīvu vērtību jauda (a - n) var definēt līdzīgi tam, kā tiek noteikts tā paša skaitļa pakāpe ar pozitīvu eksponentu (a n) ... Tomēr tas prasa arī papildu definīciju. Formula ir definēta kā:

a - n \u003d (1 / a n)

Skaitļu negatīvo spēku īpašības ir līdzīgas jaudām ar pozitīvu eksponentu. Prezentēts vienādojums a m / a n \u003d a m-n var būt taisnīgs kā

« Nekur, kā matemātikā, secinājuma skaidrība un precizitāte neļauj cilvēkam izvairīties no atbildes, runājot ap jautājumu.».

A. D. Aleksandrovs

plkst n vairāk m un plkst m vairāk n ... Ņemsim piemēru: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Vispirms jums jānosaka skaitlis, kas ir grāda definīcija. b \u003d a (-n) ... Šajā piemērā -n ir eksponents, b - nepieciešamā skaitliskā vērtība, a - grāda bāze dabiskā formā skaitliskā vērtība... Tad nosakiet moduli, tas ir, negatīvā skaitļa absolūto vērtību, kas darbojas kā eksponents. Aprēķiniet noteiktā skaitļa relatīvā pakāpi absolūtais skaitliskā rādītāju. Grāda vērtība tiek atrasta, dalot vienu ar iegūto skaitli.

Attēls: viens

Apsveriet skaitļa jaudu ar negatīvu frakcionālo eksponentu. Iedomājieties, ka skaitlis a ir jebkurš pozitīvs skaitlis, skaitļi n un m - veseli skaitļi. Pēc definīcijas a paaugstināts līdz varai - ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar to pašu skaitli ar pozitīvo jaudu (1. attēls). Kad skaitļa jauda ir daļa, tad šādos gadījumos tiek izmantoti tikai skaitļi ar pozitīviem eksponentiem.

Vērts atcerētieska nulle nekad nevar būt skaitļa eksponents (dalīšana ar nulles likumu).

Šāda jēdziena kā skaitlis izplatība ir kļuvusi par tādām manipulācijām kā mērījumu aprēķināšana, kā arī matemātikas kā zinātnes attīstība. Negatīvo vērtību ieviešana bija saistīta ar algebras izstrādi, kas deva kopīgi risinājumi aritmētiskās problēmas, neatkarīgi no to īpašās nozīmes un sākotnējiem skaitliskajiem datiem. Indijā vēl 6.-11. Gadsimtā, risinot problēmas, sistemātiski tika izmantotas skaitļu negatīvās vērtības un tās tika interpretētas tāpat kā mūsdienās. Eiropas zinātnē negatīvos skaitļus sāka plaši izmantot, pateicoties R. Dekartam, kurš negatīvajiem skaitļiem kā segmentu virzieniem sniedza ģeometrisku interpretāciju. Tieši Dekarts ierosināja noteikt skaitli, kas paaugstināts līdz jaudai, lai tas tiktu parādīts kā divstāvu formula a n .

var atrast, izmantojot reizināšanu. Piemēram: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 5x6. Par šādu izteicienu viņi saka, ka vienādu terminu summa tiek salocīta produktā. Un otrādi, ja mēs lasām šo vienlīdzību no labās uz kreiso pusi, mēs atklājam, ka esam paplašinājuši vienādu nosacījumu summu. Tāpat jūs varat sakļaut vairāku vienādu faktoru 5x5x5x5x5x5 \u003d 5 6 reizinājumu.

Tas ir, tā vietā, lai reizinātu sešus identiskus faktorus 5x5x5x5x5x5, viņi raksta 5 6 un saka “pieci līdz sestais spēks”.

5. izteiksme ir skaitļa jauda, \u200b\u200bkur:

5 - grāda bāze;

6 - eksponents.

Tiek sauktas darbības, ar kurām vienādu faktoru reizinājums tiek salocīts kā spēks eksponēšana.

