Sveiciens, kaķi! Iepriekšējā reizē mēs detalizēti pārbaudījām, kas ir saknes (ja neatceraties, iesaku izlasīt). Šīs nodarbības galvenais izņēmums ir tas, ka jums ir jāzina tikai viena universāla sakņu definīcija. Pārējais ir blēņas un laika tērēšana.

Šodien mēs ejam tālāk. Mēs iemācīsimies pavairot saknes, izpētīsim dažas ar pavairošanu saistītās problēmas (ja šīs problēmas netiks atrisinātas, tad tās var kļūt letālas eksāmenā) un pareizi praktizēsimies. Tāpēc uzkrājiet popkornu, sagādājiet sev ērtības un mēs sāksim. :)

Tu taču vēl neesi nobaudījis?

Nodarbība izrādījās diezgan gara, tāpēc es to sadalīju divās daļās:

1. Pirmkārt, mēs iepazīsimies ar reizināšanas noteikumiem. Vāciņš it kā norāda: tas ir tad, kad ir divas saknes, starp tām ir zīme “vairoties” - un mēs vēlamies kaut ko darīt.
2. Tad analizēsim pretējo situāciju: ir viena liela sakne, un mums bija iespaids to pasniegt kā divu vienkāršāku sakņu produktu. Ar kādu izbaili tas ir nepieciešams - atsevišķs jautājums. Mēs analizēsim tikai algoritmu.

Tiem, kas ir nepacietīgi, dodieties tieši uz otro daļu - esat laipni gaidīti. Sāksim ar pārējo kārtībā.

Pavairošanas pamatnoteikums

Sāksim ar vienkāršāko - klasiskajām kvadrātveida saknēm. Tie, kas apzīmēti ar $ \\ sqrt (a) $ un $ \\ sqrt (b) $. Viņiem viss parasti ir acīmredzams:

Reizināšanas kārtula. Lai reizinātu vienu kvadrātsakni ar citu, jums vienkārši jāreizina to radikālās izteiksmes un rezultāts jāieraksta zem kopējā radikāļa:

\\ [\\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (b) \u003d \\ sqrt (a \\ cdot b) \\]

Labajiem vai kreisajiem numuriem nav noteikti papildu ierobežojumi: ja pastāv sakņu faktori, pastāv arī produkts.

Piemēri. Apskatīsim četrus piemērus ar skaitļiem uzreiz:

\\ [\\ begin (izlīdzināt) & \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 4) \u003d \\ sqrt (100) \u003d 10; \\\\ & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8; \\\\ & \\ sqrt (54) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (54 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (324) \u003d 18; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (3) (17)) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (17) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (3) (17) \\ cdot \\ frac (17) (27) )) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (9)) \u003d \\ frac (1) (3). \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Kā redzat, šī noteikuma galvenais punkts ir iracionālu izteicienu vienkāršošana. Un, ja mēs pirmajā piemērā mēs paši būtu izņēmuši saknes no 25. un 4. bez jauniem noteikumiem, tad alva sākas tālāk: paši $ \\ sqrt (32) $ un $ \\ sqrt (2) $ netiek skaitīti, bet viņu produkts izrādās precīzs kvadrāts, tāpēc tā sakne ir vienāda ar racionālo skaitli.

Es gribētu atzīmēt arī pēdējo rindiņu. Tur abi radikālie izteicieni ir frakcijas. Pateicoties produktam, daudzi faktori tiek atcelti, un visa izteiksme pārvēršas par atbilstošu skaitu.

Protams, ne vienmēr viss būs tik skaisti. Dažreiz zem saknēm būs pilnīgs haoss - nav skaidrs, ko ar to darīt un kā pārveidot pēc reizināšanas. Nedaudz vēlāk, kad sākat pētīt iracionālos vienādojumus un nevienlīdzības, parasti būs visādi mainīgie un funkcijas. Un ļoti bieži problēmu veidotāji sagaida, ka jūs atradīsit dažus atcelšanas noteikumus vai faktorus, pēc kuriem uzdevums tiks ievērojami vienkāršots.

Turklāt nemaz nav nepieciešams reizināt tieši divas saknes. Jūs varat reizināt trīs uzreiz, četrus - bet vismaz desmit! Tas nemainīs likumu. Paskaties:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (2 \\ cdot 3 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (36) \u003d 6; \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (0.001) \u003d \\ sqrt (5 \\ cdot 2 \\ cdot 0.001) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (10 \\ cdot \\ frac (1) (1000)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (100)) \u003d \\ frac (1) (10). \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Un atkal neliela piebilde ar otro piemēru. Kā redzat, trešajā faktorā zem saknes ir decimāldaļa - aprēķinu procesā mēs to aizstājam ar parasto, pēc kura viss tiek viegli atcelts. Tātad: es ļoti iesaku atbrīvoties no decimāldaļām ar jebkādām iracionālām izteiksmēm (t.i., kas satur vismaz vienu radikālu zīmi). Tas ietaupīs daudz laika un vilšanās nākotnē.

