Daļa - skaitlis, kas sastāv no vesela skaitļa vienas daļas un tiek attēlots kā: a / b

Daļu skaitītājs (a) - skaitlis virs frakcijas līnijas un parāda to frakciju skaitu, ar kurām vienība ir sadalīta.

Frakcijas (b) saucējs - skaitlis zem frakcijas līnijas un parādot, cik daļās vienība tika sadalīta.

2. Frakciju samazināšana līdz kopsaucējs

3. Aritmētiskās darbības parastās frakcijas

3.1. Parasto frakciju pievienošana

3.2. Frakciju atņemšana

3.3. Parasto frakciju reizināšana

3.4. Parasto frakciju dalīšana

4. Abpusēji skaitļi

5. Decimāldaļas

6. Aritmētiskās darbības ar decimāldaļām

6.1. Decimāldaļu pievienošana

6.2. Atņemot decimāldaļas

6.3. Decimālā reizināšana

6.4. Decimāldaļu sadalījums

#viens. Frakcijas pamatīpašība

Ja frakcijas skaitītāju un saucēju reizina vai dala ar to pašu skaitli, kas nav vienāds ar nulli, tad jūs saņemat daļu, kas vienāda ar doto.

3/7 \u003d 3 * 3/7 * 3 \u003d 9/21, tas ir, 3/7 \u003d 9/21

a / b \u003d a * m / b * m - šādi izskatās frakcijas pamatīpašība.

Citiem vārdiem sakot, mēs saņemsim daļu, kas ir vienāda ar doto, reizinot vai dalot sākotnējās daļas skaitītāju un saucēju ar to pašu dabiskais skaitlis.

Ja ad \u003d bc, tad divas frakcijas a / b \u003d c / d tiek uzskatīti par vienādiem.

Piemēram, frakcijas 3/5 un 9/15 būs vienādas, jo 3 * 15 \u003d 5 * 9, tas ir, 45 \u003d 45

Frakcijas samazināšana ir frakcijas aizstāšanas process, kurā tiek iegūta jauna daļa, kas ir vienāda ar sākotnējo, bet ar mazāku skaitītāju un saucēju.

Ir pieņemts samazināt frakcijas, pamatojoties uz frakcijas pamatīpašību.

Piemēram, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (skaitītāju un saucēju dala ar 3, 5 un 15).

Nereducējama frakcija ir formas daļa 3/4 ​ ​ kur skaitītājs un saucējs ir kopražu numuri. Frakcijas samazināšanas galvenais mērķis ir padarīt frakciju par nesamazināmu.

2. Frakciju apvienošana kopsaucējā

Lai divas daļiņas nonāktu pie kopsaucēja, jums ir nepieciešams:

1) paplašināt katras frakcijas saucēju par galvenie faktori;

2) reiziniet pirmās daļas skaitītāju un saucēju ar trūkstošajiem

faktori no otrā saucēja paplašināšanās;

3) reiziniet otrās daļas skaitītāju un saucēju ar trūkstošajiem faktoriem no pirmās paplašināšanas.

Piemēri: nogādājiet frakcijas kopsaucējā.

Paplašināsim saucējus galvenajos faktoros: 18 \u003d 3 ∙ 3 ∙ 2, 15 \u003d 3 ∙ 5

Reiziniet frakcijas skaitītāju un saucēju ar trūkstošo koeficientu 5 no otrās paplašināšanas.

frakcijas skaitītājs un saucējs ar trūkstošajiem faktoriem 3 un 2 no pirmās paplašināšanas.

\u003d, 90 ir frakciju kopsaucējs.

3. Aritmētiskās darbības ar parastajām daļām

3.1. Parasto frakciju pievienošana

a) Ar tiem pašiem saucējiem pirmās daļas skaitītāju pievieno otrās daļas skaitītājam, atstājot saucēju vienādu. Kā redzat piemērā:

a / b + c / b \u003d (a + c) / b ​ ​ ;

b) Dažādiem saucējiem frakcijas vispirms noved pie kopsaucēja un pēc tam pievieno skaitītājus saskaņā ar noteikumu a):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Frakciju atņemšana

a) Izmantojot tos pašus saucējus, otrās daļas skaitītājs tiek atņemts no pirmās daļas skaitītāja, atstājot saucēju to pašu:

a / b-c / b \u003d (a-c) / b ​ ​ ;

b) Ja frakciju saucēji ir atšķirīgi, tad vispirms frakcijas noved pie kopsaucēja un pēc tam atkārtojiet darbības kā a) apakšpunktā.

3.3. Parasto frakciju reizināšana

Frakciju reizināšana atbilst šādam noteikumam:

a / b * c / d \u003d a * c / b * d,

tas ir, skaitītāji un saucēji tiek reizināti atsevišķi.

Piemēram:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Parasto frakciju dalīšana

Frakcijas iedala šādi:

a / b: c / d \u003d a * d / b * c,

tas ir, frakcija a / b tiek reizināta ar apgrieztās daļas daļu, tas ir, reizināta ar d / c.

