Šajā rakstā mēs aplūkosim nepilnīgu problēmu risināšanu kvadrātvienādojumi.

Bet vispirms atkārtosim, kurus vienādojumus sauc par kvadrātiskiem. Formas ax 2 + bx + c \u003d 0 vienādojums, kur x ir mainīgs lielums, un koeficienti a, b un c ir daži skaitļi, un tiek saukts ≠ 0. kvadrāts... Tā kā mēs redzam, ka koeficients pie x 2 nav nulle, un tāpēc koeficienti pie x vai brīvais termins var būt nulle, šajā gadījumā mēs iegūstam nepilnīgu kvadrātvienādojumu.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi ir trīs veidu:

1) Ja b \u003d 0, c ≠ 0, tad ax 2 + c \u003d 0;

2) Ja b ≠ 0, c \u003d 0, tad ax 2 + bx \u003d 0;

3) Ja b \u003d 0, c \u003d 0, tad ax 2 \u003d 0.

• Izdomāsim, kā viņi izlemj formas ax 2 + c \u003d 0 vienādojumi.

Lai atrisinātu vienādojumu, mēs pārvietojam brīvo terminu ar vienādojuma labajā pusē, mēs iegūstam

cirvis 2 \u003d ‒c. Tā kā a ≠ 0, tad abas vienādojuma puses dalām ar a, tad x 2 \u003d ‒c / a.

Ja ‒c / a\u003e 0, tad vienādojumam ir divas saknes

x \u003d ± √ (–c / a).

Ja ‒c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Mēģināsim to izdomāt ar piemēriem, kā atrisināt šādus vienādojumus.

1. piemērs... Atrisiniet 2x vienādojumu 2 - 32 \u003d 0.

Atbilde: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

2. piemērs... Atrisiniet 2x vienādojumu 2 + 8 \u003d 0.

Atbilde: vienādojumam nav risinājumu.

• Izdomāsim, kā viņi izlemj formas ax 2 + bx \u003d 0 vienādojumi.

Lai atrisinātu vienādojumu ax 2 + bx \u003d 0, mēs to koeficientējam, tas ir, izņemam x ārpus iekavām, iegūstam x (ax + b) \u003d 0. Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tad vai nu x \u003d 0, vai ax + b \u003d 0. Atrisinot vienādojumu ax + b \u003d 0, iegūstam ax \u003d - b, no kurienes x \u003d - b / a. Formas ax 2 + bx \u003d 0 vienādojumam vienmēr ir divas saknes x 1 \u003d 0 un x 2 \u003d - b / a. Diagrammā skatiet, kā izskatās šāda veida vienādojumu risinājums.

Apkoposim savas zināšanas ar konkrētu piemēru.

3. piemērs... Atrisiniet 3x vienādojumu 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 vai 3x - 12 \u003d 0

Atbilde: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Trešā veida cirvja vienādojumi 2 \u003d 0 tiek atrisināti ļoti vienkārši.

Ja ax 2 \u003d 0, tad x 2 \u003d 0. Vienādojumam ir divas vienādas saknes x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Skaidrības labad ņemiet vērā diagrammu.

Risinot 4. piemēru, pārliecinieties, ka šāda veida vienādojumus ir ļoti viegli atrisināt.

4. piemērs. Atrisiniet 7x vienādojumu 2 \u003d 0.

Atbilde: x 1, 2 \u003d 0.

Ne vienmēr uzreiz ir skaidrs, kāds nepilnīgs kvadrātvienādojums mums jāatrisina. Apsveriet šādu piemēru.

5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Reiziniet abas vienādojuma puses ar kopsaucēju, tas ir, ar 30

Samazināt

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Izvērsiet iekavas

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Šeit ir līdzīgi

Pārvietojiet 99 no vienādojuma kreisās puses uz labo pusi, apgrieziet zīmi

Atbilde: nav sakņu.

Mēs esam analizējuši, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Es ceru, ka tagad jums nebūs grūtību ar šādiem uzdevumiem. Esiet piesardzīgs, nosakot nepilnīga kvadrātvienādojuma veidu, tad jums tas izdosies.

Ja jums ir kādi jautājumi par šo tēmu, reģistrējieties manās nodarbībās, kopīgi atrisināsim radušās problēmas.

vietnei ar pilnīgu vai daļēju materiāla kopēšanu ir nepieciešama saite uz avotu.

Turpinot tēmu "Vienādojumu risināšana", šī raksta materiāls iepazīstinās jūs ar kvadrātvienādojumiem.

Apskatīsim visu sīkāk: kvadrātvienādojuma būtību un rakstību, mēs noteiksim saistītus terminus, analizēsim nepilnīgu un nepilnīgu problēmu risināšanas shēmu pilni vienādojumi, mēs iepazīsimies ar saknes formulu un diskriminantu, izveidosim saknes starp saknēm un koeficientiem un, protams, sniegsim ilustratīvu risinājumu praktiskiem piemēriem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadrātvienādojums, tā veidi

Kvadrātvienādojums Vai vienādojums ir rakstīts kā a x 2 + b x + c \u003d 0kur x - mainīgais, a, b un c - daži skaitļi, kamēr anav nulle.

Bieži vien kvadrātvienādojumus sauc arī par otrās pakāpes vienādojumiem, jo \u200b\u200bbūtībā kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes algebriskais vienādojums.

Sniegsim piemēru ilustrācijai dota definīcija: 9 x 2 + 16 x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0 utt. Ir kvadrātvienādojumi.

2. definīcija

Skaitļi a, b un c Ir kvadrātvienādojuma koeficienti a x 2 + b x + c \u003d 0, bet koeficients a sauc par pirmo vai vecāko, vai koeficientu pie x 2, b - otro koeficientu vai koeficientu pie x, un c sauca par brīvu biedru.

Piemēram, kvadrātvienādojumā 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 vecākais koeficients ir 6, otrais koeficients ir − 2 , un brīvais termiņš ir − 11 ... Pievērsīsim uzmanību tam, ka tad, kad koeficienti bun / vai c ir negatīvi, tad īsa apzīmējuma forma, piemēram, 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, bet ne 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Noskaidrosim arī šo aspektu: ja koeficienti a un / vai b ir vienādi 1 vai − 1 , tad viņi nedrīkst veikt nepārprotamu dalību kvadrātvienādojuma reģistrēšanā, kas izskaidrojams ar norādīto skaitlisko koeficientu reģistrēšanas īpatnībām. Piemēram, kvadrātvienādojumā y 2 - y + 7 \u003d 0 augstākais koeficients ir 1, un otrais koeficients ir − 1 .

Samazināti un nesamazināti kvadrātvienādojumi

Pēc pirmā koeficienta vērtības kvadrātvienādojumi tiek sadalīti samazinātajos un nesamazinātajos.

3. definīcija

Samazināts kvadrātvienādojums Ir kvadrātvienādojums, kur vadošais koeficients ir 1. Citām vadošā koeficienta vērtībām kvadrātvienādojums netiek samazināts.

Šeit ir piemēri: kvadrātvienādojumi x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 tiek samazināti, katrā no tiem vadošais koeficients ir 1.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - nesamazināts kvadrātvienādojums, kur pirmais koeficients atšķiras no 1 .

Jebkuru nesamazinātu kvadrātvienādojumu var pārveidot par samazinātu vienādojumu, abas puses dalot ar pirmo koeficientu (ekvivalenta transformācija). Pārveidotajam vienādojumam būs tādas pašas saknes kā dotajam nesamazināts vienādojums vai arī tam vispār nav sakņu.

Apsvērums konkrēts piemērs ļaus mums skaidri parādīt pārejas īstenošanu no nesamazināta kvadrātvienādojuma uz samazinātu.

