Matemātika ir kascilvēki kontrolē dabu un sevi.

Padomju matemātiķis, akadēmiķis A.N. Kolmogorovs

Ģeometriskā progresija.

Līdzās aritmētiskās progresijas uzdevumiem matemātikas iestājpārbaudījumos bieži sastopami arī uzdevumi, kas saistīti ar ģeometriskās progresijas jēdzienu. Lai veiksmīgi atrisinātu šādas problēmas, ir jāzina ģeometriskās progresijas īpašības un jābūt labām iemaņām to lietošanā.

Šis raksts ir veltīts ģeometriskās progresijas galveno īpašību izklāstam. Tajā sniegti arī tipisku problēmu risināšanas piemēri, aizgūts no iestājpārbaudījumu uzdevumiem matemātikā.

Sākotnēji atzīmēsim ģeometriskās progresijas galvenās īpašības un atcerēsimies svarīgākās formulas un apgalvojumus, saistīta ar šo jēdzienu.

Definīcija. Skaitlisku secību sauc par ģeometrisko progresiju, ja katrs tās cipars, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli. Skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.

Ģeometriskai progresijaiformulas ir derīgas

, (1)

kur . Formulu (1) sauc par ģeometriskās progresijas vispārīgā termina formulu, un formula (2) ir ģeometriskās progresijas galvenā īpašība: katrs progresijas loceklis sakrīt ar blakus esošo locekļu ģeometrisko vidējo un .

Piezīme, ka tieši šīs īpašības dēļ attiecīgo progresiju sauc par "ģeometrisko".

Iepriekš minētās (1) un (2) formulas ir apkopotas šādi:

, (3)

Lai aprēķinātu summu vispirms ģeometriskās progresijas locekļiformula tiek piemērota

Ja mēs iecelsim

kur . Tā kā , formula (6) ir formulas (5) vispārinājums.

Gadījumā, kad un ģeometriskā progresijabezgalīgi samazinās. Lai aprēķinātu summuno visiem bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas locekļiem tiek izmantota formula

. (7)

Piemēram , izmantojot formulu (7), var parādīt, kas

kur . Šīs vienādības tiek iegūtas no formulas (7) ar nosacījumu, ka , (pirmā vienādība) un , (otrā vienādība).

Teorēma. Ja tad

Pierādījums. Ja tad ,

Teorēma ir pierādīta.

Pāriesim pie problēmu risināšanas piemēru izskatīšanas par tēmu "Ģeometriskā progresija".

1. piemērsŅemot vērā: , un . Atrast.

Risinājums. Ja tiek piemērota formula (5), tad

Atbilde: .

2. piemērsĻaujiet un . Atrast.

Risinājums. Kopš un , mēs izmantojam formulas (5), (6) un iegūstam vienādojumu sistēmu

Ja sistēmas (9) otro vienādojumu dala ar pirmo, tad vai . No tā izriet . Apskatīsim divus gadījumus.

1. Ja , tad no pirmā sistēmas (9) vienādojuma mums ir.

2. Ja , tad .

3. piemērsĻaujiet , un . Atrast.

Risinājums. No formulas (2) izriet, ka vai . Kopš , tad vai .

Pēc nosacījuma. Tomēr tāpēc . Jo un, tad šeit mums ir vienādojumu sistēma

Ja sistēmas otro vienādojumu dala ar pirmo, tad vai .

Kopš , vienādojumam ir viena piemērota sakne . Šajā gadījumā sistēmas pirmais vienādojums nozīmē .

Ņemot vērā formulu (7), iegūstam.

Atbilde: .

4. piemērsŅemot vērā: un . Atrast.

Risinājums. Kopš tā laika .

Jo , tad vai

Saskaņā ar formulu (2), mums ir . Šajā sakarā no vienādības (10) iegūstam vai .

Tomēr ar nosacījumu , tāpēc .

5. piemērs Ir zināms, ka. Atrast.

Risinājums. Saskaņā ar teorēmu mums ir divas vienādības

Kopš , tad vai . Jo tad.

Atbilde: .

6. piemērsŅemot vērā: un . Atrast.

Risinājums.Ņemot vērā formulu (5), iegūstam

Kopš tā laika . Kopš , un , tad .

