Šajā rakstā mēs izdomāsim, kas ir pakāpe... Šeit mēs sniegsim skaitļa pakāpes definīcijas, vienlaikus detalizēti apsverot visus iespējamos eksponentus, sākot ar dabisko eksponentu, beidzot ar iracionālu. Materiālā jūs atradīsit daudz grādu piemēru, aptverot visus radītos smalkumus.

Lapas navigācija.

Grāds ar dabisko eksponentu, skaitļa kvadrāts, skaitļa kubs

Sāksim ar. Skatoties uz priekšu, mēs sakām, ka skaitļa a ar dabisko eksponentu n pakāpes definīcija ir dota a, kuru mēs sauksim pamata grāds, un n, kurus mēs sauksim eksponents... Ņemiet vērā arī to, ka pakāpe ar dabisko eksponentu tiek noteikta, izmantojot produktu, tāpēc, lai saprastu zemāk esošo materiālu, jums ir jābūt idejai par skaitļu reizināšanu.

Definīcija.

Skaitļa a jauda ar dabisko eksponentu n ir formas a n izpausme, kuras vērtība ir vienāda ar n faktoru reizinājumu, no kuriem katrs ir vienāds ar a, tas ir ,.
Jo īpaši skaitļa a ar eksponentu 1 jauda ir pats skaitlis a, tas ir, a 1 \u003d a.

Tūlīt jāsaka par grādu lasīšanas noteikumiem. Ieraksta a n universālais lasīšanas veids ir šāds: "a līdz n spēkam". Dažos gadījumos ir pieļaujamas arī šādas iespējas: "a n-tajai jaudai" un "skaitļa a n-tā jauda". Piemēram, ņem skaitli 8 12, kas ir "astoņi līdz divpadsmit spēkam" vai "astoņi līdz divpadsmitajai pakāpei" vai "divpadsmitais astotnieku spēks".

Skaitļa otrajai pakāpei, kā arī skaitļa trešajai pakāpei ir savi vārdi. Tiek saukta skaitļa otrā jauda pēc skaitļa kvadrātapiemēram, 7 2 ir “septiņi kvadrāti” vai “skaitļa septiņi kvadrāts”. Tiek saukta skaitļa trešā jauda kubu skaitļipiemēram, 5 3 var nolasīt kā "kubs pieci" vai teikt "kubs ar numuru 5".

Ir pienācis laiks vadīt grādu piemēri ar dabiskiem rādītājiem... Sāksim ar 5 7 jaudu, šeit 5 ir spēka pamats, un 7 ir eksponents. Sniegsim vēl vienu piemēru: 4.32 ir pamats, un dabiskais skaitlis 9 ir eksponents (4.32) 9.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka pēdējā piemērā 4,32 grādu bāze ir ierakstīta iekavās: lai izvairītos no neskaidrībām, iekavās mēs ievietosim visas pakāpes bāzes, kas atšķiras no dabiskajiem skaitļiem. Kā piemēru mēs sniedzam šādus grādus ar dabiskiem rādītājiem , to bāzes nav dabiski skaitļi, tāpēc tie ir ierakstīti iekavās. Nu, lai šajā brīdī iegūtu pilnīgu skaidrību, mēs parādīsim atšķirību starp formas (−2) 3 un −2 3 ierakstiem. Izteiksme (−2) 3 ir −2 jauda ar dabisko eksponentu 3, un izteiksme −2 3 (to var rakstīt kā - (2 3)) atbilst skaitlim, jaudas 2 2 vērtībai .

Ņemiet vērā, ka ir skaitļa a pakāpes apzīmējums ar formas a ^ n eksponentu n. Turklāt, ja n ir daudzvērtīgs naturāls skaitlis, eksponentu ņem iekavās. Piemēram, 4 ^ 9 ir vēl viens 4 9 spēka apzīmējums. Un šeit ir vēl daži grādu rakstīšanas piemēri, izmantojot simbolu "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Turpmāk mēs galvenokārt izmantosim formas n pakāpes apzīmējumu.

