Pirmais līmenis

Kvadrātvienādojumi. Visaptverošs ceļvedis (2019)

Termiņā " kvadrātvienādojums"Atslēgas vārds ir" kvadrāts ". Tas nozīmē, ka vienādojumam jābūt mainīgam (tam pašam x) kvadrātā, un trešajā (vai lielākā) pakāpē nedrīkst būt x.

Daudzu vienādojumu risinājums tiek samazināts līdz kvadrātvienādojumu risinājumam.

Uzzināsim, kā definēt, ka mums ir kvadrātvienādojums, nevis kāds cits.

1. piemērs.

Atbrīvosimies no saucēja un reizināsim katru vienādojuma vārdu ar

Pārsūtīsim visu uz kreisā puse un sakārtojiet nosacījumus x pakāpju dilstošā secībā

Tagad mēs varam droši teikt, ka šis vienādojums ir kvadrātisks!

2. piemērs.

Pavairosim kreiso un labo pusi ar:

Šis vienādojums, lai arī sākotnēji bija tajā, nav kvadrāts!

3. piemērs.

Pavairosim visu ar:

Biedējoši? Ceturtais un otrais grāds ... Tomēr, ja mēs aizstāsim, mēs redzēsim, ka mums ir vienkāršs kvadrātvienādojums:

4. piemērs.

Šķiet, ka tā ir, bet apskatīsim to tuvāk. Pārvietojiet visu uz kreiso pusi:

Redziet, tas ir sarucis - un tagad tas ir vienkāršs lineārais vienādojums!

Tagad mēģiniet pats noskaidrot, kuri no šiem vienādojumiem ir kvadrātiski un kuri nav:

Piemēri:

Atbildes:

1. kvadrāts;
2. kvadrāts;
3. nav kvadrātveida;
4. nav kvadrātveida;
5. nav kvadrātveida;
6. kvadrāts;
7. nav kvadrātveida;
8. kvadrāts.

Matemātiķi visus kvadrātvienādojumus parasti sadala šādā formā:

• Pilnīgi kvadrātvienādojumi - vienādojumi, kuros koeficienti un, kā arī brīvais termins ar nav vienāds ar nulli (kā piemērā). Turklāt starp pilnīgajiem kvadrātvienādojumiem ir dota ir vienādojumi, kuros koeficients (vienādojums no pirmā piemēra ir ne tikai pilnīgs, bet arī samazināts!)

• Nepilnīgi kvadrātvienādojumi - vienādojumi, kuros koeficients un vai brīvais c ir vienāds ar nulli:

  Tās ir nepilnīgas, jo tām trūkst kāda elementa. Bet vienādojumā vienmēr jābūt x kvadrātā !!! Pretējā gadījumā tas vairs nebūs kvadrāts, bet gan kāds cits vienādojums.

Kāpēc jūs izdomājāt šādu dalījumu? Šķiet, ka ir x kvadrāts, un labi. Šis sadalījums ir saistīts ar risināšanas metodēm. Apsvērsim katru no tiem sīkāk.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšana

Sākumā pievērsīsimies nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai - tie ir daudz vieglāk!

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi ir šāda veida:

1. , šajā vienādojumā koeficients ir.
2. , šajā vienādojumā brīvais termins ir.
3. , šajā vienādojumā koeficients un krustpunkts ir vienādi.

1.un. Tā kā mēs zinām, kā iegūt kvadrātsakne, tad izteiksimies no šī vienādojuma

Izteiksme var būt vai nu negatīva, vai pozitīva. Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis, tātad: ja, tad vienādojumam nav risinājumu.

Un, ja, tad mēs iegūstam divas saknes. Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais ir tas, ka jums jāzina un vienmēr jāatceras, ka to nevar būt mazāk.

Mēģināsim atrisināt dažus piemērus.

5. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Tagad paliek izvilkt sakni no kreisās un labās puses. Vai atceraties, kā iegūt saknes?

Atbilde:

Nekad neaizmirstiet par negatīvām saknēm !!!

6. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Atbilde:

7. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Ak! Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums

nav sakņu!

Šādiem vienādojumiem, kuriem nav sakņu, matemātiķi ir izdomājuši īpašu ikonu - (tukša kopa). Un atbildi var uzrakstīt šādi:

Atbilde:

Tādējādi šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Šeit nav ierobežojumu, jo mēs neizņēmām sakni.
8. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:

Tādējādi

Šim vienādojumam ir divas saknes.

Atbilde:

Visvienkāršākais nepilnīgo kvadrātvienādojumu veids (kaut arī tie visi ir vienkārši, vai ne?). Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:

Mēs šeit iztiksim bez piemēriem.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

Atgādinām, ka pilnīgs kvadrātvienādojums ir formas vienādojuma kur vienādojums

Kvadrātvienādojumu pabeigšanas risinājums ir nedaudz grūtāks (tikai nedaudz) nekā norādītie.

Atcerieties, jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.

Pārējās metodes palīdzēs to izdarīt ātrāk, bet, ja jums ir problēmas ar kvadrātvienādojumiem, vispirms apgūstiet risinājumu, izmantojot diskriminantu.

1. Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot diskriminantu.

Šādi atrisināt kvadrātvienādojumus ir ļoti vienkārši, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas.

Ja, tad vienādojumam ir sakne. Īpaša uzmanība sper soli. Diskriminants () mums norāda vienādojuma sakņu skaitu.

