Skaitļa x kvadrātsakne ir skaitlis a, kas, reizinot pats par sevi, dod skaitli x: a * a \u003d a ^ 2 \u003d x, √x \u003d a. Tāpat kā ar jebkuru skaitli, kvadrātveida saknēs var veikt saskaitīšanas un atņemšanas aritmētiskās darbības.

Instrukcijas

• Pirmkārt, pievienojot kvadrātveida saknes mēģiniet iegūt šīs saknes. Tas būs iespējams, ja skaitļi zem saknes zīmes ir ideāli kvadrāti. Piemēram, ļaujiet izteicienu √4 + √9. Pirmais skaitlis 4 ir skaitļa 2. kvadrāts. Otrais skaitlis 9 ir skaitļa 3. kvadrāts. Tādējādi izrādās, ka: √4 + √9 \u003d 2 + 3 \u003d 5.
• Ja zem saknes zīmes nav pilnu kvadrātu, mēģiniet noņemt skaitļa koeficientu no saknes zīmes. Piemēram, ļaujiet izteikt izteicienu √24 + √54. Faktora skaitļi: 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 54 \u003d 2 * 3 * 3 * 3. Skaitlim 24 ir koeficients 4, ko var izņemt no zīmes kvadrātsakne... Skaitlim 54 ir koeficients 9. Tādējādi izrādās, ka: √24 + √54 \u003d √ (4 * 6) + √ (9 * 6) \u003d 2 * √6 + 3 * √6 \u003d 5 * √6 . IN šo piemēru kā rezultātā faktors tika noņemts no saknes zīmes, izrādījās, ka tā vienkāršo doto izteiksmi.
• Ļaujiet divu kvadrātu sakņu summai būt daļai, piemēram, A / (√a + √b). Un ļaujiet uzdevumam, pirms jūs “atbrīvojaties no neracionalitātes saucējā”. Tad jūs varat izmantot šādu metodi. Reiziniet frakcijas skaitītāju un saucēju ar √a - √b. Tādējādi saucējs ir saīsinātās reizināšanas formula: (√a + √b) * (√a - √b) \u003d a - b. Pēc analoģijas, ja saucējā ir norādīta starpība starp saknēm: √a - √b, tad frakcijas skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteicienu √a + √b. Piemēram, ļaujiet daļai piešķirt 4 / (√3 + √5) \u003d 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) \u003d 4 * (√ 3 - √5) / (-2) \u003d 2 * (√5 - √3).
• Apsveriet sarežģītāku piemēru, kā saucējā atbrīvoties no iracionalitātes. Ļaujiet dot frakciju 12 / (√2 + √3 + √5). Ir nepieciešams reizināt frakcijas skaitītāju un saucēju ar izteicienu √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Visbeidzot, ja vēlaties tikai aptuvenu vērtību, kvadrātsaknes vērtību aprēķināšanai varat izmantot kalkulatoru. Aprēķiniet vērtības katram skaitlim atsevišķi un pierakstiet tos ar nepieciešamo precizitāti (piemēram, ar divām zīmēm aiz komata). Un pēc tam veiciet nepieciešamās aritmētiskās darbības kā ar parastajiem skaitļiem. Piemēram, pieņemsim, ka vēlaties uzzināt aptuveno izteiksmes √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 \u003d 4,89 vērtību.

Tēma par kvadrātsaknēm ir obligāta skolas mācību programma matemātikas kurss. Risinot kvadrātvienādojumus, bez tiem nevar iztikt. Un vēlāk kļūst nepieciešams ne tikai iegūt saknes, bet arī ar tām veikt citas darbības. Starp tiem ir diezgan sarežģīti: eksponēšana, reizināšana un dalīšana. Bet ir arī pavisam vienkārši: atņemšana un sakņu pievienošana. Starp citu, tie šķiet tikai no pirmā acu uzmetiena. To izpildīšana bez kļūdām ne vienmēr ir vienkārša tam, kurš tikai sāk tās iepazīt.

Kas ir matemātiskā sakne?

Šī darbība radās pretstatā eksponēšanai. Matemātika ietver divas pretējas darbības. Ir atņemšana saskaitīšanai. Reizināšana ir pretrunā ar dalīšanu. Grāda reversā ietekme ir attiecīgās saknes iegūšana.

Ja jauda ir divas, sakne būs kvadrāta. Skolas matemātikā tas ir visizplatītākais. Tam pat nav norādes, ka tas ir kvadrāts, tas ir, tam nav piešķirts skaitlis 2. Šī operatora (radikāļa) matemātiskais apzīmējums parādīts attēlā.

No aprakstītās darbības tā definīcija seko gludi. Lai iegūtu skaitļa kvadrātsakni, jums jānoskaidro, ko radikālā izteiksme sniegs, reizinot ar sevi. Šis skaitlis būs kvadrātsakne. Ja jūs to rakstāt matemātiski, iegūstat sekojošo: x * x \u003d x 2 \u003d y, tātad √y \u003d x.

Kādas darbības jūs varat veikt ar tām?

Sakne saknē ir daļēja jauda ar skaitītājā. Un saucējs var būt jebkas. Piemēram, kvadrātsaknei ir divas. Tāpēc visas darbības, kuras var veikt ar grādiem, būs attiecināmas arī uz saknēm.

Un prasības šīm darbībām ir vienādas. Ja reizināšana, dalīšana un paaugstināšana līdz spēkam studentiem nerada grūtības, tad sakņu pievienošana, piemēram, viņu atņemšana, dažkārt rada neskaidrības. Un tas viss tāpēc, ka vēlaties veikt šīs darbības, neskatoties uz saknes zīmi. Un šeit sākas kļūdas.

