Ja katrs naturālais skaitlis n atbilst reālam skaitlim a n , tad viņi saka, ka dota numuru secība :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Tātad skaitliskā secība ir dabiska argumenta funkcija.

Numurs a 1 sauca pirmais secības dalībnieks , numurs a 2 — otrais secības dalībnieks , numurs a 3 — trešais un tā tālāk. Numurs a n sauca n-tais biedrs sekvences , un naturālais skaitlis n — viņa numurs .

No diviem kaimiņu biedriem a n un a n +1 dalībnieku secības a n +1 sauca sekojošais (pret a n ), a a n — iepriekšējā (pret a n +1 ).

Lai norādītu secību, ir jānorāda metode, kas ļauj atrast secības dalībnieku ar jebkuru skaitli.

Bieži secība tiek dota ar n-tā termina formulas , tas ir, formula, kas ļauj noteikt secības locekli pēc tā numura.

Piemēram,

pozitīvo nepāra skaitļu secību var norādīt pēc formulas

a n= 2n- 1,

un pārmaiņu secība 1 un -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Secību var noteikt atkārtota formula, tas ir, formula, kas izsaka jebkuru secības locekli, sākot ar dažiem, izmantojot iepriekšējos (vienu vai vairākus) dalībniekus.

Piemēram,

ja a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ja a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tad pirmie septiņi skaitļu secības locekļi tiek iestatīti šādi:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secības var būt galīgais un bezgalīgs .

Secība tiek saukta galīgais ja tajā ir ierobežots dalībnieku skaits. Secība tiek saukta bezgalīgs ja tajā ir bezgalīgi daudz dalībnieku.

Piemēram,

divciparu naturālo skaitļu secība:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galīgais.

Pirmskaitļu secība:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

bezgalīgs. ◄

Secība tiek saukta pieaug , ja katrs tā dalībnieks, sākot no otrā, ir lielāks par iepriekšējo.

Secība tiek saukta dilstoša , ja katrs tā dalībnieks, sākot no otrā, ir mazāks par iepriekšējo.

Piemēram,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ir augoša secība;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ir dilstoša secība. ◄

Tiek izsaukta secība, kuras elementi, palielinoties skaitam, nesamazinās vai, gluži pretēji, nepalielinās monotona secība .

Jo īpaši monotoniskās sekvences ir pieaugošas un samazinošas sekvences.

Aritmētiskā progresija

Aritmētiskā progresija tiek izsaukta secība, kuras katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, kuram pieskaita tādu pašu skaitli.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ir aritmētiskā progresija, ja jebkuram naturālam skaitlim n nosacījums ir izpildīts:

a n +1 = a n + d,

kur d - kāds cipars.

Tādējādi atšķirība starp nākamajiem un iepriekšējiem dotā locekļiem aritmētiskā progresija vienmēr nemainīgs:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Numurs d sauca aritmētiskās progresijas starpība.

Lai iestatītu aritmētisko progresiju, pietiek norādīt tās pirmo termiņu un starpību.

Piemēram,

ja a 1 = 3, d = 4 , tad secības pirmie pieci vārdi tiek atrasti šādi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmētiskajai progresijai ar pirmo termiņu a 1 un atšķirība d viņu n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Piemēram,

atrast aritmētiskās progresijas trīsdesmito daļu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tad acīmredzot

katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo locekļu vidējo aritmētisko.

skaitļi a, b un c ir kādas aritmētiskās progresijas secīgi dalībnieki tad un tikai tad, ja viens no tiem ir vienāds ar pārējo divu vidējo aritmētisko.

Piemēram,

a n = 2n- 7 , ir aritmētiskā progresija.

Izmantosim iepriekš minēto apgalvojumu. Mums ir:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Sekojoši,

◄

Pieraksti to n -aritmētiskās progresijas locekli var atrast ne tikai caur a 1 , bet arī jebkuru iepriekšējo a k

a n = a k + (n- k)d.

Piemēram,

priekš a 5 var uzrakstīt

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tad acīmredzot

jebkurš aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrās, ir vienāds ar pusi no šīs aritmētiskās progresijas locekļu summas, kas atrodas vienādi no tās.

Turklāt jebkurai aritmētiskajai progresijai ir patiesa vienādība:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Piemēram,

aritmētiskajā progresijā

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jo

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

vispirms n aritmētiskās progresijas locekļi ir vienādi ar pusi no galējo terminu summas ar terminu skaitu:

No tā jo īpaši izriet, ka, ja ir nepieciešams summēt terminus

a k, a k +1 , . . . , a n,

tad iepriekšējā formula saglabā savu struktūru:

Piemēram,

aritmētiskajā progresijā 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ja ir dota aritmētiskā progresija, tad lielumus a 1 , a n, d, n unS n savienotas ar divām formulām:

Tāpēc, ja ir norādītas trīs šo lielumu vērtības, tad no šīm formulām tiek noteiktas atbilstošās pārējo divu lielumu vērtības, kas apvienotas divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.

Aritmētiskā progresija ir monotona secība. Kurā:

• ja d > 0 , tad tas palielinās;
• ja d < 0 , tad tas samazinās;
• ja d = 0 , tad secība būs stacionāra.

Ģeometriskā progresija

ģeometriskā progresija tiek izsaukta secība, kuras katrs termins, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ir ģeometriskā progresija jebkuram naturālam skaitlim n nosacījums ir izpildīts:

b n +1 = b n · q,

kur q ≠ 0 - kāds cipars.

Tādējādi šīs ģeometriskās progresijas nākamā vārda attiecība pret iepriekšējo ir nemainīgs skaitlis:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numurs q sauca ģeometriskās progresijas saucējs.

Lai iestatītu ģeometrisko progresiju, pietiek norādīt tās pirmo terminu un saucēju.

Piemēram,

ja b 1 = 1, q = -3 , tad secības pirmie pieci vārdi tiek atrasti šādi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 un saucējs q viņu n - terminu var atrast pēc formulas:

b n = b 1 · q n -1 .

Piemēram,

atrast ģeometriskās progresijas septīto biedru 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tad acīmredzot

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

katrs ģeometriskās progresijas elements, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo elementu ģeometrisko vidējo (proporcionālo).

Tā kā ir taisnība arī otrādi, ir spēkā šāds apgalvojums:

skaitļi a, b un c ir kādas ģeometriskas progresijas secīgi dalībnieki tad un tikai tad, ja viena no tiem kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu reizinājumu, tas ir, viens no skaitļiem ir pārējo divu ģeometriskais vidējais.

Piemēram,

pierādīsim, ka ar formulu dotā secība b n= -3 2 n , ir ģeometriska progresija. Izmantosim iepriekš minēto apgalvojumu. Mums ir:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Sekojoši,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kas pierāda vajadzīgo apgalvojumu. ◄

Pieraksti to n ģeometriskās progresijas terminu var atrast ne tikai caur b 1 , bet arī jebkuru iepriekšējo terminu b k , kam pietiek ar formulu

b n = b k · q n - k.

Piemēram,

priekš b 5 var uzrakstīt

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tad acīmredzot

b n 2 = b n - k· b n + k

jebkura ģeometriskās progresijas locekļu kvadrāts, sākot no otrā, ir vienāds ar šīs progresijas locekļu reizinājumu, kas atrodas vienādā attālumā no tā.

Turklāt jebkurai ģeometriskai progresijai ir taisnība:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Piemēram,

eksponenciāli

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jo

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

vispirms n ģeometriskās progresijas locekļi ar saucēju q ≠ 0 aprēķina pēc formulas:

Un tad, kad q = 1 - pēc formulas

S n= n.b. 1

Ņemiet vērā, ka, ja mums ir nepieciešams summēt terminus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tad tiek izmantota formula:

Piemēram,

eksponenciāli 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ja ir dota ģeometriskā progresija, tad lielumus b 1 , b n, q, n un S n savienotas ar divām formulām:

Tāpēc, ja ir norādītas jebkuras trīs šo lielumu vērtības, tad pārējo divu lielumu atbilstošās vērtības tiek noteiktas no šīm formulām, kas apvienotas divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.

Ģeometriskajai progresijai ar pirmo termiņu b 1 un saucējs q notiek sekojošais monotonitātes īpašības :

• progresēšana palielinās, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

b 1 > 0 un q> 1;

b 1 < 0 un 0 < q< 1;

• Progresēšana samazinās, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

b 1 > 0 un 0 < q< 1;

b 1 < 0 un q> 1.