7. piemērsĻaujiet un . Atrast.

Risinājums. Pēc formulas (1) mēs varam rakstīt

Tāpēc mums ir vai . Ir zināms, ka un , tāpēc un .

Atbilde: .

8. piemērs Atrodiet bezgalīgas dilstošās ģeometriskās progresijas saucēju, ja

un .

Risinājums. No formulas (7) izriet un . No šejienes un no uzdevuma nosacījuma mēs iegūstam vienādojumu sistēmu

Ja pirmais sistēmas vienādojums ir kvadrātā, un pēc tam sadaliet iegūto vienādojumu ar otro vienādojumu, tad mēs saņemam

Vai .

Atbilde: .

9. piemērs Atrodiet visas vērtības, kurām secība , ir ģeometriskā progresija.

Risinājums.Ļaujiet , un . Saskaņā ar formulu (2), kas nosaka ģeometriskās progresijas galveno īpašību, mēs varam rakstīt vai .

No šejienes mēs iegūstam kvadrātvienādojumu, kuru saknes ir un .

Pārbaudīsim: ja, pēc tam , un ; ja , tad , un .

Pirmajā gadījumā mums ir un , un otrajā - un .

Atbilde: , .

10. piemērsatrisināt vienādojumu

, (11)

kur un.

Risinājums. Kreisā puse vienādojums (11) ir bezgalīgas dilstošās ģeometriskās progresijas summa, kurā un , ja: un .

No formulas (7) izriet, kas . Šajā sakarā vienādojums (11) iegūst formu vai . piemērota sakne kvadrātvienādojums ir

Atbilde: .

11. piemērs. P pozitīvo skaitļu secībaveido aritmētisko progresiju, a - ģeometriskā progresija, kāds tam sakars ar . Atrast.

Risinājums. Jo aritmētiskā secība, tad (aritmētiskās progresijas galvenā īpašība). Tāpēc ka, tad vai . Tas nozīmē, ka ģeometriskā progresija ir. Saskaņā ar formulu (2), tad mēs to rakstām.

Kopš un , tad . Tādā gadījumā izteiksme iegūst formu vai . Pēc nosacījuma, tātad no vienādojumamēs saņemam vienīgais lēmums izskatāmā problēma, t.i. .

Atbilde: .

12. piemērs. Aprēķināt summu

. (12)

Risinājums. Reiziniet abas vienādības puses (12) ar 5 un iegūstiet

Ja no iegūtās izteiksmes atņemam (12)., tad

vai .

Lai aprēķinātu, mēs aizstājam vērtības formulā (7) un iegūstam . Kopš tā laika .

Atbilde: .

Šeit sniegtie problēmu risināšanas piemēri būs noderīgi reflektantiem, gatavojoties iestājpārbaudījumiem. Problēmu risināšanas metožu dziļākai izpētei, saistīta ar ģeometrisko progresiju, Var izmantot mācību ceļveži no ieteicamās literatūras saraksta.

1. Uzdevumu krājums matemātikā reflektantiem uz tehniskajām augstskolām / Red. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 lpp.

2. Suprun V.P. Matemātika vidusskolēniem: papildu sadaļas skolas mācību programma. – M.: Lenands / URSS, 2014. - 216 lpp.

3. Medynsky M.M. Pilns kurss elementārā matemātika uzdevumos un vingrinājumos. 2. grāmata: skaitļu secības un progresēšana. – M.: Editus, 2015. - 208 lpp.

Vai jums ir kādi jautājumi?

Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Apskatīsim sēriju.

7 28 112 448 1792...

Ir pilnīgi skaidrs, ka jebkura tā elementa vērtība ir tieši četras reizes lielāka nekā iepriekšējā. nozīmē, šī rinda ir progresija.

Ģeometriskā progresija ir bezgalīga skaitļu virkne galvenā iezīme tas ir, ka nākamais skaitlis tiek iegūts no iepriekšējā, reizinot ar kādu konkrētu skaitli. To izsaka ar šādu formulu.

a z +1 =a z q, kur z ir atlasītā elementa numurs.

Attiecīgi z ∈ N.

Periods, kad skolā tiek apgūta ģeometriskā progresija, ir 9. klase. Piemēri palīdzēs izprast jēdzienu:

0.25 0.125 0.0625...