1. piemērs

Vienādojums ir 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . Sākotnējais vienādojums ir jāpārvērš reducētā formā.

Lēmums

Saskaņā ar iepriekš minēto shēmu abas sākotnējā vienādojuma puses dalām ar vadošo koeficientu 6. Tad mēs iegūstam: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3un tas ir tas pats, kas: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 un tālāk: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. Tādējādi: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Tādējādi tiek iegūts vienādojums, kas ir līdzvērtīgs dotajam.

Atbilde: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Pilnīgi un nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Pievērsīsimies kvadrātvienādojuma definīcijai. Tajā mēs to precizējām a ≠ 0... Līdzīgs nosacījums ir nepieciešams vienādojumam a x 2 + b x + c \u003d 0 bija precīzi kvadrātveida, jo par a \u003d 0 tas būtībā tiek pārveidots par lineārais vienādojums b x + c \u003d 0.

Gadījumā, kad koeficienti b un cvienāds ar nulli (kas ir iespējams gan atsevišķi, gan kopā), kvadrātvienādojumu sauc par nepilnīgu.

4. definīcija

Nepilnīgs kvadrātvienādojums Vai tāds kvadrātvienādojums a x 2 + b x + c \u003d 0,kur vismaz viens no koeficientiem bun c(vai abi) ir nulle.

Pilns kvadrātvienādojums - kvadrātvienādojums, kurā visi skaitliskie koeficienti nav vienādi ar nulli.

Apspriedīsim, kāpēc kvadrātvienādojumu veidiem tiek doti tieši šādi nosaukumi.

Ja b \u003d 0, kvadrātvienādojums iegūst formu a x 2 + 0 x + c \u003d 0kas ir tas pats, kas a x 2 + c \u003d 0... Kad c \u003d 0 kvadrātvienādojums ir rakstīts kā a x 2 + b x + 0 \u003d 0kas ir līdzvērtīgs a x 2 + b x \u003d 0... Kad b \u003d 0 un c \u003d 0 vienādojums kļūst a x 2 \u003d 0... Iegūtie vienādojumi atšķiras no pilna kvadrātvienādojuma ar to, ka to kreisajā pusē nav ne vienuma ar mainīgo x, ne brīvā termina, ne abus uzreiz. Patiesībā šis fakts deva nosaukumu šāda veida vienādojumiem - nepilnīgs.

Piemēram, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 un - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 ir pilnīgi kvadrātvienādojumi; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 x \u003d 0 - nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšana

Iepriekš minētā definīcija ļauj nošķirt šādus nepilnīgu kvadrātvienādojumu veidus:

• a x 2 \u003d 0, šāds vienādojums atbilst koeficientiem b \u003d 0 un c \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0, ja b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 pie c \u003d 0.

Apskatīsim secīgi katra nepilnīga kvadrātvienādojuma veidu.

Risinājums vienādojumam a x 2 \u003d 0

Kā minēts iepriekš, šis vienādojums atbilst koeficientiem b un cvienāds ar nulli. Vienādojums a x 2 \u003d 0 ir iespējams pārveidot par līdzvērtīgu vienādojumu x 2 \u003d 0, kuru iegūstam, dalot sākotnējā vienādojuma abas puses ar skaitli anav vienāds ar nulli. Tas ir acīmredzams fakts, ka vienādojuma sakne x 2 \u003d 0 tas ir nulle, jo 0 2 = 0 ... Šim vienādojumam nav citu sakņu, ko var izskaidrot ar pakāpes īpašībām: jebkuram skaitlim p,nav vienāds ar nulli, nevienlīdzība ir patiesa p 2\u003e 0, no kā izriet, ka p ≠ 0 vienlīdzība p 2 \u003d 0nekad netiks sasniegts.

5. definīcija

Tādējādi nepilnīgam kvadrātvienādojumam a x 2 \u003d 0 ir unikāla sakne x \u003d 0.

2. piemērs

Piemēram, atrisināsim nepilnīgu kvadrātvienādojumu - 3 x 2 \u003d 0... Tas ir vienāds ar vienādojumu x 2 \u003d 0, tā vienīgā sakne ir x \u003d 0, tad sākotnējam vienādojumam ir arī viena sakne - nulle.

Īsāk sakot, lēmums tiek pieņemts šādi:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Vienādojuma a x 2 + c \u003d 0 risinājums

Nākamais solis ir nepilnīgu kvadrātvienādojumu risinājums, kur b \u003d 0, c ≠ 0, tas ir, formas vienādojumi a x 2 + c \u003d 0... Mēs pārveidojam šo vienādojumu, pārnesot terminu no vienas vienādojuma puses uz otru, nomainot zīmi uz pretējo un sadalot abas vienādojuma puses ar skaitli, kas nav vienāds ar nulli:

• pārnest c pa labi, kas dod vienādojumu a x 2 \u003d - c;
• mēs sadalām abas vienādojuma puses ar a, rezultātā iegūstam x \u003d - c a.

Mūsu pārveidojumi ir attiecīgi ekvivalenti, iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs arī sākotnējam, un šis fakts ļauj izdarīt secinājumu par vienādojuma saknēm. No tā, kādas ir vērtības a un cizteiksmes - c a vērtība ir atkarīga: tai var būt mīnus zīme (piemēram, ja a \u003d 1 un c \u003d 2, tad - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) vai plus zīme (piemēram, ja a \u003d - 2 un c \u003d 6, tad - ca \u003d - 6 - 2 \u003d 3); tas nav vienāds ar nulli, jo c ≠ 0... Ļaujiet mums sīkāk pakavēties situācijās, kad - c a< 0 и - c a > 0 .

Gadījumā, kad - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа lpp vienādība p 2 \u003d - c a nevar būt patiesa.

Viss ir savādāk, kad - c a\u003e 0: atcerieties kvadrātsakni, un kļūs acīmredzams, ka vienādojuma x 2 \u003d - c a sakne būs skaitlis - c a, jo - c a 2 \u003d - c a. Ir viegli saprast, ka skaitlis - - ca ir arī vienādojuma x 2 \u003d - ca sakne: patiešām, - - c a 2 \u003d - ca.

Vienādojumam nebūs citu sakņu. Mēs to varam pierādīt, izmantojot pretrunīgu metodi. Vispirms mēs definējam iepriekš minēto sakņu apzīmējumu kā x 1 un - x 1... Pieņemsim, ka vienādojumam x 2 \u003d - c a ir arī sakne x 2kas atšķiras no saknēm x 1 un - x 1... Mēs to zinām, aizstājot vienādojumu, nevis x tās saknes pārveido vienādojumu par taisnīgu skaitlisko vienādību.

Priekš x 1 un - x 1 mēs rakstām: x 1 2 \u003d - ca, un par x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Pamatojoties uz skaitlisko vienādību īpašībām, mēs atņemam vienu patieso vienādību no otra termina pēc termina, kas mums dos: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Mēs izmantojam darbību īpašības uz skaitļiem, lai pārrakstītu pēdējo vienādību kā (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... Ir zināms, ka divu skaitļu reizinājums ir nulle tikai tad, ja vismaz viens no skaitļiem ir nulle. No sacītā izriet x 1 - x 2 \u003d 0 un / vai x 1 + x 2 \u003d 0kas ir tas pats x 2 \u003d x 1 un / vai x 2 \u003d - x 1... Radās acīmredzama pretruna, jo sākumā tika panākta vienošanās, ka vienādojuma sakne x 2 atšķiras no x 1 un - x 1... Tātad, mēs esam pierādījuši, ka vienādojumam nav citu sakņu, izņemot x \u003d - ca un x \u003d - - ca.

Apkoposim visus iepriekš minētos argumentus.

