Definīcija. Tiek saukts lielākais dabiskais skaitlis, ar kuru skaitļi a un b dalās bez atlikuma lielākais kopīgais faktors (gcd) šie skaitļi.

Atrodiet lielāko skaitļu 24 un 35 kopīgo dalītāju.
24 dalītāji būs skaitļi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, un 35 dalītāji būs skaitļi 1, 5, 7, 35.
Mēs redzam, ka skaitļiem 24 un 35 ir tikai viens kopējs dalītājs - skaitlis 1. Šādi skaitļi tiek saukti savstarpēji vienkārši.

Definīcija. Tiek saukti dabiskie skaitļi savstarpēji vienkāršija viņu lielākais kopīgais dalītājs (GCD) ir 1.

Lielākais kopīgais dalītājs (GCD) var atrast, neizrakstot visus doto skaitļu dalītājus.

Faktorizējot skaitļus 48 un 36, mēs iegūstam:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
No faktoriem, kas iekļauti pirmā no šiem skaitļiem sadalīšanā, izdzēsiet tos, kas nav iekļauti otrā skaitļa sadalījumā (tas ir, divi divnieki).
Faktori paliek 2 * 2 * 3. Viņu reizinājums ir 12. Šis skaitlis ir skaitļu 48 un 36 lielākais kopējais dalītājs. Tiek atrasts arī lielākais trīs vai vairāk skaitļu kopējais dalītājs.

Atrast lielākais kopīgais faktors

2) no faktoriem, kas iekļauti viena no šiem skaitļiem sadalījumā, svītrot tos, kas nav iekļauti citu skaitļu sadalījumā;
3) atrodiet pārējo faktoru reizinājumu.

Ja visi šie skaitļi dalās ar vienu no tiem, tad šis skaitlis ir lielākais kopīgais faktors dotie skaitļi.
Piemēram, lielākais 15, 45, 75 un 180 dalītājs ir 15, jo visi pārējie skaitļi ar to dalās: 45, 75 un 180.

Vismazāk izplatītais daudzkārtējs (LCM)

Definīcija. Vismazāk izplatīts (LCM) dabiskos skaitļus a un b sauc par mazāko dabisko skaitli, kas ir gan a, gan b reizinājums. Vismazāk izplatīto skaitļu (LCM) skaitļus 75 un 60 var atrast, neizrakstot šo skaitļu reizinājumus pēc kārtas. Lai to izdarītu, mēs sadalām 75 un 60 galvenajos faktoros: 75 \u003d 3 * 5 * 5 un 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Izrakstīsim faktorus, kas iekļauti pirmā no šiem skaitļiem sadalījumā, un pievienojiet tiem trūkstošos faktorus 2 un 2 no otrā skaitļa sadalīšanās (t.i., apvienojiet faktorus).
Mēs iegūstam piecus faktorus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kuru reizinājums ir 300. Šis skaitlis ir vismazāk izplatītais 75 un 60 reizinājums.

Atrasts arī vismazāk sastopamais trīs vai vairāk skaitļu daudzkārtnis.

Uz atrast vismazāk izplatīto vairākkārtēju vairāki dabiskie skaitļi, jums ir nepieciešams:
1) sadalīt tos galvenajos faktoros;
2) pierakstiet faktorus, kas iekļauti viena no skaitļiem sadalīšanās procesā;
3) pievienojiet tiem trūkstošos faktorus no atlikušo skaitļu paplašināšanās;
4) atrod iegūto faktoru reizinājumu.

Ņemiet vērā, ka, ja viens no šiem skaitļiem dalās ar visiem pārējiem skaitļiem, tad šis skaitlis ir vismazāk izplatītais šo skaitļu reizinājums.
Piemēram, vismazāk kopējais 12, 15, 20 un 60 reizinājums ir 60, jo tas dalās ar visiem šiem skaitļiem.

