Es Izteiksmes, kurās skaitļus, aritmētiskās zīmes un iekavas var izmantot kopā ar burtiem, sauc par algebriskām izteiksmēm.

Algebrisko izteicienu piemēri:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Tā kā burtu algebriskajā izteiksmē var aizstāt ar dažiem atšķirīgiem cipariem, burtu sauc par mainīgo, bet pašu algebrisko izteiksmi - par izteiksmi ar mainīgo.

II. Ja algebriskā izteiksmē burti (mainīgie) tiek aizstāti ar to vērtībām un tiek veiktas norādītās darbības, tad iegūto skaitli sauc par algebriskās izteiksmes vērtību.

Piemēri. Atrodiet izteiksmes vērtību:

1) a + 2b -c a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5.

2) | x | + | y \u200b\u200b| - | z | pie x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6.

Lēmums.

1) a + 2b -c a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5. Mainīgo vietā aizstāsim viņu vērtības. Mēs iegūstam:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | y \u200b\u200b| - | z | pie x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6. Aizstājiet norādītās vērtības. Atcerieties, ka modulis negatīvs skaitlis ir vienāds ar pretējo skaitli un moduli pozitīvs skaitlis ir vienāds ar šo skaitli. Mēs iegūstam:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Burta (mainīgā) vērtības, kurām ir jēga algebriskai izteiksmei, tiek sauktas par burta (mainīgā) derīgajām vērtībām.

Piemēri. Kādām mainīgā vērtībām izteiksmei nav jēgas?

Lēmums. Mēs zinām, ka nav iespējams dalīt ar nulli, tāpēc katram no šiem izteicieniem nebūs jēgas ar burta (mainīgā) vērtību, kas frakcijas saucēju pārvērš par nulli!

1. piemērā) šī vērtība ir a \u003d 0. Patiešām, ja 0 tiek aizstāts ar a, skaitlis 6 būs jāsadala ar 0, taču to nevar izdarīt. Atbilde: izteicienam 1) nav jēgas a \u003d 0.

2. piemērā saucējs x - 4 \u003d 0 pie x \u003d 4, tāpēc šī vērtība x \u003d 4, un to nevar ņemt. Atbilde: izteicienam 2) nav jēgas attiecībā uz x \u003d 4.

3. piemērā saucējs x + 2 \u003d 0 pie x \u003d -2. Atbilde: izteicienam 3) nav jēgas attiecībā uz x \u003d -2.

4. piemērā saucējs ir 5 - | x | \u003d 0 | x | \u003d 5. Un tā kā | 5 | \u003d 5 un | -5 | \u003d 5, tad nevar ņemt x \u003d 5 un x \u003d -5. Atbilde: izteiksme 4) ir bezjēdzīga, kad x \u003d -5 un kad x \u003d 5.
IV. Divas izteiksmes tiek uzskatītas par identiski vienādām, ja jebkurai pieļaujamai mainīgo lielumam šo izteiksmju atbilstošās vērtības ir vienādas.

Piemērs: 5 (a - b) un 5a - 5b ir vienādi vienādi, jo vienādība 5 (a - b) \u003d 5a - 5b būs patiesa visām a un b vērtībām. Vienādība 5 (a - b) \u003d 5a - 5b ir identitāte.

Identitāte Vai vienādība ir derīga visām tajā iekļauto mainīgo pieļaujamajām vērtībām? Jums jau zināmo identitāšu piemēri ir, piemēram, saskaitīšanas un reizināšanas īpašības, izplatīšanas īpašība.

Vienas izteiksmes aizstāšanu ar citu, identiski tai vienādu, sauc par identitātes transformāciju vai vienkārši par izteiksmes transformāciju. Izteiksmes ar mainīgajiem identiskas transformācijas tiek veiktas, pamatojoties uz darbību īpašībām uz skaitļiem.