Kādi ir to pievienošanas un atņemšanas noteikumi?

Pirmkārt, jums jāatceras divi kategoriski "nē":

• jūs nevarat veikt sakņu saskaitīšanu un atņemšanu, tāpat kā primās, tas ir, nav iespējams vienā zīmē ierakstīt summas radikālas izteiksmes un ar tām veikt matemātiskas darbības;
• jūs nevarat pievienot un atņemt saknes ar dažādiem rādītājiem, piemēram, kvadrātu un kubu.

Pirmā aizlieguma ilustratīvs piemērs: √6 + √10 ≠ √16, bet √ (6 + 10) \u003d √16.

Otrajā gadījumā labāk aprobežoties ar pašu sakņu vienkāršošanu. Un, atbildot uz to, atstājiet viņu summu.

Tagad pie noteikumiem

1. Atrodiet un grupējiet līdzīgas saknes. Tas ir, tiem, kuriem zem radikāla ir ne tikai vienādi skaitļi, bet arī viņiem pašiem ir viens rādītājs.
2. Pievienojiet saknes, kuras pirmā darbība ir apvienojusi vienā grupā. To ir viegli īstenot, jo jāpievieno tikai tās vērtības, kas stāv radikāļu priekšā.
3. Izvelciet saknes tajos terminos, kuros radikālā izteiksme veido veselu kvadrātu. Citiem vārdiem sakot, neatstājiet neko zem radikālas zīmes.
4. Vienkāršojiet radikālos izteicienus. Lai to izdarītu, jums tie jāsadala galvenie faktori un noskaidrojiet, vai tie piešķir kāda skaitļa kvadrātu. Ir skaidrs, ka tā ir taisnība, ja tas nāk par kvadrātsakni. Kad eksponents ir trīs vai četri, tad galvenajiem faktoriem vajadzētu dot arī skaitļa kubu vai ceturto jaudu.
5. Noņemiet no radikāla zīmes faktoru, kas dod visu pakāpi.
6. Skatiet, vai tas atkal ir parādījies līdzīgi termini... Ja tā, tad veiciet otro darbību vēlreiz.

Situācijā, kad uzdevumam nav nepieciešama precīza saknes vērtība, to var aprēķināt, izmantojot kalkulatoru. Bezgalīgs aiz komata, kas tiks iezīmēts tā logā, apaļa. Visbiežāk tas tiek darīts līdz simtdaļām. Un pēc tam veiciet visas darbības decimāldaļām.

Šī ir visa informācija par to, kā tiek veikta sakņu pievienošana. Tālāk sniegtie piemēri ilustrēs iepriekš minēto.

Pirmais uzdevums

Aprēķiniet izteiksmju vērtību:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Ja sekojat iepriekšminētajam algoritmam, jūs varat redzēt, ka šajā piemērā pirmajām divām darbībām nav nekā. Bet jūs varat vienkāršot dažus radikālus izteicienus.

Piemēram, koeficients 32 divos faktoros 2 un 16; 18 būs vienāds ar 9 un 2 reizinājumu; 128 ir 2 ar 64. Ņemot to vērā, izteiciens tiks rakstīts šādi:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Tagad no radikālās zīmes jums jāizņem tie faktori, kas piešķir skaitļa kvadrātu. Tas ir 16 \u003d 4 2, 9 \u003d 3 2, 64 \u003d 8 2. Izteiksme būs šāda:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Mums ir nedaudz jāvienkāršo ieraksts. Lai to izdarītu, reiziniet koeficientus saknes pazīmju priekšā:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Šajā izteiksmē visi termini izrādījās līdzīgi. Tādēļ tie vienkārši jāsaliek. Atbilde būs: 5√2.

b) Līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, sakņu pievienošana sākas ar to vienkāršošanu. Radikālos izteicienus 75, 147, 48 un 300 attēlos šādi pāri: 5 un 25, 3 un 49, 3 un 16, 3 un 100. Katram no tiem ir skaitlis, kuru var izņemt no saknes zīmes. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Pēc vienkāršošanas atbilde ir: 5√5 - 5√3. To var atstāt tādu, kāds tas ir, bet kopējo koeficientu 5 labāk ievietot ārpus iekavas: 5 (√5 - √3).

c) Un atkal faktorizācija: 275 \u003d 11 * 25, 99 \u003d 11 * 9, 396 \u003d 11 * 36. Pēc faktoru noņemšanas no saknes zīmes mums ir:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Pēc līdzīgu nosacījumu ieviešanas mēs iegūstam rezultātu: 7√11.

Piemērs ar daļu izteiksmēm

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Būs jāizskaita šādi skaitļi: 45 \u003d 5 * 9, 20 \u003d 4 * 5, 18 \u003d 2 * 9, 245 \u003d 5 * 49. Līdzīgi kā jau aplūkotie, jums jānoņem faktori no saknes zīmi un vienkāršojiet izteicienu:

3/2 √5 - 2√5 - 5/3 √ (½) - 7/6 √5 + 7 √ (½) \u003d (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √ (½) \u003d - 5/3 √5 + 16/3 √ (½).

Šis izteiciens prasa, lai jūs atbrīvotos no neracionalitātes saucējā. Lai to izdarītu, jums jāreizina otrais termins ar √2 / √2:

5/3 √5 + 16/3 √ (½) * √2 / √2 \u003d - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Lai darbības būtu pilnīgas, sakņu priekšā jāizvēlas visa faktoru daļa. Pirmajam tas ir vienāds ar 1, otrajam - 2.

