Šajā rakstā es jums parādīšu algoritmi septiņu racionālu vienādojumu veidu risināšanai, kas tiek samazināti līdz kvadrātā, mainot mainīgos. Vairumā gadījumu pārveidojumi, kas noved pie nomaiņas, nav ļoti triviāli, un par tiem ir diezgan grūti uzminēt patstāvīgi.

Katram vienādojuma veidam es paskaidrošu, kā mainīt mainīgo tajā, un pēc tam attiecīgajā video pamācībā parādīšu detalizētu risinājumu.

Jums ir iespēja turpināt vienādojumu risināšanu pats un pēc tam pārbaudiet savu risinājumu, izmantojot video pamācību.

Tātad, sāksim.

1 ... (x-1) (x-7) (x-4) (x + 2) \u003d 40

Ņemiet vērā, ka vienādojuma kreisajā pusē ir četru iekavu un labajā pusē skaitļa reizinājums.

1. Sagrupēsim iekavas pa divām tā, lai bezmaksas nosacījumu summa būtu vienāda.

2. Pavairosim tos.

3. Mēs ieviešam mainīgā lieluma maiņu.

Savā vienādojumā mēs grupējam pirmo iekavu ar trešo un otro ar ceturto, jo (-1) + (- 4) \u003d (- 7) +2:

Šajā brīdī mainīgā mainība kļūst acīmredzama:

Mēs iegūstam vienādojumu

Atbilde:

2 .

Šāda veida vienādojums ir līdzīgs iepriekšējam ar vienu atšķirību: vienādojuma labajā pusē ir skaitļa reizinājums ar. Un tas tiek atrisināts pavisam citādi:

1. Mēs grupējam iekavas pa divām, lai bezmaksas nosacījumu rezultāts būtu vienāds.

2. Reiziniet katru iekavu pāri.

3. No katra faktora mēs izņemam x.

4. Sadaliet abas vienādojuma puses ar.

5. Ieviesiet mainīgo aizstāšanu.

Šajā vienādojumā mēs grupējam pirmo kronšteinu ar ceturto un otro ar trešo, jo:

Ņemiet vērā, ka katrā iekavā koeficients un brīvais termins ir vienādi. Izņemiet koeficientu no katras iekavas:

Tā kā x \u003d 0 nav sākotnējā vienādojuma sakne, mēs abas vienādojuma puses dalām ar. Mēs iegūstam:

Mēs iegūstam vienādojumu:

Atbilde:

3 .

Ņemiet vērā, ka abu frakciju saucēji satur kvadrātveida trinomiar tādu pašu galveno koeficientu un brīvo termiņu. Mēs izņemam, tāpat kā otrā tipa vienādojumā, x ārpus iekavas. Mēs iegūstam:

Katras daļas skaitītāju un saucēju dala ar x:

Tagad mēs varam ieviest mainīgo aizstāšanu:

Mēs iegūstam mainīgā t vienādojumu:

4 .

Ņemiet vērā, ka vienādojuma koeficienti ir simetriski attiecībā pret centrālo. Šādu vienādojumu sauc atdodams .

Lai to atrisinātu,

1. Sadaliet abas vienādojuma puses ar (Mēs to varam izdarīt, jo x \u003d 0 nav vienādojuma sakne.) Mēs iegūstam:

2. Grupēsim terminus šādā veidā:

3. Katrā grupā mēs iekavās izņemam kopīgo faktoru:

4. Ieviesīsim aizstājēju:

5. Izteiksim caur t izteicienu:

No šejienes

Mēs iegūstam t vienādojumu:

Atbilde:

5. Homogēni vienādojumi.

Vienādojumus ar viendabīgas struktūru var sastapt, risinot eksponenciālo, logaritmisko un trigonometriskie vienādojumitāpēc jums tas jāspēj atpazīt.

Homogēniem vienādojumiem ir šāda struktūra:

Šajā vienādībā A, B un C ir skaitļi, un tās pašas izteiksmes apzīmē ar kvadrātu un apli. Tas ir, viendabīgā vienādojuma kreisajā pusē ir monomālu summa ar tādu pašu pakāpi ( šajā gadījumā monomālu pakāpe ir 2), un brīvā termiņa nav.

Lai atrisinātu viendabīgo vienādojumu, mēs sadalām abas puses ar

Uzmanību! Dalot vienādojuma labo un kreiso pusi ar izteiksmi, kas satur nezināmo, jūs varat zaudēt saknes. Tāpēc ir jāpārbauda, \u200b\u200bvai izteiksmes saknes, ar kuru mēs sadalām abas vienādojuma puses, nav sākotnējā vienādojuma saknes.

