Ir 8 polinomu faktorizācijas piemēri. Tie ietver piemērus ar kvadrātisko un divkvadrātisko vienādojumu risināšanu, piemērus ar refleksīviem polinomiem un piemērus ar trešās un ceturtās pakāpes polinomu veselu sakņu atrašanu.

1. Piemēri ar kvadrātvienādojuma atrisināšanu

1.1. Piemērs

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Lēmums

Izņem x 2 ārpus iekavām:
.
2 + x - 6 \u003d 0:
.
Vienādojuma saknes:
, .

.

Atbilde

1.2. Piemērs

Trešās pakāpes polinoma faktors:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Lēmums

Pārvietot x no iekavām:
.
Mēs atrisinām kvadrātvienādojums x 2 + 6 x + 9 \u003d 0:
Tās diskriminants :.
Tā kā diskriminants ir nulle, vienādojuma saknes ir vairākas :;
.

No tā mēs iegūstam polinoma faktorizāciju:
.

Atbilde

1.3. Piemērs

5. pakāpes polinoma faktors:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Lēmums

Izņem x 3 ārpus iekavām:
.
Kvadrātvienādojuma x atrisināšana 2 - 2 x + 10 \u003d 0.
Tās diskriminants :.
Tā kā diskriminants mazāks par nulli, tad vienādojuma saknes ir sarežģītas :;
, .

Polinoma faktorizācija ir:
.

Ja mūs interesē faktorizācija ar reāliem koeficientiem, tad:
.

Atbilde

Faktoringa polinomu piemēri, izmantojot formulas

Piemēri ar divkvadrātu polinomiem

2.1. Piemērs

Izņemiet divkadrisku polinomu:
x 4 + x 2 - 20.

Lēmums

Piemērosim formulas:
a 2 + 2 ab + b 2 \u003d (a + b) 2;
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b).

;
.

Atbilde

2.2. Piemērs

Faktors polinoms, kas reducējas uz divkadrātu:
x 8 + x 4 + 1.

Lēmums

Piemērosim formulas:
a 2 + 2 ab + b 2 \u003d (a + b) 2;
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b):

;

;
.

Atbilde

2.3. Piemērs ar atdodamu polinomu

Faktors atgriešanās polinoms:
.

Lēmums

Reflektīvajam polinomam ir nepāra pakāpe. Tāpēc tam ir sakne x \u003d - 1 ... Mēs dalām polinomu ar x - (-1) \u003d x + 1... Rezultātā mēs iegūstam:
.
Mēs veicam nomaiņu:
, ;
;


;
.

Atbilde

Faktoringa polinomu ar veselām saknēm piemēri

3.1. Piemērs

Izņemiet polinomu:
.

Lēmums

Pieņemsim, ka vienādojums

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3-6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 \u003d -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 \u003d -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 \u003d -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 \u003d -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 \u003d 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 \u003d 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 \u003d 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 \u003d 60.

Tātad, mēs atradām trīs saknes:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Tā kā sākotnējais polinoms ir trešās pakāpes, tam ir ne vairāk kā trīs saknes. Tā kā mēs atradām trīs saknes, tās ir vienkāršas. Tad
.

Atbilde

3.2. Piemērs

Izņemiet polinomu:
.

Lēmums

Pieņemsim, ka vienādojums

ir vismaz viena vesela sakne. Tad tas ir skaitļa dalītājs 2 (termins bez x). Tas ir, visa sakne var būt viens no skaitļiem:
-2, -1, 1, 2 .
Mēs pēc kārtas aizstājam šīs vērtības:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 \u003d 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 \u003d 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 \u003d 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 \u003d 54 .
Ja pieņemam, ka šim vienādojumam ir vesels skaitlis, tad tas ir skaitļa dalītājs 2 (termins bez x). Tas ir, visa sakne var būt viens no skaitļiem:
1, 2, -1, -2 .
Aizstāt x \u003d -1 :
.

Tātad, mēs atradām citu sakni x 2 = -1 ... Būtu iespējams, tāpat kā iepriekšējā gadījumā, sadalīt polinomu ar, bet mēs grupēsim dalībniekus:
.

Tā kā vienādojums x 2 + 2 = 0 nav reālu sakņu, tad polinoma faktorizācijai ir forma.

Atrodiet kvadrātvienādojuma sakņu summu un reizinājumu. Izmantojot formulas (59.8) reducētā vienādojuma saknēm, iegūstam

(pirmā vienādība ir acīmredzama, otro iegūst pēc vienkārša aprēķina, ko lasītājs veiks neatkarīgi; ir ērti izmantot divu skaitļu summas reizinājuma formulu pēc to atšķirības).