Pamatojoties uz šo formulu, progresijas saucēju var atrast šādi:

Ne q, ne b z nevar būt nulle. Arī katrs no progresijas elementiem nedrīkst būt vienāds ar nulli.

Attiecīgi, lai uzzinātu nākamo sērijas numuru, jums ir jāreizina pēdējais ar q.

Lai norādītu šo progresiju, jānorāda tās pirmais elements un saucējs. Pēc tam ir iespējams atrast jebkuru no nākamajiem terminiem un to summu.

Šķirnes

Atkarībā no q un a 1 šī progresija ir sadalīta vairākos veidos:

• Ja gan a 1, gan q ir lielāki par vienu, tad šāda secība ar katru palielinās nākamais elementsģeometriskā progresija. Šāda veida piemērs ir parādīts zemāk.

Piemērs: a 1 =3, q=2 — abi parametri ir lielāki par vienu.

Tad skaitlisko secību var uzrakstīt šādi:

3 6 12 24 48 ...

• Ja |q| mazāk par vienu, tas ir, reizināšana ar to ir līdzvērtīga dalīšanai, tad progresija ar līdzīgiem nosacījumiem ir dilstoša ģeometriskā progresija. Šāda veida piemērs ir parādīts zemāk.

Piemērs: a 1 = 6, q = 1/3 — a 1 ir lielāks par vienu, q ir mazāks.

Tad skaitlisko secību var uzrakstīt šādi:

6 2 2/3 ... - jebkurš elements ir 3 reizes lielāks par elementu, kas tam seko.

• Zīmes mainīgais. Ja q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Piemērs: a 1 = -3 , q = -2 - abi parametri ir mazāki par nulli.

Tad secību var uzrakstīt šādi:

3, 6, -12, 24,...

Formulas

Lai ērti izmantotu ģeometriskās progresijas, ir daudz formulu:

• Z-tā dalībnieka formula. Ļauj aprēķināt elementu zem noteikta skaitļa, nerēķinot iepriekšējos skaitļus.

Piemērs:q = 3, a 1 = 4. Nepieciešams aprēķināt progresijas ceturto elementu.

Risinājums:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Pirmo elementu summa, kuru numurs ir z. Ļauj aprēķināt visu secības elementu summu līdza zieskaitot.

Kopš (1-q) ir saucējā, tad (1 - q)≠ 0, tāpēc q nav vienāds ar 1.

Piezīme: ja q=1, tad progresija būtu bezgalīgi atkārtojoša skaitļa sērija.

Ģeometriskās progresijas summa, piemēri:a 1 = 2, q= -2. Aprēķināt S 5 .

Risinājums:S 5 = 22 - aprēķins pēc formulas.

• Summa, ja |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Piemērs:a 1 = 2 , q= 0,5. Atrodiet summu.

Risinājums:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Dažas īpašības:

• raksturīga īpašība. Ja šāds nosacījums veikta jebkuramz, tad dotā skaitļu sērija ir ģeometriskā progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Tāpat jebkura ģeometriskās progresijas skaitļa kvadrāts tiek atrasts, saskaitot jebkuru citu divu skaitļu kvadrātus dotajā virknē, ja tie atrodas vienādā attālumā no šī elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kurtir attālums starp šiem skaitļiem.

• Elementiatšķiras qvienreiz.
• Arī progresijas elementu logaritmi veido progresiju, bet jau aritmētisku, tas ir, katrs no tiem ir par noteiktu skaitli lielāks par iepriekšējo.

Dažu klasisko problēmu piemēri

Lai labāk saprastu, kas ir ģeometriskā progresija, var palīdzēt piemēri ar risinājumu 9. klasei.

• Noteikumi:a 1 = 3, a 3 = 48. Atrastq.

Risinājums: katrs nākamais elements ir lielāks par iepriekšējoq vienreiz.Ir nepieciešams izteikt dažus elementus caur citiem, izmantojot saucēju.

Sekojoši,a 3 = q 2 · a 1

Aizstājotq= 4

• Noteikumi:a 2 = 6, a 3 = 12. Aprēķināt S 6 .