Bet tā bija liriska atkāpe. Tagad apsveriet vairāk vispārējs gadījums - kad saknes eksponents satur patvaļīgs skaitlis $ n $, ne tikai "klasiskās" divas.

Patvaļīgs indikatoru gadījums

Tātad, mēs noskaidrojām kvadrātveida saknes. Un ko darīt ar kubiskajiem? Vai vispār ar patvaļīgas pakāpes saknēm $ n $? Jā, viss ir vienādi. Noteikums paliek nemainīgs:

Lai reizinātu divas $ n $ pakāpes saknes, pietiek ar to, lai reizinātu to radikālās izteiksmes un pēc tam rezultātu ierakstītu zem viena radikāla.

Kopumā nekas sarežģīts. Izņemot to, ka aprēķina apjoms var būt lielāks. Apskatīsim pāris piemērus:

Piemēri. Aprēķiniet produktus:

\\ [\\ begin (izlīdzināt) & \\ sqrt (20) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (20 \\ cdot \\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (625) \u003d pieci; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (16) (625)) \\ cdot \\ sqrt (0.16) \u003d \\ sqrt (\\ frac (16) (625) \\ cdot \\ frac (16) (100)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (64) (((25) ^ (2)) \\ cdot 25)) \u003d \\\\ & \u003d sqrt (\\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3)) )) \u003d \\ sqrt (((pa kreisi (\\ frac (4) (25) \\ pa labi)) ^ (3))) \u003d \\ frac (4) (25). \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Un atkal uzmanība otrajai izteiksmei. Mēs vairojamies kubiskās saknes, tikt vaļā no decimāldaļa un rezultātā mēs nonākam saucējā skaitļu 625 un 25 reizinājumā. Tas ir diezgan liels skaitlis - personīgi es uzreiz neaprēķināšu, kam tas ir vienāds.

Tāpēc mēs vienkārši atlasījām precīzu kubu skaitītājā un saucējā un pēc tam izmantojām vienu no saknes $ n $ -th galvenajām īpašībām (vai, ja vēlaties, definīciju):

\\ [\\ begin (izlīdzināt) & \\ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) \u003d a; \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (2n))) \u003d \\ pa kreisi | a \\ labi |. \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Šādas "mahinācijas" var ievērojami ietaupīt laiku eksāmenā vai pārbaudes darbstāpēc atceries:

Nesteidzieties reizināt skaitļus radikālā izteiksmē. Vispirms pārbaudiet: ko darīt, ja tur tiek “šifrēta” kāda izteiksmes precīza pakāpe?

Ņemot vērā šīs piezīmes acīmredzamību, man jāatzīst, ka lielākā daļa neapmācītu studentu neredz precīzus grādus tukšā diapazonā. Tā vietā viņi visu reizina pareizi un pēc tam brīnās: kāpēc viņi ieguva tik brutālus skaitļus? :)

Tomēr tas viss ir bērnišķīgi, salīdzinot ar to, ko mēs tagad pētīsim.

Sakņu pavairošana ar dažādiem rādītājiem

Labi, tagad mēs zinām, kā reizināt saknes ar vienādiem rādītājiem. Ko darīt, ja rādītāji ir atšķirīgi? Teiksim, kā reizināt parasto $ \\ sqrt (2) $ ar kaut kādām blēņām, piemēram, $ \\ sqrt (23) $? Vai jūs vispār to varat izdarīt?

Jā, protams, jūs varat. Viss tiek darīts pēc šīs formulas:

Sakņu reizināšanas likums. Lai reizinātu $ \\ sqrt [n] (a) $ ar $ \\ sqrt [p] (b) $, jums vienkārši jāveic šāda pārveidošana:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

Tomēr šī formula darbojas tikai tad, ja radikālas izteiksmes nav negatīvas... Tas ir ļoti svarīgs punkts, pie kura mēs atgriezīsimies nedaudz vēlāk.

Pagaidām apskatīsim pāris piemērus:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (((3) ^ (4)) \\ cdot ((2) ^ (3))) \u003d \\ sqrt (81 \\ cdot 8) \u003d \\ sqrt (648); \\\\ & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (7) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5)) \\ cdot ((7) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 49) \u003d \\ sqrt (1568); \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (625 \\ cdot 9) \u003d \\ sqrt (5625). \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Kā redzat, nekas sarežģīts. Tagad izdomāsim, no kurienes radās prasība par negatīvismu un kas notiks, ja mēs to pārkāpsim. :)

Kāpēc radikāliem izteikumiem nevajadzētu būt negatīviem?

Protams, var kļūt līdzīgs skolas skolotāji un gudri citēt apmācību:

Prasība par negatīvismu ir saistīta ar atšķirīgām pāra un nepāra pakāpes sakņu definīcijām (attiecīgi arī to definēšanas jomas ir atšķirīgas).

