Pirmais līmenis

Ģeometriskā progresija. Visaptverošs ceļvedis ar piemēriem (2019)

Skaitliskā secība

Tāpēc apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:

Jūs varat rakstīt jebkurus skaitļus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties (mūsu gadījumā tie ir). Neatkarīgi no tā, cik daudz skaitļu mēs rakstām, mēs vienmēr varam pateikt, kurš no tiem ir pirmais, kurš otrais, un tā tālāk līdz pēdējam, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitliskās secības piemērs:

Skaitliskā secība ir skaitļu kopa, kurai katram var piešķirt unikālu numuru.

Piemēram, mūsu secībai:

Piešķirtais numurs ir raksturīgs tikai vienam secības numuram. Citiem vārdiem sakot, secībā nav trīs sekunžu skaitļu. Otrais skaitlis (tāpat kā -tais numurs) vienmēr ir viens.

Skaitli ar skaitli sauc par secības trešo locekli.

Mēs parasti visu secību saucam par kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts, kura indekss ir vienāds ar šī locekļa numuru:.

Mūsu gadījumā:

Visizplatītākie progresēšanas veidi ir aritmētiskais un ģeometriskais. Šajā pavedienā mēs runāsim par otro veidu - ģeometriskā progresija.

Kāpēc mums ir nepieciešama ģeometriskā progresija un tās rašanās vēsture.

Pat senos laikos itāļu matemātiķis Pizas Leonardo (labāk pazīstams kā Fibonači) nodarbojās ar tirdzniecības praktisko vajadzību risināšanu. Mūkam bija jāsaskaras ar uzdevumu noteikt, ar kādu mazāko svaru ir iespējams nosvērt preces? Savos rakstos Fibonači pierāda, ka šāda svara sistēma ir optimāla: šī ir viena no pirmajām situācijām, kurā cilvēkiem nācās saskarties ar ģeometrisko progresu, par kuru jūs, iespējams, jau dzirdējāt un vismaz vispārējs jēdziens... Kad esat pilnībā izpratis tēmu, padomājiet, kāpēc šāda sistēma ir optimāla?

Pašlaik dzīves praksē ģeometriskā progresija izpaužas, ieguldot naudu bankā, kad procentu summa tiek iekasēta par summu, kas uzkrāta kontā par iepriekšējo periodu. Citiem vārdiem sakot, ja jūs noguldāt naudu termiņnoguldījumā krājbankā, tad gada laikā depozīts palielināsies vairāk nekā sākotnējā summa, t.i. jaunā summa būs vienāda ar depozītu, kas reizināts ar. Vēl pēc gada šī summa palielināsies par, t.i. tajā laikā iegūtā summa atkal tiks reizināta ar utt. Līdzīga situācija ir aprakstīta problēmās aprēķināt t.s. saliktie procenti - procentus katru reizi ņem no kontā esošās summas, ņemot vērā iepriekšējos procentus. Par šiem uzdevumiem mēs runāsim nedaudz vēlāk.

Ir daudz vairāk vienkāršu gadījumu, kad tiek izmantota ģeometriskā progresija. Piemēram, gripas izplatība: viena persona inficēja cilvēku, viņi savukārt inficēja citu cilvēku, un tādējādi otrais infekcijas vilnis ir cilvēks, un viņi savukārt inficēja citu ... un tā tālāk. .

Starp citu, finanšu piramīda, tā pati MMM, ir vienkāršs un sauss aprēķins, kas balstīts uz ģeometriskās progresijas īpašībām. Interesanti? Izdomāsim.

Ģeometriskā progresija.

Pieņemsim, ka mums ir skaitliskā secība:

Jūs uzreiz atbildēsiet, ka tas ir viegli, un šādas secības nosaukums - aritmētiskā progresija ar tās locekļu atšķirībām. Kā ar šo:

Ja no nākamā skaitļa atņemat iepriekšējo, tad redzēsiet, ka katru reizi tiek iegūta jauna atšķirība (un tā tālāk), taču secība noteikti pastāv, un to ir viegli pamanīt - katrs nākamais skaitlis ir reizes lielāks nekā iepriekšējais viens!

Tiek saukta šāda veida skaitļu secība ģeometriskā progresija un to apzīmē ar.

Ģeometriskā progresija () ir skaitliskā secība, kuras pirmais termins ir nulle, un katrs termins, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli. Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.

Ierobežojumi, ka pirmais termins () nav vienāds un nav nejaušs. Pieņemsim, ka tādu nav, un pirmais termins joprojām ir vienāds, un q ir vienāds, hmm .. let, tad izrādās:

Piekrītiet, ka tā vairs nav nekāda progresēšana.

Kā jūs varat iedomāties, mēs iegūsim tādus pašus rezultātus, ja tas būs jebkurš skaitlis, kas nav nulle, un. Šādos gadījumos progresijas vienkārši nebūs, jo visa skaitļu sērija būs vai nu ar visām nullēm, vai ar vienu skaitli, un visas pārējās nulles.

Tagad parunāsim sīkāk par ģeometriskās progresijas saucēju, tas ir, Fr.

Atkārtosim: ir skaitlis, cik reizes mainās katrs nākamais termins ģeometriskā progresija.

Kā jūs domājat, kas tas var būt? Pareizi, pozitīvi un negatīvi, bet ne nulle (mēs par to runājām nedaudz augstāk).

Pieņemsim, ka mums ir pozitīvs. Ļaujiet arī mūsu gadījumā. Kāds ir otrais termins un? Jūs varat viegli atbildēt uz to:

Viss ir pareizi. Attiecīgi, ja, tad visiem nākamajiem progresijas dalībniekiem ir viena zīme - viņiem pozitīvs.

Ko darīt, ja negatīvs? Piemēram, a. Kāds ir otrais termins un?

Šis ir pavisam cits stāsts.

Mēģiniet saskaitīt šīs progresa termiņu. Cik tu dabūji? Man ir. Tādējādi, ja, tad ģeometriskās progresijas dalībnieku zīmes mainās. Tas ir, ja uz tās dalībniekiem redzat progresēšanu ar mainīgām zīmēm, tad tās saucējs ir negatīvs. Šīs zināšanas var palīdzēt pārbaudīt sevi, risinot problēmas par šo tēmu.

Tagad nedaudz praktizēsimies: mēģiniet noteikt, kuras skaitļu secības ir ģeometriskas progresijas un kuras ir aritmētiskas:

Saprati? Salīdzināsim savas atbildes:

• Ģeometriskā progresija - 3, 6.
• Aritmētiskā progresija - 2, 4.
• Tā nav nedz aritmētiskā, nedz ģeometriskā progresija - 1, 5, 7.

Atgriezīsimies pie savas pēdējās pakāpes un mēģināsim atrast tās terminu tāpat kā aritmētikā. Kā jūs varētu uzminēt, ir divi veidi, kā to atrast.

Katru terminu mēs secīgi reizinām ar.

Tātad aprakstītās ģeometriskās progresijas trešais loceklis ir vienāds ar.

Kā jūs varētu uzminēt, tagad jūs pats iegūsiet formulu, kas palīdzēs jums atrast jebkuru ģeometriskās progresijas dalībnieku. Vai arī jūs to jau esat izvedis pats, aprakstot, kā soli pa solim atrast trešo locekli? Ja tā, tad pārbaudiet pamatojuma pareizību.

Ilustrēsim to ar piemēru, kā atrast dotās progresijas trešo locekli:

Citiem vārdiem sakot:

Patstāvīgi atrodiet attiecīgās ģeometriskās progresijas locekļa vērtību.

Notika? Salīdzināsim savas atbildes:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka iegūstat tieši tādu pašu skaitli kā iepriekšējā metodē, kad mēs secīgi reizinām ar katru iepriekšējo ģeometriskās progresijas termiņu.
Mēģināsim "depersonalizēt" šo formulu - mēs to ieviesīsim vispārējā formā un iegūsim:

Atvasinātā formula ir pareiza visām vērtībām, gan pozitīvām, gan negatīvām. Pārbaudiet to pats, aprēķinot ģeometriskās progresijas dalībniekus ar šādiem nosacījumiem: a.

Vai jūs to saskaitījāt? Salīdzināsim iegūtos rezultātus:

Piekrītiet, ka būtu iespējams atrast progresijas dalībnieku tāpat kā dalībnieku, tomēr pastāv nepareizas skaitīšanas iespēja. Un, ja mēs jau esam atraduši ģeometriskās progresijas th terminu, tad kas var būt vieglāk, nekā izmantot formulas "nogriezto" daļu.

Ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās.

Pavisam nesen mēs runājām par to, ka var būt gan vairāk, gan mazāks par nullitomēr ir īpašas nozīmes, kurām tiek saukta ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās.

Kāpēc jūs domājat šādu vārdu?
Vispirms pierakstīsim kādu ģeometrisko progresiju, kas sastāv no dalībniekiem.
Pieņemsim, ka tad:

Mēs redzam, ka katrs nākamais termins pēc viena faktora ir mazāks par iepriekšējo, bet vai būs kāds skaitlis? Jūs nekavējoties atbildēsiet nē. Tāpēc bezgalīgi samazinās - samazinās, samazinās un nekad nekļūst par nulli.

Lai skaidri saprastu, kā tas vizuāli izskatās, mēģināsim uzzīmēt mūsu progresa grafiku. Tātad mūsu gadījumā formula ir šāda:

Mums ir ierasts veidot atkarību no diagrammām, tāpēc:

Izteiksmes būtība nav mainījusies: pirmajā ierakstā mēs parādījām ģeometriskās progresijas locekļa vērtības atkarību no tā sērijas numura, bet otrajā ierakstā mēs vienkārši ņēmām ģeometriskās progresijas termiņa vērtību kā kārtas numurs tika norādīts nevis kā, bet kā. Atliek tikai izveidot diagrammu.
Apskatīsim, ko jūs saņemat. Šeit ir diagramma, kuru saņēmu:

Redzi? Funkcija samazinās, tiecas uz nulli, bet nekad to nešķērso, tāpēc tā bezgalīgi samazinās. Atzīmēsim savus punktus grafikā un tajā pašā laikā, ko nozīmē koordināta un nozīme:

Mēģiniet shematiski attēlot ģeometriskās progresijas grafiku, ja arī tā pirmais termins ir vienāds. Analizējiet, kāda ir atšķirība ar mūsu iepriekšējo diagrammu?

Vai jūs pārvaldījāt? Šeit ir diagramma, kuru saņēmu:

Tagad, kad esat pilnībā izpratis ģeometriskās progresijas tēmas pamatus: jūs zināt, kas tas ir, jūs zināt, kā atrast tā terminu, un jūs zināt arī to, kas ir bezgalīgi samazināšanās ģeometriskā progresija, pārejam uz tās galveno īpašību.

Ģeometriskās progresijas īpašība.

Vai atceraties aritmētiskās progresijas dalībnieku īpašumus? Jā, jā, kā atrast noteikta progresijas skaitļa vērtību, ja ir iepriekšējās un nākamās attiecīgās progresijas dalībnieku vērtības. Atcerējās? Tas:

Tagad mēs saskaramies ar tieši to pašu jautājumu ģeometriskās progresijas dalībniekiem. Lai iegūtu līdzīgu formulu, sāksim zīmēt un spriest. Jūs redzēsiet, tas ir ļoti viegli, un, ja aizmirsīsit, varat to izcelt pats.

