5x (x - 4) \u003d 0

5 x \u003d 0 vai x - 4 \u003d 0

x \u003d ± √ 25/4

Uzzinot, kā atrisināt pirmās pakāpes vienādojumus, protams, vēlaties strādāt ar citiem, jo \u200b\u200bīpaši ar otrās pakāpes vienādojumiem, kurus citādi sauc par kvadrātiskiem.

Kvadrātvienādojumi ir ax ² + bx + c \u003d 0 tipa vienādojumi, kur mainīgais ir x, skaitļi būs - a, b, c, kur a nav vienāds ar nulli.

Ja kvadrātvienādojumā viens vai otrs koeficients (c vai b) ir vienāds ar nulli, tad šis vienādojums attieksies uz nepilnīgu kvadrātvienādojumu.

Kā jūs varat atrisināt nepilnīgu kvadrātvienādojumu, ja studenti līdz šim ir spējuši atrisināt tikai pirmās pakāpes vienādojumus? Apsveriet nepilnīgus kvadrātvienādojumus dažādi veidi un vienkāršus veidus, kā tos atrisināt.

a) Ja koeficients c ir vienāds ar 0 un koeficients b nav vienāds ar nulli, tad ax ² + bx + 0 \u003d 0 tiek samazināts līdz formas ax2 + bx \u003d 0 vienādojumam.

Lai atrisinātu šādu vienādojumu, jums jāzina nepilnīga kvadrātvienādojuma atrisināšanas formula, proti, kreisā puse faktors un vēlāk izmantojiet nosacījumu, ka produkts ir vienāds ar nulli.

Piemēram, 5x ² - 20x \u003d 0. Veiciet vienādojuma kreiso pusi, veicot parasto matemātiskā darbība: kopīgā faktora izņemšana ārpus iekavām

5x (x - 4) \u003d 0

Mēs izmantojam nosacījumu, ka produkti ir vienādi ar nulli.

5 x \u003d 0 vai x - 4 \u003d 0

Atbilde būs: pirmā sakne ir 0; otrā sakne ir 4.

b) Ja b \u003d 0 un brīvais termins nav vienāds ar nulli, tad vienādojums ax ² + 0x + c \u003d 0 tiek samazināts līdz formas + c \u003d 0 vienādojumam. Vienādojumi tiek atrisināti divos veidos : a) paplašinot kreisās puses vienādojuma polinomu faktoros; b) izmantojot aritmētiskās īpašības kvadrātsakne... Šāds vienādojums tiek atrisināts ar vienu no metodēm, piemēram:

x \u003d ± √ 25/4

x \u003d ± 5/2. Atbilde ir: pirmā sakne ir 5/2; otrā sakne ir - 5/2.

c) Ja b ir vienāds ar 0 un c ir vienāds ar 0, tad ax ² + 0 + 0 \u003d 0 tiek samazināts līdz formas ation2 \u003d 0 vienādojumam. Šādā vienādojumā x būs vienāds ar 0.

Kā redzat, nepilnīgiem kvadrātvienādojumiem var būt ne vairāk kā divas saknes.

Risinot dažādas fizikas un matemātikas problēmas, bieži parādās kvadrātvienādojumi. Šajā rakstā mēs aplūkosim, kā universāli atrisināt šīs vienlīdzības "caur diskriminantu". Rakstā ir sniegti arī iegūto zināšanu izmantošanas piemēri.

Par kādiem vienādojumiem mēs runājam?

Zemāk redzamajā attēlā parādīta formula, kurā x ir nezināms mainīgais, un latīņu simboli a, b, c apzīmē dažus zināmus skaitļus.