Sakņu saskaitīšana un atņemšana ir viens no visbiežāk sastopamajiem "klupšanas akmeņiem" tiem, kas mācās matemātikas (algebras) kursus vidusskolā. Tomēr ir ļoti svarīgi iemācīties pareizi tos saskaitīt un atņemt, jo piemēri sakņu summai vai starpībai ir iekļauti Vienotā valsts eksāmena programmā "matemātikas" disciplīnā.

Lai apgūtu šādu piemēru risinājumu, ir nepieciešamas divas lietas - noteikumu izpratne un arī prakses attīstīšana. Atrisinājis vienu vai divus desmitus tipisku piemēru, students šo prasmi novedīs pie automatisma, un tad viņam nebūs no kā baidīties eksāmenā. Aritmētiskās darbības ieteicams sākt apgūt ar saskaitīšanu, jo to pievienošana ir nedaudz vienkāršāka nekā atņemšana.

Vieglākais veids, kā to izskaidrot, ir kvadrātsaknes piemērs. Matemātikā ir vispāratzīts termins "kvadrāts". "Kvadrātēt" nozīmē reizināt konkrētu skaitli vienu reizi ar sevi... Piemēram, ja jūs kvadrātveida 2, jūs saņemat 4. Ja jūs kvadrātveida 7, jūs saņemat 49. Kvadrāts 9 ir 81. Tātad kvadrātsakne 4 ir 2, no 49 ir \u200b\u200b7 un no 81 ir 9.

Parasti šīs tēmas apguve matemātikā sākas ar kvadrātveida saknēm. Lai to nekavējoties noteiktu, vidusskolniekam reizināšanas tabula jāzina no galvas. Tiem, kuri nav pārliecināti par šo tabulu, ir jāizmanto padomi. Parasti saknes kvadrāta iegūšanas process no skaitļa tiek dots tabulas veidā uz daudzu skolas matemātikas burtnīcu vākiem.

Saknes ir šāda veida:

• kvadrāts;
• kubiskais (vai tā sauktais trešais grāds);
• ceturtā pakāpe;
• piektā pakāpe.

Papildināšanas noteikumi

Lai veiksmīgi atrisinātu tipisks piemērs, jāpatur prātā, ka ne visi sakņu numuri var sakraut viens ar otru... Lai tos varētu salocīt, tie jāpielāgo kopējam paraugam. Ja tas nav iespējams, problēmai nav risinājuma. Šādas problēmas bieži sastopamas arī matemātikas mācību grāmatās kā sava veida slazds studentiem.

Uzdevumos nav atļauts pievienot, ja radikālas izteiksmes atšķiras viena no otras. To var ilustrēt ar ilustratīvu piemēru:

• students saskaras ar uzdevumu: pievienojiet kvadrātsakni no 4 un 9;
• nepieredzējis students, kurš nezina likumu, parasti raksta: "4 sakne + 9 sakne \u003d 13 sakne".
• pierādīt, ka šis risinājums ir nepareizs, ir ļoti vienkārši. Lai to izdarītu, jāatrod kvadrātsakne no 13 un jāpārbauda, \u200b\u200bvai piemērs ir pareizi atrisināts;
• izmantojot mikrokalkulatoru, jūs varat noteikt, ka tas ir aptuveni 3,6. Tagad atliek pārbaudīt risinājumu;
• sakne no 4 \u003d 2 un no 9 \u003d 3;
• Skaitļu "divi" un "trīs" summa ir pieci. Tādējādi šo risinājuma algoritmu var uzskatīt par nepareizu.

Ja saknes ir vienā pakāpē, bet atšķirīgas ciparu izteicieni, tas ir novietots ārpus iekavām un divu radikālu izteicienu summa... Tādējādi tas jau ir iegūts no šīs summas.

Papildinājumu algoritms

Lai pieņemtu pareizo lēmumu vienkāršākais uzdevums, tas ir nepieciešams:

1. Nosakiet, kas tieši prasa pievienošanu.
2. Uzziniet, vai ir iespējams pievienot vērtības viena otrai, vadoties pēc matemātikā pastāvošajiem noteikumiem.
3. Ja tos nevar salocīt, jums tie jāpārveido tā, lai tos varētu salocīt.
4. Veicot visas nepieciešamās transformācijas, ir nepieciešams veikt papildinājumu un pierakstīt gatavo atbildi. Atkarībā no piemēra sarežģītības var pievienot galvā vai izmantojot mikrokalkulatoru.

Kādas ir līdzīgas saknes

Lai pareizi atrisinātu pievienošanas piemēru, vispirms jādomā par to, kā jūs to varat vienkāršot. Lai to izdarītu, jums ir jābūt pamatzināšanām par to, kas ir līdzība.

Spēja identificēt līdzīgus palīdz ātri atrisināt līdzīgus papildinājumu piemērus, ieviešot tos vienkāršotā formā. Lai vienkāršotu tipisku pievienošanas piemēru, jums ir nepieciešams:

1. Atrodiet līdzīgus un atlasiet tos vienā grupā (vai vairākās grupās).
2. Pārrakstiet esošo piemēru tā, lai saknes, kurām ir viens un tas pats rādītājs, skaidri ietu viena pēc otras (to sauc par "grupēšanu").
3. Pēc tam jums vajadzētu vēlreiz pārrakstīt izteiksmi, šoreiz tā, lai līdzīgas (kurām ir vienāds rādītājs un vienāds radikālais skaitlis) arī sekotu viena otrai.

Pēc tam vienkāršotu piemēru parasti ir viegli atrisināt.

Lai pareizi atrisinātu jebkuru pievienošanas piemēru, ir skaidri jāsaprot pievienošanas pamatnoteikumi, kā arī jāzina, kas ir sakne un kas tā ir.