Piemērs: 7/2: 1/8 \u003d 7/2 * 8/1 \u003d 56/2 \u003d 28

4. Savstarpējie skaitļi

Ja a * b \u003d 1, tad skaitlis b ir atpalicis skaitlim a.

Piemērs: skaitlim 9 apgrieztais skaitlis ir 1/9 ​ ​ kopš 9 * 1/9 = 1 , 5. skaitlim - apgrieztais 1/5 ​ ​ , jo 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Decimāldaļas

Decimālskaitlis sauc par regulāru daļu, kuras saucējs ir 10, 1000, 10 000, ..., 10 ^ n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Piemēram: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Nepareizie ar saucēju tiek rakstīti tāpat 10 ^ n vai jaukti skaitļi.

Piemēram: 51/10 \u003d 5,1; 763/100=7,63

Jebkura parasta frakcija ar saucēju, kas ir dalītāja kādai 10 jaudai, tiek attēlota kā decimāldaļa.

dalītājs, kas ir dalītājs kādam skaitlim 10.

Piemērs: 5 ir dalītājs 100, tātad frakcija 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Aritmētiskās darbības ar decimāldaļām

6.1. Decimāldaļu pievienošana

Lai pievienotu divas decimāldaļas, tās ir jāsakārto tā, lai vieni un tie paši cipari un komats būtu viens otram zemāk, un pēc tam saskaitiet tās kā parastos skaitļus.

6.2. Atņemot decimāldaļas

To veic tāpat kā pievienošanai.

6.3. Decimālā reizināšana

Reizinot cipari aiz komata pietiek ar norādīto skaitļu reizināšanu, neņemot vērā komatus (piemēram, dabiskos skaitļus), un saņemtajā atbildē komats labajā pusē atdala tik daudz ciparu, cik abos faktoros ir aiz komata.

Pavairosim 2,7 reizes 1,3. Mums ir 27 \\ cdot 13 \u003d 351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 ... Atdaliet divus ciparus labajā pusē ar komatu (pirmajam un otrajam skaitlim aiz komata ir viens cipars; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Rezultātā mēs iegūstam 2,7 \\ cdot 1,3 \u003d 3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Ja iegūtajā rezultātā ir mazāk ciparu, nekā jāatdala ar komatu, tad priekšā tiek rakstītas trūkstošās nulles, piemēram:

Lai reizinātu ar 10, 100, 1000, komatu jāpārvieto decimāldaļās ar 1, 2, 3 cipariem pa labi (ja nepieciešams, pa labi tiek piešķirts noteikts skaits nulles).

Piemēram: 1,47 \\ cdot 10 000 \u003d 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Decimāldaļu sadalījums

Decimāldaļu dalīšana ar dabisko skaitli tiek veikta tāpat kā dabiskā skaitļa dalīšana ar dabisko skaitli. Komats koeficientā tiek ievietots pēc visas daļas sadalīšanas pabeigšanas.

Ja visa daļa dalāmais mazāk dalītāja, tad atbilde ir nulle veseli skaitļi, piemēram:

Apsveriet iespēju dalīt decimāldaļu ar decimāldaļu. Dalīsim 2,576 ar 1,12. Pirmkārt, mēs reizinām dividenžu un frakcijas dalītāju ar 100, tas ir, mēs komatu pārvietojam pa labi pa dividenžu un dalītāju ar tik daudz cipariem, cik ir dalītājā aiz komata ( šo piemēru pa diviem). Tad jums jāsadala frakcija 257,6 ar dabisko skaitli 112, tas ir, problēma tiek samazināta līdz jau izskatītajam gadījumam:

Tā notiek, ka fināls aiz komata dalot vienu skaitli ar citu. Rezultāts ir bezgalīgs cipars aiz komata. Šādos gadījumos viņi pāriet uz parastajām frakcijām.

Piemēram, 2,8: 0,09 \u003d 28/10: 9/100 \u003d 28 * 100/10 * 9 \u003d 2800/90 \u003d 280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Frakciju piemēri ir viens no matemātikas pamatelementiem. Tur ir daudz dažādi veidi vienādojumi ar daļām. Zemāk ir detalizētas instrukcijas lai atrisinātu šāda veida piemērus.

Kā atrisināt piemērus ar daļām - vispārīgi noteikumi

Lai atrisinātu piemērus ar jebkura veida daļām, neatkarīgi no tā, vai tā ir saskaitīšana, atņemšana, reizināšana vai dalīšana, jums jāzina pamatnoteikumi:

• Lai pievienotu daļējas izteiksmes ar tādu pašu saucēju (saucējs ir skaitlis frakcijas apakšdaļā, skaitītājs ir augšpusē), jums jāpievieno to skaitītāji un jāatstāj saucējs tāds pats.
• Lai atņemtu otro no vienas frakcijas izteiksmes (ar to pašu saucēju), jums jāatņem to skaitītāji un jāatstāj saucējs tāds pats.
• Lai pievienotu vai atņemtu daļējas izteiksmes ar dažādi saucēji, jums jāatrod zemākais kopsaucējs.
• Lai atrastu dalīto reizinājumu, jums jāreizina skaitītāji un saucēji, vienlaikus, ja iespējams, jāsamazina.
• Lai daļu sadalītu ar daļu, pirmā daļa jāreizina ar apgriezto sekundi.