Pitagors (VI gadsimts pirms mūsu ēras) un viņa studenti pētīja skaitļu dalāmības jautājumu. Skaitli, kas vienāds ar visu tā dalītāju summu (bez paša skaitļa), viņi sauca par perfektu skaitli. Piemēram, skaitļi 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3), 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ir perfekti. Nākamie perfekti skaitļi ir 496, 8128, 33 550 336. Pitagorieši zināja tikai pirmos trīs perfektos skaitļus. Ceturtais - 8128 - kļuva zināms 1. gadsimtā. n. e. Piektais - 33 550 336 - tika atrasts 15. gadsimtā. Līdz 1983. gadam jau bija zināmi 27 perfekti skaitļi. Bet līdz šim zinātnieki nezina, vai ir nepāra perfekti skaitļi, vai ir lielākais ideālais skaitlis.
Seno matemātiķu interese par galvenajiem skaitļiem ir saistīta ar faktu, ka jebkurš skaitlis ir vai nu galvenais, vai arī to var attēlot kā produktu pirmskaitļi, tas ir, galvenie skaitļi ir kā ķieģeļi, no kuriem tiek veidoti pārējie dabiskie skaitļi.
Jūs droši vien pamanījāt, ka sākotnējie skaitļi dabisko skaitļu virknē notiek nevienmērīgi - dažās sērijas daļās to ir vairāk, citās - mazāk. Bet, jo tālāk mēs virzāmies pa skaitļu sērijām, jo \u200b\u200bmazāk izplatīti ir galvenie skaitļi. Rodas jautājums: vai ir pēdējais (lielākais) galvenais skaitlis? Sengrieķu matemātiķis Eiklīds (III gs. P.m.ē.) savā grāmatā "Sākums", kas divus tūkstošus gadu bija galvenā matemātikas mācību grāmata, pierādīja, ka pirmatnējo ir bezgalīgi daudz, tas ir, aiz katra galvenā skaitļa ir vēl lielāks pamatskaitlis .
Lai atrastu primāros skaitļus, ar šādu metodi nāca klajā cits tā paša laika grieķu matemātiķis Eratosthenes. Viņš pierakstīja visus skaitļus no 1 līdz kādam skaitlim un pēc tam izsvītroja vienību, kas nav ne pamats, ne salikts skaitlis, pēc tam visus skaitļus pēc 2 (skaitļus, kas ir 2, t.i., 4, 6, reizina ar skaitli) izsvītro. 8 utt.). Pirmais atlikušais skaitlis pēc 2 bija 3. Tad visi skaitļi aiz 3 (skaitļi, kas ir 3 reizinājumi, tas ir, 6, 9, 12 utt.), Pēc diviem tika svītroti. beigās tikai galvenie skaitļi palika nesakrustoti.

Matemātiskās izteiksmes un problēmas prasa daudz papildu zināšanu. NOC ir viena no galvenajām, īpaši bieži izmantotā Tēma tiek pētīta vidusskolā, lai gan materiālu nav īpaši grūti saprast, personai, kura pārzina grādus un reizināšanas tabulu, nebūs grūti izvēlēties nepieciešamo numurus un atrodiet rezultātu.

Definīcija

Kopējais vairākkārtējs ir skaitlis, kuru vienlaikus var pilnībā sadalīt divos skaitļos (a un b). Visbiežāk šo skaitli iegūst, reizinot sākotnējos skaitļus a un b. Skaitlim jābūt dalāmam ar abiem skaitļiem uzreiz, bez novirzēm.

NOC ir pieņemtais apzīmējums īss vārdssavākti no pirmajiem burtiem.

Veidi, kā iegūt numuru

Lai atrastu LCM, skaitļu reizināšanas metode ne vienmēr ir piemērota, tā ir daudz labāk piemērota vienkāršiem vienciparu vai divciparu skaitļiem. ir ierasts dalīt pēc faktoriem, jo \u200b\u200blielāks skaitlis, jo vairāk faktoru būs.

1. piemērs

Vienkāršākajā piemērā skolas parasti izmanto vienkāršus, vienciparu vai divciparu skaitļus. Piemēram, jums jāatrisina šāda problēma, jāatrod vismazāk izplatītais skaitļu 7 un 3 vairākkārtējs, risinājums ir diezgan vienkāršs, vienkārši tos reiziniet. Rezultātā ir skaitlis 21, vienkārši nav mazāka skaitļa.

2. piemērs

Otrais uzdevuma variants ir daudz grūtāks. Ņemot vērā skaitļus 300 un 1260, LCM atrašana ir obligāta. Lai atrisinātu uzdevumu, tiek pieņemtas šādas darbības:

Pirmā un otrā skaitļa sadalīšana vienkāršākajos faktoros. 300 \u003d 2 2 * 3 * 5 2; 1260 \u003d 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pirmais posms ir pabeigts.

