FEDERĀLĀ IZGLĪTĪBAS AĢENTŪRA

IZGLĪTĪBAS ATTĪSTĪBAS INSTITŪTS

"Grafiskās metodes vienādojumu un nevienādību risināšanai ar parametriem"

Pabeigts

matemātikas skolotājs

MOU SOSH №62

Ļipecka 2008

IEVADS .................................................. .................................................. .3

NS;plkst) 4

1.1. Paralēlā pārsūtīšana ................................................... ........................ 5

1.2. Pagriezt .................................................. .................................................. deviņi

1.3. Homotēcija. Saspiešana uz taisnu .................................................. ................. 13

1.4. Divas taisnas līnijas plaknē ................................................ .. .............................. 15

2. GRAFIKAS TEHNIKA. KOORDINĀTU plakne ( NS;a) 17

SECINĀJUMS.................................................. .......................................... divdesmit

ATSAUCES ................................................ . ...... 22

IEVADS

Problēmas, kas skolēniem rodas, risinot nestandarta vienādojumus un nevienlīdzības, rada gan šo uzdevumu relatīvā sarežģītība, gan arī tas, ka skola parasti koncentrējas uz standarta uzdevumu risināšanu.

Daudzi skolēni uztver parametru kā "parastu" skaitli. Patiešām, dažās problēmās parametru var uzskatīt par konstanti, bet šī konstante iegūst nezināmas vērtības! Tāpēc ir jāapsver problēma visām iespējamām šīs konstantes vērtībām. Citās problēmās ir ērti kā parametru mākslīgi deklarēt kādu no nezināmajiem.

Citi skolēni uztver parametru kā nezināmu lielumu un bez apmulsuma var izteikt parametru atbildē caur mainīgo NS.

Gala un iestājeksāmenos galvenokārt ir divu veidu problēmas ar parametriem. Jūs tos uzreiz atpazīsit pēc to formulējuma. Pirmkārt: "Katrai parametra vērtībai atrodiet visus kāda vienādojuma vai nevienādības atrisinājumus." Otrkārt: "Atrodiet visas parametra vērtības, no kurām katram ir izpildīti daži nosacījumi noteiktam vienādojumam vai nevienādībai." Attiecīgi atbildes uz šiem diviem problēmu veidiem būtiski atšķiras. Atbildot uz pirmā tipa problēmu, ir uzskaitītas visas iespējamās parametra vērtības un katrai no šīm vērtībām ir uzrakstīti vienādojuma risinājumi. Atbildē uz otrā tipa problēmu ir norādītas visas parametru vērtības, kurām ir izpildīti uzdevumā norādītie nosacījumi.

Vienādojuma risinājums ar parametru noteiktai fiksētai parametra vērtībai ir tāda nezināmā vērtība, kuru aizvietojot vienādojumā, pēdējais pārvēršas par patiesu skaitlisko vienādību. Līdzīgi tiek definēts arī nevienādības risinājums ar parametru. Vienādojuma (nevienādības) atrisināšana ar parametru nozīmē katrai parametra pieļaujamajai vērtībai, lai atrastu šī vienādojuma (nevienādības) visu atrisinājumu kopu.

1. GRAFIKAS TEHNIKA. KOORDINĀTU plakne ( NS;plkst)

Līdzās pamata analītiskajām metodēm un metodēm problēmu risināšanai ar parametriem ir veidi, kā atsaukties uz vizuāli grafiskām interpretācijām.

Atkarībā no tā, kāda loma uzdevumā ir piešķirta parametram (nevienāds vai vienāds ar mainīgo), attiecīgi var izdalīt divus galvenos grafiskos paņēmienus: pirmā ir grafiskā attēla konstruēšana koordinātu plaknē. (NS;y), otrais - ieslēgts (NS; a).

Plaknē (x; y) funkcija y =f (NS; a) definē līkņu saimi atkarībā no parametra a. Skaidrs, ka katra ģimene f ir noteiktas īpašības. Pirmkārt, interesēsimies par to, kāda veida plaknes transformācija (paralēlā translācija, rotācija utt.) ir iespējama no vienas ģimenes līknes uz jebkuru citu. Katrai no šīm transformācijām tiks veltīta atsevišķa rindkopa. Mums šķiet, ka šāda klasifikācija ļauj izlēmīgajiem vieglāk atrast nepieciešamo grafisko attēlu. Ņemiet vērā, ka ar šo pieeju risinājuma konceptuālā daļa nav atkarīga no tā, kura figūra (līnija, aplis, parabola utt.) ir līkņu saimes loceklis.