Ņemsim vēl vienu vienkāršu ģeometrisko progresiju, kurā mēs zinām un. Kā atrast? Ar aritmētisko progresēšanu tas ir viegli un vienkārši, bet kā ir ar šeit? Patiesībā arī ģeometriskā ziņā nav nekā sarežģīta - jums vienkārši jāpieraksta katra mums dotā vērtība, izmantojot formulu.

Jūs jautājat, ko mums tagad ar to darīt? Tas ir ļoti vienkārši. Vispirms mēs attēlosim šīs formulas attēlā un mēģināsim ar tām veikt dažādas manipulācijas, lai sasniegtu vērtību.

Mēs abstrahējamies no mums dotajiem skaitļiem, mēs koncentrēsimies tikai uz to izteikšanu, izmantojot formulu. Mums jāatrod izceltā vērtība apelsīnszinot savus kaimiņus. Mēģināsim ar viņiem pagatavot dažādas darbības, kā rezultātā mēs varam iegūt.

Papildinājums.
Mēģināsim pievienot divus izteicienus un iegūstam:

No šī izteiciena, kā redzat, mēs nekādi nevaram izteikties, tāpēc izmēģināsim citu variantu - atņemšanu.

Atņemšana.

Kā redzat, mēs arī nevaram no tā izteikt, tāpēc centīsimies šos izteicienus reizināt viens ar otru.

Reizināšana.

Tagad uzmanīgi apskatiet to, kas mums ir, reizinot mums dotās ģeometriskās progresijas dalībniekus salīdzinājumā ar to, kas jāatrod:

Uzmini, par ko es runāju? Pareizi, lai atrastu, kas mums jāņem kvadrātsakne reizinot viens ar otru blakus ģeometriskās progresijas meklētajiem skaitļiem:

Šeit tev iet. Jūs pats esat secinājis ģeometriskās progresijas īpašību. Mēģiniet rakstīt šo formulu vispārējs skats... Notika?

Aizmirsāt nosacījumu? Padomājiet, kāpēc tas ir svarīgi, piemēram, mēģiniet to pats aprēķināt, ja. Kas notiek šajā gadījumā? Pareizi, pilnīgs absurds, jo formula izskatās šādi:

Attiecīgi neaizmirstiet šo ierobežojumu.

Tagad saskaitīsim, kas ir vienāds ar

Pareizā atbilde - ! Ja, aprēķinot, jūs neaizmirsāt otro iespējamo vērtību, tad esat lielisks kolēģis un varat nekavējoties doties uz apmācību, un, ja esat aizmirsis, izlasiet tālāk izjaukto un pievērsiet uzmanību tam, kāpēc ir nepieciešams pierakstīt abus saknes atbildē.

Uzzīmēsim abas mūsu ģeometriskās progresijas - viena ar nozīmi, bet otra ar nozīmi un pārbaudīsim, vai abām ir tiesības pastāvēt:

Lai pārbaudītu, vai šāda ģeometriskā progresija pastāv vai nav, ir jāpārbauda, \u200b\u200bvai tā ir vienāda starp visiem tās dotajiem locekļiem? Aprēķiniet q pirmajam un otrajam gadījumam.

Redziet, kāpēc mums jāraksta divas atbildes? Jo nepieciešamā termina zīme ir atkarīga no tā, vai tā ir pozitīva vai negatīva! Un, tā kā mēs nezinām, kas viņš ir, mums ir jāuzraksta abas atbildes ar plus un mīnus.

Tagad, kad esat apguvis galvenos punktus un atvasinājis ģeometriskās progresijas īpašības formulu, atrodiet, zinot un

Salīdziniet saņemtās atbildes ar pareizajām:

Ko jūs domājat, kā būtu, ja mums piešķirtu nevis ģeometriskās progresijas dalībnieku vērtības, kas atrodas blakus vēlamajam skaitlim, bet gan vienādā attālumā no tā. Piemēram, mums jāatrod, un mums tiek dota un. Vai šajā gadījumā mēs varam izmantot iegūto formulu? Mēģiniet apstiprināt vai noliegt šo iespēju tādā pašā veidā, pierakstot, no kā sastāv katra vērtība, kā jūs darījāt sākotnēji, atvasinot formulu.
Ko tu izdarīji?

Tagad skatieties vēlreiz cieši.
un attiecīgi:

No tā mēs varam secināt, ka formula darbojas ne tikai ar kaimiņu ar nepieciešamajiem ģeometriskās progresijas noteikumiem, bet arī ar vienādā attālumā no pieprasītajiem biedriem.

Tādējādi mūsu sākotnējā formula ir šāda:

Tas ir, ja pirmajā gadījumā mēs to teicām, tad tagad mēs sakām, ka tas var būt vienāds ar jebkuru dabisko skaitli, kas ir mazāks. Galvenais, lai abiem dotajiem skaitļiem būtu vienāds.

Prakse konkrēti piemēri, vienkārši esiet ļoti uzmanīgs!

1. ,. Atrast.
2. ,. Atrast.
3. ,. Atrast.

ES izlēmu? Es ceru, ka jūs bijāt ārkārtīgi uzmanīgs un pamanījāt nelielu lomu.

Mēs salīdzinām rezultātus.

Pirmajos divos gadījumos mēs mierīgi izmantojam iepriekš minēto formulu un iegūstam šādas vērtības:

Trešajā gadījumā, rūpīgi apsverot mums piešķirto skaitļu kārtas numurus, mēs saprotam, ka tie nav vienādā attālumā no meklētā skaitļa: tas ir iepriekšējais skaitlis, bet noņemts pozīcijā, tāpēc tas nav iespējams lai izmantotu formulu.

Kā to atrisināt? Tas patiesībā nav tik grūti, kā izklausās! Uzrakstīsim kopā ar jums, no kā sastāv katrs mums piešķirtais skaitlis un nepieciešamais skaitlis.

Tātad, mums ir un. Apskatīsim, ko jūs varat darīt ar viņiem? Es ierosinu dalīt ar. Mēs iegūstam:

Mēs aizstājam savus datus ar formulu:

Nākamais solis, ko mēs varam atrast - tas mums ir jāsper kubiskā sakne no iegūtā skaitļa.

Un tagad mēs atkal skatāmies, kas mums ir. Mums tas ir, bet mums tas jāatrod, un tas savukārt ir vienāds ar:

Mēs atradām visus aprēķinam nepieciešamos datus. Mēs formulā aizstājam:

Mūsu atbilde: .

Mēģiniet pats atrisināt vēl vienu līdzīgu problēmu:
Ņemot vērā:
Atrast:

Cik tu dabūji? Man ir -.

Kā redzat, patiesībā jums tas ir nepieciešams atcerieties tikai vienu formulu -. Jebkurā laikā jūs varat pats izņemt visu pārējo bez grūtībām. Lai to izdarītu, vienkārši uz papīra uzrakstiet vienkāršāko ģeometrisko progresiju un pierakstiet to, kas saskaņā ar iepriekš minēto formulu katrs tā skaitlis ir vienāds.

Ģeometriskās progresijas dalībnieku summa.

Tagad apsveriet formulas, kas ļauj mums ātri aprēķināt ģeometriskās progresijas dalībnieku summu noteiktā intervālā:

Lai iegūtu formulu galīgās ģeometriskās progresijas dalībnieku summai, mēs reizinām visas augstākā vienādojuma daļas ar. Mēs iegūstam:

Paskaties uzmanīgi: kas abās pēdējās formulās ir kopīgs? Pareizi, piemēram, parastie biedri utt., Izņemot pirmo un pēdējo biedru. Mēģināsim atņemt 1. no 2. vienādojuma. Ko tu izdarīji?

Tagad izteiciet ģeometriskās progresijas terminu caur formulu un aizstājiet iegūto izteicienu mūsu pēdējā formulā:

Grupējiet izteicienu. Jums vajadzētu saņemt:

Atliek tikai izteikt:

Attiecīgi šajā gadījumā.

Ko darīt, ja? Kāda formula darbojas tad? Iedomājieties ģeometrisko progresu pie. Kāda viņa ir? Pareizi, attiecīgi identisku skaitļu sērija, formula izskatīsies šādi:

Gan aritmētiskajā, gan ģeometriskajā progresijā ir daudz leģendu. Viena no tām ir leģenda par Šetu, šaha radītāju.

Daudzi cilvēki zina, ka šaha spēle tika izgudrots Indijā. Kad hindu karalis viņu satika, viņš bija sajūsmā par viņas asprātību un iespējamo pozīciju dažādību viņā. Uzzinājis, ka to izgudroja viens no viņa pavalstniekiem, karalis nolēma viņu personīgi atalgot. Viņš izsauca izgudrotāju pie sevis un pavēlēja viņam lūgt visu, ko viņš vēlējās, apsolot piepildīt pat visprasmīgāko vēlmi.

Seta lūdza laiku pārdomām, un, kad nākamajā dienā Setam parādījās ķēniņš, viņš pārsteidza karali ar nepārspējamu viņa lūguma pieticību. Viņš lūdza izsniegt kviešu graudu par pirmo šaha galdiņa laukumu, par otro - par kviešu graudiem, par trešo, par ceturto utt.

Karalis bija dusmīgs un padzina Setu, sakot, ka kalpa lūgums nav cienīgs pret karalisko dāsnumu, taču viņš apsolīja, ka kalps saņems viņa graudus par visām tāfeles šūnām.

Un tagad jautājums: izmantojot formulu ģeometriskās progresijas dalībnieku summai, aprēķiniet, cik graudu Setai vajadzētu saņemt?

Sāksim spriest. Tā kā atbilstoši nosacījumam Seta šaha dēļa pirmajam kvadrātam lūdza kviešu graudu, otro, trešo, ceturto utt., Mēs redzam, ka problēmā tas nāk par ģeometrisko progresiju. Kas šajā gadījumā ir vienāds?
Pareizi.

Šaha dēļa šūnas kopā. Attiecīgi ,. Mums ir visi dati, atliek tikai tos aizstāt formulā un aprēķināt.

Lai pārstāvētu vismaz aptuveni noteiktā skaitļa "skalas", mēs pārveidojam, izmantojot pakāpes īpašības:

Protams, ja vēlaties, varat paņemt kalkulatoru un aprēķināt, kuru skaitli jūs iegūsiet beigās, bet, ja nē, jums būs jāpieņem mans vārds: izteiciena galīgā vērtība būs.
T.i .:

kvintiljoni kvadriljonu triljonu miljardu miljonu tūkstošu.

Fuh) Ja vēlaties iedomāties, cik milzīgs ir šis skaitlis, tad novērtējiet, cik lielā kūtī būtu vajadzīgs viss graudu daudzums.
Ar kūts augstumu m un m platumu tā garumam būtu jāpagarina km, t.i. divreiz tik tālu kā no Zemes līdz Saulei.

Ja karalis būtu spēcīgs matemātikā, viņš varētu ieteikt, lai zinātnieks pats saskaita graudus, jo, lai saskaitītu miljonu graudu, viņam būtu vajadzīga vismaz diena nenogurstoša skaitīšana, un, ņemot vērā, ka ir jāskaita kvintiljoni, graudi jāskaita visu mūžu.