Kā atrisināt piemērus ar daļām - prakse

1. noteikuma 1. piemērs:

Aprēķiniet 3/4 +1/4.

Saskaņā ar 1. noteikumu, ja divām (vai vairākām) daļām ir viens un tas pats saucējs, jums vienkārši jāpievieno to skaitītāji. Mēs iegūstam: 3/4 + 1/4 \u003d 4/4. Ja daļai ir tāds pats skaitītājs un saucējs, šī daļa būs 1.

Atbilde: 3/4 + 1/4 \u003d 4/4 \u003d 1.

2. noteikuma 1. piemērs:

Aprēķiniet: 3/4 - 1/4

Izmantojot 2. kārtulu, lai atrisinātu šo vienādojumu, atņemiet 1 no 3 un atstājiet saucēju to pašu. Mēs iegūstam 2/4. Tā kā divus 2 un 4 var atcelt, mēs varam atcelt un saņemt 1/2.

Atbilde: 3/4 - 1/4 \u003d 2/4 \u003d 1/2.

3. noteikums, 1. piemērs

Aprēķiniet: 3/4 + 1/6

Risinājums: izmantojot 3. kārtulu, atrodiet zemāko kopsaucēju. Zemākais kopsaucējs ir skaitlis, kas tiek dalīts ar visu piemērā esošo frakcionālo izteicienu saucējiem. Tādējādi mums jāatrod minimālais skaitlis, kas dalīsies gan ar 4, gan ar 6. Šis skaitlis ir 12. Mēs rakstām kā saucēju 12. 12 dalām ar pirmās daļas saucēju, iegūstam 3, reizinām ar 3, rakstām 3 skaitītājā * 3 un + zīme. 12 dala ar otrās daļas saucēju, iegūstam 2, 2 reizinām ar 1, ierakstām skaitītājā 2 * 1. Tātad, mēs saņēmām jaunu daļu ar saucēju, kas vienāds ar 12, un skaitītājs ir vienāds ar 3 * 3 + 2 * 1 \u003d 11. 11/12.

Atbilde: 12/12

3. noteikums, 2. piemērs:

Aprēķiniet 3/4 - 1/6. Šis piemērs ir ļoti līdzīgs iepriekšējam. Mēs veicam visas tās pašas darbības, bet skaitītāja + zīmes vietā mēs uzrakstām mīnus zīmi. Mēs iegūstam: 3 * 3-2 * 1/12 \u003d 9-2 / 12 \u003d 7/12.

Atbilde: 7/12

4. noteikuma 1. piemērs:

Aprēķiniet: 3/4 * 1/4

Izmantojot ceturto likumu, mēs reizinām pirmās daļas saucēju ar otrās daļas saucēju un pirmās daļas skaitītāju ar otrās skaitītāju. 3 * 1/4 * 4 \u003d 3/16.

Atbilde: 3/16

4. noteikums, 2. piemērs:

Aprēķiniet 2/5 * 10/4.

Šo daļu var samazināt. Produkta gadījumā pirmās daļas skaitītājs un otrās daļas saucējs, kā arī otrās daļas skaitītājs un pirmās daļas saucējs tiek atcelts.

2 tiek samazināts no 4. 10 tiek samazināts no 5. mēs saņemam 1 * 2/2 \u003d 1 * 1 \u003d 1.

Atbilde: 2/5 * 10/4 \u003d 1

5. noteikuma 1. piemērs:

Aprēķiniet: 3/4: 5/6

Izmantojot 5. kārtulu, iegūstam: 3/4: 5/6 \u003d 3/4 * 6/5. Samaziniet daļu kā iepriekšējā piemērā un iegūstiet 9/10.

Atbilde: 9/10.

Kā atrisināt piemērus ar daļām - frakciju vienādojumiem

Daļējie vienādojumi ir piemēri, kur saucējs satur nezināmu. Lai atrisinātu šādu vienādojumu, jums jāizmanto noteikti noteikumi.

Apskatīsim piemēru:

Atrisiniet vienādojumu 15 / 3x + 5 \u003d 3

Atcerieties, ka jūs nevarat dalīt ar nulli, t.i. saucējs nedrīkst būt nulle. Risinot šādus piemērus, tas ir jānorāda. Šim nolūkam ir ODZ (pieņemamo vērtību diapazons).

Tātad 3x + 5 ≠ 0.
Tādējādi: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Ja x \u003d 5/3, vienādojumam vienkārši nav risinājuma.

