Strādāsim ar kvadrātvienādojumi... Tie ir ļoti populāri vienādojumi! Pašā vispārējs skats kvadrātvienādojums izskatās šādi:

Piemēram:

Šeit un =1; b = 3; c = -4

Šeit un =2; b = -0,5; c = 2,2

Šeit un =-3; b = 6; c = -18

Nu, jums ir ideja ...

Kā atrisināt kvadrātvienādojumus? Ja jums šajā formā ir kvadrātvienādojums, tad viss jau ir vienkārši. Atceroties burvju vārds diskriminējošs ... Rets vidusskolnieks nav dzirdējis šo vārdu! Frāze “izlemt, izmantojot diskriminējošo personu” iedvesmo pārliecību un pārliecību. Jo nevajag gaidīt netīrus trikus no diskriminanta! Tas ir vienkārši un bez problēmām lietojams. Tātad kvadrāta vienādojuma sakņu atrašanas formula izskatās šādi:

Izteiciens zem saknes zīmes ir vienāds diskriminējošs... Kā redzat, lai atrastu x, mēs izmantojam tikai a, b un c... Tie. koeficienti no kvadrātvienādojuma. Vienkārši uzmanīgi aizstājiet vērtības a, b un c šajā formulā un skaitīt. Aizstājējs ar savām zīmēm! Piemēram, pirmajam vienādojumam un =1; b = 3; c \u003d -4. Tāpēc mēs pierakstām:

Piemērs ir gandrīz atrisināts:

Tas ir viss.

Kādi gadījumi ir iespējami, izmantojot šo formulu? Ir tikai trīs gadījumi.

1. Diskriminants ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka jūs varat no tā iegūt sakni. Tiek iegūta laba sakne, vai slikta - cits jautājums. Ir svarīgi, ko principā iegūst. Tad jūsu kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Divi dažādi risinājumi.

2. Diskriminants ir nulle. Tad jums ir viens risinājums. Stingri sakot, šī nav viena sakne, bet divi identiski... Bet tam ir nozīme nevienlīdzībā, tur mēs šo jautājumu pētīsim sīkāk.

3. Diskriminants ir negatīvs. No negatīvs skaitlis kvadrātsakne nav iegūts. Nu labi. Tas nozīmē, ka risinājumu nav.

Viss ir ļoti vienkārši. Un ko, jūsuprāt, nav iespējams sajaukt? Nu, jā, kā ...
Visizplatītākās kļūdas ir sajaukšana ar nozīmes zīmēm. a, b un c... Drīzāk nevis ar to zīmēm (kur sajaukt?), Bet ar negatīvo vērtību aizstāšanu sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit tiek saglabāts detalizēts formulas apzīmējums ar konkrētiem skaitļiem. Ja ir skaitļošanas problēmas, dari tā!

Pieņemsim, ka jums jāatrisina šis piemērs:

Šeit a \u003d -6; b \u003d -5; c \u003d -1

Pieņemsim, ka jūs zināt, ka pirmo reizi reti saņemat atbildes.

Nu, neesiet slinki. Papildu rindas uzrakstīšana prasīs 30 sekundes. Un kļūdu skaits strauji samazināsies... Tāpēc mēs rakstām detalizēti, ar visām iekavām un zīmēm:

Liekas neticami grūti gleznot tik uzmanīgi. Bet tas tikai šķiet. Pamēģini. Nu, vai izvēlies. Kas ir labāks, ātrāks vai ne? Turklāt es jūs iepriecināšu. Pēc kāda laika nevajadzēs visu tik rūpīgi krāsot. Tas izdosies pareizi pats no sevis. It īpaši, ja jūs izmantojat praktiskās metodes, kas aprakstīti turpmāk. Šo ļauno piemēru ar virkni trūkumu var atrisināt viegli un bez kļūdām!

Tātad, kā atrisināt kvadrātvienādojumus mēs atcerējāmies caur diskriminējošo. Vai arī iemācījies, kas arī nav slikti. Zināt, kā pareizi identificēt a, b un c... Jūs zināt, kā uzmanīgi aizstājiet tos saknes formulā un uzmanīgi izlasiet rezultātu. Jums rodas ideja, ka šeit ir atslēgas vārds uzmanīgi?

Tomēr kvadrātvienādojumi bieži izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:

to nepilnīgi kvadrātvienādojumi ... Tos var atrisināt arī ar diskriminanta starpniecību. Jums vienkārši pareizi jāizdomā, kas šeit ir vienāds a, b un c.

Vai esat sapratuši? Pirmajā piemērā a \u003d 1; b \u003d -4; un c? Viņa vispār nav! Nu jā, tieši tā. Matemātikā tas nozīmē c \u003d 0 ! Tas ir viss. Mēs formulā aizstājam nulli, nevis c, un mums tas izdosies. Tas pats ir ar otro piemēru. Tikai nulle mums šeit nav no, un b !

Bet nepilnīgus kvadrātvienādojumus var atrisināt daudz vieglāk. Bez jebkāda diskriminanta. Apsveriet pirmo nepilnīgo vienādojumu. Ko jūs tur varat darīt kreisajā pusē? Jūs varat ievietot x no iekavām! Izņemsim.

Un kas no tā? Un fakts, ka produkts ir vienāds ar nulli tikai tad, ja kāds no faktoriem ir vienāds ar nulli! Netici man? Nu, tad padomājiet par diviem skaitļiem, kas nav nulle un kuri, reizinot, dos nulli!
Nestrādā? Tieši tā ...
Tāpēc mēs varam droši rakstīt: x \u003d 0vai x \u003d 4

Viss. Tās būs mūsu vienādojuma saknes. Abi der. Aizstājot jebkuru no tiem sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo identitāti 0 \u003d 0. Kā redzat, risinājums ir daudz vienkāršāks nekā caur diskriminantu.

Arī otro vienādojumu var atrisināt vienkārši. Pārvietojiet 9 uz labo pusi. Mēs iegūstam:

Atliek iegūt sakni no 9, un tas ir viss. Izrādās:

Arī divas saknes ... x \u003d +3 un x \u003d -3.

Tā tiek atrisināti visi nepilnīgie kvadrātvienādojumi. Vai nu ar iekavās x, vai vienkārša pārsūtīšana numurus pa labi, kam seko saknes ekstrakcija.
Ir ārkārtīgi grūti sajaukt šīs metodes. Vienkārši tāpēc, ka pirmajā gadījumā jums būs jāizvelk sakne no x, kas kaut kā nav saprotams, un otrajā gadījumā nav ko likt iekavās ...

Pagaidām ņemiet vērā labāko praksi, kas krasi samazinās kļūdas. Tieši tie, kas saistīti ar neuzmanību ... ... par kuriem tad tas sāp un apvaino ...

