Ievietots mūsu vietnē. Skaitļa sakne tiek bieži izmantota dažādi aprēķini, un mūsu kalkulators ir lielisks rīks šādiem matemātiskiem aprēķiniem.

Tiešsaistes kalkulators ar saknēm ļaus ātri un ērti veikt visus aprēķinus, kas saistīti ar saknes iegūšanu. Trešās pakāpes sakni ir tikpat viegli aprēķināt kā kvadrātsakne skaitļa, saknes negatīvs skaitlis, kompleksa skaitļa sakne, pi sakne utt.

Skaitļa saknes aprēķināšana ir iespējama manuāli. Ja ir iespējams aprēķināt visu skaitļa sakni, tad, izmantojot saknes tabulu, mēs vienkārši atrodam radikālās izteiksmes vērtību. Citos gadījumos aptuvenais sakņu aprēķins tiek samazināts līdz radikālās izteiksmes paplašināšanai vienkāršāku faktoru reizinājumā, kas ir pilnvaras, un tos var noņemt saknes zīmei, cik vien iespējams vienkāršojot izteiksmi zem saknes.

Bet nelietojiet šādu saknes risinājumu. Un tāpēc. Pirmkārt, jums būs jāpavada daudz laika šādiem aprēķiniem. Skaitļi saknes, pareizāk sakot, izteicieni var būt diezgan sarežģīti, un pakāpe nav obligāti kvadrātiska vai kubiska. Otrkārt, šādu aprēķinu precizitāte ne vienmēr tiek apmierināta. Treškārt, ir tiešsaistes sakņu kalkulators, kas dažu sekunžu laikā veiks jebkuru sakņu ieguvi jūsu vietā.

Saknes izvilkšana no skaitļa nozīmē tāda skaitļa atrašanu, kurš, paaugstināts līdz n jaudai, būs vienāds ar radikālās izteiksmes vērtību, kur n ir saknes spēks, un pats skaitlis ir saknes sakne . 2. pakāpes sakni sauc par vienkāršu vai kvadrātu, bet trešās pakāpes sakni - par kubisku, abos gadījumos izlaižot pakāpes norādi.

Sakņu risināšana tiešsaistes kalkulators tiek samazināts tikai līdz matemātiskas izteiksmes ierakstīšanai ievades rindā. Ekstrakcija no saknes kalkulatorā tiek dēvēta par sqrt un tiek veikta, izmantojot trīs taustiņus - kvadrātsaknes sqrt (x) ekstrakcija, kubiskās saknes sqrt3 (x) ekstrakcija un sqrt (x, y n-tās saknes ekstrakcija) ). Sīkāka informācija par vadības paneli ir sniegta lapā.

Kvadrātveida saknes ekstrakcija

Noklikšķinot uz šīs pogas, ievades rindiņā tiks ievietots kvadrātsaknes ekstrakcijas ieraksts: sqrt (x), jums jāievada tikai radikālā izteiksme un jāaizver iekavas.

Risinājuma piemērs kvadrātveida saknes kalkulatorā:

Ja zem saknes ir negatīvs skaitlis un saknes pakāpe ir vienmērīga, tad atbilde tiks pasniegta kā komplekss skaitlis ar iedomātu vienību i.

Negatīvā skaitļa kvadrātsakne:

Trešā sakne

Izmantojiet šo taustiņu, kad nepieciešams izvilkt kuba sakni. Tas ievades rindā ievieto sqrt3 (x).

Sakne 3 grādi:

N pakāpes sakne

Dabiski, ka tiešsaistes sakņu kalkulators ļauj iegūt ne tikai skaitļa kvadrātu un kubu saknes, bet arī jaudas n sakni. Nospiežot šo pogu, tiks parādīts formas sqrt (x x, y) ieraksts.

Sakne 4 grādi:

Precīzu skaitļa n-to sakni var iegūt tikai tad, ja pats skaitlis ir precīza n-tās saknes vērtība. Pretējā gadījumā aprēķins izrādīsies aptuvens, lai arī ļoti tuvu ideālajam, jo \u200b\u200btiešsaistes kalkulatora aprēķinu precizitāte sasniedz 14 zīmes aiz komata.

5. sakne ar aptuvenu rezultātu:

Frakcijas sakne

Kalkulators var aprēķināt sakni no dažādiem skaitļiem un izteicieniem. Frakcijas saknes atrašana tiek samazināta līdz saknes iegūšanai no skaitītāja un saucēja atsevišķi.

Frakcijas kvadrātsakne:

Sakne no saknes

Gadījumos, kad izteiksmes sakne atrodas zem saknes, saskaņā ar sakņu īpašību tos var aizstāt ar vienu sakni, kuras pakāpe būs vienāda ar abu grādu reizinājumu. Vienkārši sakot, lai iegūtu sakni no saknes, pietiek ar sakņu rādītāju pavairošanu. Attēlā parādītajā piemērā otrās pakāpes saknes trešās pakāpes izteiksmes sakni var aizstāt ar vienu 6. pakāpes sakni. Norādiet izteiksmi, kā vēlaties. Kalkulators tik un tā visu pareizi aprēķinās.