Risinājums:Lai to izdarītu, pietiek atrast q, pirmo elementu, un aizstāt to formulā.

a 3 = q· a 2 , Sekojoši,q= 2

a 2 = q a 1,tāpēc a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Atrodiet progresijas ceturto elementu.

Risinājums: lai to izdarītu, pietiek ar ceturto elementu izteikt caur pirmo un caur saucēju.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Lietojuma piemērs:

• Bankas klients veica depozītu 10 000 rubļu apmērā, saskaņā ar kuru katru gadu klients pievienos 6% no tā pamatsummai. Cik daudz naudas būs kontā pēc 4 gadiem?

Risinājums: sākotnējā summa ir 10 tūkstoši rubļu. Tātad gadu pēc ieguldījuma kontā būs summa, kas vienāda ar 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Attiecīgi summa kontā pēc vēl viena gada tiks izteikta šādi:

(10000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Tas ir, katru gadu summa palielinās 1,06 reizes. Tas nozīmē, ka, lai atrastu līdzekļu apjomu kontā pēc 4 gadiem, pietiek atrast ceturto progresijas elementu, ko dod pirmais elements, kas vienāds ar 10 tūkstošiem, un saucējs, kas vienāds ar 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Summas aprēķināšanas uzdevumu piemēri:

Dažādās problēmās tiek izmantota ģeometriskā progresija. Summas atrašanas piemēru var sniegt šādi:

a 1 = 4, q= 2, aprēķinietS5.

Risinājums: visi aprēķinam nepieciešamie dati ir zināmi, tie tikai jāaizvieto formulā.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Aprēķini pirmo sešu elementu summu.

Risinājums:

Geom. progresiju, katrs nākamais elements ir q reizes lielāks par iepriekšējo, tas ir, lai aprēķinātu summu, jums jāzina elementsa 1 un saucējsq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Līdzīgi mums ir jāatroda 1 , zinota 2 unq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

>>Math: ģeometriskā progresija

Lasītāja ērtībām šajā sadaļā ir ievērots tieši tāds pats plāns, kā mēs ievērojām iepriekšējā sadaļā.

1. Pamatjēdzieni.

Definīcija. Skaitlisku secību, kuras visi locekļi atšķiras no 0 un kuras katrs loceklis, sākot no otrā, iegūts no iepriekšējā elementa, reizinot to ar to pašu skaitli, sauc par ģeometrisko progresiju. Šajā gadījumā skaitli 5 sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.

Tādējādi ģeometriskā progresija ir skaitliska secība (b n), ko rekursīvi dod attiecības

Vai, aplūkojot skaitļu secību, ir iespējams noteikt, vai tā ir ģeometriska progresija? Var. Ja esat pārliecināts, ka jebkura secības locekļa attiecība pret iepriekšējo locekli ir nemainīga, tad jums ir ģeometriskā progresija.
1. piemērs

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

2. piemērs

Šī ir ģeometriskā progresija, kas
3. piemērs

Šī ir ģeometriskā progresija, kas
4. piemērs

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Šī ir ģeometriskā progresija, kur b 1 - 8, q = 1.

Ņemiet vērā, ka šī secība ir arī aritmētiskā progresija (skatiet 3. piemēru no 15. §).

5. piemērs

2,-2,2,-2,2,-2.....

Šī ir ģeometriskā progresija, kurā b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Acīmredzot ģeometriskā progresija ir augoša secība, ja b 1 > 0, q > 1 (skat. 1. piemēru), un dilstoša secība, ja b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Lai norādītu, ka secība (b n) ir ģeometriska progresija, dažreiz ir ērti izmantot šādu apzīmējumu:

Ikona aizstāj frāzi "ģeometriskā progresija".
Mēs atzīmējam vienu dīvainu un tajā pašā laikā diezgan acīmredzamu ģeometriskās progresijas īpašību:
Ja secība ir ģeometriskā progresija, tad kvadrātu secība, t.i. ir ģeometriskā progresija.
Otrajā ģeometriskajā progresijā pirmais vārds ir vienāds ar q 2.
Ja eksponenciāli atmetam visus terminus, kas seko b n, tad iegūstam galīgu ģeometrisko progresiju
Šīs sadaļas turpmākajos punktos mēs apskatīsim svarīgākās ģeometriskās progresijas īpašības.