Nu, vai tas ir kļuvis skaidrāks? Personīgi, lasot šo nejēdzību 8. klasē, es sapratu apmēram šādi: “Prasība par negatīvismu ir saistīta ar * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%” - īsi sakot, es to nedarīju Toreiz nesaprotu sūdus. :)

Tāpēc tagad es visu paskaidrošu normālā veidā.

Pirmkārt, noskaidrosim, no kurienes nāk iepriekš sniegtā reizināšanas formula. Lai to izdarītu, ļaujiet man jums atgādināt par vienu svarīgu saknes īpašību:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\]

Citiem vārdiem sakot, mēs varam droši paaugstināt radikālo izteicienu uz jebkuru dabiskais grāds $ k $ - šajā gadījumā saknes eksponents būs jāreizina ar to pašu jaudu. Tāpēc mēs varam viegli samazināt jebkuras saknes līdz kopējam rādītājam un pēc tam reizināt. Tādējādi tiek izmantota reizināšanas formula:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p))) \\ cdot \\ sqrt (((b) ^ (n))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n)))]]

Bet ir viena problēma, kas nopietni ierobežo visu šo formulu izmantošanu. Apsveriet šo skaitli:

Saskaņā ar tikko sniegto formulu mēs varam pievienot jebkuru pakāpi. Mēģināsim pievienot $ k \u003d 2 $:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (((\\ pa kreisi (-5 \\ pa labi)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (2))) \\]

Mēs noņemām mīnusu tieši tāpēc, ka kvadrāts sadedzina mīnusu (tāpat kā jebkuru citu vienmērīgu spēku). Un tagad mēs veiksim reverso transformāciju: mēs "samazināsim" abus eksponentā un pakāpē. Galu galā jebkuru vienlīdzību var nolasīt gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso:

\\ [\\ begin (izlīdzināt) & \\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\ Rightarrow \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n ] (a); \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n] (a) \\ Rightarrow \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((5) ^ ( 2))) \u003d \\ sqrt (5). \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Bet tad izrādās kāda veida crap:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (5) \\]

Tas tā nevar būt, jo $ \\ sqrt (-5) \\ lt 0 $ un $ \\ sqrt (5) \\ gt 0 $. Tas nozīmē, ka attiecībā uz pāra grādiem un negatīviem skaitļiem mūsu formula vairs nedarbojas. Tad mums ir divas iespējas:

1. Atsities pret sienu, lai paziņotu, ka matemātika ir stulba zinātne, kur “ir daži noteikumi, bet tas ir neprecīzi”;
2. Ieviesiet papildu ierobežojumus, saskaņā ar kuriem formula 100% darbosies.

Pirmajā variantā mums būs nepārtraukti jāķer "nestrādājoši" gadījumi - tas ir grūti, ilgi un parasti fu. Tāpēc matemātiķi izvēlējās otro variantu. :)

Bet neuztraucieties! Praksē šis ierobežojums nekādā veidā neietekmē aprēķinus, jo visas aprakstītās problēmas attiecas tikai uz nepāra pakāpes saknēm, un no tām jūs varat izņemt mīnusus.

Tāpēc mēs formulēsim vēl vienu noteikumu, kas kopumā attiecas uz visām darbībām ar saknēm:

Pirms sakņu reizināšanas pārliecinieties, ka radikālie izteicieni nav negatīvi.

Piemērs. Skaitlī $ \\ sqrt (-5) $ jūs varat izņemt mīnusu no saknes zīmes - tad viss būs kārtībā:

\\ [\\ begin (izlīdzināt) & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\ Rightarrow \\\\ & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (25) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Vai jūtat atšķirību? Ja jūs atstājat mīnusu zem saknes, tad, kad radikālā izteiksme ir kvadrātā, tā pazūd un sākas crap. Un, ja jūs vispirms izņemat mīnusu, tad kvadrātu varat uzcelt / noņemt pat pirms zilēšanas - skaitlis paliks negatīvs. :)

Tādējādi vispareizākais un visvairāk uzticams veids sakņu pavairošana ir šāda:

1. Noņemiet visus mīnusus no radikāļiem. Nepāra daudzkārtības saknēs ir tikai trūkumi - tos var novietot saknes priekšā un, ja nepieciešams, saīsināt (piemēram, ja ir divi no šiem trūkumiem).
2. Veiciet reizināšanu saskaņā ar noteikumiem, kas iepriekš tika apspriesti šodienas nodarbībā. Ja sakņu rādītāji ir vienādi, mēs vienkārši reizinām radikālos izteicienus. Un, ja tie atšķiras, mēs izmantojam ļauno formulu \\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\].
3. 3. Mēs priecājamies par rezultātu un labām atzīmēm. :)

Nu? Trenēsimies?

1. piemērs. Vienkāršojiet izteicienu:

\\ [\\ begin (izlīdzināt) & \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (- \\ frac (4) (3)) \u003d \\ sqrt (48) \\ cdot \\ left (- \\ sqrt (\\ frac (4) (3) )) \\ right) \u003d - \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (4) (3)) \u003d \\\\ & \u003d - \\ sqrt (48 \\ cdot \\ frac (4) (3)) \u003d - \\ kvrt (64) \u003d - 4; \\ end (izlīdzināt) \\]

Tas ir vienkāršākais variants: sakņu indeksi ir vienādi un nepāra, problēma ir tikai otrā faktora mīnusā. Mēs izņemam šo mīnus nafig, pēc kura viss tiek viegli apsvērts.