Viens no uzdevumiem, apgrieztā paaugstināšana līdz jaudai ar dabisko eksponentu, ir problēma atrast grāda bāzi no zināmas pakāpes vērtības un zināma eksponenta. Šis uzdevums noved pie.

Ir zināms, ka komplekts racionāli skaitļi sastāv no veseliem skaitļiem un daļskaitļiem, un katrs daļskaitlis var uzrādīt kā pozitīvu vai negatīvu kopējā frakcija... Iepriekšējā rindkopā mēs definējām pakāpi ar veselu skaitli, tāpēc, lai pabeigtu pakāpes definīciju ar racionāls rādītājs, ir jāpiešķir skaitļa a spēks ar daļēju eksponentu m / n, kur m ir vesels skaitlis un n ir dabisks skaitlis. Darīsim to.

Apsveriet grādu ar formas dalīto eksponentu. Lai grāda vai grāda īpašība būtu derīga, ir jāievēro vienlīdzība ... Ja ņemam vērā iegūto vienlīdzību un veidu, kā mēs to noteicām, tad ir loģiski pieņemt, ar nosacījumu, ka dotajam m, n un a izteiksmei ir jēga.

To ir viegli pārbaudīt visām pakāpes īpašībām ar veselu skaitļa eksponentu (tas tiek darīts sadaļā par pakāpes īpašībām ar racionālu eksponentu).

Iepriekš minētie argumenti ļauj mums rīkoties šādi. izeja: ja dotajam m, n un a izteiksmei ir jēga, tad skaitļa a ar frakcionālo eksponentu m / n jaudu sauc par a n-to sakni m jaudai.

Šis apgalvojums mūs ļoti tuvina pakāpes noteikšanai ar frakcionālo eksponentu. Atliek tikai aprakstīt, kuriem m, n un a izteicienam ir jēga. Atkarībā no m, n un a ierobežojumiem ir divas galvenās pieejas.

Vieglākais veids ir ierobežot a, pieņemot a ≥0 pozitīvam m un a\u003e 0 negatīvam m (jo m≤0 0 0 pakāpe nav definēta). Tad mēs iegūstam šādu frakcionālā eksponenta definīciju.

Definīcija.

Pozitīvā skaitļa a ar frakcionālo eksponentu m / n jauda, kur m ir vesels skaitlis un n ir dabisks skaitlis, tiek saukts par skaitļa a n-to sakni m jaudai, tas ir ,.

Arī nulles daļējo jaudu nosaka ar vienīgo noteikumu, ka rādītājam jābūt pozitīvam.

Definīcija.

Nulles jauda ar pozitīvu frakcionālo eksponentu m / n, kur m ir pozitīvs vesels skaitlis un n ir dabisks skaitlis, tiek definēts kā .
Kad pakāpe nav noteikta, tas ir, skaitļa pakāpe ir nulle ar daļu negatīvs rādītājs nav jēgas.

Jāatzīmē, ka ar šādu pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu ir viena nianse: dažiem negatīviem a un dažiem m un n izteiksmei ir jēga, un mēs šos gadījumus izmetām, ieviešot nosacījumu a ≥0. Piemēram, ir jēga rakstīt vai, un iepriekš sniegtā definīcija liek mums teikt, ka grādi ir ar formas dalīto eksponentu nav jēgas, jo bāzei nevajadzētu būt negatīvai.

Vēl viena pieeja, lai noteiktu eksponentu ar daļēju eksponentu m / n, ir atsevišķi apsvērt saknes nepāra un pāra eksponentus. Šai pieejai ir nepieciešams papildu nosacījums: skaitļa a pakāpe, kuras rādītājs ir, tiek uzskatīta par skaitļa a jaudu, kuras rādītājs ir atbilstošā nesamazināmā daļa (šī nosacījuma nozīme tiks paskaidrota turpmāk). Tas ir, ja m / n ir nereducējama frakcija, tad jebkuram dabiskajam skaitlim k grādu sākotnēji aizstāj ar.

