Starp kvadrāta vienādojuma saknēm un koeficientiem papildus sakņu formulām ir arī citas noderīgas attiecības, kas ir iestatītas vietas teorēma... Šajā rakstā mēs sniegsim formulējumu un pierādījumu Vieta teorēmai par kvadrātvienādojums... Pēc tam apsveriet teorēmas sarunu ar Vieta teorēmu. Pēc tam mēs analizēsim tipiskāko piemēru risinājumus. Visbeidzot, mēs pierakstām Vieta formulas, kas nosaka saikni starp reālajām saknēm algebriskais vienādojums n pakāpe un tās koeficienti.

Lapas navigācija.

Vieta teorēma, formulējums, pierādījums

No kvadrātvienādojuma a x 2 + b x + c \u003d 0 formas sakņu formulām, kur D \u003d b 2 −4 a c, izriet, ka x 1 + x 2 \u003d −b / a, x 1 x 2 \u003d c / a. Šie rezultāti ir apstiprināti vietas teorēma:

Teorēma.

Ja x 1 un x 2 ir kvadrātvienādojuma a x 2 + b x + c \u003d 0 saknes, tad sakņu summa ir vienāda ar koeficientu b un a attiecību no pretēja zīme, un sakņu reizinājums ir vienāds ar koeficientu c un a attiecību, tas ir ,.

Pierādījumi.

Mēs veicam Vieta teorēmas pārbaudi pēc šādas shēmas: sastādiet kvadrātvienādojuma sakņu summu un reizinājumu, izmantojot labi zināmās sakņu formulas, pēc tam pārveidojiet iegūtās izteiksmes un pārliecinieties, ka tās ir vienādas ar −b / a un c / a.

Sāksim ar sakņu summu, sastādiet to. Tagad mēs nesam frakcijas līdz kopsaucējs, mums ir. Iegūtās daļas skaitītājā: Visbeidzot, pēc 2, mēs saņemam. Tas pierāda Vietas teorēmas pirmo sakarību ar kvadrātvienādojuma sakņu summu. Pārejam pie otrā.

Mēs sastādām kvadrātvienādojuma sakņu reizinājumu: Saskaņā ar frakciju reizināšanas likumu pēdējais gabals var rakstīt kā. Tagad mēs reizinām iekavas ar iekavām skaitītājā, taču ātrāk ir jāsamazina šis produkts kvadrātu starpības formula, Tātad. Tad, atceroties, mēs veicam nākamo pāreju. Tā kā kvadrātvienādojuma vienādojums atšķiras ar formulu D \u003d b 2 −4 · a · c, pēdējā frakcijā D vietā var aizstāt b 2 −4 · a · c, iegūstam. Pēc kronšteinu paplašināšanas un liešanas līdzīgi termini mēs sasniedzam daļu, un tās samazinājums par 4 · a dod. Tas pierāda Vietas teorēmas otro saistību ar sakņu produktu.

Ja mēs izslēdzam paskaidrojumus, tad Vietas teorēmas pierādījums ir lakonisks:
,
.

Atliek tikai atzīmēt, ka tad, kad diskriminants ir vienāds ar nulli, kvadrātvienādojumam ir viena sakne. Tomēr, ja pieņemam, ka vienādojumam šajā gadījumā ir divas identiskas saknes, tad ir spēkā arī vienādības no Vietas teorēmas. Patiešām, ja D \u003d 0, kvadrātvienādojuma sakne ir vienāda, tad un, un, tā kā D \u003d 0, tas ir, b 2 −4 · a · c \u003d 0, no kurienes b 2 \u003d 4 · a · c, tad.

Praksē Vieta teorēmu visbiežāk izmanto saistībā ar samazinātu kvadrātvienādojumu (ar vadošo koeficientu vienāds ar 1) formas x 2 + p x + q \u003d 0. Dažreiz to formulē tieši šāda veida kvadrātvienādojumiem, kas neierobežo vispārīgumu, jo jebkuru kvadrātvienādojumu var aizstāt ar ekvivalentu vienādojumu, abas daļas dalot ar nulles skaitli a. Šeit ir atbilstošā Vietas teorēmas formulēšana:

Teorēma.