Protams, ne vienmēr ģimenes grafiskais tēls y =f (NS;a) aprakstīta ar vienkāršu transformāciju. Tāpēc tādās situācijās kā šī ir lietderīgi koncentrēties nevis uz to, kā ir saistītas vienas ģimenes līknes, bet gan uz pašiem līkumiem. Citiem vārdiem sakot, var izdalīt vēl vienu problēmu veidu, kurā risinājuma ideja galvenokārt balstās uz specifiskām īpašībām. ģeometriskās formas nevis ģimene kopumā. Kādas figūras (precīzāk, šo figūru ģimenes) mūs interesēs vispirms? Tās ir taisnas līnijas un parabolas. Šī izvēle ir saistīta ar īpašo (pamata) pozīciju lineāro un kvadrātiskās funkcijas skolas matemātikā.

Runājot par grafiskām metodēm, nav iespējams apiet vienu problēmu, kas "dzimusi" konkursa eksāmena praksē. Mēs runājam par nopietnību un līdz ar to tāda lēmuma likumību, kura pamatā ir grafiski apsvērumi. Neapšaubāmi, no formālā viedokļa no “attēla” ņemtais rezultāts, kas nav analītiski atbalstīts, netika iegūts stingri. Tomēr kurš, kad un kur ir stingrības līmenis, kas jāievēro vidusskolēnam? Mūsuprāt, prasības matemātiskās stingrības līmenim skolēnam būtu jānosaka pēc veselā saprāta. Mēs saprotam šī viedokļa subjektivitātes pakāpi. Turklāt grafiskā metode ir tikai viens no vizualizācijas līdzekļiem. Un redzamība var būt maldinoša .. gif "width =" 232 "height =" 28 "> ir tikai viens risinājums.

Risinājums.Ērtības labad mēs apzīmējam lg b = a. Uzrakstīsim vienādojumu, kas līdzvērtīgs sākotnējam: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif "width =" 125 "height =" 92 ">

Funkcijas uzzīmēšana ar definīcijas domēnu un (1. att.). Iegūtais grafiks ir līniju saime y = a vajadzētu šķērsot tikai vienā punktā. No attēla redzams, ka šī prasība ir izpildīta tikai attiecībā uz a> 2, t.i., lg b> 2, b> 100.

Atbilde. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif "width =" 15 height = 16 "height =" 16 "> noteikt vienādojuma atrisinājumu skaitu .

Risinājums... Uzzīmēsim funkciju 102 "height =" 37 "style =" vertical-align: top ">

Apsvērsim. Šī taisne ir paralēla OX asij.

Atbilde..gif "width =" 41 "height =" 20 "> tad 3 risinājumi;

ja, tad 2 risinājumi;

ja, 4 risinājumi.

Pāriesim pie jaunas problēmu sērijas..gif "width =" 107 "height =" 27 src = ">.

Risinājums. Veidosim taisnu līniju plkst= NS+1 (3. att.) .. gif "width =" 92 "height =" 57 ">

ir viens risinājums, kas ir ekvivalents vienādojumam ( NS+1)2 = x + a ir viena sakne..gif "width =" 44 height = 47 "height =" 47 "> sākotnējai nevienādībai nav atrisinājumu. Ņemiet vērā, ka tie, kas zina atvasinājumu, var iegūt šo rezultātu atšķirīgi.

Tālāk, pārbīdot "pusparabolu" pa kreisi, fiksējam pēdējo brīdi, kad grafiki plkst = NS+ 1 un tiem ir divi kopīgi punkti (pozīcija III). Šo izkārtojumu nodrošina prasība a= 1.

Ir skaidrs, ka segmentam [ NS 1; NS 2], kur NS 1 un NS 2 - grafiku krustošanās punktu abscises, būs sākotnējās nevienādības risinājums..gif "width =" 68 height = 47 "height =" 47 ">, tad

Kad "daļparabola" un taisne krustojas tikai vienā punktā (tas atbilst gadījumam a> 1), tad risinājums būs segments [- a; NS 2 "], kur NS 2 "- lielākā no saknēm NS 1 un NS 2 (IV pozīcija).

4. piemērs..gif "width =" 85 "height =" 29 src = ">. gif" width = "75" height = "20 src ="> . No tā mēs iegūstam .

Apsveriet funkcijas un . No tiem tikai viens definē līkņu saimi. Tagad mēs redzam, ka veiktajai nomaiņai ir neapšaubāms labums. Paralēli mēs atzīmējam, ka iepriekšējā uzdevumā ar līdzīgu nomaiņu var veikt taisnu līniju, nevis "daļēji parabolu". Pievērsīsimies att. 4. Acīmredzot, ja "pusparabolas" virsotnes abscisa ir lielāka par vienu, tas ir, –3 a > 1, , tad sakņu vienādojumam nav..gif "width =" 89 "height =" 29 "> un tiem ir atšķirīgs monotonijas raksturs.

Atbilde. Ja šim vienādojumam ir viena sakne; ja https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif "width =" 141 "height =" 81 src = ">

ir risinājumi.