Ejam pirmo ceļu. Mēs iegūstam vienādojumu:

Tagad mēs ieviešam mainīgo aizstāšanu:

Vienkāršosim izteiksmi un saņemsim bi kvadrātvienādojums attiecībā pret t:

Atbilde: vai

7 .

Šim vienādojumam ir šāda struktūra:

Lai to atrisinātu, vienādojuma kreisajā pusē jāizvēlas pilns kvadrāts.

Lai atlasītu pilnu kvadrātu, jums jāpievieno vai jāatņem apmierinošs darbs. Tad mēs iegūstam summas vai starpības kvadrātu. Tas ir izšķiroši veiksmīgai mainīgo aizstāšanai.

Sāksim ar dubultotā produkta atrašanu. Tas būs galvenais, lai aizstātu mainīgo. Mūsu vienādojumā produkts ir divreiz lielāks

Tagad novērtēsim, kas mums ir ērtāk - summas kvadrāts vai starpība. Apsveriet vispirms izteicienu summu:

Lieliski! šī izteiksme ir tieši vienāda ar produkta divkāršu. Tad, lai iekavās iegūtu summas kvadrātu, jums jāpievieno un jāatņem dubultotais produkts:

Vienkārši sakot, tie ir vienādojumi, kuros saucējā ir vismaz viens ar mainīgo.

Piemēram:

\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)

Piemērs nē daļēji racionālie vienādojumi:

\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)

Kā tiek atrisināti daļēji racionālie vienādojumi?

Galvenais, kas jāatceras par daļējiem racionālajiem vienādojumiem, ir rakstīt tajos. Un pēc sakņu atrašanas noteikti pārbaudiet to pieņemamību. Pretējā gadījumā var parādīties svešas saknes, un viss lēmums tiks uzskatīts par nepareizu.

Algoritms frakcionālā racionālā vienādojuma atrisināšanai:

Pierakstiet un “atrisiniet” DHS.

Reiziniet katru vienādojuma vārdu ar kopsaucējs un samazināt iegūtās frakcijas. Saucēji pazudīs.

Pierakstiet vienādojumu, neatverot iekavas.

Atrisiniet iegūto vienādojumu.

Pārbaudiet atrastās saknes ar ODZ.

Atbildot uz atbildi, pierakstiet saknes, kas izturējušas pārbaudi 7. darbībā.

Neatcerieties algoritmu, 3-5 atrisinātus vienādojumus - un tas paliks atmiņā pats.

Piemērs ... Atrisiniet frakcionālo racionālo vienādojumu \\ (\\ frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)

Lēmums:

Atbilde: \(3\).

Piemērs ... Atrodiet daļējā racionālā vienādojuma saknes \\ (\u003d 0 \\)

Lēmums:

Atbilde: \\ (\\ frac (1) (2) \\).

Nodarbības mērķi:

Izglītības:

• frakcionālo racionālo vienādojumu jēdziena veidošana;
• apsveriet dažādus frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanas veidus;
• apsveriet algoritmu frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanai, ieskaitot nosacījumu, ka frakcijas vienādība ir nulle;
• iemācīt daļēju racionālu vienādojumu risināšanu ar algoritmu;
• pārbaudot tēmas apguves līmeni, veicot pārbaudes darbu.

Attīstība:

• attīstīt spēju pareizi darboties ar iegūtajām zināšanām, domāt loģiski;
• intelektuālo prasmju un garīgo darbību attīstīšana - analīze, sintēze, salīdzināšana un vispārināšana;
• iniciatīvas attīstība, spēja pieņemt lēmumus neapstājas pie tā;
• kritiskās domāšanas attīstīšana;
• pētniecības prasmju attīstīšana.

Izglītības:

• izglītība par kognitīvo interesi par priekšmetu;
• neatkarības veicināšana risināšanā mācību mērķi;
• veicinot gribu un neatlaidību, lai sasniegtu galīgos rezultātus.

Nodarbības veids: nodarbība - jauna materiāla skaidrojums.

Nodarbību laikā

1. Organizācijas brīdis.

Sveiki puiši! Vienādojumi ir rakstīti uz tāfeles, uzmanīgi tos aplūkojiet. Vai jūs varat atrisināt visus šos vienādojumus? Kuri nav un kāpēc?