Pirmā pieņemšana... Neesiet slinks, lai to pielāgotu standarta formai, pirms atrisināt kvadrātvienādojumu. Ko tas nozīmē?
Pieņemsim, ka pēc jebkādām transformācijām jums ir šāds vienādojums:

Nesteidzieties rakstīt saknes formulu! Jūs gandrīz noteikti sajauksit izredzes. a, b un c. Pareizi izveidojiet piemēru. Pirmkārt, X ir kvadrāts, tad bez kvadrāta, pēc tam brīvais loceklis. Kā šis:

Un atkal nesteidzieties! Mīnuss priekšā x laukumā var jūs patiesi skumt. To ir viegli aizmirst ... Atbrīvojies no mīnusa. Kā? Jā, kā mācīts iepriekšējā tēmā! Jums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:

Bet tagad jūs varat droši pierakstīt sakņu formulu, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru. Dari pats. Jums vajadzētu būt 2 un -1 saknēm.

Otrā pieņemšana. Pārbaudiet saknes! Pēc Vietas teorēmas. Neuztraucieties, es visu izskaidrošu! Pārbauda pēdējā lieta vienādojums. Tie. to, ar kuru mēs pierakstījām sakņu formulu. Ja (kā šajā piemērā) koeficients a \u003d 1, pārbaudīt saknes ir viegli. Pietiek tos pavairot. Jums vajadzētu iegūt bezmaksas biedru, t.i. mūsu gadījumā -2. Pievērsiet uzmanību, nevis 2, bet -2! Brīvs biedrs ar manu zīmi ... Ja tas nedarbojās, tad tas jau kaut kur ir ieskrūvēts. Meklējiet kļūdu. Ja tas izdodas, jums ir jāsaliek saknes. Pēdējā un pēdējā pārbaude. Jums vajadzētu iegūt koeficientu b no pretēji pazīstams. Mūsu gadījumā -1 + 2 \u003d +1. Un koeficients bkas ir pirms x ir -1. Tātad viss ir pareizi!
Žēl, ka tas ir tik vienkārši tikai tiem piemēriem, kur x kvadrāts ir tīrs, ar koeficientu a \u003d 1. Bet vismaz pārbaudiet šādus vienādojumus! Viss mazāk kļūdu būs.

Trešā reģistratūra... Ja jūsu vienādojumā ir frakcionēti koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Reiziniet vienādojumu ar kopsaucējskā aprakstīts iepriekšējā sadaļā. Strādājot ar daļām, nez kāpēc rodas kļūdas ...

Starp citu, es apsolīju vienkāršot ļauno piemēru ar virkni mīnusu. Jūs esat laipni gaidīti! Te tas ir.

Lai neapjuktu mīnusos, reizinām vienādojumu ar -1. Mēs iegūstam:

Tas ir viss! Prieks izlemt!

Tātad, apkopojot tēmu.

Praktiski padomi:

1. Pirms atrisināšanas mēs kvadrātvienādojumu ievedam standarta formā, izveidojam to pareizi.

2. Ja kvadrātā x priekšā ir negatīvs koeficients, mēs to izslēdzam, reizinot visu vienādojumu ar -1.

3. Ja koeficienti ir daļēji, mēs izslēdzam frakcijas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu.

4. Ja x kvadrāts ir tīrs, koeficients pie tā ir vienāds ar vienu, risinājumu var viegli pārbaudīt ar Vieta teorēmu. Dariet to!

Frakciju vienādojumi. ODZ.

Mēs turpinām apgūt vienādojumus. Mēs jau zinām, kā strādāt ar lineārajiem un kvadrātvienādojumiem. Paliek pēdējais skatiens - frakciju vienādojumi... Vai arī tos sauc arī daudz solīdāk - daļējs racionāli vienādojumi ... Tas ir tas pats.

Frakciju vienādojumi.

Kā norāda nosaukums, šajos vienādojumos vienmēr ir frakcijas. Bet ne tikai frakcijas, bet arī frakcijas, kurām ir nezināms saucējā... Vismaz viens. Piemēram:

Ļaujiet man jums atgādināt, ka, ja saucēji satur tikai numurus, tie ir lineāri vienādojumi.

Kā atrisināt frakciju vienādojumi? Pirmkārt, atbrīvojieties no frakcijām! Pēc tam vienādojums visbiežāk pārvēršas par lineāru vai kvadrātisku. Un tad mēs zinām, kā rīkoties ... Dažos gadījumos tā var pārvērsties identitātē, piemēram, 5 \u003d 5 vai nepareizā izteiksmē, piemēram, 7 \u003d 2. Bet tas notiek reti. Es to pieminēšu tālāk.

Bet kā atbrīvoties no frakcijām!? Ļoti vienkārši. Pielietojot visas tās pašas identiskās transformācijas.

Mums jāreizina viss vienādojums ar to pašu izteicienu. Tā, lai visi saucēji tiktu samazināti! Vienlaikus viss kļūs vieglāk. Ļaujiet man paskaidrot ar piemēru. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina vienādojums:

Kā mācīts zemākas pakāpes? Mēs visu pārnesam vienā virzienā, nonākam pie kopsaucēja utt. Aizmirstiet to kā sliktu sapni! Tas jādara, pievienojot vai atņemot daļējas izteiksmes. Vai arī darbs ar nevienlīdzību. Un vienādojumos mēs uzreiz reizinām abas puses ar izteicienu, kas mums dos iespēju samazināt visus saucējus (t.i., būtībā ar kopsaucēju). Un kāda ir šī izteiksme?

Kreisajā pusē, reizinot ar x + 2 ... Labajā pusē ir nepieciešams reizināt ar 2. Tādējādi vienādojums ir jāreizina ar 2 (x + 2)... Mēs reizinām:

Tas ir parasts frakciju reizinājums, bet es to uzrakstīšu detalizēti:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka es vēl neizvēršu iekavas (x + 2)! Tātad es to pilnībā uzrakstīju:

Kreisajā pusē tas ir pilnībā samazināts (x + 2), un labajā pusē 2. Kas ir vajadzīgs! Pēc samazināšanas mēs iegūstam lineārs vienādojums:

Un visi atrisinās šo vienādojumu! x \u003d 2.

Atrisināsim vēl vienu, nedaudz sarežģītāku piemēru:

Ja atceramies, ka 3 \u003d 3/1, un 2x \u003d 2x /1, jūs varat rakstīt:

Un atkal mēs atbrīvojamies no tā, kas mums īsti nepatīk - frakcijas.

Mēs redzam, ka, lai atceltu saucēju ar x, jums jāreizina frakcija ar (x - 2)... Daži no tiem mums nav šķērslis. Nu mēs reizinām. Viss kreisajā pusē un viss labā puse:

Atkal iekavas (x - 2) Es neatklāju. Es strādāju ar kronšteinu kopumā, it kā tas būtu viens skaitlis! Tas vienmēr jādara, pretējā gadījumā nekas netiks samazināts.