Piemērs, kā iegūt sakni no saknes:

Saknes pakāpe

Saknes pakāpes kalkulators ļauj aprēķināt vienā solī, vispirms nesamazinot saknes un pakāpes rādītājus.

Kvadrāts spēka sakne:

Visas mūsu bezmaksas kalkulatora funkcijas ir apkopotas vienā sadaļā.

Sakņu risināšana tiešsaistes kalkulatorā pēdējoreiz modificēts: 2016. gada 3. martā Administrators

Ir pienācis laiks izjaukt sakņu ekstrakcijas metodes... Tie ir balstīti uz sakņu īpašībām, jo \u200b\u200bīpaši uz vienlīdzību, kas ir derīga jebkuram nenegatīvam skaitlim b.

Zemāk mēs apskatīsim galvenās sakņu ekstrakcijas metodes pēc kārtas.

Sāksim ar vienkāršāko gadījumu - sakņu iegūšana no dabīgiem skaitļiem, izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Ja kvadrātu, kubu utt. nav pie rokas, tad ir loģiski izmantot saknes iegūšanas metodi, kas ietver radikālā skaitļa sadalīšanu galvenajos faktoros.

Atsevišķi ir vērts pakavēties pie tā, kas ir iespējams saknēm ar nepāra rādītājiem.

Visbeidzot, apsveriet veidu, kā secīgi atrast saknes vērtības ciparus.

Sāksim.

Izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Vienkāršākos gadījumos sakņu iegūšanai varat izmantot kvadrātu, kubu uc tabulas. Kādas ir šīs tabulas?

Veselu skaitļu kvadrātu tabula no 0 līdz 99 ieskaitot (parādīta zemāk) sastāv no divām zonām. Pirmais tabulas apgabals atrodas uz pelēka fona, tas ļauj jums izveidot skaitli no 0 līdz 99, atlasot konkrētu rindu un konkrētu kolonnu. Piemēram, atlasīsim 8 desmitu rindu un 3 kolonnu, ar to mēs fiksējām skaitli 83. Otrā zona aizņem pārējo tabulu. Katra tā šūna atrodas noteiktas rindas un noteiktas kolonnas krustojumā, un tajā ir attiecīgā skaitļa kvadrāts no 0 līdz 99. Mūsu izvēlētās 8 desmitu rindas un 3. kolonnas krustojumā ir šūna ar numuru 6 889, kas ir 83 kvadrāts.

Kubu tabulas, skaitļu ceturtās jaudas tabulas no 0 līdz 99 un tā tālāk ir līdzīgas kvadrātu tabulai, tikai tās satur kubus, ceturtās pakāpes utt. atbilstošie skaitļi.

Kvadrātu, kubu, ceturto grādu u.c. tabulas. ļauj jums iegūt kvadrātveida saknes, kubu saknes, ceturtās saknes utt. attiecīgi no skaitļiem šajās tabulās. Paskaidrosim to piemērošanas principu, iegūstot saknes.

Pieņemsim, ka mums jānoņem skaitļa a n-tā sakne, savukārt skaitlis a ir n-tajā jaudas tabulā. No šīs tabulas atrodam tādu skaitli b, ka a \u003d b n. Tad , tāpēc skaitlis b būs vēlamā n-tā sakne.

Kā piemēru mēs parādīsim, kā, izmantojot kubu tabulu, tiek iegūta 19 683 kubu sakne. Kubu tabulā atrodam skaitli 19 683, no kura mēs secinām, ka šis skaitlis ir skaitļa 27 kubs, tāpēc .

Ir skaidrs, ka n-tās jaudas tabulas ir ļoti ērtas sakņu iegūšanai. Tomēr tie bieži nav pie rokas, un to sastādīšana prasa noteiktu laiku. Turklāt bieži vien ir nepieciešams iegūt saknes no skaitļiem, kas nav ietverti attiecīgajās tabulās. Šādos gadījumos jums ir jāizmanto citas sakņu ekstrakcijas metodes.

Radikāla skaitļa galvenā faktorizācija

Diezgan ērts veids, kā iegūt sakni no dabiskā skaitļa (ja, protams, tiek iegūta sakne), ir radikālā skaitļa paplašināšanās galvenajos faktoros. Viņa būtība ir šāda: pēc tam, kad to ir pietiekami viegli attēlot spēka formā ar vēlamo eksponentu, kas ļauj iegūt saknes vērtību. Ļaujiet mums izskaidrot šo punktu.

Ļaujiet n-to sakni iegūt no dabiskā skaitļa a, un tā vērtība ir vienāda ar b. Šajā gadījumā taisnība ir vienādība a \u003d b n. Skaitli b kā jebkuru dabisku skaitli var attēlot kā visu tā galveno faktoru p 1, p 2, ..., pm reizinājumu p 1 p 2 ... pm formā, un radikālo skaitli a šajā lieta tiek attēlota kā (p 1 p 2 ·… pm) n. Tā kā skaitļa sadalīšana galvenajos faktoros ir unikāla, radikālā skaitļa a sadalīšana pamatfaktoros būs formā (p 1 · p 2 ·… · pm) n, kas ļauj aprēķināt saknes vērtību kā.