Norādījis ODZ, labākais veids risinot šo vienādojumu, atbrīvosies no daļām. Lai to izdarītu, vispirms mēs attēlojam visas nedalītās vērtības kā daļu, in šajā gadījumā skaitlis 3. Mēs iegūstam: 15 / (3x + 5) \u003d 3/1. Lai atbrīvotos no frakcijām, katrs no tiem jāreizina ar zemāko kopsaucēju. Šajā gadījumā tas būtu (3x + 5) * 1. Secība:

1. Reiziniet 15 / (3x + 5) ar (3x + 5) * 1 \u003d 15 * (3x + 5).
2. Izvērsiet iekavas: 15 * (3x + 5) \u003d 45x + 75.
3. Mēs darām to pašu ar vienādojuma labo pusi: 3 * (3x + 5) \u003d 9x + 15.
4. Kreisās un labās puses pielīdzināšana: 45x + 75 \u003d 9x +15
5. Pārvietojiet x pa kreisi, skaitļi pa labi: 36x \u003d - 50
6. Atrodiet x: x \u003d -50/36.
7. Samazināt: -50/36 \u003d -25/18

Atbilde: ODZ x ≠ 5/3. x \u003d -25/18.

Kā atrisināt piemērus ar daļām - daļēju nevienlīdzību

Daļējās nevienlīdzības, piemēram, (3x-5) / (2-x) ≥0, atrisina, izmantojot skaitļa asi. Apskatīsim šo piemēru.

Secība:

• Skaitītāja un saucēja pielīdzināšana nullei: 1,3x-5 \u003d 0 \u003d\u003e 3x \u003d 5 \u003d\u003e x \u003d 5/3
  2,2-x \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 2
• Mēs uzzīmējam skaitļa asi, uzrakstot uz tā iegūtās vērtības.
• Zem vērtības zīmējiet apli. Aplis ir divu veidu - aizpildīts un tukšs. Aizpildīts aplis nozīmē, ka šī vērtība ir iekļauta risinājumu diapazonā. Tukšs aplis norāda, ka šī vērtība nav iekļauta risinājumu diapazonā.
• Tā kā saucējs nevar būt nulle, zem 2. būs tukšs aplis.

• Lai noteiktu zīmes, vienādojumā aizstājiet jebkuru skaitli, kas lielāks par diviem, piemēram, 3. (3 * 3-5) / (2-3) \u003d -4. vērtība ir negatīva, tāpēc aiz abiem rakstām mīnusu virs laukuma. Tad mēs aizstājam jebkuru intervāla vērtību no 5/3 līdz 2, piemēram, 1. Vērtība atkal ir negatīva, nevis x. Mēs rakstām mīnusu. Atkārtojiet to pašu ar laukumu līdz 5/3. Aizstāj jebkuru skaitli, kas mazāks par 5/3, piemēram, 1. Atkal mīnus.

• Tā kā mūs interesē x vērtības, pie kurām izteiksme būs lielāka vai vienāda ar 0, un šādu vērtību nav (visur ir mīnusi), šai nevienlīdzībai nav risinājuma, tas ir, x \u003d Ø ( tukšs komplekts).

Atbilde: x \u003d Ø

Frakciju kalkulators paredzēts ātrai operāciju ar frakcijām aprēķināšanai, tas palīdzēs jums viegli saskaitīt, reizināt, dalīt vai atņemt frakcijas.

Mūsdienu skolēni sāk pētīt frakcijas jau 5. klasē, katru gadu vingrinājumi ar viņiem kļūst sarežģītāki. Matemātiskie termini un vērtības, kuras mēs mācāmies skolā, mums reti ir noderīgi pilngadība... Tomēr frakcijas, atšķirībā no logaritmiem un jaudām, ikdienas dzīvē sastopamas diezgan bieži (attāluma mērīšana, preču svēršana utt.). Mūsu kalkulators ir paredzēts operāciju ātrai veikšanai ar daļām.

Vispirms definēsim, kādas ir frakcijas un kādas tās ir. Frakcijas ir viena skaitļa attiecība pret otru, tas ir skaitlis, kas sastāv no vesela skaitļa viena skaitļa skaita.

Frakciju šķirnes:

• Parasts
• Decimālskaitlis
• Jaukts

Piemērs parastās frakcijas:

Augšējā vērtība ir skaitītājs, apakšējā - saucējs. Domuzīme mums parāda, ka augšējais skaitlis dalās ar apakšējo. Līdzīga rakstīšanas formāta vietā ar domuzīmi horizontāli varat rakstīt citādi. Jūs varat ievietot slīpu līniju, piemēram:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Decimāldaļas ir vispopulārākais frakciju veids. Tie sastāv no veselas daļas un daļējas daļas, atdalītas ar komatu.

Decimāldaļu frakciju piemērs:

0,2 vai 6,71 vai 0,125

Tie sastāv no vesela skaitļa un daļējas daļas. Lai uzzinātu šīs daļas nozīmi, jums jāpievieno vesels skaitlis un daļa.