Piemēri.

a) pārveidot izteiksmi identiski vienādai, izmantojot reizināšanas īpašību:

1) 10 * (1,2x + 2,3g); 2) 1,5 * (a -2b + 4c); 3) a (6m -2n + k).

Lēmums... Atsaukt reizināšanas izplatīšanas īpašību (likumu):

(a + b) c \u003d a c + b c (reizināšanas izplatības likums attiecībā uz saskaitīšanu: lai reizinātu divu skaitļu summu ar trešo skaitli, katru skaitli var reizināt ar šo skaitli un pievienot iegūtos rezultātus).
(a-b) c \u003d a c-b c (reizināšanas izplatības likums attiecībā uz atņemšanu: lai reizinātu divu skaitļu starpību ar trešo skaitli, jūs varat reizināt ar šo skaitli, kas tiek samazināts un atņemts atsevišķi, un no pirmā rezultāta atņemiet otro).

1) 10 * (1,2x + 2,3y) \u003d 10 * 1,2x + 10 * 2,3y \u003d 12x + 23g.

2) 1,5 * (a -2b + 4c) \u003d 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) \u003d 6am -2an + ak.

b) pārveido izteiksmi identiski vienādā, izmantojot papildinājuma pārvietošanas un kombinācijas īpašības (likumus):

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Lēmums. Piemērosim papildināšanas likumus (īpašības):

a + b \u003d b + a (transponējams: summa nemainās no terminu permutācijas).
(a + b) + c \u003d a + (b + c) (kombinācija: lai divu skaitļu summai pievienotu trešo skaitli, pirmajam skaitlim varat pievienot otrā un trešā summu).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 \u003d (x + 2x) + (4,5 + 6,5) \u003d 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 \u003d 3a + (2,1 + 7,8) \u003d 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s \u003d (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) \u003d 3,1s -5,5.

iekšā) pārveidot izteiksmi identiski vienādai, izmantojot reizināšanas pārvietošanas un kombinācijas īpašības (likumus):

7) 4 · x · (-2,5); 8) -3,5 · 2g · (-viens); 9) 3.a · (-3) · 2.c

Lēmums. Mēs izmantojam reizināšanas likumus (īpašības):

a b \u003d b a (transponējams: produkts nemainās no faktoru permutācijas).
(a b) c \u003d a (b c) (kombinēts: lai reizinātu divu skaitļu reizinājumu ar trešo skaitli, pirmo skaitli var reizināt ar otrā un trešā reizinājumu).

7) 4 · x · (-2,5) = -4 · 2,5 · x \u003d -10x.

8) -3,5 · 2g · (-1) \u003d 7 g.

9) 3.a · (-3) · 2s \u003d -18ac.

Ja algebriskā izteiksme tiek dota atceļamas daļas veidā, tad, izmantojot daļas atcelšanas likumu, to var vienkāršot, t.i. aizstāt ar vienkāršāku izteicienu, kas ir identisks tai.

Piemēri. Vienkāršojiet, izmantojot frakcijas samazināšanu.

Lēmums. Frakcijas samazināšana nozīmē tās skaitītāja un saucēja dalīšanu ar to pašu skaitli (izteiksmi), izņemot nulli. 10. frakcija) tiks samazināta par 3.b; frakcija 11) var samazināt par un un frakciju 12) var samazināt par 7n... Mēs iegūstam:

Formulu sastādīšanai tiek izmantoti algebriskie izteicieni.

Formula ir algebriska izteiksme, kas rakstīta kā vienlīdzība un kas izsaka attiecības starp diviem vai vairākiem mainīgajiem. Piemērs: ceļa formula, kuru jūs zināt s \u003d v t (s - nobrauktais attālums, v - ātrums, t - laiks). Atcerieties, kādas citas formulas jūs zināt.