Ir pierādīts sekojošais.

Vietas teorēma. Samazinātā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēja zīme, un viņu produkts ir vienāds ar brīvo termiņu.

Nesamazināta kvadrātvienādojuma gadījumā formulas (60.1) izteiksmes formulās (60.1) jāaizstāj, lai iegūtu

1. piemērs. Izveidojiet kvadrātvienādojumu pēc saknēm:

Risinājums, a) Mēs atrodam, ka vienādojumam ir forma

2. piemērs. Atrodiet vienādojuma sakņu kvadrātu summu, neatrisinot pašu vienādojumu.

Lēmums. Sakņu summa un produkts ir zināms. Mēs attēlojam sakņu kvadrātu summu formā

un dabūt

Formulu ir viegli iegūt no Vieta formulām

izsakot kvadrātveida trīsvienības koeficienta noteikšanas likumu.

Patiešām, mēs rakstām formulas (60.2) formā

Tagad mums ir

kas bija jāiegūst.

Iepriekš minētais Vieta formulu atvasinājums lasītājam ir pazīstams no vidusskolas algebras kursa. Var izdarīt vēl vienu secinājumu, izmantojot Bezout teorēmu un faktoru polinomu (51., 52. punkts).

Ļaujiet tad būt vienādojuma saknēm vispārīgs noteikums (52.2) trinomiāls vienādojuma kreisajā pusē tiek koeficientēts:

Paplašinot iekavas šīs identitātes labajā pusē, mēs iegūstam

un salīdzinot koeficientus tajos pašos grādos, mēs iegūsim Vieta formulas (60.1).

Šī secinājuma priekšrocība ir tā, ka to var piemērot vienādojumiem augstāki grādi lai iegūtu izteiksmes vienādojuma koeficientiem sakņu izteiksmē (neatrodot pašas saknes!). Piemēram, ja samazināta kubiskā vienādojuma saknes

būtībā saskaņā ar vienlīdzību (52.2) mēs atrodam

(mūsu gadījumā, paplašinot iekavās vienādības labajā pusē un vācot koeficientus dažādās pakāpēs, mēs iegūstam

Pasaule ir iegremdēta milzīgā skaitā. Jebkurš aprēķins tiek veikts ar viņu palīdzību.

Cilvēki mācās skaitļus, lai vēlāk dzīvē nepiekristu maldiem. Lai izglītotos un aprēķinātu savu budžetu, nepieciešams milzīgs laiks.

Matemātika ir precīza zinātne, kurai dzīvē ir liela loma. Skolā bērni apgūst skaitļus un pēc tam darbības ar viņiem.

Darbības ar skaitļiem ir pilnīgi atšķirīgas: reizināšana, paplašināšana, saskaitīšana un citas. Papildus vienkāršām formulām matemātikas studijās tiek izmantotas arī sarežģītākas darbības. Ir ļoti daudz formulu, pēc kurām var atpazīt jebkuras vērtības.

Skolā, tiklīdz parādās algebra, skolēna dzīvē tiek pievienotas vienkāršošanas formulas. Ir vienādojumi, ja ir divi nezināmi skaitļi, bet atrodiet vienkāršā veidā nedarbosies. Trīs termiņš ir trīs monomālu savienojums, izmantojot vienkāršu atņemšanas un saskaitīšanas metodi. Trinomiāls tiek atrisināts, izmantojot Vieta teorēmu un diskriminantu.

Kvadrātveida trīsvienības faktora aprēķināšanas formula

Ir divi pareizi un vienkāršus risinājumus piemērs:

• diskriminējošs;
• vietas teorēma.

Kvadrātveida trinomālam ir nezināms kvadrāts un skaitlis bez kvadrāta. Pirmajā variantā problēmas risināšanai tiek izmantota Vieta formula. Šī ir vienkārša formulaja skaitļi, kas stāv nezināmā priekšā, būs minimālā vērtība.

Citiem vienādojumiem, kur skaitlis ir pirms nezināmā, vienādojums jāatrisina, izmantojot diskriminantu. Tas ir sarežģītāks risinājums, taču atšķirīgais tiek izmantots daudz biežāk nekā Vieta teorēma.

Sākotnēji, lai atrastu visus vienādojuma mainīgie nepieciešams paaugstināt piemēru līdz 0. Piemēra risinājumu var pārbaudīt un uzzināt, vai skaitļi ir pareizi pielāgoti.