Ja q< 0 , tad ģeometriskā progresija ir mainīga ar zīmēm: tās nepāra numuriem ir tāda pati zīme kā pirmajam vārdam, un pāra skaitļiem ir pretēja zīme. Ir skaidrs, ka mainīga ģeometriskā progresija nav monotona.

Pirmā prece n ģeometriskās progresijas nosacījumus var aprēķināt pēc formulas:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Piemēram,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija

Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija sauc par bezgalīgu ģeometrisku progresiju, kuras saucēja modulis ir mazāks par 1 , tas ir

|q| < 1 .

Ņemiet vērā, ka bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija var nebūt dilstoša secība. Tas atbilst gadījumam

1 < q< 0 .

Ar šādu saucēju secība ir zīmju maiņa. Piemēram,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa nosauciet skaitli, kuram ir pirmā summa n progresijas termini ar neierobežotu skaita pieaugumu n . Šis skaitlis vienmēr ir ierobežots un tiek izteikts ar formulu

Piemēram,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmētiskās un ģeometriskās progresijas attiecības

Aritmētiskā un ģeometriskā progresija ir cieši saistītas. Apskatīsim tikai divus piemērus.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , tad

ba 1 , ba 2 , ba 3 , . . . b d .

Piemēram,

1, 3, 5, . . . — aritmētiskā progresija ar starpību 2 un

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ir ģeometriskā progresija ar saucēju 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ir ģeometriskā progresija ar saucēju q , tad

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmētiskā progresija ar starpību žurnāls aq .

Piemēram,

2, 12, 72, . . . ir ģeometriskā progresija ar saucēju 6 un

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmētiskā progresija ar starpību lg 6 . ◄

Matemātika ir kascilvēki kontrolē dabu un sevi.

Padomju matemātiķis, akadēmiķis A.N. Kolmogorovs

Ģeometriskā progresija.

Līdzās aritmētiskās progresijas uzdevumiem matemātikas iestājpārbaudījumos bieži sastopami arī uzdevumi, kas saistīti ar ģeometriskās progresijas jēdzienu. Lai veiksmīgi atrisinātu šādas problēmas, ir jāzina ģeometriskās progresijas īpašības un jābūt labām iemaņām to lietošanā.

Šis raksts ir veltīts ģeometriskās progresijas galveno īpašību izklāstam. Tajā sniegti arī tipisku problēmu risināšanas piemēri, aizgūts no iestājpārbaudījumu uzdevumiem matemātikā.

Sākotnēji atzīmēsim ģeometriskās progresijas galvenās īpašības un atcerēsimies svarīgākās formulas un apgalvojumus, saistīta ar šo jēdzienu.

Definīcija. Skaitlisku secību sauc par ģeometrisko progresiju, ja katrs tās cipars, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli. Skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.

Ģeometriskai progresijaiformulas ir derīgas

, (1)

kur . Formulu (1) sauc par ģeometriskās progresijas vispārīgā termina formulu, un formula (2) ir ģeometriskās progresijas galvenā īpašība: katrs progresijas loceklis sakrīt ar blakus esošo locekļu ģeometrisko vidējo un .

Piezīme, ka tieši šīs īpašības dēļ attiecīgo progresiju sauc par "ģeometrisko".

Iepriekš minētās (1) un (2) formulas ir apkopotas šādi:

, (3)

Lai aprēķinātu summu vispirms ģeometriskās progresijas locekļiformula tiek piemērota

Ja mēs iecelsim

kur . Tā kā , formula (6) ir formulas (5) vispārinājums.

Gadījumā, kad un ģeometriskā progresijabezgalīgi samazinās. Lai aprēķinātu summuno visiem bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas locekļiem tiek izmantota formula

. (7)

Piemēram , izmantojot formulu (7), var parādīt, kas

kur . Šīs vienādības tiek iegūtas no formulas (7) ar nosacījumu, ka , (pirmā vienādība) un , (otrā vienādība).

Teorēma. Ja tad

Pierādījums. Ja tad ,

Teorēma ir pierādīta.

Pāriesim pie problēmu risināšanas piemēru izskatīšanas par tēmu "Ģeometriskā progresija".

1. piemērsŅemot vērā: , un . Atrast.

Risinājums. Ja tiek piemērota formula (5), tad

Atbilde: .

2. piemērsĻaujiet un . Atrast.

Risinājums. Kopš un , mēs izmantojam formulas (5), (6) un iegūstam vienādojumu sistēmu

Ja sistēmas (9) otro vienādojumu dala ar pirmo, tad vai . No tā izriet . Apskatīsim divus gadījumus.

1. Ja , tad no pirmā sistēmas (9) vienādojuma mums ir.

2. Ja , tad .

3. piemērsĻaujiet , un . Atrast.

Risinājums. No formulas (2) izriet, ka vai . Kopš , tad vai .

Pēc nosacījuma. Tomēr tāpēc . Jo un, tad šeit mums ir vienādojumu sistēma

Ja sistēmas otro vienādojumu dala ar pirmo, tad vai .

Kopš , vienādojumam ir viena piemērota sakne . Šajā gadījumā sistēmas pirmais vienādojums nozīmē .

Ņemot vērā formulu (7), iegūstam.

Atbilde: .

4. piemērsŅemot vērā: un . Atrast.

Risinājums. Kopš tā laika .

Jo , tad vai

Saskaņā ar formulu (2), mums ir . Šajā sakarā no vienādības (10) iegūstam vai .

Tomēr ar nosacījumu , tāpēc .

5. piemērs Ir zināms, ka. Atrast.

Risinājums. Saskaņā ar teorēmu mums ir divas vienādības

Kopš , tad vai . Jo tad.

Atbilde: .

6. piemērsŅemot vērā: un . Atrast.

Risinājums.Ņemot vērā formulu (5), iegūstam

Kopš tā laika . Kopš , un , tad .

7. piemērsĻaujiet un . Atrast.

Risinājums. Pēc formulas (1) mēs varam rakstīt

Tāpēc mums ir vai . Ir zināms, ka un , tāpēc un .

Atbilde: .

8. piemērs Atrodiet bezgalīgas dilstošās ģeometriskās progresijas saucēju, ja

un .

Risinājums. No formulas (7) izriet un . No šejienes un no uzdevuma nosacījuma mēs iegūstam vienādojumu sistēmu

Ja pirmais sistēmas vienādojums ir kvadrātā, un pēc tam sadaliet iegūto vienādojumu ar otro vienādojumu, tad mēs saņemam

Vai .

Atbilde: .

9. piemērs Atrodiet visas vērtības, kurām secība , ir ģeometriskā progresija.

Risinājums.Ļaujiet , un . Saskaņā ar formulu (2), kas nosaka ģeometriskās progresijas galveno īpašību, mēs varam rakstīt vai .

No šejienes mēs iegūstam kvadrātvienādojumu, kuru saknes ir un .

Pārbaudīsim: ja, pēc tam , un ; ja , tad , un .

Pirmajā gadījumā mums ir un , un otrajā - un .

Atbilde: , .

10. piemērsatrisināt vienādojumu

, (11)

kur un.

Risinājums. Vienādojuma (11) kreisā puse ir bezgalīgas dilstošās ģeometriskās progresijas summa, kurā un , ja: un .

No formulas (7) izriet, kas . Šajā sakarā vienādojums (11) iegūst formu vai . piemērota sakne kvadrātvienādojums ir

Atbilde: .

11. piemērs. P pozitīvo skaitļu secībaveido aritmētisko progresiju, a - ģeometriskā progresija, kāds tam sakars ar . Atrast.

Risinājums. Jo aritmētiskā secība, tad (aritmētiskās progresijas galvenā īpašība). Tāpēc ka, tad vai . Tas nozīmē, ka ģeometriskā progresija ir. Saskaņā ar formulu (2), tad mēs to rakstām.

Kopš un , tad . Tādā gadījumā izteiksme iegūst formu vai . Pēc nosacījuma, tātad no vienādojumamēs saņemam vienīgais lēmums izskatāmā problēma, t.i. .

Atbilde: .

12. piemērs. Aprēķināt summu

. (12)

Risinājums. Reiziniet abas vienādības puses (12) ar 5 un iegūstiet

Ja no iegūtās izteiksmes atņemam (12)., tad

vai .