Kopumā pakāpe ar pamatu "a" un eksponentu "n" tiek rakstīta šādi

Skaitļa a paaugstināšana līdz jaudai n nozīmē atrast n faktoru reizinājumu, no kuriem katrs ir vienāds ar a

Ja pakāpes "a" bāze ir 1, tad jebkura dabiskā n pakāpes vērtība būs 1. Piemēram, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Ja jūs paaugstināt skaitli "a" uz pirmā pakāpe, tad iegūstam pašu skaitli a: a 1 \u003d a

Ja jūs paaugstināt jebkuru skaitli līdz nulle grāds, tad aprēķinu rezultātā mēs to iegūstam. a 0 \u003d 1

Skaitļa otrā un trešā pakāpe tiek uzskatīta par īpašu. Viņiem tika izgudroti vārdi: tiek saukta otrā pakāpe kvadrāta numurs, trešais - kubs šis skaitlis.

Jebkuru skaitli var paaugstināt līdz vērtībai - pozitīvam, negatīvam vai nullei. Šajā gadījumā netiek izmantoti šādi noteikumi:

Pozitīva skaitļa pakāpes atrašana rada pozitīvu skaitli.

Aprēķinot nulli dabiskajā jaudā, mēs iegūstam nulli.

x m X n \u003d x m + n

piemēram: 7 1,7 7 - 0,9 \u003d 7 1,7 + (- 0,9) \u003d 7 1,7 - 0,9 \u003d 7 0,8

Uz sadalīt grādus ar vienādām bāzēm mēs nemainām bāzi, bet atņemam eksponentus:

x m / x n \u003d x m - n kur, m\u003e n,

piemēram: 13 3,8 / 13 -0,2 \u003d 13 (3,8 -0,2) \u003d 13 3,6

Aprēķinot eksponēšana mēs nemainām bāzi, bet reizinām eksponentus ar otru.

(par m ) n \u003d y m n

piemēram: (2 3) 2 \u003d 2 3 2 \u003d 2 6

(x y) n \u003d x n · pie m ,

piemēram: (2 3) 3 \u003d 2 n 3 m,

Veicot aprēķinus par eksponēšanamēs paaugstinām frakcijas skaitītāju un saucēju uz šo jaudu

(x / y) n \u003d x n / y n

piemēram: (2/5) 3 \u003d (2/5) (2/5) (2/5) \u003d 2 3/5 3.

Aprēķinu veikšanas secība, strādājot ar izteicieniem, kas satur grādu.

Veicot izteicienu aprēķinus bez iekavām, bet satur grādus, vispirms tiek veikta paaugstināšana līdz jaudai, pēc tam reizināšanas un dalīšanas un tikai pēc tam saskaitīšanas un atņemšanas darbības.

Ja ir nepieciešams novērtēt izteiksmi, kas satur iekavas, tad vispirms iepriekšminētajā secībā mēs veicam aprēķinus iekavās un pēc tam atlikušās darbības vienā un tajā pašā secībā no kreisās uz labo.

Ļoti plaši praktiskajos aprēķinos aprēķinu vienkāršošanai tiek izmantotas gatavas grādu tabulas.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Grāds ar negatīvu rādītāju. Definīcija un problēmu risināšanas piemēri"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes. Visus materiālus ir pārbaudījusi antivīrusu programma.

Mācību palīglīdzekļi un simulatori interneta veikalā Integral 8. klasei
Rokasgrāmata mācību grāmatai Muravin G.K. Rokasgrāmata mācību grāmatai Sh.A.Alimov

Pakāpes noteikšana ar negatīvu eksponentu

Mēs labi zinām, ka jebkurš skaitlis nulles pakāpē ir vienāds ar vienu. $ a ^ 0 \u003d 1 $, $ a ≠ 0 $.
Rodas jautājums, kas notiks, ja skaitlis tiks pacelts uz negatīvu spēku? Piemēram, kāds ir skaitlis $ 2 ^ (- 2) $?
Pirmie matemātiķi, kuri uzdeva šo jautājumu, nolēma, ka riteņa izgudrošana nav tā vērts, un labi, ka visas grādu īpašības palika nemainīgas. Tas ir, reizinot grādus ar to pašu bāzi, tiek pievienoti eksponenti.
Apsvērsim šo gadījumu: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) \u003d 2 ^ (3-3) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.
Mēs saņēmām, ka šādu skaitļu reizinājumam vajadzētu tādu dot. Vienību produktā iegūst, reizinot abpusējos skaitļus, tas ir, $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) $.