Ņemiet vērā, ka, ja radikāla skaitļa a faktorizāciju nevar attēlot formā (p 1 · p 2 ·… · p m) n, tad šāda skaitļa a n-tā sakne nav pilnībā izvilkta.

Risināsim to, risinot piemērus.

Piemērs.

Ņem kvadrātsakni 144.

Lēmums.

Ja mēs vēršamies pie iepriekšējā rindkopā norādītās kvadrātu tabulas, ir skaidri redzams, ka 144 \u003d 12 2, no kurienes ir skaidrs, ka 144 kvadrātsakne ir 12.

Bet, ņemot vērā šo punktu, mēs esam ieinteresēti, kā sakni iegūst, sadalot radikālo skaitli 144 galvenajos faktoros. Analizēsim šo risinājumu.

Izvērst 144 pēc galvenajiem faktoriem:

Tas ir, 144 \u003d 2 2 2 2 3 3. Pamatojoties uz iegūto sadalīšanos, var veikt šādas transformācijas: 144 \u003d 2 2 2 2 3 3 \u003d (2 2) 2 3 2 \u003d (2 2 3) 2 \u003d 12 2... Sekojoši, .

Izmantojot sakņu pakāpes un īpašības, risinājumu varētu formulēt nedaudz savādāk:

Atbilde:

Lai konsolidētu materiālu, apsveriet vēl divu piemēru risinājumus.

Piemērs.

Aprēķiniet saknes vērtību.

Lēmums.

Radikālā skaitļa 243 galvenā koeficienta koeficients ir 243 \u003d 3 5. Tādējādi .

Atbilde:

Piemērs.

Vai saknes vērtība ir vesels skaitlis?

Lēmums.

Lai atbildētu uz šo jautājumu, sadalīsim radikālo skaitli galvenajos faktoros un redzēsim, vai to var attēlot kā vesela skaitļa kubu.

Mums ir 285 768 \u003d 2 3 3 6 7 2. Rezultātā sadalīšanās nav attēlota kā vesels skaitlis kubs, jo pakāpe galvenais faktors 7 nav triju reizinātājs. Tāpēc skaitļa 285 768 kuba sakne nav pilnībā izvilkta.

Atbilde:

Nē.

Sakņu iegūšana no daļskaitļiem

Ir pienācis laiks izdomāt, kā tiek iegūta sakne daļskaitlis... Ļaujiet daļējo radikāļu skaitli uzrakstīt kā p / q. Saskaņā ar koeficienta saknes īpašību taisnība ir šāda. Šī vienlīdzība nozīmē frakcionētas saknes likums: frakcijas sakne ir vienāda ar skaitītāja saknes dalīšanas koeficientu ar saucēja sakni.

Apskatīsim saknes ekstrakcijas piemēru no frakcijas.

Piemērs.

Kas ir kvadrātsakne kopējā frakcija 25/169 .

Lēmums.

No kvadrātu tabulas mēs konstatējam, ka sākotnējās daļas skaitītāja kvadrātsakne ir 5, un saucēja kvadrātsakne ir 13. Tad ... Tas pabeidz saknes ekstrakciju no parastās frakcijas 25/169.

Atbilde:

Decimāldaļu vai jauktu skaitļu sakne tiek ekstrahēta pēc radikālo skaitļu aizstāšanas ar parastajām daļām.

Piemērs.

Izņemiet kuba sakni ar decimāldaļu 474.552.

Lēmums.

Iedomājieties oriģinālu aiz komata kā parasta daļa: 474,552 \u003d 474552/1000. Tad ... Atliek ekstrahēt kuba saknes, kas atrodas iegūtās frakcijas skaitītājā un saucējā. Tā kā 474 552 \u003d 2 2 2 3 3 3 3 13 13 13 \u003d (2 3 13) 3 \u003d 78 3 un 1000 \u003d 103, tad un ... Atliek tikai pabeigt aprēķinus .

Atbilde:

.

Negatīvā skaitļa saknes iegūšana

Atsevišķi ir vērts pakavēties pie sakņu iegūšanas no negatīviem skaitļiem. Pētot saknes, mēs teicām, ka tad, ja saknes eksponents ir nepāra skaitlis, tad zem saknes zīmes var būt negatīvs skaitlis. Šiem ierakstiem esam piešķīruši šādu nozīmi: negatīvam skaitlim −a un nepāra saknes 2n - 1 eksponentam, ... Šī vienlīdzība dod noteikums nepāra sakņu iegūšanai no negatīviem skaitļiem: lai iegūtu negatīvā skaitļa sakni, jums jāizņem pretējā pozitīvā skaitļa sakne un rezultāta priekšā jāievieto mīnus zīme.

Apsvērsim piemēra risinājumu.

Piemērs.

Atrodiet saknes vērtību.

Lēmums.

Mēs pārveidojam sākotnējo izteicienu tā, lai zem saknes zīmes tas parādās pozitīvs skaitlis: ... Tagad jaukts skaitlis aizstāt ar parasto daļu: ... Mēs izmantojam likumu par saknes iegūšanu no parastās frakcijas: ... Atliek aprēķināt saknes iegūtās daļas skaitītājā un saucējā: .