Pat n un pozitīvam m izteicienam ir jēga jebkuram negatīvam a (pat negatīva skaitļa saknei nav jēgas), negatīva m gadījumā skaitlim a joprojām jābūt nullei (pretējā gadījumā dalījums būs ar nulli ). Un nepāra n un pozitīva m gadījumā skaitlis a var būt jebkurš (nepāra pakāpes sakne tiek definēta jebkuram reālam skaitlim), un negatīvajam m skaitlim a jābūt nullei (lai nebūtu dalījuma ar nulli) .

Iepriekš minētais pamatojums noved mūs pie šādas pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu.

Definīcija.

Ļaujiet m / n būt nereducējamai daļai, m veselam skaitlim un n dabīgam skaitlim. Jebkurai atceļamai daļai eksponentu aizstāj ar. Skaitļa ar nereducējamu frakcionālo eksponentu m / n jauda ir domāta



Paskaidrosim, kāpēc grāds ar reducējamo frakcionālo eksponentu iepriekš tiek aizstāts ar grādu ar nereducējamu eksponentu. Ja mēs vienkārši definētu pakāpi kā un neveiktu atrunu par m / n daļas nereducējamību, tad mēs saskartos ar šādām situācijām: tā kā 6/10 \u003d 3/5, tad vienādībai vajadzētu būt bet , un .

II DAĻA 6. NODAĻA
Skaitļu secība

Grāda ar iracionālu eksponentu jēdziens

Ļaujiet būt kādam pozitīvam skaitlim un būt neracionālam.
Kāda nozīme jāpiešķir izteicienam a *?
Lai prezentācija būtu aprakstošāka, mēs to vadīsim privāti
piemērs. Proti, mēs ieliekam a - 2 un a \u003d 1. 624121121112. ... ... ...
Šeit, bet - bezgalīgi aiz komatapamatojoties uz tādiem
likums: sākot no ceturtās zīmes aiz komata, attēlam a
tiek izmantoti tikai 1. un 2. cipari, un ciparu skaits ir 1,
ierakstīts rindā pirms skaitļa 2, visu laiku palielinās par
viens. Daļa a nav periodiska, jo citādi ciparu skaits ir 1,
pēc viņa tēla ierakstīts pēc kārtas, būtu ierobežots.
Tāpēc a ir iracionāls skaitlis.
Tātad, kādai nozīmei jāpiešķir izteiciens
21, v2SH1SH1SH11SH11SH. ... ... R
Lai atbildētu uz šo jautājumu, mēs sastādām vērtību secības
un ar trūkumu un pārsniegumu ar precizitāti (0,1) *. Mēs saņemam
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Sastādīsim atbilstošās skaitļa 2 spēku sekvences:
2 milj. 2M *; 21 * 624; 21'62 * 1; ..., (3)
21D. 21 "63; 2 * "62Ву 21,6 Ш; ... (četri)
Secība (3) palielinās pēc kārtas
(1) (2. teorēma, 6. punkts).
Secība (4) samazinās, jo secība samazinās
(2).
Katrs secības (3) dalībnieks ir mazāks par katru secības dalībnieku
(4), un tādējādi secība (3) ir ierobežota
no augšas, un secība (4) ir ierobežota no apakšas.
Pamatojoties uz monotonu ierobežotu secību teorēmu
katrai no 3. un 4. sekvencēm ir noteikts ierobežojums. Ja