6. definīcija

Nepilnīgs kvadrātvienādojums a x 2 + c \u003d 0 ir ekvivalents vienādojumam x 2 \u003d - ca, kas:

• nebūs sakņu - c a< 0 ;
• būs divas saknes x \u003d - ca un x \u003d - - c a for - c a\u003e 0.

Sniegsim vienādojumu risināšanas piemērus a x 2 + c \u003d 0.

3. piemērs

Dots kvadrātvienādojums 9 x 2 + 7 \u003d 0.Ir jāatrod tā risinājums.

Lēmums

Mēs pārnesam brīvo terminu uz vienādojuma labo pusi, tad vienādojums iegūst formu 9 x 2 \u003d - 7.
Rezultāta vienādojuma abas puses mēs dalām ar 9 , mēs nonākam pie x 2 \u003d - 7 9. Labajā pusē mēs redzam skaitli ar mīnus zīmi, kas nozīmē: dotajam vienādojumam nav sakņu. Tad sākotnējais nepilnīgais kvadrātvienādojums 9 x 2 + 7 \u003d 0 nebūs sakņu.

Atbilde: vienādojums 9 x 2 + 7 \u003d 0nav sakņu.

4. piemērs

Ir nepieciešams atrisināt vienādojumu - x 2 + 36 \u003d 0.

Lēmums

Pārvietojiet 36 uz labo pusi: - x 2 \u003d - 36.
Sadalīsim abas daļas − 1 , mēs saņemam x 2 \u003d 36... Labajā pusē - pozitīvs skaitlis, no šejienes mēs to varam secināt x \u003d 36 vai x \u003d - 36.
Izvelciet sakni un pierakstiet gala rezultātu: nepilnīgs kvadrātvienādojums - x 2 + 36 \u003d 0 ir divas saknes x \u003d 6 vai x \u003d - 6.

Atbilde: x \u003d 6 vai x \u003d - 6.

Vienādojuma a x 2 + b x \u003d 0 risinājums

Analizēsim trešā veida nepilnīgos kvadrātvienādojumus, kad c \u003d 0... Lai atrastu nepilnīga kvadrātvienādojuma risinājumu a x 2 + b x \u003d 0, mēs izmantojam faktorizācijas metodi. Mēs ņemam vērā vienādojuma kreisajā pusē esošo polinomu, izņemot kopējo koeficientu ārpus iekavām x... Šis solis ļaus sākotnējo nepilnīgo kvadrātvienādojumu pārveidot par ekvivalentu x (a x + b) \u003d 0... Un šis vienādojums savukārt ir vienāds ar vienādojumu kopumu x \u003d 0 un a x + b \u003d 0... Vienādojums a x + b \u003d 0 lineārs, un tā sakne ir: x \u003d - b a.

7. definīcija

Tādējādi nepilnīgais kvadrātvienādojums a x 2 + b x \u003d 0 būs divas saknes x \u003d 0 un x \u003d - b a.

Labosim materiālu ar piemēru.

5. piemērs

Nepieciešams atrast vienādojuma 2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 risinājumu.

Lēmums

Izņemt x iekavās un iegūstiet vienādojumu x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Šis vienādojums ir vienāds ar vienādojumiem x \u003d 0 un 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Tagad jums jāatrisina iegūtais lineārais vienādojums: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Mēs īsi rakstām vienādojuma risinājumu šādi:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 vai 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 vai x \u003d 3 3 7

Atbilde: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu formula

Lai atrastu kvadrātvienādojumu risinājumu, ir sakņu formula:

8. definīcija

x \u003d - b ± D 2 a, kur D \u003d b 2 - 4 a c - tā sauktais kvadrātvienādojuma diskriminants.

Apzīmējums x \u003d - b ± D 2 · a būtībā nozīmē, ka x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Būs noderīgi saprast, kā tika iegūta norādītā formula un kā to pielietot.

Kvadrāta vienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Saskarsimies ar kvadrātvienādojuma atrisināšanas uzdevumu a x 2 + b x + c \u003d 0... Veiksim vairākas līdzvērtīgas transformācijas:

• daliet abas vienādojuma puses ar skaitli a, kas nav nulle, iegūstam samazinātu kvadrātvienādojumu: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• iegūtā vienādojuma kreisajā pusē atlasiet pilnu kvadrātu:
  x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Pēc tam vienādojums iegūs formu: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• tagad ir iespējams pārsūtīt pēdējos divus terminus uz labo pusi, nomainot zīmi uz pretējo, pēc kura mēs iegūstam: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• visbeidzot, mēs pārveidojam izteicienu, kas rakstīts pēdējās vienlīdzības labajā pusē:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Tādējādi mēs esam nonākuši pie vienādojuma x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2, kas ir līdzvērtīgs sākotnējam vienādojumam a x 2 + b x + c \u003d 0.

Šādu vienādojumu risinājumu mēs analizējām iepriekšējos punktos (nepilnīgu kvadrātvienādojumu risinājums). Jau iegūtā pieredze ļauj izdarīt secinājumu par vienādojuma x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 saknēm:

• pie b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 vienādojuma forma ir x + b 2 a 2 \u003d 0, tad x + b 2 a \u003d 0.

Tādējādi vienīgā sakne x \u003d - b 2 · a;

• b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 būs taisnība: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 vai x \u003d b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, kas ir tas pats kā x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 ac 4 a 2 vai x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, t.i. vienādojumam ir divas saknes.

Var secināt, ka vienādojuma x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 (un līdz ar to sākotnējā vienādojuma) sakņu klātbūtne vai trūkums ir atkarīgs no izteiksmes b 2 - 4 a c 4 zīmes · Labajā pusē rakstīts 2. Šīs izteiksmes zīmi nosaka skaitītāja zīme (saucējs 4 a 2 vienmēr būs pozitīvs), tas ir, izteiksmes zīme b 2 - 4 a c... Šī izteiksme b 2 - 4 a c tiek dots nosaukums - kvadrātvienādojuma un burta D atšķirīgais ir definēts kā tā apzīmējums. Šeit jūs varat pierakstīt diskriminanta būtību - pēc tā vērtības un zīmes tiek secināts, vai kvadrātvienādojumam būs reālas saknes, un, ja jā, kāds ir sakņu skaits - viena vai divas.

Atgriezīsimies pie vienādojuma x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2. Mēs to pārrakstām, izmantojot apzīmējumu diskriminantam: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Atkārtoti formulēsim secinājumus:

9. definīcija

• plkst D< 0 vienādojumam nav reālu sakņu;
• plkst D \u003d 0 vienādojumam ir viena sakne x \u003d - b 2 · a;
• plkst D\u003e 0 vienādojumam ir divas saknes: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 vai x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Pamatojoties uz radikāļu īpašībām, šīs saknes var rakstīt šādi: x \u003d - b 2 a + D 2 a vai - b 2 a - D 2 a. Un, kad mēs atveram moduļus un samazinām frakcijas līdz kopsaucējs, iegūstam: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Tātad, mūsu pamatojuma rezultāts bija kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, diskriminants D aprēķina pēc formulas D \u003d b 2 - 4 a c.

Šīs formulas ļauj noteikt abas reālās saknes, ja diskriminants ir lielāks par nulli. Kad diskriminants ir nulle, piemērojot abas formulas, iegūsiet to pašu sakni, piemēram, vienīgais lēmums kvadrātvienādojums. Gadījumā, ja diskriminants ir negatīvs, mēģinot izmantot kvadrātvienādojuma saknes formulu, mēs saskaramies ar nepieciešamību iegūt kvadrātsakne gada negatīvs skaitlis, kas mūs aizvedīs ārpus reāliem skaitļiem. Ar negatīvu diskriminantu kvadrātvienādojumam nebūs reālu sakņu, taču ir iespējams pāris sarežģītu konjugātu sakņu, ko nosaka tās pašas sakņu formulas, kuras mēs ieguvām.