Katru no šiem simboliem sauc par koeficientu. Kā redzat, skaitlis "a" atrodas kvadrātā mainīgā x priekšā. Šī ir izteiktās izteiksmes maksimālā jauda, \u200b\u200btāpēc to sauc par kvadrātvienādojumu. Bieži tiek izmantots tā cits nosaukums: otrās kārtas vienādojums. Pati vērtība a ir kvadrātveida koeficients (stāvot pie mainīgā kvadrātā), b ir lineārais koeficients (tas ir blakus mainīgajam, kas paaugstināts līdz pirmajai jaudai), un visbeidzot, skaitlis c ir brīvais termins.

Ņemiet vērā, ka vienādojuma forma, kas parādīta attēlā iepriekš, ir izplatīta klasiskā kvadrāta izteiksme. Papildus tam ir arī citi otrās kārtas vienādojumi, kuros koeficienti b, c var būt nulle.

Kad problēma tiek izvirzīta, lai atrisinātu aplūkoto vienlīdzību, tas nozīmē, ka jāatrod tādas mainīgā x vērtības, kas to apmierinātu. Vispirms jāatceras šāda lieta: tā kā maksimālā x pakāpe ir 2, šāda veida izteiksmei nevar būt vairāk par 2 risinājumiem. Tas nozīmē, ka, risinot vienādojumu, tiktu atrastas 2 x vērtības, kas to apmierina, tad varam būt droši, ka nav trešā skaitļa, aizvietojot kuru x vietā, vienādība arī būtu patiesa. Matemātikas vienādojuma risinājumus sauc par saknēm.

Metodes otrās kārtas vienādojumu risināšanai

Lai atrisinātu šāda veida vienādojumus, ir nepieciešamas zināmas teorijas par tiem. Skolas algebras kursā pārbauda 4 dažādas metodes risinājumus. Uzskaitīsim tos:

• izmantojot faktorizāciju;
• izmantojot formulu pilnam kvadrātam;
• pielietojot atbilstošās kvadrātiskās funkcijas grafiku;
• izmantojot diskriminējošo vienādojumu.

Pirmās metodes priekšrocība ir tās vienkāršība, tomēr to nevar piemērot visiem vienādojumiem. Otrā metode ir universāla, bet nedaudz apgrūtinoša. Trešā metode ir ievērojama ar skaidrību, taču tā ne vienmēr ir ērta un piemērojama. Visbeidzot, diskriminējošā vienādojuma izmantošana ir universāls un diezgan vienkāršs veids, kā atrast pilnīgi jebkura otrās kārtas vienādojuma saknes. Tāpēc rakstā mēs to tikai apsvērsim.

Formula vienādojuma sakņu iegūšanai

Pievērsīsimies vispārējs skats kvadrātvienādojums. Pierakstīsim to: a * x² + b * x + c \u003d 0. Pirms izmantot metodi, kā to atrisināt "ar diskriminanta starpniecību", vienlīdzība vienmēr jāsamazina līdz rakstiskajai formai. Tas ir, tam jāsastāv no trim termiņiem (vai mazāk, ja b vai c ir 0).

Piemēram, ja ir izteiksme: x²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x², tad vispirms visi tā noteikumi jāpārvieto uz vienādības pusi un jāpievieno nosacījumi, kas satur mainīgo x tādas pašas pilnvaras.

Šajā gadījumā šī darbība novedīs pie šādas izteiksmes: -6 * x²-4 * x + 8 \u003d 0, kas ir vienāds ar vienādojumu 6 * x² + 4 * x-8 \u003d 0 (šeit mēs reizinājām kreiso un labās puses no vienlīdzības ar -1) ...

Iepriekš minētajā piemērā a \u003d 6, b \u003d 4, c \u003d -8. Ņemiet vērā, ka visi izskatītās vienlīdzības nosacījumi vienmēr tiek summēti savā starpā, tādēļ, ja parādās zīme "-", tas nozīmē, ka atbilstošais koeficients ir negatīvs, tāpat kā skaitlis c šajā gadījumā.

Izpētot šo punktu, mēs tagad pievēršamies pašai formulai, kas ļauj iegūt kvadrātvienādojuma saknes. Tam ir veidlapa, kas parādīta zemāk esošajā fotoattēlā.