• Ja, tad solī norādītā formula tiks samazināta līdz. Tādējādi vienādojumam būs visa sakne.
• Ja, tad solī mēs nevarēsim iegūt sakni no atšķirīgā. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.

Atgriezīsimies pie mūsu vienādojumiem un apskatīsim dažus piemērus.

9. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

1. solis izlaist.

2. solis.

Mēs atrodam diskriminējošo:

Tātad vienādojumam ir divas saknes.

3. solis.

Atbilde:

10. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Tāpēc vienādojums tiek parādīts standarta formā 1. solis izlaist.

2. solis.

Mēs atrodam diskriminējošo:

Tātad vienādojumam ir viena sakne.

Atbilde:

11. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Tāpēc vienādojums tiek parādīts standarta formā 1. solis izlaist.

2. solis.

Mēs atrodam diskriminējošo:

Tāpēc mēs nevarēsim iegūt sakni no diskriminanta. Vienādojumam nav sakņu.

Tagad mēs zinām, kā pareizi pierakstīt šādas atbildes.

Atbilde:Nav sakņu

2. Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vieta teorēmu.

Ja atceraties, ir daži vienādojumu veidi, kurus sauc par samazinātiem (ja koeficients a ir vienāds):

Šādus vienādojumus ir ļoti viegli atrisināt, izmantojot Vieta teorēmu:

Sakņu summa dota kvadrātvienādojums ir, un sakņu reizinājums ir.

12. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Šis vienādojums ir piemērots risināšanai, izmantojot Vieta teorēmu, jo ...

Vienādojuma sakņu summa ir, t.i. mēs iegūstam pirmo vienādojumu:

Un produkts ir vienāds ar:

Sastādīsim un atrisināsim sistēmu:

• un. Summa ir vienāda;
• un. Summa ir vienāda;
• un. Summa ir vienāda.

un ir sistēmas risinājums:

Atbilde: ; .

13. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Atbilde:

14. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Vienādojums ir samazināts, kas nozīmē:

Atbilde:

Kvadrātiskie vienādojumi. VIDĒJĀ LĪMENIS

Kas ir kvadrātvienādojums?

Citiem vārdiem sakot, kvadrātvienādojums ir formas vienādojums, kur nav zināms, ir daži skaitļi un.

Numuru sauc par vecāko vai pirmie koeficienti kvadrātvienādojums, - otrais koeficients, un - bezmaksas biedrs.

Kāpēc? Jo, ja vienādojums nekavējoties kļūst lineārs, jo pazudīs.

Turklāt, un tas var būt vienāds ar nulli. Šajā krēslā vienādojumu sauc par nepilnīgu. Ja visi termini ir ieviesti, tas ir, vienādojums ir pabeigts.

Dažādu kvadrātvienādojumu veidu risinājumi

Metodes nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai:

Sākumā apskatīsim nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes - tās ir vienkāršākas.

Var izdalīt šādus vienādojumu veidus:

I., šajā vienādojumā koeficients un krustpunkts ir vienādi.

II. , šajā vienādojumā koeficients ir.

III. , šajā vienādojumā brīvais termins ir.

Tagad aplūkosim katra no šiem apakštipiem risinājumu.

Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:

Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis. Tādēļ:

ja, tad vienādojumam nav risinājumu;

ja, mums ir divas saknes

Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais atcerēties, ka tas nevar būt mazāks.

Piemēri:

Risinājumi:

Atbilde:

Nekad neaizmirstiet par negatīvām saknēm!

Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums

nav sakņu.

Lai īsi ierakstītu, ka problēmai nav risinājumu, mēs izmantojam tukšās kopas ikonu.

Atbilde:

Tātad šim vienādojumam ir divas saknes: un.

Atbilde:

Izvelciet kopējo faktoru no iekavām:

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir risinājums, ja:

Tātad šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes: un.

Piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums:

Faktors kreisajā pusē vienādojumu un atrast saknes:

Atbilde:

Metodes pilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai:

1. Diskriminējošs

Šādā veidā kvadrātvienādojumus atrisināt ir viegli, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas. Atcerieties, ka jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.

Vai saknes formulā esat pamanījis diskriminanta sakni? Bet atšķirīgais var būt negatīvs. Ko darīt? Īpaša uzmanība jums jāpievērš 2. solim. Diskriminants mums norāda vienādojuma sakņu skaitu.

• Ja, tad vienādojumam ir sakne:
• Ja, tad vienādojumam ir viena sakne, bet patiesībā viena sakne:

  Šādas saknes sauc par dubultām saknēm.

• Ja, tad diskriminanta sakne netiek iegūta. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.

Kāpēc tas ir iespējams atšķirīga summa saknes? Pievērsīsimies kvadrātvienādojuma ģeometriskajai nozīmei. Funkcijas grafiks ir parabola:

Īpašajā gadījumā, kas ir kvadrātvienādojums ,. Un tas nozīmē, ka kvadrātvienādojuma saknes ir krustošanās punkti ar abscisu asi (asi). Parabola var nemaz nekrustot asi vai arī to krustot vienā (kad parabola virsotne atrodas uz ass) vai divos punktos.

Turklāt koeficients ir atbildīgs par parabolas zaru virzienu. Ja, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, un, ja - tad uz leju.

Piemēri:

Risinājumi:

Atbilde:

Atbilde :.

Atbilde:

Tātad risinājumu nav.

Atbilde :.