Algoritms kvadrātvienādojumu atrisināšanai, izmantojot sakņu formulas

Kvadrāta vienādojumu ir iespējams atrisināt, nekavējoties izmantojot saknes formulu, bet būtībā tas tiek darīts, kad nepieciešams atrast sarežģītas saknes.

Lielākajā daļā gadījumu tas parasti domāts nevis kvadrātvienādojuma sarežģītu, bet reālu sakņu meklēšanai. Tad pirms kvadrātvienādojuma sakņu formulu izmantošanas ir optimāli vispirms noteikt diskriminantu un pārliecināties, ka tas nav negatīvs (pretējā gadījumā secināsim, ka vienādojumam nav reālu sakņu), un pēc tam turpiniet aprēķināt sakņu vērtības.

Iepriekš sniegtais pamatojums ļauj formulēt algoritmu kvadrātvienādojuma atrisināšanai.

10. definīcija

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu a x 2 + b x + c \u003d 0, tas ir nepieciešams:

• pēc formulas D \u003d b 2 - 4 a c atrast diskriminanta vērtību;
• pie D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• ja D \u003d 0, atrodiet vienīgo vienādojuma sakni pēc formulas x \u003d - b 2 · a;
• ja D\u003e 0, nosakiet divas kvadrātvienādojuma reālās saknes pēc formulas x \u003d - b ± D 2 · a.

Ņemiet vērā, ka tad, kad diskriminants ir nulle, varat izmantot formulu x \u003d - b ± D 2 · a, tas dos tādu pašu rezultātu kā formula x \u003d - b 2 · a.

Apsvērsim dažus piemērus.

Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri

Sniegsim piemēru risinājumu dažādas nozīmes diskriminējošs.

6. piemērs

Nepieciešams atrast vienādojuma saknes x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Lēmums

Pierakstīsim kvadrātvienādojuma skaitliskos koeficientus: a \u003d 1, b \u003d 2 un c \u003d - 6... Tālāk mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, t.i. sāksim aprēķināt diskriminantu, kuram aizstājam koeficientus a, b un c diskriminējošajā formulā: D \u003d b 2 - 4 a c \u003d 2 2 - 4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Tātad, mēs saņēmām D\u003e 0, kas nozīmē, ka sākotnējam vienādojumam būs divas reālas saknes.
Lai tos atrastu, mēs izmantojam saknes formulu x \u003d - b ± D 2 · a un, aizstājot attiecīgās vērtības, iegūstam: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Vienkāršosim iegūto izteiksmi, ņemot koeficientu ārpus saknes zīmes un pēc tam samazinot daļu:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 vai x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 vai x \u003d - 1 - 7

Atbilde: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

7. piemērs

Ir nepieciešams atrisināt kvadrātvienādojumu - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Lēmums

Definēsim diskriminantu: D \u003d 28 2 - 4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... Ar šo diskriminanta vērtību sākotnējam vienādojumam būs tikai viena sakne, ko nosaka formula x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Atbilde: x \u003d 3, 5.

8. piemērs

Ir nepieciešams atrisināt vienādojumu 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

Lēmums

Šī vienādojuma skaitliskie koeficienti būs: a \u003d 5, b \u003d 6 un c \u003d 2. Mēs izmantojam šīs vērtības, lai atrastu diskriminantu: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Aprēķinātais diskriminants ir negatīvs, tāpēc sākotnējam kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu.

Gadījumā, ja uzdevums ir norādīt sarežģītas saknes, mēs izmantojam sakņu formulu, veicot darbības ar sarežģītiem skaitļiem:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 vai x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i vai x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Atbilde: nav derīgu sakņu; sarežģītās saknes ir šādas: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN skolas mācību programma Parasti nav prasības meklēt sarežģītas saknes, tādēļ, ja risinājuma laikā diskriminants tiek noteikts kā negatīvs, nekavējoties tiek rakstīta atbilde, ka patiesu sakņu nav.

Sakņu formula pat otrajiem koeficientiem

Saknes formula x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 ac) ļauj iegūt citu, kompaktāku formulu, ļaujot atrast kvadrātvienādojumu risinājumus ar vienmērīgu koeficientu x (vai ar koeficientu) 2 n formas, piemēram, 2,3 vai 14 · ln 5 \u003d 2,7 · ln 5). Parādīsim, kā tiek iegūta šī formula.

Pieņemsim, ka mēs saskaramies ar uzdevumu atrast kvadrātvienādojuma a x 2 + 2 n x + c \u003d 0 risinājumu. Mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu: mēs nosakām diskriminantu D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c) un pēc tam izmantojam saknes formulu:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a apm.

Lai izteiksme n 2 - a · c tiek apzīmēta kā D 1 (dažreiz to apzīmē ar D "). Tad attiecīgā kvadrātvienādojuma sakņu formula ar otro koeficientu 2 n iegūs formu:

x \u003d - n ± D 1 a, kur D 1 \u003d n 2 - a · c.

Ir viegli redzēt, ka D \u003d 4 · D 1, vai D 1 \u003d D 4. Citiem vārdiem sakot, D 1 ir ceturtā daļa no diskriminanta. Acīmredzot D 1 zīme ir tāda pati kā D zīme, kas nozīmē, ka D 1 zīme var kalpot arī kā kvadrātvienādojuma sakņu klātbūtnes vai neesamības rādītājs.

11. definīcija

Tādējādi, lai atrastu kvadrātvienādojuma ar otro koeficientu 2 n risinājumu, nepieciešams:

• atrast D 1 \u003d n 2 - a · c;
• pie D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kad D 1 \u003d 0, pēc formulas x \u003d - n a nosakiet vienīgo vienādojuma sakni;
• d 1\u003e 0 definē divas reālās saknes pēc formulas x \u003d - n ± D 1 a.

9. piemērs

Nepieciešams atrisināt kvadrātvienādojumu 5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0.

Lēmums

Dotā vienādojuma otro koeficientu var attēlot kā 2 · (- 3). Tad mēs pārrakstām doto kvadrātvienādojumu kā 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0, kur a \u003d 5, n \u003d - 3 un c \u003d - 32.

Mēs aprēķinām diskriminanta ceturto daļu: D 1 \u003d n 2 - ac \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Rezultātā iegūtā vērtība ir pozitīva, kas nozīmē, ka vienādojumam ir divas reālas saknes. Definēsim tos pēc atbilstošās saknes formulas:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 vai x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 vai x \u003d - 2

Būtu iespējams veikt aprēķinus, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu parasto formulu, taču šajā gadījumā risinājums būtu apgrūtinošāks.

Atbilde: x \u003d 3 1 5 vai x \u003d - 2.

Kvadrātisko vienādojumu skata vienkāršošana

Dažreiz ir iespējams optimizēt sākotnējā vienādojuma formu, kas vienkāršos sakņu aprēķināšanas procesu.

Piemēram, kvadrātvienādojums 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ir acīmredzami ērtāks risināšanai nekā 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Biežāk kvadrātvienādojuma formas vienkāršošanu veic, reizinot vai dalot abas tā daļas ar noteiktu skaitli. Piemēram, iepriekš mēs parādījām vienkāršotu vienādojuma apzīmējumu 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0, kas iegūts, abas tā daļas dalot ar 100.

Šāda pārveidošana ir iespējama, ja kvadrātvienādojuma koeficienti nav savstarpēji pirmskaitļi... Tad parasti vienādojuma abas puses dala ar lielāko kopīgais dalītājs absolūtās vērtības tās koeficienti.