Šis pamatojums radīja šādu definīciju.
Definīcija. Ja $ n $ ir dabisks skaitlis un $ a ≠ 0 $, tad vienādība ir: $ a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) $.

Svarīga identitāte, kas bieži tiek izmantota: $ (\\ frac (a) (b)) ^ (- n) \u003d (\\ frac (b) (a)) ^ n $.
Jo īpaši $ (\\ frac (1) (a)) ^ (- n) \u003d a ^ n $.

Risinājumu piemēri

Lēmums.
Apskatīsim katru terminu atsevišķi.
1. $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) \u003d \\ frac (1) (2 * 2 * 2) \u003d \\ frac (1) (8) $.
2. $ (\\ frac (2) (5)) ^ (- 2) \u003d (\\ frac (5) (2)) ^ 2 \u003d \\ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d \\ frac (25) (4) $.
3. $ 8 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (8) $.
Atliek veikt saskaitīšanas un atņemšanas darbības: $ \\ frac (1) (8) + \\ frac (25) (4) - \\ frac (1) (8) \u003d \\ frac (25) (4) \u003d 6 \\ frac ( 1) (4) $.
Atbilde: $ 6 \\ frac (1) (4) $.

2. piemērs.
Pārstāviet norādīto skaitli kā jaudu galvenais skaitlis $ \\ frac (1) (729) $.

Lēmums.
Acīmredzot $ \\ frac (1) (729) \u003d 729 ^ (- 1) $.
Bet 729 nav primārais skaitlis, kas beidzas ar 9. Var pieņemt, ka šis skaitlis ir trīs koeficients. Sadalīsim secīgi 729 ar 3.
1) $ \\ frac (729) (3) \u003d 243 $;
2) $ \\ frac (243) (3) \u003d 81 $;
3) $ \\ frac (81) (3) \u003d 27 $;
4) $ \\ frac (27) (3) \u003d 9 $;
5) $ \\ frac (9) (3) \u003d 3 $;
6) $ \\ frac (3) (3) \u003d 1 $.
Ir veiktas sešas darbības, kas nozīmē: $ 729 \u003d 3 ^ 6 $.
Mūsu uzdevumam:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Atbilde: $ 3 ^ (- 6) $.

3. piemērs. Parādiet izteiksmi kā jaudu: $ \\ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
Lēmums. Pirmā darbība vienmēr tiek veikta iekavās, pēc tam reizinājums $ \\ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1) ) \u003d \\ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5)) ) \u003d a ^ (-4 - (- 5)) \u003d a ^ (- 4 + 5) \u003d a $.
Atbilde: $ a $.

4. piemērs. Pierādiet identitāti:
$ (\\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \\ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) ) +1) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.

Lēmums.
Kreisajā pusē mēs katru faktoru iekavās aplūkosim atsevišķi.
1. $ \\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \\ frac (y) (x)) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \\) frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \\ frac (y) (x) + \\ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \\ frac (y ^ 2) (x)) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x )) \u003d \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (1) (x ^ 2) + \\ frac (1) (y ^ 2))) (x (\\ frac (x) (y) + \\ frac (y) (x))) \u003d \\ frac (\\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\\ frac (x ^ 2) (y) + y) \u003d \\ frac (\\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) \u003d \\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \\ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) \u003d \\ frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \\ frac (y) (x ^ 2) \u003d \\ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Pārejam uz daļu, ar kuru mēs dalām.
$ \\ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) \u003d \\ frac (1- \\ frac (y) (x)) (\\ frac (x) (y) +1 ) \u003d \\ frac (\\ frac (xy) (x)) (\\ frac (x + y) (y)) \u003d \\ frac (xy) (x) * \\ frac (y) (x + y) \u003d \\ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. Veiksim sadalīšanu.
$ \\ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \\ frac (y (xy)) (x (x + y)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \\ frac (x (x + y)) (y (xy)) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.
Mēs saņēmām pareizo identitāti, kas bija jāpierāda.