2. Vieta teorēma

Vieta teorēmu ir ļoti viegli izmantot: jums vienkārši jāizvēlas skaitļu pāris, kura reizinājums ir vienāds ar vienādojuma brīvo terminu, un summa ir otrais koeficients, kas ņemts ar pretēju zīmi.

Ir svarīgi atcerēties, ka Vieta teorēmu var piemērot tikai samazināti kvadrātvienādojumi ().

Apskatīsim dažus piemērus:

1. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums:

Šis vienādojums ir piemērots risināšanai, izmantojot Vieta teorēmu, jo ... Citi koeficienti :; ...

Vienādojuma sakņu summa ir:

Un produkts ir vienāds ar:

Atlasīsim šādus skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:

• un. Summa ir vienāda;
• un. Summa ir vienāda;
• un. Summa ir vienāda.

un ir sistēmas risinājums:

Tādējādi, un ir mūsu vienādojuma saknes.

Atbilde :; ...

2. piemērs:

Lēmums:

Paņemsim šādus skaitļu pārus, kas dod preci, un pēc tam pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:

un: saskaitīt.

un: saskaitīt. Lai to iegūtu, jums vienkārši jāmaina apgalvoto sakņu pazīmes: un galu galā darbs.

Atbilde:

3. piemērs:

Lēmums:

Vienādojuma brīvais termins ir negatīvs, un tāpēc sakņu produkts ir negatīvs skaitlis... Tas ir iespējams tikai tad, ja viena no saknēm ir negatīva, bet otra - pozitīva. Tāpēc sakņu summa ir to moduļu atšķirība.

Atlasīsim tādus skaitļu pārus, kas dod produktā un kuru starpība ir vienāda ar:

un: viņu atšķirība ir vienāda - neder;

un: - neder;

un: - neder;

un: - der. Atliek tikai atcerēties, ka viena no saknēm ir negatīva. Tā kā to summai jābūt vienādai, saknei absolūtā vērtībā jābūt negatīvai :. Mēs pārbaudām:

Atbilde:

4. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums:

Vienādojums ir samazināts, kas nozīmē:

Brīvais termins ir negatīvs, kas nozīmē, ka sakņu produkts ir negatīvs. Un tas ir iespējams tikai tad, ja viena vienādojuma sakne ir negatīva, bet otra - pozitīva.

Atlasīsim šādus skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pēc tam noteiksim, kurām saknēm jābūt negatīvai zīmei:

Acīmredzot tikai saknes un ir piemērotas pirmajam nosacījumam:

Atbilde:

5. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums:

Vienādojums ir samazināts, kas nozīmē:

Sakņu summa ir negatīva, kas nozīmē, ka vismaz viena no saknēm ir negatīva. Bet, tā kā viņu produkts ir pozitīvs, tad abas saknes ir ar mīnus zīmi.

Atlasīsim šādus skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds ar:

Acīmredzot saknes ir skaitļi un.

Atbilde:

Piekrītu, ir ļoti ērti nākt klajā ar saknēm mutiski, nevis skaitīt šo nejauko diskriminantu. Centieties pēc iespējas biežāk izmantot Vieta teorēmu.

Bet Vieta teorēma ir nepieciešama, lai atvieglotu un paātrinātu sakņu atrašanu. Lai to izmantotu izdevīgi, jums ir jānodrošina darbības automatisms. Un šim nolūkam izlemiet vēl piecus piemērus. Bet nekrāpiet: jūs nevarat izmantot diskriminantu! Tikai Vietas teorēma:

Patstāvīgā darba uzdevumu risināšana:

1. uzdevums. ((X) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Pēc Vietas teorēmas:

Kā parasti, mēs sākam atlasi ar gabalu:

Nav piemērots, jo summa;

: summa ir tā, kas jums nepieciešama.

Atbilde :; ...

2. uzdevums.

Un vēlreiz, mūsu iecienītākā Vieta teorēma: summai vajadzētu darboties, bet reizinājums ir vienāds.

Bet, tā kā tam nevajadzētu būt, bet, mēs mainām sakņu pazīmes: un (kopā).

Atbilde :; ...

3. uzdevums.

Hmm ... Kur tas ir?

Visus noteikumus nepieciešams pārsūtīt vienā daļā:

Sakņu summa ir vienāda ar produktu.

Tāpēc apstājieties! Vienādojums nav dots. Bet Vieta teorēma ir piemērojama tikai iepriekš minētajos vienādojumos. Tātad vispirms jums jānes vienādojums. Ja jūs nevarat vadīt, pametiet šo biznesu un atrisiniet citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu). Ļaujiet man jums atgādināt, ka kvadrātvienādojuma parādīšana nozīmē, ka vadošais koeficients ir vienāds ar

Smalki. Tad sakņu summa ir vienāda, un reizinājums.

Šeit to ir viegli uzņemt: tas ir galvenais skaitlis (atvainojos par tautoloģiju).

Atbilde :; ...

4. uzdevums.

Brīvais termins ir negatīvs. Kas tajā ir tik īpašs? Un fakts, ka saknēm būs dažādas pazīmes. Un tagad atlases laikā mēs pārbaudām nevis sakņu summu, bet gan to moduļu atšķirību: šī atšķirība ir vienāda, bet produkts.

Tātad, saknes ir vienādas un, bet viena no tām ir ar mīnusu. Vieta teorēma mums saka, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, tas ir. Tas nozīmē, ka mazākajai saknei būs mīnus: un, kopš.