Jauktu frakciju piemērs:

Mūsu vietnes frakciju kalkulators spēj ātri izpildīt jebkuru matemātiskās darbības ar daļām:

• Papildinājums
• Atņemšana
• Reizināšana
• Nodaļa

Lai veiktu aprēķinu, laukos jāievada skaitļi un jāizvēlas darbība. Attiecībā uz daļām jums jāaizpilda skaitītājs un saucējs, visu skaitli var nerakstīt (ja daļa ir parasta). Neaizmirstiet noklikšķināt uz vienādas pogas.

Ērti kalkulators nekavējoties nodrošina piemēru ar daļām, nevis tikai gatavu atbildi. Pateicoties detalizētajam risinājumam, jūs varat izmantot šo materiālu, risinot skolas problēmas un labāk apgūstot aptverto materiālu.

Jums jāaprēķina piemērs:

Pēc indikatoru ievadīšanas veidlapas laukos mēs iegūstam:

Lai veiktu neatkarīgu aprēķinu, ievadiet datus formā.

Frakciju kalkulators

Saistītās sadaļas.

Skolēni ar frakcijām iepazīstas 5. klasē. Iepriekš cilvēki, kuri zināja, kā veikt darbības ar daļām, tika uzskatīti par ļoti gudriem. Pirmā daļa bija 1/2, tas ir, puse, pēc tam parādījās 1/3 utt. Vairākus gadsimtus piemēri tika uzskatīti par pārāk sarežģītiem. Tagad izstrādāts sīki izstrādāti noteikumi par frakciju pārveidošanu, saskaitīšanu, reizināšanu un citām darbībām. Pietiek, lai nedaudz saprastu materiālu, un risinājums būs vienkāršs.

Parasto daļu, ko sauc par vienkāršu, raksta kā divu skaitļu dalījumu: m un n.

M ir dividende, tas ir, frakcijas skaitītājs, un dalītāju n sauc par saucēju.

Piešķiriet pareizās frakcijas (m< n) а также неправильные (m > n).

Parastā frakcija ir mazāka par vienu (piemēram, 5/6 - tas nozīmē, ka no vienas tiek ņemtas 5 daļas; no vienas tiek ņemtas 2/8 - 2 daļas). Neregulārā frakcija ir vienāda vai lielāka par 1 (8/7 - 1 ir 7/7, un kā plus tiek ņemta vēl viena daļa).

Tātad vienība ir tad, kad skaitītājs un saucējs sakrīt (3/3, 12/12, 100/100 un citi).

Darbības ar parastajām frakcijām 6. pakāpe

Izmantojot vienkāršas frakcijas, varat rīkoties šādi:

• Paplašināt daļu. Ja reizināsit frakcijas augšējo un apakšējo daļu ar vienu un to pašu skaitli (bet ne ar nulli), tad frakcijas vērtība nemainīsies (3/5 \u003d 6/10 (tikai reizinot ar 2).
• Frakciju samazināšana ir līdzīga paplašināšanai, taču šeit tā tiek dalīta ar kādu skaitli.
• Salīdzināt. Ja divām daļām ir vienādi skaitītāji, tad lielāka daļa būs daļa ar zemāko saucēju. Ja saucēji ir vienādi, tad daļa ar lielāko skaitītāju būs lielāka.
• Veic saskaitīšanu un atņemšanu. Izmantojot tos pašus saucējus, to ir viegli izdarīt (mēs summējam augšējās daļas, un apakšējā nemainās). Dažādiem jums būs jāatrod kopsaucējs un papildu faktori.
• Reiziniet un daliet frakcijas.

Tālāk mēs apsvērsim darbību piemērus ar daļām.

Samazinātas frakcijas 6. pakāpe

Saīsināt nozīmē frakcijas augšējās un apakšējās daļas dalīšanu ar jebkuru tādu pašu skaitli.

Attēlā ir parādīti vienkārši saīsinājumu piemēri. Pirmajā variantā varat uzreiz uzminēt, ka skaitītājs un saucējs dalās ar 2.

Uz piezīmes! Ja skaitlis ir pāra skaitlis, tad tas jebkurā veidā dalās ar 2. Pāra skaitļi ir 2, 4, 6 ... 32 8 (beidzas ar pat) utt.

Otrajā gadījumā, dalot 6 ar 18, uzreiz ir skaidrs, ka skaitļi dalās ar 2. Dalot, iegūstam 3/9. Šī daļa dalās ar 3. Tad atbilde ir 1/3. Ja jūs reizināt abus faktorus: 2 ar 3, tad iegūstat 6. Izrādās, ka daļa tika dalīta ar sešiem. Šo pakāpenisko sadalījumu sauc secīga frakcijas samazināšana par kopīgi dalītāji.

Kāds tūlīt dalīs ar 6, kādam būs nepieciešams dalījums pa daļām. Galvenais ir tas, ka beigās ir daļa, kuru nekādā veidā nevar samazināt.