384 Grāda ar iracionālu eksponentu jēdziens . .

tagad izrādās, ka secību (4) un (3) atšķirība saplūst
līdz nullei, tad no tā izriet, ka abas šīs sekvences,
ir kopīgs ierobežojums.
Starpība starp 3. un 4. secības pirmajiem noteikumiem
21-7 - 21 '* \u003d 2 |, (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Otro terminu atšķirība
21'63 - 21,62 \u003d 21,62 (2 ° '01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
N-to terminu atšķirība
0,0000. ..0 1
2\u003e. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Pamatojoties uz 3. teorēmas 6. punktu
lim 10 ″ / 2 \u003d 1.
Tātad secībām (3) un (4) ir kopīgs ierobežojums. Šis
limits ir vienīgais reālais skaitlis, kas ir lielāks par
no visiem secības (3) dalībniekiem un mazāk nekā visi secības dalībnieki
(4), un ieteicams to uzskatīt par precīzu vērtību 2 *.
No sacītā izriet, ka parasti ir ieteicams to pieņemt
definīciju:
Definīcija. Ja a\u003e 1, tad a pakāpe ar iracionālu
eksponents a ir tāds reāls skaitlis,
kas ir lielāks par visām šī skaitļa pilnvarām, kuru izteicēji ir
racionālas aproksimācijas a ar deficītu un mazākas par visiem grādiem
no šī skaitļa, kura eksponenti ir racionāli tuvinājumi un ar
pārmērība.
Ja<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
sauc par reālu skaitli, kas ir lielāks par visām pilnvarām
no šī skaitļa, kura eksponenti ir racionāli tuvinājumi a
ar pārsniegumu un mazāku par visām šī skaitļa pilnvarām, kuru eksponenti
- racionāli tuvinājumi un ar trūkumiem.
Ja a-1, tad tā pakāpe ar iracionālu eksponentu a
ir 1.
Izmantojot robežas jēdzienu, var definēt šo definīciju
Tātad:
Pozitīva skaitļa spēks ar iracionālu eksponentu
a ir robeža, līdz kurai secībai ir tendence
racionālas pilnvaras šim skaitlim, ja vien secība
šo grādu eksponenti mēdz būt a, t.i.
aa \u003d lim aH
B - *
13 D, K. Fatščejevs, I. S. Sominskis

Grāds ar racionālu rādītāju, tā īpašības.

Izteiksme a n ir definēts visiem a un n, izņemot gadījumu a \u003d 0, ja n≤0. Atgādināsim šādu grādu īpašības.

Jebkuriem skaitļiem a, b un visiem skaitļiem m un n ir taisnība:

A m * a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n \u003d mn; (ab) n \u003d a n * b n; (b ≠ 0); a 1 \u003d a; a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

Mēs atzīmējam arī šādu īpašumu:

Ja m\u003e n, tad a m\u003e a n a\u003e 1 un m<а n при 0<а<1.

Šajā apakšnodaļā mēs vispārinām skaitļa spēka jēdzienu, piešķirot nozīmi 2. tipa izteiksmēm 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 Šajā gadījumā ir dabiski dot definīciju, lai grādiem ar racionāliem eksponentiem būtu tādas pašas īpašības (vai vismaz daļa no tām) kā grādiem ar visu eksponentu. Tad jo īpaši skaitļa n-tā jauda jābūt vienādai ar a m ... Patiešām, ja īpašums

(a p) q \u003d a pq

tiek izpildīts

Pēdējā vienlīdzība nozīmē (pēc n saknes definīcijas), ka skaitlis jābūt skaitļa a n-tajai saknei m.

Definīcija.

Skaitļa a\u003e 0 pakāpe ar racionālu eksponentu r \u003d, kur m ir vesels skaitlis un n ir dabisks skaitlis (n\u003e 1), ir skaitlis

Tātad pēc definīcijas

(1)

Skaitļa 0 jaudu nosaka tikai pozitīvajiem eksponentiem; pēc definīcijas 0 r \u003d 0 jebkuram r\u003e 0.

Grāds ar iracionālu rādītāju.

Iracionāls skaitlisvar attēlot kāracionālo skaitļu secības robeža: .

Ļaujiet būt. Tad ir grādi ar racionālu eksponentu. Var pierādīt, ka šo grādu secība ir konverģenta. Tiek saukta šīs secības robeža grāds ar pamatojumu un iracionālu eksponentu: .