Atbilde :; ...

5. uzdevums.

Kas ir pirmais, kas jādara? Pareizi, dodiet vienādojumu:

Atkal: mēs izvēlamies skaitļa faktorus, un to atšķirībai jābūt:

Saknes ir vienādas un, bet viena no tām ir ar mīnusu. Kurš? Viņu summai jābūt vienādai, kas nozīmē, ka ar mīnusu būs lielāka sakne.

Atbilde :; ...

Apkopot:

1. Vieta teorēma tiek izmantota tikai dotajos kvadrātvienādojumos.
2. Izmantojot Vieta teorēmu, saknes var atrast pēc atlases, mutiski.
3. Ja vienādojums nav norādīts vai nav neviena piemērota brīvo terminu pavairotāju pāra, tad nav veselu sakņu, un jums tas jāatrisina citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu).

3. Pilna kvadrāta izvēles metode

Ja visi termini, kas satur nezināmo, tiek parādīti terminu veidā no saīsinātām reizināšanas formulām - summas vai starpības kvadrāts -, tad pēc mainīgo mainīšanas vienādojumu var attēlot kā nepilnīgu tipa kvadrātvienādojumu.

Piemēram:

1. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu :.

Lēmums:

Atbilde:

2. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu :.

Lēmums:

Atbilde:

IN vispārējs skats transformācija izskatīsies šādi:

Tas nozīmē:.

Vai tas neizskatās pēc kaut kā? Tas ir diskriminants! Pareizi, mēs saņēmām diskriminējošo formulu.

Kvadrātiskie vienādojumi. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Kvadrātvienādojumsir formas vienādojums, kur nav zināms, ir kvadrātvienādojuma koeficienti, ir brīvais termins.

Pilns kvadrātvienādojums - vienādojums, kurā koeficienti nav vienādi ar nulli.

Samazināts kvadrātvienādojums - vienādojums, kurā koeficients, tas ir:

Nepilnīgs kvadrātvienādojums - vienādojums, kurā koeficients un vai brīvais c ir vienāds ar nulli:

• ja koeficients, vienādojums ir šāds:
• ja brīvais termins, vienādojums ir šāds:
• ja un, vienādojumam ir šāda forma :.

1. Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas algoritms

1.1. Nepilnīgs formas kvadrātiskais vienādojums, kur ,:

1) Izteiksim nezināmo :,

2) Pārbaudiet izteiksmes zīmi:

• ja, tad vienādojumam nav risinājumu,
• ja, tad vienādojumam ir divas saknes.

1.2. Nepilnīgs formas kvadrātiskais vienādojums, kur ,:

1) Izvelciet kopējo koeficientu no iekavām :,

2) produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tāpēc vienādojumam ir divas saknes:

1.3. Nepilnīgs formas kvadrātiskais vienādojums, kur:

Šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:.

2. Algoritms pilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšanai formā kur

2.1. Diskriminējošs risinājums

1) Samazināsim vienādojumu līdz standarta formai :,

2) Aprēķiniet diskriminantu pēc formulas:, kas norāda vienādojuma sakņu skaitu:

3) Atrodiet vienādojuma saknes:

• ja, tad vienādojumam ir saknes, kuras atrod pēc formulas:
• ja, tad vienādojumam ir sakne, kas atrodama pēc formulas:
• ja, tad vienādojumam nav sakņu.

2.2. Risinājums, izmantojot Vieta teorēmu

Samazinātā kvadrātvienādojuma (formas vienādojums, kur) sakņu summa ir vienāda, un sakņu reizinājums ir vienāds, t.i. , un.

2.3. Pilnīgs kvadrātveida risinājums

2.5 Vieta polinomu formula (vienādojumi) augstāki grādi

Formulas, kuras Viet atvasina kvadrātvienādojumiem, ir derīgas arī augstākas pakāpes polinomiem.

Ļaujiet polinomu

P (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n -1 +… + a n

Ir n dažādu sakņu x 1, x 2…, x n.

Šajā gadījumā tam ir veidlapas faktorizācija:

a 0 x n + a 1 x n-1 +… + a n \u003d a 0 (x - x 1) (x - x 2)… (x - x n)

Mēs sadalām abas šīs vienlīdzības puses ar 0 ≠ 0 un paplašinām iekavas pirmajā daļā. Mēs iegūstam vienlīdzību:

xn + () xn -1 +… + () \u003d xn - (x 1 + x 2 +… + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + xn -1 xn) xn - 2 +… + (- 1) nx 1 x 2… xn

Bet divi polinomi ir identiski vienādi tikai tad, ja koeficienti vienādos grādos ir vienādi. No tā izriet, ka vienlīdzība

x 1 + x 2 +… + x n \u003d -

x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + x n -1 x n \u003d

x 1 x 2 ... x n \u003d (-1) n

Piemēram, trešās pakāpes polinomiem

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Mums ir identitātes

x 1 + x 2 + x 3 \u003d -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 \u003d

x 1 x 2 x 3 \u003d -

Kas attiecas uz kvadrātvienādojumiem, šo formulu sauc par Vieta formulām. Šo formulu kreisās puses ir simetriski polinomi no šī vienādojuma saknēm x 1, x 2 ..., x n, un labās puses tiek izteiktas caur polinoma koeficientu.