Šeit ir īss risinājuma ieraksts: .

Atbilde:

.

Saknes vērtības atrašana pakāpeniski

IN vispārējs gadījums zem saknes ir skaitlis, kuru, izmantojot iepriekš apspriestos paņēmienus, nevar attēlot kā skaitļa n-to spēku. Bet šajā gadījumā ir jāzina dotās saknes vērtība, vismaz ar precizitāti līdz noteiktai zīmei. Šajā gadījumā, lai iegūtu sakni, varat izmantot algoritmu, kas ļauj secīgi iegūt pietiekami vajadzīgā skaitļa ciparu vērtības.

Šī algoritma pirmajā solī jums jānoskaidro, kas ir vissvarīgākais saknes vērtības bits. Šim nolūkam skaitļi 0, 10, 100, ... tiek pakāpeniski palielināti līdz jaudai n līdz brīdim, kad tiek saņemts skaitlis, kas pārsniedz radikālo skaitli. Tad skaitlis, kuru iepriekšējā solī paaugstinājām līdz jaudai n, norādīs atbilstošo nozīmīgāko bitu.

Piemēram, ņemiet vērā šo algoritma soli, iegūstot kvadrātsakni no piecām. Mēs ņemam skaitļus 0, 10, 100, ... un kvadrātveida tos, līdz iegūstam skaitli, kas lielāks par 5. Mums ir 0 2 \u003d 0<5 , 10 2 =100>5, kas nozīmē, ka visnozīmīgākais bits būs tie, kas ir biti. Šī bita, kā arī zemākā vērtība tiks atrasta nākamajās sakņu ekstrakcijas algoritma darbībās.

Visas nākamās algoritma darbības ir vērstas uz saknes vērtības secīgu precizēšanu, jo tiek atrastas vēlamās saknes vērtības nākamo ciparu vērtības, sākot ar nozīmīgākajām un virzoties uz vismazāk nozīmīgajām. Piemēram, saknes vērtība pirmajā solī ir 2, otrajā - 2,2, trešajā - 2,23 un tā tālāk 2.236067977…. Aprakstīsim, kā tiek atrasti cipari.

Ciparu atrašana tiek veikta, uzskaitot to iespējamās vērtības 0, 1, 2,…, 9. Šajā gadījumā atbilstošo skaitļu n-tā jauda tiek aprēķināta paralēli, un tos salīdzina ar radikālo skaitli. Ja kādā posmā pakāpes vērtība pārsniedz radikālo skaitli, tiek uzskatīts, ka cipara vērtība, kas atbilst iepriekšējai vērtībai, ir atrasta un tiek veikta pāreja uz nākamo saknes ekstrakcijas algoritma soli, ja tas nenotiek, tad šī cipara vērtība ir 9.

Paskaidrosim šos punktus ar to pašu piemēru, kā iegūt kvadrātsakni no piecām.

Pirmkārt, mēs atrodam ciparu vērtību. Mēs atkārtosim vērtības 0, 1, 2,…, 9, aprēķinot attiecīgi 0, 2, 1, 2, ..., līdz iegūstam vērtību, kas lielāka par saknes skaitli 5. Visi šie aprēķini ir ērti parādīti tabulas veidā:

Tātad ciparu vērtība ir 2 (kopš 2 2<5 , а 2 3 >pieci). Mēs nododam desmitās vietas vērtības atrašanai. Šajā gadījumā mēs kvadrātveida skaitļus 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, salīdzinot iegūtās vērtības ar radikālo skaitli 5:

Kopš 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, tad decimāldaļas vērtība ir 2. Varat atrast simtdaļas cipara vērtību:

Tātad atrasts nākamā vērtība sakne no pieciem, tā ir vienāda ar 2,23. Tātad jūs varat turpināt atrast vērtības tālāk: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim saknes ekstrakciju ar simtdaļu precizitāti, izmantojot aplūkoto algoritmu.

Pirmkārt, mēs nosakām visnozīmīgāko bitu. Lai to izdarītu, mēs kubicējam skaitļus 0, 10, 100 utt. līdz iegūstam skaitli, kas lielāks par 2 151 186. Mums ir 0 3 \u003d 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, tādējādi visnozīmīgākais cipars ir desmitciparu skaitlis.

Definēsim tā nozīmi.

Kopš 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, tad desmito ciparu vērtība ir 1. Pārejam pie vienībām.

Tādējādi vienas vietas vērtība ir 2. Pārejot uz desmitdaļām.

Tā kā pat 12,9 3 ir mazāks par radikālo skaitli 2 151,186, desmitās vietas vērtība ir 9. Atliek veikt algoritma pēdējo soli, tas mums dos saknes vērtību ar nepieciešamo precizitāti.

Šajā posmā saknes vērtība tiek atrasta ar simtdaļu precizitāti: .

Noslēdzot šo rakstu, es gribētu teikt, ka ir daudz citu veidu, kā iegūt saknes. Bet lielākajai daļai uzdevumu pietiek ar tiem, kurus mēs iepriekš pētījām.