Lai aprēķinātu, mēs aizstājam vērtības formulā (7) un iegūstam . Kopš tā laika .

Atbilde: .

Šeit sniegtie problēmu risināšanas piemēri būs noderīgi reflektantiem, gatavojoties iestājpārbaudījumiem. Problēmu risināšanas metožu dziļākai izpētei, saistīta ar ģeometrisko progresiju, Var izmantot mācību ceļveži no ieteicamās literatūras saraksta.

1. Uzdevumu krājums matemātikā reflektantiem uz tehniskajām augstskolām / Red. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 lpp.

2. Suprun V.P. Matemātika vidusskolēniem: papildu sadaļas skolas mācību programma. – M.: Lenands / URSS, 2014. - 216 lpp.

3. Medynsky M.M. Pilns kurss elementārā matemātika uzdevumos un vingrinājumos. 2. grāmata: skaitļu secības un progresēšana. – M.: Editus, 2015. - 208 lpp.

Vai jums ir kādi jautājumi?

Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Jau iekšā Senā Ēģipte zināja ne tikai aritmētisko, bet arī ģeometrisko progresiju. Lūk, piemēram, uzdevums no Rhind papirusa: “Septiņās sejās ir septiņi kaķi; katrs kaķis ēd septiņas peles, katra pele ēd septiņas kukurūzas vārpas, katra vārpa var izaudzēt septiņus mērus miežu. Cik lieli ir šīs sērijas skaitļi un to summa?

Rīsi. 1. Senās Ēģiptes ģeometriskās progresijas problēma

Šis uzdevums tika atkārtots daudzas reizes ar dažādām variācijām starp citām tautām citreiz. Piemēram, rakstītajā XIII gs. Leonardo no Pizas (Fibonači) "Abaka grāmatā" ir problēma, kurā ceļā uz Romu parādās 7 vecas sievietes (acīmredzami svētceļnieki), no kurām katrā ir 7 mūļi, no kuriem katrā ir 7 somas, no kurām katra ir 7 klaipi, no kuriem katrā ir 7 naži, katrs no kuriem ir 7 apvalkos. Problēma jautā, cik daudz priekšmetu ir.

Ģeometriskās progresijas S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) pirmo n locekļu summa. Šo formulu var pierādīt, piemēram, šādi: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Saskaitīsim S n skaitli b 1 q n un iegūsim:

Tādējādi S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), un mēs iegūstam nepieciešamo formulu.

Jau uz vienas no Senās Babilonas māla plāksnēm, kas datētas ar VI gadsimtu. BC e., satur summu 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Tiesa, tāpat kā daudzos citos gadījumos, mēs nezinām, kur šis fakts bija zināms babiloniešiem .

Straujais ģeometriskās progresijas pieaugums vairākās kultūrās, jo īpaši Indijā, tiek atkārtoti izmantots kā nepārprotams Visuma neizmērojamības simbols. Pazīstamajā leģendā par šaha parādīšanos valdnieks dod iespēju to izgudrotājam pašam izvēlēties atlīdzību, un viņš prasa tik daudz kviešu graudu, kādu iegūs, ja tos novietos uz šaha pirmās šūnas. šaha galds, divi uz otrā, četri uz trešo, astoņi uz ceturtā utt., katru reizi, kad skaitlis tiek dubultots. Kungs tā domāja mēs runājam, ne vairāk kā par dažām somām, bet viņš nepareizi aprēķināja. Ir viegli redzēt, ka par visiem 64 šaha galdiņa lauciņiem izgudrotājam vajadzēja saņemt (2 64 - 1) graudu, kas izteikts kā 20 ciparu skaitlis; pat ja būtu apsēta visa Zemes virsma, lai savāktu vajadzīgo graudu skaitu, būtu nepieciešami vismaz 8 gadi. Šī leģenda dažkārt tiek interpretēta kā atsauce uz gandrīz neierobežotajām iespējām, kas slēpjas šaha spēlē.

Tas, ka šis skaitlis patiešām ir 20 ciparu, ir viegli pamanāms:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (precīzāks aprēķins dod 1,84 10 19). Bet nez vai jūs varat uzzināt, ar kādu ciparu šis skaitlis beidzas?

Ģeometriskā progresija palielinās, ja saucēja absolūtā vērtība ir lielāka par 1, vai samazinās, ja tā ir mazāka par vienu. Pēdējā gadījumā skaitlis q n var kļūt patvaļīgi mazs pietiekami lielam n. Kamēr pieaugošais eksponenciāls negaidīti ātri palielinās, tikpat ātri samazinās eksponenciāls.

Jo lielāks n, jo vājāks skaitlis q n atšķiras no nulles un jo tuvāk ģeometriskās progresijas S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) n locekļu summa ir skaitlim S \u003d b 1. / (1–q) . (Tā pamatots, piemēram, F. Viet). Skaitli S sauc par bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu. Tomēr daudzus gadsimtus matemātiķiem nebija pietiekami skaidrs jautājums par to, kāda ir VISAS ģeometriskās progresijas summēšanas nozīme ar tās bezgalīgo skaitu terminu.

Samazinoša ģeometriskā progresija vērojama, piemēram, Zenona aporijās "Kodiens" un "Ahillejs un bruņurupucis". Pirmajā gadījumā ir skaidri parādīts, ka viss ceļš (pieņemsim, ka garums ir 1) ir bezgalīgi daudzu posmu summa 1/2, 1/4, 1/8 utt. Tas, protams, ir no priekšstatu par galīgo summu bezgalīgo ģeometrisko progresiju skatījums. Un tomēr - kā tas var būt?

Aporijā par Ahilleju situācija ir nedaudz sarežģītāka, jo šeit progresijas saucējs nav vienāds ar 1/2, bet gan ar kādu citu skaitli. Ļaujiet, piemēram, Ahilleja skriet ar ātrumu v, bruņurupucis pārvietojas ar ātrumu u, un sākotnējais attālums starp tiem ir l. Ahillejs veiks šo distanci laikā l/v , bruņurupucis šajā laikā pārvietos attālumu lu/v. Kad Ahillejs skrien cauri šim segmentam, attālums starp viņu un bruņurupuci kļūs vienāds ar l (u / v) 2 utt. Izrādās, ka panākt bruņurupuci nozīmē atrast bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu ar pirmo. termins l un saucējs u / v. Šī summa - segments, kuru Ahillejs galu galā skries uz tikšanās vietu ar bruņurupuci - ir vienāda ar l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Bet atkal, kā interpretēt šo rezultātu un kāpēc tam vispār ir kāda jēga, ilgu laiku tas nebija īsti skaidrs.

Ģeometriskās progresijas summu izmantoja Arhimēds, nosakot parabolas segmenta laukumu. Dotais parabolas segments ir norobežots ar hordu AB un pieskare parabolas punktā D ir paralēla AB . Lai C ir AB viduspunkts, E ir AC viduspunkts, F ir CB viduspunkts. Caur punktiem A , E , F , B vilkt taisnes paralēli līdzstrāvai; pieskare, kas novilkta punktā D, šīs taisnes krustojas punktos K , L , M , N . Uzzīmēsim arī segmentus AD un DB. Ļaujiet taisnei EL krustot taisni AD punktā G un parabolu punktā H; taisne FM krusto līniju DB punktā Q un parabolu punktā R. Saskaņā ar vispārējo konisko sekciju teoriju DC ir parabolas diametrs (tas ir, segments, kas ir paralēls tās asij); tas un pieskares punktā D var kalpot par koordinātu asīm x un y, kurās parabolas vienādojums ir uzrakstīts kā y 2 \u003d 2px (x ir attālums no D līdz jebkuram noteikta diametra punktam, y ir a garums segments, kas ir paralēls noteiktai tangensei no šī diametra punkta līdz kādam pašas parabolas punktam).