Ņemiet vērā, ka, ja skaitlis sastāv no cipariem, saskaitot skaitli, kas dalās ar 3, oriģinālu var samazināt arī ar 3. Piemērs: skaitlis 341. Pievienojiet skaitļus: 3 + 4 + 1 \u003d 8 (8 nav dalāms ar 3, tātad skaitli 341 bez atlikuma nevar samazināt par 3). Cits piemērs: 264. Pievienojiet: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (dalāms ar 3). Mēs iegūstam: 264: 3 \u003d 88. Tas vienkāršos lielu skaitļu samazināšanu.

Papildus frakciju secīgas samazināšanas metodei ar kopīgiem faktoriem ir arī citas metodes.

GCD ir lielākais skaitļa dalītājs. Atrodot saucēja un skaitītāja GCD, jūs varat nekavējoties samazināt daļu par vēlamo skaitli. Meklēšana tiek veikta, pakāpeniski sadalot katru skaitli. Tālāk viņi skatās, kuri dalītāji sakrīt, ja tie ir vairāki (kā attēlā zemāk), tad jums ir jāreizina.

Jauktās frakcijas 6. pakāpe

Visas neregulārās frakcijas var pārvērst jauktās, atlasot tajās visu daļu. Viss skaitlis ir rakstīts pa kreisi.

Bieži vien no nepareizas daļas ir jāveido jaukts skaitlis. Transformācijas process zemāk esošajā piemērā: 22/4 \u003d 22 mēs dalām ar 4, iegūstam 5 veselus skaitļus (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. Mēs iegūstam 5 veselus skaitļus un 2/4 (saucējs nemainās). Tā kā daļu var atcelt, mēs augšējo un apakšējo daļu dalām ar 2.

Jauktu skaitli ir viegli pārvērst par nepareizu daļu (tas ir nepieciešams, dalot un reizinot frakcijas). Lai to izdarītu: reiziniet visu skaitli ar frakcijas apakšējo daļu un pievienojiet tam skaitītāju. Gatavs. Saucējs nemainās.

Aprēķini ar frakcijām 6. pakāpe

Var pievienot jauktus skaitļus. Ja saucēji ir vienādi, tad to ir viegli izdarīt: pievienojot veselas daļas un skaitītājus, saucējs paliek vietā.

Pievienojot skaitļus ar dažādiem saucējiem, process ir sarežģītāks. Pirmkārt, mēs nesam numurus uz vienu mazs saucējs (NOZ).

Tālāk sniegtajā piemērā skaitļiem 9 un 6 saucējs ir 18. Pēc tam ir nepieciešami papildu faktori. Lai tos atrastu, 18 jāsadala ar 9, tāpēc tiek atrasts papildu skaitlis - 2. Mēs to reizinām ar skaitītāju 4, lai iegūtu daļu 8/18). Tas pats tiek darīts ar otro daļu. Mēs jau summējam konvertētās daļas (veseli skaitļi un skaitītāji ir atsevišķi, saucējs netiek mainīts). Piemērā atbilde bija jāpārvērš par parastu daļu (sākotnēji skaitītājs bija lielāks par saucēju).

Lūdzu, ņemiet vērā, ka frakciju starpībai procedūra ir vienāda.

Reizinot frakcijas, ir svarīgi abus novietot zem vienas līnijas. Ja skaitlis ir jaukts, tad mēs to pārvēršam vienkārša daļa... Tālāk mēs reizinām augšējo un apakšējo daļu un pierakstām atbildi. Ja redzat, ka frakcijas var samazināt, tad tās nekavējoties samazinām.

Iepriekš minētajā piemērā mums nekas nebija jāsamazina, mēs vienkārši pierakstījām atbildi un atlasījām visu daļu.

Šajā piemērā man vajadzēja saīsināt skaitļus zem vienas rindiņas. Lai gan jūs varat saīsināt gatavu atbildi.

Sadalīšanai algoritms ir gandrīz vienāds. Pirmkārt, mēs pārvēršam jaukto daļu par neregulāru, pēc tam ierakstiet skaitļus zem vienas līnijas, aizstājot dalīšanu ar reizinājumu. Neaizmirstiet apmainīt otrās frakcijas augšējo un apakšējo daļu (tas ir noteikums frakciju dalīšanai).

Ja nepieciešams, mēs samazinām skaitļus (šajā piemērā mēs esam samazinājuši tos par pieciem un diviem). Mēs pārveidojam neregulāro frakciju, atlasot visu daļu.

6. klases frakciju pamatproblēmas

Video redzami vēl daži uzdevumi. Skaidrības labad izmantots grafiskie attēli risinājumi, kas palīdz vizualizēt frakcijas.

6. pakāpes reizināšanas piemēri ar paskaidrojumiem

Reizinošās daļas tiek ierakstītas zem vienas rindas. Pēc tam tos samazina, dalot ar vieniem un tiem pašiem skaitļiem (piemēram, 15 saucējā un 5 skaitītājā var dalīt ar pieciem).