Samazinātā kvadrātvienādojuma x 2 + px + q \u003d 0 sakņu summa ir vienāda ar koeficientu x, kas ņemts ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir brīvais termins, tas ir, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q.

Vietas teorēmas apgrieztā versija

Vietas teorēmas otrais formulējums, kas sniegts iepriekšējā apakšnodaļā, norāda, ka, ja x 1 un x 2 ir samazinātā kvadrātvienādojuma x 2 + px + q \u003d 0 saknes, tad x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q. No otras puses, no rakstiskajām attiecībām x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q izriet, ka x 1 un x 2 ir kvadrātvienādojuma x 2 + p x + q \u003d 0 saknes. Citiem vārdiem sakot, ir taisnība pretēji Vietas teorēmai. Formulēsim to teorēmas formā un pierādīsim.

Teorēma.

Ja skaitļi x 1 un x 2 ir tādi, ka x 1 + x 2 \u003d −p un x 1 x 2 \u003d q, tad x 1 un x 2 ir samazinātā kvadrātvienādojuma x 2 + p x + q \u003d 0 saknes.

Pierādījumi.

Pēc koeficientu p un q aizstāšanas vienādojumā x 2 + p x + q \u003d 0, to izteiksmes x 1 un x 2 izteiksmē, tiek pārveidotas par līdzvērtīgu vienādojumu.

Rezultātā iegūtā vienādojuma vietā mēs aizstājam skaitli x 1, un mums ir vienādība x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 \u003d 0, kas jebkuram x 1 un x 2 ir patiesa skaitliskā vienādība 0 \u003d 0, jo x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 \u003d x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 \u003d 0... Tāpēc x 1 ir vienādojuma sakne x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, kas nozīmē, ka x 1 ir ekvivalenta x 2 + p x + q \u003d 0 sakne.

Ja vienādojums x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 aizvieto x skaitli x 2, tad mēs iegūstam vienādību x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 \u003d 0... Tā ir pamatota vienlīdzība, jo x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 \u003d x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 + x 1 x 2 \u003d 0... Tāpēc x 2 ir arī vienādojuma sakne x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, un līdz ar to vienādojumi x 2 + p x + q \u003d 0.

Tas aizpilda teorēmas pierādījumu. sarunāties teorēmu Vieta.

Vietas teorēmas izmantošanas piemēri

Ir pienācis laiks runāt par Vieta teorēmas un tās pretējās teorēmas praktisko pielietojumu. Šajā sadaļā mēs analizēsim vairāku tipiskāko piemēru risinājumus.

Mēs sākam, piemērojot sarunu teorēmu Vieta teorēmai. To ir ērti izmantot, lai pārbaudītu, vai dotie divi skaitļi ir attiecīgā kvadrātvienādojuma saknes. Šajā gadījumā tiek aprēķināta to summa un starpība, pēc kuras tiek pārbaudīts koeficientu derīgums. Ja abas šīs attiecības ir apmierinātas, tad, pamatojoties uz Vietas teorēmai apgrieztu teorēmu, tiek secināts, ka šie skaitļi ir vienādojuma saknes. Ja vismaz viena no attiecībām nav apmierināta, tad šie skaitļi nav kvadrātvienādojuma saknes. Šo pieeju var izmantot, risinot kvadrātvienādojumus, lai pārbaudītu atrastās saknes.

Piemērs.

Kurš no skaitļu pāriem 1) x 1 \u003d −5, x 2 \u003d 3 vai 2), vai 3) ir kvadrāta vienādojuma 4 x 2 −16 x + 9 \u003d 0 sakņu pāris?

Lēmums.

Dotā kvadrātvienādojuma 4 x 2 −16 x + 9 \u003d 0 koeficienti ir a \u003d 4, b \u003d −16, c \u003d 9. Saskaņā ar Vieta teorēmu kvadrātvienādojuma sakņu summai jābūt vienādai ar −b / a, tas ir, 16/4 \u003d 4, un sakņu reizinājumam jābūt vienādam ar c / a, tas ir, 9 / 4.

Tagad aprēķināsim skaitļu summu un reizinājumu katrā no trim dotajiem pāriem un salīdzināsim tos ar tikko iegūtajām vērtībām.