Risinājums. Ir skaidrs, ka tiešās ģimenes https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif "width =" 61 "height =" 52 "> .. jpg" platums = "259" augstums = "155" " >

Nozīme k1 mēs atrodam, aizvietojot pāri (0; 0) sistēmas pirmajā vienādojumā. No šejienes k1 =-1/4. Nozīme k 2 mēs iegūstam, pieprasot no sistēmas

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif "width =" 151 "height =" 47 "> k> 0 ir viena sakne. No šejienes k2= 1/4.

Atbilde. .

Izteiksim vienu piezīmi. Dažos šīs sadaļas piemēros mums būs jāatrisina standarta problēma: taisnai ģimenei atrodiet tās slīpumu, kas atbilst līknes pieskares momentam. Parādīsim, kā to izdarīt vispārējs skats izmantojot atvasinājumu.

Ja (x0; y 0) = rotācijas centrs, tad koordinātas (NS 1; plkst 1) pieskares punkti ar līkni y =f (x) var atrast, atrisinot sistēmu

Vēlamais slīpums k ir vienāds.

6. piemērs... Kurām parametra vērtībām vienādojumam ir unikāls risinājums?

Risinājums..gif "width =" 160 "height =" 29 src = "> .. gif" width = "237" height = "33">, loka AB.

Visi stari, kas iet starp ОА un ОВ, vienā punktā krusto loku AB, arī vienā punktā tie krusto loku AB ОВ un ОМ (tangenss) .. gif "width =" 16 "height =" 48 src = ">. Slīpums pieskares līnija ir vienāda ar. Viegli atrodams no sistēmas

Tātad, tiešās ģimenes https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif "width =" 139 "height =" 52">.

Atbilde. .

7. piemērs..gif "width =" 160 "height =" 25 src = "> ir risinājums?

Risinājums..gif "width =" 61 "height =" 24 src = "> un samazinās par. Punkts - ir maksimālais punkts.

Funkcija ir taisnu līniju saime, kas iet caur punktu https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif "width =" 153 "height =" 28 "> ir loks AB. starp taisnēm rindas OA un OV, apmierina problēmas nosacījumu..gif "width =" 17 "height =" 47 src = ">.

Atbilde..gif "width =" 15 "height =" 20 "> nav risinājumu.

1.3. Homotēcija. Saspiešana līdz taisnai līnijai.

8. piemērs. Cik daudz risinājumu ir sistēmai

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif "width =" 41 "height =" 20 src = "> sistēmai nav risinājumu. a> 0 pirmā vienādojuma grafiks ir kvadrāts ar virsotnēm ( a; 0), (0;-a), (-a;0), (0;a). Tādējādi ģimenes locekļi ir homotētiski kvadrāti (homētības centrs ir punkts O (0; 0)).

Pievērsīsimies att. 8..gif "width =" 80 "height =" 25 "> katrai kvadrāta pusei ir divi kopīgi punkti ar apli, kas nozīmē, ka sistēmai būs astoņi risinājumi. Ja aplis ir ierakstīts kvadrātā, tas ir , atkal būs četri risinājumi Acīmredzot, jo sistēmai risinājumu nav.

Atbilde. Ja a< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, tad ir četri risinājumi; ja, tad ir astoņi risinājumi.

9. piemērs... Atrodiet visas parametra vērtības, katrai no kurām vienādojums https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif "width =" 181 "height =" 29 src = ">. Apsveriet funkcija ..jpg" platums = "195" augstums = "162">

Sakņu skaits atbildīs skaitlim 8, kad pusloka rādiuss ir lielāks un mazāks, tas ir. Ņemiet vērā, ka ir.

Atbilde. vai .

1.4. Divas taisnas līnijas plaknē

Būtībā šī punkta problēmu risināšanas ideja ir balstīta uz jautājumu par divu taisnu līniju savstarpējo izvietojumu: un ... Nav grūti parādīt šīs problēmas vispārīgo risinājumu. Pievērsīsimies tieši konkrētiem tipiskiem piemēriem, kas, mūsuprāt, nekaitēs jautājuma vispārējam aspektam.

10. piemērs. Priekš kam a un b ir sistēma

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif "width =" 160 "height =" 25 src = "> .. gif" width = "67" height = "24 src ="> , t..gif "width =" 116 "height =" 55 ">

Sistēmas nevienlīdzība definē pusplakni ar robežu plkst= 2x- 1 (10. att.). Ir viegli saprast, ka iegūtajai sistēmai ir risinājums, ja taisne ak +pēc = 5šķērso pusplaknes robežu vai, būdams tai paralēls, atrodas pusplaknē plkst– 2x + 1 < 0.

Sāksim ar lietu b = 0. Tad, šķiet, vienādojums Ak+ ar = 5 definē vertikālu līniju, kas acīmredzami krusto līniju y = 2NS - 1. Tomēr šis apgalvojums ir patiess tikai tad, ja ..gif "width =" 43 "height =" 20 src = "> sistēmai ir risinājumi..gif" width = "99" height = "48">. Šajā gadījumā taisnu līniju krustošanās nosacījums tiek sasniegts, ti, ..gif "width =" 52 "height =" 48 ">. Gif" platums = "41" augstums = "20"> un, vai un, vai un https : //pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif "width =" 69 "height =" 24 src = ">.