Saskaņā ar parabolas vienādojumu DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , un tā kā DK = 2DL , tad KA = 4LH . Tā kā KA = 2LG, LH = HG. Parabolas segmenta ADB laukums ir vienāds ar trīsstūra ΔADB laukumu un segmentu AHD un DRB laukumiem kopā. Savukārt segmenta AHD laukums līdzīgi ir vienāds ar trijstūra AHD laukumu un atlikušajiem segmentiem AH un HD, ar katru no kuriem var veikt vienu un to pašu darbību - sadalīt trīsstūrī (Δ) un divi atlikušie segmenti () utt.:

Trijstūra laukums ΔAHD ir vienāds ar pusi no trijstūra ΔALD laukuma (tiem ir kopīga bāze AD, un augstumi atšķiras 2 reizes), kas, savukārt, ir vienāds ar pusi no trijstūra laukuma. trijstūris ΔAKD un līdz ar to puse no trīsstūra ΔACD laukuma. Tādējādi trīsstūra ΔAHD laukums ir vienāds ar ceturtdaļu no trijstūra ΔACD laukuma. Tāpat trīsstūra ΔDRB laukums ir vienāds ar ceturtdaļu no trijstūra ΔDFB laukuma. Tātad trīsstūru ∆AHD un ∆DRB laukumi kopā ir vienādi ar ceturtdaļu no trijstūra ∆ADB laukuma. Atkārtojot šo darbību atbilstoši segmentiem AH , HD , DR un RB, no tiem tiks atlasīti arī trīsstūri, kuru laukums kopā būs 4 reizes mazāks nekā ņemto trijstūru laukums ΔAHD un ΔDRB kopā un līdz ar to 16 reizes mazāk nekā trijstūra laukums ΔADB . Un tā tālāk:

Tādējādi Arhimēds pierādīja, ka "katrs segments, kas atrodas starp taisni un parabolu, ir četras trešdaļas no trijstūra, kam ir vienāda pamatne un vienāds augstums ar to."

Ģeometriskā progresija kopā ar aritmētiku ir svarīga skaitļu rinda, kas tiek pētīta skolas kurss algebra 9. klasē. Šajā rakstā mēs aplūkosim ģeometriskās progresijas saucēju un to, kā tā vērtība ietekmē tās īpašības.

Ģeometriskās progresijas definīcija

Sākumā mēs sniedzam šīs skaitļu sērijas definīciju. Ģeometriskā progresija ir virkne racionālie skaitļi, ko veido, secīgi reizinot tā pirmo elementu ar konstantu skaitli, ko sauc par saucēju.

Piemēram, skaitļi sērijās 3, 6, 12, 24, ... ir ģeometriska progresija, jo, reizinot 3 (pirmo elementu) ar 2, mēs iegūstam 6. Ja mēs reizinām 6 ar 2, mēs iegūstam 12, un tā tālāk.

Apskatāmās secības dalībniekus parasti apzīmē ar simbolu ai, kur i ir vesels skaitlis, kas norāda elementa numuru sērijā.

Iepriekš minēto progresijas definīciju matemātikas valodā var uzrakstīt šādi: an = bn-1 * a1, kur b ir saucējs. Šo formulu ir viegli pārbaudīt: ja n = 1, tad b1-1 = 1, un mēs iegūstam a1 = a1. Ja n = 2, tad an = b * a1, un mēs atkal nonākam pie aplūkojamās skaitļu sērijas definīcijas. Līdzīgu argumentāciju var turpināt lielas vērtības n.

Ģeometriskās progresijas saucējs

Skaitlis b pilnībā nosaka, kāda rakstzīme būs visai skaitļu sērijai. Saucējs b var būt pozitīvs, negatīvs vai lielāks vai mazāks par vienu. Visas iepriekš minētās opcijas rada dažādas secības:

• b > 1. Pastāv arvien lielāka racionālo skaitļu rinda. Piemēram, 1, 2, 4, 8, ... Ja elements a1 ir negatīvs, tad visa secība pieaugs tikai modulo, bet samazināsies, ņemot vērā skaitļu zīmi.
• b = 1. Bieži vien šādu gadījumu nesauc par progresiju, jo ir parasta identisku racionālu skaitļu rinda. Piemēram, -4, -4, -4.

Summas formula

Pirms turpināt pārskatīšanu konkrēti uzdevumi izmantojot aplūkojamā progresijas veida saucēju, jādod svarīga formula tās pirmo n elementu summai. Formula ir šāda: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Šo izteiksmi varat iegūt pats, ja ņemat vērā progresijas dalībnieku rekursīvu secību. Ņemiet vērā arī to, ka iepriekš minētajā formulā pietiek zināt tikai pirmo elementu un saucēju, lai atrastu summu patvaļīgs skaitlis biedri.

Bezgalīgi dilstoša secība

Iepriekš bija paskaidrojums par to, kas tas ir. Tagad, zinot Sn formulu, piemērosim to šai skaitļu sērijai. Tā kā jebkuram skaitlim, kura modulis nepārsniedz 1, ir tendence uz nulli, ja to palielina līdz lielām pakāpēm, tas ir, b∞ => 0, ja -1

Tā kā starpība (1 - b) vienmēr būs pozitīva, neatkarīgi no saucēja vērtības, bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas S∞ summas zīmi unikāli nosaka tās pirmā elementa zīme a1.

Tagad apskatīsim vairākas problēmas, kur parādīsim, kā iegūtās zināšanas pielietot konkrētiem skaitļiem.

Uzdevuma numurs 1. Nezināmo progresijas elementu un summas aprēķins

Ņemot vērā ģeometrisko progresiju, progresijas saucējs ir 2, un tās pirmais elements ir 3. Kāds būs tās 7. un 10. termins, un kāda ir tās septiņu sākotnējo elementu summa?

Problēmas nosacījums ir diezgan vienkāršs un ietver tiešu iepriekš minēto formulu izmantošanu. Tātad, lai aprēķinātu elementu ar skaitli n, mēs izmantojam izteiksmi an = bn-1 * a1. 7. elementam mums ir: a7 = b6 * a1, aizvietojot zināmos datus, iegūstam: a7 = 26 * 3 = 192. Mēs darām to pašu ar 10. dalībnieku: a10 = 29 * 3 = 1536.

Mēs izmantojam labi zināmo summas formulu un nosakām šo vērtību sērijas pirmajiem 7 elementiem. Mums ir: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Uzdevuma numurs 2. Patvaļīgu progresijas elementu summas noteikšana

Ar -2 ir eksponenciālās progresijas bn-1 * 4 saucējs, kur n ir vesels skaitlis. Nepieciešams noteikt summu no šīs sērijas 5. līdz 10. elementam, ieskaitot.

Uzdoto problēmu nevar tieši atrisināt, izmantojot zināmas formulas. To var atrisināt ar 2 dažādas metodes. Pilnības labad mēs piedāvājam abus.

1. metode. Tās ideja ir vienkārša: jums ir jāaprēķina divas atbilstošās pirmo vārdu summas un pēc tam no viena jāatņem otrs. Aprēķiniet mazāko summu: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Tagad mēs aprēķinām lielo summu: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Ņemiet vērā, ka pēdējā izteiksmē tika summēti tikai 4 termini, jo 5. jau ir iekļauts summā, kas jāaprēķina atbilstoši uzdevuma stāvoklim. Visbeidzot, mēs ņemam starpību: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2. metode. Pirms skaitļu aizstāšanas un skaitīšanas var iegūt formulu summai starp attiecīgās sērijas vārdiem m un n. Mēs rīkojamies tieši tāpat kā 1. metodē, tikai vispirms strādājam ar summas simbolisko attēlojumu. Mums ir: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Iegūtajā izteiksmē varat aizstāt zināmus skaitļus un aprēķināt gala rezultātu: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Uzdevuma numurs 3. Kāds ir saucējs?

Ļaujiet a1 = 2 atrast ģeometriskās progresijas saucēju, ja tā bezgalīgā summa ir 3 un ir zināms, ka šī ir dilstoša skaitļu virkne.

Pēc problēmas stāvokļa nav grūti uzminēt, kura formula jāizmanto tās risināšanai. Protams, bezgalīgi sarūkošas progresijas summai. Mums ir: S∞ = a1 / (1 - b). No kurienes mēs izsakām saucēju: b = 1 - a1 / S∞. Atliek aizstāt zināmās vērtības un iegūt nepieciešamo skaitli: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 vai -0,333 (3). Šo rezultātu varam pārbaudīt kvalitatīvi, ja atceramies, ka šāda veida secībai modulis b nedrīkst pārsniegt 1. Kā redzat, |-1 / 3|

Uzdevums numurs 4. Ciparu sērijas atjaunošana

Doti 2 skaitļu sērijas elementi, piemēram, 5. ir vienāds ar 30 un 10. ir vienāds ar 60. No šiem datiem ir jāatjauno visa sērija, zinot, ka tā apmierina ģeometriskās progresijas īpašības.