Ar dziļas gandarījuma sajūtu mēs sagriezām (x - 2) un mēs iegūstam vienādojumu bez daļām, lineālā!

Un tagad mēs atveram iekavas:

Mēs dodam līdzīgus, visu pārnesam uz kreiso pusi un iegūstam:

Klasiskais kvadrātvienādojums. Bet priekšā esošais mīnuss nav labs. No tā vienmēr var atbrīvoties, reizinot vai dalot ar -1. Bet, aplūkojot tuvāk piemēru, pamanīsit, ka vislabāk ir dalīt šo vienādojumu ar -2! Vienā rāvienā mīnus pazudīs, un izredzes kļūs skaistākas! Dalīt ar -2. Kreisajā pusē - termins pēc termiņa un labajā pusē - vienkārši daliet nulli ar -2, nulle un iegūstiet:

Mēs to atrisinām, izmantojot diskriminējošo un pārbaudot Vieta teorēmu. Mēs saņemam x \u003d 1 un x \u003d 3... Divas saknes.

Kā redzat, pirmajā gadījumā vienādojums pēc transformācijas kļuva lineārs, bet šeit tas ir kvadrāts. Tā notiek, ka pēc atbrīvošanās no frakcijām visi xes tiek samazināti. Paliek kaut kas līdzīgs 5 \u003d 5. Tas nozīmē, ka x var būt jebkurš... Lai kāds tas būtu, tas tomēr samazināsies. Un jūs saņemat godīgu patiesību, 5 \u003d 5. Bet, atbrīvojoties no daļām, tas var izrādīties pilnīgi nepatiesa, piemēram, 2 \u003d 7. Tas nozīmē ka risinājumu nav! Ar jebkuru x izrādās nepatiess.

Realizēja galveno risinājumu frakciju vienādojumi ? Tas ir vienkārši un loģiski. Mēs mainām sākotnējo izteicienu tā, lai pazustu viss, kas mums nepatīk. Vai arī traucē. Šajā gadījumā tās ir frakcijas. Mēs darīsim to pašu ar visdažādākajiem kompleksiem piemēriem ar logaritmiem, sinusiem un citām šausmām. mēs ir vienmēr mēs no tā visa tiksim vaļā.

Tomēr mums ir jāmaina sākotnējā izteiksme mums vajadzīgajā virzienā. saskaņā ar noteikumiem, jā ... Apgūšana, kas ir sagatavošanās eksāmenam matemātikā. Tātad mēs to apgūstam.

Tagad mēs uzzināsim, kā apiet vienu no galvenās eksāmena slazdi! Bet vispirms redzēsim, vai jūs tajā iekļūstat vai ne?

Apskatīsim vienkāršu piemēru:

Jautājums jau ir pazīstams, mēs reizinām abas daļas ar (x - 2), mēs iegūstam:

Es jums atgādinu ar iekavām (x - 2) mēs strādājam kā ar vienu veselu izteicienu!

Šeit es vairs nerakstīju 1 saucējos, tas ir necienīgi ... Un es saucējos zīmēju iekavas, izņemot x - 2 nekas nav, nav jāzīmē. Samazināšana:

Mēs atveram iekavas, visu pārvietojam pa kreisi, dodam līdzīgas:

Mēs atrisinām, pārbaudām, iegūstam divas saknes. x \u003d 2 un x \u003d 3... Smalki.

Pieņemsim, ka uzdevums saka pierakstīt sakni vai to summu, ja ir vairāk nekā viena sakne. Ko mēs rakstīsim?

Ja jūs nolemjat, ka atbilde ir 5, jūs tika apslēpti... Un uzdevums jums netiks ieskaitīts. Strādāja veltīgi ... Pareiza atbilde 3.

Kas noticis?! Un jūs mēģināt veikt pārbaudi. Nezināmā vērtības aizstājiet ar oriģināls piemērs. Un ja plkst x \u003d 3 viss brīnišķīgi augs kopā ar mums, mēs iegūstam 9 \u003d 9, pēc tam ar x \u003d 2 dalīšana ar nulli! Ko nevar darīt kategoriski. Nozīmē x \u003d 2 nav risinājums, un atbildē tas netiek ņemts vērā. Šī ir tā sauktā svešā vai papildu sakne. Mēs to vienkārši nometam. Galīgā sakne ir viena. x \u003d 3.

Kā tā ?! - dzirdu sašutušus izsaukumus. Mums mācīja, ka vienādojumu var reizināt ar izteicienu! Šī ir identiska transformācija!

Jā, identiski. Ar nelielu nosacījumu - izteiksme, ar kuru mēs reizinām (dalām) - nulle... UN x - 2 plkst x \u003d 2 ir vienāds ar nulli! Tātad viss ir godīgi.

Un ko tagad es varu darīt ?! Nevajag reizināt ar izteicienu? Vai jums katru reizi jāpārbauda? Atkal nav skaidrs!

Nomierinies! Nekrīti panikā!

Šajā sarežģītajā situācijā mūs izglābs trīs burvju burti. Es zinu, ko tu domā. Pareizi! to ODZ ... Atļauto vērtību diapazons.

Ir zināms, ka tā ir noteikta vienādības ax 2 + bx + c \u003d o versija, kur a, b un c ir reāli koeficienti nezināmam x, un kur ≠ o, b un c būs nulles - vienlaikus vai atsevišķi. Piemēram, c \u003d o, in ≠ o vai otrādi. Mēs gandrīz atcerējāmies kvadrātvienādojuma definīciju.

Otrās pakāpes trinomiāls ir nulle. Tās pirmais koeficients a ≠ o, b un c var iegūt jebkuras vērtības. Mainīgā x vērtība tad būs, kad pēc aizstāšanas tā pārvērtīsies par patiesu skaitlisko vienādību. Pakavēsimies pie patiesajām saknēm, lai gan vienādojuma risinājumi var būt un Complete tiek saukts par vienādojumu, kurā neviens no koeficientiem nav vienāds ar o, bet ≠ o, ≠ o, ar ≠ o.
Atrisināsim piemēru. 2x 2 -9x-5 \u003d ak, mēs atrodam
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D ir pozitīvs, tāpēc ir saknes, x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5, bet otrais x 2 \u003d (9-√121): 4 \u003d -o, 5. Pārbaude palīdzēs pārliecināties, vai tie ir pareizi.