2. piemērs. Vienkāršojiet izteicienu:

\\ [\\ begin (izlīdzināt) & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5))) \\ cdot \\ sqrt (((2) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((pa kreisi (((2) ^ (5)) pa labi)) ^ (3)) \\ cdot ((\\ pa kreisi (((2) ^ (2)) \\ pa labi)) ^ (4) )) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt ((((2) ^ (15)) \\ cdot ((2) ^ (8))) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (23))) \\\\ \\ beigas ( izlīdzināt) \\]

Šeit daudzus sajauktu fakts, ka rezultāts bija iracionāls skaitlis. Jā, tas notiek: mēs nevarējām pilnībā atbrīvoties no saknes, bet mēs vismaz ievērojami vienkāršojām izteicienu.

3. piemērs. Vienkāršojiet izteicienu:

\\ [\\ begin (izlīdzināt) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt ((((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((\\ left ((( a) ^ (4)) \\ labi)) ^ (6))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((a) ^ (24))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt ( ((a) ^ (27))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ end (izlīdzināt) \\]

Es gribētu pievērst jūsu uzmanību šim uzdevumam. Vienlaicīgi ir divi punkti:

1. Sakne nav noteikts skaitlis vai grāds, bet mainīgais $ a $. No pirmā acu uzmetiena tas ir mazliet neparasti, taču patiesībā, risinot matemātiskas problēmas, visbiežāk nākas saskarties ar mainīgajiem.
2. Galu galā mums izdevās "sagriezt" saknes eksponentu un pakāpi radikālajā izteiksmē. Tas notiek diezgan bieži. Un tas nozīmē, ka bija iespējams ievērojami vienkāršot aprēķinus, ja neizmantojāt pamatformulu.

Piemēram, jūs varētu to izdarīt:

\\ [\\ begin (izlīdzināt) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((\\ left (((a) ^ ( 4)) \\ pa labi)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (8))) \\\\ & \u003d \\ sqrt (a \\ cdot ((a) ^ ( 8))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 3))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ \\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Faktiski visas transformācijas tika veiktas tikai ar otro radikāļu. Un, ja jūs detalizēti neaprakstāt visas starpposmas, tad galu galā aprēķinu apjoms ievērojami samazināsies.

Faktiski mēs jau esam saskārušies ar līdzīgu uzdevumu iepriekš, kad atrisinājām $ \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) $ piemēru. Tagad to var aprakstīt daudz vienkāršāk:

\\ [\\ begin (izlīdzināt) & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (( (\\ pa kreisi (((5) ^ (2)) \\ cdot 3 \\ pa labi)) ^ (2))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt ((((pa kreisi (75 pa labi)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (75). \\ end (izlīdzināt) \\]

Nu, mēs izdomājām sakņu reizināšanu. Tagad apsveriet reverso darbību: ko darīt, ja produkts atrodas zem saknes?

Skaitļa kvadranta saknes ņemšana nav vienīgā darbība, ko var veikt ar šo matemātisko fenomenu. Tāpat kā parastie skaitļi, kvadrātsaknes tiek saskaitītas un atņemtas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadrātsakņu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumi

Tādas darbības kā kvadrātsaknes saskaitīšana un atņemšana ir iespējama tikai tad, ja izteiksme ir vienāda.

1. piemērs

Var pievienot vai atņemt izteiksmes 2 3 un 6 3bet ne 5 6 un 9 4. Ja ir iespējams vienkāršot izteiksmi un novest to līdz saknēm ar tādu pašu radikālo skaitli, tad vienkāršojiet un pēc tam saskaitiet vai atņemiet.

Sakņotas aktivitātes: pamati

6 50 - 2 8 + 5 12

Darbības algoritms:

1. Vienkāršojiet radikālo izteiksmi... Lai to izdarītu, radikālā izteiksme jāsadala 2 faktoros, no kuriem viens ir kvadrāta skaitlis (skaitlis, no kura tiek izvilkta vesela kvadrātsakne, piemēram, 25 vai 9).
2. Tad jums jāizņem kvadrāta skaitļa sakne un uzrakstiet iegūto vērtību pirms saknes zīmes. Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrais faktors tiek ievadīts zem saknes zīmes.
3. Pēc vienkāršošanas procesa saknes ir jāuzsver ar vienādām radikālām izteiksmēm - tikai tās var saskaitīt un atņemt.
4. Saknēm ar vienādām radikālām izteiksmēm ir jāpieskaita vai jāatņem faktori, kas stāv saknes zīmes priekšā. Radikālā izteiksme paliek nemainīga. Jūs nevarat pievienot vai atņemt radikālus skaitļus!