2.6. Vienādojumi, kas reducējami uz kvadrātu (divkvadrātiski)

Ceturtās pakāpes vienādojumi tiek samazināti līdz kvadrātvienādojumiem:

cirvis 4 + bx 2 + c \u003d 0,

sauc par divkvadrātu, un, un ≠ 0.

Šajā vienādojumā ir pietiekami ievietot x 2 \u003d y, tāpēc

ay² + ar + c \u003d 0

atrodiet iegūtā kvadrātvienādojuma saknes

y 1,2 \u003d

Lai uzreiz atrastu saknes x 1, x 2, x 3, x 4, aizstājiet y ar x un iegūstiet

x² \u003d

x 1,2,3,4 \u003d .

Ja ceturtās pakāpes vienādojumam ir x 1, tad tam ir arī sakne x 2 \u003d -x 1,

Ja ir x 3, tad x 4 \u003d - x 3. Šāda vienādojuma sakņu summa ir nulle.

2x 4 - 9x² + 4 \u003d 0

Nomainiet vienādojumu formātā, kas paredzēts sakārtotajiem kvadrāta vienādojumiem:

x 1,2,3,4 \u003d ,

zinot, ka x 1 \u003d -x 2 un x 3 \u003d -x 4, tad:

x 3,4 \u003d

Atbilde: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 \u003d

2.7. Bikvadrātisko vienādojumu izpēte

Veikt divkvadrāta vienādojumu

cirvis 4 + bx 2 + c \u003d 0,

kur a, b, c ir reālie skaitļi un a\u003e 0. Ieviešot nezināmu palīgierīci y \u003d x², mēs izpētām šī vienādojuma saknes un rezultātus ievadām tabulā (skat. 1. pielikumu)

2.8 Cardano formula

Izmantojot mūsdienu simboliku, Cardano formulas atvasinājums var izskatīties šādi:

x \u003d

Šī formula nosaka trešās pakāpes vispārējā vienādojuma saknes:

cirvis 3 + 3bx 2 + 3cx + d \u003d 0.

Šī formula ir ļoti apgrūtinoša un sarežģīta (tā satur vairākus sarežģītus radikāļus). Tā nav vienmēr piemērojama, jo ļoti grūti aizpildīt.

F ¢ (xо) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Uzskaitiet vai izvēlieties kādu no 2-3 tekstiem interesantākās vietas. Tādējādi mēs apsvērām vispārīgos noteikumus izvēles kursu izveidošanai un vadīšanai, kas tiks ņemti vērā, izstrādājot izvēles kursu algebrā 9. pakāpei "Kvadrātvienādojumi un nevienlīdzība ar parametru". II nodaļa. Izvēles kursa "Kvadrātvienādojumi un nevienādības ar parametru" vadīšanas metodes 1.1. Ir izplatītas ...

Risinājumi no skaitliskām aprēķina metodēm. Lai noteiktu vienādojuma saknes, nav nepieciešamas zināšanas par Ābela, Galoiza, Mela uc grupu teorijām un nav nepieciešama īpaša matemātiskā terminoloģija: gredzeni, lauki, ideāli, izomorfismi utt. Lai atrisinātu n-tās pakāpes algebrisko vienādojumu, jums tikai jāspēj atrisināt kvadrātvienādojumi un iegūt saknes no kompleksa skaitļa. Saknes var noteikt no ...

Ar fizisko lielumu mērvienībām MathCAD sistēmā? 11. Detalizēti aprakstiet tekstu, grafiku un matemātiskos blokus. Lekcijas numurs 2. Lineārās algebras problēmas un diferenciālvienādojumu risināšana MathCAD vidē Lineāro algebru uzdevumos gandrīz vienmēr ir nepieciešams veikt dažādas darbības ar matricām. Matricas operatora panelis atrodas panelī Matemātika. ...

Vietas teorēmas formulēšana un pierādīšana kvadrātvienādojumiem. Vietas sarunu teorēma. Vieta teorēma par kubikvienādojumiem un patvaļīgas kārtības vienādojumiem.

Kvadrātvienādojumi

Vietas teorēma

Ļaujiet un apzīmējiet reducētā kvadrātvienādojuma saknes
(1) .
Tad sakņu summa ir vienāda ar koeficientu pie, kas ņemts ar pretēju zīmi. Sakņu produkts ir vienāds ar brīvo terminu:
;
.

Piezīme par vairākām saknēm

Ja vienādojuma (1) diskriminants ir vienāds ar nulli, tad šim vienādojumam ir viena sakne. Bet, lai izvairītos no apgrūtinošām formulējumiem, parasti tiek pieņemts, ka šajā gadījumā (1) vienādojumam ir divas daudzkārtējas vai vienādas saknes:
.

Pierādījums viens

Atrodīsim (1) vienādojuma saknes. Lai to izdarītu, izmantojiet kvadrātvienādojuma sakņu formulu:
;
;
.

Mēs atrodam sakņu summu:
.

Lai atrastu darbu, izmantojiet šādu formulu:
.
Tad

.

Teorēma ir pierādīta.

Otrais pierādījums

Ja skaitļi un ir kvadrātvienādojuma (1) saknes, tad
.
Izvērsiet iekavas.

.
Tādējādi vienādojums (1) būs šāds:
.
Salīdzinot ar (1), mēs atrodam:
;
.

Teorēma ir pierādīta.

Vietas sarunu teorēma

Lai ir patvaļīgi skaitļi. Tad un ir kvadrātvienādojuma saknes
,
Kur
(2) ;
(3) .