Šeit ir soli pa solim kvadrātvienādojuma vienādojuma risinājums

Izmantojot diskriminantu, jūs varat atrisināt jebkuru vienādojumu kreisajā pusē, kura ≠ o ir labi pazīstams kvadrātiskais trinoms. Mūsu piemērā. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (cirvis 2 + bx + c \u003d o)

Apsveriet, kādi ir nepilnīgie otrās pakāpes vienādojumi

1. cirvis 2 + in \u003d o. Brīvais termins, koeficients c pie x 0, šeit ir vienāds ar nulli, ≠ o.
   Kā atrisināt nepilnīgu šāda veida kvadrātvienādojumu? Pārvietot x no iekavām. Atcerieties, kad divu faktoru reizinājums ir nulle.
   x (ax + b) \u003d o, tas varētu būt, kad x \u003d o vai kad ax + b \u003d o.
   Atrisinot 2., mums ir x \u003d -v / a.
   Rezultātā mums ir saknes x 1 \u003d 0, pēc aprēķiniem x 2 \u003d -b / a.
2. Tagad koeficients pie x ir vienāds ar o, un c nav vienāds ar (≠) o.
   x 2 + c \u003d o. Pārnesot с uz vienādības labo pusi, iegūstam x 2 \u003d -с. Šim vienādojumam ir reālas saknes tikai tad, kad -c pozitīvs skaitlis (ar ‹o),
   Tad x 1 ir vienāds ar √ (-c), attiecīgi x 2 - -√ (-c). Pretējā gadījumā vienādojumam vispār nav sakņu.
3. Pēdējais variants: b \u003d c \u003d o, tas ir, ax 2 \u003d o. Dabiski, ka šādam vienkāršam vienādojumam ir viena sakne x \u003d o.

Īpaši gadījumi

Mēs esam apsvēruši, kā atrisināt nepilnīgu kvadrātvienādojumu, un tagad mēs ņemsim jebkādus veidus.

• Pilnā kvadrātvienādojumā otrais koeficients pie x ir pāra skaitlis.
  Ļaujiet k \u003d o, 5b. Mums ir formulas diskriminanta un sakņu aprēķināšanai.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, saknes aprēķina kā x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a D ›o.
  x \u003d -k / a, kad D \u003d o.
  Pie D ‹o nav sakņu.
• Ir doti kvadrātvienādojumi, kad koeficients x kvadrātā ir 1, ir ierasts tos rakstīt x 2 + px + q \u003d o. Uz tām attiecas visas iepriekš minētās formulas, aprēķini ir nedaudz vienkāršāki.
  Piemērs, x 2 -4x-9 \u003d 0. Aprēķiniet D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13, x 2 \u003d 2-√13.
• Turklāt to ir viegli pielietot dotajiem. Tajā teikts, ka vienādojuma sakņu summa ir -p, otrais koeficients ar mīnusu (tas nozīmē pretēja zīme), un to pašu sakņu reizinājums būs vienāds ar q - brīvo terminu. Pārbaudiet, cik viegli būtu mutiski noteikt šī vienādojuma saknes. Nesamazinātiem (visiem koeficientiem, kas nav vienādi ar nulli) šī teorēma ir piemērojama šādi: summa x 1 + x 2 ir vienāda ar -v / a, reizinājums x 1 x 2 ir vienāds ar c / a.

Krustpunkta c un pirmā koeficienta a summa ir vienāda ar koeficientu b. Šajā situācijā vienādojumam ir vismaz viena sakne (to ir viegli pierādīt), pirmais obligāti ir vienāds ar -1, bet otrais -c / a, ja tāds pastāv. Kā atrisināt nepilnīgu kvadrātvienādojumu, to varat pārbaudīt pats. Vieglāk par vieglu. Koeficienti savā starpā var būt dažās attiecībās

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Visu koeficientu summa ir o.
  Šāda vienādojuma saknes ir 1 un s / a. Piemērs: 2x 2 -15x + 13 \u003d o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Ir vairāki citi veidi, kā atrisināt dažādus otrās pakāpes vienādojumus. Šeit, piemēram, ir metode, kā iegūt noteiktu kvadrātu no konkrētā polinoma. Ir vairāki grafiski veidi. Kad jūs bieži nodarbojaties ar šādiem piemēriem, jūs iemācīsities tos "noklikšķināt" kā sēklas, jo visas metodes nāk prātā automātiski.

IN mūsdienu sabiedrība spēja veikt darbības ar vienādojumiem, kas satur kvadrātveida mainīgo, var būt noderīga daudzās darbības jomās un tiek plaši izmantota praksē zinātnes un tehnikas attīstībā. Par to liecina jūras un upju kuģu, lidmašīnu un raķešu konstrukcija. Ar šādu aprēķinu palīdzību visvairāk pārvietojas trajektorijas dažādas struktūras, ieskaitot kosmosa objektus. Piemēri ar kvadrātvienādojumu risinājumu tiek izmantoti ne tikai ekonomikas prognozēšanā, ēku projektēšanā un būvniecībā, bet arī visparastākajos ikdienas apstākļos. Tie var būt nepieciešami kempinga braucienos, sporta pasākumos, veikalos, iepērkoties, un citās ļoti bieži sastopamās situācijās.

Sadalīsim izteiksmi tās faktoros

Tiek noteikts vienādojuma pakāpe maksimālā vērtība mainīgā pakāpe, ko satur šī izteiksme. Ja tas ir vienāds ar 2, tad šādu vienādojumu sauc par kvadrātu.

Ja mēs izmantojam formulu valodu, tad šos izteicienus neatkarīgi no tā, kā tie izskatās, vienmēr var samazināt līdz formai, kad kreisā puse izteiksme sastāv no trim terminiem. Starp tiem: cirvis 2 (tas ir, mainīgais kvadrātā ar tā koeficientu), bx (nezināms bez kvadrāta ar tā koeficientu) un c (brīvais komponents, tas ir, parasts skaitlis). Tas viss labajā pusē ir vienāds ar 0. Gadījumā, ja šādam polinomam trūkst viena no tā sastāvdaļām, izņemot 2. cirvi, to sauc par nepilnīgu kvadrātvienādojumu. Vispirms jāapsver piemēri ar šādu problēmu risinājumu, kuru mainīgo lielumu ir viegli atrast.

Ja izteiksme izskatās tā, ka labajā pusē izteiksmē ir divi termini, precīzāk, ax 2 un bx, visvieglāk ir atrast x, ievietojot mainīgo ārpus iekavām. Tagad mūsu vienādojums izskatīsies šādi: x (ax + b). Turklāt kļūst acīmredzams, ka vai nu x \u003d 0, vai problēma tiek samazināta līdz mainīgā atrašanai no šādas izteiksmes: ax + b \u003d 0. To diktē viena no reizināšanas īpašībām. Noteikums ir tāds, ka divu faktoru reizinājums rada 0 tikai tad, ja viens no tiem ir vienāds ar nulli.