Tagad atrisināsim vienkāršu uzdevumu par ģeometriskās progresijas dalībnieku summu.
5. A klases skolnieks Vasja ir saslimis ar gripu, bet turpina iet skolā. Katru dienu Vasja inficē divus cilvēkus, kuri savukārt inficē vēl divus cilvēkus utt. Klasē ir cilvēki. Pēc cik dienām visa klase saslims ar gripu?

Tātad pirmais ģeometriskās progresijas dalībnieks ir Vasja, tas ir, cilvēks. ģeometriskās progresijas loceklis, tie ir divi cilvēki, kurus viņš inficēja pirmajā ierašanās dienā. kopējā summa progresijas dalībnieki ir vienādi ar studentu skaitu 5A. Attiecīgi mēs runājam par progresu, kurā:

Aizstāsim savus datus ģeometriskās progresijas dalībnieku summas formulā:

Dienās slimo visa klase. Vai jūs neticat formulām un skaitļiem? Mēģiniet pats attēlot studentu "infekciju". Notika? Skatiet, kā tas man izskatās:

Aprēķiniet pats, cik dienas skolēniem būtu vajadzīga gripas saslimšana, ja katrs inficētu cilvēku un klasē būtu kāda persona.

Kādu vērtību jūs ieguvāt? Izrādījās, ka visi sāka saslimt pēc dienas.

Kā redzat, šāds uzdevums un zīmējums tam līdzinās piramīdai, kurā katrs nākamais "atved" jaunus cilvēkus. Tomēr agrāk vai vēlāk pienāk brīdis, kad pēdējais nevar nevienu piesaistīt. Mūsu gadījumā, ja mēs iedomājamies, ka klase ir izolēta, persona no kuras aizvērs ķēdi (). Tādējādi, ja kāda persona bija iesaistīta finanšu piramīdā, kurā nauda tika dota gadījumā, ja jūs atvedat divus citus dalībniekus, tad persona (vai vispārējs gadījums) nebūtu nevienu vadījis, tāpēc būtu zaudējis visu, ko ieguldījis šajā finanšu izkrāpšanā.

Viss, kas tika teikts iepriekš, attiecas uz ģeometriskās progresijas samazināšanos vai palielināšanos, bet, kā jūs atceraties, mums ir īpašs veids - bezgalīgi samazinās ģeometriskā progresija. Kā aprēķināt tās dalībnieku summu? Un kāpēc šāda veida progresēšanai ir noteiktas iezīmes? Kārtosim to kopā.

Tātad, vispirms aplūkosim šo bezgala samazināšanās ģeometriskās progresijas skaitli no mūsu piemēra:

Tagad aplūkosim nedaudz agrāk iegūtās ģeometriskās progresijas summas formulu:
vai

Pēc kā mēs tiecamies? Pareizi, diagramma parāda, ka tā mēdz būt nulle. Tas ir, pie, tas būs gandrīz vienāds, attiecīgi, aprēķinot izteiksmi, mēs gandrīz iegūstam. Šajā sakarā mēs uzskatām, ka, aprēķinot bezgalīgi samazināšanās ģeometriskās progresijas summu, šo iekavu var atstāt novārtā, jo tā būs vienāda.

- formula ir bezgalīgi samazinošās ģeometriskās progresijas nosacījumu summa.

SVARĪGS! Mēs izmantojam formulu bezgalīgi samazināmas ģeometriskās progresijas summu summai tikai tad, ja nosacījums skaidri nosaka, ka mums jāatrod summa bezgalīgs dalībnieku skaits.

Ja tiek norādīts noteikts skaitlis n, tad mēs izmantojam formulu n terminu summai, pat ja vai.

Tagad praktizēsimies.

1. Atrodiet ģeometriskās progresijas pirmo terminu summu ar un.
2. Atrodiet bezgalīgi samazināšanās ģeometriskās progresijas nosacījumu summu ar un.

Es ceru, ka jūs bijāt ārkārtīgi uzmanīgs. Salīdzināsim savas atbildes:

Tagad jūs zināt visu par ģeometrisko progresēšanu, un ir pienācis laiks pāriet no teorijas uz praksi. Eksāmenā visbiežāk sastopamās ģeometriskās progresēšanas problēmas ir saliktās procentu problēmas. Par viņiem mēs runāsim.

Uzdevumi salikto procentu aprēķināšanai.

Jūs droši vien esat dzirdējuši par tā saukto procentu likmju formulu. Vai jūs saprotat, ko viņa domā? Ja nē, izdomāsim to, jo, apzinoties pašu procesu, jūs uzreiz sapratīsit, un šeit ir ģeometriskā progresija.

Mēs visi ejam uz banku un zinām, ka tādi ir dažādi apstākļi par noguldījumiem: tas ir gan termiņš, gan papildu pakalpojums, gan procenti ar diviem dažādi ceļi tā uzkrāšana ir vienkārša un sarežģīta.

NO vienkārša interese viss ir vairāk vai mazāk skaidrs: procenti tiek aprēķināti vienu reizi noguldījuma termiņa beigās. Tas ir, ja mēs sakām, ka mēs uz gadu liekam 100 rubļus, tad tos ieskaitīs tikai gada beigās. Attiecīgi līdz depozīta beigām mēs saņemsim rubļus.

Saliktie procenti - šī ir iespēja, kurā ir procentu kapitalizācija, t.i. to pievienošana depozīta summai un turpmākais ienākumu aprēķins nevis no sākotnējās, bet no uzkrātās depozīta summas. Lielo burtu lietojums nenotiek pastāvīgi, bet ar zināmu biežumu. Parasti šādi periodi ir vienādi, un bankas visbiežāk izmanto mēnesi, ceturksni vai gadu.

Pieņemsim, ka visus tos pašus rubļus mēs aprēķinām pēc gada likmes, bet ar depozīta kapitalizāciju mēnesī. Ko mēs iegūstam?

Vai jūs šeit visu saprotat? Ja nē, izdomāsim to pa posmiem.

Bankā ienesām rubļus. Līdz mēneša beigām mūsu kontā ir jābūt summai, kas sastāv no mūsu rubļiem plus procentiem par tiem, tas ir:

ES piekrītu?

Mēs varam to ievietot ārpus kronšteina, un tad mēs iegūstam:

Piekrītu, šī formula jau ir līdzīgāka tai, kuru mēs rakstījām sākumā. Atliek tikt galā ar interesi

Problēmas izklāstā mums tiek stāstīts par gada. Kā jūs zināt, mēs nevairojam ar - mēs pārvēršam procentus zīmes aiz komata, t.i.

Pa labi? Tagad jūs jautājat, no kurienes radās numurs? Ļoti vienkārši!
Es atkārtoju: problēmas izklāsts saka par GADS uzkrātie procenti MĒNESI... Kā jūs zināt, pēc mēneša gada banka mums attiecīgi iekasēs daļu gada procentu mēnesī:

Saprati? Tagad mēģiniet uzrakstīt, kāda būs šī formulas daļa, ja es saku, ka procenti tiek aprēķināti katru dienu.
Vai jūs pārvaldījāt? Salīdzināsim rezultātus:

Labi padarīts! Atgriezīsimies pie savas problēmas: pierakstiet, cik daudz tiks ieskaitīts mūsu kontā otro mēnesi, ņemot vērā, ka procenti tiek iekasēti par uzkrāto depozīta summu.
Lūk, ko es saņēmu:

Vai, citiem vārdiem sakot:

Es domāju, ka jūs jau esat pamanījis modeli un redzējāt ģeometrisko progresu visā šajā ziņā. Pierakstiet, kāds būs tā loceklis, jeb, citiem vārdiem sakot, cik daudz naudas mēs saņemsim mēneša beigās.
Izgatavots? Pārbauda!

Kā redzat, ja jūs gadu ievietojat naudu bankā ar vienkāršiem procentiem, tad jūs saņemsiet rubļus, un, ja par sarežģītu likmi - rubļus. Ieguvums ir mazs, taču tas notiek tikai trešajā gadā, taču ilgāk kapitalizācija ir daudz izdevīgāka:

Apsvērsim cita veida problēmas ar saliktām procentu likmēm. Pēc tam, ko jūs izdomājāt, tas jums būs elementārs. Tātad uzdevums:

Uzņēmums Zvezda sāka ieguldīt šajā nozarē 2000. gadā, un tam bija kapitāls dolāros. Katru gadu kopš 2001. gada viņa gūst peļņu, kas ir no iepriekšējā gada kapitāla. Cik lielu peļņu Zvezda uzņēmums saņems 2003. gada beigās, ja peļņa netiks izņemta no apgrozības?

Uzņēmuma "Zvezda" kapitāls 2000. gadā.
- uzņēmuma "Zvezda" kapitāls 2001. gadā.
- uzņēmuma "Zvezda" kapitāls 2002. gadā.
- uzņēmuma "Zvezda" kapitāls 2003. gadā.

Vai arī mēs varam uzrakstīt īsi:

Mūsu gadījumā:

2000., 2001., 2002. un 2003. gads.

Attiecīgi:
rubļu
Ņemiet vērā, ka šajā problēmā mums nav dalījuma ar vai ar, jo procentuālais daudzums tiek dots GADĀ un tiek aprēķināts GADAM. Tas ir, lasot salikto procentu problēmu, pievērsiet uzmanību tam, cik procenti tiek doti un kādā periodā tie tiek iekasēti, un tikai pēc tam pārejiet pie aprēķiniem.
Tagad jūs zināt visu par ģeometrisko progresēšanu.

Treniņš.

1. Atrodiet eksponenciālo terminu, ja tas ir zināms, un
2. Atrodiet ģeometriskās progresijas pirmo terminu summu, ja tā ir zināma, un
3. MDM Capital sāka ieguldīt šajā nozarē 2003. gadā, turot kapitālu dolāros. Katru gadu, sākot ar 2004. gadu, viņa gūst peļņu, kas ir no iepriekšējā gada kapitāla. Uzņēmums "MSK Cash Flows" 2005. Gadā sāka ieguldīt šajā nozarē 10 000 USD apmērā, 2006. Gadā sākot gūt peļņu. Cik dolāru ir viena uzņēmuma kapitāls vairāk nekā otram 2007. gada beigās, ja peļņa nav izņemta no apgrozības?

Atbildes:

1. Tā kā problēmas paziņojumā nav teikts, ka progresija ir bezgalīga, un ir jāatrod noteikta dalībnieku skaita summa, aprēķins tiek veikts pēc formulas:
2. 
   MDM Capital:

   2003., 2004., 2005., 2006., 2007. gads.
   - palielinās par 100%, tas ir, 2 reizes.
   Attiecīgi:
   rubļu
   MSK naudas plūsmas:

   2005., 2006., 2007. gads.
   - palielinās par, tas ir, reizēm.
   Attiecīgi:
   rubļu
   rubļu

Apkoposim.

1) Ģeometriskā progresija () ir skaitliskā secība, kuras pirmais termins ir nulle, un katrs termins, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli. Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.

2) ģeometriskās progresijas dalībnieku vienādojums -.

3) var ņemt jebkuras vērtības, izņemot un.