Otrais posms ietver darbu ar jau saņemtiem datiem. Katram no iegūtajiem skaitļiem jāpiedalās galarezultāta aprēķināšanā. Katram faktoram no sākotnējo skaitļu sastāva visvairāk liels skaitlis gadījumi. NOC ir kopējais skaitstāpēc faktori no skaitļiem ir jāatkārto tajā vienā, pat tie, kas atrodas vienā eksemplārā. Abiem oriģinālajiem skaitļiem ir skaitļi 2, 3 un 5, dažādās pakāpēs 7 ir tikai vienā gadījumā.

Lai aprēķinātu gala rezultātu, jums jāņem katrs skaitlis lielākajā no vienādojumā norādītajām jaudām. Atliek tikai pavairot un saņemt atbildi, pareizi aizpildot, uzdevums ietilpst divos posmos bez paskaidrojuma:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM \u003d 6300.

Tā ir visa problēma, ja mēģināt aprēķināt nepieciešamo skaitli, reizinot, tad atbilde noteikti nebūs pareiza, jo 300 * 1260 \u003d 378 000.

Pārbaude:

6300/300 \u003d 21 - taisnība;

6300/1260 \u003d 5 - pareizi.

Iegūtā rezultāta pareizību nosaka, pārbaudot - dalot LCM ar abiem sākotnējiem skaitļiem, ja skaitlis abos gadījumos ir vesels skaitlis, tad atbilde ir pareiza.

Ko LCM nozīmē matemātikā

Kā jūs zināt, matemātikā nav nevienas bezjēdzīgas funkcijas, tas nav izņēmums. Visizplatītākais šī skaitļa lietojums ir frakciju konvertēšana uz kopsaucējs... Ko parasti māca vidusskolas 5.-6. Tas ir arī kopējs dalītājs visiem daudzkārtņiem, ja šādi apstākļi ir problēma. Līdzīga izteiksme var atrast vairāku skaitļu ne tikai no diviem skaitļiem, bet arī daudz lielāku skaitu - trīs, piecus utt. Jo vairāk skaitļu - jo vairāk darbību uzdevumā, taču sarežģītība no tā nepalielinās.

Piemēram, ņemot vērā skaitļus 250, 600 un 1500, jums jāatrod to kopējais LCM:

1) 250 \u003d 25 * 10 \u003d 5 2 * 5 * 2 \u003d 5 3 * 2 - šajā piemērā faktorizācija ir aprakstīta detalizēti, neatceļot.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Lai sastādītu izteicienu, ir jāpiemin visi faktori, šajā gadījumā tiek doti 2, 5, 3, - visiem šiem skaitļiem ir jānosaka maksimālā pakāpe.

Uzmanību: visi reizinātāji ir jāpieliek pilnīgai vienkāršošanai, ja iespējams, paplašinot līdz nepārprotamiem līmeņiem.

Pārbaude:

1) 3000/250 \u003d 12 - taisnība;

2) 3000/600 \u003d 5 - taisnība;

3) 3000/1500 \u003d 2 - taisnība.

Šai metodei nav nepieciešami nekādi triki vai ģēnija līmeņa spējas, viss ir vienkārši un vienkārši.

Vēl viens veids

Matemātikā daudz kas ir saistīts, daudz ko var atrisināt divos vai vairākos veidos, tas pats attiecas arī uz vismazāk izplatītā daudzkārtņa - LCM - atrašanu. Šādu metodi var izmantot vienkāršu divciparu un vienciparu skaitļu gadījumā. Tiek sastādīta tabula, kurā reizinātājs tiek ievadīts vertikāli, reizinātājs - horizontāli, un produkts tiek norādīts kolonnas krustojošajās šūnās. Jūs varat atspoguļot tabulu, izmantojot līniju, tiek ņemts skaitlis un rezultāti, reizinot šo skaitli ar veseliem skaitļiem no 1 līdz bezgalībai, tiek uzrakstīti pēc kārtas, dažreiz pietiek ar 3-5 punktiem, otrais un nākamie skaitļi ir pakļauts tam pašam skaitļošanas procesam. Viss notiek, līdz tiek atrasts kopīgais vairākkārtējs.

Ņemot vērā skaitļus 30, 35, 42, jums jāatrod LCM, kas savieno visus numurus:

1) 30 reizinājumi: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 utt.

2) 35 reizinājumi: 70, 105, 140, 175, 210, 245 utt.

3) 42 reizinājumi: 84, 126, 168, 210, 252 utt.