Vietas sarunu teorēmas pierādījums

Apsveriet kvadrātvienādojumu
(1) .
Mums jāpierāda, ka, ja un, tad u ir vienādojuma (1) saknes.

1. un 2. aizstājējs (2) un (3):
.
Mēs grupējam vienādojuma kreisajā pusē esošos terminus:
;
;
(4) .

Aizstājējs (4):
;
.

Aizstājējs (4):
;
.
Vienādojums ir izpildīts. Tas ir, skaitlis ir vienādojuma (1) sakne.

Teorēma ir pierādīta.

Vieta teorēma par pilnīgu kvadrātvienādojumu

Tagad apsveriet pilnu kvadrātvienādojumu
(5) ,
kur, un ir daži skaitļi. Turklāt.

Daliet vienādojumu (5) ar:
.
Tas ir, mēs saņēmām samazinātu vienādojumu
,
kur; ...

Tad Vieta teorēmai par pilnu kvadrātvienādojumu ir šāda forma.

Ļaujiet un apzīmējiet pilnīga kvadrātvienādojuma saknes
.
Tad sakņu summu un reizinājumu nosaka pēc formulas:
;
.

Vieta teorēma par kubisko vienādojumu

Līdzīgā veidā mēs varam izveidot savienojumus starp kubiskā vienādojuma saknēm. Apsveriet kubisko vienādojumu
(6) ,
kur ,,, ir daži skaitļi. Turklāt.
Sadalīsim šo vienādojumu:
(7) ,
kur ,,.
Ļaujiet ,, būt vienādojuma (7) (un vienādojuma (6)) saknēm. Tad

.

Salīdzinot ar (7) vienādojumu, mēs atrodam:
;
;
.

Vieta teorēma n-tās pakāpes vienādojumam

Tādā pašā veidā jūs varat atrast sakarus starp saknēm ,, ... ,, n-tās pakāpes vienādojumam
.

Vietas teorēmai par n-tās pakāpes vienādojumu ir šāda forma:
;
;
;

.

Lai iegūtu šīs formulas, mēs rakstām vienādojumu šādā formā:
.
Tad mēs pielīdzinām koeficientus uz ,,, ..., un salīdzinām brīvo terminu.

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata tehnisko iestāžu inženieriem un studentiem, "Lan", 2009.
CM. Nikolskis, M.K. Potapovs et al., Algebra: mācību grāmata 8. klases izglītības iestādēm, Maskava, Izglītība, 2006. gads.

Matemātikā ir īpašas metodes, ar kurām daudzi kvadrātvienādojumi tiek atrisināti ļoti ātri un bez jebkādiem diskriminantiem. Turklāt, pienācīgi apmācot, daudzi sāk kvadrātvienādojumus risināt mutiski, burtiski "no pirmā acu uzmetiena".

Diemžēl mūsdienu skolas matemātikas kursā šādas tehnoloģijas gandrīz netiek pētītas. Bet jums tas jāzina! Un šodien mēs apsvērsim vienu no šādiem paņēmieniem - Vieta teorēmu. Vispirms ieviesīsim jaunu definīciju.

Formas x 2 + bx + c \u003d 0 kvadrātvienādojumu sauc par reducētu. Lūdzu, ņemiet vērā: koeficients x 2 ir 1. Koeficientiem nav citu ierobežojumu.

1. x 2 + 7x + 12 \u003d 0 ir samazināts kvadrātvienādojums;
2. x 2 - 5x + 6 \u003d 0 - arī dots;
3. 2x 2 - 6x + 8 \u003d 0 - bet tas netiek parādīts, jo koeficients pie x 2 ir 2.

Protams, jebkuru formas ax 2 + bx + c \u003d 0 kvadrātvienādojumu var samazināt - pietiek ar visu koeficientu dalīšanu ar skaitli a. Mēs vienmēr to varam izdarīt, jo no kvadrātvienādojuma definīcijas izriet, ka a ≠ 0.

Tiesa, šīs pārvērtības ne vienmēr būs noderīgas sakņu atrašanai. Nedaudz vēlāk mēs pārliecināsimies, ka tas jādara tikai tad, kad visi koeficienti pēdējā kvadrāta vienādojumā ir veseli skaitļi. Pagaidām apsveriet vienkāršākos piemērus:

Uzdevums. Konvertējiet kvadrātvienādojumu uz samazināto:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 \u003d 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0.

Katru vienādojumu dala ar mainīgā x 2 koeficientu. Mēs iegūstam:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - visu dala ar 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 \u003d 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 \u003d 0 - dalīts ar −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - dalot ar 1,5, visi koeficienti kļuva par veselu skaitli;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - dalīts ar 2. Šajā gadījumā radās dalījuma koeficienti.

Kā redzat, dotajiem kvadrātvienādojumiem var būt veseli skaitļu koeficienti, pat ja sākotnējā vienādojumā bija frakcijas.

Tagad mēs formulēsim galveno teorēmu, kurai faktiski tika ieviests samazināta kvadrātvienādojuma jēdziens:

Vietas teorēma. Apsveriet samazinātu kvadrāta vienādojumu formā x 2 + bx + c \u003d 0. Pieņemsim, ka šim vienādojumam ir reālas saknes x 1 un x 2. Šajā gadījumā ir patiesi šādi apgalvojumi:

1. x 1 + x 2 \u003d −b. Citiem vārdiem sakot, norādītā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir vienāda ar mainīgā x koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi;
2. x 1 x 2 \u003d c. Kvadrāta vienādojuma sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo koeficientu.