Atsauces saraksts.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8. klasei. izglītības iestādes.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata izglītības iestāžu 10. - 11. klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (ceļvedis tehnikumu reflektantiem).

Inženierzinātņu kalkulators tiešsaistē

Mēs steidzamies visiem pasniegt bezmaksas inženierzinātņu kalkulatoru. Ar tās palīdzību jebkurš students var ātri un, pats galvenais, viegli tiešsaistē veikt dažāda veida matemātiskos aprēķinus.

Vienkāršs un viegli lietojams inženierkalkulators ar neuzkrītošu un saprotamu saskarni patiešām noderēs visplašākajam interneta lietotāju lokam. Kad jums ir nepieciešams kalkulators, apmeklējiet mūsu vietni un izmantojiet bezmaksas inženierijas kalkulatoru.

Inženierzinātņu kalkulators spēj veikt gan vienkāršas aritmētiskās darbības, gan diezgan sarežģītus matemātiskus aprēķinus.

Web20calc ir inženierzinātņu kalkulators, kuram ir ļoti daudz funkciju, piemēram, kā aprēķināt visas pamatfunkcijas. Kalkulators atbalsta arī trigonometriskās funkcijas, matricas, logaritmus un pat grafikus.

Neapšaubāmi Web20calc interesēs to cilvēku grupu, kuri, meklējot vienkāršus risinājumus, meklētājprogrammās ievada vaicājumu: tiešsaistes matemātisko kalkulatoru. Bezmaksas tīmekļa lietojumprogramma palīdzēs jums uzreiz aprēķināt jebkuras matemātiskas izteiksmes rezultātu, piemēram, atņemt, saskaitīt, sadalīt, iegūt sakni, paaugstināt līdz jaudai utt.

Izteiksmē varat izmantot eksponēšanas, saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas, procentuālās daļas, PI konstanta darbības. Sarežģītiem aprēķiniem izmantojiet iekavas.

Inženierkalkulatora funkcijas:

1. aritmētiskās pamatdarbības;
2. strādāt ar skaitļiem standarta formā;
3. trigonometrisko sakņu, funkciju, logaritmu, eksponences aprēķins;
4. statistikas aprēķini: saskaitīšana, vidējais aritmētiskais vai standartnovirze;
5. atmiņas šūnas un 2 mainīgo pielāgoto funkciju izmantošana;
6. darbs ar leņķiem radiāna un grādu mēros.

Inženierijas kalkulators ļauj izmantot dažādas matemātiskās funkcijas:

Sakņu ekstrakcija (kvadrātsakne, kubiskā un n-tā sakne);
ex (e līdz x jaudai), eksponents;
trigonometriskās funkcijas: sinus - grēks, kosinuss - cos, tangenss - iedegums;
apgrieztās trigonometriskās funkcijas: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arkangangent - tan-1;
hiperboliskas funkcijas: sinus - sinh, kosinuss - cosh, tangenss - tanh;
logaritmi: binārā logaritma bāze divi - log2x, decimāldaļu logaritma bāze desmit - log, naturālais logaritms - ln.

Šajā inženierijas kalkulatorā ietilpst arī daudzuma kalkulators ar iespēju pārveidot fiziskos lielumus dažādām mērījumu sistēmām - datoru vienībām, attālumam, svaram, laikam utt. Izmantojot šo funkciju, jūs varat uzreiz konvertēt jūdzes kilometros, mārciņas kilogramos, sekundes stundās utt.

Lai veiktu matemātiskus aprēķinus, vispirms attiecīgajā laukā ievadiet matemātisko izteicienu secību, pēc tam noklikšķiniet uz vienādības zīmes un skatiet rezultātu. Vērtības var ievadīt tieši no tastatūras (šim nolūkam kalkulatora zonai jābūt aktīvai, tāpēc nebūs lieki ievietot kursoru ievades laukā). Cita starpā datus var ievadīt, izmantojot paša kalkulatora pogas.

Lai ievades laukā izveidotu grafikus, uzrakstiet funkciju, kā norādīts laukā, ar piemēriem vai izmantojiet speciāli izveidoto rīkjoslu (lai pārietu uz to, noklikšķiniet uz pogas ar ikonu diagrammas formā). Lai konvertētu vērtības, nospiediet Unit, lai strādātu ar matricām - Matrix.

Ja jums ir pie rokas kalkulators, jebkura skaitļa kuba saknes iegūšana nav problēma. Bet, ja jums nav kalkulatora vai vēlaties vienkārši ieskaidrot citus, kuba sakni izvelciet manuāli. Lielākajai daļai cilvēku šeit aprakstītais process šķitīs diezgan sarežģīts, taču ar praksi kubu sakņu iegūšana kļūs daudz vieglāka. Pirms sākat lasīt šo rakstu, atcerieties matemātikas pamatoperācijas un aprēķinus ar skaitļiem kubā.

Soļi

1. daļa

Pierakstiet uzdevumu. Manuāla kubu sakņu ekstrakcija ir līdzīga garai dalīšanai, bet ar dažām niansēm. Vispirms pierakstiet uzdevumu noteiktā formā.