Vienādojumus, kuros kreisā un labā puse ir daļējas racionālas izteiksmes, sauc par frakcionāliem racionāliem vienādojumiem. Ko jūs domājat, ko mēs šodien mācīsimies klasē? Noformulējiet stundas tēmu. Tātad, mēs atveram piezīmju grāmatiņas un pierakstām stundas tēmu "Racionālo frakcionālo vienādojumu risināšana".

2. Zināšanu atjaunināšana. Frontāla aptauja, mutisks darbs ar klasi.

Un tagad mēs atkārtosim galveno teorētisko materiālu, kas mums ir nepieciešams, lai izpētītu jaunu tēmu. Lūdzu, atbildiet uz šādiem jautājumiem:

1. Kas ir vienādojums? ( Vienādība ar mainīgo vai mainīgo.)
2. Kā sauc vienādojumu Nr. 1? ( Lineāra.) Risinājums lineārie vienādojumi. (Pārvietojiet visu ar nezināmo uz kreisā puse vienādojumi, visi skaitļi pa labi. Ievietojiet līdzīgus noteikumus. Atrodiet nezināmu faktoru).
3. Kā sauc vienādojumu Nr. 3? ( Kvadrāts.) Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes. ( Pilnīga kvadrāta atlase pēc formulām, izmantojot Vieta teorēmu un tās sekas.)
4. Kāda ir proporcija? ( Divu attiecību vienlīdzība.) Proporcijas galvenā īpašība. ( Ja proporcija ir pareiza, tad tās galējo terminu reizinājums ir vienāds ar vidējo terminu reizinājumu.)
5. Kādas īpašības tiek izmantotas, lai atrisinātu vienādojumus? ( 1. Ja vienādojumā terminu pārnest no vienas daļas uz otru, mainot tā zīmi, tad mēs iegūstam vienādojumu, kas ir līdzvērtīgs dotajam. 2. Ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas vai dalītas ar to pašu nulles skaitli, tiek iegūts vienādojums, kas ir līdzvērtīgs dotajam.)
6. Kad frakcija ir nulle? ( Daļa ir nulle, ja skaitītājs ir nulle, un saucējs nav nulle.)

3. Jaunā materiāla skaidrojums.

Atrisiniet 2. vienādojumu piezīmjdatoros un uz tāfeles.

Atbilde: 10.

Kādu daļēju racionālu vienādojumu varat mēģināt atrisināt, izmantojot proporcijas galveno īpašību? (Nr. 5).

(x-2) (x-4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Atrisiniet vienādojumu 4. numuru piezīmjdatoros un uz tāfeles.

Atbilde: 1,5.

Kādu frakcionālo racionālo vienādojumu varat mēģināt atrisināt, reizinot abas vienādojuma puses ar saucēju? (Nr. 6).

x 2 -7x + 12 \u003d 0

D \u003d 1 ›0, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 4.

Atbilde: 3;4.

Tagad mēģiniet atrisināt 7. vienādojumu vienā no veidiem.

Paskaidrojiet, kāpēc tas notika? Kāpēc vienā gadījumā ir trīs saknes, pārējās divās? Kādi skaitļi ir šī daļējā racionālā vienādojuma saknes?

Līdz šim skolēni nav saskārušies ar svešas saknes jēdzienu, viņiem patiešām ir ļoti grūti saprast, kāpēc tas notika. Ja neviens no klases nevar sniegt skaidru skaidrojumu par šo situāciju, tad skolotājs uzdod vadošos jautājumus.

• Kā 2. un 4. vienādojums atšķiras no 5,6,7 vienādojuma? ( Vienādojumos Nr. 2 un 4 skaitļa saucējā Nr. 5-7 ir izteicieni ar mainīgo.)
• Kas ir vienādojuma sakne? ( Mainīgā vērtība, pie kuras vienādojums kļūst par patiesu vienādību.)
• Kā uzzināt, vai skaitlis ir vienādojuma sakne? ( Veiciet pārbaudi.)

Veicot pārbaudi, daži studenti pamana, ka viņiem jāsadala ar nulli. Viņi secina, ka skaitļi 0 un 5 nav šī vienādojuma saknes. Rodas jautājums: vai ir kāds veids, kā atrisināt daļējus racionālus vienādojumus, kas novērstu šo kļūdu? Jā, šī metode ir balstīta uz nosacījumu, ka daļai jābūt vienādai ar nulli.

x 2 -3x-10 \u003d 0, D \u003d 49, x 1 \u003d 5, x 2 \u003d -2.

Ja x \u003d 5, tad x (x-5) \u003d 0, tad 5 ir sveša sakne.

Ja x \u003d -2, tad x (x-5) ≠ 0.

Atbilde: -2.