• ja, tad visiem nākamajiem progresijas dalībniekiem ir viena zīme - viņi pozitīvs;
• ja, tad visi nākamie progresijas dalībnieki aizstājējzīmes;
• pie - progresēšanu sauc par bezgalīgi samazinātu.

4), jo ir ģeometriskās progresijas īpašība (blakus esošie termini)

vai
, pie (vienādos attālumos)

Atrodot, neaizmirstiet to vajadzētu būt divām atbildēm.

Piemēram,

5) Ģeometriskās progresijas dalībnieku summu aprēķina pēc formulas:
vai

Ja progresēšana bezgalīgi samazinās, tad:
vai

SVARĪGS! Mēs izmantojam formulu bezgalīgi samazinās ģeometriskās progresijas summu summai tikai tad, ja nosacījums skaidri nosaka, ka ir jāatrod bezgalīga terminu skaita summa.

6) Salikto procentu problēmas tiek aprēķinātas arī pēc ģeometriskās progresijas astotā termina formulas, ja līdzekļi nav izņemti no apgrozības:

ĢEOMETRISKĀ PROGRESIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Ģeometriskā progresija () ir skaitliskā secība, kuras pirmais termins ir nulle, un katrs termins, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli. Šis numurs tiek izsaukts ģeometriskās progresijas saucējs.

Ģeometriskās progresijas saucējs var ņemt jebkuras vērtības, izņemot un.

• Ja, tad visiem nākamajiem progresijas dalībniekiem ir viena zīme - viņi ir pozitīvi;
• ja, tad visi nākamie progresijas dalībnieki pārmaiņus apzīmē;
• pie - progresēšanu sauc par bezgalīgi samazinātu.

Ģeometriskās progresijas dalībnieku vienādojums - .

Ģeometriskās progresijas dalībnieku summa aprēķina pēc formulas:
vai

Ģeometriskās progresijas n-tā termina formula ir ļoti vienkārša. Gan pēc nozīmes, gan pēc izskata. Bet n-tā termina formulā ir visdažādākās problēmas - no ļoti primitīvām līdz diezgan nopietnām. Un mūsu iepazīšanās procesā mēs noteikti apsvērsim abus. Nu, iepazīsimies?)

Tātad, pašiem iesācējiem formulan

Šeit viņa ir:

b n = b 1 · q n -1

Formula kā formula, nekas pārdabisks. Tas izskatās pat vienkāršāks un kompaktāks nekā līdzīga formula. Formulas nozīme ir arī vienkārša, piemēram, filca zābaks.

Šī formula ļauj atrast JEBKURU ģeometriskās progresijas dalībnieku PĒC SAVA NUMURA \u200b\u200b" n".

Kā redzat, nozīme ir pilnīga līdzība ar aritmētisko progresu. Mēs zinām skaitli n - zem šī skaitļa varam aprēķināt arī terminu. Ko mēs vēlamies. Nepareizinot secīgi ar "q" daudzas, daudzas reizes. Tā ir visa būtība.)

Es saprotu, ka šajā progresa progresa līmenī visām formulā iekļautajām vērtībām jums jau vajadzētu būt skaidrām, taču es uzskatu par savu pienākumu katru no tām atšifrēt. Katram gadījumam.

Tātad ejam:

b 1 – vispirms ģeometriskās progresijas dalībnieks;

q – ;

n - biedra numurs;

b n – n-tā (nth) ģeometriskās progresijas loceklis.

Šī formula savieno četrus galvenos jebkuras ģeometriskās progresijas parametrus - b n, b 1 , q un n... Un ap šiem četriem galvenajiem skaitļiem visi progresijas uzdevumi griežas.

"Kā tas tiek parādīts?" - Es dzirdu kuriozu jautājumu ... Elementāri! Skaties!

Kas ir vienāds ar otrais progresijas biedrs? Nekādu problēmu! Mēs rakstām tieši:

b 2 \u003d b 1 q

Un trešais termiņš? Arī problēma nav! Mēs reizinām otro terminu vēl vienu reiziq.

Kā šis:

B 3 \u003d b 2 q

Atgādināsim, ka otrais termins savukārt ir vienāds ar b 1 q un aizstāsim šo izteicienu mūsu vienlīdzībā:

B 3 \u003d b 2 q \u003d (b 1 q) q \u003d b 1 q q \u003d b 1 q 2

Mēs iegūstam:

B 3 \u003d b 1 q 2

Tagad lasīsim mūsu ierakstu krievu valodā: trešais termins ir vienāds ar pirmā termiņa laiku q in otrais grāds. Vai jūs to saprotat? Vēl nē? Labi, vēl viens solis.

Kāds ir ceturtais termiņš? Viss tas pats! Pavairot iepriekšējā (t.i., trešais termins) ar q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Kopā:

B 4 \u003d b 1 q 3

Un atkal mēs tulkojam krievu valodā: ceturtais termins ir vienāds ar pirmā termiņa laiku q in trešais grāds.

Utt Tā kā? Vai jums ir paraugs? Jā! Jebkuram apzīmējumam ar jebkuru skaitli vienmēr būs vienādu faktoru q skaits (t.i., saucēja pakāpe) par vienu mazāk nekā nepieciešamā termiņa skaitsn.

Tāpēc mūsu formula būs bez iespējām:

b n \u003db 1 · q n -1

Tas viss ir pie tā.)

Nu, iespējams, atrisināsim problēmas?)

Formulu problēmu risināšananģeometriskās progresijas trešais loceklis.

Sāksim, kā parasti, tieši piemērojot formulu. Šeit ir tipiska problēma:

Eksponenciāli tas ir zināms b 1 \u003d 512 un q \u003d -1/2. Atrodiet progresijas desmito terminu.

Protams, šo problēmu var atrisināt bez vispār formulām. Tieši ģeometriskās progresijas nozīmē. Bet mums jāsasildās ar n-tā termina formulu, vai ne? Tāpēc iesildāmies.

Mūsu dati formulas lietošanai ir šādi.

Pirmais termins ir zināms. Tas ir 512.

b 1 = 512.

Ir zināms arī progresijas saucējs: q = -1/2.

Atliek tikai noskaidrot, kāds ir dalībnieka skaits n. Nekādu problēmu! Vai mūs interesē desmitais sasaukums? Tātad vispārējā formulā mēs n aizstājam desmit, nevis n.

Un mēs precīzi skaitām aritmētiku:

Atbilde: -1

Kā redzat, desmitais progresijas termiņš izrādījās ar mīnusu. Nav brīnums: progresijas saucējs ir -1/2, t.i. negatīvs numuru. Un tas mums saka, ka mūsu progresēšanas pazīmes mainās, jā.)

Šeit viss ir vienkāršs. Un šeit ir līdzīgs uzdevums, bet aprēķinu ziņā nedaudz sarežģītāks.

Eksponenciāli ir zināms, ka:

b 1 = 3

Atrodiet progresijas trīspadsmito terminu.

Viss ir vienāds, tikai šoreiz ir progresijas saucējs neracionāls... Divu sakne. Nu, tas ir labi. Formula ir universāla lieta, tā tiek galā ar jebkuriem skaitļiem.

Mēs strādājam tieši pēc formulas:

Formula, protams, darbojās kā nākas, bet ... šeit daži sasalst. Ko darīt tālāk ar sakni? Kā sakni pacelt līdz divpadsmitajam spēkam?

Kā-kā ... Jums jāsaprot, ka jebkura formula, protams, ir laba lieta, bet zināšanas par visu iepriekšējo matemātiku netiek atceltas! Kā būvēt? Jā, grādu īpašības, kas jāatceras! Pārvērtīsim sakni frakcionālais eksponentsun - pēc eksponences formulas.

Kā šis:

Atbilde: 192

Un tas arī viss.)

Kādas ir galvenās grūtības, tieši piemērojot n-terminu formulu? Jā! Galvenās grūtības ir strādā ar grādiem! Proti - eksponēšana negatīvie skaitļi, frakcijas, saknes un tamlīdzīgi. Tātad tiem, kam ar to ir problēmas, steidzams lūgums atkārtot grādus un to īpašības! Pretējā gadījumā jūs palēnināsiet šo tēmu, jā ...)

Tagad atrisināsim tipiskas meklēšanas problēmas viens no formulas elementiemja tiek doti visi pārējie. Lai veiksmīgi atrisinātu šādas problēmas, recepte ir vienota un šausmīgi vienkārša - uzrakstot formulunth biedrs vispār!Tieši piezīmju grāmatiņā blakus nosacījumam. Un pēc tam no nosacījuma mēs izdomājam, kas mums ir dots un kas trūkst. Un mēs izsakām no formulas nepieciešamo vērtību... Viss!

Piemēram, tāds nekaitīgs uzdevums.

Ģeometriskās progresijas piektais termins ar saucēju 3 ir 567. Atrodiet šīs progresijas pirmo termiņu.

Nekas sarežģīts. Mēs strādājam tieši pēc burvestības.

Mēs uzrakstām n-tā termina formulu!

b n = b 1 · q n -1

Kas mums ir dots? Pirmkārt, tiek dots progresijas saucējs: q = 3.

Turklāt mums tiek dota piektais termiņš: b 5 = 567 .

Viss? Nē! Mums tiek dots arī numurs n! Tas ir piecinieks: n \u003d 5.

Es ceru, ka jūs jau saprotat, kas ir ierakstā b 5 = 567 uzreiz tiek paslēpti divi parametri - tas ir pats piektais termins (567) un tā numurs (5). Līdzīgā nodarbībā par šo jautājumu es jau runāju, bet šeit es domāju, ka nav lieki jums to atgādināt.)

Tagad mēs datus aizstājam ar formulu:

567 = b 1 · 3 5-1

Mēs apsveram aritmētiku, vienkāršojam un iegūstam vienkāršu lineārais vienādojums:

81 b 1 = 567

Mēs atrisinām un iegūstam:

b 1 = 7

Kā redzat, nav problēmu atrast pirmo dalībnieku. Bet, meklējot saucēju q un cipari n var būt pārsteigumi. Un jums arī jābūt gataviem tiem (pārsteigumiem), jā.)

Piemēram, šī problēma:

Ģeometriskās progresijas piektais termins ar pozitīvu saucēju ir 162, un pirmais šīs progresijas termiņš ir 2. Atrodiet progresijas saucēju.

Šoreiz mums tiek dots pirmais un piektais termins, un mums tiek lūgts atrast progresijas saucēju. Tātad sāksim.

Mēs uzrakstām formulunth biedrs!

b n = b 1 · q n -1

Mūsu sākotnējie dati būs šādi:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nepietiekama nozīme q... Nekādu problēmu! Tagad mēs to atradīsim.) Visu zināmo mēs aizstājam ar formulu.

Mēs iegūstam:

162 \u003d 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Vienkāršs ceturtās pakāpes vienādojums. Bet tagad - uzmanīgi! Šajā risinājuma posmā daudzi studenti uzreiz ar prieku izvelk sakni (ceturto pakāpi) un saņem atbildi. q=3 .

Kā šis:

q 4 \u003d 81

q = 3

Bet patiesībā šī ir nepabeigta atbilde. Precīzāk, nepilnīgi. Kāpēc? Jautājums ir tāds, ka atbilde ir q = -3 der arī: (-3) 4 arī būs 81!