Pirmajā gadījumā mums ir x 1 + x 2 \u003d −5 + 3 \u003d −2. Rezultātā iegūtā vērtība atšķiras no 4, tāpēc turpmāku pārbaudi veikt nevar, un saskaņā ar teorēmu, kas apgriezta ar Vieta teorēmu, nekavējoties seciniet, ka pirmais skaitļu pāris nav dotā kvadrātvienādojuma sakņu pāris.

Mēs pāriet uz otro lietu. Tas ir, tas ir, pirmais nosacījums ir izpildīts. Mēs pārbaudām otro nosacījumu :, iegūtā vērtība atšķiras no 9/4. Tāpēc otrais skaitļu pāris nav kvadrātvienādojuma sakņu pāris.

Paliek pēdējais gadījums. Šeit un. Abi nosacījumi ir izpildīti, tāpēc šie skaitļi x 1 un x 2 ir dotā kvadrātvienādojuma saknes.

Atbilde:

Vietas apgriezto teorēmu praksē var izmantot, lai izvēlētos kvadrātvienādojuma saknes. Parasti tiek atlasītas visas samazināto kvadrātvienādojumu saknes ar veseliem skaitļiem, jo \u200b\u200bcitos gadījumos to izdarīt ir diezgan grūti. Šajā gadījumā viņi izmanto faktu, ka, ja divu skaitļu summa ir vienāda ar kvadrātvienādojuma otro koeficientu, kas ņemts ar mīnus zīmi, un šo skaitļu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu, tad šie skaitļi ir šī kvadrātvienādojuma saknes. Apskatīsim to ar piemēru.

Ņem kvadrātvienādojumu x 2 −5 x + 6 \u003d 0. Lai skaitļi x 1 un x 2 būtu šī vienādojuma saknes, ir jāatbilst abām vienādībām x 1 + x 2 \u003d 5 un x 1 x 2 \u003d 6. Atliek atrast šādus skaitļus. Šajā gadījumā to izdarīt ir pavisam vienkārši: šādi skaitļi ir 2 un 3, jo 2 + 3 \u003d 5 un 2,3 \u003d 6. Tādējādi 2. un 3. ir šī kvadrātvienādojuma saknes.

Reverso teorēmu ar Vietas teorēmu ir īpaši ērti izmantot, lai atrastu samazināta kvadrātvienādojuma otro sakni, kad viena no saknēm jau ir zināma vai acīmredzama. Šajā gadījumā otra sakne ir atrodama no jebkuras attiecības.

Piemēram, ņemsim kvadrāta vienādojumu 512 x 2 −509 x - 3 \u003d 0. Šeit ir viegli redzēt, ka viens ir vienādojuma sakne, jo šī kvadrātvienādojuma koeficientu summa ir nulle. Tātad x 1 \u003d 1. Otro sakni x 2 var atrast, piemēram, no sakarības x 1 x 2 \u003d c / a. Mums ir 1 x 2 \u003d −3 / 512, no kurienes x 2 \u003d −3 / 512. Tā mēs noteicām kvadrātvienādojuma abas saknes: 1 un −3/512.

Ir skaidrs, ka sakņu izvēle ir ieteicama tikai visvienkāršākajos gadījumos. Citos gadījumos, lai atrastu saknes, caur diskriminantu var pielietot kvadrātvienādojuma sakņu formulas.

Cits praktiska izmantošana teorēma, sarunājoties ar Vieta teorēmu, sastāv no kvadrātvienādojumu sastādīšanas dotajām saknēm x 1 un x 2. Lai to izdarītu, pietiek ar sakņu summas aprēķināšanu, kas dod koeficientu x ar pretēju pazeminātā kvadrātvienādojuma vienādojumu, un sakņu reizinājumu, kas dod brīvo terminu.

Piemērs.

Uzrakstiet kvadrātvienādojumu ar skaitļiem −11 un 23 kā saknēm.

Lēmums.