- Iekšā koordinātu plakne xOa attēlojiet funkciju.

- Apsveriet taisnes un atlasiet tos Oa ass intervālus, kuros šīs taisnes atbilst šādiem nosacījumiem: a) nekrustojas ar funkcijas grafiku https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif "width = 69 "height = "24"> vienā punktā, c) divos punktos, d) trīs punktos utt.

- Ja uzdevums ir atrast x vērtības, tad mēs izsakām x caur a katram no atrastajiem a vērtības intervāliem atsevišķi.

Parametra aplūkošana kā vienāda mainīgā tiek atspoguļota grafiskajās metodēs..jpg "width =" 242 "height =" 182 ">

Atbilde. a = 0 vai a = 1.

SECINĀJUMS

Mēs ceram, ka analizētās problēmas pārliecinoši parāda piedāvāto metožu efektivitāti. Taču diemžēl šo metožu darbības jomu ierobežo grūtības, ar kurām var saskarties, veidojot grafisko attēlu. Vai tiešām ir tik slikti? Acīmredzot nē. Patiešām, ar šādu pieeju uzdevumiem ar parametriem kā miniatūras izpētes modelim lielā mērā tiek zaudēta galvenā didaktiskā vērtība. Tomēr iepriekš minētie apsvērumi ir adresēti skolotājiem, un pretendentiem formula ir diezgan pieņemama: mērķis attaisno līdzekļus. Turklāt pieņemsim brīvību teikt, ka daudzās universitātēs konkursa problēmu sastādītāji ar parametriem iet ceļu no attēla uz nosacījumu.

Šajos uzdevumos tika apspriestas uzdevumu risināšanas iespējas ar parametru, kas mums paveras, kad uz papīra lapas tiek attēloti vienādojumu vai nevienādību kreisajā un labajā pusē ietverto funkciju grafiki. Sakarā ar to, ka parametram var būt patvaļīgas vērtības, viens vai abi parādītie grafiki plaknē pārvietojas noteiktā veidā. Var teikt, ka mēs iegūstam veselu grafiku saimi, kas atbilst dažādām parametra vērtībām.

Tiek uzsvērtas divas detaļas.

Pirmkārt, mēs nerunājam par "grafisku" risinājumu. Visas vērtības, koordinātas, saknes tiek aprēķinātas stingri, analītiski, kā atbilstošo vienādojumu, sistēmu risinājumi. Tas pats attiecas uz kartēm pieskaršanās vai šķērsošanas gadījumiem. Tos nenosaka acs, bet gan izmantojot diskriminējošus līdzekļus, atvasinājumus un citus jums pieejamos rīkus. Attēls sniedz tikai risinājumu.

Otrkārt, pat ja jūs neatradīsiet nekādus veidus, kā atrisināt problēmu saistībā ar parādītajiem grafikiem, jūsu izpratne par problēmu ievērojami paplašināsies, jūs saņemsiet informāciju pašpārbaudei un ievērojami palielināsies izredzes gūt panākumus. Iedomājoties tieši to, kas notiek problēmā, kad dažādas nozīmes parametru, varat atrast pareizo risinājuma algoritmu.

Tāpēc šos vārdus noslēdzam ar uzstājīgu teikumu: ja vismazākajā pakāpē grūts uzdevums ir funkcijas, kuru grafiku vari zīmēt, noteikti dari to, nenožēlosi.

BIBLIOGRĀFISKAIS SARAKSTS

1. Čerkasovs,: Rokasgrāmata vidusskolēniem un augstskolu stājoties [Teksts] /,. - M .: AST-PRESS, 2001 .-- 576 lpp.

2. Goršteins, ar parametriem [Teksts]: 3. izdevums, papildināts un pārstrādāts /,. - M .: Ileksa, Harkova: ģimnāzija, 1999 .-- 336 lpp.

Ļaujiet būt f (x, y) un g (x, y)- divas izteiksmes ar mainīgajiem NS un plkst un darbības jomu NS... Tad formas nevienādības f (x, y) > g (x, y) vai f (x, y) < g (x, y) sauca nevienādība ar diviem mainīgajiem .

Mainīgo vērtību x, y no daudzuma NS, pie kuras nevienlīdzība pārvēršas par patiesu skaitlisko nevienādību, sauc par tās lēmumu un apzīmēts (x, y). Atrisiniet nevienlīdzību - tas nozīmē atrast daudzus šādus pārus.

Ja katrs skaitļu pāris (x, y) no nevienādības atrisinājumu kopas sakārto punktu M (x, y), mēs iegūstam šīs nevienādības doto plaknes punktu kopu. Viņu sauc šīs nevienlīdzības grafiks ... Nevienlīdzības diagramma parasti ir platība plaknē.