Piemēri. Vienkāršības labad mēs ņemsim vērā tikai samazinātos kvadrātvienādojumus, kuriem nav nepieciešamas papildu transformācijas:

1. x 2 - 9x + 20 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d - (−9) \u003d 9; x 1 x 2 \u003d 20; saknes: x 1 \u003d 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d −2; x 1 x 2 \u003d −15; saknes: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d −5;
3. x 2 + 5x + 4 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d −5; x 1 x 2 \u003d 4; saknes: x 1 \u003d −1; x 2 \u003d −4.

Vieta teorēma sniedz mums papildu informāciju par kvadrātvienādojuma saknēm. No pirmā acu uzmetiena tas var šķist grūti, taču pat ar minimālu apmācību jūs iemācīsities "redzēt" saknes un burtiski tās uzminēt dažu sekunžu laikā.

Uzdevums. Atrisiniet kvadrātvienādojumu:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0;
4. −7x 2 + 77x - 210 \u003d 0.

Mēģināsim izrakstīt koeficientus pēc Vieta teorēmas un "uzminēt" saknes:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0 ir samazināts kvadrātvienādojums.
   Pēc Vieta teorēmas mums ir: x 1 + x 2 \u003d - (- 9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 14. Ir viegli redzēt, ka saknes ir skaitļi 2 un 7;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0 - arī dots.
   Pēc Vietas teorēmas: x 1 + x 2 \u003d - (- 12) \u003d 12; x 1 x 2 \u003d 27. Tādējādi saknes: 3 un 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0 - šis vienādojums netiek samazināts. Bet mēs to tagad izlabosim, dalot abas vienādojuma puses ar koeficientu a \u003d 3. Mēs iegūstam: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Atrisiniet pēc Vietas teorēmas: x 1 + x 2 \u003d −11; x 1 x 2 \u003d 10 ⇒ saknes: −10 un −1;
4. −7x 2 + 77x - 210 \u003d 0 - atkal koeficients pie x 2 nav vienāds ar 1, t.i. vienādojums nav dots. Sadaliet visu ar skaitli a \u003d −7. Mēs iegūstam: x 2 - 11x + 30 \u003d 0.
   Pēc Vietas teorēmas: x 1 + x 2 \u003d - (- 11) \u003d 11; x 1 x 2 \u003d 30; no šiem vienādojumiem ir viegli uzminēt saknes: 5 un 6.

No iepriekš minētā pamatojuma var redzēt, kā Vieta teorēma vienkāršo kvadrātvienādojumu risinājumu. Nav sarežģītu aprēķinu, bez aritmētiskām saknēm un daļām. Un mums pat nebija vajadzīgs diskriminants (skat. Nodarbību "Kvadrātu vienādojumu risināšana").

Protams, visās savās pārdomās mēs izmantojām divus svarīgus pieņēmumus, kas parasti ne vienmēr tiek izpildīti reālās problēmās:

1. Kvadrātvienādojums ir samazināts, t.i. koeficients pie x 2 ir 1;
2. Vienādojumam ir divas atšķirīgas saknes. No algebras viedokļa šajā gadījumā diskriminants D\u003e 0 - faktiski mēs sākotnēji pieņemam, ka šī nevienlīdzība ir patiesa.

Tomēr tipiskās matemātiskās problēmās šie nosacījumi ir izpildīti. Ja aprēķinu rezultātā tiek iegūts "slikts" kvadrātvienādojums (koeficients pie x 2 atšķiras no 1), to ir viegli salabot - apskatiet piemērus pašā stundas sākumā. Es parasti klusēju par saknēm: kāda ir šī problēma, kurai nav atbildes? Protams, saknes būs.

Tādējādi vispārējā shēma kvadrāta vienādojumu risinājums ar Vieta teorēmu ir šāds:

1. Samaziniet kvadrātvienādojumu līdz samazinātajam, ja tas vēl nav izdarīts problēmas paziņojumā;
2. Ja koeficienti dotajā kvadrātvienādojumā izrādījās daļēji, mēs to atrisinām caur diskriminantu. Jūs pat varat atgriezties pie sākotnējā vienādojuma, lai strādātu ar ērtākiem numuriem;
3. Veselu skaitļu koeficientu gadījumā vienādojumu atrisinām ar Vieta teorēmu;
4. Ja dažu sekunžu laikā nebija iespējams uzminēt saknes, mēs ieslēdzam Vietas teorēmu un atrisinām, izmantojot diskriminantu.

Uzdevums. Atrisiniet vienādojumu: 5x 2 - 35x + 50 \u003d 0.

Tātad, pirms mums ir vienādojums, kas nav samazināts, jo koeficients a \u003d 5. Sadaliet visu ar 5, iegūstam: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Visi kvadrātvienādojuma koeficienti ir veseli skaitļi - mēģināsim to atrisināt ar Vieta teorēmu. Mums ir: x 1 + x 2 \u003d - (- 7) \u003d 7; x 1 · x 2 \u003d 10. Šajā gadījumā saknes ir viegli uzminamas - tās ir 2 un 5. Nav nepieciešams skaitīt caur diskriminantu.

Uzdevums. Atrisiniet vienādojumu: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0.