Ir pamanāms, ka visi skaitļi ir diezgan atšķirīgi, vienīgais kopējais skaitlis starp tiem ir 210, tāpēc tas būs LCM. Starp procesiem, kas saistīti ar šo aprēķinu, ir arī vislielākais dalītājs, kas tiek aprēķināts pēc līdzīgiem principiem un bieži sastopams blakus esošajās problēmās. Atšķirība ir maza, bet pietiekami nozīmīga, LCM pieņem skaitļa aprēķinu, kas tiek dalīts ar visām dotajām sākotnējām vērtībām, un GCD pieņem aprēķinu vislielākā vērtība ar kuru tiek sadalīti sākotnējie skaitļi.

Otrais numurs: b \u003d

Ciparu atdalītājs Nav atdalītāja vietas "´

Rezultāts:

Vislielākais GCD dalītājs ( a,b)=6

Vismaz kopējais vairāku LCM ( a,b)=468

Tiek saukts lielākais dabiskais skaitlis, ar kuru skaitļi a un b dalās bez atlikuma lielākais kopīgais faktors (Gcd) no šiem skaitļiem. Norāda ar gcd (a, b), (a, b), gcd (a, b) vai hcf (a, b).

Vismazāk izplatīts vairākkārtējs Divu veselu skaitļu a un b (LCM) skaitlis ir mazākais dabiskais skaitlis, kas bez atlikuma dalās ar a un b. LCM ir apzīmēts (a, b) vai lcm (a, b).

Tiek saukti veseli skaitļi a un b savstarpēji vienkāršija tiem nav kopīgu dalītāju, izņemot +1 un −1.

Lielākais kopīgais dalītājs

Doti divi pozitīvi skaitļi a 1 un a 2 1). Nepieciešams atrast šo skaitļu kopīgo dalītāju, t.i. atrodiet šādu numuru λ kas dala skaitļus a 1 un a 2 tajā pašā laikā. Aprakstīsim algoritmu.

1) Šajā rakstā vārda numurs tiks saprasts kā vesels skaitlis.

Ļaujiet būt a 1 ≥ a 2 un ļaujiet

kur m 1 , a 3 daži veseli skaitļi, a 3 <a 2 (atlikušais dalījums a 1 ieslēgts a 2 jābūt mazākam a 2).

Izliksimies tā λ dala a 1 un a 2 λ dala m 1 a 2 un λ dala a 1 −m 1 a 2 =a 3 (raksta "Skaitļu dalāmība. Dalāmības pazīme" 2. paziņojums). No tā izriet, ka katrs kopīgais dalītājs a 1 un a 2 ir kopīgs dalītājs a 2 un a 3. Arī otrādi ir taisnība, ja λ kopīgais dalītājs a 2 un a 3 m 1 a 2 un a 1 =m 1 a 2 +a 3 ir sadalīti arī λ ... Tādējādi kopīgais dalītājs a 2 un a 3 ir arī kopīgs dalītājs a 1 un a 2. Tā kā a 3 <a 2 ≤a 1, tad mēs varam teikt, ka problēmas kopīgā dalītāja atrašanas problēmas risinājums a 1 un a 2 samazināts līdz vienkāršākai problēmai atrast kopēju skaitļu dalītāju a 2 un a 3 .

Ja a 3 ≠ 0, tad mēs varam sadalīt a 2 ieslēgts a 3. Tad

,

kur m 1 un a 4 daži veseli skaitļi, ( a 4 atlikušie a 2 ieslēgts a 3 (a 4 <a 3)). Ar līdzīgu pamatojumu mēs nonākam pie secinājuma, ka kopējie skaitļu dalītāji a 3 un a 4 ir tādi paši kā kopējie dalītāji a 2 un a 3, kā arī ar kopīgiem faktoriem a 1 un a 2. Tā kā a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... skaitļi nepārtraukti samazinās, un, tā kā starp tiem ir ierobežots veselu skaitļu skaits a 2 un 0, tad kādā solī n, atlikušais dalījums a n ieslēgts a n + 1 būs vienāds ar nulli ( a n + 2 \u003d 0).

.

Katrs kopīgais dalītājs λ numuri a 1 un a 2 ir arī skaitļu dalītājs a 2 un a 3 , a 3 un a 4 , .... a n un a n + 1. Arī otrādi ir taisnība, kopīgi skaitļu dalītāji a n un a n + 1 ir arī skaitļu dalītāji a n - 1 un a n, ...., a 2 un a 3 , a 1 un a 2. Bet kopējais skaitļu dalītājs a n un a n + 1 ir skaitlis a n + 1, jo a n un a n + 1 dalās ar a n + 1 (atcerieties to a n + 2 \u003d 0). sekojoši a n + 1 ir arī skaitļu dalītājs a 1 un a 2 .