Piemērs

x \u003d 0 vai 8x - 3 \u003d 0

Rezultātā mēs iegūstam divas vienādojuma saknes: 0 un 0,375.

Šāda veida vienādojumi var aprakstīt ķermeņu kustību gravitācijas ietekmē, kas sāka virzīties no noteikta punkta, kas tika ņemts par koordinātu izcelsmi. Šeit matemātiskais apzīmējums ir šādā formā: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Aizstājot nepieciešamās vērtības, pielīdzinot labo pusi 0 un atrodot iespējamos nezināmos, jūs varat uzzināt laiku, kas pagājis no brīža, kad ķermenis paceļas, līdz brīdim, kad tas nokrīt, kā arī daudzus citus lielumus. Bet mēs par to runāsim vēlāk.

Faktora izteikšana

Iepriekš aprakstītais noteikums ļauj atrisināt norādītos uzdevumus vairāk sarežģīti gadījumi... Apskatīsim piemērus ar šāda veida kvadrātvienādojumu risinājumu.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Šis kvadrātveida trinoms ir pabeigta. Pirmkārt, pārveidosim izteiksmi un faktoru. Ir divi no tiem: (x-8) un (x-25) \u003d 0. Rezultātā mums ir divas saknes 8 un 25.

Piemēri ar kvadrātvienādojumu risinājumu 9. pakāpē ļauj šai metodei atrast mainīgo ne tikai otrās, bet pat trešās un ceturtās kārtas izteiksmēs.

Piemēram: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Faktorizējot labo pusi faktoros ar mainīgo, tie ir trīs, tas ir, (x + 1), (x-3) un (x + 3).

Rezultātā kļūst acīmredzams, ka šim vienādojumam ir trīs saknes: -3; -viens; 3.

Kvadrātveida saknes ekstrakcija

Cits gadījums nepilnīgs vienādojums otrā secība ir izteiksme burtu valodā, kas attēlota tā, ka labā puse ir konstruēta no komponentiem ax 2 un c. Šeit, lai iegūtu mainīgā vērtību, brīvais termins tiek pārsūtīts uz labo pusi, un pēc tam kvadrātsakni iegūst no vienādības abām pusēm. Jāatzīmē, ka šajā gadījumā parasti ir divas vienādojuma saknes. Vienīgie izņēmumi ir vienādības, kurās vispār nav termina c, kur mainīgais ir vienāds ar nulli, kā arī izteicienu varianti, kad labā puse izrādās negatīva. Pēdējā gadījumā risinājumu vispār nav, jo iepriekš minētās darbības nevar veikt ar saknēm. Jāapsver šāda veida kvadrātvienādojumu risinājumu piemēri.

Šajā gadījumā vienādojuma saknes būs skaitļi -4 un 4.

Zemes platības aprēķins

Nepieciešamība pēc šāda veida aprēķiniem parādījās senos laikos, jo matemātikas attīstība šajos tālos laikos daudzējādā ziņā bija saistīta ar nepieciešamību ar vislielāko precizitāti noteikt zemes gabalu platības un perimetrus.

Mums jāapsver kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri, pamatojoties uz šāda veida problēmām.

Pieņemsim, ka ir taisnstūrveida zemes gabals, kas ir par 16 metriem garāks par tā platumu. Atrodiet vietas garumu, platumu un perimetru, ja zināt, ka tās platība ir 612 m 2.

Sākot darbu, vispirms izveidosim nepieciešamo vienādojumu. Apzīmēsim ar x sadaļas platumu, tad tā garums būs (x + 16). No rakstītā izriet, ka laukumu nosaka izteiksme x (x + 16), kas atbilstoši mūsu problēmas stāvoklim ir 612. Tas nozīmē, ka x (x + 16) \u003d 612.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu, un šī izteiksme ir tieši tā, nevar izdarīt vienādi. Kāpēc? Lai gan tā kreisajā pusē joprojām ir divi faktori, produkts vispār nav 0, tāpēc šeit tiek izmantotas citas metodes.

Diskriminējošs

Pēc tam vispirms veicam nepieciešamās transformācijas izskats šī izteiksme izskatīsies šādi: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Tas nozīmē, ka mēs saņēmām izteiksmi formā, kas atbilst iepriekš norādītajam standartam, kur a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Tas var būt kvadrātvienādojumu atrisināšanas piemērs, izmantojot diskriminantu. Šeit nepieciešamie aprēķini ražots pēc shēmas: D \u003d b 2 - 4ac. Šis papildu daudzums ne tikai ļauj atrast vajadzīgos lielumus otrās kārtas vienādojumā, bet arī nosaka daudzumu iespējamās iespējas... Ja D\u003e 0, ir divi no tiem; ja D \u003d 0, ir viena sakne. Ja D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Par saknēm un to formulu

Mūsu gadījumā atšķirīgais ir: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Tas norāda, ka mūsu problēmai ir atbilde. Ja jūs zināt, k, kvadrātvienādojumu risinājums jāturpina, izmantojot zemāk esošo formulu. Tas ļauj aprēķināt saknes.

Tas nozīmē, ka šajā gadījumā: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Otrais variants šajā dilemmā nevar būt risinājums, jo zemes gabala izmērus nevar izmērīt negatīvās vērtībās, tāpēc x (tas ir, zemes gabala platums) ir 18 m. No šejienes mēs aprēķinām garumu: 18 + 16 \u003d 34, un perimetrs 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Piemēri un uzdevumi

Mēs turpinām pētīt kvadrātvienādojumus. Piemēri un detalizēts risinājums vairākiem no tiem tiks sniegti turpmāk.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Mēs visu pārnesam uz vienlīdzības kreiso pusi, veicam pārveidojumu, tas ir, mēs iegūstam vienādojuma formu, ko parasti sauc par standartu, un pielīdzinām to nullei.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Pievienojot līdzīgus, mēs definējam diskriminantu: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Tātad mūsu vienādojumam būs divas saknes. Mēs tos aprēķinām pēc iepriekš minētās formulas, kas nozīmē, ka pirmais no tiem būs 4/3, bet otrais 1.

2) Tagad mēs atklāsim cita veida mīklas.

Noskaidrosim, vai šeit vispār ir saknes x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Lai iegūtu izsmeļošu atbildi, novedīsim polinomu uz atbilstošo pazīstamo formu un aprēķināsim diskriminantu. Šajā piemērā kvadrātvienādojuma risinājums nav nepieciešams, jo problēmas būtība tajā nemaz nav. Šajā gadījumā D \u003d 16 - 20 \u003d -4, kas nozīmē, ka sakņu tiešām nav.