Paskaties: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 - šis vienādojums netiek samazināts, mēs abas puses dalām ar koeficientu a \u003d −5. Iegūstam: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - vienādojums ar dalījuma koeficientiem.

Labāk ir atgriezties pie sākotnējā vienādojuma un skaitīt caur diskriminantu: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 ⇒ D \u003d 8 2 - 4 (−5) (−2.4) \u003d 16 ⇒ ... ⇒ x 1 \u003d 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Uzdevums. Atrisiniet vienādojumu: 2x 2 + 10x - 600 \u003d 0.

Vispirms sadalīsim visu ar koeficientu a \u003d 2. Iegūstam vienādojumu x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Šis samazinātais vienādojums, saskaņā ar Vieta teorēmu, mums ir: x 1 + x 2 \u003d −5; x 1 x 2 \u003d −300. Šajā gadījumā ir grūti uzminēt kvadrātvienādojuma saknes - personīgi es nopietni "iestrēdzu", kad risināju šo problēmu.

Saknes mums būs jāmeklē caur diskriminantu: D \u003d 5 2 - 4 · 1 · (−300) \u003d 1225 \u003d 35 2. Ja jūs neatceraties diskriminanta sakni, es tikai atzīmēju, ka 1225: 25 \u003d 49. Tāpēc 1225 \u003d 25 · 49 \u003d 5 2 · 7 2 \u003d 35 2.

Tagad, kad ir zināma diskriminanta sakne, nebūs grūti atrisināt vienādojumu. Mēs iegūstam: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d −20.

Vieta teorēma (precīzāk, apgrieztā teorēma pret Vieta teorēmu) ļauj samazināt kvadrātvienādojumu atrisināšanas laiku. Jums vienkārši jāzina, kā to izmantot. Kā iemācīties atrisināt kvadrātvienādojumus, izmantojot Vieta teorēmu? Tas nav grūti, ja nedaudz padomā.

Tagad mēs runāsim tikai par samazināta kvadrātvienādojuma atrisinājumu saskaņā ar Vieta teorēmu.Samazinātais kvadrātvienādojums ir vienādojums, kurā a, tas ir, koeficients x2 priekšā, ir vienāds ar vienu. Izmantojot Vieta teorēmu, ir iespējams atrisināt arī nesamazinātus kvadrātvienādojumus, taču tur jau vismaz viena no saknēm nav vesels skaitlis. Viņus uzminēt ir grūtāk.

Pretējā teorēma uz Vietas teorēmu saka: ja skaitļi x1 un x2 ir tādi, ka

tad x1 un x2 ir kvadrātvienādojuma saknes

Atrisinot kvadrātvienādojumu pēc Vieta teorēmas, ir iespējamas tikai 4 iespējas. Ja atceraties pamatojumu, jūs varat iemācīties ļoti ātri atrast veselas saknes.

I. Ja q ir pozitīvs skaitlis,

tas nozīmē, ka saknes x1 un x2 ir vienas zīmes skaitļi (jo pozitīvs skaitlis ir tikai tad, ja skaitļus reizināt ar vienu un to pašu zīmi).

I.a. Ja -p ir pozitīvs skaitlis, (attiecīgi lpp<0), то оба корня x1 и x2 — pozitīvi skaitļi (tā kā viņi pievienoja vienas zīmes numurus un ieguva pozitīvu skaitli).

I.b. Ja -p ir negatīvs, (attiecīgi, p\u003e 0), tad abas saknes ir negatīvi skaitļi (pievienojot vienas zīmes skaitļus, ieguva negatīvu skaitli).

II. Ja q ir negatīvs,

tas nozīmē, ka saknēm x1 un x2 ir dažādas zīmes (reizinot skaitļus, negatīvu skaitli iegūst tikai tad, ja faktoru pazīmes ir atšķirīgas). Šajā gadījumā x1 + x2 vairs nav summa, bet gan atšķirība (galu galā, pievienojot skaitļus ar dažādas zīmes mēs atņemam mazāko no lielākā). Tāpēc x1 + x2 parāda, cik daudz viena sakne atšķiras no x1 un x2, tas ir, cik viena sakne ir lielāka par otru (modulo).

II.a. Ja -p ir pozitīvs skaitlis, (t.i. lpp<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Ja -p ir negatīvs, (p\u003e 0), tad lielākā (modulo) sakne ir negatīvs skaitlis.

Apsveriet kvadrātvienādojumu risinājumu ar Vieta teorēmu, izmantojot piemērus.

Atrisiniet samazināto kvadrātvienādojumu ar Vieta teorēmu:

Šeit q \u003d 12\u003e 0, tātad saknes x1 un x2 ir vienas un tās pašas zīmes skaitļi. Viņu summa ir -p \u003d 7\u003e 0, tāpēc abas saknes ir pozitīvi skaitļi. Mēs izvēlamies veselus skaitļus, kuru reizinājums ir 12. Tie ir 1 un 12, 2 un 6, 3 un 4. Summa ir 7 pāriem 3 un 4. Tātad 3 un 4 ir vienādojuma saknes.

IN šo piemēru q \u003d 16\u003e 0, kas nozīmē, ka saknes x1 un x2 ir vienas un tās pašas zīmes skaitļi. Viņu summa ir -p \u003d -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Šeit q \u003d -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, tad lielāks skaitlis ir pozitīvs. Tātad saknes ir 5 un -3.

q \u003d -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.