Kā piemēru izmantojiet kvadrātvienādojumu 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0. Nosakiet tā koeficientu absolūto vērtību gcd: gcd (12, 42, 48) \u003d gcd (gcd (12, 42), 48) \u003d gcd (6, 48) \u003d 6. Dalīsim sākotnējā kvadrātvienādojuma abas puses ar 6 un iegūstam ekvivalentu kvadrātvienādojumu 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0.

Reizinot kvadrātvienādojuma abas puses, jūs parasti atbrīvojaties no daļējiem koeficientiem. Šajā gadījumā reiziniet ar tā koeficientu saucēju mazāko kopējo daudzkārtni. Piemēram, ja katra kvadrātvienādojuma 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 daļa tiek reizināta ar LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tad tā tiks ierakstīta vairāk vienkārša forma x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Visbeidzot, mēs atzīmējam, ka gandrīz vienmēr atbrīvojamies no mīnusa pie kvadrātvienādojuma pirmā koeficienta, mainot katra vienādojuma termina zīmes, kas tiek panākts, abas daļas reizinot (vai dalot) ar - 1. Piemēram, no kvadrātvienādojuma - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 varat pāriet uz tā vienkāršoto versiju 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Sakņu un koeficientu saistība

Jau zināmā kvadrātvienādojumu sakņu formula x \u003d - b ± D 2 · a izsaka vienādojuma saknes skaitlisko koeficientu izteiksmē. Pamatojoties uz šo formulu, mēs varam norādīt citas atkarības starp saknēm un koeficientiem.

Slavenākās un piemērotākās ir Vieta teorēmu formulas:

x 1 + x 2 \u003d - b a un x 2 \u003d c a.

Konkrēti samazinātajam kvadrātvienādojumam sakņu summa ir otrais koeficients ar pretēja zīme, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Piemēram, ar kvadrātvienādojuma 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0 formu ir iespējams uzreiz noteikt, ka tā sakņu summa ir 7 3, bet sakņu reizinājums ir 22 3.

Var atrast arī vairākas citas sakarības starp saknēm un kvadrātvienādojuma koeficientiem. Piemēram, kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summu var izteikt kā koeficientus:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Risinot dažādas fizikas un matemātikas problēmas, bieži parādās kvadrātvienādojumi. Šajā rakstā mēs aplūkosim, kā universāli atrisināt šīs vienlīdzības "caur diskriminantu". Rakstā ir sniegti arī iegūto zināšanu izmantošanas piemēri.

Par kādiem vienādojumiem mēs runājam?

Zemāk redzamajā attēlā parādīta formula, kurā x ir nezināms mainīgais, un latīņu simboli a, b, c apzīmē dažus zināmus skaitļus.

Katru no šiem simboliem sauc par koeficientu. Kā redzat, skaitlis "a" atrodas kvadrātā mainīgā x priekšā. Šī ir izteiktās izteiksmes maksimālā jauda, \u200b\u200btāpēc to sauc par kvadrātvienādojumu. Bieži tiek izmantots tā cits nosaukums: otrās kārtas vienādojums. Pati vērtība ir kvadrātveida koeficients (stāvot uz mainīgo kvadrātā), b ir lineārais koeficients (tas ir blakus mainīgajam, kas paaugstināts līdz pirmajai jaudai), un visbeidzot, skaitlis c ir brīvais termins.

Ņemiet vērā, ka vienādojuma forma, kas parādīta attēlā iepriekš, ir izplatīta klasiskā kvadrātveida izteiksme. Papildus tam ir arī citi otrās kārtas vienādojumi, kuros koeficienti b, c var būt nulle.

Kad problēma tiek izvirzīta, lai atrisinātu aplūkoto vienlīdzību, tas nozīmē, ka jāatrod tādas mainīgā x vērtības, kas to apmierinātu. Vispirms jāatceras šāda lieta: tā kā maksimālā x pakāpe ir 2, tad šāda veida izteiksmei nevar būt vairāk par 2 risinājumiem. Tas nozīmē, ka, risinot vienādojumu, tiktu atrastas 2 x vērtības, kas to apmierina, tad varat būt drošs, ka nav trešā skaitļa, aizstājot kuru x vietā, vienādība arī būtu patiesa. Matemātikas vienādojuma risinājumus sauc par saknēm.

Metodes otrās kārtas vienādojumu risināšanai

Lai atrisinātu šāda veida vienādojumus, ir nepieciešamas zināmas teorijas par tiem. Skolas algebras kursā pārbauda 4 dažādas metodes risinājumus. Uzskaitīsim tos:

• izmantojot faktorizāciju;
• izmantojot formulu pilnam kvadrātam;
• pielietojot atbilstošās kvadrātiskās funkcijas grafiku;
• izmantojot diskriminējošo vienādojumu.

Pirmās metodes priekšrocība ir tās vienkāršība, tomēr to nevar piemērot visiem vienādojumiem. Otrā metode ir universāla, bet nedaudz apgrūtinoša. Trešā metode ir ievērojama ar skaidrību, taču tā ne vienmēr ir ērta un piemērojama. Visbeidzot, diskriminējošā vienādojuma izmantošana ir universāls un diezgan vienkāršs veids, kā atrast pilnīgi jebkura otrās kārtas vienādojuma saknes. Tāpēc rakstā mēs to tikai apsvērsim.

Formula vienādojuma sakņu iegūšanai

Pievērsīsimies vispārējs skats kvadrātvienādojums. Pierakstīsim to: a * x² + b * x + c \u003d 0. Pirms izmantot metodi, kā to atrisināt "caur diskriminantu", vienlīdzība vienmēr jāsamazina līdz rakstiskajai formai. Tas ir, tam jāsastāv no trim termiņiem (vai mazāk, ja b vai c ir 0).

Piemēram, ja ir izteiksme: x²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x², tad vispirms visi tās noteikumi jāpārvieto uz vienādības vienu pusi un jāpievieno nosacījumi, kas satur mainīgo x tādas pašas pilnvaras.

Šajā gadījumā šī darbība novedīs pie šādas izteiksmes: -6 * x²-4 * x + 8 \u003d 0, kas ir vienāds ar vienādojumu 6 * x² + 4 * x-8 \u003d 0 (šeit mēs reizinājām kreiso un labās puses no vienlīdzības ar -1) ...

Iepriekš minētajā piemērā a \u003d 6, b \u003d 4, c \u003d -8. Ņemiet vērā, ka visi izskatāmās vienlīdzības nosacījumi vienmēr tiek summēti savā starpā, tādēļ, ja parādās zīme "-", tas nozīmē, ka atbilstošais koeficients ir negatīvs, tāpat kā skaitlis c šajā gadījumā.

Izpētot šo punktu, mēs tagad pievēršamies pašai formulai, kas ļauj iegūt kvadrātvienādojuma saknes. Tam ir veidlapa, kas parādīta zemāk esošajā fotoattēlā.

Kā redzat no šīs izteiksmes, tas ļauj iegūt divas saknes (jums jāpievērš uzmanība zīmei "±"). Lai to izdarītu, pietiek ar to aizstāt koeficientus b, c un a.

Diskriminējošs jēdziens

Iepriekšējā rindkopā tika dota formula, kas ļauj ātri atrisināt jebkuru otrās kārtas vienādojumu. Tajā radikālo izteiksmi sauc par diskriminantu, tas ir, D \u003d b²-4 * a * c.

Kāpēc šī formulas daļa ir izolēta un pat ir savu vārdu? Fakts ir tāds, ka diskriminants visus trīs vienādojuma koeficientus apvieno vienā izteiksmē. Pēdējais fakts nozīmē, ka tas pilnībā satur informāciju par saknēm, ko var izteikt šādā sarakstā:

1. D\u003e 0: vienlīdzībai ir 2 dažādi risinājumi, kas abi ir reāli skaitļi.
2. D \u003d 0: Vienādojumam ir tikai viena sakne, un tas ir reāls skaitlis.