• Pierakstiet numuru, no kura vēlaties izvilkt kuba sakni. Sadaliet numuru trīs ciparu grupās un sāciet skaitīt ar decimāldaļu. Piemēram, jums ir jāizvelk kuba sakne ar 10. Rakstiet skaitli šādi: 10 000 000. Lai uzlabotu rezultāta precizitāti, tiek izmantotas papildu nulles.
• Blakus skaitlim un virs tā uzzīmējiet saknes zīmi. Iedomājieties, ka tās ir horizontālas un vertikālas līnijas, kuras jūs zīmējat garā dalījumā. Vienīgā atšķirība ir abu rakstzīmju forma.
• Novietojiet decimālzīmi virs horizontālās līnijas. Dariet to tieši virs sākotnējā skaitļa aiz komata.

1. Atcerieties veselo skaitļu kubēšanas rezultātus. Tos izmantos aprēķinos.

   • 1 3 \u003d 1 ∗ 1 ∗ 1 \u003d 1 (\\ displaystyle 1 ^ (3) \u003d 1 * 1 * 1 \u003d 1)
   • 2 3 \u003d 2 ∗ 2 ∗ 2 \u003d 8 (\\ displaystyle 2 ^ (3) \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 8)
   • 3 3 \u003d 3 ∗ 3 ∗ 3 \u003d 27 (\\ displaystyle 3 ^ (3) \u003d 3 * 3 * 3 \u003d 27)
   • 4 3 \u003d 4 ∗ 4 ∗ 4 \u003d 64 (\\ displaystyle 4 ^ (3) \u003d 4 * 4 * 4 \u003d 64)
   • 5 3 \u003d 5 ∗ 5 ∗ 5 \u003d 125 (\\ displaystyle 5 ^ (3) \u003d 5 * 5 * 5 \u003d 125)
   • 6 3 \u003d 6 ∗ 6 ∗ 6 \u003d 216 (\\ displaystyle 6 ^ (3) \u003d 6 * 6 * 6 \u003d 216)
   • 7 3 \u003d 7 ∗ 7 ∗ 7 \u003d 343 (\\ displaystyle 7 ^ (3) \u003d 7 * 7 * 7 \u003d 343)
   • 8 3 \u003d 8 ∗ 8 ∗ 8 \u003d 512 (\\ displaystyle 8 ^ (3) \u003d 8 * 8 * 8 \u003d 512)
   • 9 3 \u003d 9 ∗ 9 ∗ 9 \u003d 729 (\\ displaystyle 9 ^ (3) \u003d 9 * 9 * 9 \u003d 729)
   • 10 3 \u003d 10 ∗ 10 ∗ 10 \u003d 1000 (\\ displaystyle 10 ^ (3) \u003d 10 * 10 * 10 \u003d 1000)

2. Atrodiet atbildes pirmo ciparu. Atlasiet vesela skaitļa kubu, kas ir vistuvāk, bet mazāks par pirmo trīs ciparu grupu.

   • Mūsu piemērā pirmā trīs ciparu grupa ir 10. Atrodiet lielāko kubu, kas ir mazāks par 10. Šis kubs ir 8, un 8 kuba sakne ir 2.
   • Virs horizontālās līnijas virs skaitļa 10 uzrakstiet skaitli 2. Pēc tam pierakstiet operācijas vērtību 2 3 (\\ displaystyle 2 ^ (3)) \u003d 8 zem 10. Zīmējiet līniju un atņemiet 8 no 10 (tāpat kā garajā dalījumā). Rezultāts ir 2 (tas ir pirmais atlikums).
   • Tādējādi esat atradis pirmo atbildes numuru. Apsveriet, vai dotais rezultāts ir pietiekami precīzs. Vairumā gadījumu tā būs ļoti aptuvena atbilde. Iegūstiet rezultātu, lai uzzinātu, cik tuvu tas ir sākotnējam skaitlim. Mūsu piemērā: 2 3 (\\ displaystyle 2 ^ (3)) \u003d 8, kas nav ļoti tuvu 10, tāpēc aprēķini ir jāturpina.

3. Atrodiet nākamo atbildes ciparu. Pievienojiet otro atlikušo trīs skaitļu grupu pirmajai atlikumam un uzzīmējiet vertikālu līniju pa kreisi no iegūtā skaitļa. Izmantojot iegūto skaitli, jūs atradīsit atbildes otro ciparu. Mūsu piemērā pirmajai atlikumam (2) jāpievieno otrā trīs ciparu grupa (000), lai iegūtu skaitli 2000.

   • Pa kreisi no vertikālās līnijas jūs rakstāt trīs skaitļus, kuru summa ir vienāda ar kādu pirmo faktoru. Atstājiet šiem numuriem tukšas vietas un starp tām ievietojiet pluszīmes.

4. Atrodiet pirmo terminu (no trim). Pirmajā tukšajā vietā ierakstiet rezultātu, reizinot 300 ar atbildes pirmā cipara kvadrātu (tas ir rakstīts virs saknes zīmes). Mūsu piemērā atbildes pirmais cipars ir 2, tātad 300 * (2 ^ 2) \u003d 300 * 4 \u003d 1200. Pirmajā tukšajā vietā ierakstiet 1200. Pirmais termins ir 1200 (plus vēl divi skaitļi, kurus atrast).