Ņemiet vērā, ka skaitlis a n + 1 ir lielākais skaitļu dalītājs a n un a n + 1, kopš lielākais dalītājs a n + 1 ir pati par sevi a n + 1. Ja a n + 1 var attēlot kā veselu skaitļu reizinājumu, tad šie skaitļi ir arī kopīgi skaitļu dalītāji a 1 un a 2. Skaits a tiek izsaukti n + 1 lielākais kopīgais faktors numuri a 1 un a 2 .

Skaitļi a 1 un a 2 var būt gan pozitīvi, gan negatīvi skaitļi. Ja viens no skaitļiem ir nulle, tad lielākais šo skaitļu kopējais dalītājs būs vienāds ar otra skaitļa absolūto vērtību. Vislielākais nulles skaitļu dalītājs nav noteikts.

Iepriekš minēto algoritmu sauc eiklida algoritmslai atrastu lielāko divu veselu skaitļu kopīgo dalītāju.

Divu skaitļu vislielākā dalītāja atrašanas piemērs

Atrodiet lielāko kopējo koeficientu no diviem skaitļiem 630 un 434.

• 1. solis. Sadaliet skaitli 630 ar 434. Atlikums ir 196.
• 2. solis. Sadaliet skaitli 434 ar 196. Atlikums ir 42.
• 3. solis. Sadaliet skaitli 196 ar 42. Atlikums ir 28.
• 4. solis. Sadaliet skaitli 42 ar 28. Atlikums ir 14.
• 5. solis. Sadaliet skaitli 28 ar 14. Atlikums ir 0.

5. solī dalījuma atlikums ir 0. Tāpēc lielākais kopējais dalītājs 630 un 434 ir 14. Ņemiet vērā, ka 2. un 7. ir arī dalītāji 630 un 434.

Savstarpēji galvenie skaitļi

Definīcija 1. Ļaujiet lielāko kopējo skaitļu dalītāju a 1 un a 2 ir vienāds ar vienu. Tad šie skaitļi tiek izsaukti koprašu numurikuriem nav kopīga dalītāja.

Teorēma 1. Ja a 1 un a 2 koprašu numuri un λ kāds skaitlis, tad jebkurš kopējs skaitļu dalītājs λa 1 un a 2 ir arī kopīgs skaitļu dalītājs λ un a 2 .

Pierādījumi. Apsveriet Eiklida algoritmu, lai atrastu lielāko kopējo skaitļu dalītāju a 1 un a 2 (skat. Iepriekš).

.

No teorēmas nosacījumiem izriet, ka lielākais kopējais skaitļu dalītājs a 1 un a 2, un tāpēc a n un a n + 1 ir 1. Tas ir, a n + 1 \u003d 1.

Mēs reizinām visas šīs vienādības ar λ pēc tam

.

Ļaujiet kopīgajam dalītājam a 1 λ un a 2 ir δ ... Tad δ ir faktors a 1 λ , m 1 a 2 λ un iekšā a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (sk. "Skaitļu dalāmība", 2. paziņojums). Tālāk δ ir faktors a 2 λ un m 2 a 3 λ , un tāpēc ir faktors a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Šādi argumentējot, mēs esam pārliecināti δ ir faktors a n - 1 λ un m n - 1 a n λ , un tāpēc a n - 1 λ −m n - 1 a n λ =a n + 1 λ ... Tā kā a n + 1 \u003d 1, tad δ ir faktors λ ... Līdz ar to skaitlis δ ir kopīgs skaitļu dalītājs λ un a 2 .

Apsveriet konkrētus 1. teorēmas gadījumus.

Sekas 1. Ļaujiet būt a un c galvenie skaitļi ir relatīvi b... Tad viņu produkts ac ir galvenais skaitlis attiecībā pret b.

Tiešām. No 1. teorēmas ac un b ir tādi paši kopējie faktori kā c un b... Bet cipari c un b savstarpēji vienkārši, t.i. ir unikāls kopīgais dalītājs 1. Tad ac un b ir arī unikāls kopīgais dalītājs 1. Līdz ar to ac un b savstarpēji vienkārši.

Sekas 2. Ļaujiet būt a un b koprašu numurus un ļaujiet b dala ak... Tad b dala un k.