Nodarbības beigās mēs vēlreiz pierakstīsim noteikumus darbībai ar pilnvarām, šeit eksponents ir vesels skaitlis.
$ a ^ s * a ^ t \u003d a ^ (s + t) $.
$ \\ frac (a ^ s) (a ^ t) \u003d a ^ (s-t) $.
$ (a ^ s) ^ t \u003d a ^ (st) $.
$ (ab) ^ s \u003d a ^ s * b ^ s $.
$ (\\ frac (a) (b)) ^ s \u003d \\ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Uzdevumi neatkarīgam risinājumam

Negatīvā eksponācija ir viens no matemātikas pamatelementiem, ar kuru bieži sastopas, risinot algebras problēmas. Zemāk ir detalizēta instrukcija.

Kā paaugstināt līdz negatīvam spēkam - teorija

Kad mēs esam skaitlis līdz parastajai jaudai, mēs reizinām tā vērtību vairākas reizes. Piemēram, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Ar negatīvu daļu ir tieši otrādi. Vispārējais skats pēc formulas būs šāds: a -n \u003d 1 / a n. Tādējādi, lai palielinātu skaitli līdz negatīvai jaudai, jums ir jāsadala vienība ar norādīto skaitli, bet jau līdz pozitīvai.

Kā paaugstināt līdz negatīvam spēkam - piemēri parastajiem skaitļiem

Paturot prātā iepriekš minēto noteikumu, atrisināsim dažus piemērus.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atbilde: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atbilde ir -4 -2 \u003d 1/16.

Bet kāpēc atbilde pirmajā un otrajā piemērā ir vienāda? Fakts ir tāds, ka tad, kad negatīvs skaitlis tiek palielināts līdz vienmērīgam skaitlim (2, 4, 6 utt.), Zīme kļūst pozitīva. Ja grāds bija pat, tad mīnus palika:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kā paaugstināt līdz negatīvai pakāpei - skaitļi no 0 līdz 1

Atgādinām, ka, paaugstinot skaitli diapazonā no 0 līdz 1 līdz pozitīvai jaudai, vērtība samazinās, palielinoties jaudai. Piemēram, 0,5 2 \u003d 0,25. 0,25< 0,5. В случае с negatīva pakāpe ir tieši otrādi. Paaugstinot decimālo (frakcionēto) skaitli līdz negatīvajai vērtībai, vērtība palielinās.

3. piemērs: aprēķiniet 0,5 -2
Risinājums: 0,5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
Atbilde: 0,5 -2 \u003d 4

Analīze (darbību secība):

• Konvertēt decimālo 0,5 uz frakciju 1/2. Šādā veidā ir vieglāk.
  Paceliet 1/2 līdz negatīvai pakāpei. 1 / (2) -2. Sadaliet 1 ar 1 / (2) 2, iegūstam 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

4. piemērs: aprēķiniet 0,5-3
Risinājums: 0,5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

5. piemērs: Aprēķiniet -0,5 -3
Risinājums: -0,5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
Atbilde: -0,5 -3 \u003d -8

Pamatojoties uz 4. un 5. piemēru, mēs izdarīsim vairākus secinājumus:

• Pozitīvam skaitlim diapazonā no 0 līdz 1 (4. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvai jaudai, jaudas vienmērīgums vai dīvainums nav svarīgs, izteiksmes vērtība būs pozitīva. Turklāt jo lielāka pakāpe, jo lielāka vērtība.
• Negatīvam skaitlim diapazonā no 0 līdz 1 (5. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvai jaudai, jaudas vienmērīgumam vai dīvainībai nav nozīmes, izteiksmes vērtība būs negatīva. Turklāt, jo augstāka pakāpe, jo zemāka vērtība.

Kā paaugstināt līdz negatīvajai jaudai - jauda kā daļskaitlis

Šāda veida izteiksmēm ir šāda forma: a -m / n, kur a ir parasts skaitlis, m ir grāda skaitītājs, n ir grāda saucējs.

Apskatīsim piemēru:
Aprēķiniet: 8 -1/3

Risinājums (darbību secība):

• Atcerieties noteikumu par skaitļa paaugstināšanu līdz negatīvai pakāpei. Mēs iegūstam: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Ievērojiet, ka saucējs ir 8 kā dalījuma spēks. Daļējās jaudas aprēķināšanas vispārējais skats ir šāds: a m / n \u003d n √8 m.
• Tādējādi 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). Mēs iegūstam kuba sakni no astoņiem, kas ir 2. Pamatojoties uz to, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Atbilde: 8 -1/3 \u003d 2