1. padoms

Ja jums ir piemērs ar lielu skaitu identisku radikālu izteicienu, tad, lai atvieglotu aprēķina procesu, pasvītrojiet šādus izteicienus ar vienu, divkāršu un trīskāršu līniju.

3. piemērs

Mēģināsim atrisināt šo piemēru:

6 50 \u003d 6 (25 × 2) \u003d (6 × 5) 2 \u003d 30 2. Pirmkārt, jums jāsadala 50 divos koeficientos 25 un 2, pēc tam iegūstiet sakni 25, kas ir 5, un izņemiet 5 no saknes. Pēc tam jums jāreizina 5 ar 6 (koeficients saknē) un jāiegūst 30 2.

2 8 \u003d 2 (4 × 2) \u003d (2 × 2) 2 \u003d 4 2. Pirmkārt, jums jāreģistrē 8 faktori divos faktoros: 4 un 2. Pēc tam iegūstiet sakni no 4, kas ir 2, un izņemiet 2 no saknes. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 2 (koeficients saknē) un jāiegūst 4 2.

5 12 \u003d 5 (4 × 3) \u003d (5 × 2) 3 \u003d 10 3. Pirmkārt, jums jāreģistrē 12 faktori divos faktoros: 4 un 3. Pēc tam iegūstiet sakni no 4, kas ir 2, un izņemiet to no saknes apakšdaļas. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 5 (koeficients saknē) un jāiegūst 10 3.

Vienkāršošanas rezultāts: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Rezultātā mēs redzējām, cik daudz identisku radikālu izteicienu ir šo piemēru... Tagad praktizēsimies ar citiem piemēriem.

4. piemērs

• Mēs vienkāršojam (45). Faktors 45: (45) \u003d (9 × 5);
• Mēs izņemam 3 no saknes (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Pievienojiet faktorus saknēs: 3 5 + 4 5 \u003d 7 5.

5. piemērs

6 40 - 3 10 + 5:

• Vienkāršojiet 6 40. Faktors 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10);
• Mēs izņemam 2 no saknes (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Mēs reizinām faktorus saknes priekšā: 12 10;
• Mēs uzrakstām izteicienu vienkāršotā formā: 12 10 - 3 10 + 5;
• Tā kā pirmajiem diviem locekļiem ir vienādi radikālie skaitļi, mēs varam tos atņemt: (12 - 3) 10 \u003d 9 10 + 5.

6. piemērs

Kā redzam, radikālos skaitļus nav iespējams vienkāršot, tāpēc piemērā meklējam dalībniekus ar vienādiem radikālajiem skaitļiem, veicam matemātiskas darbības (saskaitām, atņemam utt.) Un uzrakstām rezultātu:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Padoms:

• Pirms saskaitīšanas vai atņemšanas noteikti vienkāršojiet (ja iespējams) radikālos izteicienus.
• Ir stingri aizliegts pievienot un atņemt saknes ar dažādām radikālām izpausmēm.
• Veselu skaitli vai sakni nedrīkst pievienot vai atņemt: 3 + (2 x) 1/2.
• Veicot darbības ar daļām, jums jāatrod skaitlis, kas dalās ar katru saucēju, pēc tam samaziniet frakcijas līdz kopsaucējs, pēc tam pievienojiet skaitītājus un atstājiet saucējus nemainītus.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši konfidencialitātes politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un glabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija ir dati, kurus var izmantot, lai identificētu konkrētu personu vai sazinātos ar viņu.

Jums var lūgt sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži personiskās informācijas veidu piemēri, kurus mēs varam savākt, un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personisko informāciju mēs vācam:

• Kad jūs vietnē atstājat pieprasījumu, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi e-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Personiskā informācija, ko mēs apkopojam, ļauj mums sazināties ar jums un ziņot unikālie piedāvājumi, akcijas un citi pasākumi, kā arī gaidāmie pasākumi.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
• Mēs varam izmantot personisko informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, revīziju veikšanai, datu analīzei un dažādiem pētījumiem, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā reklāmas pasākumā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas atklāšana trešajām personām

Mēs neatklājam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, izmēģinājums, un / vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valsts aģentūrām Krievijas Federācijas teritorijā - atklāt jūsu personisko informāciju. Mēs varam arī atklāt informāciju par jums, ja konstatējam, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedriski svarīgu iemeslu dēļ.
• Reorganizācijas, apvienošanās vai pārdošanas gadījumā mēs varam savākto personisko informāciju nodot attiecīgajai trešajai pusei - cesionāram.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvos, tehniskos un fiziskos, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju no nozaudēšanas, zādzībām un nepareizas izmantošanas, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Cieņa pret jūsu privātumu uzņēmuma līmenī

Lai pārliecinātos, ka jūsu personiskā informācija ir droša, mēs darbiniekiem ieviešam konfidencialitātes un drošības noteikumus un stingri uzraugām konfidencialitātes pasākumu īstenošanu.