Uzdevums noteikt diskriminantu

Sniegsim vienkāršu piemēru, kā atrast diskriminantu. Ļaujiet norādīt šādu vienādību: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² \u003d 3 * x-5 * x² + 7.

Pārejam uz standarta veidlapu, iegūstam: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0, no kurienes mēs sasniedzam vienlīdzību : -2 * x² + 2 * x-11 \u003d 0. Šeit a \u003d -2, b \u003d 2, c \u003d -11.

Tagad diskriminantam varat izmantot nosaukto formulu: D \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. Rezultātā iegūtais skaitlis ir atbilde uz uzdevumu. Tā kā piemērā diskriminants mazāks par nulli, tad mēs varam teikt, ka šim kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu. Tikai kompleksi skaitļi būs viņa risinājums.

Nevienlīdzības piemērs, izmantojot diskriminantu

Atrisināsim nedaudz cita veida problēmas: ņemot vērā vienādību -3 * x²-6 * x + c \u003d 0. Jāatrod tādas c vērtības, kurām D\u003e 0.

Šajā gadījumā ir zināmi tikai 2 no 3 koeficientiem, tāpēc precīzu diskriminanta vērtību nebūs iespējams aprēķināt, taču ir zināms, ka tā ir pozitīva. Noformējot nevienlīdzību, mēs izmantojam pēdējo faktu: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * c\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * c\u003e 0. Iegūtās nevienlīdzības atrisinājums noved pie rezultāta: c\u003e -3.

Pārbaudīsim saņemto numuru. Lai to izdarītu, aprēķiniet D 2 gadījumiem: c \u003d -2 un c \u003d -4. Skaitlis -2 apmierina iegūto rezultātu (-2\u003e -3), atbilstošajam diskriminantam būs vērtība: D \u003d 12\u003e 0. Savukārt skaitlis -4 neapmierina nevienlīdzību (-4 Tādējādi nosacījumu apmierinās visi skaitļi c, kas ir lielāki par -3.

Vienādojuma risināšanas piemērs

Iepazīstināsim ar problēmu, kas sastāv ne tikai no diskriminanta atrašanas, bet arī no vienādojuma atrisināšanas. Jums jāatrod saknes vienādībai -2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.

Šajā piemērā diskriminants ir nākamā vērtība: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. Tad vienādojuma saknes definē šādi: x \u003d (9 ± √137) / (- 4). Šīs ir precīzās sakņu vērtības, ja jūs aprēķināt aptuveno sakni, tad iegūstat skaitļus: x \u003d -5,176 un x \u003d 0,676.

Ģeometriskā problēma

Atrisināsim problēmu, kas prasīs ne tikai prasmi aprēķināt diskriminantu, bet arī izmantot abstraktas domāšanas prasmes un zināšanas par kvadrātvienādojumu izveidošanu.

Bobam bija 5 x 4 metru sega. Zēns gribēja uzšūt nepārtrauktu sloksni skaists audums... Cik bieza būs šī sloksne, ja zināms, ka Bobam ir 10 m² auduma.

Ļaujiet sloksnes biezumam x m, pēc tam auduma laukumam gar garā puse segas būs (5 + 2 * x) * x, un, tā kā ir 2 garas malas, mums ir: 2 * x * (5 + 2 * x). Īsajā pusē šūtā auduma laukums būs 4 * x, jo no šīm pusēm ir 2, mēs iegūstam vērtību 8 * x. Ņemiet vērā, ka 2 * x tika pievienoti garajai pusei, kad segas garums palielinājās par šo skaitli. Kopējā segai uzšūtā auduma platība ir 10 m2. Tāpēc mēs iegūstam vienādību: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x² + 18 * x-10 \u003d 0.

Šajā piemērā diskriminants ir: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. Tā sakne ir 22. Izmantojot formulu, mēs atrodam nepieciešamās saknes: x \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- 5; 0,5). Acīmredzot no divām saknēm tikai skaitlis 0,5 ir piemērots ar problēmas paziņojumu.

Tādējādi auduma sloksne, kuru Bobs piešūs pie savas segas, būs 50 cm plata.

IN mūsdienu sabiedrība spēja veikt darbības ar vienādojumiem, kas satur kvadrātveida mainīgo, var būt noderīga daudzās darbības jomās un tiek plaši izmantota praksē zinātnes un tehnikas attīstībā. Par to liecina jūras un upju kuģu, lidmašīnu un raķešu konstrukcija. Ar šādu aprēķinu palīdzību visvairāk pārvietojas trajektorijas dažādas struktūras, ieskaitot kosmosa objektus. Piemēri ar kvadrātvienādojumu risinājumu tiek izmantoti ne tikai ekonomikas prognozēšanā, ēku projektēšanā un būvniecībā, bet arī visparastākajos ikdienas apstākļos. Tie var būt nepieciešami kempinga braucienos, sporta pasākumos, veikalos, iepērkoties, un citās ļoti bieži sastopamās situācijās.

Sadalīsim izteiksmi tās faktoros

Tiek noteikts vienādojuma pakāpe maksimālā vērtība mainīgā pakāpe, ko satur šī izteiksme. Ja tas ir vienāds ar 2, tad šādu vienādojumu sauc par kvadrātu.

Ja mēs izmantojam formulu valodu, tad šos izteicienus neatkarīgi no tā, kā tie izskatās, vienmēr var samazināt līdz formai, kad kreisā puse izteiksme sastāv no trim terminiem. Starp tiem: cirvis 2 (tas ir, mainīgais kvadrātā ar tā koeficientu), bx (nezināms bez kvadrāta ar tā koeficientu) un c (brīvais komponents, tas ir, parasts skaitlis). Tas viss labajā pusē ir vienāds ar 0. Gadījumā, ja līdzīgam polinomam trūkst viena no tā sastāvdaļām, izņemot 2. asi, to sauc par nepilnīgu kvadrātvienādojumu. Vispirms jāapsver piemēri ar šādu problēmu risinājumu, kuru mainīgo lielumu ir viegli atrast.

Ja izteiksme izskatās tā, ka labajā pusē izteiksmē ir divi termini, precīzāk, ax 2 un bx, visvieglāk ir atrast x, ievietojot mainīgo ārpus iekavām. Tagad mūsu vienādojums izskatīsies šādi: x (ax + b). Turklāt kļūst acīmredzams, ka vai nu x \u003d 0, vai arī problēma tiek samazināta līdz mainīgā atrašanai no šādas izteiksmes: ax + b \u003d 0. To diktē viena no reizināšanas īpašībām. Noteikums ir tāds, ka divu faktoru reizinājums rada 0 tikai tad, ja viens no tiem ir vienāds ar nulli.

Piemērs

x \u003d 0 vai 8x - 3 \u003d 0

Rezultātā mēs iegūstam divas vienādojuma saknes: 0 un 0,375.

Šāda veida vienādojumi var aprakstīt ķermeņu kustību gravitācijas ietekmē, kas sāka kustēties no noteikta punkta, kas tiek ņemts par izcelsmi. Šeit matemātiskais apzīmējums ir šādā formā: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Nomainot nepieciešamās vērtības, pielīdzinot labo pusi 0 un atrodot iespējamos nezināmos, jūs varat uzzināt laiku, kas pagājis no brīža, kad ķermenis paceļas, līdz brīdim, kad tas nokrīt, kā arī daudzus citus lielumus. Bet mēs par to runāsim vēlāk.