Vietas teorēma

Kad kvadrātsakni iegūst no pēdējās vērtības, ir ērti atrisināt kvadrātvienādojumus, izmantojot iepriekš minētās formulas un diskriminantu. Bet tas ne vienmēr notiek. Tomēr šajā gadījumā ir daudz veidu, kā iegūt mainīgo lielumus. Piemērs: kvadrātvienādojumu atrisināšana ar Vieta teorēmu. Viņa ir nosaukta pēc vīrieša, kurš dzīvoja 16. gadsimtā Francijā un padarīja izcilu karjeru, pateicoties viņa matemātiskajam talantam un sakariem tiesā. Viņa portrets ir redzams rakstā.

Slavenā francūža pamanītais modelis bija šāds. Viņš pierādīja, ka vienādojuma saknes summā skaitliski ir vienādas ar -p \u003d b / a, un to reizinājums atbilst q \u003d c / a.

Tagad apskatīsim konkrētus uzdevumus.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Vienkāršības labad mēs pārveidojam izteicienu:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Mēs izmantosim Vieta teorēmu, tas mums dos sekojošo: sakņu summa ir -7, un to reizinājums ir -18. No tā mēs iegūstam, ka vienādojuma saknes ir skaitļi -9 un 2. Veicot pārbaudi, mēs pārliecināsimies, ka šīs mainīgo vērtības patiešām iekļaujas izteiksmē.

Parabola grafiks un vienādojums

Kvadrātiskās funkcijas jēdzieni un kvadrātvienādojumi ir cieši saistīti. Piemēri tam jau ir doti iepriekš. Tagad aplūkosim tuvāk dažas matemātikas mīklas. Jebkuru aprakstītā tipa vienādojumu var vizualizēt. Šādas attiecības, kas uzzīmētas grafika formā, sauc par parabolu. Dažādi tā veidi ir parādīti zemāk redzamajā attēlā.

Jebkurai parabolai ir virsotne, tas ir, punkts, no kura iziet tās filiāles. Ja a\u003e 0, tie sasniedz augstu līdz bezgalībai, un kad a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funkciju vizuāls attēlojums palīdz atrisināt visus vienādojumus, ieskaitot kvadrātiskos. Šo metodi sauc par grafisko. Un mainīgā x vērtība ir abscisu koordināta tajos punktos, kur diagrammas līnija krustojas ar 0x. Virsotnes koordinātas var atrast pēc tikko norādītās formulas x 0 \u003d -b / 2a. Un, aizstājot iegūto vērtību funkcijas sākotnējā vienādojumā, jūs varat uzzināt y 0, tas ir, parabola virsotnes otro koordinātu, kas pieder ordinātu asij.

Parabolas zaru krustojums ar abscisu asi

Ir daudz piemēru ar kvadrātvienādojumu risinājumu, taču ir arī vispārīgi modeļi. Apsvērsim tos. Ir skaidrs, ka grafika krustošanās ar 0x asi a\u003e 0 ir iespējama tikai tad, ja y 0 ņem negatīvas vērtības. Un par a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Pretējā gadījumā D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Saknes var noteikt arī pēc parabola grafika. Arī pretēji ir taisnība. Tas ir, ja jūs saņemat vizuālu attēlu kvadrātiskā funkcija nav viegli, jūs varat pielīdzināt izteiksmes labo pusi 0 un atrisināt iegūto vienādojumu. Un, zinot krustošanās punktus ar 0x asi, ir vieglāk izveidot grafiku.

No vēstures

Ar vienādojumu palīdzību, kas satur mainīgu kvadrātu, vecajās dienās viņi veica ne tikai matemātiskus aprēķinus un noteica ģeometrisko figūru laukumus. Šādi aprēķini senajiem cilvēkiem bija nepieciešami grandioziem atklājumiem fizikas un astronomijas jomā, kā arī astroloģisko prognožu veikšanai.

Kā pieņem mūsdienu zinātnieki, Babilonas iedzīvotāji bija vieni no pirmajiem, kas atrisināja kvadrātvienādojumus. Tas notika četrus gadsimtus pirms mūsu ēras. Protams, viņu aprēķini būtiski atšķīrās no pašreiz pieņemtajiem un izrādījās daudz primitīvāki. Piemēram, Mezopotāmijas matemātiķiem nebija ne jausmas par negatīvo skaitļu esamību. Viņiem nebija pazīstami arī citi smalkumi no tiem, kurus zina jebkurš mūsu laika skolēns.

Varbūt pat agrāk nekā Babilonas zinātnieki, viedais no Indijas Baudhajama sāka kvadrātvienādojumu risinājumu. Tas notika apmēram astoņus gadsimtus pirms Kristus ēras iestāšanās. Tiesa, otrās kārtas vienādojumi, kuru atrisināšanas metodes viņš deva, bija visvienkāršākie. Papildus viņam vecos laikos līdzīgi jautājumi interesēja arī ķīniešu matemātiķus. Eiropā kvadrātvienādojumus sāka risināt tikai 13. gadsimta sākumā, bet vēlāk tos savos darbos izmantoja tādi lieli zinātnieki kā Ņūtons, Dekarts un daudzi citi.

Kvadrātvienādojums - viegli atrisināms! * Tālāk tekstā "KU".Šķiet, draugi, kas matemātikā varētu būt vieglāk nekā atrisināt šādu vienādojumu. Bet kaut kas man teica, ka daudziem ir problēmas ar viņu. Es nolēmu redzēt, cik seansu mēnesī Yandex. Lūk, kas notika, ieskaties:

Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka aptuveni 70 000 cilvēku mēnesī meklē šo informāciju, un kas notiks mācību gada vidū - pieprasījumu būs divreiz vairāk. Tas nav pārsteidzoši, jo tie puiši un meitenes, kuri jau sen ir beiguši skolu un gatavojas Vienotajam valsts eksāmenam, meklē šo informāciju, un arī skolēni cenšas to atsvaidzināt atmiņā.

Neskatoties uz to, ka ir daudz vietņu, kurās varat uzzināt, kā atrisināt šo vienādojumu, es arī nolēmu darīt savu daļu un publicēt materiālu. Pirmkārt, es vēlos, lai apmeklētāji apmeklētu manu vietni pēc šī pieprasījuma; otrkārt, citos rakstos, kad nāks "KU" runa, es došu saiti uz šo rakstu; treškārt, es jums pastāstīšu nedaudz vairāk par viņa risinājumu, nekā parasti tiek norādīts citās vietnēs. Sāksim!Raksta saturs:

Kvadrātvienādojums ir formas vienādojums:

kur koeficienti a,b un ar patvaļīgiem skaitļiem ar ≠ 0.

Skolas kursā materiāls tiek sniegts šādā formā - vienādojumi tiek nosacīti sadalīti trīs klasēs:

1. Viņiem ir divas saknes.

2. * Ir tikai viena sakne.

3. Nav sakņu. Šeit ir vērts atzīmēt, ka viņiem nav derīgu sakņu.

Kā tiek aprēķinātas saknes? Vienkārši!