1. lapa no 1 1

Izteiksme ir visplašākais matemātiskais termins. Būtībā šajā zinātnē viss sastāv no viņiem, un visas operācijas tiek veiktas arī ar viņiem. Cits jautājums ir tas, ka atkarībā no konkrētā veida pilnībā dažādas metodes un triki. Tātad, strādājot ar trigonometriju, frakcijām vai logaritmiem, ir trīs dažādas darbības... Izteiksme, kurai nav jēgas, var būt divu veidu: skaitliska vai algebriska. Bet ko nozīmē šī koncepcija, kā izskatās tās piemērs un citi punkti, tiks apspriesti tālāk.

Skaitliskas izteiksmes

Ja izteiksme sastāv no skaitļiem, iekavām, plus-mīnus un citām aritmētisko darbību pazīmēm, to var droši saukt par ciparu. Kas ir diezgan loģiski: jums vienkārši vēlreiz jāaplūko pirmais nosauktais komponents.

Skaitliskā izteiksme var būt jebkas: galvenais ir tas, ka tajā nav burtu. Un ar "jebko" šajā gadījumā tiek domāts viss: sākot no vienkārša skaitļa, kas pats par sevi stāv, līdz milzīgam to sarakstam un aritmētisko darbību pazīmēm, kas prasa turpmāku galarezultāta aprēķināšanu. Arī frakcija ir ciparu izteiksme, ja tajā nav neviena a, b, c, d utt., jo tad tā ir pavisam cita suga, par kuru tiks runāts nedaudz vēlāk.

Nosacījumi izteicienam, kam nav jēgas

Kad uzdevums sākas ar vārdu "aprēķināt", var runāt par transformāciju. Lieta ir tāda, ka šī darbība ne vienmēr ir lietderīga: tā nav tik ļoti nepieciešama, ja priekšplānā parādās izteiksme, kurai nav jēgas. Piemēri ir bezgala pārsteidzoši: dažreiz, lai saprastu, ka tas mūs ir panācis, jums ir jāatver kronšteini uz ilgu laiku un garlaicīgi un skaitot-skaitot-skaitot ...

Galvenais ir atcerēties, ka izteicienam, kura gala rezultāts tiek samazināts līdz matemātikā aizliegtai darbībai, nav jēgas. Lai būtu pilnīgi godīgi, tad transformācija pati par sevi kļūst bezjēdzīga, taču, lai to uzzinātu, vispirms tā ir jāveic. Tāds ir paradokss!

Slavenākais, bet ne mazāk svarīgais aizliegts matemātiskā darbība ir dalījums ar nulli.

Tāpēc šeit, piemēram, ir izteiciens, kam nav jēgas:

(17+11):(5+4-10+1).

Ja ar vienkāršu aprēķinu palīdzību samaziniet otro iekavu līdz vienam ciparam, tad tā būs nulle.

Saskaņā ar to pašu principu šim izteicienam tiek piešķirts "goda nosaukums":

(5-18):(19-4-20+5).

Algebriskie izteicieni

Šī ir tā pati skaitliskā izteiksme, ja tai pievienojat aizliegtus burtus. Tad tas kļūst par pilntiesīgu algebrisko. Tas var būt arī visos izmēros un formās. Algebriskā izteiksme ir plašāks jēdziens, kas ietver iepriekšējo. Bet bija jēga sākt sarunu nevis ar viņu, bet gan ar ciparu, lai tā būtu skaidrāka un vieglāk saprotama. Galu galā, vai algebriskajai izteiksmei ir jēga, tas nav ļoti sarežģīts jautājums, bet tam ir vairāk skaidrojumu.

Kāpēc ir tā, ka?

Burtiskā izteiksme vai izteiksme ar mainīgajiem ir sinonīmi. Pirmo terminu ir viegli izskaidrot: galu galā tajā ir burti! Otrais arī nav gadsimta noslēpums: burtu vietā jūs varat aizstāt dažādi skaitļi, kā rezultātā izteiksmes vērtība mainīsies. Ir viegli uzminēt, ka burti šajā gadījumā ir mainīgie. Pēc analoģijas skaitļi ir nemainīgi.