2. Ģeometriskās progresijas n-tā vārda formula.

Apsveriet ģeometrisko progresiju saucējs q. Mums ir:

Nav grūti uzminēt, ka jebkuram skaitlim n ir vienādība

Šī ir ģeometriskās progresijas n-tā vārda formula.

komentēt.

Ja esat izlasījis svarīgo piezīmi no iepriekšējās rindkopas un sapratis to, tad mēģiniet pierādīt formulu (1) ar matemātisko indukciju, tāpat kā tas tika darīts aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulai.

Pārrakstīsim ģeometriskās progresijas n-tā vārda formulu

un ievadiet apzīmējumu: mēs iegūstam y \u003d mq 2 vai, sīkāk,
Arguments x ir ietverts eksponentā, tāpēc šādu funkciju sauc par eksponenciālu funkciju. Tas nozīmē, ka ģeometrisko progresiju var uzskatīt par eksponenciālu funkciju, kas dota uz naturālu skaitļu kopas N. Uz att. 96.a attēlā parādīts grafikā parādītās funkcijas grafiks. 966 - funkciju grafiks Abos gadījumos mums ir izolēti punkti (ar abscisēm x = 1, x = 2, x = 3 utt.), kas atrodas uz kādas līknes (abos attēlos parādīta viena un tā pati līkne, tikai atšķirīgi izvietoti un attēloti dažādos mērogos). Šo līkni sauc par eksponentu. Vairāk par eksponenciālo funkciju un tās grafiku tiks runāts 11. klases algebras kursā.

Atgriezīsimies pie 1.-5. piemēriem no iepriekšējās rindkopas.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Šī ir ģeometriskā progresija, kurā b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Izveidosim formulu n-tajam vārdam
2) Šī ir ģeometriskā progresija, kurā formulēsim n-to terminu

Šī ir ģeometriskā progresija, kas Sastādiet n-tā termina formulu
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Šī ir ģeometriskā progresija, kurā b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Izveidosim formulu n-tajam vārdam
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Šī ir ģeometriskā progresija, kurā b 1 = 2, q = -1. Sastādiet n-tā termina formulu

6. piemērs

Dota ģeometriskā progresija

Visos gadījumos risinājuma pamatā ir ģeometriskās progresijas n-tā locekļa formula

a) Ieliekot n = 6 ģeometriskās progresijas n-tā vārda formulā, iegūstam

b) Mums ir

Tā kā 512 \u003d 2 9, mēs iegūstam n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Mums ir

7. piemērs

Starpība starp septīto un piekto ģeometriskās progresijas locekli ir 48, piektā un sestā progresijas locekļu summa arī ir 48. Atrodiet šīs progresijas divpadsmito locekli.

Pirmais posms. Matemātiskā modeļa sastādīšana.

Uzdevuma nosacījumus var īsi uzrakstīt šādi:

Izmantojot ģeometriskās progresijas n-tā dalībnieka formulu, mēs iegūstam:
Tad otro uzdevuma nosacījumu (b 7 - b 5 = 48) var uzrakstīt kā

Trešo uzdevuma nosacījumu (b 5 +b 6 = 48) var uzrakstīt kā

Rezultātā mēs iegūstam divu vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem b 1 un q:

kas kombinācijā ar iepriekš rakstīto nosacījumu 1) ir problēmas matemātiskais modelis.

Otrā fāze.

Darbs ar sastādīto modeli. Pielīdzinot abu sistēmas vienādojumu kreisās daļas, mēs iegūstam:

(mēs esam sadalījuši abas vienādojuma puses izteiksmē b 1 q 4 , kas atšķiras no nulles).

No vienādojuma q 2 - q - 2 = 0 atrodam q 1 = 2, q 2 = -1. Aizvietojot vērtību q = 2 sistēmas otrajā vienādojumā, iegūstam
Aizvietojot vērtību q = -1 sistēmas otrajā vienādojumā, iegūstam b 1 1 0 = 48; šim vienādojumam nav atrisinājumu.

Tātad, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - šis pāris ir kompilētās vienādojumu sistēmas risinājums.

Tagad mēs varam pierakstīt ģeometrisko progresiju, par kuru jautājumā uzdevumā: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Trešais posms.