6. pakāpes frakciju salīdzinājums

Lai salīdzinātu frakcijas, jums jāatceras divi vienkārši noteikumi.

1. noteikums. Ja saucēji ir atšķirīgi

2. noteikums. Ja saucēji ir vienādi

Piemēram, salīdzināsim frakcijas 7/12 un 2/3.

1. Mēs skatāmies saucējus, tie nesakrīt. Tāpēc jums jāatrod kopīgs.
2. Frakcijām kopsaucējs ir 12.
3. Mēs vispirms dalām 12 ar pirmās frakcijas apakšējo daļu: 12: 12 \u003d 1 (tas ir papildu koeficients 1. daļai).
4. Tagad mēs dalām 12 ar 3, mēs iegūstam 4 - pievienojam. 2. daļas reizinātājs.
5. Iegūtos skaitļus reizinām ar skaitītājiem, lai pārrēķinātu daļas: 1 x 7 \u003d 7 (pirmā daļa: 7/12); 4 x 2 \u003d 8 (otrā daļa: 8/12).
6. Tagad mēs varam salīdzināt: 7/12 un 8/12. Notika: 7/12< 8/12.

Lai labāk attēlotu frakcijas, skaidrības labad varat izmantot zīmējumus, kur objekts ir sadalīts daļās (piemēram, kūka). Ja vēlaties salīdzināt 4/7 un 2/3, tad pirmajā gadījumā kūka tiek sadalīta 7 daļās un tiek izvēlētas 4 no tām. Otrajā viņi to sadala 3 daļās un ņem 2. Ar neapbruņotu aci būs skaidrs, ka 2/3 būs vairāk nekā 4/7.

Piemēri ar frakcijām 6. pakāpe apmācībai

Treniņa laikā jūs varat veikt šādus uzdevumus.

• Salīdziniet frakcijas

• veikt reizināšanu

Padoms: ja frakcijām ir grūti atrast zemāko kopsaucēju (īpaši, ja to vērtības ir mazas), tad jūs varat pavairot pirmās un otrās daļas saucēju. Piemērs: 2/8 un 5/9. Viņu saucēja atrašana ir vienkārša: reiziniet 8 ar 9, iegūstam 72.

Vienādojumu risināšana ar 6. pakāpes frakcijām

Risinot vienādojumus, jums jāatceras darbības ar daļām: reizināšana, dalīšana, atņemšana un saskaitīšana. Ja viens no faktoriem nav zināms, tad reizinājums (kopējais) tiek dalīts ar zināmu faktoru, tas ir, tiek reizinātas frakcijas (otrais tiek pagriezts otrādi).

Ja dividende nav zināma, tad saucējs tiek reizināts ar dalītāju, un, lai atrastu dalītāju, dividendes jāsadala ar koeficientu.

Iedomājieties vienkārši piemēri vienādojumu risinājumi:

Šeit ir nepieciešams tikai iegūt frakciju starpību, nenovedot pie kopsaucēja.

Atbilde iznāca kā nepareiza frakcija. To var pārveidot par 1 veselu skaitli un 3/5.

Otrajā metodē skaitītājs un saucējs tika reizināti ar 4, lai dzēstu apakšdaļu, nevis apgrieztu saucēju.

Daļas ir parastie skaitļi, un tos var arī saskaitīt un atņemt. Bet, ņemot vērā to, ka viņiem ir saucējs, tiem ir nepieciešami sarežģītāki noteikumi nekā veseliem skaitļiem.

Apsveriet vienkāršāko gadījumu, kad ir divas frakcijas ar tie paši saucēji... Tad:

Lai pievienotu frakcijas ar tādu pašu saucēju, pievienojiet to skaitītājus un atstājiet saucēju nemainītu.

Lai atņemtu frakcijas ar tādu pašu saucēju, no pirmās frakcijas skaitītāja atņemiet otrās skaitītāju un atstājiet saucēju nemainītu.

Katrā izteiksmē frakciju saucēji ir vienādi. Pēc frakciju saskaitīšanas un atņemšanas definīcijas mēs iegūstam:

Kā redzat, nekas sarežģīts: vienkārši saskaitiet vai atņemiet skaitītājus, un viss.

Bet pat tādās vienkāršas darbības cilvēkiem izdodas kļūdīties. Visbiežāk tiek aizmirsts, ka saucējs nemainās. Piemēram, kad tie tiek pievienoti, viņi arī sāk pievienot, un tas ir fundamentāli nepareizi.

Tikt vaļā no slikts ieradums saucēju pievienošana ir pietiekami vienkārša. Mēģiniet darīt to pašu arī atņemšanai. Rezultātā saucējs būs nulle, un daļa (pēkšņi!) Zaudēs savu nozīmi.

Tāpēc atcerieties vienreiz un uz visiem laikiem: sasaukšanas un atņemšanas laikā saucējs nemainās!