Uzzīmēsim vairākus funkcijas y \u003d 2 grafika punktus x iepriekš aprēķinot vērtību 2 x uz segmenta [–2; 3] ar pakāpienu 1/4 (1. att., A) un pēc tam ar pakāpienu 1/8 (1. att., B). Turpinot garīgi tās pašas konstrukcijas ar pakāpienu 1/16, 1/32 utt., mēs redzam, ka iegūtos punktus var savienot ar vienmērīgu līkni, kas dabiski tiek uzskatīta par kādas funkcijas grafiku, kas definēta un palielinās jau visā skaitļu līnijā un iegūst vērtības racionālos punktos (1. attēls, c). Pietiekami uzcēlis liels skaitlis funkcija grafika punkti, mēs varam pārliecināties, ka arī šai funkcijai piemīt līdzīgas īpašības (atšķirība ir tajā, ka funkcija samazinās par R).

Šie novērojumi liek domāt, ka šādā veidā varat definēt skaitļus 2 α un katram irracionālajam α tā, lai funkcijas, kuras nosaka formulas y \u003d 2 x un būs nepārtraukta, un funkcija y \u003d 2 x palielinās, un funkcija samazinās visā skaitļu līnijā.

Aprakstīsim vispārīgi, kā skaitlis a α neracionālam α, ja a\u003e 1. Mēs vēlamies panākt, lai funkcija y \u003d a x palielinājās. Tad par jebkuru racionālu r 1 un r 2 tā, ka r 1<α jāapmierina nevienlīdzība a r 1<а α <а r 1 .

R vērtību izvēle 1 un r 2 tuvojoties x, mēs varam redzēt, ka atbilstošās a vērtības r 1 un a r 2 atšķirsies maz. Var pierādīt, ka skaitlis y ir un turklāt ir tikai viens, kas ir lielāks par visiem a r 1 visiem racionālajiem r 1 un vismazāk a r 2 visiem racionālajiem r 2 ... Šis skaitlis y pēc definīcijas ir a α .

Piemēram, izmantojot kalkulatoru, lai aprēķinātu vērtību 2 x punktos x n un x` n, kur x n un x` n - skaitļa decimālie tuvinājumi mēs atklāsim, ka tuvāk x n un x` n k , jo mazāka starpība ir 2 x n un 2 x `n.

Kopš tā laika

un tāpēc,

Līdzīgi, ņemot vērā šādus decimālos tuvinājumus pēc deficīta un pārmērības mēs nonākam pie koeficientiem

;

;

;

;

.

Vērtība aprēķinātais kalkulators ir šāds:

.

Skaitlis a α par 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 jebkuram α un 0 α \u003d 0, ja α\u003e 0.

Eksponenciālā funkcija.

Kad a > 0, a = 1, funkcija ir definēta y \u003d a x izņemot pastāvīgu. Šo funkciju sauc eksponenciālā funkcijaar pamatua.

y\u003d a x plkst a> 1:

Eksponenciālās funkcijas grafiki ar 0 bāzi< a < 1 и a \u003e 1 ir parādīti attēlā.

Pamata īpašības eksponenciālā funkcija y\u003d a x pie 0< a < 1:

• Funkcijas domēns ir visa ciparu rinda.
• Funkciju diapazons - laidums (0; + ) .
• Funkcija tiek stingri monotoniski palielināta visā skaitļu rindā, tas ir, ja x 1 < x 2 a x 1 \u003e a x 2 .
• Kad x \u003d 0, funkcijas vērtība ir 1.
• Ja x\u003e 0, tad 0< a < 1 un ja x < 0, то a x > 1.
TO vispārīgās īpašības eksponenciālā funkcija kā 0< a < 1, так и при a\u003e 1 ietver:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, visiem x 1 un x 2.
• a - x= ( a x) − 1 = 1 ax jebkuram x.
• na x= a

Grāds ar racionālu rādītāju, tā īpašības.