Mēs iestatījām x 1 \u003d −11 un x 2 \u003d 23. Novērtējiet šo skaitļu summu un reizinājumu: x 1 + x 2 \u003d 12 un x 1 x 2 \u003d −253. Tāpēc šie skaitļi ir samazinātā kvadrātvienādojuma saknes ar otro koeficientu −12 un −253 krustpunktu. Tas ir, x 2 −12 · x - 253 \u003d 0 ir vēlamais vienādojums.

Atbilde:

x 2 −12 x - 253 \u003d 0.

Vietas teorēmu ļoti bieži izmanto, lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar kvadrātvienādojumu sakņu pazīmēm. Kā Vieta teorēma ir saistīta ar samazināta kvadrātvienādojuma x 2 + p x + q \u003d 0 sakņu pazīmēm? Šeit ir divi saistīti apgalvojumi:

• Ja brīvais termins q - pozitīvs skaitlis un, ja kvadrātvienādojumam ir reālas saknes, tad vai nu tie abi ir pozitīvi, vai arī abi ir negatīvi.
• Ja brīvais termins q ir negatīvs skaitlis un ja kvadrātvienādojumam ir reālas saknes, tad to zīmes ir atšķirīgas, citiem vārdiem sakot, viena sakne ir pozitīva, bet otra - negatīva.

Šie apgalvojumi izriet no formulas x 1 x 2 \u003d q, kā arī no pozitīvā, negatīvie skaitļi un cipari ar dažādām zīmēm. Apsvērsim to piemērošanas piemērus.

Piemērs.

R tas ir pozitīvs. Izmantojot diskriminējošo formulu, mēs atrodam D \u003d (r + 2) 2 −4 1 (r - 1) \u003d r 2 + 4 r + 4−4 r + 4 \u003d r 2 +8, izteiksmes r 2 + vērtību 8 ir pozitīvs jebkuram reālam r, tādējādi D\u003e 0 jebkuram reālam r. Tāpēc sākotnējam kvadrātvienādojumam ir divas saknes jebkurām parametra r reālajām vērtībām.

Tagad noskaidrosim, kad saknēm ir dažādas zīmes... Ja sakņu pazīmes ir atšķirīgas, tad to reizinājums ir negatīvs, un saskaņā ar Vieta teorēmu samazinātā kvadrātvienādojuma sakņu produkts ir vienāds ar brīvo terminu. Tāpēc mūs interesē tās r vērtības, kurām brīvais termins r - 1 ir negatīvs. Tādējādi, lai atrastu r interesējošās r vērtības, mums tās ir vajadzīgas atrisināt lineārā nevienlīdzība r - 1<0 , откуда находим r<1 .

Atbilde:

pie r<1 .

Vietas formulas

Iepriekš mēs runājām par Vieta kvadrātvienādojuma vienādojuma teorēmu un analizējām attiecības, uz kurām tā apgalvo. Bet ir formulas, kas savieno reālās saknes un koeficientus ne tikai kvadrātvienādojumiem, bet arī kubikvienādojumiem, četrkāršu vienādojumiem un kopumā algebriskie vienādojumi grāds n. Tos sauc vietas formulas.

Uzrakstīsim Vietas formulas formas n pakāpes algebriskam vienādojumam, šajā gadījumā pieņemsim, ka tam ir n reālas saknes x 1, x 2, ..., x n (starp tām var būt sakrītošas):

Saņemiet Vieta formulas ļauj teorēma par polinoma sadalīšanos lineāros faktoros, kā arī vienādu polinomu definīciju, izmantojot visu to atbilstošo koeficientu vienādību. Tātad polinoms un tā faktorizācija formas lineārajos faktoros ir vienāda. Paplašinot iekavās pēdējā produktā un pielīdzinot atbilstošos koeficientus, iegūstam Vieta formulas.

Jo īpaši attiecībā uz n \u003d 2 mums jau ir pazīstamas Vieta formulas kvadrātvienādojumam.

Attiecībā uz kubisko vienādojumu Vieta formulas ir

Atliek tikai atzīmēt, ka Vieta formulu kreisajā pusē ir tā sauktie elementāri simetriski polinomi.

Atsauces saraksts.