Mēs aprēķinām diskriminantu. Zem šī "briesmīgā" vārda slēpjas pavisam vienkārša formula:

Sakņu formulas ir šādas:

* Šīs formulas jāzina no galvas.

Jūs varat uzreiz pierakstīt un izlemt:

Piemērs:

1. Ja D\u003e 0, tad vienādojumam ir divas saknes.

2. Ja D \u003d 0, tad vienādojumam ir viena sakne.

3. Ja D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Apskatīsim vienādojumu:

Šajā sakarā, kad atšķirīgais ir nulle, skolas kursā saka, ka tiek iegūta viena sakne, šeit tā ir vienāda ar deviņām. Viss ir pareizi, tā ir, bet ...

Šis attēlojums ir nedaudz nepareizs. Patiesībā ir divas saknes. Jā, jā, nebrīnieties, izrādās, ka ir divas vienādas saknes, un, lai būtu precīzi matemātiski, tad atbildei vajadzētu rakstīt divas saknes:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Bet tas tā ir - neliela atkāpe. Skolā jūs varat pierakstīt un teikt, ka ir viena sakne.

Tagad nākamais piemērs:

Kā mēs zinām, negatīvā skaitļa sakne netiek ekstrahēta, tāpēc šajā gadījumā risinājuma nav.

Tas ir viss risinājuma process.

Kvadrātiskā funkcija.

Lūk, kā risinājums izskatās ģeometriski. Tas ir ārkārtīgi svarīgi to saprast (nākotnē vienā no rakstiem mēs sīki analizēsim kvadrātveida nevienlīdzības risinājumu).

Šī ir formas funkcija:

kur x un y ir mainīgie

a, b, c - norādītie skaitļi ar ≠ 0

Diagramma ir parabola:

Tas ir, izrādās, ka, atrisinot kvadrātvienādojumu ar "y", kas ir vienāds ar nulli, mēs atrodam parabolas un vērša ass krustošanās punktus. Var būt divi no šiem punktiem (diskriminants ir pozitīvs), viens (diskriminants ir nulle) un neviens (diskriminants ir negatīvs). Vairāk par kvadrātfunkciju jūs varat apskatīt Innas Feldmanes raksts.

Apskatīsim dažus piemērus:

1. piemērs: Atrisiniet 2x 2 +8 x–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d –192

D \u003d b 2 –4ac \u003d 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Atbilde: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d –12

* Vienādojuma kreiso un labo pusi varēja uzreiz sadalīt ar 2, tas ir, vienkāršot. Aprēķini būs vieglāki.

2. piemērs: Atrisiniet x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –22 c \u003d 121

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484–484 \u003d 0

Mēs saņēmām, ka x 1 \u003d 11 un x 2 \u003d 11

Atbildē ir atļauts ierakstīt x \u003d 11.

Atbilde: x \u003d 11

3. piemērs: Atrisiniet x 2 –8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –8 c \u003d 72

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64–288 \u003d –224

Diskriminants ir negatīvs, reālos skaitļos risinājuma nav.

Atbilde: risinājuma nav

Diskriminants ir negatīvs. Ir risinājums!

Šeit mēs koncentrēsimies uz vienādojuma risināšanu gadījumā, kad tiek iegūts negatīvs diskriminants. Vai jūs kaut ko zināt par kompleksiem skaitļiem? Es šeit neiedziļināšos par to, kāpēc un no kurienes viņi radās, un kāda ir viņu īpašā loma un vajadzība matemātikā, šī ir tēma lielam atsevišķam rakstam.

Kompleksā skaitļa jēdziens.

Mazliet teorijas.

Komplekss skaitlis z ir formas skaitlis

z \u003d a + bi

kur a un b ir reāli skaitļi, i ir tā sauktā iedomātā vienība.

a + bi Ir VIENOTS NUMURS, nevis papildinājums.

Iedomātā vienība ir vienāda ar mīnus viena sakni:

Tagad apsveriet vienādojumu:

Mēs ieguvām divas konjugētas saknes.

Nepilnīgs kvadrātvienādojums.

Apsveriet īpašus gadījumus, kad koeficients "b" vai "c" ir vienāds ar nulli (vai abi ir vienādi ar nulli). Tos var viegli atrisināt bez jebkādiem diskriminantiem.

1. gadījums. Koeficients b \u003d 0.

Vienādojums ir šāds:

Pārveidosim:

Piemērs:

4x 2 –16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d –2

2. gadījums. Koeficients ar \u003d 0.

Vienādojums ir šāds:

Mēs pārveidojam, faktorizējam:

* Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.

Piemērs:

9x 2 –45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x - 5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 vai x - 5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

3. gadījums. Koeficienti b \u003d 0 un c \u003d 0.

Šeit ir skaidrs, ka vienādojuma risinājums vienmēr būs x \u003d 0.

Derīgās koeficientu īpašības un modeļi.

Ir īpašības, kas ļauj atrisināt vienādojumus ar lieliem koeficientiem.

unx 2 + bx+ c=0 pastāv vienlīdzība

a + b + c \u003d 0,pēc tam

- ja vienādojuma koeficientiem unx 2 + bx+ c=0 pastāv vienlīdzība

a + c \u003db, pēc tam

Šīs īpašības palīdz atrisināt noteikta veida vienādojumi.

1. piemērs: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Izredžu summa ir 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, tātad

2. piemērs: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Vienlīdzība ir izpildīta a + c \u003db, nozīmē

Koeficientu likumsakarības.

1. Ja vienādojumā ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficients "b" ir vienāds ar (a 2 +1) un koeficients "c" skaitliski ir vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir vienādas

cirvis 2 + (a 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d –а х 2 \u003d –1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d –6 x 2 \u003d –1/6.

2. Ja vienādojumā ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficients "b" ir vienāds ar (a 2 +1) un koeficients "c" skaitliski ir vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

cirvis 2 - (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 15x 2 –226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Ja vienādojumācirvis 2 + bx - c \u003d 0 koeficients "b" ir vienāds ar (a 2 - 1), un koeficients "c" skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tās saknes ir vienādas

аx 2 + (а 2 –1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d - а х 2 \u003d 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ja vienādojumā ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficients "b" ir vienāds ar (a 2 - 1) un koeficients c skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

аx 2 - (а 2 –1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d - 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 10x 2 - 99x –10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietas teorēma.

Vietas teorēma ir nosaukta slavenā franču matemātiķa Fransuā Vieta vārdā. Izmantojot Vieta teorēmu, mēs varam izteikt patvaļīgas KE sakņu summu un reizinājumu tās koeficientu izteiksmē.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kopumā skaitlis 14 dod tikai 5 un 9. Tās ir saknes. Izmantojot noteiktu prasmi, izmantojot piedāvāto teorēmu, jūs varat mutiski atrisināt daudzus kvadrātvienādojumus.