Arī daudzi cilvēki pieļauj kļūdas, pievienojot vairākas negatīvās frakcijas. Ir sajaukums ar zīmēm: kur likt mīnusu, un kur - plus.

Arī šo problēmu ir ļoti viegli atrisināt. Pietiek atcerēties, ka mīnusu pirms frakcijas zīmes vienmēr var pārskaitīt uz skaitītāju - un otrādi. Un, protams, neaizmirstiet divus vienkāršus noteikumus:

1. Plus un mīnus dod mīnusu;
2. Divi negatīvi ir apstiprinoši.

Analizēsim to visu ar konkrētiem piemēriem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes nozīmi:

Pirmajā gadījumā viss ir vienkāršs, bet otrajā frakciju skaitītājiem pievienojam mīnusus:

Ko darīt, ja saucēji atšķiras

Jūs nevarat tieši pievienot frakcijas ar dažādiem saucējiem. Vismaz šī metode man nav zināma. Tomēr sākotnējās frakcijas vienmēr var pārrakstīt tā, lai saucēji kļūtu vienādi.

Ir daudz veidu, kā pārveidot frakcijas. Trīs no tiem tiek apspriesti nodarbībā “Frakciju samazināšana līdz kopsaucējam”, tāpēc mēs šeit pie tām nepaliksim. Apskatīsim labāk piemērus:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes nozīmi:

Pirmajā gadījumā mēs frakcijas nogādājam kopsaucējā, izmantojot "krustu šķērsām" metodi. Otrajā mēs meklēsim LCM. Ņemiet vērā, ka 6 \u003d 2,3; 9 \u003d 3 · 3. Pēdējie faktori šajos paplašinājumos ir vienādi, un pirmie ir kopprimi. Tāpēc LCM (6; 9) \u003d 2 3 3 \u003d 18.

Ko darīt, ja daļai ir vesela skaitļa daļa

Es varu jums iepriecināt: dažādi frakciju saucēji vēl nav lielākais ļaunums. Daudz vairāk kļūdu rodas, kad daļās tiek atlasīta visa daļa.

Protams, šādām daļām ir savi algoritmi saskaitīšanai un atņemšanai, taču tie ir diezgan sarežģīti un prasa ilgu pētījumu. Labāka izmantošana vienkārša shēmazemāk:

1. Konvertējiet visas daļas, kurās ir vesela daļa, uz nepareizām. Mēs iegūstam normālus noteikumus (pat ar dažādiem saucējiem), kurus aprēķina saskaņā ar iepriekš apspriestajiem noteikumiem;
2. Faktiski aprēķiniet iegūto frakciju summu vai starpību. Rezultātā mēs praktiski atradīsim atbildi;
3. Ja tas ir viss, kas bija nepieciešams problēmā, mēs veicam apgriezto transformāciju, t.i. mēs atbrīvojamies no nepareizās frakcijas, izceļot tajā visu daļu.

Pārejas noteikumi uz nepareizās frakcijas un visas daļas izcelšana ir detalizēti aprakstīta nodarbībā "Kas ir skaitliskā daļa". Ja neatceraties, noteikti atkārtojiet to. Piemēri:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes nozīmi:

Šeit viss ir vienkāršs. Katras izteiksmes iekšpusē esošie saucēji ir vienādi, tāpēc atliek pārvērst visas daļas nepareizajās un saskaitīt. Mums ir:

Lai viss būtu vienkārši, es esmu izlaidis dažus acīmredzamos soļus pēdējos piemēros.

Neliela piezīme diviem pēdējiem piemēriem, kur tiek atņemtas daļas ar iezīmētu vesela skaitļa daļu. Mīnuss otrās daļas priekšā nozīmē, ka tiek atņemta visa frakcija, nevis tikai visa tā daļa.

Vēlreiz pārlasiet šo teikumu vēlreiz, apskatiet piemērus - un padomājiet par to. Šeit iesācēji pieļauj ļoti daudz kļūdu. Viņiem patīk uzticēt šādus uzdevumus kontroles darbi... Arī jūs daudzkārt sastapsieties šīs nodarbības pārbaudījumos, kas drīz tiks publicēti.

Kopsavilkums: vispārēja aprēķinu shēma

Noslēgumā es sniegšu vispārīgu algoritmu, kas palīdzēs jums atrast divu vai vairāku frakciju summu vai starpību:

1. Ja vienai vai vairākām daļām ir vesela daļa, pārvērš šīs daļas nepareizās;
2. Jebkurā jums ērtā veidā nogādājiet visas frakcijas pie kopsaucēja (ja, protams, to nedarīja problēmu autori);
3. Saskaitīt vai atņemt iegūtos skaitļus saskaņā ar likmju saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem ar vienādiem saucējiem;
4. Ja iespējams, saīsiniet rezultātu. Ja daļa ir nepareiza, atlasiet visu daļu.

Atcerieties, ka visu problēmu labāk izvēlēties tieši problēmas beigās, tieši pirms atbildes rakstīšanas.