Kā redzat no šīs izteiksmes, tas ļauj iegūt divas saknes (jums jāpievērš uzmanība zīmei "±"). Lai to izdarītu, pietiek ar to aizstāt koeficientus b, c un a.

Diskriminējošs jēdziens

Iepriekšējā rindkopā tika dota formula, kas ļauj ātri atrisināt jebkuru otrās kārtas vienādojumu. Tajā radikālo izteiksmi sauc par diskriminantu, tas ir, D \u003d b²-4 * a * c.

Kāpēc šī formulas daļa ir izolēta un pat ir savu vārdu? Fakts ir tāds, ka diskriminants visus trīs vienādojuma koeficientus apvieno vienā izteiksmē. Pēdējais fakts nozīmē, ka tas pilnībā satur informāciju par saknēm, ko var izteikt šādā sarakstā:

1. D\u003e 0: vienlīdzībai ir 2 dažādi risinājumi, kas abi ir reāli skaitļi.
2. D \u003d 0: Vienādojumam ir tikai viena sakne, un tas ir reāls skaitlis.

Uzdevums noteikt diskriminantu

Sniegsim vienkāršu piemēru, kā atrast diskriminantu. Ļaujiet norādīt šādu vienādību: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² \u003d 3 * x-5 * x² + 7.

Pārejam uz standarta veidlapu, iegūstam: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0, no kurienes mēs sasniedzam vienlīdzību : -2 * x² + 2 * x-11 \u003d 0. Šeit a \u003d -2, b \u003d 2, c \u003d -11.

Tagad diskriminantam varat izmantot nosaukto formulu: D \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. Rezultātā iegūtais skaitlis ir atbilde uz uzdevumu. Tā kā piemērā diskriminējošais mazāks par nulli, tad mēs varam teikt, ka šim kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu. Tikai kompleksi skaitļi būs viņa risinājums.

Nevienlīdzības piemērs, izmantojot diskriminantu

Atrisināsim nedaudz cita veida problēmas: ņemot vērā vienādību -3 * x²-6 * x + c \u003d 0. Jāatrod tādas c vērtības, kurām D\u003e 0.

Šajā gadījumā ir zināmi tikai 2 no 3 koeficientiem, tāpēc precīzu diskriminanta vērtību nebūs iespējams aprēķināt, taču ir zināms, ka tā ir pozitīva. Noformējot nevienlīdzību, mēs izmantojam pēdējo faktu: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * c\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * c\u003e 0. Iegūtās nevienlīdzības risinājums noved pie rezultāta: c\u003e -3.

Pārbaudīsim saņemto numuru. Lai to izdarītu, aprēķiniet D 2 gadījumiem: c \u003d -2 un c \u003d -4. Skaitlis -2 apmierina iegūto rezultātu (-2\u003e -3), atbilstošajam diskriminantam būs vērtība: D \u003d 12\u003e 0. Savukārt skaitlis -4 neapmierina nevienlīdzību (-4 Tādējādi nosacījumu apmierinās visi skaitļi c, kas ir lielāki par -3.

Vienādojuma risināšanas piemērs

Iepazīstināsim ar problēmu, kas sastāv ne tikai no diskriminanta atrašanas, bet arī no vienādojuma atrisināšanas. Jums jāatrod saknes vienādībai -2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.

Šajā piemērā diskriminants ir nākamā vērtība: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. Tad vienādojuma saknes definē šādi: x \u003d (9 ± √137) / (- 4). Šīs ir precīzās sakņu vērtības, ja jūs aprēķināt aptuveno sakni, tad iegūstat skaitļus: x \u003d -5,176 un x \u003d 0,676.

Ģeometriskā problēma

Atrisināsim problēmu, kas prasīs ne tikai prasmi aprēķināt diskriminantu, bet arī izmantot abstraktas domāšanas prasmes un zināšanas par kvadrātvienādojumu izveidošanu.