Lai atrisinātu problēmu, vispirms ir jāpieraksta atbilstošā izteiksme katram zināmajam dalībniekam. Mums ir: a5 = b4 * a1 un a10 = b9 * a1. Tagad mēs sadalām otro izteiksmi ar pirmo, iegūstam: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. No šejienes mēs nosakām saucēju, ņemot piektās pakāpes sakni no uzdevuma nosacījuma zināmo locekļu attiecības, b = 1,148698. Mēs aizstājam iegūto skaitli vienā no zināma elementa izteiksmēm, iegūstam: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Tādējādi mēs esam noskaidrojuši, kas ir progresijas bn saucējs, un ģeometriskā progresija bn-1 * 17.2304966 = an, kur b = 1.148698.

Kur tiek izmantotas ģeometriskās progresijas?

Ja šīs skaitliskās rindas praktiski neizmantotu, tad tās izpēte tiktu reducēta uz tīri teorētisku interesi. Bet ir tāds pieteikums.

Tālāk ir uzskaitīti 3 slavenākie piemēri:

• Zenona paradokss, kurā veiklais Ahillejs nespēj panākt lēno bruņurupuci, tiek atrisināts, izmantojot bezgalīgi dilstošās skaitļu virknes koncepciju.
• Ja kviešu graudi ir novietoti uz katras šaha galdiņa šūnas tā, lai 1 grauds tiktu novietots 1. šūnā, 2 - 2., 3 - 3. un tā tālāk, tad būs nepieciešami 18446744073709551615 graudi, lai aizpildītu visas dēlis!
• Spēlē "Tower of Hanoi", lai pārkārtotu diskus no viena stieņa uz otru, ir jāveic 2n - 1 darbības, tas ir, to skaits pieaug eksponenciāli no izmantoto disku skaita n.

Ģeometriskās progresijas n-tā locekļa formula ir ļoti vienkārša. Gan pēc nozīmes, gan kopumā. Bet n-tā dalībnieka formulai ir visādas problēmas - no ļoti primitīvām līdz diezgan nopietnām. Un iepazīšanās procesā mēs noteikti apsvērsim abus. Nu, tiekamies?)

Tātad, iesācējiem, patiesībā formulan

Tur viņa ir:

b n = b 1 · q n -1

Formula kā formula, nekas pārdabisks. Tas izskatās pat vienkāršāks un kompaktāks nekā līdzīgā formula . Arī formulas nozīme ir vienkārša, piemēram, filca zābakam.

Šī formula ļauj atrast JEBKURU ģeometriskās progresijas locekli PĒC TĀ NUMURA ​​" n".

Kā redzat, nozīme ir pilnīga analoģija ar aritmētisko progresiju. Mēs zinām skaitli n - mēs varam arī aprēķināt terminu zem šī skaitļa. Ko mēs vēlamies. Nereizināt secīgi ar "q" daudzas, daudzas reizes. Tā ir visa būtība.)

Es saprotu, ka šajā darba ar progresiju līmenī visiem formulā iekļautajiem daudzumiem jums jau vajadzētu būt skaidriem, taču uzskatu par savu pienākumu katru atšifrēt. Katram gadījumam.

Tātad ejam:

b 1 – pirmaisģeometriskās progresijas dalībnieks;

q – ;

n– biedra numurs;

b n – nth (nth)ģeometriskās progresijas dalībnieks.

Šī formula sasaista četrus galvenos jebkuras ģeometriskās progresijas parametrus - bn, b 1 , q un n. Un ap šiem četriem galvenajiem rādītājiem griežas visi veicamie uzdevumi.

"Un kā tas tiek parādīts?"- Dzirdu ziņkārīgu jautājumu... Elementāri! Skaties!

Kas ir vienāds ar otrais progresa biedrs? Nekādu problēmu! Mēs rakstām tieši:

b 2 = b 1 q

Un trešais dalībnieks? Nav arī problēma! Mēs reizinām otro termiņu atkal ieslēgtsq.

Kā šis:

B 3 \u003d b 2 q

Tagad atcerieties, ka otrais loceklis, savukārt, ir vienāds ar b 1 q un aizstājiet šo izteiksmi mūsu vienādībā:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Mēs iegūstam:

B 3 = b 1 q 2

Tagad lasīsim mūsu ierakstu krievu valodā: trešais termins ir vienāds ar pirmo terminu, kas reizināts ar q in otrais grāds. Vai jūs to saprotat? Vēl nē? Labi, vēl viens solis.

Kāds ir ceturtais termins? Viss tas pats! Pavairot iepriekšējā(t.i., trešais termins) q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Kopā:

B 4 = b 1 q 3

Un atkal mēs tulkojam krievu valodā: ceturtais termins ir vienāds ar pirmo terminu, kas reizināts ar q in trešais grāds.

Un tā tālāk. Kā tad ir? Vai jūs uztvērāt modeli? Jā! Jebkuram terminam ar jebkuru skaitli vienādu faktoru skaits q (t.i., saucēja jauda) vienmēr būs par vienu mazāks par vēlamā dalībnieka skaitun.

Tāpēc mūsu formula bez iespējām būs šāda:

b n =b 1 · q n -1

Tas ir viss.)

Nu, atrisināsim problēmas, vai ne?)

Problēmu risināšana pēc formulasnģeometriskās progresijas termiņš.

Sāksim, kā parasti, ar tiešu formulas pielietojumu. Šeit ir tipiska problēma:

Tas ir eksponenciāli zināms b 1 = 512 un q = -1/2. Atrodiet progresijas desmito termiņu.

Protams, šo problēmu var atrisināt bez jebkādām formulām. Gluži kā ģeometriskā progresija. Bet vajag iesildīties ar n-tā termiņa formulu, vai ne? Šeit mēs šķiramies.

Mūsu dati formulas piemērošanai ir šādi.

Pirmais termins ir zināms. Šis ir 512.

b 1 = 512.

Zināms arī progresēšanas saucējs: q = -1/2.

Atliek tikai izdomāt, ar ko ir vienāds termina n skaitlis. Nekādu problēmu! Vai mūs interesē desmitais termiņš? Tātad vispārējā formulā n vietā aizstājam desmit.

Un rūpīgi aprēķiniet aritmētiku:

Atbilde: -1

Kā redzat, progresijas desmitais termiņš izrādījās ar mīnusu. Nav brīnums: progresijas saucējs ir -1/2, t.i. negatīvs numuru. Un tas mums norāda, ka mūsu progresēšanas pazīmes mainās, jā.)

Šeit viss ir vienkārši. Un šeit ir līdzīga problēma, bet nedaudz sarežģītāka aprēķinu ziņā.

Ģeometriskā progresijā mēs zinām, ka:

b 1 = 3

Atrodiet progresijas trīspadsmito termiņu.

Viss ir pa vecam, tikai šoreiz progresijas saucējs - neracionāli. Divu sakne. Nu, nekas liels. Formula ir universāla lieta, tā tiek galā ar jebkuriem skaitļiem.

Mēs strādājam tieši pēc formulas:

Formula, protams, nostrādāja kā nākas, bet... lūk, kur daži pakārsies. Ko darīt tālāk ar sakni? Kā pacelt sakni līdz divpadsmitajam spēkam?

Kā-kā... Jāsaprot, ka jebkura formula, protams, ir laba lieta, bet visas iepriekšējās matemātikas zināšanas netiek anulētas! Kā paaugstināt? Jā, atcerieties grādu īpašības! Mainīsim sakni uz daļēja pakāpe un - pēc spēka paaugstināšanas par spēku.

Kā šis:

Atbilde: 192

Un visas lietas.)

Kādas ir galvenās grūtības tiešā n-tā termina formulas piemērošanā? Jā! Galvenā grūtība ir strādāt ar grādiem! Proti, eksponenci negatīvi skaitļi, frakcijas, saknes un līdzīgas struktūras. Tātad tiem, kam ar to ir problēmas, steidzams lūgums atkārtot grādus un to īpašības! Pretējā gadījumā jūs palēnināsit šajā tēmā, jā ...)

Tagad atrisināsim tipiskas meklēšanas problēmas viens no formulas elementiem ja tiek doti visi pārējie. Veiksmīgam šādu problēmu risinājumam recepte ir viena un vienkārša līdz šausmām - uzraksti formulunbiedrs iekšā vispārējs skats! Tieši piezīmju grāmatiņā blakus nosacījumam. Un tad no stāvokļa mēs izdomājam, kas mums ir dots un ar ko nepietiek. Un mēs izsakām no formulas vēlamo vērtību. Viss!