Dažreiz šādi uzdevumi no pirmā acu uzmetiena izskatās ļoti grūti, taču parasti tos var viegli atrisināt, grupējot līdzīgus uzdevumus. Vissvarīgākais ir prakse, un tad students sāks "noklikšķināt uz tādām problēmām kā rieksti". Sakņu pievienošana ir viena no svarīgākajām matemātikas jomām, tāpēc skolotājiem vajadzētu veltīt pietiekami daudz laika, lai to mācītos.

Video

Šis video palīdzēs jums saprast vienādojumus ar kvadrātsaknēm.

1. fakts.
\\ (\\ bullet \\) Ņemsim dažus negatīvs skaitlis \\ (a \\) (t.i., \\ (a \\ geqslant 0 \\)). Tad (aritmētika) kvadrātsakne no skaitļa \\ (a \\) sauc par tādu, kas nav negatīvs skaitlis \\ (b \\), kvadrātā iegūstot skaitli \\ (a \\): \\ [\\ sqrt a \u003d b \\ quad \\ text (tāds pats kā) \\ quad a \u003d b ^ 2 \\] No definīcijas izriet, ka \\ (a \\ geqslant 0, b \\ geqslant 0 \\). Šie ierobežojumi ir svarīgs nosacījums kvadrātsaknes esamība un tās būtu jāatceras!
Atgādinām, ka jebkurš skaitlis kvadrātā dod negatīvu rezultātu. Tas ir, \\ (100 ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\) un \\ ((- 100) ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\).
\\ (\\ bullet \\) Kas ir \\ (\\ sqrt (25) \\)? Mēs zinām, ka \\ (5 ^ 2 \u003d 25 \\) un \\ ((- 5) ^ 2 \u003d 25 \\). Tā kā pēc definīcijas mums jāatrod skaitlis, kas nav negatīvs, tad \\ (- 5 \\) neder, tāpēc \\ (\\ sqrt (25) \u003d 5 \\) (tā kā \\ (25 \u003d 5 ^ 2 \\)) .
Vērtības \\ (\\ sqrt a \\) atrašanu sauc par skaitļa \\ (a \\) kvadrātsaknes iegūšanu, bet skaitli \\ (a \\) - par radikālu izteiksmi.
\\ (\\ bullet \\) Pamatojoties uz definīciju, izteiksme \\ (\\ sqrt (-25) \\), \\ (\\ sqrt (-4) \\) utt. nav jēgas.

2. fakts.
Ātriem aprēķiniem būs noderīgi uzzināt kvadrātu tabulu dabiskie skaitļi no \\ (1 \\) līdz \\ (20 \\): \\ [\\ begin (masīvs) (| ll |) \\ hline 1 ^ 2 \u003d 1 & \\ quad11 ^ 2 \u003d 121 \\\\ 2 ^ 2 \u003d 4 & \\ quad12 ^ 2 \u003d 144 \\\\ 3 ^ 2 \u003d 9 & \\ quad13 ^ 2 \u003d 169 \\\\ 4 ^ 2 \u003d 16 & \\ quad14 ^ 2 \u003d 196 \\\\ 5 ^ 2 \u003d 25 & \\ quad15 ^ 2 \u003d 225 \\\\ 6 ^ 2 \u003d 36 & quad16 ^ 2 \u003d 256 \\\\ 7 ^ 2 \u003d 49 & \\ quad17 ^ 2 \u003d 289 \\\\ 8 ^ 2 \u003d 64 & \\ quad18 ^ 2 \u003d 324 \\\\ 9 ^ 2 \u003d 81 & \\ quad19 ^ 2 \u003d 361 \\\\ 10 ^ 2 \u003d 100 & \\ quad20 ^ 2 \u003d 400 \\\\ \\ hline \\ end (masīvs) \\]