Atbilde uz problēmas jautājumu. Nepieciešams aprēķināt b 12 . Mums ir

Atbilde: b 12 = 2048.

3. Galīgas ģeometriskās progresijas locekļu summas formula.

Lai ir ierobežota ģeometriskā progresija

Apzīmē ar S n tā terminu summu, t.i.

Atvasināsim formulu šīs summas atrašanai.

Sāksim ar vienkāršāko gadījumu, kad q = 1. Tad ģeometriskā progresija b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn sastāv no n skaitļiem, kas vienādi ar b 1 , t.i. progresija ir b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Šo skaitļu summa ir nb 1 .

Tagad q = 1 Lai atrastu S n, mēs izmantojam mākslīgu metodi: veiksim dažas izteiksmes S n q transformācijas. Mums ir:

Veicot transformācijas, mēs, pirmkārt, izmantojām ģeometriskās progresijas definīciju, saskaņā ar kuru (skat. trešo prāta līniju); otrkārt, viņi pievienoja un atņēma, kāpēc izteiciena nozīme, protams, nemainījās (skat. ceturto prāta līniju); treškārt, mēs izmantojām ģeometriskās progresijas n-tā locekļa formulu:

No formulas (1) mēs atrodam:

Šī ir formula ģeometriskās progresijas n locekļu summai (gadījumam, kad q = 1).

8. piemērs

Dota ierobežota ģeometriskā progresija

a) progresijas dalībnieku summa; b) tās locekļu kvadrātu summa.

b) Iepriekš (sk. 132. lpp.) jau atzīmējām, ka, ja visus ģeometriskās progresijas locekļus saliek kvadrātā, tad tiks iegūta ģeometriskā progresija ar pirmo locekli b 2 un saucēju q 2. Tad jaunās progresijas sešu terminu summa tiks aprēķināta ar

9. piemērs

Atrodiet 8. ģeometriskās progresijas, kurai

Patiesībā mēs esam pierādījuši šādu teorēmu.

Skaitliskā secība ir ģeometriska progresija tad un tikai tad, ja katra tās locekļa kvadrāts, izņemot pirmo (un pēdējo, ja ir ierobežota secība), ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo vārdu reizinājumu. (ģeometriskās progresijas raksturīga īpašība).

Ģeometriskā progresija matemātikā ne mazāk svarīgi kā aritmētikā. Ģeometriskā progresija ir tāda skaitļu secība b1, b2,..., b[n], kuras katru nākamo locekli iegūst, reizinot iepriekšējo ar konstantu skaitli. Šo skaitli, kas raksturo arī progresēšanas pieauguma vai samazināšanās ātrumu, sauc ģeometriskās progresijas saucējs un apzīmē

Priekš pabeigt uzdevumuģeometriskā progresija, papildus saucējam ir jāzina vai jānosaka tā pirmais termiņš. Priekš pozitīva vērtība saucēja progresija ir monotona secība, un, ja šī skaitļu secība monotoni samazinās un monotoni pieaug pie. Gadījums, kad saucējs ir vienāds ar vienu, praksē netiek izskatīts, jo mums ir identisku skaitļu virkne, un to summēšana praktiski neinteresē

Ģeometriskās progresijas vispārīgais termins aprēķina pēc formulas

Ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summa nosaka pēc formulas

Apskatīsim klasiskās ģeometriskās progresijas uzdevumu risinājumus. Sāksim ar visvienkāršāko saprotamo.

1. piemērs. Ģeometriskās progresijas pirmais loceklis ir 27, un tā saucējs ir 1/3. Atrodiet ģeometriskās progresijas pirmos sešus vārdus.

Risinājums: Formā ierakstām problēmas nosacījumu

Aprēķiniem mēs izmantojam ģeometriskās progresijas n-tā locekļa formulu

Pamatojoties uz to, mēs atrodam nezināmus progresijas dalībniekus

Kā redzat, ģeometriskās progresijas nosacījumu aprēķināšana nav grūta. Pati progresija izskatīsies šādi

2. piemērs. Ir doti pirmie trīs ģeometriskās progresijas locekļi: 6; -12; 24. Atrodi saucēju un septīto terminu.