Piemēram, tāda nekaitīga problēma.

Piektais loceklis ģeometriskajai progresijai ar saucēju 3 ir 567. Atrodiet šīs progresijas pirmo daļu.

Nekas sarežģīts. Mēs strādājam tieši saskaņā ar burvestību.

Rakstām n-tā termina formulu!

b n = b 1 · q n -1

Kas mums ir dots? Pirmkārt, tiek dots progresijas saucējs: q = 3.

Turklāt mums ir dots piektais termiņš: b 5 = 567 .

Viss? Nē! Mums arī tiek dots skaitlis n! Tas ir piecinieks: n = 5.

Ceru, ka jūs jau sapratāt, kas ir ierakstā b 5 = 567 uzreiz tiek paslēpti divi parametri - tas ir pats piektais dalībnieks (567) un tā numurs (5). Es par to jau runāju līdzīgā nodarbībā, bet es domāju, ka šeit atgādināt nav lieki.)

Tagad mēs aizstājam savus datus formulā:

567 = b 1 3 5-1

Mēs uzskatām aritmētiku, vienkāršojam un iegūstam vienkāršu lineārais vienādojums:

81 b 1 = 567

Mēs atrisinām un iegūstam:

b 1 = 7

Kā redzat, ar pirmā dalībnieka atrašanu problēmu nav. Bet, meklējot saucēju q un cipariem n var būt pārsteigumi. Un jums arī jābūt gatavam tiem (pārsteigumiem), jā.)

Piemēram, šāda problēma:

Ģeometriskās progresijas piektais loceklis ar pozitīvu saucēju ir 162, un šīs progresijas pirmais loceklis ir 2. Atrodiet progresijas saucēju.

Šoreiz mums tiek dots pirmais un piektais dalībnieks, un tiek lūgts atrast progresijas saucēju. Šeit mēs sākam.

Mēs rakstām formulunbiedrs!

b n = b 1 · q n -1

Mūsu sākotnējie dati būs šādi:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nepietiek vērtības q. Nekādu problēmu! Atradīsim to tūlīt.) Mēs aizstājam formulā visu, ko zinām.

Mēs iegūstam:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Vienkāršs ceturtās pakāpes vienādojums. Bet tagad - uzmanīgi!Šajā risinājuma posmā daudzi studenti nekavējoties ar prieku izvelk sakni (ceturtā pakāpe) un saņem atbildi q=3 .

Kā šis:

q4 = 81

q = 3

Bet kopumā šī ir nepabeigta atbilde. Pareizāk sakot, nepilnīgi. Kāpēc? Lieta ir tāda, ka atbilde q = -3 der arī: (-3) 4 arī būtu 81!

Tas ir tāpēc, ka jaudas vienādojums x n = a vienmēr ir divas pretējas saknes plkst patn . Pluss un mīnuss:

Abi der.

Piemēram, risināšana (t.i. otrais grādi)

x2 = 9

Nez kāpēc jūs nepārsteidz izskats divi saknes x=±3? Šeit ir tas pats. Un ar jebkuru citu pat pakāpe (ceturtā, sestā, desmitā utt.) būs tāda pati. Sīkāk - tēmā par

Tāpēc pareizais lēmums būs šādi:

q 4 = 81

q= ±3

Labi, mēs esam izdomājuši zīmes. Kurš ir pareizs - plus vai mīnus? Nu, mēs vēlreiz izlasījām problēmas stāvokli, meklējot Papildus informācija. Tā, protams, var nebūt, bet šajā problēmā šāda informācija pieejams. Mūsu stāvoklī ir tieši teikts, ka tiek dota progresija ar pozitīvais saucējs.

Tātad atbilde ir acīmredzama:

q = 3

Šeit viss ir vienkārši. Kas, jūsuprāt, notiktu, ja problēmas izklāsts būtu šāds:

Ģeometriskās progresijas piektais loceklis ir 162, un šīs progresijas pirmais loceklis ir 2. Atrodiet progresijas saucēju.

Kāda atšķirība? Jā! Stāvoklī nekas nav minēts saucējs. Ne tieši, ne netieši. Un šeit problēma jau būtu divi risinājumi!

q = 3 un q = -3

Jā jā! Un ar plusu un mīnusu.) Matemātiski šis fakts nozīmētu, ka ir divas progresijas kas atbilst uzdevumam. Un katram - savs saucējs. Izklaidei praktizējieties un pierakstiet katra pirmos piecus terminus.)

Tagad trenēsimies atrast dalībnieka numuru. Šis ir grūtākais, jā. Bet arī radošāks.

Dota ģeometriskā progresija:

3; 6; 12; 24; …

Kāds ir skaitlis 768 šajā progresijā?

Pirmais solis ir tāds pats: uzraksti formulunbiedrs!

b n = b 1 · q n -1

Un tagad, kā parasti, mēs tajā aizvietojam mums zināmos datus. Hm... neder! Kur pirmais biedrs, kur saucējs, kur viss pārējais?!

Kur, kur ... Kāpēc mums vajadzīgas acis? Plīvojošas skropstas? Šoreiz progresija mums tiek dota tieši formā sekvences. Vai mēs varam redzēt pirmo termiņu? Mēs redzam! Tas ir trīskāršs (b 1 = 3). Kā ar saucēju? Mēs to vēl neredzam, bet to ir ļoti viegli saskaitīt. Ja, protams, saproti.

Šeit mēs uzskatām. Tieši pēc ģeometriskās progresijas nozīmes: ņemam jebkuru tās locekli (izņemot pirmo) un sadalām ar iepriekšējo.

Vismaz šādi:

q = 24/12 = 2

Ko vēl mēs zinām? Mēs zinām arī dažus šīs progresijas dalībniekus, kas vienādi ar 768. Zem kāda skaitļa n:

b n = 768

Mēs nezinām viņa numuru, bet mūsu uzdevums ir tieši viņu atrast.) Tāpēc mēs meklējam. Mēs jau esam lejupielādējuši visus nepieciešamos datus aizvietošanai formulā. Nemanāmi.)

Šeit mēs aizstājam:

768 = 3 2n -1

Izgatavojam elementārās - abas daļas sadalām ar trīs un vienādojumu pārrakstām parastajā formā: nezināmais pa kreisi, zināms pa labi.

Mēs iegūstam:

2 n -1 = 256

Šeit ir interesants vienādojums. Mums jāatrod "n". Kas ir neparasts? Jā, es nestrīdos. Patiesībā tas ir visvienkāršākais. To sauc tāpēc, ka nezināmais (in Šis gadījumsšis numurs n) stāv indikators grāds.

Ģeometriskās progresijas iepazīšanas posmā (šī ir devītā klase) eksponenciālos vienādojumus nemāca risināt, jā... Tā ir tēma vidusskolai. Bet nav nekā briesmīga. Pat ja jūs nezināt, kā šādi vienādojumi tiek atrisināti, mēģināsim atrast mūsu n vadās pēc vienkāršas loģikas un veselā saprāta.

Sākam apspriest. Kreisajā pusē mums ir divnieks zināmā mērā. Mēs vēl nezinām, kas īsti ir šis grāds, bet tas nav biedējoši. Bet, no otras puses, mēs stingri zinām, ka šis grāds ir vienāds ar 256! Tātad mēs atceramies, cik lielā mērā deuce mums dod 256. Atcerieties? Jā! AT astotais grādiem!

256 = 2 8

Ja jūs neatcerējāties vai neatcerējāties problēmas pakāpes, tad arī tas ir labi: mēs vienkārši secīgi paceļam divus līdz kvadrātam, kubā, ceturtajā pakāpē, piektajā utt. Faktiski izvēle, bet šajā līmenī, ir diezgan liela.

Vienā vai otrā veidā mēs iegūsim:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Tātad 768 ir devītais mūsu progresa biedrs. Tas arī viss, problēma atrisināta.)

Atbilde: 9

Kas? Garlaicīgi? Apnicis elementārs? ES piekrītu. Un mani arī. Pāriesim uz nākamo līmeni.)

Sarežģītāki uzdevumi.

Un tagad mēs risinām mīklas daudz straujāk. Ne gluži superforši, bet pie kuras ir nedaudz jāpiestrādā, lai tiktu līdz atbildei.

Piemēram, šādi.