Vieglākais veids, kā no skaitļa atņemt sakni, ir kalkulators. Bet, ja jums nav kalkulatora, jums jāzina kvadrātsaknes aprēķināšanas algoritms. Fakts ir tāds, ka zem saknes ir kvadrāta skaitlis. Piemēram, 4 kvadrātā ir 16. Tas ir, kvadrātsakne no 16 būs vienāda ar četrām. Arī 5 kvadrātā ir 25. Tāpēc 25 sakne būs 5. Un tā tālāk.

Ja skaitlis ir mazs, tad to var viegli atņemt mutiski, piemēram, 25 sakne būs 5, bet 144 sakne ir 12. Jūs varat arī aprēķināt kalkulatorā, ir īpaša saknes ikona, jums jāievada numurs un jānoklikšķina uz ikonas.

Kvadrātveida sakņu tabula arī palīdzēs:

Ir vairāk veidu, kas ir sarežģītāki, bet ļoti efektīvi:

Jebkura skaitļa sakni var atņemt, izmantojot kalkulatoru, jo īpaši tāpēc, ka tie šodien ir katrā tālrunī.

Jūs varat mēģināt aptuveni novērtēt, kā šo skaitli var iegūt, reizinot vienu skaitli pats par sevi.



Aprēķināt skaitļa kvadrātsakni nav grūti, it īpaši, ja jums ir īpaša tabula. Labi pazīstama tabula no algebras stundām. Šo darbību sauc par skaitļa a kvadrātsaknes ņemšanu, citiem vārdiem sakot, vienādojuma atrisināšanu. Gandrīz visiem viedtālruņu kalkulatoriem ir funkcija kvadrātsaknes noteikšanai.



Zināmā skaitļa kvadrātsaknes iegūšanas rezultāts būs vēl viens skaitlis, kas, pacelts līdz otrajai jaudai (kvadrātā), dos tādu pašu skaitli, kādu mēs zinām. Apsveriet vienu no aprēķinu aprakstiem, kas, šķiet, ir īsi un skaidri:







Šeit ir saistīts videoklips:

Ir vairāki veidi, kā aprēķināt skaitļa kvadrātsakni.

Vispopulārākais veids ir izmantot īpašu sakņu tabulu (skatīt zemāk).

Arī katrā kalkulatorā ir funkcija, ar kuru jūs varat uzzināt sakni.

Vai arī izmantojot īpašu formulu.



Ir vairāki veidi, kā iegūt skaitļa kvadrātsakni. Viens no tiem ir ātrākais, izmantojot kalkulatoru.

Bet, ja nav kalkulatora, tad to varat izdarīt manuāli.

Rezultāts būs precīzs.

Princips ir gandrīz tāds pats kā garais dalījums:



















Mēģināsim atrast skaitļa kvadrātsakni bez kalkulatora, piemēram, 190969.







Tādējādi viss ir ārkārtīgi vienkāršs. Aprēķinos galvenais ir ievērot noteiktus vienkāršus noteikumus un domāt loģiski.

Tam nepieciešama kvadrātu tabula



Piemēram, sakne no 100 \u003d 10, no 20 \u003d 400 no 43 \u003d 1849

Tagad gandrīz visi kalkulatori, ieskaitot viedtālruņos esošos, var aprēķināt skaitļa kvadrātsakni. BET, ja jums nav kalkulatora, skaitļa sakni varat atrast vairākos vienkāršos veidos:

Sadalīšanās galvenie faktori



Faktors ir radikālais skaitlis kvadrātu skaitļi... Atkarībā no saknes numura jūs saņemsiet aptuvenu vai precīzu atbildi. Kvadrātveida numuri ir skaitļi, no kuriem var iegūt veselu kvadrātsakni. Skaitļu faktori, kas, reizinot, dod sākotnējo skaitli. Piemēram, koeficienti 8 ir 2 un 4, jo 2 x 4 \u003d 8, 25, 36, 49 ir \u200b\u200bkvadrātu skaitļi, jo 25 \u003d 5, 36 \u003d 6, 49 \u003d 7. Kvadrātveida faktori ir faktori, kas ir kvadrātu skaitļi. .. Vispirms mēģiniet kvadrātveida saknes numuru.

Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni 400 (manuāli). Vispirms mēģiniet kvadrātveida 400. 400 ir 100 reizinājums, tas ir, dalāms ar 25 ir kvadrāta skaitlis. Ja jūs dalāt 400 ar 25, jūs saņemat 16, kas arī ir kvadrāta skaitlis. Tādējādi 400 var ieskaitīt kvadrātveida koeficientos 25 un 16, tas ir, 25 x 16 \u003d 400.

Pierakstiet to šādi: 400 \u003d (25 x 16).



Dažu terminu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar katra termina kvadrātsakņu reizinājumu, tas ir, (a x b) \u003d a x b. Izmantojot šo kārtulu, ņem katra kvadrātfaktora kvadrātsakni un reiziniet rezultātus, lai atrastu atbildi.

Mūsu piemērā izvelciet 25 un 16 sakni.