• Algebra: pētījums. uz 8 cl. vispārējā izglītība. iestādes / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. izdevums - M .: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slims - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovičs Algebra. 8. klase. Plkst.14 1. daļa. Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 11. izdevums, Dzēsts. - M.: Mnemosina, 2009. - 215 lpp .: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra un matemātiskās analīzes sākums. 10. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai. iestādes: pamata un profils. līmeņi / [Yu. M. Koļagins, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabuņins]; ed. A. B. Žižčenko. - 3. izdev. - M.: Izglītība, 2010. - 368 lpp. : slims - ISBN 978-5-09-022771-1.

Vienādojuma sakņu summas noteikšana ir viens no nepieciešamajiem posmiem kvadrātvienādojumu atrisināšanā (formas ax² + bx + c \u003d 0 vienādojumi, kur eksponenti a, b un c ir patvaļīgi skaitļi, un a? 0) ar Vietas teorēmas atbalstu.

Instrukcijas

1. Rakstiet kvadrātvienādojumu kā ax² + bx + c \u003d 0 Piemērs: Sākotnējais vienādojums: 12 + x² \u003d 8x Pareizi uzrakstīts vienādojums: x² - 8x + 12 \u003d 0

2. Pielietojiet Vieta teorēmu, saskaņā ar kuru vienādojuma sakņu summa būs vienāda ar skaitli "b", kas ņemts ar pretēju zīmi, un to reizinājums būs vienāds ar skaitli "c". Piemērs: aplūkotajā vienādojumā b \u003d -8, c \u003d 12, attiecīgi: x1 + x2 \u003d 8 × 1 ∗ x2 \u003d 12

3. Uzziniet, vai vienādojumu saknes ir pareizas vai negatīvas. Ja gan reizinājums, gan sakņu summa ir pozitīvi skaitļi, visas saknes ir pareizais skaitlis. Ja sakņu reizinājums ir pareizs un sakņu summa ir negatīvs skaitlis, tad abas saknes ir negatīvas. Ja sakņu reizinājums ir negatīvs, tad vienas saknes saknēm ir zīme “+” un vēl viena zīme “-”. Šajā gadījumā jums jāizmanto papildu noteikums: “Ja sakņu summa ir pozitīva skaitlis, arī lielākā moduļa sakne ir pozitīva, un, ja sakņu summa ir negatīva - lielākā moduļa sakne - negatīva. ”Piemērs: Apskatāmajā vienādojumā gan summa, gan reizinājums ir pareizi skaitļi. : 8 un 12, tāpēc abas saknes ir pozitīvi skaitļi.

4. Atrisiniet iegūto vienādojumu sistēmu, izvēloties saknes. Ērtāk būs sākt atlasi ar faktoriem un pēc tam pārbaudīt aizstāt jebkuru faktoru pāri otrajā vienādojumā un pārbaudīt, vai šo sakņu summa atbilst risinājumam. saknes ir attiecīgi 12 un 1, 6 un 2, 4 un 3 Pārbaudiet iegūtos pārus, kas atbalsta vienādojumu x1 + x2 \u003d 8. Pāris 12 + 1 ≠ 86 + 2 \u003d 84 + 3 ≠ 8 Attiecīgi vienādojuma saknes ir skaitļi 6 un 8.

Vienādojums ir formas f (x, y,…) \u003d g (x, y, ..) vienādība, kur f un g ir viena vai vairāku mainīgo funkcijas. Vienādojuma saknes atrašana nozīmē atrast argumentu kopumu, uz kuru attiecas šī vienlīdzība.

Jums būs nepieciešams

• Zināšanas par matemātisko pārskatu.

Instrukcijas

1. Varbūt jums ir tāds vienādojums kā: x + 2 \u003d x / 5. Vispirms mēs pārnesam visus šīs vienlīdzības komponentus no labās puses uz kreiso pusi, vienlaikus mainot komponenta zīmi uz pretējo. Šī vienādojuma labajā pusē paliek nulle, tas ir, mēs iegūstam sekojošo: x + 2-x / 5 \u003d 0.