Tiešām. No paziņojuma nosacījuma ak un b ir kopīgs dalītājs b... Pēc 1. teorēmas, b jābūt kopīgam dalītājam b un k... sekojoši b dala k.

1. secinājumu var vispārināt.

Sekas 3. 1. Ļaujiet skaitļiem a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m galvenā vērtība attiecībā pret skaitli b... Tad a 1 a 2 , a 1 a 2 a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 a m, šo skaitļu reizinājums ir galvenais attiecībā pret skaitli b.

2. Ļaujiet mums izveidot divas skaitļu rindas

tāds, ka katrs pirmās rindas skaitlis ir galvenais attiecībā pret katru otro rindu. Tad produkts

Nepieciešams atrast tādus skaitļus, kas dalās ar katru no šiem skaitļiem.

Ja skaitlis dalās ar a 1, tad tam ir forma sa 1, kur s jebkurš skaitlis. Ja q ir lielākais kopīgais skaitļu dalītājs a 1 un a 2

kur s 1 ir kāds vesels skaitlis. Tad

ir vismazāk izplatītie reizinātāji a 1 un a 2 .

a 1 un a 2 koprime, tad vismazāk izplatītais skaitļu daudzkārtnis a 1 un a 2:

Atrodiet vismazāk izplatīto šo skaitļu daudzkārtni.

No iepriekš minētā izriet, ka jebkurš skaitļu daudzkārtne a 1 , a 2 , a 3 jābūt skaitļu daudzkārtnei ε un a 3 un otrādi. Ļaujiet vismazāk izplatīto skaitļu daudzkārtni ε un a 3 ir ε viens. Tālāk skaitļu daudzkārtne a 1 , a 2 , a 3 , a 4 jābūt skaitļu daudzkārtnei ε 1 un a četri. Ļaujiet vismazāk izplatīto skaitļu daudzkārtni ε 1 un a 4 ir ε 2. Tādējādi mēs noskaidrojām, ka visi skaitļu reizinājumi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sakrīt ar kāda noteikta skaitļa reizinājumiem ε n, ko sauc par doto skaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni.

Īpašajā gadījumā, kad skaitļi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ir kopraži, tad vismazāk izplatītais skaitļu reizinājums a 1 , a 2, kā parādīts iepriekš, ir forma (3). Tālāk, kopš a 3 prime attiecībā pret skaitļiem a 1 , a 2 a 3 pirms skaitļa a viens · a 2 (1. secinājums). Vismazāk izplatīts skaitļu vairākkārtējs a 1 ,a 2 ,a 3 ir skaitlis a viens · a 2 a 3. Argumentējot līdzīgi, mēs nonākam pie šādiem apgalvojumiem.

Paziņojums, apgalvojums 1. Vismaz izplatītākais koprašu skaitļu vairākkārtējs a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ir vienāds ar viņu reizinājumu a viens · a 2 a 3 a m.

Paziņojums, apgalvojums 2. Jebkurš skaitlis, kas dalās ar katru koprašu numuru a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m arī dalās ar viņu reizinājumu a viens · a 2 a 3 a m.

Kā atrast LCM (vismazāk izplatīto daudzkārtni)

Divu veselu skaitļu mazākais kopējais skaitlis ir mazākais no visiem skaitļiem, kas vienmērīgi dalās ar abiem dotajiem skaitļiem.

1. metode... LCM savukārt var atrast katram dotajam skaitlim, augošā secībā izrakstot visus skaitļus, kas iegūti, reizinot tos ar 1, 2, 3, 4 utt.

Piemērs 6. un 9. skaitlim.
Mēs reizinām skaitli 6 secīgi ar 1, 2, 3, 4, 5.
Mēs saņemam: 6, 12, 18 , 24, 30
Mēs reizinām skaitli 9 secīgi ar 1, 2, 3, 4, 5.
Mēs saņemam: 9, 18 , 27, 36, 45
Kā redzat, LCM skaitļiem 6 un 9 būs 18.

Šī metode ir ērta, ja abi skaitļi ir mazi un tos ir viegli reizināt ar veselu skaitļu secību. Tomēr ir gadījumi, kad jums jāatrod LCM divciparu vai trīsciparu skaitļiem, kā arī tad, kad sākotnējie skaitļi ir trīs vai pat vairāk.

2. metode... LCM varat atrast, paplašinot sākotnējos skaitļus galvenajos faktoros.
Pēc paplašināšanas ir jāizsvītro tie paši skaitļi no iegūtajām galveno faktoru sērijām. Atlikušie pirmā numura skaitļi būs reizinātājs otrajam, bet pārējie otrā skaitļi būs faktors pirmajam.