Bobam bija 5 x 4 metru sega. Zēns gribēja uzšūt nepārtrauktu sloksni skaists audums... Cik bieza būs šī sloksne, ja zināms, ka Bobam ir 10 m² auduma.

Ļaujiet sloksnes biezumam x m, pēc tam auduma laukumam gar garā puse segas būs (5 + 2 * x) * x, un, tā kā ir 2 garas malas, mums ir: 2 * x * (5 + 2 * x). Īsajā pusē šūtā auduma laukums būs 4 * x, jo ir 2 šīs puses, mēs iegūstam vērtību 8 * x. Ņemiet vērā, ka garajai pusei ir pievienoti 2 * x, jo segas garums ir palielinājies par šo skaitli. Kopējā segai uzšūtā auduma platība ir 10 m². Tāpēc mēs iegūstam vienlīdzību: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x² + 18 * x-10 \u003d 0.

Šajā piemērā diskriminants ir: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. Tā sakne ir 22. Izmantojot formulu, mēs atrodam nepieciešamās saknes: x \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- 5; 0,5). Acīmredzot no divām saknēm problēmas skaitlī ir piemērots tikai skaitlis 0,5.

Tādējādi auduma sloksne, kuru Bobs piešūs pie savas segas, būs 50 cm plata.

Nepilnīgs kvadrātvienādojums atšķiras no klasiskajiem (pilnīgajiem) vienādojumiem ar to, ka tā koeficienti vai pārtvertais vienāds ar nulli. Šādu funkciju grafiks ir parabolas. Atkarībā no to vispārējā izskata, tie ir sadalīti 3 grupās. Visu veidu vienādojumu risināšanas principi ir vienādi.

Nepilnīga polinoma veida noteikšanā nav nekas grūts. Vislabāk ir apsvērt galvenās atšķirības ar ilustratīviem piemēriem:

1. Ja b \u003d 0, tad vienādojums ir ax 2 + c \u003d 0.
2. Ja c \u003d 0, tad jārisina izteiksme ax 2 + bx \u003d 0.
3. Ja b \u003d 0 un c \u003d 0, tad polinoms kļūst par tipa 2 \u003d 0 vienādību.

Pēdējais gadījums ir vairāk teorētiska iespēja un nekad nenotiek zināšanu pārbaudes uzdevumos, jo izteiksmē mainīgā x vienīgā derīgā vērtība ir nulle. Nākotnē tiks apsvērtas nepilnīgu 1) un 2) tipu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes un piemēri.

Vispārējs algoritms mainīgo atrašanai un piemēri ar risinājumu

Neatkarīgi no vienādojuma veida, risinājuma algoritms sastāv no šādām darbībām:

1. Veiciet izteicienu formā, kas ir ērta sakņu atrašanai.
2. Veikt aprēķinus.
3. Pierakstiet savu atbildi.

Vieglākais veids, kā atrisināt nepilnīgus vienādojumus, ir kreisās puses faktorēšana un labajā atstājot nulli. Tādējādi nepilnīga kvadrāta vienādojuma formula sakņu atrašanai tiek samazināta, lai aprēķinātu x vērtību katram faktoram.

Jūs varat uzzināt, kā to praktiski atrisināt, tāpēc apsveriet konkrēts piemērs nepilnīga vienādojuma sakņu atrašana:

Kā redzat, šajā gadījumā b \u003d 0. Faktors kreisajā pusē un iegūstiet izteicienu:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

Acīmredzot produkts ir nulle, ja vismaz viens no faktoriem ir nulle. Mainīgā lieluma x1 \u003d 0,5 un (vai) x2 \u003d -0,5 vērtības atbilst šīm prasībām.

Lai viegli un ātri tiktu galā ar sadalīšanās uzdevumu kvadrātveida trinoms Pēc faktoriem jums jāatceras šāda formula:

Ja izteiksmē nav brīva vārda, uzdevums ir ievērojami vienkāršots. Pietiks tikai atrast un izņemt kopsaucēju. Skaidrības labad apsveriet piemēru, kā atrisināt nepilnīgus kvadrātveida vienādojumus formā ax2 + bx \u003d 0.