Tas ir saistīts ar faktu, ka jaudas vienādojums x n = a vienmēr ir bijis divas pretējas saknes plkst patn . Ar plus un mīnus:

Abi der.

Piemēram, risināšana (t.i. otrais grāds)

x 2 \u003d 9

Nez kāpēc jūs neesat pārsteigts par izskatu divi saknes x \u003d ± 3? Šeit ir tas pats. Un ar jebkuru citu pat grāds (ceturtais, sestais, desmitais utt.) būs vienāds. Sīkāka informācija - tēmā par

tāpēc pareizais lēmums būtu šāds:

q 4 = 81

q \u003d ± 3

Labi, mēs izdomājām zīmes. Kurš ir pareizs - plus vai mīnus? Nu, mēs vēlreiz izlasījām problēmas stāvokli, meklējot papildus informācija. Tās, protams, var nebūt, bet šajā uzdevumā šāda informācija pieejams.Mūsu stāvoklī vienkāršā tekstā ir teikts, ka tiek dota progresija pozitīvs saucējs.

Tāpēc atbilde ir acīmredzama:

q = 3

Šeit viss ir vienkāršs. Kā jūs domājat, kas būtu, ja problēmas izklāsts būtu šāds:

Ģeometriskās progresijas piektais termins ir 162, un pirmais šīs progresijas termiņš ir 2. Atrodiet progresijas saucēju.

Kāda atšķirība? Jā! Stāvoklī neko nav teikts par saucēja zīmi. Ne tieši, ne netieši. Un šeit uzdevumam jau būtu divi risinājumi!

q = 3 un q = -3

Jā jā! Un ar plus un mīnus.) Matemātiski šis fakts nozīmētu, ka ir divas progresijaskas atbilst problēmas stāvoklim. Un katram - savs saucējs. Lai izklaidētos, praktizējiet un pierakstiet katra pirmos piecus dalībniekus.)

Tagad praktizēsim biedra numura atrašanu. Tas ir visgrūtākais uzdevums, jā. Bet arī radošāk.)

Tiek dota ģeometriskā progresija:

3; 6; 12; 24; …

Kāds ir skaitlis 768 šajā progresijā?

Pirmais solis joprojām ir tāds pats: uzrakstot formulunth biedrs!

b n = b 1 · q n -1

Un tagad, kā parasti, mēs tajā aizstājam zināmos datus. Hm ... nav aizstāts! Kur ir pirmais termins, kur ir saucējs, kur ir viss pārējais?

Kur, kur ... Un kāpēc mums vajadzīgas acis? Apsita skropstas? Šoreiz progresija mums tiek dota tieši formā secība. Vai redzēt pirmo terminu? Mēs redzam! Tas ir trīskāršs (b 1 \u003d 3). Kā ar saucēju? Mēs to vēl neredzam, bet to ir ļoti viegli saskaitīt. Ja, protams, jūs saprotat.

Tātad mēs skaitām. Tieši ģeometriskās progresijas nozīmē: mēs ņemam jebkuru no tās locekļiem (izņemot pirmo) un dalām ar iepriekšējo.

Vismaz šādi:

q = 24/12 = 2

Ko mēs vēl zinām? Mēs zinām arī kādu šīs progresijas dalībnieku, kas ir vienāds ar 768. Zem kāda skaitļa n:

b n = 768

Mēs nezinām viņa numuru, bet mūsu uzdevums ir precīzi to atrast.) Tāpēc mēs meklējam. Mēs jau esam lejupielādējuši visus nepieciešamos datus aizstāšanai formulā. Es pats to nezinu.)

Tāpēc mēs aizstājam:

768 \u003d 3,2 n -1

Mēs darām elementārus - mēs sadalām abas daļas trīs un pārrakstām vienādojumu parastajā formā: kreisajā nezināmais, labajā - pazīstamais.

Mēs iegūstam:

2 n -1 = 256

Šeit ir interesants vienādojums. Jums jāatrod "n". Kas ir neparasts? Jā, es nestrīdos. Patiesībā tas ir vienkāršākais. To sauc tāpēc, ka nezināmais (iekšā šajā gadījumā šis skaitlis n) stāv indikators grāds.

Iepazīšanās posmā ar ģeometrisko progresiju (šī ir devītā klase) eksponenciālos vienādojumus nemāca atrisināt, jā ... Šī ir tēma vidusskolai. Bet nekas briesmīgs nav. Pat ja jūs nezināt, kā šādi vienādojumi tiek atrisināti, mēs centīsimies atrast mūsu nvadoties pēc vienkāršas loģikas un veselā saprāta.

Mēs sākam spriest. Kreisajā pusē mums ir deuce zināmā mērā... Mēs vēl nezinām, kas tieši ir šī pakāpe, taču tas nav biedējoši. Bet, no otras puses, mēs stingri zinām, ka šī pakāpe ir vienāda ar 256! Tātad mēs atceramies, cik lielā mērā divi dod mums 256. Atcerieties? Jā! IN astotais grāds!

256 = 2 8

Ja jūs neatcerējāties vai ar problēmas pakāpju atzīšanu, tad arī tas ir labi: mēs vienkārši secīgi paaugstinām abus kvadrātā, kubā, ceturtajā pakāpē, piektajā utt. Faktiski atlase, bet šajā līmenī ir diezgan laba.

Vienā vai otrā veidā mēs iegūstam:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Tātad 768 ir devītais mūsu progresa biedrs. Tas ir viss, problēma ir atrisināta.)

Atbilde: 9

Kas? Garlaicīgi? Vai esat noguris no elementārām lietām? ES piekrītu. Un mani arī. Pārejam uz nākamo līmeni.)

Sarežģītāki uzdevumi.

Un tagad mēs problēmas risinām straujāk. Nav gluži super forši, taču viņiem vēl ir nedaudz jāpaveic, lai tiktu pie atbildes.

Piemēram, tas.

Atrodiet ģeometriskās progresijas otro termiņu, ja ceturtais ir -24, bet septītais - 192.

Šī ir žanra klasika. Ir zināmi daži divi dažādi progresijas dalībnieki, bet jāatrod vēl kāds dalībnieks. Turklāt visi locekļi NAV kaimiņos. Kas sākumā ir apkaunojoši, jā ...

Tāpat kā šeit, mēs apsvērsim divus veidus, kā atrisināt šādas problēmas. Pirmā metode ir universāla. Algebriskais. Darbojas nevainojami ar visiem avota datiem. Tāpēc mēs sāksim ar viņu.)

Katru terminu mēs pierakstām pēc formulas nth biedrs!

Viss ir tieši tāpat kā ar aritmētisko progresiju. Tikai šoreiz mēs strādājam cits vispārīgā formula. Tas ir viss.) Bet būtība ir viena: mēs ņemam un vienu pēc otra mēs aizstājam savus sākotnējos datus n-tā termina formulā. Katram biedram - savs.

Par ceturto locekli rakstiet:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Tur ir. Viens vienādojums ir gatavs.

Septītajam loceklim mēs rakstām:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Kopumā mēs ieguvām divus vienādojumus tā pati progresija .

Mēs no viņiem apkopojam sistēmu:

Neskatoties uz drausmīgo izskatu, sistēma ir diezgan vienkārša. Acīmredzamākais risinājums ir vienkārša aizstāšana. Mēs izsakām b 1 no augšējā vienādojuma un aizstāj ar apakšējo:

Nedaudz pielabojot zemāko vienādojumu (samazinot jaudas un dalot ar -24), mēs iegūstam:

q 3 = -8

Starp citu, jūs varat nonākt pie tā paša vienādojuma vienkāršākā veidā! Kā? Tagad es jums parādīšu vēl vienu noslēpumu, bet ļoti skaistu, spēcīgu un noderīgs veids līdzīgu sistēmu risinājumi. Tādas sistēmas, kuru vienādojumos sēž darbojas tikai.Vismaz viens. Zvanīja terminu dalīšanas metodeviens vienādojums otram.

Tātad, pirms mums ir sistēma:

Abos kreisās puses vienādojumos - sastāvsun labajā pusē ir tikai skaitlis. Tas ir ļoti laba zīme.) Ņemsim un ... sadalīsim, teiksim, apakšējo vienādojumu ar augšējo! Ko nozīmē, dalīt vienu vienādojumu ar citu? Ļoti vienkārši. Mēs ņemam kreisā puse viens vienādojums (zemāks) un sadalīt viņu uz kreisā puse cits vienādojums (augšā). Labā puse ir līdzīga: labā puse viens vienādojums sadalīt ieslēgts labā puse cits.

Viss dalīšanas process izskatās šādi:

Tagad, samazinot visu, kas tiek samazināts, mēs saņemam:

q 3 = -8

Kāpēc šī metode ir laba? Jā, faktu, ka šāda dalīšanas procesā visu slikto un neērto var droši samazināt un paliek pilnīgi nekaitīgs vienādojums! Tāpēc ir tik svarīgi, lai būtu tikai reizināšanas vismaz vienā no sistēmas vienādojumiem. Nav reizināšanas - nav ko samazināt, jā ...

Kopumā šī metode (tāpat kā daudzi citi netīkami sistēmu risināšanas veidi) pat ir pelnījusi atsevišķu nodarbību. Es noteikti to analizēšu sīkāk. Kādreiz ...

Tomēr nav svarīgi, kā jūs atrisināt sistēmu, jebkurā gadījumā tagad mums jāatrisina iegūtais vienādojums:

q 3 = -8

Nav problēmu: izvelciet sakni (kubicu), un esat pabeidzis!

Lūdzu, ņemiet vērā, ka ekstrakcijas laikā šeit nav jāievieto pluss / mīnus. Mums ir nepāra (trešās) pakāpes sakne. Un atbilde ir arī tāda pati, jā.)

Tātad ir atrasts progresijas saucējs. Mīnus divi. Lieliski! Process notiek.)

Pirmajam terminam (teiksim, no augšējā vienādojuma) mēs iegūstam:

Lieliski! Mēs zinām pirmo terminu, mēs zinām saucēju. Un tagad mums ir iespēja atrast jebkuru progresa dalībnieku. Ieskaitot otro.)

Otrajam termiņam viss ir pavisam vienkārši:

b 2 = b 1 · q \u003d 3 (-2) \u003d -6

Atbilde: -6

Tātad, mēs esam sadalījuši problēmas risināšanas algebrisko veidu. Grūti? Nav īsti, es piekrītu. Garš un garlaicīgs? Jā, absolūti. Bet dažreiz jūs varat ievērojami samazināt darba apjomu. Šim ir grafiskā veidā.Vecs, labs un mums pazīstams.)

Problēmas zīmēšana!

Jā! Tieši tā. Atkal mēs vēršam savu progresiju uz skaitļa asi. Nav nepieciešams sekot lineālam, nav nepieciešams uzturēt vienādus intervālus starp dalībniekiem (kas, starp citu, nebūs vienādi, jo progresija ir ģeometriska!), Bet vienkārši shematiski uzzīmējiet mūsu secību.

Es to saņēmu šādi:

Un tagad mēs skatāmies attēlu un domājam. Cik vienādu faktoru "q" dala ceturtais un septītais dalībnieki? Pareizi, trīs!