Atrodiet ģeometriskās progresijas otro daļu, ja tās ceturtais ir -24 un septītais ir 192.

Šī ir žanra klasika. Ir zināmi daži divi dažādi progresijas dalībnieki, taču ir jāatrod vēl viens dalībnieks. Turklāt visi dalībnieki NAV kaimiņi. Kas sākumā mulsina, jā...

Tāpat kā , mēs apsveram divas metodes šādu problēmu risināšanai. Pirmais veids ir universāls. Algebriskā. Nevainojami darbojas ar jebkuriem avota datiem. Tātad mēs sāksim ar to.)

Mēs krāsojam katru terminu pēc formulas nbiedrs!

Viss ir tieši tāpat kā ar aritmētisko progresiju. Tikai šoreiz strādājam ar cits vispārējā formula. Tas arī viss.) Bet būtība ir viena: ņemam un pagriezienā mēs aizstājam savus sākotnējos datus n-tā termina formulā. Katram dalībniekam - savs.

Ceturtajam termiņam mēs rakstām:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Tur ir. Viens vienādojums ir pabeigts.

Septītajam termiņam mēs rakstām:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Kopumā tika iegūti divi vienādojumi tāda pati progresija .

Mēs no tiem saliekam sistēmu:

Neskatoties uz iespaidīgo izskatu, sistēma ir diezgan vienkārša. Acīmredzamākais risinājums ir parastā aizstāšana. Mēs izsakām b 1 no augšējā vienādojuma un aizstājiet ar apakšējo:

Nedaudz pamocoties ar zemāko vienādojumu (samazinot eksponentus un dalot ar -24), tiek iegūts:

q 3 = -8

Starp citu, to pašu vienādojumu var iegūt vienkāršāk! Kas? Tagad es jums parādīšu vēl vienu noslēpumu, bet ļoti skaistu, spēcīgu un noderīgs veids risinājumus šādām sistēmām. Tādas sistēmas, kuru vienādojumos viņi sēž darbojas tikai. Vismaz vienā. sauca terminu dalīšanas metode viens vienādojums pret otru.

Tātad mums ir sistēma:

Abos vienādojumos pa kreisi - strādāt, un labajā pusē ir tikai skaitlis. Tas ir ļoti laba zīme.) Ņemsim un ... sadalām, teiksim, apakšējo vienādojumu ar augšējo! Ko nozīmē, dalīt vienu vienādojumu ar citu?Ļoti vienkārši. Mēs ņemam kreisā puse viens vienādojums (apakšējais) un mēs sadalām viņa ieslēgta kreisā puse cits vienādojums (augšējais). Labā puse ir līdzīga: labā puse viens vienādojums mēs sadalām uz labā puse cits.

Viss sadalīšanas process izskatās šādi:

Tagad, samazinot visu samazināto, mēs iegūstam:

q 3 = -8

Kas šajā metodē ir labs? Jā, jo šādas dalīšanas procesā visu slikto un neērto var droši samazināt un paliek pilnīgi nekaitīgs vienādojums! Tāpēc ir tik svarīgi, lai būtu tikai reizinājumus vismaz vienā no sistēmas vienādojumiem. Nav reizināšanas - nav ko samazināt, jā ...

Kopumā šī metode (tāpat kā daudzi citi netriviāli sistēmu risināšanas veidi) pat ir pelnījusi atsevišķu nodarbību. Es noteikti to apskatīšu tuvāk. Kādreiz…

Tomēr neatkarīgi no tā, kā jūs atrisinātu sistēmu, jebkurā gadījumā tagad mums ir jāatrisina iegūtais vienādojums:

q 3 = -8

Nav problēmu: izvelkam sakni (kubisko) un - darīts!

Lūdzu, ņemiet vērā, ka ekstrakcijas laikā šeit nav jāliek plus/mīnuss. Mums ir nepāra (trešās) pakāpes sakne. Un atbilde ir tāda pati, jā.

Tātad ir atrasts progresijas saucējs. Mīnus divi. Lieliski! Process notiek.)

Pirmajam terminam (teiksim, no augšējā vienādojuma) mēs iegūstam:

Lieliski! Mēs zinām pirmo terminu, mēs zinām saucēju. Un tagad mums ir iespēja atrast jebkuru progresijas dalībnieku. Otro ieskaitot.)

Otrajam dalībniekam viss ir pavisam vienkārši:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Atbilde: -6

Tātad, mēs esam noskaidrojuši problēmas risināšanas algebrisko veidu. Grūti? Nav daudz, piekrītu. Ilgi un garlaicīgi? Jā noteikti. Bet dažreiz jūs varat ievērojami samazināt darba apjomu. Šim nolūkam ir grafiskais veids. Vecs labs un mums pazīstams.)

Uzzīmēsim problēmu!

Jā! Tieši tā. Atkal mēs attēlojam savu progresēšanu uz skaitļu ass. Ne vienmēr ar lineālu, nav nepieciešams uzturēt vienādus intervālus starp dalībniekiem (kas, starp citu, nebūs vienādi, jo progresija ir ģeometriska!), Bet vienkārši shematiski uzzīmējiet mūsu secību.

Man sanāca šādi:

Tagad paskatieties uz attēlu un padomājiet. Cik vienādu faktoru "q" sadala ceturtais un septītais biedri? Tieši tā, trīs!

Tāpēc mums ir visas tiesības rakstīt:

-24q 3 = 192

No šejienes tagad ir viegli atrast q:

q 3 = -8

q = -2

Tas ir lieliski, saucējs mums jau ir kabatā. Un tagad mēs vēlreiz skatāmies uz attēlu: cik daudz šādu saucēju atrodas starp otrais un ceturtais biedri? Divi! Tāpēc, lai fiksētu attiecības starp šiem dalībniekiem, mēs paaugstināsim saucēju kvadrātā.

Šeit mēs rakstām:

b 2 · q 2 = -24 , kur b 2 = -24/ q 2

Mēs aizstājam mūsu atrasto saucēju izteiksmē b 2 , saskaitām un iegūstam:

Atbilde: -6

Kā redzat, viss ir daudz vienkāršāk un ātrāk nekā caur sistēmu. Turklāt šeit mums pat nebija jāskaita pirmais termiņš! Pavisam.)

Šeit ir tik vienkāršs un vizuāls veids-gaisma. Bet tam ir arī nopietns trūkums. Uzminēji? Jā! Tas ir piemērots tikai ļoti īsiem progresēšanas gabaliem. Tādas, kur attālumi starp mūs interesējošajiem biedriem nav īpaši lieli. Bet visos citos gadījumos jau ir grūti uzzīmēt attēlu, jā... Tad mēs risinām problēmu analītiski, izmantojot sistēmu.) Un sistēmas ir universāla lieta. Tikt galā ar jebkuru numuru.

Vēl viens episks:

Otrais ģeometriskās progresijas termiņš ir par 10 vairāk nekā pirmais, bet trešais ir par 30 vairāk nekā otrais. Atrodiet progresijas saucēju.

Kas forši? Nepavisam! Viss tas pats. Mēs vēlreiz tulkojam uzdevuma nosacījumu tīrā algebrā.

1) Mēs krāsojam katru terminu pēc formulas nbiedrs!

Otrais termins: b 2 = b 1 q

Trešais termins: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Mēs pierakstām attiecības starp dalībniekiem no problēmas stāvokļa.

Izlasot nosacījumu: "Ģeometriskās progresijas otrais termins ir par 10 vairāk nekā pirmais." Beidz, tas ir vērtīgi!

Tātad mēs rakstām:

b 2 = b 1 +10

Un mēs tulkojam šo frāzi tīrā matemātikā:

b 3 = b 2 +30

Mēs saņēmām divus vienādojumus. Mēs tos apvienojam sistēmā:

Sistēma izskatās vienkārša. Bet burtiem ir ļoti daudz dažādu indeksu. Aizstāsim to izteiksmes otro un trešo locekļu vietā caur pirmo locekli un saucēju! Velti, vai kā, mēs tos krāsojām?

Mēs iegūstam:

Bet šāda sistēma vairs nav dāvana, jā... Kā to atrisināt? Diemžēl universālā slepenā burvestība ir sarežģīta nelineārs Sistēmu matemātikā nav un nevar būt. Tas ir fantastiski! Bet pirmais, kam vajadzētu ienākt prātā, mēģinot salauzt tik cietu riekstu, ir izdomāt un vai neviens no sistēmas vienādojumiem nereducē uz skaists skats, kas ļauj, piemēram, viegli izteikt vienu no mainīgajiem ar otru?