Attēlot nevienlīdzības risinājumu kopu f (x, y) > g (x, y), rīkojieties šādi. Vispirms nomainiet nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un atrodiet līniju, kurā ir vienādojums f (x, y) = g (x, y)... Šī līnija sadala plakni vairākās daļās. Pēc tam katrā daļā pietiek paņemt vienu punktu un pārbaudīt, vai šajā punktā nav nevienlīdzības f (x, y) > g (x, y)... Ja tas tiek izpildīts šajā brīdī, tas tiks izpildīts visā daļā, kurā atrodas šis punkts. Apvienojot šādas daļas, mēs iegūstam daudz risinājumu.

Uzdevums. y > x.

Risinājums. Pirmkārt, mēs aizvietojam nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un taisnstūra koordinātu sistēmā izveidojam līniju ar vienādojumu y = x.

Šī līnija sadala plakni divās daļās. Pēc tam katrā daļā ņem vienu punktu un pārbaudi, vai nav nevienlīdzības y > x.

Uzdevums. Atrisiniet grafiski nevienādību
NS 2 + plkst 2 £ 25.

Dotas divas nevienādības f 1(x, y) > g 1(x, y) un f 2(x, y) > g 2(x, y).

Nevienādību kopu sistēmas divos mainīgajos

Nevienlīdzību sistēma dāvanas ar sevi šo nevienlīdzību savienojums. Sistēmas risinājums ir jebkura nozīme (x, y) kas katru nevienādību pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Daudzi risinājumi sistēmas nevienādības ir nevienādību risinājumu kopu krustpunkts, kas veido noteiktu sistēmu.

Nevienādību kopa dāvanas ar sevi šo atdalīšana nevienlīdzības. Ar kopsavilkuma lēmumu ir jebkura nozīme (x, y), kas vismaz vienu no iedzīvotāju nevienlīdzībām pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Daudzi risinājumi agregāts ir nevienlīdzību risinājumu kopu savienība, kas veido kolekciju.

Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmu

Risinājums. y = x un NS 2 + plkst 2 = 25. Atrisiniet katru sistēmas nevienādību.

Sistēmas grafiks būs plaknes punktu kopa, kas ir pirmās un otrās nevienādības atrisinājumu kopu krustpunkts (dubultā ēnojums).

Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību kopu

Vingrinājumi patstāvīgam darbam

1. Grafiski atrisiniet nevienādību: a) plkst> 2x; b) plkst< 2x + 3;

v) x 2+ y 2> 9; G) x 2+ y 2 £ 4.

2. Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmu:

a) c)

10. klases skolnieks Kotovčihins Jurijs

Vienādojumus ar moduļiem skolēni sāk apgūt jau no 6. klases, apgūst risināšanas standartmetodi, paplašinot moduļus uz submodulāro izteiksmju noturības intervāliem. Šo konkrēto tēmu izvēlējos, jo uzskatu, ka tas prasa dziļāku un rūpīgāku izpēti, uzdevumi ar moduli studentiem sagādā lielas grūtības. V skolas mācību programma ir moduli saturoši uzdevumi kā paaugstinātas sarežģītības uzdevumi un eksāmenos, tāpēc mums jābūt gataviem tikties ar šādu uzdevumu.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Pašvaldības izglītības iestāde

Vidēji vispārizglītojošā skola №5

Pētnieciskais darbs par tēmu:

« Moduli saturošu vienādojumu un nevienādību algebriskais un grafiskais risinājums»

Esmu paveicis darbu:

10 klases skolnieks

Kotovčihins Jurijs

Pārraugs:

Matemātikas skolotājs

Shanta N.P.

Uryupinsk

1. Ievads …………………………………………………………… .3

2. Jēdzieni un definīcijas …………………………………………… .5

3. Teorēmu pierādījums …………………………………………… ..6

4. Veidi, kā atrisināt vienādojumus, kas satur moduli ... ... ... ... ... 7

4.1. Risinājums, izmantojot atkarības starp skaitļiem a un b, to moduļiem un kvadrātiem ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………… 12

4.2. Moduļa ģeometriskās interpretācijas izmantošana vienādojumu risināšanai ………………………………………………………… ..14

4.3. Vienkāršāko funkciju grafiki, kas satur absolūtās vērtības zīmi.

………………………………………………………………………15

4.4.Nestandarta vienādojumu atrisināšana, kas satur moduli ... .16

5. Secinājums ……………………………………………………… .17

6.Izmantotās literatūras saraksts ……………………………… 18

Darba mērķis: vienādojumus ar moduļiem skolēni sāk apgūt jau no 6. klases, apgūst risināšanas standartmetodi, paplašinot moduļus uz submodulāru izteiksmju noturības intervāliem. Šo konkrēto tēmu izvēlējos, jo uzskatu, ka tas prasa dziļāku un rūpīgāku izpēti, uzdevumi ar moduli studentiem sagādā lielas grūtības. Skolas programmā ir moduli saturoši uzdevumi kā paaugstinātas sarežģītības uzdevumi un eksāmenos, tāpēc mums jābūt gataviem stāties pretī šādam uzdevumam.