Izņemsim mainīgo x no iekavām un iegūstiet šādu izteiksmi:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Vadoties pēc loģikas, mēs nonākam pie secinājuma, ka x1 \u003d 0 un x2 \u003d -3.

Tradicionāls risinājums un nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Kas notiks, ja izmantosit diskriminējošo formulu un mēģināsiet atrast polinoma saknes ar koeficientiem, kas vienādi ar nulli? Ņemsim piemēru no 2017. gada matemātikas eksāmenam raksturīgo uzdevumu kolekcijas, atrisināsim to, izmantojot standarta formulas un faktoringa metodi.

7x 2 - 3x \u003d 0.

Aprēķināsim diskriminanta vērtību: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Izrādās, ka polinomam ir divas saknes:

Tagad atrisināsim vienādojumu, izmantojot faktoringu, un salīdzināsim rezultātus.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.

Kā redzat, abas metodes dod vienādu rezultātu, bet vienādojuma atrisināšana ar otro metodi izrādījās daudz vienkāršāka un ātrāka.

Vietas teorēma

Bet ko iesākt ar mīļotās Vjetas teorēmu? Vai šo metodi var izmantot ar nepilnīgu trinomu? Mēģināsim izprast casting aspektus, kas nav pilni vienādojumi uz klasisks izskats ax2 + bx + c \u003d 0.

Faktiski šajā gadījumā ir iespējams piemērot Vieta teorēmu. Ir nepieciešams tikai panākt, lai izteiksme būtu vispārīgā formā, trūkstošos locekļus aizstājot ar nulli.

Piemēram, ja b \u003d 0 un a \u003d 1, lai novērstu sajaukšanas iespēju, uzdevums jāuzraksta šādā formā: ax2 + 0 + c \u003d 0. Tad sakņu summas un reizinājuma attiecība polinoma faktorus var izteikt šādi:

Teorētiskie aprēķini palīdz iepazīties ar jautājuma būtību un vienmēr prasa praktizēt prasmi, risinot konkrēti uzdevumi... Vēlreiz pievērsīsimies eksāmenam raksturīgo uzdevumu uzziņu grāmatai un atradīsim piemērotu piemēru:

Uzrakstīsim izteicienu formā, kas ir piemērota Vietas teorēmas lietošanai:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

Nākamais solis ir nosacījumu sistēmas izveide:

Acīmredzot kvadrātveida polinoma saknes būs x 1 \u003d 4 un x 2 \u003d -4.

Tagad praktizēsim vienādojuma pārveidošanu vispārīgā formā. Ņemiet šādu piemēru: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

Lai Vietas teorēmu piemērotu izteicienam, ir jāatbrīvojas no frakcijas. Reiziniet kreiso un labo pusi ar 4 un skatiet rezultātu: x2– 4 \u003d 0. Iegūto vienādību var atrisināt ar Vieta teorēmu, taču atbildi iegūt ir daudz vieglāk un ātrāk, vienkārši pārnesot c \u003d 4 vienādojuma labajā pusē: x2 \u003d 4.

Rezumējot, jāsaka tā labākais veids risinājumus nepilnīgi vienādojumi ir faktorizācija, ir vienkāršākā un ātra metode... Ja sakņu atrašanas procesā rodas kādas grūtības, varat sazināties tradicionālā metode sakņu atrašana caur diskriminantu.

Formulas kvadrātvienādojuma saknēm. Tiek izskatīti reālu, daudzkārtēju un sarežģītu sakņu gadījumi. Kvadrātveida trinomiāla faktoring. Ģeometriskā interpretācija. Sakņu noteikšanas un faktoringa piemēri.