2. Sniegsim līdzīgus noteikumus. Mēs iegūstam sekojošo: 4x / 5 + 2 \u003d 0.

3. Tālāk no iegūtā reducētā vienādojuma mēs atrodam nezināmu terminu, šajā gadījumā tas ir x. Rezultātā iegūtā nezināmā mainīgā vērtība būs sākotnējā vienādojuma risinājums. Šajā gadījumā mēs iegūstam sekojošo: x \u003d -2,5.

Saistītie videoklipi

Piezīme!
Lēmuma rezultātā var rasties nevajadzīgas saknes. Tie nebūs sākotnējā vienādojuma risinājums, pat ja jūs visu esat atrisinājis pozitīvi. Pārbaudiet visus saņemtos risinājumus.

Noderīgs padoms
Vienmēr pārbaudiet iegūtās svešinieka vērtības. To var izdarīt primitīvi, aizstājot iegūto vērtību sākotnējā vienādojumā. Ja vienlīdzība ir pareiza, tad risinājums ir pareizs.

Vieta teorēma izveido tiešu saistību starp saknēm (x1 un x2) un eksponentiem (b un c, d) vienādojumā, piemēram, bx2 + cx + d \u003d 0. Ar šīs teorēmas palīdzību ir atļauts, nenosakot sakņu vērtības, prātā aprēķināt to summu, neapdomīgi runājot. Šajā ziņā nav nekā grūta, galvenais ir zināt dažus noteikumus.

Jums būs nepieciešams

• - kalkulators;
• - papīrs piezīmēm.

Instrukcijas

1. Veiciet pētāmā kvadrātvienādojuma vienādojumu standarta formā, lai visi eksponenti ietu dilstošā secībā, tas ir, sākumā augstākā pakāpe ir x2, bet beigās nulle ir x0. Vienādojums būs šāds: b * x2 + c * x1 + d * x0 \u003d b * x2 + c * x + d \u003d 0.

2. Pārbaudiet diskriminanta negatīvismu. Šī pārbaude ir nepieciešama, lai pārliecinātos, vai vienādojumam ir saknes. D (diskriminants) ir formā: D \u003d c2 - 4 * b * d. Šeit ir vairākas iespējas. D - diskriminējošs - pareizs, kas nozīmē, ka vienādojumam ir divas saknes. D - vienāds ar nulli, no tā izriet, ka ir sakne, bet tā ir divējāda, tas ir, x1 \u003d x2. D - negatīvs, skolas algebras kursam šis nosacījums nozīmē, ka nav sakņu, augstākajai matemātikai ir saknes, bet tās ir sarežģītas.

3. Atrodiet vienādojuma sakņu summu. Izmantojot Vieta teorēmu, to ir viegli izdarīt: b * x2 + c * x + d \u003d 0. Vienādojuma sakņu summa ir tieši proporcionāla “–c” un apgriezti proporcionāla rādītājam “b”. Proti, x1 + x2 \u003d -c / b. Nosakiet sakņu reizinājumu pēc formulējuma - vienādojuma sakņu reizinājums ir tieši proporcionāls "d" un apgriezti proporcionāls rādītājam "b": x1 * x2 \u003d d / b.

Piezīme!
Ja jūs saņemat negatīvu diskriminantu, tas nenozīmē, ka nav sakņu. Tas nozīmē, ka vienādojuma saknes ir tā sauktās sarežģītās saknes. Šajā gadījumā ir piemērojama Vieta teorēma, taču tās forma nedaudz mainīsies: [-c + (- i) * (- c2 + 4 * b * d) 0,5] / \u003d x1,2

Noderīgs padoms
Ja jūs saskaras nevis ar kvadrātvienādojumu, bet ar kubiku vai n grāda vienādojumu: b0 * xn + b1 * xn-1 +… .. + bn \u003d 0, tad, lai aprēķinātu sakņu summu vai reizinājumu vienādojumu, jūs varat arī pareizi izmantot Vieta teorēmu: viens. –B1 / b0 \u003d x1 + x2 + x3 +…. + Xn, 2. b2 / b0 \u003d x1 * x2 +…. + xn-1 * xn, 3. (-1) n * (bn / b0) \u003d x1 * x2 * x3 *…. * Xn.