1. Ievads:

Vārds "modulis" cēlies no latīņu vārda "modulus", kas nozīmē "mērīt". Šis ir polisemantisks vārds (homonīms), kam ir daudz nozīmju un ko izmanto ne tikai matemātikā, bet arī arhitektūrā, fizikā, inženierzinātnēs, programmniecībā un citās eksaktajās zinātnēs.

Arhitektūrā šī ir sākotnējā mērvienība, kas noteikta dotajam arhitektūras struktūra un kalpo, lai izteiktu vairākas tās veidojošo elementu attiecības.

Tehnoloģijā tas ir dažādās tehnoloģiju jomās lietots termins, kam nav universālas nozīmes un kas kalpo dažādu koeficientu un lielumu apzīmēšanai, piemēram, piesaistes modulis, elastības modulis u.c.

Tilpuma modulis (fizikā) ir materiāla normālā sprieguma attiecība pret relatīvo pagarinājumu.

2. Jēdzieni un definīcijas

Reālā skaitļa A modulis - absolūtā vērtība - tiek apzīmēts ar | A |.

Dziļi mācīties šī tēma, jums jāiepazīstas ar vienkāršākajām definīcijām, kas man būs nepieciešamas:

Vienādojums ir vienādība, kas satur mainīgos.

Vienādojums ar moduli ir vienādojums, kas satur mainīgo zem absolūtās zīmes (zem moduļa zīmes).

Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast visas tā saknes vai pierādīt, ka sakņu nav.

3 teorēmu pierādījumi

1. teorēma. Absolūtā vērtība reālais skaitlis ir vienāds ar lielāko no diviem skaitļiem a vai -a.

Pierādījums

1. Ja skaitlis a ir pozitīvs, tad -a ir negatīvs, tas ir, -a

Piemēram, skaitlis 5 ir pozitīvs, tad -5 ir negatīvs un -5

Šajā gadījumā | a | = a, tas ir, | a | atbilst lielākajam no diviem cipariem a un - a.

2. Ja a ir negatīvs, tad -a ir pozitīvs un a

Sekas. No teorēmas izriet, ka | -a | = | a |.

Faktiski abi un ir vienādi ar lielāko no skaitļiem -a un a, kas nozīmē, ka tie ir vienādi viens ar otru.

2. teorēma. Jebkura reāla skaitļa a absolūtā vērtība ir vienāda ar aritmētisko kvadrātsakne no A 2 .

Patiešām, ja tad pēc skaitļa moduļa definīcijas mums būs lАl> 0. No otras puses, А> 0 tas nozīmē | a | = √A 2

Ja 2

Šī teorēma ļauj aizstāt | a | ieslēgts

Ģeometriski | a | ir attālums uz koordinātu līnijas no punkta, kas apzīmē skaitli a, līdz sākuma punktam.

Ja tad uz koordinātu taisnes atrodas divi punkti a un -a, kas atrodas vienādā attālumā no nulles, kuru moduļi ir vienādi.

Ja a = 0, tad uz koordinātu taisnes | a | attēlots ar punktu 0

4. Moduli saturošu vienādojumu risināšanas metodes.

Lai atrisinātu vienādojumus, kas satur absolūtās vērtības zīmi, mēs balstīsimies uz skaitļa moduļa definīciju un skaitļa absolūtās vērtības īpašībām. Mēs atrisināsim dažus piemērus Dažādi ceļi un redzēt, kura no metodēm izrādās vieglāka, lai atrisinātu vienādojumus, kas satur moduli.

1. piemērs. Analītiski un grafiski atrisināsim vienādojumu | x + 2 | = 1.

Risinājums

Analītisks risinājums

1. veids

Mēs strīdēsimies, pamatojoties uz moduļa definīciju. Ja izteiksme zem moduļa ir nenegatīva, tas ir, x + 2 ≥0, tad tā "iznāks" no moduļa zīmes ar plus zīmi un vienādojums būs šādā formā: x + 2 = 1. Ja izteiksmes vērtības zem moduļa zīmes ir negatīvas, tad pēc definīcijas tas būs vienāds ar: vai x + 2 = -1

Tādējādi mēs iegūstam vai nu x + 2 = 1, vai x + 2 = -1. Atrisinot iegūtos vienādojumus, mēs atrodam: X + 2 = 1 vai X + 2 + -1

X = -1 X = 3

Atbilde: -3; -1.

Tagad varam secināt: ja kādas izteiksmes modulis ir vienāds ar reālu pozitīvu skaitli a, tad izteiksme zem moduļa ir vai nu a, vai -a.