Pamata formulas

Apsveriet kvadrātvienādojumu:
(1) .
Kvadrātiskās saknes (1) nosaka pēc formulas:
; .
Šīs formulas var kombinēt šādi:
.
Kad ir zināmas kvadrātvienādojuma saknes, otrās pakāpes polinomu var attēlot kā faktoru reizinājumu (faktorizētu):
.

Turklāt mēs pieņemam, ka tie ir reāli skaitļi.
Apsveriet kvadrātisks diskriminants:
.
Ja diskriminants ir pozitīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas dažādas reālās saknes:
; .
Tad kvadrātveida trīsvienības koeficients ir:
.
Ja diskriminants ir nulle, kvadrātvienādojumam (1) ir divas reālas (vairākas) vienādas saknes:
.
Faktorizācija:
.
Ja diskriminants ir negatīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas sarežģītas konjugētas saknes:
;
.
Šeit ir iedomāta vienība ,;
un - sakņu reālās un iedomātās daļas:
; .
Tad

.

Grafiskā interpretācija

Ja jūs būvējat funkciju grafiks
,
kas ir parabola, tad grafika un ass krustošanās punkti būs vienādojuma saknes
.
Kad grafiks divos punktos šķērso abscisu asi (asi).
Kad grafiks vienā punktā pieskaras abscisu asij.
Kad grafiks nešķērso abscisu asi.

Zemāk ir šādu grafiku piemēri.

Noderīgas kvadrātvienādojumu formulas

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrāta vienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Mēs veicam transformācijas un izmantojam formulas (f.1) un (f.3):




,
Kur
; .

Tātad, mēs saņēmām otrās pakāpes polinoma formulu formā:
.
Tādējādi ir redzams, ka vienādojums

tiek veikta plkst
un.
Tas ir, tie ir kvadrātvienādojuma saknes
.

Piemēri kvadrātvienādojuma sakņu noteikšanai

1. piemērs

(1.1) .

Lēmums

.
Salīdzinot ar mūsu vienādojumu (1.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminējošo:
.
Tā kā diskriminants ir pozitīvs, vienādojumam ir divas reālas saknes:
;
;
.

No tā mēs iegūstam kvadrātveida trinoma faktūru:

.

Funkciju grafiks y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 šķērso abscisu asi divos punktos.

Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas šķērso abscisu asi (asi) divos punktos:
un.
Šie punkti ir sākotnējā vienādojuma (1.1) saknes.

Atbilde

;
;
.

2. piemērs

Atrodiet kvadrātiskā vienādojuma saknes:
(2.1) .

Lēmums

Rakstīsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā:
.
Salīdzinot ar sākotnējo vienādojumu (2.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminējošo:
.
Tā kā diskriminants ir nulle, vienādojumam ir divas daudzkārtējas (vienādas) saknes:
;
.

Tad trinomija faktorizācija ir:
.

Funkciju grafiks y \u003d x 2 - 4 x + 4 vienā punktā pieskaras abscisu asij.

Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas vienā punktā pieskaras abscesa asij (asi):
.
Šis punkts ir sākotnējā vienādojuma (2.1) sakne. Tā kā šī sakne faktorizācijā nonāk divas reizes:
,
tad šādu sakni parasti sauc par daudzkārtēju. Tas ir, viņi uzskata, ka pastāv divas vienādas saknes:
.

Atbilde

;
.

3. piemērs

Atrodiet kvadrātiskā vienādojuma saknes:
(3.1) .

Lēmums

Rakstīsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā:
(1) .
Mēs pārrakstām sākotnējo vienādojumu (3.1):
.
Salīdzinot ar (1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminējošo:
.
Diskriminants ir negatīvs ,. Tāpēc nav derīgu sakņu.

Sarežģītas saknes var atrast:
;
;
.

Tad


.

Funkcijas grafiks nešķērso abscisu asi. Nav derīgu sakņu.

Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas nešķērso abscisu asi (asi). Tāpēc nav derīgu sakņu.

Atbilde

Nav derīgu sakņu. Sarežģītas saknes:
;
;
.