Izteiksme a n ir definēts visiem a un n, izņemot gadījumu a \u003d 0, ja n≤0. Atgādināsim šādu grādu īpašības.

Jebkuriem skaitļiem a, b un visiem skaitļiem m un n ir taisnība:

A m * a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n \u003d mn; (ab) n \u003d a n * b n; (b ≠ 0); a 1 \u003d a; a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

Mēs atzīmējam arī šādu īpašumu:

Ja m\u003e n, tad a m\u003e a n a\u003e 1 un m<а n при 0<а<1.

Šajā apakšnodaļā mēs vispārinām skaitļa spēka jēdzienu, piešķirot nozīmi 2. tipa izteiksmēm 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 Šajā gadījumā ir dabiski dot definīciju, lai grādiem ar racionāliem eksponentiem būtu tādas pašas īpašības (vai vismaz daļa no tām) kā grādiem ar visu eksponentu. Tad jo īpaši skaitļa n-tā jauda jābūt vienādai ar a m ... Patiešām, ja īpašums

(a p) q \u003d a pq

tiek izpildīts

Pēdējā vienlīdzība nozīmē (pēc n saknes definīcijas), ka skaitlis jābūt skaitļa a n-tajai saknei m.

Definīcija.

Skaitļa a\u003e 0 pakāpe ar racionālu eksponentu r \u003d, kur m ir vesels skaitlis un n ir dabisks skaitlis (n\u003e 1), ir skaitlis

Tātad pēc definīcijas

(1)

Skaitļa 0 jaudu nosaka tikai pozitīvajiem eksponentiem; pēc definīcijas 0 r \u003d 0 jebkuram r\u003e 0.

Grāds ar iracionālu rādītāju.

Iracionāls skaitlisvar attēlot kāracionālo skaitļu secības robeža: .

Ļaujiet būt. Tad ir grādi ar racionālu eksponentu. Var pierādīt, ka šo grādu secība ir konverģenta. Tiek saukta šīs secības robeža grāds ar pamatojumu un iracionālu eksponentu: .

Uzzīmēsim vairākus funkcijas y \u003d 2 grafika punktus x iepriekš aprēķinot vērtību 2 x uz segmenta [–2; 3] ar pakāpienu 1/4 (1. att., A) un pēc tam ar pakāpienu 1/8 (1. att., B). Turpinot garīgi tās pašas konstrukcijas ar pakāpienu 1/16, 1/32 utt., mēs redzam, ka iegūtos punktus var savienot ar vienmērīgu līkni, kas dabiski tiek uzskatīta par kādas funkcijas grafiku, kas definēta un palielinās jau visā skaitļu līnijā un iegūst vērtības racionālos punktos (1. attēls, c). Izveidojot pietiekami lielu funkcijas grafika punktu skaitu, mēs varam pārliecināties, ka arī šai funkcijai piemīt līdzīgas īpašības (atšķirība ir tajā, ka funkcija samazinās par R).

Šie novērojumi liek domāt, ka šādā veidā varat definēt skaitļus 2 α un katram irracionālajam α tā, lai funkcijas, kuras nosaka formulas y \u003d 2 x un būs nepārtraukta, un funkcija y \u003d 2 x palielinās, un funkcija samazinās visā skaitļu līnijā.

Aprakstīsim vispārīgi, kā skaitlis a α neracionālam α, ja a\u003e 1. Mēs vēlamies panākt, lai funkcija y \u003d a x palielinājās. Tad par jebkuru racionālu r 1 un r 2 tā, ka r 1<α jāapmierina nevienlīdzība a r 1<а α <а r 1 .

R vērtību izvēle 1 un r 2 tuvojoties x, mēs varam redzēt, ka atbilstošās a vērtības r 1 un a r 2 atšķirsies maz. Var pierādīt, ka skaitlis y ir un turklāt ir tikai viens, kas ir lielāks par visiem a r 1 visiem racionālajiem r 1 un vismazāk a r 2 visiem racionālajiem r 2 ... Šis skaitlis y pēc definīcijas ir a α .