Ja saknes numurs nesadalās divās daļās kvadrāta koeficients (un tas notiek vairumā gadījumu), jūs nevarat atrast precīzu atbildi vesela skaitļa formā. Bet jūs varat vienkāršot problēmu, saknes numuru ieskaitot kvadrātā un parastā koeficientā (skaitlis, no kura nevar izvilkt visu kvadrātsakni). Tad jūs ņemsit kvadrāta faktora kvadrātsakni un parastā faktora sakni.

Piemēram, aprēķiniet skaitļa 147 kvadrātsakni. Skaitli 147 nevar sadalīt divos kvadrātveida faktoros, bet to var ņemt vērā šādos faktoros: 49 un 3. Atrisiniet problēmu šādi:



Tagad jūs varat novērtēt saknes vērtību (atrast aptuvenu vērtību), salīdzinot to ar kvadrātu skaitļu sakņu vērtībām, kas ir vistuvāk (skaitļu līnijas abās pusēs) saknes skaitlim. Jūs iegūsiet saknes vērtību kā decimāldaļu, kas jāreizina ar skaitli aiz saknes zīmes.

Atgriezīsimies pie sava piemēra. Saknes numurs ir 3. Tam tuvākie kvadrātu skaitļi būs skaitļi 1 (1 \u003d 1) un 4 (4 \u003d 2). Tātad 3 ir no 1 līdz 2. Tā kā 3, iespējams, ir tuvāk 2 nekā 1, mūsu aplēses ir 3 \u003d 1,7. Mēs reizinām šo vērtību ar skaitli saknes zīmē: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ja veicat aprēķinus kalkulatorā, iegūstat 12,13, kas ir diezgan tuvu mūsu atbildei.

Šī metode darbojas arī ar lielu skaitu. Piemēram, apsveriet 35. Saknes numurs ir 35. Tuvākie kvadrātu skaitļi ir 25 (25 \u003d 5) un 36 (36 \u003d 6). Tādējādi 35 ir no 5 līdz 6. Tā kā 35 ir daudz tuvāk 6 nekā 5 (jo 35 ir tikai 1 mazāks par 36), tad mēs varam teikt, ka 35 ir nedaudz mazāks par 6. Pārbaudot kalkulatoru, mēs saņemam atbildi 5,92 - mums bija taisnība.



Vēl viens veids ir radikālā skaitļa iekļaušana galvenajos faktoros. Galvenie skaitļu faktori, kas dalās tikai ar 1 un sevi. Pierakstiet galvenos faktorus pēc kārtas un atrodiet to pašu faktoru pārus. Šādus faktorus var ņemt ārpus saknes zīmes.

Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni 45. Mēs sadalām radikālo skaitli galvenajos faktoros: 45 \u003d 9 x 5 un 9 \u003d 3 x 3. Tādējādi 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 var ņemt ārpus saknes zīmes: 45 \u003d 35. Tagad jūs varat novērtēt 5.

Apsveriet vēl vienu piemēru: 88.

\u003d (2 x 4 x 11)

\u003d (2 x 2 x 2 x 11). Jūs saņēmāt trīs reizinātājus no 2; paņemiet pāris no tiem un novietojiet tos ārpus saknes zīmes.

2 (2 x 11) \u003d 22 x 11. Tagad jūs varat novērtēt 2 un 11 un atrast aptuvenu atbildi.

Šis mācību video var būt noderīgs:

Lai iegūtu skaitļa sakni, jums jāizmanto kalkulators, vai, ja nav piemērota, es iesaku jums doties uz šo vietni un atrisināt problēmu, izmantojot tiešsaistes kalkulatorskas sekundēs sniegs pareizo vērtību.

Sakņu saskaitīšana un atņemšana ir viens no visbiežāk sastopamajiem "klupšanas akmeņiem" tiem, kas mācās matemātikas (algebras) kursus vidusskolā. Tomēr ir ļoti svarīgi iemācīties pareizi tos saskaitīt un atņemt, jo piemēri sakņu summai vai starpībai ir iekļauti Vienotā valsts pamateksāmena programmā disciplīnā "matemātika".

Lai apgūtu šādu piemēru risinājumu, ir nepieciešamas divas lietas - noteikumu izpratne un arī prakses attīstīšana. Atrisinājis vienu vai divus desmitus tipisku piemēru, students šo prasmi novedīs pie automātisma, un tad viņam nebūs no kā baidīties eksāmenā. Aritmētiskās darbības ieteicams sākt apgūt ar saskaitīšanu, jo to pievienošana ir nedaudz vienkāršāka nekā atņemšana.

Vieglākais veids, kā to izskaidrot, ir kvadrātsaknes piemērs. Matemātikā ir vispāratzīts termins "kvadrāts". "Kvadrātveida" nozīmē reizināt konkrētu skaitli vienu reizi ar sevi... Piemēram, ja jūs kvadrātveida 2, jūs saņemat 4. Ja jūs kvadrātveida 7, jūs saņemat 49. Kvadrāts ar 9 ir 81. Tātad kvadrātsakne no 4 ir 2, no 49 ir \u200b\u200b7 un no 81 ir 9.