Diskriminējošs

1. Vienādojumu nepieciešams pielīdzināt 0.

2. Katru skaitli pirms x sauc par skaitļiem a, b, c. Tā kā pirms pirmā kvadrāta x nav skaitļa, tas ir vienāds ar 1.

3. Tagad vienādojuma risinājums sākas ar diskriminantu:

4. Tagad mēs esam atraduši diskriminantu un atrodam divus x. Atšķirība ir tāda, ka vienā gadījumā pirms b pirms pluss un otrā mīnus:

5. Saskaņā ar risinājumu divi skaitļi izrādījās -2 un -1. Aizstāt zem sākotnējā vienādojuma:

6. Šajā piemērā ir divi pareizas opcijas... Ja abi risinājumi ir pareizi, tad katrs no tiem ir patiess.

Izmantojot diskriminantu, tiek atrisināti arī sarežģītāki vienādojumi. Bet, ja paša diskriminanta vērtība ir mazāka par 0, tad piemērs ir nepareizs. Diskriminants vienmēr ir saknes meklēšanā, un negatīva vērtība nevar būt sakne.

Vietas teorēma

To lieto gaismas problēmu risināšanai, ja pirmā x priekšā nav skaitļa, tas ir, a \u003d 1. Ja opcija sakrīt, aprēķins tiek veikts, izmantojot Vieta teorēmu.

Lai atrisinātu jebkuru trīs termiņu ir jāpaaugstina vienādojums līdz 0. Pirmie soļi diskriminantam un Vieta teorēmai neatšķiras.

2. Tagad sākas atšķirības starp abām metodēm. Vieta teorēma izmanto ne tikai "sausu" aprēķinu, bet arī loģiku un intuīciju. Katram skaitlim ir savs burts a, b, c. Teorēma izmanto divu skaitļu summu un reizinājumu.

Atcerieties! Skaitlis b vienmēr tiek pievienots ar pretēju zīmi, un skaitlis c paliek nemainīgs!

Datu vērtību aizstāšana piemērā , mēs iegūstam:

3. Izmantojot loģikas metodi, mēs aizstājam vispiemērotākos skaitļus. Apsvērsim visus risinājumus:

1. Skaitļi ir 1 un 2. Pievienojot, jūs saņemat 3, bet, ja reizināt, nesaņemat 4. Neder.
2. Vērtība ir 2 un -2. Reizinot, tas būs -4, bet, pievienojot, būs 0. Nav piemērots.
3. Skaitļi ir 4 un -1. Tā kā reizināšanā ir negatīva vērtība, tas nozīmē, ka viens no skaitļiem būs ar mīnusu. Pievienojot un reizinot, ir lietderīgi. Pareiza opcija.

4. Atliek tikai pārbaudīt, paplašināt skaitļus un redzēt izvēlētās opcijas pareizību.

5. Pateicoties tiešsaistes pārbaudei, mēs uzzinājām, ka -1 neatbilst piemēra nosacījumam, kas nozīmē, ka tas ir nepareizs lēmums.

Pievienojot negatīvu vērtību piemērā, skaitlis ir jāievieto iekavās.

Matemātikā tā būs vienmēr vienkārši uzdevumi un sarežģīts. Pati zinātne ietver dažādas problēmas, teorēmas un formulas. Ja jūs saprotat un pareizi lietojat zināšanas, visas grūtības ar aprēķiniem būs niecīgas.

Matemātikai nav nepieciešama pastāvīga iegaumēšana. Jums jāiemācās saprast risinājumu un jāiemācās dažas formulas. Pamazām, pēc loģiskiem secinājumiem, ir iespējams atrisināt līdzīgas problēmas, vienādojumus. Šāda zinātne no pirmā acu uzmetiena var šķist ļoti grūta, bet, ja viņi ienirt skaitļu un problēmu pasaulē, tad viedoklis dramatiski mainīsies labākā puse.

Tehniskās īpatnības vienmēr paliek vispieprasītākie pasaulē. Tagad pasaulē mūsdienu tehnoloģijas, matemātika ir kļuvusi par neaizstājamu jebkura lauka atribūtu. Vienmēr jāatceras par derīgās īpašības matemātika.

Trinomija sadalīšana, izmantojot kronšteinu

Papildus risināšanai parastajos veidos ir vēl viens - paplašināšana iekavās. Izmantojiet Vieta formulu.

1. Vienādojiet vienādojumu ar 0.

cirvis 2 + bx + c= 0

2. Vienādojuma saknes paliek nemainīgas, bet nulles vietā tagad iekavās izmanto paplašināšanas formulas.

cirvis 2 + bx + c \u003d a ( x - x 1) ( x - x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 ( x + 1) ( x – 3)

4. Risinājums x \u003d -1, x \u003d 3

Kvadrātveida trinomālie faktori attiecas uz skolas uzdevumiem, ar kuriem visi agrāk vai vēlāk saskarsies. Kā tu to dari? Kāda ir kvadrātveida trinomija faktorizācijas formula? Soli pa solim izdomāsim, izmantojot piemērus.