3. fakts.
Ko var darīt ar kvadrātveida saknēm?
\\ (\\ lode \\) Kvadrātsakņu summa vai starpība NAV VIENĀDA summas vai starpības kvadrātsaknei, t.i. \\ [\\ sqrt a \\ pm \\ sqrt b \\ ne \\ sqrt (a \\ pm b) \\] Tādējādi, ja jums jāaprēķina, piemēram, \\ (\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \\), tad sākotnēji jums jāatrod vērtības \\ (\\ sqrt (25) \\) un \\ (\\ sqrt (49) \\) un pēc tam salieciet tos. Sekojoši, \\ [\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \u003d 5 + 7 \u003d 12 \\] Ja, pievienojot \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt b \\), nevar atrast vērtības \\ (\\ sqrt a \\) vai \\ (\\ sqrt b \\), tad šāda izteiksme vairs netiek pārveidota un paliek nemainīga. Piemēram, summā \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \\) mēs varam atrast \\ (\\ sqrt (49) \\) - tas ir \\ (7 \\), bet \\ (\\ sqrt 2 \\) nevar jebkādā veidā pārveidots, tātad \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \u003d \\ sqrt 2 + 7 \\)... Diemžēl šo izteicienu vairs nevar vienkāršot. \\ (\\ aizzīme \\) Kvadrātsakņu reizinājums / koeficients ir vienāds ar produkta / koeficienta kvadrātsakni, tas ir, \\ [\\ sqrt a \\ cdot \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (ab) \\ quad \\ text (and) \\ quad \\ sqrt a: \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (a: b) \\] (ar nosacījumu, ka abām vienādību pusēm ir jēga)
Piemērs: \\ (\\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt 2 \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8 \\); \\ (\\ sqrt (768): \\ sqrt3 \u003d \\ sqrt (768: 3) \u003d \\ sqrt (256) \u003d 16 \\); \\ (\\ sqrt ((- 25) \\ cdot (-64)) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 64) \u003d \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (64) \u003d 5 \\ cdot 8 \u003d 40 \\)... \\ (\\ bullet \\) Izmantojot šīs īpašības, ir ērti atrast lielu skaitļu kvadrātsaknes, tos faktorizējot.
Apskatīsim piemēru. Atrodiet \\ (\\ sqrt (44100) \\). Tā kā \\ (44100: 100 \u003d 441 \\), tad \\ (44100 \u003d 100 \\ cdot 441 \\). Pēc dalāmības skaitlis \\ (441 \\) tiek dalīts ar \\ (9 \\) (tā kā tā ciparu summa ir 9 un dalās ar 9), tātad \\ (441: 9 \u003d 49 \\), tas ir \\ ( 441 \u003d 9 \\ cdot 49 \\).
Tādējādi mēs saņēmām: \\ [\\ sqrt (44100) \u003d \\ sqrt (9 \\ cdot 49 \\ cdot 100) \u003d \\ sqrt9 \\ cdot \\ sqrt (49) \\ cdot \\ sqrt (100) \u003d 3 \\ cdot 7 \\ cdot 10 \u003d 210 \\] Ņemsim vēl vienu piemēru: \\ [\\ sqrt (\\ dfrac (32 \\ cdot 294) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 49 \\ cdot 2) (9 \\ cdot 3)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ cdot4 \\ cdot49) (9)) \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (16) \\ cdot \\ sqrt4 \\ cdot \\ sqrt (49)) (\\ sqrt9) \u003d \\ dfrac (4 \\ cdot 2 \\ cdot 7) 3 \u003d \\ dfrac (56) 3 \\]
\\ (\\ bullet \\) Parādīsim, kā zem kvadrātsaknes zīmes ievadīt skaitļus, izmantojot izteiksmes \\ (5 \\ sqrt2 \\) piemēru (izteiksmes \\ (5 \\ cdot \\ sqrt2 \\) saīsinājums). Tā kā \\ (5 \u003d \\ sqrt (25) \\), tad \ Ņemiet vērā arī to, ka, piemēram,
1) \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \u003d 4 \\ sqrt2 \\),
2) \\ (5 \\ sqrt3- \\ sqrt3 \u003d 4 \\ sqrt3 \\)
3) \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt a \u003d 2 \\ sqrt a \\).

Kāpēc ir tā, ka? Paskaidrosim, izmantojot 1. piemēru). Kā jūs jau sapratāt, mēs nevaram kaut kā konvertēt skaitli \\ (\\ sqrt2 \\). Iedomāsimies, ka \\ (\\ sqrt2 \\) ir kāds skaitlis \\ (a \\). Attiecīgi izteiksme \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \\) ir nekas cits kā \\ (a + 3a \\) (viens skaitlis \\ (a \\) plus vēl trīs no tā paša \\ (a \\)). Un mēs zinām, ka tas ir vienāds ar četriem šādiem skaitļiem \\ (a \\), tas ir \\ (4 \\ sqrt2 \\).

4. fakts.
\\ (\\ bullet \\) Bieži tiek teikts, ka "nevar iegūt sakni", kad, atrodot kāda skaitļa vērtību, nav iespējams atbrīvoties no saknes (radikālā) zīmes \\ (\\ sqrt () \\ \\). Piemēram, jūs varat iegūt skaitļa sakni \\ (16 \\), jo \\ (16 \u003d 4 ^ 2 \\), tāpēc \\ (\\ sqrt (16) \u003d 4 \\). Bet nav iespējams iegūt sakni no skaitļa \\ (3 \\), tas ir, atrast \\ (\\ sqrt3 \\), jo nav tāda skaitļa, kas kvadrātā dotu \\ (3 \\).
Šādi skaitļi (vai izteicieni ar šādiem skaitļiem) ir iracionāli. Piemēram, cipari \\ (\\ sqrt3, \\ 1+ \\ sqrt2, \\ \\ sqrt (15) \\) utt. ir neracionāli.
Iracionāli ir arī skaitļi \\ (\\ pi \\) (skaitlis "pi", aptuveni vienāds ar \\ (3,14 \\)), \\ (e \\) (šo skaitli sauc par Eulera numuru, aptuveni tas ir \\ (2,7 \\)) utt.
\\ (\\ bullet \\) Lūdzu, ņemiet vērā, ka jebkurš skaitlis būs vai nu racionāls, vai iracionāls. Un visi racionālie un iracionālie skaitļi veido kopu, ko sauc reālo (reālo) skaitļu kopa. Šo kopu apzīmē ar burtu \\ (\\ mathbb (R) \\).
Tas nozīmē, ka visus skaitļus, kurus mēs šobrīd zinām, sauc par reāliem skaitļiem.