Ja pēc skaitļa aizstāšanas vienādojumā tiek iegūta pareizā vienādība, šādu skaitli sauc par sakni. Saknes var būt pareizas, negatīvas vai nulles. Starp katru vienādojuma sakņu kopu izšķir maksimumu un minimumu.

Instrukcijas

1. Atrodiet visas vienādojuma saknes, starp tām atlasiet negatīvo, ja tāda ir. Pieņemsim, ka, ņemot vērā kvadrāta vienādojumu 2x? -3x + 1 \u003d 0. Izmantojiet formulu kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai: x (1,2) \u003d / 2 \u003d / 2 \u003d / 2, pēc tam x1 \u003d 2, x2 \u003d 1. Ir viegli pamanīt, ka viņu vidū nav negatīvu.

2. Izmantojot Vieta teorēmu, ir iespējams arī atrast kvadrātvienādojuma saknes. Saskaņā ar šo teorēmu x1 + x1 \u003d -b, x1? X2 \u003d c, kur b un c ir attiecīgi vienādojuma x? + Bx + c \u003d 0 eksponenti. Piemērojot šo teorēmu, ir atļauts neaprēķināt diskriminantu bα -4ac, kas dažos gadījumos var ievērojami vienkāršot problēmu.

3. Ja kvadrātvienādojumā eksponents pie x ir pat, sakņu atrašanai ir atļauts izmantot nevis pamata, bet saīsinātu formulu. Ja pamatformula izskatās kā x (1,2) \u003d [- b ±? (B? -4ac)] / 2a, tad saīsinātā formā to raksta šādi: x (1,2) \u003d [- b / 2 ± a (b? / 4-ac)] / a. Ja kvadrātvienādojumā nav pārtveršanas, ir diezgan viegli pārvietot x ārpus iekavām. Dažreiz kreisā puse saliekas pilnā kvadrātā: x? + 2x + 1 \u003d (x + 1)?.

4. Ir vienādojumu veidi, kas dod ne tikai vienu skaitli, bet arī daudz risinājumu. Pieņemsim, ka trigonometriskie vienādojumi. Tātad vienādojuma 2sin? (2x) + 5sin (2x) -3 \u003d 0 rezultāts būs x \u003d? / 4+? K, kur k ir vesels skaitlis. Tas ir, aizvietojot jebkuru parametra k veselu skaitli, arguments x apmierinās doto vienādojumu.

5. Trigonometrisko problēmu gadījumā jums, iespējams, būs jāatrod visas negatīvās saknes vai visaugstākā negatīvā. Šādu problēmu risināšanā tiek izmantota loģiskā spriešana vai matemātiskās indukcijas metode. Pievienojiet dažas skaitļa k vērtības x \u003d? / 4+? K un skatieties, kā izturas arguments. Starp citu, lielākā vienādojuma negatīvā sakne iepriekšējā vienādojumā būs x \u003d -3? / 4 pie k \u003d 1.

Saistītie videoklipi

Piezīme!
Šajā piemērā tika aplūkots kvadrātvienādojuma variants, kurā a \u003d 1. Lai atrisinātu pilnu kvadrātvienādojumu ar to pašu metodi, kur a & ne 1, jums jāsastāda palīgvienādojums, apvienojot "a".

Noderīgs padoms
Izmantojiet šo vienādojumu risināšanas metodi, lai ātri atrastu saknes. Tas palīdzēs arī tad, ja jums ir jāatrisina vienādojums galvā, neizmantojot piezīmes.

Dotā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu.

(Atgādinām, ka iepriekšējais kvadrātvienādojums ir vienādojums, kur pirmais koeficients ir 1).

Paskaidrojums:

Ļaujiet kvadrātvienādojumu cirvis 2 +bx +c \u003d 0 ir saknes x 1 un x 2. Tad pēc Vietas teorēmas:

1. piemērs:

Iepriekš minētajam vienādojumam x 2 - 7x + 10 \u003d 0 ir saknes 2 un 5.

Sakņu summa ir 7, un produkts ir 10.

Un mūsu vienādojumā otrais koeficients ir -7, un pārtveršana ir 10.

Tādējādi sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu.