Tāpēc mums ir visas tiesības pierakstīt:

-24q 3 = 192

Tādējādi q tagad ir viegli meklējams:

q 3 = -8

q = -2

Tas ir lieliski, saucējs jau ir mūsu kabatā. Un tagad mēs atkal aplūkojam attēlu: cik daudz šādu saucēju sēž otrais un ceturtais dalībnieki? Divi! Tāpēc, lai reģistrētu saikni starp šiem noteikumiem, saucējs būs kvadrātā.

Tāpēc mēs rakstām:

b 2 · q 2 = -24 no kurienes b 2 = -24/ q 2

Mēs aizstājam mūsu atrasto saucēju b 2 izteiksmē, skaitām un iegūstam:

Atbilde: -6

Kā redzat, viss ir daudz vieglāk un ātrāk nekā caur sistēmu. Turklāt šeit mums nemaz nevajadzēja skaitīt pirmo terminu! Nepavisam.)

Šeit ir vienkāršs un intuitīvs apgaismojuma veids. Bet viņam ir arī nopietns trūkums. Vai esat uzminējuši? Jā! Tas darbojas tikai ļoti īsām progresijas daļām. Tie, kur attālums starp mūs interesējošajiem dalībniekiem nav ļoti liels. Bet visos citos gadījumos jau ir grūti uzzīmēt attēlu, jā ... Tad mēs problēmu risinām analītiski, izmantojot sistēmu.) Un sistēmas ir universāla lieta. Jebkurus skaitļus var apstrādāt.

Vēl viens episks izaicinājums:

Ģeometriskās progresijas otrais termins ir par 10 vairāk nekā pirmais, bet trešais - par 30 vairāk nekā otrais. Atrodiet progresijas saucēju.

Kas ir forši? Nepavisam! Viss tas pats. Mēs atkal pārtulkojam problēmas izklāstu tīrā algebrā.

1) Mēs izrakstām katru terminu pēc formulas nth biedrs!

Otrais termins: b 2 \u003d b 1 q

Trešais termins: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Mēs no problēmas paziņojuma pierakstām saikni starp dalībniekiem.

Mēs nolasījām nosacījumu: "Ģeometriskās progresijas otrais termins ir par 10 vairāk nekā pirmais." Apstājies, tas ir vērtīgi!

Tāpēc mēs rakstām:

b 2 = b 1 +10

Un mēs šo frāzi pārtulkojam tīrā matemātikā:

b 3 = b 2 +30

Ieguvām divus vienādojumus. Mēs tos apvienojam sistēmā:

Sistēma izskatās vienkārša. Bet burtiem ir daudz dažādu indeksu. Aizstāsim viņu izteiksmes otrā un trešā termina vietā ar pirmo terminu un saucēju! Vai mēs velti tos krāsojām?

Mēs iegūstam:

Bet šāda sistēma vairs nav dāvana, jā ... Kā to atrisināt? Diemžēl universāla slepenā burvestība kompleksa risināšanai nelineāra matemātikā nav sistēmu un nevar būt. Tas ir fantastiski! Bet pirmais, kas jums ienāk prātā, mēģinot iekost tik grūto uzgriezni, ir izdomāt, bet vai viens no sistēmas vienādojumiem samazinās līdz skaists skats, ļaujot, piemēram, viegli izteikt vienu no mainīgajiem caur citu?

Tātad novērtēsim. Sistēmas pirmais vienādojums ir nepārprotami vienkāršāks nekā otrais. Mēs viņu spīdzināsim.) Vai mums nevajadzētu mēģināt no pirmā vienādojuma kaut ko izteikt caur kaut ko? Tā kā mēs vēlamies atrast saucēju q, tad mums būtu visizdevīgāk izteikt b 1 pāri q.

Tāpēc mēģināsim izdarīt šo procedūru ar pirmo vienādojumu, izmantojot vecos labos:

b 1 q \u003d b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) \u003d 10

Viss! Tātad mēs izteicāmies nevajadzīga mums mainīgais (b 1) līdz nepieciešams q). Jā, viņi nesaņēma vienkāršāko izteicienu. Daļa ... Bet mūsu sistēma ir pienācīgā līmenī, jā.)

Tipiski. Mēs zinām, ko darīt.

Mēs rakstām ODZ (obligāti!) :

q ≠ 1

Mēs visu reizinām ar saucēju (q-1) un atceļam visas daļas:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Mēs visu sadalām pa desmit, atveram iekavas, savācam visu pa kreisi:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Mēs atrisinām rezultātu un iegūstam divas saknes:

q 1 = 1

q 2 = 3

Galīgā atbilde ir tikai viena: q = 3 .

Atbilde: 3

Kā redzat, veids, kā atrisināt lielāko daļu problēmu ģeometriskās progresijas n-tā termina formulai, vienmēr ir vienāds: lasīt uzmanīgi problēmas stāvoklis un ar noderīga informācija tīrā algebrā.

Proti:

1) Katru uzdevumā norādīto terminu mēs rakstām atsevišķi pēc formulasnth biedrs.

2) No problēmas stāvokļa mēs pārtulkojam saikni starp terminiem matemātiskā formā. Mēs izveidojam vienādojumu vai vienādojumu sistēmu.

3) Atrisinām iegūto vienādojumu vai vienādojumu sistēmu, atrodam nezināmos progresijas parametrus.

4) Neskaidras atbildes gadījumā mēs uzmanīgi izlasām problēmas stāvokli, meklējot papildu informāciju (ja tāda ir). Mēs arī pārbaudām saņemto atbildi ar DLO noteikumiem (ja tādi ir).

Un tagad uzskaitīsim galvenās problēmas, kas visbiežāk noved pie kļūdām ģeometriskās progresijas problēmu risināšanas procesā.

1. Elitārā aritmētika. Darbības ar daļām un negatīviem skaitļiem.

2. Ja jums ir problēmas ar vismaz vienu no šiem trim punktiem, jūs neizbēgami kļūdīsities šajā tēmā. Diemžēl ... Tāpēc neesiet slinki un atkārtojiet iepriekš minēto. Un seko saitēm - ej. Dažreiz tas palīdz.)

Pārveidotas un atkārtotas formulas.

Tagad aplūkosim pāris tipiskas eksāmena problēmas ar mazāk pazīstamu stāvokļa izklāstu. Jā, jūs to uzminējāt! to modificēts un atkārtojas n-tā termina formulas. Mēs jau esam saskārušies ar šādām formulām un strādājuši aritmētiskā progresijā. Šeit viss ir vienāds. Būtība ir tā pati.

Piemēram, šāds OGE uzdevums:

Ģeometrisko progresiju dod formula b n \u003d 3 2 n ... Atrodiet pirmā un ceturtā dalībnieka summu.

Šoreiz progresija mums nav gluži pazīstama. Kaut kādas formulas formā. Nu un kas? Šī formula - arī formulanth biedrs! Mēs visi zinām, ka n-tā termina formulu var uzrakstīt gan vispārīgā formā, ar burtiem, gan par specifiska progresēšana... NO specifiski pirmais termins un saucējs.

Mūsu gadījumā mums faktiski ir dota vienota ģeometriskās progresijas formula ar šādiem parametriem:

b 1 = 6

q = 2

Pārbaudīsim?) Uzrakstīsim n-tā termina formulu vispārīgā formā un aizstāsim to ar to b 1 un q... Mēs iegūstam:

b n = b 1 · q n -1

b n \u003d 6 2 n -1

Vienkāršojiet to, izmantojot faktorizācijas un jaudas īpašības, lai iegūtu:

b n \u003d 6 2 n -1 \u003d 3 2 2 n -1 \u003d 3 2 n -1+1 \u003d 3 2 n

Kā redzat, viss ir taisnīgi. Bet mūsu mērķis ar jums nav parādīt konkrētas formulas atvasināšanu. Tā ir liriska atkāpe. Tikai tāpēc, lai saprastu.) Mūsu mērķis ir atrisināt problēmu pēc formulas, kas mums dota stāvoklī. Noķert?) Tātad mēs tieši strādājam ar modificēto formulu.

Mēs skaitām pirmo termiņu. Aizstājējs n=1 formulā:

b 1 = 3 2 1 \u003d 3 2 \u003d 6

Kā šis. Starp citu, man nebūs slinkums, un es vēlreiz pievērsīšu jūsu uzmanību tipiskam blooperam, aprēķinot pirmo dalībnieku. NEVAJAG skatīties formulu b n \u003d 3 2 n, nekavējoties steidzieties rakstīt, ka pirmais termins ir trīskāršs! Tā ir rupja kļūda, jā ...)

Turpināsim. Aizstājējs n=4 un saskaiti ceturto terminu:

b 4 = 3 2 4 \u003d 3 16 \u003d 48

Visbeidzot, mēs aprēķinām nepieciešamo summu:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Atbilde: 54.

Vēl viena problēma.

Ģeometrisko progresēšanu nosaka nosacījumi:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Atrodiet ceturto progresijas terminu.

Šeit progresiju dod rekursīvā formula. Nu labi.) Kā strādāt ar šādu formulu - mēs arī zinām.

Tātad mēs rīkojamies. Soli pa solim.

1) Saskaitiet divus pēc kārtas progresijas biedrs.

Pirmais termiņš mums jau ir piešķirts. Mīnus septiņi. Bet nākamo, otro terminu var viegli aprēķināt, izmantojot atkārtotu formulu. Protams, ja jūs saprotat, kā tas darbojas.)

Tātad mēs saskaitām otro termiņu saskaņā ar labi zināmo pirmo:

b 2 = 3 b 1 \u003d 3 (-7) \u003d -21

2) Mēs uzskatām progresijas saucēju

Arī problēmu nav. Taisni, sadaliet otrais loceklis vispirms.

Mēs iegūstam:

q = -21/(-7) = 3

3) Mēs uzrakstām formulunth loceklis parastajā formā un apsveriet vēlamo locekli.

Tātad, mēs zinām pirmo terminu un arī saucēju. Tāpēc mēs rakstām:

b n \u003d -7 3 n -1

b 4 \u003d -7 3 3 = -7 27 \u003d -189

Atbilde: -189

Kā redzat, darbs ar šādām ģeometriskās progresijas formulām pēc būtības neatšķiras no aritmētiskās progresijas. Ir svarīgi saprast tikai šo formulu vispārējo būtību un nozīmi. Nu, jāsaprot arī ģeometriskās progresijas nozīme, jā.) Un tad nebūs stulbu kļūdu.

Nu, atrisināsim paši?)

Diezgan pamatuzdevumi iesildīšanai:

1. Tiek dota ģeometriskā progresija, kurā b 1 \u003d 243, un q \u003d -2/3. Atrodiet sesto termiņu progresijā.

2. Ģeometriskās progresijas vispārīgo terminu izsaka formula b n = 5∙2 n +1 . Atrodiet šīs progresijas pēdējā trīsciparu termina numuru.

3. Ģeometrisko progresēšanu nosaka šādi nosacījumi:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Atrodiet progresijas piekto terminu.

Nedaudz sarežģītāk:

4. Tiek dota ģeometriskā progresija:

b 1 =2048; q =-0,5

Kāds ir tā sestais negatīvais apzīmējums?

Kas šķiet super grūti? Nepavisam. Saglabās ģeometriskās progresijas loģiku un jēgas izpratni. Nu, protams, n-tā termina formula.

5. Ģeometriskās progresijas trešais termins ir -14, bet astotais - 112. Atrodiet progresijas saucēju.