5. fakts.
\\ (\\ bullet \\) Reālā skaitļa modulis \\ (a \\) ir skaitlis, kas nav negatīvs \\ (| a | \\), vienāds ar attālumu no punkta \\ (a \\) līdz \\ (0 \\) reālajā līnijā. Piemēram, \\ (| 3 | \\) un \\ (| -3 | \\) ir vienādi ar 3, jo attālumi no punktiem \\ (3 \\) un \\ (- 3 \\) līdz \\ (0 \\) ir vienādi un ir vienādi ar \\ (3 \\).
\\ (\\ bullet \\) Ja \\ (a \\) ir skaitlis, kas nav negatīvs, tad \\ (| a | \u003d a \\).
Piemērs: \\ (| 5 | \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\). \\ (\\ bullet \\) Ja \\ (a \\) ir negatīvs skaitlis, tad \\ (| a | \u003d -a \\).
Piemērs: \\ (| -5 | \u003d - (- 5) \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | - \\ sqrt3 | \u003d - (- \\ sqrt3) \u003d \\ sqrt3 \\).
Viņi saka, ka modulis “apēd” mīnus negatīvos skaitļus, un modulis atstāj nemainīgus pozitīvos skaitļus, kā arī skaitli \\ (0 \\).
BET šis noteikums darbojas tikai cipariem. Ja jums ir nezināms \\ (x \\) zem moduļa zīmes (vai kāds cits nezināms), piemēram, \\ (| x | \\), par kuru mēs nezinām, vai tas ir pozitīvs, nulle vai negatīvs, tad atbrīvoties no moduļa mēs nevaram. Šajā gadījumā šī izteiksme paliek tāda: \\ (| x | \\). \\ (\\ bullet \\) Šādas formulas atbilst: \\ [(\\ large (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a |)) \\] \\ [(\\ large ((\\ sqrt (a)) ^ 2 \u003d a)), \\ text (pieņemot) a \\ geqslant 0 \\] Tiek pieļauta ļoti izplatīta kļūda: viņi saka, ka \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) un \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\) ir vienādi. Tas ir taisnība tikai tad, ja \\ (a \\) ir pozitīvs skaitlis vai nulle. Bet, ja \\ (a \\) ir negatīvs skaitlis, tad tā nav taisnība. Pietiek apsvērt šādu piemēru. Paņemiet skaitli \\ (- 1 \\), nevis \\ (a \\). Tad \\ (\\ sqrt ((- 1) ^ 2) \u003d \\ sqrt (1) \u003d 1 \\), bet izteiksme \\ ((\\ sqrt (-1)) ^ 2 \\) vispār nepastāv (galu galā, tas nav iespējams zem saknes zīmes ielieciet negatīvus skaitļus!).
Tāpēc mēs vēršam jūsu uzmanību uz to, ka \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) nav vienāds ar \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\)! Piemērs: 1) \\ (\\ sqrt (\\ pa kreisi (- \\ sqrt2 \\ pa labi) ^ 2) \u003d | - \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\)kopš \\ (- \\ sqrt2<0\) ;

\\ (\\ phantom (00000) \\) 2) \\ ((\\ sqrt (2)) ^ 2 \u003d 2 \\). \\ (\\ bullet \\) Tā kā \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a | \\), tad \\ [\\ sqrt (a ^ (2n)) \u003d | a ^ n | \\] (izteiksme \\ (2n \\) apzīmē pāra skaitli)
Tas ir, iegūstot sakni no skaitļa, kas zināmā mērā ir, šī pakāpe tiek samazināta uz pusi.
Piemērs:
1) \\ (\\ sqrt (4 ^ 6) \u003d | 4 ^ 3 | \u003d 4 ^ 3 \u003d 64 \\)
2) \\ (\\ sqrt ((- 25) ^ 2) \u003d | -25 | \u003d 25 \\) (ņemiet vērā, ka, ja modulis nav instalēts, tad izrādās, ka skaitļa sakne ir \\ (- 25 \\) ; bet mēs atceramies, ka pēc saknes definīcijas tas tā nevar būt: mums vienmēr ir pozitīvs skaitlis vai nulle, iegūstot sakni)
3) \\ (\\ sqrt (x ^ (16)) \u003d | x ^ 8 | \u003d x ^ 8 \\) (jo jebkurš skaitlis pāra lielumā nav negatīvs)