Mēģināsim formulēt algoritmu frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanai šādā veidā. Bērni paši formulē algoritmu.

Algoritms daļēju racionālu vienādojumu risināšanai:

1. Pārvietojiet visu pa kreisi.
2. Noved frakcijas pie kopsaucēja.
3. Izveidojiet sistēmu: frakcija ir nulle, ja skaitītājs ir nulle, un saucējs nav nulle.
4. Atrisiniet vienādojumu.
5. Pārbaudiet nevienlīdzību, lai izslēgtu svešas saknes.
6. Pierakstiet savu atbildi.

Diskusija: kā formalizēt risinājumu, ja tiek izmantota proporcijas pamatīpašība un vienādojuma abu pušu reizināšana ar kopsaucēju. (Papildiniet risinājumu: izslēdziet no saknēm tos, kas kopsaucēju padara nulle).

4. Jaunā materiāla primārā izpratne.

Strādāt pāros. Studenti izvēlas, kā vienādojumu atrisināt neatkarīgi, atkarībā no vienādojuma veida. Uzdevumi no mācību grāmatas "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600 (b, c, i); Nr. 601 (a, e, g). Skolotājs kontrolē uzdevuma izpildi, atbild uz radušajiem jautājumiem un sniedz palīdzību studentiem, kuri slikti darbojas. Pašpārbaude: atbildes tiek rakstītas uz tāfeles.

b) 2 - sveša sakne. Atbilde: 3.

c) 2 - sveša sakne. Atbilde: 1.5.

a) Atbilde: -12,5.

g) Atbilde: 1; 1.5.

5. Paziņojums par mājas darbu.

1. Izlasiet mācību grāmatas 25. punktu, analizējiet 1. – 3. Piemēru.
2. Uzziniet algoritmu frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanai.
3. Atrisiniet burtnīcās Nr. 600 (a, d, e); Nr. 601 (g, h).
4. Mēģiniet atrisināt # 696 (a) (pēc izvēles).

6. Kontroles uzdevuma izpilde par pētīto tēmu.

Darbs tiek veikts uz papīra gabaliņiem.

Darba piemērs:

A) Kurš no vienādojumiem ir daļēji racionāls?

B) Daļa ir nulle, ja skaitītājs ir ______________________ un saucējs ir _______________________.

Q) Vai -3 ir vienādojuma # 6 sakne?

D) Atrisiniet vienādojumu # 7.

Uzdevuma vērtēšanas kritēriji:

• "5" tiek likts, ja students ir pareizi izpildījis vairāk nekā 90% no uzdevuma.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" tiek piešķirts studentam, kurš ir izpildījis mazāk nekā 50% no uzdevuma.
• Rezultāts 2 žurnālā netiek ievietots, 3 nav obligāts.

7. Pārdomas.

Uz papīra lapām ar pašmācību ielieciet:

• 1 - ja stundā tas jums bija interesants un saprotams;
• 2 - interesants, bet nav skaidrs;
• 3 - nav interesanti, bet saprotami;
• 4 - nav interesanti, nav skaidrs.

8. Nodarbības apkopošana.

Tātad, šodien nodarbībā mēs tikāmies ar daļējiem racionālajiem vienādojumiem, uzzinājām, kā atrisināt šos vienādojumus dažādi ceļi, pārbaudīja savas zināšanas ar apmācību patstāvīgs darbs... Patstāvīgā darba rezultātus uzzināsiet nākamajā nodarbībā, mājās būs iespēja nostiprināt iegūtās zināšanas.

Kāda frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanas metode, jūsuprāt, ir vieglāka, pieejama, racionāla? Neatkarīgi no frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanas metodes, kas jums jāatceras? Kas ir frakcionālo racionālo vienādojumu "viltība"?

Paldies visiem, nodarbība ir beigusies.

"Racionālo racionālo vienādojumu risināšana"

Nodarbības mērķi:

Izglītības:

frakcionālo racionālo vienādojumu jēdziena veidošana; apsveriet dažādus frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanas veidus; apsveriet algoritmu frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanai, ieskaitot nosacījumu, ka frakcijas vienādība ir nulle; iemācīt daļēju racionālu vienādojumu risināšanu ar algoritmu; pārbaudot tēmas apguves līmeni, veicot pārbaudes darbu.

Attīstība:

attīstīt spēju pareizi darboties ar iegūtajām zināšanām, domāt loģiski; intelektuālo prasmju un garīgo darbību attīstīšana - analīze, sintēze, salīdzināšana un vispārināšana; iniciatīvas attīstība, spēja pieņemt lēmumus neapstājas pie tā; kritiskās domāšanas attīstīšana; pētniecības prasmju attīstīšana.