Parasti šīs tēmas apguve matemātikā sākas ar kvadrātveida saknēm. Lai to uzreiz noteiktu, vidusskolēnam reizināšanas tabula jāzina no galvas. Tiem, kuri nav pārliecināti par šo tabulu, ir jāizmanto padomi. Parasti saknes kvadrāta iegūšana no skaitļa tiek dota tabulas veidā uz daudzu skolas matemātikas burtnīcu vākiem.

Saknes ir šāda veida:

• kvadrāts;
• kubiskais (vai tā sauktais trešais grāds);
• ceturtā pakāpe;
• piektā pakāpe.

Papildināšanas noteikumi

Lai veiksmīgi atrisinātu tipisks piemērs, jāpatur prātā, ka ne visi sakņu numuri var sakraut viens ar otru... Lai tos varētu salocīt, tie jāpielāgo kopējam paraugam. Ja tas nav iespējams, problēmai nav risinājuma. Šādas problēmas bieži sastopamas arī matemātikas mācību grāmatās kā sava veida slazds studentiem.

Uzdevumos nav atļauts pievienot, ja radikālas izteiksmes atšķiras viena no otras. To var ilustrēt ar ilustratīvu piemēru:

• students saskaras ar uzdevumu: pievienojiet kvadrātsakni no 4 un 9;
• nepieredzējis students, kurš nezina likumu, parasti raksta: "4 sakne + 9 sakne \u003d 13 sakne".
• pierādīt, ka šis risinājums ir nepareizs, ir ļoti vienkārši. Lai to izdarītu, jāatrod kvadrātsakne no 13 un jāpārbauda, \u200b\u200bvai piemērs ir pareizi atrisināts;
• izmantojot mikrokalkulatoru, jūs varat noteikt, ka tas ir aptuveni 3,6. Tagad atliek pārbaudīt risinājumu;
• sakne no 4 \u003d 2 un no 9 \u003d 3;
• Skaitļu "divi" un "trīs" summa ir pieci. Tādējādi šo risinājuma algoritmu var uzskatīt par nepareizu.

Ja saknes ir vienā pakāpē, bet atšķirīgas ciparu izteicieni, tas tiek izņemts no iekavām, un iekavās ir divu radikālu izteicienu summa... Tādējādi tas jau ir iegūts no šīs summas.

Papildināšanas algoritms

Lai pieņemtu pareizo lēmumu vienkāršākais uzdevums, tas ir nepieciešams:

1. Nosakiet, kas tieši prasa pievienošanu.
2. Lai saprastu, vai ir iespējams pievienot vērtības viena otrai, vadoties pēc matemātikā pastāvošajiem noteikumiem.
3. Ja tos nevar salocīt, jums tie jāpārveido tā, lai tos varētu salocīt.
4. Pēc visu nepieciešamo pārveidojumu veikšanas ir nepieciešams veikt papildinājumu un pierakstīt gatavo atbildi. Atkarībā no piemēra sarežģītības var pievienot galvā vai izmantojot mikrokalkulatoru.

Kādas ir līdzīgas saknes

Lai pareizi atrisinātu pievienošanas piemēru, vispirms jādomā par to, kā jūs to varat vienkāršot. Lai to izdarītu, jums ir jābūt pamatzināšanām par to, kas ir līdzība.

Spēja identificēt līdzīgus palīdz ātri atrisināt līdzīgus papildinājumu piemērus, ieviešot tos vienkāršotā formā. Lai vienkāršotu tipisku pievienošanas piemēru, jums:

1. Atrodiet līdzīgus un atlasiet tos vienā grupā (vai vairākās grupās).
2. Pārrakstiet esošo piemēru tā, lai saknes, kurām ir viens un tas pats rādītājs, skaidri ietu viena pēc otras (to sauc par "grupēšanu").
3. Pēc tam jums vajadzētu vēlreiz pārrakstīt izteicienu, šoreiz tā, lai līdzīgi (kuriem ir vienāds rādītājs un vienāds radikāls skaitlis) arī sekotu viens otram.

Pēc tam vienkāršotu piemēru parasti ir viegli atrisināt.

Lai pareizi atrisinātu jebkuru pievienošanas piemēru, ir skaidri jāsaprot pievienošanas pamatnoteikumi, kā arī jāzina, kas ir sakne un kas tā ir.

Dažreiz šādi uzdevumi no pirmā acu uzmetiena izskatās ļoti grūti, taču parasti tos var viegli atrisināt, grupējot līdzīgus uzdevumus. Vissvarīgākais ir prakse, un tad students sāks "noklikšķināt uz tādām problēmām kā rieksti". Sakņu pievienošana ir viena no vissvarīgākajām matemātikas jomām, tāpēc skolotājiem vajadzētu veltīt pietiekami daudz laika, lai to mācītos.

Video

Šis video palīdzēs jums saprast vienādojumus ar kvadrātsaknēm.