Piemērsskaitlim 75 un 60.
Vismazāk izplatīto 75 un 60 reizinājumu var atrast, neizrakstot šo skaitļu reizinājumus pēc kārtas. Lai to izdarītu, mēs sadalām 75 un 60 galvenajos faktoros:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kā redzat, 3. un 5. koeficients ir atrodams abās rindās. Garīgi mēs tos “izsvītrojam”.
Izrakstīsim atlikušos faktorus, kas iekļauti katra no šiem skaitļiem sadalījumā. Paplašinot skaitli 75, mums paliek skaitlis 5, un, paplašinot skaitli 60, mums ir 2 * 2
Tātad, lai noteiktu LCM skaitļiem 75 un 60, mums jāreizina atlikušie skaitļi no 75 sadalīšanās (tas ir 5) ar 60 un skaitļi, kas paliek pēc skaitļa 60 sadalīšanās (tas ir 2 * 2 ) reizināt ar 75. Tas ir, lai vieglāk saprastu, mēs sakām, ka mēs reizinām "šķērsām".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tā mēs atradām LCM skaitļiem 60 un 75. Tas ir skaitlis 300.

Piemērs... Nosakiet LCM skaitļiem 12, 16, 24
Šajā gadījumā mūsu rīcība būs nedaudz sarežģītāka. Bet vispirms, kā vienmēr, mēs visus skaitļus sadalām galvenajos faktoros
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Lai pareizi noteiktu LCM, mēs izvēlamies mazāko no visiem skaitļiem (tas ir skaitlis 12) un secīgi iziet cauri tā faktoriem, tos izsvītrojot, ja vismaz vienā no pārējām skaitļu sērijām ir viens un tas pats, kas vēl nav pārsvītrots.

1. solis. Mēs redzam, ka 2 * 2 notiek visās skaitļu rindās. Izsvītrojiet tos.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2. solis. Skaitļa 12 pamatfaktoros paliek tikai skaitlis 3. Bet tas ir skaitļa 24. pamatfaktoros. Izsvītrojiet skaitli 3 no abām rindām, savukārt skaitlim 16 darbība netiek pieņemta.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kā redzat, paplašinot skaitli 12, mēs "izsvītrojām" visus skaitļus. Tas nozīmē, ka NOK atrašana ir pabeigta. Atliek tikai aprēķināt tā vērtību.
Skaitlim 12 mēs ņemam atlikušos skaitļa 16 faktorus (tuvākais augošā secībā)
12 * 2 * 2 = 48
Tas ir NOC

Kā redzat, šajā gadījumā atrast LCM bija nedaudz grūtāk, bet, kad jums tas jāatrod trim vai vairāk skaitļiem, šī metode ļauj to izdarīt ātrāk. Tomēr abas LKM atrašanas metodes ir pareizas.

Bet daudzi dabiskie skaitļi vienmērīgi dalās ar citiem dabiskajiem skaitļiem.

piemēram:

Skaitlis 12 ir dalīts ar 1, ar 2, ar 3, ar 4, ar 6, ar 12;

Skaitlis 36 dalās ar 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Tiek saukti skaitļi, ar kuriem skaitlis vienmērīgi dalās (12 skaitļiem tie ir 1, 2, 3, 4, 6 un 12). dalītāji... Dabiskā skaitļa dalītājs a ir dabisks skaitlis, kas dala doto skaitli a bez atlikuma. Tiek saukts dabiskais skaitlis, kuram ir vairāk nekā divi dalītāji salikts .

Ņemiet vērā, ka skaitļiem 12 un 36 ir kopīgi faktori. Tie ir skaitļi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Šo skaitļu lielākais dalītājs ir 12. Divu skaitļu kopējais dalītājs a un b - tas ir skaitlis, ar kuru abi norādītie skaitļi dalās bez atlikuma aun b.

Bieži vairāki vairāki skaitļi ir skaitlis, kas dalās ar katru no šiem skaitļiem. piemēram, skaitļiem 9, 18 un 45 ir kopīgs 180 reizinājums. Bet 90 un 360 ir arī viņu kopējie reizinātāji. Starp visiem j kopējiem reizinājumiem vienmēr ir mazākais, šajā gadījumā tas ir 90. Šo numuru sauc mazākaiskopīgs vairākkārtējs (LCM).