Izglītības:

izglītība par kognitīvo interesi par priekšmetu; neatkarības veicināšana izglītības problēmu risināšanā; veicinot gribu un neatlaidību, lai sasniegtu galīgos rezultātus.

Nodarbības veids: nodarbība - jauna materiāla skaidrojums.

Nodarbību laikā

1. Organizācijas brīdis.

Sveiki puiši! Vienādojumi ir rakstīti uz tāfeles, uzmanīgi tos aplūkojiet. Vai jūs varat atrisināt visus šos vienādojumus? Kuri nav un kāpēc?

Vienādojumus, kuros kreisā un labā puse ir daļējas racionālas izteiksmes, sauc par frakcionāliem racionāliem vienādojumiem. Ko jūs domājat, ko mēs šodien mācīsimies klasē? Noformulējiet stundas tēmu. Tātad, mēs atveram piezīmju grāmatiņas un pierakstām stundas tēmu "Racionālo frakcionālo vienādojumu risināšana".

2. Zināšanu atjaunināšana. Frontāla aptauja, mutisks darbs ar klasi.

Un tagad mēs atkārtosim galveno teorētisko materiālu, kas mums ir nepieciešams, lai izpētītu jaunu tēmu. Lūdzu, atbildiet uz šādiem jautājumiem:

1. Kas ir vienādojums? ( Vienādība ar mainīgo vai mainīgo.)

2. Kā sauc vienādojumu Nr. 1? ( Lineāra.) Metode lineāru vienādojumu risināšanai. ( Pārvietojiet visu ar nezināmo vienādojuma kreisajā pusē, visus skaitļus pa labi. Ievietojiet līdzīgus noteikumus. Atrodiet nezināmu faktoru).

3. Kā sauc vienādojumu Nr. 3? ( Kvadrāts.) Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes. ( Pilnīga kvadrāta atlase pēc formulām, izmantojot Vieta teorēmu un tās sekas.)

4. Kāda ir proporcija? ( Divu attiecību vienlīdzība.) Proporcijas galvenā īpašība. ( Ja proporcija ir pareiza, tad tās galējo terminu reizinājums ir vienāds ar vidējo terminu reizinājumu.)

5. Kādas īpašības tiek izmantotas, lai atrisinātu vienādojumus? ( 1. Ja vienādojumā terminu pārnest no vienas daļas uz otru, mainot tā zīmi, tad mēs iegūstam vienādojumu, kas ir līdzvērtīgs dotajam. 2. Ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas vai dalītas ar to pašu nulles skaitli, tiek iegūts vienādojums, kas ir līdzvērtīgs dotajam.)

6. Kad frakcija ir nulle? ( Daļa ir nulle, ja skaitītājs ir nulle, un saucējs nav nulle.)

3. Jaunā materiāla skaidrojums.

Atrisiniet 2. vienādojumu piezīmjdatoros un uz tāfeles.

Atbilde: 10.

Kādu daļēju racionālu vienādojumu varat mēģināt atrisināt, izmantojot proporcijas galveno īpašību? (Nr. 5).

(x-2) (x-4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x2-4x-2x + 8 \u003d x2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x \u003d 6-8

Atrisiniet vienādojumu 4. numuru piezīmjdatoros un uz tāfeles.

Atbilde: 1,5.

Kādu frakcionālo racionālo vienādojumu varat mēģināt atrisināt, reizinot abas vienādojuma puses ar saucēju? (Nr. 6).

D \u003d 1 ›0, x1 \u003d 3, x2 \u003d 4.

Atbilde: 3;4.

Tagad mēģiniet atrisināt 7. vienādojumu vienā no veidiem.

Paskaidrojiet, kāpēc tas notika? Kāpēc vienā gadījumā ir trīs saknes, pārējās divās? Kādi skaitļi ir šī daļējā racionālā vienādojuma saknes?

Līdz šim skolēni nav saskārušies ar svešas saknes jēdzienu, viņiem patiešām ir ļoti grūti saprast, kāpēc tas notika. Ja neviens no klases nevar sniegt skaidru skaidrojumu par šo situāciju, tad skolotājs uzdod vadošos jautājumus.

Kā 2. un 4. vienādojums atšķiras no 5,6,7 vienādojuma? ( Vienādojumos Nr. 2 un 4 skaitļa saucējā Nr. 5-7 ir izteicieni ar mainīgo.) Kāda ir vienādojuma sakne? ( Mainīgā vērtība, pie kuras vienādojums kļūst par patiesu vienādību.) Kā uzzināt, vai skaitlis ir vienādojuma sakne? ( Veiciet pārbaudi.)