6. Ģeometriskās progresijas pirmā un otrā termina summa ir 75, bet otrā un trešā termina summa ir 150. Atrodiet progresijas sesto terminu.

Atbildes (nesakārtoti): 6; -3888; -viens; 800; -32; 448. lpp.

Tas ir gandrīz viss. Atliek tikai iemācīties skaitīt ģeometriskās progresijas pirmo n terminu summa jā atklāj bezgalīgi samazinās ģeometriskā progresija un tā daudzumu. Starp citu, ļoti interesanta un neparasta lieta! Vairāk par to nākamajās nodarbībās.)

Ja katrs dabiskais skaitlis n atbilst reālam skaitlim a n tad viņi saka, ka tas ir dots skaitliskā secība :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Tātad skaitliskā secība ir dabiska argumenta funkcija.

Skaits a 1 tiek saukti secības pirmais dalībnieks , numurs a 2 — otrais termins pēc kārtas , numurs a 3 — trešais utt. Skaits a n tiek saukti n-tais loceklis secības , un dabiskais skaitlis n — viņa numurs .

No diviem kaimiņu biedriem a n un a n +1 secības dalībnieks a n +1 tiek saukti sekojošais (uz a n ), un a n — iepriekšējā (uz a n +1 ).

Lai norādītu secību, jums jānorāda metode, kas ļauj atrast secības dalībnieku ar jebkuru numuru.

Bieži secība tiek dota ar n-to terminu formulas , tas ir, formula, kas ļauj noteikt secības dalībnieku pēc tā numura.

Piemēram,

pēc formulas var norādīt pozitīvu nepāra skaitļu secību

a n= 2n -1,

un pārmaiņu secība 1 un -1 - pēc formulas

b n = (-1) n +1 . ◄

Secību var noteikt rekursīvā formula, tas ir, formula, kas izsaka jebkuru secības dalībnieku, sākot ar dažiem, izmantojot iepriekšējos (vienu vai vairākus) locekļus.

Piemēram,

ja a 1 = 1 , un a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ja a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tad pirmie septiņi skaitliskās secības dalībnieki tiek iestatīti šādi:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secības var būt galīgais un bezgalīgs .

Secību sauc galīgais ja tajā ir ierobežots dalībnieku skaits. Secību sauc bezgalīgs ja tajā ir bezgalīgi daudz biedru.

Piemēram,

divciparu dabisko skaitļu secība:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galīgais.

Sākuma secība:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

bezgalīgs. ◄

Secību sauc pieaug ja katrs tās loceklis, sākot ar otro, ir lielāks par iepriekšējo.

Secību sauc samazinās ja katrs tās loceklis, sākot ar otro, ir mazāks par iepriekšējo.

Piemēram,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - secības palielināšana;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n, . . . - lejupejoša secība. ◄

Tiek saukta secība, kuras elementi, samazinoties skaitam, nesamazinās vai, gluži pretēji, nepalielinās monotona secība .

Monotoniskās secības jo īpaši ir augšupejošas un lejupejošas secības.

Aritmētiskā progresija

Aritmētiskā progresija tiek saukta secība, kuras katrs dalībnieks, sākot ar otro, ir vienāds ar iepriekšējo, kuram tiek pievienots vienāds skaitlis.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ir aritmētiskā progresija, ja tāda ir dabiskais skaitlis n nosacījums ir izpildīts:

a n +1 = a n + d,

kur d - kāds skaitlis.

Tādējādi starpība starp nākamajiem un iepriekšējiem aritmētiskās progresijas dalībniekiem vienmēr ir nemainīga:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Skaits d tiek saukti aritmētiskās progresijas atšķirība.

Lai iestatītu aritmētisko progresiju, pietiek norādīt tā pirmo termiņu un atšķirību.

Piemēram,

ja a 1 = 3, d = 4 , tad secības pirmie pieci dalībnieki tiek atrasti šādi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmētiskai progresēšanai ar pirmo termiņu a 1 un atšķirība d viņu n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Piemēram,

atrodiet aritmētiskās progresijas trīsdesmito termiņu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tad acīmredzami

katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot ar otro, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo locekļu aritmētisko vidējo.

skaitļi a, b un c ir secīgi kādas aritmētiskās progresijas dalībnieki tikai tad, ja viens no tiem ir vienāds ar pārējo divu vidējo aritmētisko.

Piemēram,

a n = 2n- 7 , ir aritmētiskā progresija.

Izmantosim iepriekš minēto paziņojumu. Mums ir:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

Sekojoši,

◄

Pieraksti to n - aritmētiskās progresijas trešo termiņu var atrast ne tikai caur a 1 , bet arī jebkuru iepriekšējo a k

a n = a k + (n- k)d.

Piemēram,

priekš a 5 var rakstīt

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

tad acīmredzami

jebkurš aritmētiskās progresijas dalībnieks, sākot ar otro, ir vienāds ar šīs aritmētiskās progresijas dalībnieku pusi, kas ir vienādi attālināti no tās.

Turklāt attiecībā uz jebkuru aritmētisko progresu vienlīdzība ir taisnība:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Piemēram,

aritmētiskajā progresijā

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d\u003d 7 + 7 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, jo

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,

pirmais n aritmētiskās progresijas locekļi ir vienādi ar galējo terminu pussummas reizinājumu ar terminu skaitu:

No tā izriet, ka, ja nepieciešams apkopot noteikumus

a k, a k +1 , . . . , a n,

tad iepriekšējā formula saglabā savu struktūru:

Piemēram,

aritmētiskajā progresijā 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ja tiek dota aritmētiskā progresija, tad vērtības a 1 , a n, d, n unS n saista divas formulas:

Tāpēc, ja ir norādītas trīs šo lielumu vērtības, tad no šīm formulām nosaka pārējo divu lielumu atbilstošās vērtības, apvienojot divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.

Aritmētiskā progresija ir monotoniska secība. Tajā:

• ja d > 0 , tad tas palielinās;
• ja d < 0 , tad tas samazinās;
• ja d = 0 , tad secība būs nekustīga.

Ģeometriskā progresija

Ģeometriskā progresija tiek saukta secība, kuras katrs dalībnieks, sākot ar otro, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ir ģeometriska progresija, ja kādam naturālam skaitlim n nosacījums ir izpildīts:

b n +1 = b n · q,

kur q ≠ 0 - kāds skaitlis.

Tādējādi attiecīgā ģeometriskās progresijas nākamā locekļa attiecība pret iepriekšējo ir nemainīgs skaitlis:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Skaits q tiek saukti ģeometriskās progresijas saucējs.

Lai iestatītu ģeometrisko progresiju, pietiek norādīt tā pirmo terminu un saucēju.

Piemēram,

ja b 1 = 1, q = -3 , tad secības pirmie pieci dalībnieki tiek atrasti šādi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 un saucējs q viņu n Trešo terminu var atrast pēc formulas:

b n = b 1 · q n -1 .

Piemēram,

atrodiet ģeometriskās progresijas septīto terminu 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tad acīmredzami

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

katrs ģeometriskās progresijas loceklis, sākot ar otro, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo locekļu ģeometrisko vidējo (proporcionālo).

Tā kā pretējais apgalvojums ir patiess, ir spēkā šāds apgalvojums:

skaitļi a, b un c ir secīgi kādas ģeometriskās progresijas dalībnieki tikai tad, ja viena no tām kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu reizinājumu, tas ir, viens no skaitļiem ir pārējo divu ģeometriskais vidējais.

Piemēram,

pierādīsim, ka pēc formulas dotā secība b n \u003d -3 2 n , ir eksponenciāla progresija. Izmantosim iepriekš minēto paziņojumu. Mums ir:

b n \u003d -3 2 n,

b n -1 \u003d -3 2 n -1 ,

b n +1 \u003d -3 2 n +1 .

Sekojoši,

b n 2 \u003d (-3 2 n) 2 \u003d (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kas pierāda nepieciešamo paziņojumu. ◄

Pieraksti to n ģeometriskās progresijas trešo termiņu var atrast ne tikai caur b 1 , bet arī jebkuru iepriekšējo terminu b k , kurai pietiek izmantot formulu

b n = b k · q n - k.

Piemēram,

priekš b 5 var rakstīt

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tad acīmredzami

b n 2 = b n - k· b n + k

jebkura ģeometriskās progresijas dalībnieka kvadrāts, sākot no otrā, ir vienāds ar šīs progresijas dalībnieku reizinājumu, kas atrodas vienādā attālumā no tā.

Turklāt jebkurai ģeometriskai progresijai ir taisnība:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Piemēram,

eksponenciāli

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jo

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pirmais n ģeometriskās progresijas dalībnieki ar saucēju q ≠ 0 aprēķina pēc formulas:

Un tad, kad q = 1 - pēc formulas

S n= nb 1

Ņemiet vērā, ka, ja jums ir nepieciešams apkopot noteikumus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tad tiek izmantota formula:

Piemēram,

eksponenciāli 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ja tiek dota ģeometriskā progresija, tad vērtības b 1 , b n, q, n un S n saista divas formulas:

Tādēļ, ja ir norādītas jebkura no šiem lielumiem trīs vērtības, tad no šīm formulām nosaka pārējo divu lielumu atbilstošās vērtības, apvienojot divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.

Ģeometriskai progresijai ar pirmo termiņu b 1 un saucējs q sekojošais monotoniskuma īpašības :

• progresēšana ir augšupejoša, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

b 1 > 0 un q> 1;

b 1 < 0 un 0 < q< 1;

• progresēšana samazinās, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

b 1 > 0 un 0 < q< 1;

b 1 < 0 un q> 1.

Ja q< 0 , tad ģeometriskā progresija mainās: tās nepāra skaitļa locekļiem ir tāda pati zīme kā pirmajam terminam, un pāra skaitļiem ir pretēja zīme. Ir skaidrs, ka mainīga ģeometriskā progresija nav vienmuļa.

Pirmā darbs n ģeometriskās progresijas dalībniekus var aprēķināt pēc formulas:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Piemēram,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās

Ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās sauc par bezgalīgu ģeometrisko progresiju, kuras saucēja modulis ir mazāks 1 , t.i.

|q| < 1 .

Ņemiet vērā, ka ģeometriskā progresija bezgalīgi samazinās, iespējams, nav secība, kas samazinās. Tas ir piemērots gadījumam

1 < q< 0 .

Ar šādu saucēju secība mainās. Piemēram,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Bezgalīgi samazināšanās ģeometriskās progresijas summa ir skaitlis, kuram ir pirmā summa n progresijas dalībnieki ar neierobežotu skaita pieaugumu n ... Šis skaitlis vienmēr ir ierobežots, un to izsaka formula

Piemēram,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Attiecība starp aritmētisko un ģeometrisko progresiju

Aritmētiskās un ģeometriskās progresijas ir cieši saistītas. Apskatīsim tikai divus piemērus.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d pēc tam

ba 1 , ba 2 , ba 3 , . . . b d .

Piemēram,

1, 3, 5, . . . - aritmētiskā progresija ar atšķirību 2 un

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju q pēc tam

{!LANG-fc00933498e69fd46cc9dd50b54d0e5b!}, {!LANG-6aa5f7910dab399f2a086d6e86dbb679!}, {!LANG-46aa94bfa2de2dfdb71c6e1d1e5bfb0c!}, . . . {!LANG-6e2c6841f21a3d8eac6bf6b5773ee5c0!} {!LANG-047b04c1bf83eb5c652d0fa63c8696eb!}q .