Risinājums: Mēs aprēķinām ģeometriskās progresijas saucēju, pamatojoties uz tā definīciju

Mēs ieguvām mainīgu ģeometrisko progresiju, kuras saucējs ir -2. Septītais termins tiek aprēķināts pēc formulas

Par šo uzdevumu ir atrisināts.

3. piemērs. Ģeometrisko progresiju uzrāda divi tās locekļi . Atrodiet progresijas desmito termiņu.

Risinājums:

Ierakstīsim dotās vērtības caur formulām

Saskaņā ar noteikumiem būtu jāatrod saucējs un tad jāmeklē vēlamo vērtību, bet mums ir desmitais termiņš

To pašu formulu var iegūt, pamatojoties uz vienkāršām manipulācijām ar ievades datiem. Sērijas sesto termiņu sadalām ar citu, kā rezultātā iegūstam

Ja iegūto vērtību reizina ar sesto vārdu, mēs iegūstam desmito

Tādējādi šādām problēmām ar vienkāršu pārveidojumu palīdzību uz ātrs ceļš jūs varat atrast pareizo risinājumu.

4. piemērs. Ģeometrisko progresiju uzrāda ar atkārtotām formulām

Atrodiet ģeometriskās progresijas saucēju un pirmo sešu vārdu summu.

Risinājums:

Dotos datus ierakstām vienādojumu sistēmas veidā

Izsakiet saucēju, dalot otro vienādojumu ar pirmo

Atrodiet progresijas pirmo daļu no pirmā vienādojuma

Aprēķiniet šādus piecus vārdus, lai atrastu ģeometriskās progresijas summu

Instrukcija

10, 30, 90, 270...

Nepieciešams atrast ģeometriskās progresijas saucēju.
Risinājums:

1 variants. Ņemsim patvaļīgu progresijas locekli (piemēram, 90) un sadalīsim to ar iepriekšējo (30): 90/30=3.

Ja ir zināma vairāku ģeometriskās progresijas locekļu summa vai visu dilstošās ģeometriskās progresijas locekļu summa, tad, lai atrastu progresijas saucēju, izmantojiet atbilstošās formulas:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kur Sn ir ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summa un
S = b1/(1-q), kur S ir bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa (visu progresijas locekļu summa, kuru saucējs ir mazāks par vienu).
Piemērs.

Pirmais dilstošās ģeometriskās progresijas loceklis ir vienāds ar vienu, un visu tā vārdu summa ir vienāda ar divi.

Ir nepieciešams noteikt šīs progresijas saucēju.
Risinājums:

Aizvietojiet datus no uzdevuma formulā. Gūt:
2=1/(1-q), no kurienes – q=1/2.

Progresija ir skaitļu virkne. Ģeometriskā progresijā katru nākamo biedru iegūst, reizinot iepriekšējo ar noteiktu skaitli q, ko sauc par progresijas saucēju.

Instrukcija

Ja ir zināmi divi blakus esošie ģeometriskā b(n+1) un b(n) locekli, lai iegūtu saucēju, skaitlis ar lielu skaitli jādala ar pirms tā esošo: q=b(n) +1)/b(n). Tas izriet no progresijas definīcijas un tās saucēja. Svarīgs nosacījums ir progresijas pirmā locekļa un saucēja nevienādība nulle, pretējā gadījumā to uzskata par nenoteiktu.

Tādējādi starp progresijas dalībniekiem tiek izveidotas šādas attiecības: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Pēc formulas b(n)=b1 q^(n-1) var aprēķināt jebkuru ģeometriskās progresijas locekli, kurā ir zināms saucējs q un loceklis b1. Arī katrs progresijas modulis ir vienāds ar blakus esošo locekļu vidējo vērtību: |b(n)|=√, tāpēc progresija ieguva savu .

Ģeometriskās progresijas analogs ir vienkāršākais eksponenciālā funkcija y=a^x, kur x ir eksponents, a ir kāds skaitlis. Šajā gadījumā progresijas saucējs ir tāds pats kā pirmais termins un ir vienāds ar skaitli a. Funkcijas y vērtību var saprast kā n-tais biedrs progresijas, ja arguments x tiek pieņemts kā dabiskais skaitlis n (skaitītājs).

Vēl viena svarīga ģeometriskās progresijas īpašība, kas deva ģeometrisko progresiju