Veicot pārbaudi, daži studenti pamana, ka viņiem jāsadala ar nulli. Viņi secina, ka skaitļi 0 un 5 nav šī vienādojuma saknes. Rodas jautājums: vai ir kāds veids, kā atrisināt daļējus racionālus vienādojumus, kas novērstu šo kļūdu? Jā, šī metode ir balstīta uz nosacījumu, ka daļai jābūt vienādai ar nulli.

x2-3x-10 \u003d 0, D \u003d 49, x1 \u003d 5, x2 \u003d -2.

Ja x \u003d 5, tad x (x-5) \u003d 0, tad 5 ir sveša sakne.

Ja x \u003d -2, tad x (x-5) ≠ 0.

Atbilde: -2.

Mēģināsim formulēt algoritmu frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanai šādā veidā. Bērni paši formulē algoritmu.

Algoritms daļēju racionālu vienādojumu risināšanai:

1. Pārvietojiet visu pa kreisi.

2. Noved frakcijas pie kopsaucēja.

3. Izveidojiet sistēmu: frakcija ir nulle, ja skaitītājs ir nulle, un saucējs nav nulle.

4. Atrisiniet vienādojumu.

5. Pārbaudiet nevienlīdzību, lai izslēgtu svešas saknes.

6. Pierakstiet savu atbildi.

Diskusija: kā formalizēt risinājumu, ja tiek izmantota proporcijas pamatīpašība un vienādojuma abu pušu reizināšana ar kopsaucēju. (Papildiniet risinājumu: izslēdziet no saknēm tos, kas kopsaucēju padara nulle).

4. Jaunā materiāla primārā izpratne.

Strādāt pāros. Studenti izvēlas, kā vienādojumu atrisināt neatkarīgi, atkarībā no vienādojuma veida. Mācību grāmatas "Algebra 8" uzdevumi, 2007. gads: № 000 (b, c, i); Nr. 000 (a, e, g). Skolotājs kontrolē uzdevuma izpildi, atbild uz radušajiem jautājumiem un sniedz palīdzību studentiem, kuri slikti darbojas. Pašpārbaude: atbildes tiek rakstītas uz tāfeles.

b) 2 - sveša sakne. Atbilde: 3.

c) 2 - sveša sakne. Atbilde: 1.5.

a) Atbilde: -12,5.

g) Atbilde: 1; 1.5.

5. Paziņojums par mājas darbu.

2. Iemācieties frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanas algoritmu.

3. Atrisiniet burtnīcās Nr 000 (a, d, e); Nr. 000 (g, h).

4. Mēģiniet atrisināt Nr. 000 (a) (pēc izvēles).

6. Kontroles uzdevuma izpilde par pētīto tēmu.

Darbs tiek veikts uz papīra gabaliņiem.

Darba piemērs:

A) Kurš no vienādojumiem ir daļēji racionāls?

B) Daļa ir nulle, ja skaitītājs ir ______________________ un saucējs ir _______________________.

Q) Vai -3 ir vienādojuma # 6 sakne?

D) Atrisiniet vienādojumu # 7.

Uzdevuma vērtēšanas kritēriji:

"5" tiek likts, ja students ir pareizi izpildījis vairāk nekā 90% no uzdevuma. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" tiek piešķirts studentam, kurš ir izpildījis mazāk nekā 50% no uzdevuma. Rezultāts 2 žurnālā netiek ievietots, 3 nav obligāts.

7. Pārdomas.

Uz papīra lapām ar pašmācību ielieciet:

1 - ja stundā tas jums bija interesants un saprotams; 2 - interesants, bet nav skaidrs; 3 - nav interesanti, bet saprotami; 4 - nav interesanti, nav skaidrs.

8. Nodarbības apkopošana.

Tātad, šodien nodarbībā mēs iepazināmies ar daļējiem racionālajiem vienādojumiem, uzzinājām, kā dažādos veidos risināt šos vienādojumus, pārbaudījām savas zināšanas ar izglītojoša patstāvīga darba palīdzību. Patstāvīgā darba rezultātus uzzināsiet nākamajā nodarbībā, mājās būs iespēja nostiprināt iegūtās zināšanas.

Kāda frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanas metode, jūsuprāt, ir vieglāka, pieejama, racionāla? Neatkarīgi no frakcionālo racionālo vienādojumu risināšanas metodes, kas jums jāatceras? Kas ir frakcionālo racionālo vienādojumu "viltība"?