LCM vienmēr ir dabisks skaitlis, kuram jābūt lielākam par lielāko no skaitļiem, kuriem tas noteikts.

Vismazāk kopējais (LCM). Rekvizīti.

Komutējamība:

Asociativitāte:

Jo īpaši, ja ir kopražas numuri, tad:

Vismazākais divu veselu skaitļu vairākkārtējs mun n ir visu pārējo kopējo dalītāju dalītājs mun n... Turklāt kopējo reizinājumu kopums m, n sakrīt ar LCM reizinājumu kopu ( m, n).

Asimptotiku var izteikt dažu skaitliski teorētisku funkciju izteiksmē.

Tātad, Čebiševa funkcija ... Un:

Tas izriet no Landau funkcijas definīcijas un īpašībām g (n).

Kas izriet no pirmskaitļu sadalījuma likuma.

Mazāk izplatītā daudzkārtņa (LCM) atrašana.

LCM ( a, b) var aprēķināt vairākos veidos:

1. Ja ir zināms lielākais dalītājs, varat izmantot tā attiecības ar LCM:

2. Lai ir zināms abu skaitļu kanoniskais sadalījums galvenajos faktoros:

kur p 1, ..., p k - dažādas primimes, un d 1, ..., d k un e 1, ..., e k - veseli skaitļi, kas nav negatīvi (tie var būt nulles, ja sadalījumā nav attiecīgā galvenā skaitļa).

Tad LCM ( a,b) aprēķina pēc formulas:

Citiem vārdiem sakot, LCM sadalīšanās satur visus galvenos faktorus, kas iekļauti vismaz vienā no skaitļa paplašinājumiem a, b, un tiek ņemts lielākais no diviem šī faktora eksponentiem.

Piemērs:

Vairāku skaitļu vismazāk izplatītā daudzkārtņa aprēķinu var samazināt līdz vairākiem secīgiem divu skaitļu LCM aprēķiniem:

Noteikums. Lai atrastu skaitļu sērijas LCM, jums ir nepieciešams:

- sadalīt skaitļus galvenajos faktoros;

- pārskaitīt vislielāko paplašinājumu vēlamā produkta faktoros (lielāko skaitļa faktoru reizinājums) un pēc tam pievienot citu skaitļu paplašināšanās faktorus, kas nenotiek pirmajā skaitlī vai atrodas tas mazāk reizes;

- iegūtais galveno faktoru reizinājums būs norādīto skaitļu LCM.

Visiem diviem vai vairāk dabiskajiem skaitļiem ir sava LCM. Ja skaitļi nav viens otra reizinājumi vai paplašināšanās gadījumā tiem nav vienādu faktoru, tad to LCM ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu.

Skaitļa 28 galvenie faktori (2, 2, 7) tika papildināti ar koeficientu 3 (skaitlis 21), iegūtais produkts (84) būs mazākais skaitlis, kas dalās ar 21 un 28.

Lielākā skaitļa 30 galvenie faktori tika papildināti ar koeficientu 5 no 25, iegūtais produkts 150 ir lielāks par lielāko skaitli 30 un tiek dalīts ar visiem dotajiem skaitļiem bez atlikuma. Šis ir mazākais iespējamais produkts (150, 250, 300 ...), kas ir visu norādīto skaitļu reizinājums.

Skaitļi 2,3,11,37 ir galvenie, tāpēc to LCM ir vienāds ar doto skaitļu reizinājumu.

Noteikums... Lai aprēķinātu sākotnējo skaitļu LCM, jums jāreizina visi šie skaitļi savā starpā.

Vēl viena iespēja:

Lai atrastu vismazāk izplatīto vairāku numuru (LCM) no vairākiem skaitļiem, jums ir nepieciešams:

1) atspoguļo katru skaitli kā galveno faktoru reizinājumu, piemēram:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) pierakstiet visu galveno faktoru spējas:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) pierakstiet visus šo skaitļu visus galvenos dalītājus (faktorus);

4) izvēlieties katra no tiem augstāko pakāpi, kas atrodama visos šo skaitļu paplašinājumos;

5) reiziniet šos grādus.

Piemērs ... Atrodiet skaitļu LCM: 168, 180 un 3024.

Lēmums ... 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 \u003d 2 2 2 2 3 3 3 7 \u003d 2 4 3 3 7 1.

Mēs izrakstām visu galveno faktoru lielākās pilnvaras un tās reizinām:

LCM \u003d 2 4 3 3 5 1 7 1 \u003d 15 120.