6. fakts.
Kā jūs salīdzināt divas kvadrātveida saknes?
\\ (\\ bullet \\) Kvadrātsaknēm ir taisnība: ja \\ (\\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Piemērs:
1) salīdziniet \\ (\\ sqrt (50) \\) un \\ (6 \\ sqrt2 \\). Pirmkārt, pārvērsim otro izteiksmi uz \\ (\\ sqrt (36) \\ cdot \\ sqrt2 \u003d \\ sqrt (36 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (72) \\)... Tādējādi kopš \\ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Starp kādiem veseliem skaitļiem ir \\ (\\ sqrt (50) \\)?
Tā kā \\ (\\ sqrt (49) \u003d 7 \\), \\ (\\ sqrt (64) \u003d 8 \\) un \\ (49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Salīdziniet \\ (\\ sqrt 2-1 \\) un \\ (0,5 \\). Pieņemsim, ka \\ (\\ sqrt2-1\u003e 0,5 \\): \\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt 2-1\u003e 0,5 \\ \\ liels | +1 \\ quad \\ text ((pievienojiet vienu abām pusēm)) \\\\ & \\ sqrt2\u003e 0,5 + 1 \\ \\ big | \\ ^ 2 \\ quad \\ text ((kvadrātveida abas puses)) \\\\ & 2\u003e 1,5 ^ 2 \\\\ & 2\u003e 2,25 \\ end (izlīdzināts) \\] Mēs redzam, ka mums ir nepareiza nevienlīdzība. Tāpēc mūsu pieņēmums bija nepareizs un \\ (\\ sqrt 2-1<0,5\) .
Ņemiet vērā, ka skaitļa pievienošana nevienlīdzības abām pusēm neietekmē tā zīmi. Abas nevienlīdzības puses reizināšana / dalīšana ar pozitīvu skaitli arī neietekmē tās zīmi, un reizināšana / dalīšana ar negatīvu skaitli apvērš nevienlīdzības zīmi!
Abas vienādojuma / nevienlīdzības puses varat kvadrātveida TIKAI, kad abas puses nav negatīvas. Piemēram, nevienlīdzībā no iepriekšējā piemēra abas puses var kvadrātā, nevienlīdzībā \\ (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \\ (\\ bullet \\) atcerieties to \\ [\\ begin (izlīdzināts) & \\ sqrt 2 \\ aptuveni 1.4 \\\\ & \\ sqrt 3 \\ aptuveni 1.7 \\ end (izlīdzināts) \\] Zinot aptuveno šo skaitļu vērtību, jums palīdzēs salīdzināt skaitļus! \\ (\\ bullet \\) Lai iegūtu sakni (ja tā tiek izvilkta) no kāda liela skaitļa, kura nav kvadrātu tabulā, vispirms ir jānosaka, starp kuriem "simtiem" tas ir, pēc tam - starp kuriem "desmitiem" "un pēc tam nosakiet šī skaitļa pēdējo ciparu. Parādīsim, kā tas darbojas, ar piemēru.
Veikt \\ (\\ sqrt (28224) \\). Mēs zinām, ka \\ (100 ^ 2 \u003d 10 \\, 000 \\), \\ (200 ^ 2 \u003d 40 \\, 000 \\) utt. Ņemiet vērā, ka \\ (28224 \\) ir starp \\ (10 \u200b\u200b\\, 000 \\) un \\ (40 \\, 000 \\). Tāpēc \\ (\\ sqrt (28224) \\) ir starp \\ (100 \\) un \\ (200 \\).
Tagad noskaidrosim, starp kuriem “desmitiem” atrodas mūsu skaitlis (tas ir, piemēram, starp \\ (120 \\) un \\ (130 \\). Arī no kvadrātu tabulas mēs zinām, ka \\ (11 ^ 2 \u003d 121 \\), \\ (12 ^ 2 \u003d 144 \\) utt., Tad \\ (110 ^ 2 \u003d 12100 \\), \\ (120 ^ 2 \u003d 14400 \\), \\ (130 ^ 2 \u003d 16900 \\), \\ (140 ^ 2 \u003d 19600 \\), \\ (150 ^ 2 \u003d 22500 \\), \\ (160 ^ 2 \u003d 25600 \\), \\ (170 ^ 2 \u003d 28900 \\). Tādējādi mēs redzam, ka \\ (28224 \\) ir starp \\ (160 ^ 2 \\) un \\ (170 ^ 2 \\). Tāpēc skaitlis \\ (\\ sqrt (28224) \\) ir starp \\ (160 \\) un \\ (170 \\).
Mēģināsim noteikt pēdējo ciparu. Atcerēsimies, kādi vienciparu skaitļi \\ (4 \\) beigās ir kvadrāti? Tie ir \\ (2 ^ 2 \\) un \\ (8 ^ 2 \\). Tāpēc \\ (\\ sqrt (28224) \\) beigsies ar 2 vai 8. Pārbaudīsim to. Atrast \\ (162 ^ 2 \\) un \\ (168 ^ 2 \\):
\\ (162 ^ 2 \u003d 162 \\ cdot 162 \u003d 26224 \\)
\\ (168 ^ 2 \u003d 168 \\ cdot 168 \u003d 28224 \\).
Tāpēc \\ (\\ sqrt (28224) \u003d 168 \\). Voila!

Lai adekvāti atrisinātu eksāmenu matemātikā, vispirms ir jāizpēta teorētiskais materiāls, kas iepazīstina ar daudzām teorēmām, formulām, algoritmiem utt. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka tas ir diezgan vienkārši. Tomēr atrast avotu, kurā matemātikas eksāmena teorija ir viegli un saprotami izklāstīta jebkura līmeņa apmācības studentiem, faktiski ir diezgan grūts uzdevums. Nav iespējams vienmēr turēt pie rokas skolas mācību grāmatas. Matemātikas eksāmena pamatformulu atrašana var būt sarežģīta pat internetā.

Kāpēc ir tik svarīgi matemātikā mācīties teoriju ne tikai tiem, kas kārto eksāmenu?

1. Jo tas paplašina jūsu redzesloku... Matemātikas teorētiskā materiāla izpēte ir noderīga ikvienam, kurš vēlas saņemt atbildes uz plašu jautājumu loku, kas saistīts ar apkārtējās pasaules zināšanām. Viss dabā ir kārtīgs un ar skaidru loģiku. Tas ir tieši tas, kas atspoguļojas zinātnē, caur kuru ir iespējams saprast pasauli.
2. Jo tas attīsta inteliģenci... Studējot matemātikas eksāmena uzziņu materiālus, kā arī risinot dažādas problēmas, cilvēks iemācās domāt loģiski un pamatot, kompetenti un skaidri formulēt domas. Viņš attīsta spēju analizēt, vispārināt, izdarīt secinājumus.

Mēs aicinām jūs personīgi novērtēt visas mūsu pieejas priekšrocības izglītības materiālu sistematizēšanā un noformēšanā.

Saturs:

Kvadrātsaknes var saskaitīt un atņemt tikai tad, ja tām ir vienāda radikālā izteiksme, tas ir, var saskaitīt vai atņemt 2√3 un 4√3, bet ne 2√3 un 2√5. Jūs varat vienkāršot radikāļu, lai tos pārveidotu par saknēm ar to pašu radikāļu (un pēc tam tos saskaitīt vai atņemt).