Vispārējā formula

Kvadrātveida trinomālu faktorizāciju veic, risinot kvadrātvienādojumu. Šī ir vienkārša problēma, kuru var atrisināt ar vairākām metodēm - atrodot diskriminantu, izmantojot Vieta teorēmu, ir arī grafisks veids, kā to atrisināt. Pirmie divi tiek mācīti vidusskolā.

Vispārīgā formula izskatās šādi:lx 2 + kx + n \u003d l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Uzdevuma izpildes algoritms

Lai faktorizētu kvadrātveida trinomus, jums jāzina Vitas teorēma, jums ir pieejama programma risināšanai, jāspēj grafiski atrast risinājumu vai jāmeklē otrās pakāpes vienādojuma saknes, izmantojot diskriminējošo formulu. Ja tiek dots kvadrātveida trinoms, un tas ir jāfaktificē, darbību algoritms ir šāds:

1) Iestatiet sākotnējo izteiksmi uz nulli, lai iegūtu vienādojumu.

2) Svins līdzīgi termini (ja nepieciešams).

3) Atrodiet saknes no jebkura zināmā veidā... Grafisko metodi vislabāk izmantot, ja iepriekš ir zināms, ka saknes ir veselas un mazas. Jāatceras, ka sakņu skaits ir vienāds ar vienādojuma maksimālo pakāpi, tas ir, kvadrātvienādojumam ir divas saknes.

4) Aizstājēja vērtība x izteiksmē (1).

5) Uzrakstiet kvadrātveida trīsciparu faktorizāciju.

Piemēri

Prakse ļauj beidzot saprast, kā šis uzdevums tiek veikts. Kvadrātveida trīsvienības faktorizāciju ilustrē ar piemēriem:

nepieciešams paplašināt izteicienu:

Pieņemsim izmantot mūsu algoritmu:

1) x 2 -17x + 32 \u003d 0

2) tiek samazināti līdzīgi termini

3) izmantojot Vieta formulu, ir grūti atrast šī piemēra saknes, tāpēc izteicienu labāk izmantot diskriminējošajam:

D \u003d 289–128 \u003d 161 \u003d (12,69) 2

4) Aizstājiet saknes, kuras mēs atradām galvenajā sadalīšanās formulā:

(x-2 155) * (x-14 845)

5) Tad atbilde būs šāda:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Pārbaudīsim, vai diskriminanta atrastie risinājumi atbilst Vieta formulām:

14,845 . 2,155=32

Šīm saknēm tiek piemērota Vieta teorēma, tās tika atrastas pareizi, kas nozīmē, ka pareiza ir arī mūsu iegūtā faktorizācija.

Līdzīgi mēs paplašinām 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Iepriekšējā gadījumā risinājumi bija nevis vesels skaitlis, bet gan reāli skaitļi, kurus ir viegli atrast, ja jums priekšā ir kalkulators. Tagad apsveriet sarežģītāku piemēru, kurā saknes ir sarežģītas: koeficients x 2 + 4x + 9. Pēc Vietas formulas saknes nav atrodamas, un diskriminants ir negatīvs. Saknes atradīsies sarežģītā plaknē.

D \u003d -20

Pamatojoties uz to, mēs iegūstam saknes, kas mūs interesē -4 + 2i * 5 1/2 un -4-2i * 5 1/2, jo (-20) 1/2 \u003d 2i * 5 1/2.

Nepieciešamo sadalījumu iegūstam, saknes aizstājot ar vispārējo formulu.

Vēl viens piemērs: jāfaktorizē izteiksme 23x 2 -14x + 7.

Mums ir vienādojums 23x 2 -14x + 7 =0

D \u003d -448

Tādējādi saknes ir 14 + 21,166i un 14-21,166i. Atbilde būtu šāda:

23x 2 -14x + 7 \u003d 23 (x- 14-21,166i )*(x- 14 + 21,166i ).

Sniegsim piemēru, kuru var atrisināt bez diskriminanta palīdzības.

Pieņemsim, ka jums jāpaplašina kvadrātvienādojums x 2 -32x + 255. Acīmredzot to var atrisināt ar diskriminantu, taču šajā gadījumā ir ātrāk uzņemt saknes.

x 1 \u003d 15

x 2 \u003d 17

Nozīmē x 2 -32x + 255 \u003d (x-15) (x-17).