Grafiskais risinājums

Viens no veidiem, kā atrisināt vienādojumus, kas satur moduli, ir grafiskais veids. Šīs metodes būtība ir izveidot šo funkciju grafikus. Ja grafiki krustojas, šo grafiku krustošanās punkti būs mūsu vienādojuma saknes. Ja grafiki nekrustojas, varam secināt, ka vienādojumam nav sakņu. Šo metodi, iespējams, izmanto retāk nekā citas, lai atrisinātu vienādojumus, kas satur moduli, jo, pirmkārt, tas aizņem daudz laika un ne vienmēr ir racionāls, un, otrkārt, rezultāti, kas iegūti, veidojot grafikus, ne vienmēr ir precīzi.

Vēl viens veids, kā atrisināt vienādojumus, kas satur moduli, ir sadalīt skaitļu līniju intervālos. Šajā gadījumā mums ir jāsadala skaitļu līnija, lai saskaņā ar moduļa definīciju šajos intervālos varētu noņemt absolūtās vērtības zīmi. Pēc tam katram no intervāliem mums būs jāatrisina šis vienādojums un jāizdara secinājums par iegūtajām saknēm (vai tās atbilst mūsu intervālam vai nē). Saknes apmierina nepilnības un sniegs galīgo atbildi.

2. ceļš

Noskaidrosim, kādām x vērtībām modulis ir nulle: | X + 2 | = 0, X = 2

Mēs iegūstam divus intervālus, no kuriem katrs atrisinām vienādojumu:

Mēs iegūstam divas jauktas sistēmas:

(1) X + 2 0

X-2 = 1 X + 2 = 1

Atrisināsim katru sistēmu:

X = -3 X = -1

Atbilde: -3; -1.

Grafiskais risinājums

y = | X + 2 |, y = 1.

Grafiskais risinājums

Lai grafiski atrisinātu vienādojumu, ir jāizveido funkciju un

Lai attēlotu funkcijas grafiku, uzzīmēsim funkcijas grafiku – tā ir funkcija, kas punktos krusto OX asi un OY asi.

Funkciju grafiku krustošanās punktu abscises dos vienādojuma atrisinājumus.

Funkcijas y = 1 tiešais grafiks krustojas ar funkcijas y = x + 2 grafiku | punktos ar koordinātām (-3; 1) un (-1; 1), tāpēc vienādojuma atrisinājumi būs punktu abscises:

x = -3, x = -1

Atbilde: -3; -1

2. piemērs. Analītiski un grafiski atrisiniet vienādojumu 1 + |x | = 0,5.

Risinājums:

Analītisks risinājums

Pārveidosim vienādojumu: 1 + | x | = 0,5

|x | = 0,5-1

| x | = -0,5

Ir skaidrs, ka šajā gadījumā vienādojumam nav atrisinājumu, jo pēc definīcijas modulis vienmēr nav negatīvs.

Atbilde: Risinājumu nav.

Grafiskais risinājums

Mēs pārveidojam vienādojumu: 1 + | x | = 0,5

|x | = 0,5-1

| x | = -0,5

Funkcijas grafiks ir stari - 1. un 2. koordinātu leņķa bisektrise. Funkcijas grafiks ir taisne, kas ir paralēla OX asij un iet caur punktu -0,5 uz OY ass.

Grafiki nepārklājas, kas nozīmē, ka vienādojumam nav atrisinājumu.

Atbilde: risinājumu nav.

3. piemērs. Analītiski un grafiski atrisiniet vienādojumu | -x + 2 | = 2x + 1.

Risinājums:

Analītisks risinājums

1. veids

Pirmkārt, jums jāiestata mainīgā derīgo vērtību diapazons. Rodas dabisks jautājums, kāpēc iepriekšējos piemēros tas nebija jādara, bet tagad tas ir radies.

Fakts ir tāds, ka šajā piemērā vienādojuma kreisajā pusē kādas izteiksmes modulis, bet labajā pusē ir nevis skaitlis, bet gan izteiksme ar mainīgo - tieši šis svarīgais apstāklis ​​atšķir šo piemēru no iepriekšējās.

Tā kā kreisajā pusē ir modulis, bet labajā pusē ir izteiksme, kas satur mainīgo, ir nepieciešams, lai šī izteiksme nebūtu negatīva, t.i., tādējādi pieļaujamo diapazonu.

moduļu vērtības

Tagad jūs varat spriest tādā pašā veidā kā 1. piemērā, kad vienādības labajā pusē bija pozitīvs skaitlis... Mēs iegūstam divas jauktas sistēmas:

(1) -X + 2≥0 un (2) -X + 2

X + 2 = 2X + 1; X-2 = 2X + 1

Atrisināsim katru sistēmu:

(1) ir iekļauts intervālā un ir vienādojuma sakne.

X≤2

X = ⅓

(2) X> 2

X = -3

X = -3 nav iekļauts intervālā un nav vienādojuma sakne.

Atbilde: ⅓.