Turklāt Vietas teorēma. ērts ar to, ka pēc kvadrātvienādojuma atrisināšanas parastajā veidā (caur diskriminantu) iegūtās saknes var pārbaudīt. Es iesaku to darīt visu laiku.

PĀRVIETOŠANAS METODE

Izmantojot šo metodi, koeficients "a" tiek reizināts ar brīvo terminu, it kā "iemests" tam, tāpēc to sauc ar "pārsūtīšanas" palīdzību.Šo metodi izmanto, ja jūs viegli varat atrast vienādojuma saknes, izmantojot Vieta teorēmu, un, pats galvenais, kad diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Ja un± b + c≠ 0, tad tiek izmantota pārsūtīšanas tehnika, piemēram:

2x 2 – 11x +5 = 0 (1) => x 2 – 11x +10 = 0 (2)

Pēc Vietas teorēmas (2) vienādojumā ir viegli noteikt, ka x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Iegūtās vienādojuma saknes jāsadala ar 2 (tā kā divas tika "izmestas" no x 2), mēs iegūstam

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Kāds ir pamatojums? Skatiet, kas notiek.

1. un 2. vienādojuma diskriminanti ir vienādi:

Ja paskatās vienādojumu saknes, tiek iegūti tikai dažādi saucēji, un rezultāts ir tieši atkarīgs no koeficienta pie x 2:

Otrās (modificētās) saknes ir 2 reizes lielākas.

Tāpēc mēs dalām rezultātu ar 2.

* Ja mēs atkal ripojam trijnieku, tad rezultātu dalām ar 3 utt.

Atbilde: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5

Kv. ur-ye un eksāmens.

Es īsumā teikšu par tā nozīmi - JĀSpēj ātri un bez vilcināšanās RISINĀT, sakņu formulas un atšķirīgais ir jāzina no galvas. Daudzi uzdevumi, kas veido USE uzdevumus, tiek samazināti līdz kvadrātvienādojuma (ieskaitot ģeometriskos) atrisināšanai.

Kas ir vērts atzīmēt!

1. Vienādojuma rakstīšanas forma var būt "netieša". Piemēram, ir iespējams šāds ieraksts:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 vai 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 vai 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Jums tas jānovirza uz standarta veidlapu (lai risināšanas laikā neapjuktu).

2. Atcerieties, ka x ir nezināms lielums un to var apzīmēt ar jebkuru citu burtu - t, q, p, h un citiem.

Šajā rakstā mēs aplūkosim nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanu.

Bet vispirms atkārtosim, kurus vienādojumus sauc par kvadrātiskiem. Formas ax 2 + bx + c \u003d 0 vienādojums, kur x ir mainīgs lielums, un koeficienti a, b un c ir daži skaitļi, un tiek saukts, 0. kvadrāts... Kā redzam, koeficients pie x 2 nav nulle, un tāpēc koeficienti pie x vai brīvais termins var būt nulle, šajā gadījumā mēs iegūstam nepilnīgu kvadrātvienādojumu.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi ir trīs veidu:

1) Ja b \u003d 0, c ≠ 0, tad ax 2 + c \u003d 0;

2) Ja b ≠ 0, c \u003d 0, tad ax 2 + bx \u003d 0;

3) Ja b \u003d 0, c \u003d 0, tad ax 2 \u003d 0.

• Izdomāsim, kā tie tiek atrisināti formas ax 2 + c \u003d 0 vienādojumi.

Lai atrisinātu vienādojumu, mēs pārvietojam brīvo terminu ar vienādojuma labajā pusē, mēs iegūstam

cirvis 2 \u003d ‒c. Tā kā a ≠ 0, tad abas vienādojuma puses dalām ar a, tad x 2 \u003d ‒c / a.

Ja ‒c / a\u003e 0, tad vienādojumam ir divas saknes

x \u003d ± √ (–c / a).

Ja ‒c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Mēģināsim to izdomāt ar piemēriem, kā atrisināt šādus vienādojumus.

1. piemērs... Atrisiniet 2x vienādojumu 2 - 32 \u003d 0.

Atbilde: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

2. piemērs... Atrisiniet 2x vienādojumu 2 + 8 \u003d 0.

Atbilde: vienādojumam nav risinājumu.

• Izdomāsim, kā viņi izlemj formas ax 2 + bx \u003d 0 vienādojumi.

Lai atrisinātu vienādojumu ax 2 + bx \u003d 0, mēs to faktorizējam, tas ir, mēs izņemam x ārpus iekavām, iegūstam x (ax + b) \u003d 0. Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tad vai nu x \u003d 0, vai ax + b \u003d 0. Atrisinot vienādojumu ax + b \u003d 0, iegūstam ax \u003d - b, no kurienes x \u003d - b / a. Formas ax 2 + bx \u003d 0 vienādojumam vienmēr ir divas saknes x 1 \u003d 0 un x 2 \u003d - b / a. Skatiet, kā diagrammā izskatās šāda veida vienādojumu risinājums.

Apkoposim savas zināšanas ar konkrētu piemēru.

3. piemērs... Atrisiniet 3x vienādojumu 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 vai 3x - 12 \u003d 0

Atbilde: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Trešā veida cirvja vienādojumi 2 \u003d 0 tiek atrisināti ļoti vienkārši.

Ja ax 2 \u003d 0, tad x 2 \u003d 0. Vienādojumam ir divas vienādas saknes x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Skaidrības labad ņemiet vērā diagrammu.

Pārliecinieties, risinot 4. piemēru, vai šāda veida vienādojumus var atrisināt ļoti viegli.

4. piemērs. Atrisiniet 7x vienādojumu 2 \u003d 0.

Atbilde: x 1, 2 \u003d 0.

Ne vienmēr uzreiz ir skaidrs, kāds nepilnīgs kvadrātvienādojums mums jāatrisina. Apsveriet šādu piemēru.

5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Abas vienādojuma puses reizinām ar kopsaucēju, tas ir, ar 30

Samazināt

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Paplašināsim iekavas

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Šeit ir līdzīgi

Pārvietojiet 99 no vienādojuma kreisās puses uz labo pusi, apgrieziet zīmi

Atbilde: nav sakņu.

Mēs esam analizējuši, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Es ceru, ka tagad jums nebūs grūtību ar šādiem uzdevumiem. Esiet piesardzīgs, nosakot nepilnīga kvadrātvienādojuma veidu, tad jums tas izdosies.

Ja jums ir kādi jautājumi par šo tēmu, reģistrējieties manās nodarbībās, kopīgi atrisināsim radušās problēmas.

vietnei ar pilnīgu vai daļēju materiāla kopēšanu ir nepieciešama saite uz avotu.