Faktora izteikšana

Iepriekš aprakstītais noteikums ļauj atrisināt norādītos uzdevumus vairāk sarežģīti gadījumi... Apskatīsim piemērus ar šāda veida kvadrātvienādojumu risinājumu.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Šis kvadrātveida trinoms ir pabeigta. Pirmkārt, pārveidosim izteiksmi un faktoru. Ir divi no tiem: (x-8) un (x-25) \u003d 0. Rezultātā mums ir divas saknes 8 un 25.

Piemēri ar kvadrātvienādojumu risinājumu 9. pakāpē ļauj šai metodei atrast mainīgo ne tikai otrās, bet pat trešās un ceturtās kārtas izteiksmēs.

Piemēram: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Faktorizējot labo pusi faktoros ar mainīgo, tie ir trīs, tas ir, (x + 1), (x-3) un (x + 3).

Rezultātā kļūst acīmredzams, ka šim vienādojumam ir trīs saknes: -3; -viens; 3.

Kvadrātveida saknes ekstrakcija

Cits gadījums nepilnīgs vienādojums otrās kārtas ir izteiksme burtu valodā, kas attēlota tā, ka labā puse ir konstruēta no komponentiem ax 2 un c. Šeit, lai iegūtu mainīgā vērtību, brīvais termins tiek pārsūtīts uz labo pusi, un pēc tam kvadrātsakni iegūst no vienādības abām pusēm. Jāatzīmē, ka šajā gadījumā parasti ir divas vienādojuma saknes. Vienīgie izņēmumi ir vienādības, kurās vispār nav termina c, kur mainīgais ir vienāds ar nulli, kā arī izteicienu varianti, kad labā puse ir negatīva. Pēdējā gadījumā risinājumu vispār nav, jo iepriekš minētās darbības nevar veikt ar saknēm. Jāapsver šāda veida kvadrātvienādojumu risinājumu piemēri.

Šajā gadījumā vienādojuma saknes būs skaitļi -4 un 4.

Zemes platības aprēķins

Nepieciešamība pēc šāda veida aprēķiniem parādījās senos laikos, jo matemātikas attīstība daudzos aspektos šajos tālos laikos bija saistīta ar nepieciešamību ar vislielāko precizitāti noteikt zemes gabalu platības un perimetrus.

Mums būtu jāapsver piemēri ar kvadrātvienādojumu risinājumu, kas apkopoti, pamatojoties uz šāda veida problēmām.

Pieņemsim, ka ir taisnstūrveida zemes gabals, kura garums ir 16 metrus garāks par platumu. Atrodiet vietas garumu, platumu un perimetru, ja ir zināms, ka tās platība ir 612 m 2.

Sākot darbu, vispirms izveidosim nepieciešamo vienādojumu. Apzīmēsim ar x sadaļas platumu, tad tā garums būs (x + 16). No rakstītā izriet, ka laukumu nosaka izteiksme x (x + 16), kas atbilstoši mūsu problēmas stāvoklim ir 612. Tas nozīmē, ka x (x + 16) \u003d 612.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu, un šī izteiksme ir tieši tā, nevar izdarīt vienādi. Kāpēc? Lai gan tā kreisajā pusē joprojām ir divi faktori, produkts vispār nav 0, tāpēc šeit tiek izmantotas citas metodes.

Diskriminējošs

Pēc tam vispirms veicam nepieciešamās transformācijas izskats šī izteiksme izskatīsies šādi: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Tas nozīmē, ka mēs saņēmām izteiksmi formā, kas atbilst iepriekš norādītajam standartam, kur a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Tas var būt kvadrātvienādojumu atrisināšanas piemērs, izmantojot diskriminantu. Šeit nepieciešamie aprēķini ražots pēc shēmas: D \u003d b 2 - 4ac. Šis papildu daudzums ne tikai ļauj atrast vajadzīgos lielumus otrās kārtas vienādojumā, bet arī nosaka daudzumu iespējamās iespējas... Ja D\u003e 0, ir divi no tiem; ja D \u003d 0, ir viena sakne. Ja D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Par saknēm un to formulu

Mūsu gadījumā atšķirīgais ir: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Tas norāda, ka mūsu problēmai ir atbilde. Ja jūs zināt, k, kvadrātvienādojumu risinājums jāturpina, izmantojot zemāk esošo formulu. Tas ļauj aprēķināt saknes.

Tas nozīmē, ka šajā gadījumā: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Otrais variants šajā dilemmā nevar būt risinājums, jo zemes gabala izmērus nevar izmērīt negatīvās vērtībās, tāpēc x (tas ir, zemes gabala platums) ir 18 m. No šejienes mēs aprēķinām garumu: 18 + 16 \u003d 34, un perimetrs 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Piemēri un uzdevumi

Mēs turpinām pētīt kvadrātvienādojumus. Tālāk tiks sniegti piemēri un detalizēts risinājums vairākiem no tiem.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Mēs visu pārnesam uz vienlīdzības kreiso pusi, veicam pārveidojumu, tas ir, mēs iegūstam vienādojuma formu, ko parasti sauc par standartu, un pielīdzinām to nullei.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Pievienojot līdzīgus, mēs definējam diskriminantu: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Tātad mūsu vienādojumam būs divas saknes. Mēs tos aprēķinām pēc iepriekš minētās formulas, kas nozīmē, ka pirmais no tiem būs 4/3, bet otrais 1.

2) Tagad mēs atklāsim cita veida mīklas.

Noskaidrosim, vai šeit vispār ir saknes x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Lai iegūtu izsmeļošu atbildi, novedīsim polinomu uz atbilstošo pazīstamo formu un aprēķināsim diskriminantu. Šajā piemērā kvadrātvienādojuma risinājums nav nepieciešams, jo problēmas būtība tajā nemaz nav. Šajā gadījumā D \u003d 16 - 20 \u003d -4, kas nozīmē, ka sakņu tiešām nav.

Vietas teorēma

Kad kvadrātsakni iegūst no pēdējās vērtības, ir ērti atrisināt kvadrātvienādojumus, izmantojot iepriekš minētās formulas un diskriminantu. Bet tas ne vienmēr notiek. Tomēr šajā gadījumā ir daudz veidu, kā iegūt mainīgo lielumus. Piemērs: kvadrātvienādojumu atrisināšana ar Vieta teorēmu. Viņa ir nosaukta pēc kāda, kurš dzīvoja 16. gadsimtā Francijā un veica izcilu karjeru, pateicoties viņa matemātiskajam talantam un sakariem tiesā. Viņa portrets ir redzams rakstā.

Slavenā francūža pamanītais modelis bija šāds. Viņš pierādīja, ka vienādojuma saknes summā skaitliski ir vienādas ar -p \u003d b / a, un to reizinājums atbilst q \u003d c / a.

Tagad apskatīsim konkrētus uzdevumus.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Vienkāršības labad mēs pārveidojam izteicienu:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Mēs izmantosim Vieta teorēmu, tas mums dos sekojošo: sakņu summa ir -7, un to reizinājums ir -18. No tā mēs iegūstam, ka vienādojuma saknes ir skaitļi -9 un 2. Veicot pārbaudi, mēs pārliecināsimies, ka šīs mainīgo vērtības patiešām iekļaujas izteiksmē.

Parabola grafiks un vienādojums

Kvadrātiskās funkcijas jēdzieni un kvadrātvienādojumi ir cieši saistīti. Piemēri tam jau ir doti iepriekš. Tagad aplūkosim tuvāk dažas matemātikas mīklas. Jebkuru aprakstītā tipa vienādojumu var vizualizēt. Šādas attiecības, kas uzzīmētas grafika formā, sauc par parabolu. Dažādi tā veidi ir parādīti zemāk redzamajā attēlā.