Paldies visiem, nodarbība ir beigusies.

T. Kosjakova,
80. skola, Krasnodara

Kvadrātisko un frakcionālo racionālo vienādojumu, kas satur parametrus, risināšana

4. nodarbība

Nodarbības tēma:

Nodarbības mērķis:veidot spēju atrisināt parametrus saturošus frakcionāli racionālus vienādojumus.

Nodarbības veids: jauna materiāla ieviešana.

1. (Mutiski) Atrisiniet vienādojumus:

1. piemērs... Atrisiniet vienādojumu

Lēmums.

Atrodiet nederīgas vērtības a:

Atbilde. Ja ja a = – 19 , tad nav sakņu.

2. piemērs... Atrisiniet vienādojumu

Lēmums.

Atrodiet nederīgas parametru vērtības a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Atbilde. Ja a = 5 a № 5 pēc tam x \u003d 10– a .

3. piemērs... Pie kādām parametra vērtībām b vienādojums Tajā ir:

a) divas saknes; b) viena sakne?

Lēmums.

1) Atrodiet nederīgas parametru vērtības b :

x \u003d b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b \u003d 0 vai b = 2;
x \u003d 2, 4 ( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b \u003d 2 vai b = – 2.

2) Atrisiniet vienādojumu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D \u003d 4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D \u003d 4 b 2 .

un)

Izslēdzot nederīgas parametru vērtības b , mēs iegūstam, ka vienādojumam ir divas saknes, ja b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, bet šī ir nederīga parametra vērtība b ; ja b 2 –1=0 , t.i. b=1 vai.

Atbilde: a) ja b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , tad divas saknes; b) ja b=1 vai b \u003d –1 , tad vienīgā sakne.

Patstāvīgs darbs

1. variants

Atrisiniet vienādojumus:

2. variants

Atrisiniet vienādojumus:

Atbildes

IN 1... ja nu a=3 , tad nav sakņu; ja b) ja, ja a № 2 , tad nav sakņu.

IN 2. Ja a=2 , tad nav sakņu; ja a=0 , tad nav sakņu; ja
b) ja a=– 1 , tad vienādojums zaudē nozīmi; ja nav sakņu;
ja

Mājas uzdevums.

Atrisiniet vienādojumus:

Atbildes: a) Ja a № –2 pēc tam x \u003d a ; ja a=–2 , tad risinājumu nav; b) ja a № –2 pēc tam x \u003d 2 ; ja a=–2 , tad risinājumu nav; c) ja a=–2 pēc tam x - jebkurš skaitlis, izņemot 3 ; ja a № –2 pēc tam x \u003d 2 ; d) ja a=–8 , tad nav sakņu; ja a=2 , tad nav sakņu; ja

5. nodarbība

Nodarbības tēma: "Dalošo racionālo vienādojumu, kas satur parametrus, risinājums."

Nodarbības mērķi:

apmācība vienādojumu risināšanā ar nestandarta nosacījumiem;
studentu apzināta asimilācija par algebriskiem jēdzieniem un savienojumiem starp tiem.

Nodarbības veids: sistematizācija un vispārināšana.

Mājas darbu pārbaude.

1. piemērs... Atrisiniet vienādojumu

a) attiecībā pret x; b) attiecībā pret y.

Lēmums.

a) Atrodiet nederīgas vērtības y: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 –2y,

y \u003d 0 - nederīga parametra vērtība y.

Ja y№ 0 pēc tam x \u003d y - 2 ; ja y \u003d 0 , tad vienādojums kļūst bezjēdzīgs.

b) Atrodiet nederīgas parametru vērtības x: y \u003d x, 2x - x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - nederīga parametra vērtība x; y (2 + x - y) \u003d 0, y \u003d 0 vai y \u003d 2 + x;

y \u003d 0 neatbilst nosacījumam y (y - x)№ 0 .

Atbilde: a) ja y \u003d 0 , tad vienādojums zaudē nozīmi; ja y№ 0 pēc tam x \u003d y - 2 ; b) ja x \u003d 0 x№ 0 pēc tam y \u003d 2 + x .

2. piemērs... Kādām parametra a veselām vērtībām ir vienādojuma saknes pieder pie intervāla

D \u003d (3 a + 2) 2 – 4a(a + 1) 2 \u003d 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D \u003d ( a + 2) 2 .

Ja a № 0 vai a № – 1 pēc tam

Atbilde: 5 .