Piemēram,

2, 12, 72, . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju 6 un

{!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 2, {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 12, {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 72, . . . {!LANG-6e2c6841f21a3d8eac6bf6b5773ee5c0!} {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 6 . ◄

{!LANG-cffcda0c311aa552e6806445be6135cc!}

7 28 112 448 1792...

{!LANG-481b8496caa7f30f52f2e2fbf9a8ba63!} {!LANG-6deaac5807689551b2937efa5d27d61b!}{!LANG-7f15752e12fc45e8a2be65169f016088!}

{!LANG-10217d1124e59ebe988c706d00d117d7!} {!LANG-8f73ab6d3d4c8458a9061e4f250864dc!}{!LANG-3722deeb98ab5dfe1a49e3b8cca08c83!}

{!LANG-7075c7bf1f06764356b178d97f6bbfce!}

{!LANG-d716cad1bd8ae8bb6e876b1ae6c0d8d2!}

{!LANG-ed7994597fd6fc8edde883424e7c74d8!}

0.25 0.125 0.0625...

{!LANG-7d9a2adee1d5c4fc1f9306e906599036!}

{!LANG-9a965ecc1960e7f27f6ee3faf322a597!}

{!LANG-412ff8f1e839a1aa9f256920ff73a8c5!}

{!LANG-e3c539bcbc73d3c48f09483928f358f0!}

{!LANG-ddca0e5cbd234d8e4e4fc8042db8d7bb!}

{!LANG-3ca77a38a5343f4f0956a3783db62ea6!}

• {!LANG-37ec1ef5787dc8e5f1cdd12a56d450cf!} {!LANG-6c2ccdd8d87b44aacd6ffb9d4fc02974!}{!LANG-6f7981757ae6c114a2eadcae0af07931!}

{!LANG-3c83f5619056952071e2206e2467e219!}

{!LANG-37671a8c1398df45f347fde6a09d3bfa!}

3 6 12 24 48 ...

• {!LANG-3f5da9af05f6e648233a72af51367f65!}

{!LANG-fc60eaf25d27b34abe0537cd7669cf66!}

{!LANG-bbefaa0b62064817164c7121c332b88e!}

{!LANG-f387ed5b9a488727ed608c3d57c1fdc1!}

• {!LANG-00f3f489fcdf3834689ee880d34a5c97!}<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

{!LANG-4401b56e3f1e1203bad99bfe7b541405!}

{!LANG-1191749c5e92a608b62391fc8a86e779!}

3, 6, -12, 24,...

{!LANG-3ef65574ab25af97475ac15f09d6b1aa!}

{!LANG-99adb7eb4ee2e62f0f7732c25d9afdcc!}

• {!LANG-fd3e1824e0e94bdd675f301a638e9a20!}

{!LANG-5ec6441f19641481330293f2e06510df!}q = 3, a 1 {!LANG-ac1aa5f1388df1a815db5600454abb32!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• {!LANG-845ed5bd59d4d1999fb138a1173320ab!} {!LANG-a8a78d0ff555c931f045b6f448129846!}{!LANG-06a24a92b0a649648c1805326b3cf595!}{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!}{!LANG-55c58b851d68170e7a73485e787c5427!}

{!LANG-d769d22497b7c8814cc0bc647be7aedd!}q{!LANG-72fcaebe722208ddc3378c9fe4fe5638!}{!LANG-007e15196ac62d7ca62eb5787ad35442!}

{!LANG-3374148f87d09b01047df82ef943343e!}

{!LANG-4e6da125c073587999551a5a42ab0fed!}a 1 = 2, q{!LANG-7f70bc3022541fe179f71417a5399e6d!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}S 5 = {!LANG-cca07a772e962ff5986606060053596a!}

• {!LANG-52063c71fdc792534d02577c9e2a2c3c!}q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

{!LANG-5ec6441f19641481330293f2e06510df!}a 1 = 2 , q{!LANG-784847de9c62e711d21bb767aae45501!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}{!LANG-69afc6cb9026ec6aa57b71bab9570b44!} = 2 · = 4

{!LANG-69afc6cb9026ec6aa57b71bab9570b44!} = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

{!LANG-5f2ca800ba6b537fbe8526ad73030461!}

• {!LANG-da85f5b4ce5791200e97b906eb2002f2!} {!LANG-40b87857942f60921457a45b7afd29da!}{!LANG-a8a78d0ff555c931f045b6f448129846!}{!LANG-cb69335578f79699708cb771fc6da3ad!}

{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} 2 = {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} -1 · a{!LANG-bb9440f49d0401a99a70b88da07cf1a4!}

• {!LANG-80f39dabe0054e5a98cd957e45a5512a!}

{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} 2 = {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} - {!LANG-3f7461e9ed4496b383661b9f70dd4444!} 2 + {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} + {!LANG-3f7461e9ed4496b383661b9f70dd4444!} 2 {!LANG-f8fdd81c1d81023043821f2eadef85d9!}{!LANG-b7269fa2508548e4032c455818f1e321!}{!LANG-fadfc30db394bc481121219df53ddc37!}

• {!LANG-282db5f9b913e48b23a41170cf30b20a!}{!LANG-80a3c0e3f9acc87b72a2dd4b43879b0c!}{!LANG-9f1c51d6f486ee7abc5af62fa7781df0!}
• {!LANG-f73e47264ebbf8d3b6a1abb09fa4f725!}

{!LANG-d4073f6aec5bf4a4b44e0d0ba0d798f2!}

{!LANG-3c236457651ad070f5f04ec49cbcea93!}

• {!LANG-7216a0befb11f0385fe45ff39ed3510a!}a 1 = 3, a 3 {!LANG-904aacbc0f11aa84c57b59f850ecb82d!}q.

{!LANG-0e181a8d54db7fddd1dec93390c61120!}q {!LANG-9f1c51d6f486ee7abc5af62fa7781df0!}{!LANG-dd7559069e9cb9662a22245015ef3821!}

{!LANG-8ddecfd2fbc0ea52a1d6a6e4755fbfe5!}a 3 = q 2 · a 1

{!LANG-f3daeded6c755b019b9d257f5a4ae13b!}q= 4

• {!LANG-7216a0befb11f0385fe45ff39ed3510a!}a 2 = 6, a 3 {!LANG-4a67a53e26077be51538073e417213b1!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}{!LANG-cd802df81cca8a4303f289a71fdc67ed!}

a 3 = q· a 2 {!LANG-89d6bf92c93d1a6b8e734ec49c8e9889!}q= 2

{!LANG-174bfe3e597eab51a4aadb15e7d25d59!} {!LANG-ebbdb215f8e259a2a8a7b51253a990ff!}{!LANG-1c718e67101bf3dd553a97e7a6485e7b!} {!LANG-e15ace769f01e47f026598fdffe8aa54!} 3

{!LANG-d383929826c1e408f894bd4d19fca961!} 189

• · a 1 = 10, q{!LANG-9851edfd10464035a03226d7700b25bc!}

{!LANG-a997983a33328729432b41d6b2c15aa2!}

{!LANG-1195b392491382ece2a016bdd93d4c42!}· {!LANG-bc1c164524c1bc9fbca7401ee9a1c779!}

{!LANG-5c181b513fbec3616f5ccb02ba21a569!}

• {!LANG-7c5c40fd534b3fe714135468ca6d7cb4!}

{!LANG-ad82174c317fd128b89e41235fbcb9fc!} · {!LANG-a86f77d975fa821d86eb23e3a5efed0a!}

{!LANG-a0ddc7903b7bbf6275763fb1b19096b7!}

{!LANG-9ce279ebc43301d49364fb674f0c4c52!}

{!LANG-0adf4b7dc6b8346c5ab590e623f1eb09!}

{!LANG-a62bd989390c0db1cfb1389d2e10e649!}

{!LANG-2e75ab906c5866f94f32dab18b43fdb8!}

{!LANG-e10f84030ffdae7f643cbdde2d8e537e!}

a 1 = 4, q{!LANG-7aef3ce2d035bbc9cd5384019475cd99!}{!LANG-d6d0c3c5e55432fb51d45a32290ad64b!}.

{!LANG-150718385f213e9af6c857103b73f143!}

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 {!LANG-64967a03b8eada5f01ed2d24c465a7cd!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-2d6162c5b1553c24ac0a50b5f64d55da!}a 1 {!LANG-8f65f6374db82d679f37b7b1cd196457!}q.

a 2 · q = a 3

q = 3

{!LANG-c60d9a4242520fb7e8c1ea02c46fb058!}a 1 {!LANG-8d40a83e255151cbcaa26690b097a988!}a 2 unq.

a 1 · q = a 2

{!LANG-e15ace769f01e47f026598fdffe8aa54!}2

S 6 = 728.

Ģeometriskā progresija{!LANG-6ec8ee9d39900716a2ccdceffca0bc4f!} ģeometriskās progresijas saucējs{!LANG-ed5afbb7ff9605be955a4724b369f5ab!}

{!LANG-33960729bc8343b834b1ba9c3d81947d!}

{!LANG-5386ed5f29dd780a4da8ea5093e3c3f9!}{!LANG-de308c7727a8a7c49954e7789d1a345c!}

{!LANG-69063e43c7ce08c8dd9cdb07aff49e39!}{!LANG-bcdfe4623ed1c18409d39ccd2b496879!}

{!LANG-92868e09e3d1ecf5a9180b66174b0001!}

{!LANG-3d786a17e5de8108fdaa76e364f0efe9!}

{!LANG-1adb128022f59b9e31429cd398946ed5!}

{!LANG-f9dd748672b85c9fdd8d94cfb7fc7c16!}

{!LANG-e501565401cebaa7bd7f57993210d4c9!}

{!LANG-7a21d336448d8569c6c810e7d7afe310!}

{!LANG-c6f9f89d20d7cb0a6c65cdee865d2076!}

{!LANG-ecd8d18d9bb981e38b4fbbaa665ce826!}

{!LANG-0021df6e18f0ebbf8d14e48cf4f704f2!}

{!LANG-df7ccd9e0450c49bf10bceeda23af3a3!}

{!LANG-15513d8c44546ec0519da7cb63e820bc!} {!LANG-94aa16b946ef2e1f5100728c4a21cce0!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-59da731b184875282d2f8806904fbff7!}

{!LANG-4bc7aaf4ceaeeceb3345c9156e179623!}

{!LANG-26cea3e28126c547b9f4c612ec10709e!}

{!LANG-530d71ee2ba2888c3cab207a6052f743!}

{!LANG-4e978f4feb6ba01fc66c3e845da15ada!}

{!LANG-3ace4a9b3a36c4e9dcca97aec0698a4d!}

{!LANG-a3d399a4c69bfe37341549706f8ad0f6!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-95ab0e652f589aa7b751622570a236b5!}

{!LANG-401650e9583f2b89ade25d666dcf1cdf!}

{!LANG-3136369c0ef81a35128a11da08270b90!}

{!LANG-5eba02cb8b1c3fc7b6b4564baf67b20c!}