Uzminēsim. Pirmais sistēmas vienādojums ir acīmredzami vienkāršāks nekā otrais. Mēs viņu spīdzināsim.) Kāpēc gan nepamēģināt no pirmā vienādojuma kaut ko izteikt cauri kaut ko? Tā kā mēs vēlamies atrast saucēju q, tad mums visizdevīgāk būtu izteikties b 1 cauri q.

Tātad, mēģināsim veikt šo procedūru ar pirmo vienādojumu, izmantojot vecos labos vienādojumus:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Viss! Šeit mēs esam izteikuši nevajadzīgi mums mainīgais (b 1) caur nepieciešams(q). Jā, ne tas vienkāršākais izteiciens saņemts. Kaut kāda daļa... Bet mūsu sistēma ir pienācīgā līmenī, jā.)

Tipiski. Ko darīt - mēs zinām.

Mēs rakstām ODZ (obligāti!) :

q ≠ 1

Mēs visu reizinām ar saucēju (q-1) un samazinām visas daļas:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Mēs visu sadalām ar desmit, atveram iekavas, savācam visu pa kreisi:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Mēs atrisinām iegūto un iegūstam divas saknes:

q 1 = 1

q 2 = 3

Ir tikai viena galīgā atbilde: q = 3 .

Atbilde: 3

Kā redzat, veids, kā atrisināt lielāko daļu problēmu ģeometriskās progresijas n-tā dalībnieka formulai, vienmēr ir vienāds: mēs lasām uzmanīgi problēmas nosacījumu un izmantojot n-tā termina formulu, mēs tulkojam visu noderīga informācija tīrā algebrā.

Proti:

1) Katru uzdevumā norādīto locekli rakstām atsevišķi pēc formulasnbiedrs.

2) No problēmas nosacījuma mēs pārveidojam savienojumu starp dalībniekiem matemātiskā formā. Mēs veidojam vienādojumu vai vienādojumu sistēmu.

3) Atrisinām iegūto vienādojumu vai vienādojumu sistēmu, atrodam nezināmos progresijas parametrus.

4) Neskaidras atbildes gadījumā mēs rūpīgi izlasām problēmas nosacījumu, meklējot papildu informāciju (ja tāda ir). Saņemto atbildi pārbaudām arī ar ODZ nosacījumiem (ja tādi ir).

Un tagad mēs uzskaitām galvenās problēmas, kas visbiežāk izraisa kļūdas ģeometriskās progresijas problēmu risināšanas procesā.

1. Elementārā aritmētika. Darbības ar daļskaitļiem un negatīviem skaitļiem.

2. Ja vismaz viens no šiem trim punktiem ir problēma, tad šajā tēmā jūs neizbēgami kļūdīsities. Diemžēl... Tāpēc neesiet slinki un atkārtojiet iepriekš minēto. Un sekojiet saitēm - aiziet. Dažreiz tas palīdz.)

Modificētas un atkārtotas formulas.

Un tagad apskatīsim pāris tipiskas eksāmena problēmas ar mazāk pazīstamu nosacījumu izklāstu. Jā, jā, jūs to uzminējāt! to modificēts un atkārtojas n-tā dalībnieka formulas. Mēs jau esam sastapušies ar šādām formulām un strādājuši aritmētiskajā progresijā. Šeit viss ir līdzīgi. Būtība ir tāda pati.

Piemēram, šāda problēma no OGE:

Ģeometrisko progresiju nosaka formula b n = 32 n . Atrodiet pirmā un ceturtā vārda summu.

Šoreiz progresija mums tiek dota ne gluži kā parasti. Kaut kāda formula. Nu ko? Šī formula ir arī formulanbiedrs! Mēs visi zinām, ka n-tā termina formulu var uzrakstīt gan vispārīgā formā, gan caur burtiem, gan par specifiska progresija. NO specifisks pirmais termins un saucējs.

Mūsu gadījumā mums faktiski tiek dota vispārīga termina formula ģeometriskai progresijai ar šādiem parametriem:

b 1 = 6

q = 2

Pārbaudīsim?) Uzrakstīsim n-tā vārda formulu vispārīgā formā un aizvietosim tajā b 1 un q. Mēs iegūstam:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Mēs vienkāršojam, izmantojot faktorizēšanas un jaudas īpašības, un iegūstam:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 32n -1+1 = 32n

Kā redzat, viss ir godīgi. Bet mūsu mērķis ar jums nav demonstrēt konkrētas formulas atvasināšanu. Tas tā ir, liriska atkāpe. Tīri izpratnei.) Mūsu mērķis ir atrisināt problēmu pēc formulas, kas mums ir dota stāvoklī. Vai jūs to uztverat?) Tātad mēs strādājam tieši ar modificēto formulu.

Mēs ieskaitām pirmo termiņu. Aizstājējs n=1 vispārējā formulā:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Kā šis. Starp citu, es neesmu pārāk slinks un vēlreiz vērsīšu jūsu uzmanību uz tipisku stulbumu ar pirmā termiņa aprēķinu. NESKATIES uz formulu b n= 32n, uzreiz metas rakstīt, ka pirmais dalībnieks ir troika! Tā ir liela kļūda, jā...)

Mēs turpinām. Aizstājējs n=4 un apsveriet ceturto terminu:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Visbeidzot, mēs aprēķinām nepieciešamo summu:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Atbilde: 54

Vēl viena problēma.

Ģeometrisko progresiju nosaka nosacījumi:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Atrodiet progresijas ceturto termiņu.

Šeit progresiju uzrāda atkārtošanās formula. Nu labi.) Kā strādāt ar šo formulu - mēs arī zinām.

Šeit mēs rīkojamies. Soli pa solim.

1) skaitot divus secīgi progresijas dalībnieks.

Pirmais termiņš mums jau ir dots. Mīnus septiņi. Bet nākamo, otro termiņu var viegli aprēķināt, izmantojot rekursīvo formulu. Ja jūs saprotat, kā tas darbojas, protams.)

Šeit mēs aplūkojam otro termiņu saskaņā ar slaveno pirmo:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Mēs uzskatām progresijas saucēju

Arī nekādu problēmu. Taisni, dalieties otrais penis tālāk pirmais.

Mēs iegūstam:

q = -21/(-7) = 3

3) Uzrakstiet formulunth biedru parastajā formā un apsveriet vēlamo dalībnieku.

Tātad, mēs zinām pirmo terminu, arī saucēju. Šeit mēs rakstām:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Atbilde: -189

Kā redzat, darbs ar šādām formulām ģeometriskajai progresijai būtībā neatšķiras no aritmētiskās progresijas formulas. Ir svarīgi tikai saprast šo formulu vispārējo būtību un nozīmi. Nu ģeometriskās progresijas nozīme arī jāsaprot, jā.) Un tad nebūs stulbu kļūdu.

Nu, izlemsim paši?)

Diezgan elementāri uzdevumi iesildīšanai:

1. Dota ģeometriskā progresija, kurā b 1 = 243 un q = -2/3. Atrodiet progresijas sesto termiņu.

2. Ģeometriskās progresijas kopējo terminu uzrāda formula b n = 5∙2 n +1 . Atrodiet šīs progresijas pēdējā trīsciparu dalībnieka numuru.

3. Ģeometrisko progresiju nosaka nosacījumi:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Atrodiet progresijas piekto termiņu.

Nedaudz sarežģītāk:

4. Dota ģeometriskā progresija:

b 1 =2048; q =-0,5

Kāds ir tā sestais negatīvais termins?

Kas šķiet ļoti grūti? Nepavisam. Loģika un izpratne par ģeometriskās progresijas nozīmi glābs. Nu, protams, n-tā termina formula.

5. Ģeometriskās progresijas trešais loceklis ir -14 un astotais ir 112. Atrodiet progresijas saucēju.

6. Ģeometriskās progresijas pirmā un otrā vārda summa ir 75, bet otrā un trešā vārda summa ir 150. Atrodiet progresijas sesto biedru.

Atbildes (nekārtīgi): 6; -3888; - viens; 800; -32; 448.

Tas ir gandrīz viss. Atliek tikai iemācīties skaitīt ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summa jā atklāj bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija un tā apjoms. Ļoti interesanta un neparasta lieta, starp citu! Vairāk par to turpmākajās nodarbībās.)