   Atrodiet atbildes otro ciparu. Uzziniet, kāds skaitlis jums jāreizina 1200, lai rezultāts būtu tuvu, bet nepārsniegtu 2000. Šis skaitlis var būt tikai 1, jo 2 * 1200 \u003d 2400, kas ir vairāk nekā 2000. Uzrakstiet 1 (atbildes otrais cipars ) aiz 2 un aiz komata virs saknes zīmes.

   Atrodiet otro un trešo terminu (no trim). Faktors sastāv no trim skaitļiem (terminiem), no kuriem pirmais jau esat atradis (1200). Tagad mums jāatrod divi atlikušie termini.

   • Reiziniet 3 ar 10 un ar katru atbildes ciparu (tie ir rakstīti virs saknes zīmes). Mūsu piemērā: 3 * 10 * 2 * 1 \u003d 60. Pievienojiet šo rezultātu 1200 un iegūstiet 1260.
   • Visbeidzot, kvadrātiet atbildes pēdējo ciparu. Mūsu piemērā pēdējais atbildes cipars ir 1, tātad 1 ^ 2 \u003d 1. Tātad pirmais faktors ir šādu skaitļu summa: 1200 + 60 + 1 \u003d 1261. Uzrakstiet šo skaitli pa kreisi no vertikālās joslas .

5. Reizināt un atņemt. Reiziniet atbildes pēdējo ciparu (mūsu piemērā tas ir 1) ar atrasto koeficientu (1261): 1 * 1261 \u003d 1261. Uzrakstiet šo skaitli zem 2000 un atņemiet no 2000. Jūs saņemsiet 739 (tas ir otrais atlikušo daļu).

6. Apsveriet, vai jūsu atbilde ir pietiekami precīza. Dariet to katru reizi pēc nākamās atņemšanas pabeigšanas. Pēc pirmās atņemšanas atbilde bija 2, kas nav precīzs rezultāts. Pēc otrās atņemšanas atbilde ir 2.1.

   • Lai pārbaudītu atbildes precizitāti, kubējiet to: 2,1 * 2,1 * 2,1 \u003d 9,261.
   • Ja jūs domājat, ka atbilde ir pietiekami precīza, jums nav jāturpina aprēķini; pretējā gadījumā veiciet vēl vienu atņemšanu.

7. Atrodiet otro faktoru. Lai praktizētu aprēķinus un iegūtu precīzāku rezultātu, atkārtojiet iepriekš minētās darbības.

   • Pievienojiet trešo atlikumu (trīsciparu grupa) (000) otrajam atlikumam (739). Jūs saņemsiet numuru 739000.
   • Reiziniet 300 ar skaitļa kvadrātu, kas rakstīts virs saknes zīmes (21): 300 ∗ 21 2 (\\ displaystyle 300 * 21 ^ (2)) = 132300.
   • Atrodiet atbildes trešo ciparu. Uzziniet, kāds skaitlis jums jāreizina 132300, lai rezultāts būtu tuvu, bet nepārsniegtu 739000. Šis skaitlis ir 5: 5 * 132200 \u003d 661500. Aiz saknes zīmes aiz 1 ierakstiet 5 (atbildes trešais cipars).
   • Reiziniet 3 ar 10 ar 21 un ar atbildes pēdējo ciparu (tie ir rakstīti virs saknes zīmes). Mūsu piemērā: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 \u003d 3150 (\\ displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 \u003d 3150).
   • Visbeidzot, noapaļojiet pēdējās atbildes ciparu. Mūsu piemērā pēdējais atbildes cipars ir 5, tātad 5 2 \u003d 25. (\\ displaystyle 5 ^ (2) \u003d 25.)
   • Tādējādi otrais koeficients ir: 132300 + 3150 + 25 \u003d 135 475.

8. Reiziniet atbildes pēdējo ciparu ar otro faktoru. Kad esat atradis atbildes otro faktoru un trešo ciparu, rīkojieties šādi:

   • Reiziniet atbildes pēdējo ciparu ar atrasto koeficientu: 135475 * 5 \u003d 677375.
   • Atņemt: 739000 - 677375 \u003d 61625.
   • Apsveriet, vai jūsu atbilde ir pietiekami precīza. Lai to izdarītu, kubējiet to: 2,15 * 2,15 * 2,15 \u003d 9,94 (\\ displaystyle 2,15 * 2,15 * 2,15 \u003d 9,94).

9. Pierakstiet savu atbildi. Rezultāts, kas rakstīts virs saknes zīmes, ir atbilde ar divām zīmēm aiz komata. Mūsu piemērā kuba sakne no 10 ir 2,15. Pārbaudiet savu atbildi, kubējot: 2.15 ^ 3 \u003d 9.94, kas ir aptuveni 10. Ja jums nepieciešama lielāka precizitāte, turpiniet aprēķinu (kā aprakstīts iepriekš).