3. piemērs... Atrodi samērā x veseli vienādojuma risinājumi

Atbilde. Ja y \u003d 0 , tad vienādojums ir bezjēdzīgs; ja y \u003d –1 pēc tam x - jebkurš vesels skaitlis, kas nav nulle; ja y№ 0, y№ - 1, tad risinājumu nav.

4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu ar parametriem a un b .

Ja a№ - b pēc tam

Atbilde. Ja a \u003d0 vai b \u003d0 , tad vienādojums zaudē nozīmi; ja a№ 0, b№ 0, a \u003d –b pēc tam x - jebkurš skaitlis, kas nav nulle; ja a№ 0, b№ 0, a№ –B, pēc tam x \u003d –a, x \u003d –b .

5. piemērs... Pierādiet, ka jebkura nulles parametra n gadījumā vienādojums ir viena sakne, kas vienāda ar - n .

Lēmums.

i., x \u003d –n , kā nepieciešams, lai pierādītu.

Mājas uzdevums.

1. Atrodiet vienādojuma veselus risinājumus

2. Pie kādām parametra vērtībām c vienādojums Tajā ir:
a) divas saknes; b) viena sakne?

3. Atrodiet visas vienādojuma veselās saknes ja aPAR N .

4. Atrisiniet vienādojumu 3xy - 5x + 5y \u003d 7:a) attiecībā uz y ; b) salīdzinoši x .

1. Vienādojumu apmierina jebkurš vesels skaitlis, kura vienāda vērtība ir x un y, izņemot nulli.
2.a) Par
b) pie vai
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ja tad nav sakņu; ja
b) ja nav sakņu; ja

Pārbaude

1. variants

1. Nosakiet vienādojuma veidu 7c (c + 3) x 2 + (c - 2) x - 8 \u003d 0 pie: a) c \u003d –3 ; b) c \u003d 2; iekšā) c \u003d 4 .

2. Atrisiniet vienādojumus: a) x 2 –bx \u003d 0; b) cx 2 –6x + 1 \u003d 0 ; iekšā)

3. Atrisiniet vienādojumu 3x - xy - 2y \u003d 1:

a) attiecībā uz x ;
b) salīdzinoši y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, zinot, ka parametrs n ņem tikai veselu skaitļu vērtības.

5. Kādām b vērtībām vienādojums tajā ir:

a) divas saknes;
b) viena sakne?

2. variants

1. Nosakiet vienādojuma veidu 5c (c + 4) x 2 + (c - 7) x + 7 \u003d 0 pie: a) c \u003d –4; b) c \u003d 7; iekšā) c \u003d 1 .

2. Atrisiniet vienādojumus: a) y2 + cy \u003d 0; b) ny 2 –8y + 2 \u003d 0; iekšā)

3. Atrisiniet vienādojumu 6x - xy + 2y \u003d 5:

a) attiecībā uz x ;
b) salīdzinoši y .

4. Atrodiet visas vienādojuma saknes nx 2 –22x + 2n \u003d 0, zinot, ka parametrs n ņem tikai veselu skaitļu vērtības.

5. Kādām parametra a vērtībām vienādojums tajā ir:

a) divas saknes;
b) viena sakne?

Atbildes

IN 1. 1. a) Lineārais vienādojums;
b) nepilnīgs kvadrātvienādojums; c) kvadrātvienādojums.
2.a) Ja b \u003d 0 pēc tam x \u003d 0 ; ja b # 0 pēc tam x \u003d 0, x \u003d b;
b) ja cО (9; + Ґ) , tad nav sakņu;
c) ja a=–4 , tad vienādojums zaudē nozīmi; ja a№ –4 pēc tam x \u003d - a .
3.a) Ja y \u003d 3 , tad nav sakņu; ja);
b) a=–3, a=1.

Papildu uzdevumi

Atrisiniet vienādojumus:

Literatūra

1. Golubevs V.I., Goldmanis A.M., Dorofejevs G.V. Par parametriem jau pašā sākumā. - Tutor, Nr. 2/1991, lpp. 3-13.
2. Gronshtein PI, Polonskiy VB, Yakir MS. Nepieciešamie nosacījumi parametru problēmās. - Kvant, Nr. 11/1991, lpp. 44. – 49.
3. Dorofejevs G.V., Zatakavai V.V. Problēmu risināšanasatur parametrus. 2. daļa. - M., Perspektīva, 1990. lpp. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Pieci simti četrpadsmit uzdevumi ar parametriem. - Volgograda, 1991. gads.
5. Yastrebinetskiy G.A. Uzdevumi ar parametriem. - M., Izglītība, 1986.