Diezgan bieži ir kvadrātvienādojumi, kurus var viegli aprēķināt, izmantojot Vieta teorēmu - turklāt ar tā palīdzību tos ir vieglāk aprēķināt. To ir viegli pārbaudīt gan iepriekšējā, gan nākamajā piemērā.

2. piemērs. Atrisiniet kvadrātvienādojumu x 2 – 2x – 24 = 0.

Lēmums.

Mēs izmantojam Vieta teorēmu un pierakstām divas identitātes:

x viens · x 2 = –24

x 1 + x 2 = 2

Mēs izvēlamies šādus koeficientus –24, lai to summa būtu vienāda ar 2. Pēc dažām pārdomām mēs atrodam: 6 un –4. Pārbaudīsim:

6 · (- 4) \u003d –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Kā jūs pamanījāt, praksē Vieta teorēmas būtība ir brīvā termina sadalīšana dotajā kvadrātvienādojumā faktoros, kuru summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi. Šie faktori būs saknes.

Tas nozīmē, ka mūsu kvadrātvienādojuma saknes ir 6 un –4.

Atbilde: x 1 = 6, x 2 = –4.

3. piemērs. Atrisiniet kvadrātvienādojumu 3x 2 + 2x - 5 \u003d 0.

Šeit mēs nenodarbojamies ar doto kvadrātvienādojumu. Bet šādus vienādojumus var atrisināt arī, izmantojot Vieta teorēmu, ja to koeficienti ir līdzsvaroti - piemēram, ja pirmā un trešā koeficienta summa ir vienāda ar otro ar pretēju zīmi.

Lēmums.

Vienādojuma koeficienti ir līdzsvaroti: pirmā un trešā termina summa ir vienāda ar otro ar pretēju zīmi:

3 + (–5) = –2.

Saskaņā ar Vietas teorēmu

x 1 + x 2 \u003d –2/3
x 1 x 2 \u003d –5/3.

Mums jāatrod divi skaitļi, kuru summa ir –2/3, bet reizinājums –5/3. Šie skaitļi būs vienādojuma saknes.

Pirmais skaitlis tiek uzminēts uzreiz: tas ir 1. Galu galā, ja x \u003d 1, vienādojums pārvēršas vienkāršākajā saskaitīšanas-atņemšanas reizē:
3 + 2 - 5 \u003d 0. Kā jūs atrodat otro sakni?
Atzīmēsim 1 kā 3/3, lai visiem skaitļiem būtu viens un tas pats saucējs: šādā veidā ir vieglāk. Un turpmākā darbība nekavējoties liek domāt par sevi. Ja x 1 \u003d 3/3, tad:

3/3 + x 2 \u003d –2/3.

Mēs atrisinām vienkāršu vienādojumu:

x 2 \u003d –2/3 - 3/3.

Atbilde: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d –5/3

4. piemērs: Atrisiniet kvadrātisko vienādojumu 7 x 2 – 6x – 1 = 0.

Lēmums:

Viena sakne tiek atklāta nekavējoties - tā iekrīt acīs: x 1 \u003d 1 (jo izrādās vienkārša aritmētika: 7 - 6 - 1 \u003d 0).

Vienādojuma koeficienti ir līdzsvaroti: pirmā un trešā summa ir vienāda ar otro ar pretēju zīmi:
7 + (– 1) = 6.

Saskaņā ar Vieta teorēmu mēs sastādām divas identitātes (lai gan šajā gadījumā pietiek ar vienu no tām):

x viens · x 2 = –1/7
x 1 + x 2 = 6/7

Jebkurā no šīm divām izteiksmēm aizstājiet vērtību x 1 un atrodiet x 2:

x 2 = –1/7: 1 = –1/7

Atbilde: x 1 = 1; x 2 = –1/7

Samazinātā kvadrātvienādojuma atšķirīgais.

Samazinātā kvadrātvienādojuma diskriminantu var aprēķināt gan pēc vispārīgās formulas, gan pēc vienkāršotās:

KadD \u003d 0 norādītā vienādojuma saknes var aprēķināt pēc formulas:

Ja D< 0, то уравнение не имеет корней.

Ja D \u003d 0, tad vienādojumam ir viena sakne.

Ja D\u003e 0, tad vienādojumam ir divas saknes.