4.1. Risinājums, izmantojot atkarības starp skaitļiem a un b, to moduļiem un šo skaitļu kvadrātiem.

Papildus iepriekš norādītajām metodēm pastāv zināma līdzvērtība starp skaitļiem un datu skaitļu vienībām, kā arī starp kvadrātiem un datu skaitļu vienībām:

| a | = | b | a = b vai a = -b

A2 = b2 a = b vai a = -b

No tā, savukārt, mēs iegūstam to

| a | = | b | a 2 = b 2

4. piemērs. Atrisināsim vienādojumu |x + 1 | = |2x - 5 | divos dažādos veidos.

1. Ņemot vērā sakarību (1), iegūstam:

X + 1 = 2x - 5 vai x + 1 = -2x + 5

x - 2x = -5 - 1 x + 2x = 5 - 1

X = -6 | (: 1) 3x = 4

X = 6 x = 11/3

Pirmā vienādojuma sakne ir x = 6, otrā vienādojuma sakne ir x = 11/3

Tādējādi sākotnējā vienādojuma x saknes 1 = 6, x 2 = 11/3

2. Izmantojot sakarību (2), mēs iegūstam

(x + 1) 2 = (2x - 5) 2 vai x2 + 2x + 1 = 4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 + 2x + 1 + 20x - 25 = 0

3x2 + 22x - 24 = 0 | (: - 1)

3x2 - 22x + 24 = 0

D / 4 = 121 - 3 24 = 121 - 72 = 49> 0 ==> vienādojumam ir 2 dažādas saknes.

x 1 = (11–7) / 3 = 11/3

x 2 = (11 + 7) / 3 = 6

Kā rāda risinājums, šī vienādojuma saknes ir arī skaitļi 11/3 un 6

Atbilde: x 1 = 6, x 2 = 11/3

5. piemērs. Atrisināsim vienādojumu (2x + 3) 2 = (x - 1) 2.

Ņemot vērā sakarību (2), iegūstam, ka | 2x + 3 | = | x - 1 |, no kurienes, ievērojot iepriekšējā piemēra modeli (un saskaņā ar sakarību (1)):

2x + 3 = x - 1 vai 2x + 3 = -x + 1

2x - x = -1 - 3 2x + x = 1 - 3

X = -4 x = -0, (6)

Tādējādi vienādojuma saknes ir x1 = -4 un x2 = -0, (6)

Atbilde: x1 = -4, x 2 = 0, (6)

6. piemērs. Atrisiniet vienādojumu |x - 6 | = |x2 - 5x + 9 |

Izmantojot attiecību, mēs iegūstam:

x - 6 = x2 - 5x + 9 vai x - 6 = - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9 = 0 | (-1) x - 6 = -x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15 = 0 x 2 - 4x + 3 = 0

D = 36 - 4 15 = 36 - 60 = -24 D = 16 - 4 3 = 4> 0 ==> 2 p.c.

==> bez saknēm.

X 1 = (4-2) / 2 = 1

X 2 = (4 + 2) / 2 = 3

Pārbaudiet: | 1 - 6 | = | 12 - 5 1 + 9 | | 3 - 6 | = | 32 - 5 3 + 9 |

5 = 5 (I) 3 = | 9 - 15 + 9 |

3 = 3 (UN)

Atbilde: x 1 = 1; x 2 = 3

4.2. Moduļa ģeometriskās interpretācijas izmantošana vienādojumu risināšanai.

Daudzumu starpības moduļa ģeometriskā nozīme ir attālums starp tiem. Piemēram, izteiksmes | x - a | ģeometriskā nozīme - segmenta garums koordinātu ass savienojuma punktus ar abscisēm a un x. Tulkojot algebrisko problēmu ģeometriskā valodā, bieži vien izvairās no apgrūtinošiem risinājumiem.

7. piemērs. Atrisināsim vienādojumu | x - 1 | + | x - 2 | = 1, izmantojot moduļa ģeometrisko interpretāciju.

Mēs strīdēsimies šādi: pamatojoties uz moduļa ģeometrisko interpretāciju, kreisā puse vienādojums ir attālumu summa no kāda abscises punkta x līdz diviem fiksētiem punktiem ar abscisēm 1 un 2. Tad ir skaidrs, ka visiem punktiem ar abscisēm no segmenta ir nepieciešamā īpašība, bet punktiem, kas atrodas ārpus šī posma, nav. Līdz ar to atbilde: vienādojuma atrisinājumu kopa ir segments.

Atbilde:

8. piemērs. Atrisināsim vienādojumu | x - 1 | - | x - 2 | = 1 1, izmantojot moduļa ģeometrisko interpretāciju.

Mēs strīdēsimies līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, kamēr iegūstam, ka starpība starp attālumiem līdz punktiem ar abscisēm 1 un 2 ir vienāda ar vienu tikai tiem punktiem, kas atrodas uz koordinātu ass pa labi no skaitļa 2. Tāpēc risinājums šis vienādojums nav segments, kas atrodas starp punktiem 1 un 2, un stars, kas iziet no 2. punkta un ir vērsts OX ass pozitīvā virzienā.

Atbilde:)