Piemēram, izmantojot kalkulatoru, lai aprēķinātu vērtību 2 x punktos x n un x` n, kur x n un x` n - skaitļa decimālie tuvinājumi mēs atklāsim, ka tuvāk x n un x` n k , jo mazāka starpība ir 2 x n un 2 x `n.

Kopš tā laika

un tāpēc,

Līdzīgi, ņemot vērā šādus decimālos tuvinājumus pēc deficīta un pārmērības mēs nonākam pie koeficientiem

;

;

;

;

.

Vērtība aprēķinātais kalkulators ir šāds:

.

Skaitlis a α par 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 jebkuram α un 0 α \u003d 0, ja α\u003e 0.

Eksponenciālā funkcija.

Kad a > 0, a = 1, funkcija ir definēta y \u003d a x izņemot pastāvīgu. Šo funkciju sauc eksponenciālā funkcijaar pamatua.

y\u003d a x plkst a> 1:

Eksponenciālās funkcijas grafiki ar 0 bāzi< a < 1 и a \u003e 1 ir parādīti attēlā.

Eksponenciālās funkcijas pamatīpašības y\u003d a x pie 0< a < 1:

• Funkcijas domēns ir visa ciparu rinda.
• Funkciju diapazons - laidums (0; + ) .
• Funkcija tiek stingri monotoniski palielināta visā skaitļu rindā, tas ir, ja x 1 < x 2 a x 1 \u003e a x 2 .
• Kad x \u003d 0, funkcijas vērtība ir 1.
• Ja x\u003e 0, tad 0< a < 1 un ja x < 0, то a x > 1.
Eksponenciālās funkcijas vispārīgās īpašības kā 0< a < 1, так и при a\u003e 1 ietver:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, visiem x 1 un x 2.
• a - x= ( a x) − 1 = 1 ax jebkuram x.
• na x= a

Informācijas uzplaukums bioloģijā - mikrobu kolonijas Petri trauciņā Truši Austrālijā Ķēdes reakcijas - ķīmijā Fizikā - radioaktīvā sabrukšana, izmaiņas atmosfēras spiediens ar augstuma maiņu, ķermeņa atdzišanu.Fizikā - radioaktīvā sabrukšana, atmosfēras spiediena maiņa ar augstuma maiņu, ķermeņa atdzišana. Adrenalīna izdalīšanās asinīs un tā iznīcināšana Viņi arī apgalvo, ka informācijas apjoms dubultojas ik pēc 10 gadiem, un viņi arī apgalvo, ka informācijas apjoms dubultojas ik pēc 10 gadiem.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a * 81 (1/2) -3 a -n 36 1/2 * 8 1 / / 3 2 -3,5

Izteiksme 2 x 2 2 \u003d 4 2 5 \u003d \u003d \u003d 1/2 4 \u003d 1/16 2 4/3 \u003d 32 4 \u003d, 5 \u003d 1/2 3,5 \u003d 1/2 7 \u003d 1 / (8 2) \u003d 2 / 16 2) \u003d

3 \u003d 1, ... 1; 1,7 1,73; 1,732, 1,73205; 1,; ... secība palielinās 2 1; 2 1,7; 2 1,73; 2 1,732; 2 1,73205; 2 1,; ... secība palielinās Ierobežota, un tāpēc saplūst ar vienu robežu - vērtību 2 3

Var definēt π 0

10 10 18 Funkcijas y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 10 10 10 10 nosaukums \u003d "(! LANG: funkcijas y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 21 īpašības

Informācijas apjoms ik pēc 10 gadiem dubultojas uz Vērša ass - saskaņā ar aritmētiskās progresijas likumu: 1,2,3,4…. Uz Oy ass - saskaņā ar likumu ģeometriskā progresija: 2 1,2 2,2 3,2 4 ... Eksponenciālās funkcijas grafiks, to sauc par eksponentu (no latīņu eksponenta - līdz vicināšanai)