   2. daļa

   Kubu sakņu novērtēšana

   1. Izmantojiet ciparu kubus, lai noteiktu augšējo un apakšējo robežu. Ja jums jāizņem gandrīz jebkura skaitļa kuba sakne, atrodiet kubus (dažus skaitļus), kas ir tuvu norādītajam skaitlim.

      • Piemēram, jums jāizņem kuba sakne 600. Tā kā 8 3 \u003d 512 (\\ displaystyle 8 ^ (3) \u003d 512) un 9 3 \u003d 729 (\\ displaystyle 9 ^ (3) \u003d 729), tad kuba sakne 600 ir no 8 līdz 9. Tāpēc kā atbildes augšējo un apakšējo robežu izmantojiet 512 un 729.

   2. Novērtējiet otro skaitli. Pirmo numuru atradāt, pateicoties zināšanām par veselu skaitļu kubiem. Tagad pārveidojiet veselu skaitli decimāldaļā, piešķirot tam (aiz komata) kādu ciparu no 0 līdz 9. Jums jāatrod decimāldaļa, kuras kubs būs tuvu, bet mazāks par sākotnējo skaitli.

      • Mūsu piemērā skaitlis 600 ir no 512 līdz 729. Piemēram, pirmajam atrastajam skaitlim (8) pievienojiet skaitli 5. Jūs saņemsiet skaitli 8,5.
   3. • Mūsu piemērā: 8,5 * 8,5 * 8,5 \u003d 614,1 (\\ displaystyle 8,5 * 8,5 * 8,5 \u003d 614,1.)

   4. Salīdziniet iegūtā skaitļa kubu ar sākotnējo skaitli. Ja iegūtā skaitļa kubs ir lielāks par sākotnējo skaitli, mēģiniet novērtēt mazāku skaitli. Ja iegūtā skaitļa kubs ir daudz mazāks nekā sākotnējais skaitlis, novērtējiet lielos skaitļus, līdz viena no tiem kubs pārsniedz sākotnējo skaitli.

      • Mūsu piemērā: 8,5 3 (\\ displaystyle 8.5 ^ (3)) \u003e 600. Tādējādi novērtējiet mazāko skaitli 8.4. Kubējiet šo skaitli un salīdziniet to ar sākotnējo numuru: 8, 4, 8, 4, 8, 4 \u003d 592,7 (\\ displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 \u003d 592.7)... Šis rezultāts ir mazāks par sākotnējo skaitli. Tādējādi kuba sakne 600 ir no 8,4 līdz 8,5.

   5. Novērtējiet nākamo skaitli, lai uzlabotu atbildes precizitāti. Katram skaitlim, kuru novērtējāt pēdējam, pievienojiet skaitli no 0 līdz 9, līdz saņemsit precīzu atbildi. Katrā vērtēšanas kārtā jāatrod augšējā un apakšējā robeža, starp kurām atrodas sākotnējais skaitlis.

      • Mūsu piemērā: 8,4 3 \u003d 592,7 (\\ displaystyle 8.4 ^ (3) \u003d 592,7) un 8,5 3 \u003d 614,1 (\\ displaystyle 8.5 ^ (3) \u003d 614,1)... Sākotnējais skaitlis 600 ir tuvāk 592 nekā 614. Tāpēc pēdējam jūsu aprēķinātajam skaitlim pievienojiet ciparu tuvāk 0 nekā 9. Piemēram, šis skaitlis ir 4. Tāpēc sagrieziet skaitli 8.44.

   6. Ja nepieciešams, novērtējiet citu numuru. Salīdziniet iegūtā skaitļa kubu ar sākotnējo skaitli. Ja iegūtā skaitļa kubs ir lielāks par sākotnējo skaitli, mēģiniet novērtēt mazāku skaitli. Īsāk sakot, jums jāatrod divi skaitļi, kuru kubi ir nedaudz lielāki un nedaudz mazāki nekā sākotnējais skaitlis.

      • Mūsu piemērā 8.44 * 8.44 * 8.44 \u003d 601.2 (\\ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 \u003d 601.2)... Tas ir nedaudz lielāks par sākotnējo skaitli, tāpēc novērtējiet citu (mazāku) skaitli, piemēram, 8,43: 8,43 * 8,43 * 8,43 \u003d 599,07 (\\ displaystyle 8,43 * 8,43 * 8,43 \u003d 599,07)... Tādējādi kuba saknes 600 vērtība ir no 8,43 līdz 8,44.

   7. Izpildiet šo procesu, līdz saņemat jums apmierinošu atbildi. Novērtējiet nākamo numuru, salīdziniet to ar oriģinālu, pēc tam, ja nepieciešams, novērtējiet citu numuru utt. Ņemiet vērā, ka katrs papildu cipars aiz komata palielina jūsu atbildes precizitāti.

      • Mūsu piemērā kubs 8,43 ir mazāks par sākotnējo skaitli un ir mazāks par 1. Ja jums nepieciešama lielāka precizitāte, kubējiet skaitli 8.434 un iegūstiet to 8,434 3 \u003d 599,93 (\\ displaystyle 8,434 ^ (3) \u003d 599,93), tas ir, rezultāts ir mazāks par 0,1 mazāks nekā sākotnējais skaitlis.