Jebkurai parabolai ir virsotne, tas ir, punkts, no kura iziet tās filiāles. Ja a\u003e 0, tie sasniedz augstu līdz bezgalībai, un kad a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funkciju vizuāls attēlojums palīdz atrisināt visus vienādojumus, ieskaitot kvadrātiskos. Šo metodi sauc par grafisko. Un mainīgā x vērtība ir abscisu koordināta tajos punktos, kur diagrammas līnija krustojas ar 0x. Virsotnes koordinātas var atrast pēc tikko norādītās formulas x 0 \u003d -b / 2a. Un, aizstājot iegūto vērtību funkcijas sākotnējā vienādojumā, jūs varat uzzināt y 0, tas ir, parabola virsotnes otro koordinātu, kas pieder ordinātu asij.

Parabolas zaru krustojums ar abscisu asi

Ir daudz piemēru ar kvadrātvienādojumu risinājumu, taču ir arī vispārīgi modeļi. Apsvērsim tos. Ir skaidrs, ka grafika krustošanās ar 0x asi a\u003e 0 ir iespējama tikai tad, ja y 0 ņem negatīvas vērtības. Un par a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Pretējā gadījumā D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Saknes var noteikt arī pēc parabola grafika. Arī pretēji ir taisnība. Tas ir, ja nav viegli iegūt kvadrātiskās funkcijas vizuālo attēlu, jūs varat pielīdzināt izteiksmes labo pusi 0 un atrisināt iegūto vienādojumu. Un, zinot krustošanās punktus ar 0x asi, ir vieglāk izveidot grafiku.

No vēstures

Ar vienādojumu palīdzību, kas satur mainīgu kvadrātu, vecajās dienās viņi ne tikai veica matemātiskus aprēķinus un noteica ģeometrisko figūru laukumus. Šādi aprēķini senajiem cilvēkiem bija nepieciešami grandioziem atklājumiem fizikas un astronomijas jomā, kā arī astroloģisko prognožu veikšanai.

Kā pieņem mūsdienu zinātnieki, Babilonas iedzīvotāji bija vieni no pirmajiem, kas atrisināja kvadrātvienādojumus. Tas notika četrus gadsimtus pirms mūsu ēras. Protams, viņu aprēķini būtiski atšķīrās no pašreiz pieņemtajiem un izrādījās daudz primitīvāki. Piemēram, Mezopotāmijas matemātiķiem nebija ne jausmas par negatīvo skaitļu esamību. Viņiem nebija pazīstami arī citi smalkumi no tiem, kurus zina jebkurš mūsu laika skolēns.

Varbūt pat agrāk nekā Babilonas zinātnieki, viedais no Indijas Baudhajama sāka kvadrātvienādojumu risinājumu. Tas notika apmēram astoņus gadsimtus pirms Kristus ēras iestāšanās. Tiesa, otrās kārtas vienādojumi, kuru atrisināšanas metodes viņš deva, bija visvienkāršākie. Papildus viņam vecos laikos līdzīgi jautājumi interesēja arī ķīniešu matemātiķus. Eiropā kvadrātvienādojumus sāka risināt tikai 13. gadsimta sākumā, bet vēlāk tos savos darbos izmantoja tādi lieli zinātnieki kā Ņūtons, Dekarts un daudzi citi.

Es ceru, ka pēc šī raksta izpētīšanas jūs uzzināsiet, kā atrast pilnīga kvadrātvienādojuma saknes.

Izmantojot diskriminantu, tiek atrisināti tikai pilnīgi kvadrātvienādojumi, nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai tiek izmantotas citas metodes, kuras atradīsit rakstā "Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšana".

Kādus kvadrātvienādojumus sauc par pilnīgiem? to formas ax 2 + b x + c \u003d 0 vienādojumi, kur koeficienti a, b un c nav vienādi ar nulli. Tātad, lai atrisinātu pilnu kvadrātvienādojumu, jums jāaprēķina diskriminants D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Atkarībā no tā, kāda vērtība ir diskriminantam, mēs pierakstīsim atbildi.

Ja diskriminants ir negatīvs (D< 0),то корней нет.

Ja diskriminants ir nulle, tad x \u003d (-b) / 2a. Ja atšķirīgais ir pozitīvs skaitlis (D\u003e 0),

tad x 1 \u003d (-b - √D) / 2a un x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Piemēram. Atrisiniet vienādojumu x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Atbilde: 2.

Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Atbilde: nav sakņu.

Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Atbilde: - 3,5; viens.

Tātad mēs parādīsim pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu pēc shēmas, kas parādīta 1. attēlā.

Jebkuru pilnīgu kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot šīs formulas. Jums vienkārši jābūt uzmanīgam, lai to nodrošinātu vienādojums tika uzrakstīts kā standarta polinoms

un x 2 + bx + c, pretējā gadījumā jūs varat kļūdīties. Piemēram, rakstot vienādojumu x + 3 + 2x 2 \u003d 0, jūs to varat kļūdaini izlemt

a \u003d 1, b \u003d 3 un c \u003d 2. Tad

D \u003d 3 2 - 4 · 1,2 · 1 \u003d un tad vienādojumam ir divas saknes. Un tā nav taisnība. (Skat. 2. piemēra risinājumu iepriekš).

Tāpēc, ja vienādojums nav rakstīts kā standarta formas polinoms, vispirms viss kvadrātvienādojums ir jāuzraksta kā standarta formas polinoms (pirmkārt, tam jābūt monomālam ar lielāko eksponentu, tas ir, un x 2 , tad ar mazāk – bxun pēc tam brīvs biedrs no.

Risinot samazinātu kvadrātvienādojumu un kvadrātvienādojumu ar vienmērīgu koeficientu otrajā termiņā, varat izmantot citas formulas. Iepazīsim arī šīs formulas. Ja pilnā kvadrātvienādojumā ar otro terminu koeficients ir pat (b \u003d 2k), tad vienādojumu var atrisināt, izmantojot formulas, kas parādītas 2. attēlā redzamajā diagrammā.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu sauc par samazinātu, ja koeficients pie x 2 ir vienāds ar vienu, un vienādojums iegūst formu x 2 + px + q \u003d 0... Šādu vienādojumu var dot risinājumam vai to iegūst, dalot visus vienādojuma koeficientus ar koeficientu unstāv pie x 2 .

3. attēlā parādīta samazināta kvadrāta atrisināšanas shēma
vienādojumi. Apskatīsim šajā rakstā aplūkoto formulu piemērošanas piemēru.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Atrisināsim šo vienādojumu, izmantojot 1. attēlā redzamajā diagrammā parādītās formulas.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1 - √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Atbilde: -1 - √3; –1 + √3

Var atzīmēt, ka koeficients pie x šajā vienādojumā ir pāra skaitlis, tas ir, b \u003d 6 vai b \u003d 2k, no kurienes k \u003d 3. Tad mēģināsim atrisināt vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas diagrammā skaitlis D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Atbilde: -1 - √3; –1 + √3... Pamanot, ka visi koeficienti šajā kvadrātvienādojumā ir dalīti ar 3 un veicot dalīšanu, iegūstam samazināto kvadrātvienādojumu x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Atrisiniet šo vienādojumu, izmantojot samazinātā kvadrāta formulas
vienādojumi 3. attēls.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Atbilde: -1 - √3; –1 + √3.

Kā redzat, risinot šo vienādojumu, izmantojot dažādas formulas, mēs saņēmām to pašu atbildi. Tāpēc, labi apgūstot 1. attēla diagrammā parādītās formulas, jūs vienmēr varat atrisināt jebkuru pilnīgu kvadrātvienādojumu.

vietnei ar pilnīgu vai daļēju materiāla kopēšanu ir nepieciešama saite uz avotu.