Soļi

1. daļa Izpratne par pamatiem

1. 1 (izteiksme zem saknes zīmes). Lai to izdarītu, saknes numuru iedala divos faktoros, no kuriem viens ir kvadrāta skaitlis (skaitlis, no kura jūs varat iegūt veselu sakni, piemēram, 25 vai 9). Pēc tam izvelciet sakni no kvadrāta skaitļa un pierakstiet atrasto vērtību saknes zīmes priekšā (otrais faktors paliks zem saknes zīmes). Piemēram, 6√50 - 2√8 + 5√12. Skaitļi pirms saknes zīmes ir atbilstošo sakņu faktori, un skaitļi zem saknes zīmes ir radikālie skaitļi (izteicieni). Lai atrisinātu šo problēmu, rīkojieties šādi:
   • 6√50 \u003d 6√ (25 x 2) \u003d (6 x 5) √2 \u003d 30√2. Šeit jūs 50 ieskaitāt koeficientos 25 un 2; tad no 25 jūs izvelciet sakni, kas vienāda ar 5, un izņemiet 5 no saknes. Tad reiziniet 5 ar 6 (koeficients saknē), un jūs saņemsiet 30√2.
   • 2√8 \u003d 2√ (4 x 2) \u003d (2 x 2) √2 \u003d 4√2. Šeit jūs 8. faktoru ņemat vērā koeficientos 4 un 2; tad no 4 iegūst sakni, kas vienāda ar 2, un izņem no saknes 2. Tad jūs reizināt 2 ar 2 (koeficients saknē) un iegūstat 4√2.
   • 5√12 \u003d 5√ (4 x 3) \u003d (5 x 2) √3 \u003d 10√3. Šeit jūs koeficientu 12 ņemat vērā koeficientos 4 un 3; tad no 4 iegūst sakni, kas vienāda ar 2, un izņem no saknes 2. Tad jūs reizināt 2 ar 5 (koeficients saknē) un iegūstat 10√3.
2. 2 Uzsveriet saknes, kuru radikālās izpausmes ir vienādas. Mūsu piemērā vienkāršotā izteiksme ir: 30√2 - 4√2 + 10√3. Tajā jums jāuzsver pirmais un otrais termins ( 30√2 un 4√2 ), jo tiem ir vienāds saknes numurs 2. Jūs varat saskaitīt un atņemt tikai šādas saknes.
3. 3 Ja jums tiek dota izteiksme ar lielu locekļu skaitu, no kuriem daudziem ir vienādas radikālas izteiksmes, izmantojiet vienu, dubultu, trīskāršu pasvītrojumu, lai apzīmētu šādus locekļus, lai atvieglotu šīs izteiksmes atrisināšanu.
4. 4 Saknēm, kuru radikālās izteiksmes ir vienādas, pievienojiet vai atņemiet faktorus saknes zīmes priekšā un atstājiet to pašu (nepievienojiet un neatņemiet radikālos skaitļus!). Ideja ir parādīt, cik saknes ar noteiktu radikālu izteicienu satur noteiktā izteiksmē.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

2. daļa Prakse ar piemēriem

1. 1 1. piemērs: √(45) + 4√5.
   • Vienkāršojiet √ (45). Faktors 45: √ (45) \u003d √ (9 x 5).
   • Izņemiet 3 no saknes (√9 \u003d 3): √ (45) \u003d 3√5.
   • Tagad pievienojiet faktorus saknēs: 3√5 + 4√5 \u003d 7√5
2. 2 2. piemērs: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Vienkāršojiet 6√ (40). Faktors 40: 6√ (40) \u003d 6√ (4 x 10).
   • Izņemiet 2 no saknes (√4 \u003d 2): 6√ (40) \u003d 6√ (4 x 10) \u003d (6 x 2) √10.
   • Reiziniet koeficientus saknes priekšā, lai iegūtu 12√10.
   • Tagad izteicienu var rakstīt kā 12√10 - 3√ (10) + √5. Tā kā pirmajiem diviem dalībniekiem ir vienāds radikālais skaitlis, otro vārdu varat atņemt no pirmā un atstāt pirmo nemainīgu.
   • Jūs saņemsiet: (12-3) √10 + √5 \u003d 9√10 + √5.
3. 3 3. piemērs. 9√5 -2√3 - 4√5. Nevienu no radikālajiem izteicieniem šeit nevar faktorizēt, tāpēc šo izteicienu nevar vienkāršot. Jūs varat atņemt trešo vārdu no pirmā (jo tiem ir vienādi radikālie skaitļi) un atstāt otro nemainīgu. Jūs saņemat: (9-4) √5 -2√3 \u003d 5√5 - 2√3.
4. 4 4. piemērs. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 \u003d √ (3 x 3) \u003d 3.
   • √4 \u003d √ (2 x 2) \u003d 2.
   • Tagad jūs varat vienkārši pievienot 3 + 2, lai iegūtu 5.
   • Galīgā atbilde ir 5 - 3√2.
5. 5 5. piemērs. Atrisiniet izteiksmi, kas satur saknes un frakcijas. Jūs varat pievienot un aprēķināt tikai tās frakcijas, kurām ir kopīgs (tas pats) saucējs. Tiek dota izteiksme (√2) / 4 + (√2) / 2.
   • Atrodiet šo frakciju mazāko kopsaucēju. Tas ir skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar katru saucēju. Mūsu piemērā 4 un 2 dalās ar 4.
   • Tagad reiziniet otro daļu ar 2/2 (lai to sasniegtu kopsaucējā; pirmā daļa jau ir samazināta līdz tai): (√2) / 2 x 2/2 \u003d (2√2) / 4.
   • Pievienojiet frakciju skaitītājus un atstājiet saucēju vienādu: (√2) / 4 + (2√2) / 4 \u003d (3√2) / 4 .

• Pirms sakņu pievienošanas vai atņemšanas noteikti vienkāršojiet (ja iespējams) radikālos izteicienus.

Brīdinājumi

• Nekad nepievienojiet un neatņemiet saknes ar dažādiem radikāļiem.
• Nekad nepievienojiet un neatņemiet, piemēram, veselu skaitli un sakni 3 + (2x) 1/2 .
  • Piezīme: "x" līdz vienai sekundei un kvadrātsakne "x" ir vienādas (ti, x 1/2 \u003d √x).