Un šeit mēs atgriežamies pie galvenās tēmas: bezjēdzīga?

Algebrisko izteicienu piemēri, kuriem nav jēgas

Algebras izteiksmes bezjēdzības nosacījums ir tāds pats kā skaitliskam, ar tikai vienu izņēmumu vai, precīzāk sakot, papildinājumu. Konvertējot un aprēķinot gala rezultātu, jums jāņem vērā mainīgie, tāpēc jautājums tiek uzdots nevis kā "kurai izteiksmei nav jēgas?", Bet "pie kādas mainīgā vērtības šai izteiksmei nebūs jēgas?" un "vai mainīgajam ir kāda vērtība, kas padara izteicienu bezjēdzīgu?"

Piemēram, (18-3) :( a + 11-9).

Iepriekšminētajai izteiksmei nav nozīmes, ja a ir vienāds ar -2.

Bet par (a + 3): (12-4-8) mēs varam droši teikt, ka tas ir izteiciens, kam nav jēgas nevienam a.

Tāpat, neatkarīgi no tā, kuru b pievienojat izteiksmei (b - 11): (12 + 1), joprojām būs jēga.

Kopīgi uzdevumi par tēmu "Izteiksme, kurai nav jēgas"

7. klase šo tematu cita starpā studē matemātikā, un ar to saistītie uzdevumi bieži sastopami gan tūlīt pēc attiecīgās stundas, gan kā “trika” jautājums moduļos un eksāmenos.

Tāpēc ir vērts apsvērt tipiskus uzdevumus un metodes to risināšanai.

1. piemērs.

Vai izteicienam ir jēga:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Ir nepieciešams veikt visu aprēķinu iekavās un izteiksmi novest pie formas:

Tāpēc gala rezultātā ir izteikums bezjēdzīgs.

2. piemērs.

Kādiem izteicieniem nav jēgas?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Aprēķiniet gala vērtība katram izteicienam.

Atbilde: 1; 2.

3. piemērs.

Atrodiet derīgo vērtību diapazonu šādām izteiksmēm:

1) (11-4) / (b + 17);

2) 12 / (14-b + 11).

Pieļaujamo vērtību diapazons (ODZ) ir visi šie skaitļi, ja tie tiek aizstāti nevis mainīga izteiksme būs jēga.

Tas ir, uzdevums izklausās šādi: atrodiet vērtības, kurās nebūs dalījuma ar nulli.

1) b є (-∞; -17) & (-17; + ∞) vai b\u003e -17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞; 25) & (25; + ∞) vai b\u003e 25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

4. piemērs.

Kādām vērtībām zemāk esošajam izteicienam nav jēgas?

Otrā iekava ir nulle, kad spēle ir -3.

Atbilde: y \u003d -3

4. piemērs.

Kuriem izteicieniem nav nozīmes tikai tad, kad x \u003d -14?

1) 14: (x - 14);

2) (3 + 8x) :( 14 + x);

3) (x / (14 + x)): (7/8)).

2 un 3, jo pirmajā gadījumā, ja jūs aizstājat x \u003d -14, tad otrā iekava ir vienāda ar -28, nevis ar nulli, kā tas izklausās bezjēdzīgas izteiksmes definīcijā.

5. piemērs.

Izveidojiet un pierakstiet izteiksmi, kurai nav jēgas.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebriskas izteiksmes ar diviem mainīgajiem

Neskatoties uz to, ka visiem izteicieniem, kuriem nav jēgas, ir viena un tā pati būtība, to sarežģītībai ir dažādi līmeņi. Tātad, mēs varam teikt, ka skaitliskie piemēri ir vienkārši piemēri, jo tie ir vieglāk nekā algebriski. Arī mainīgo skaits pēdējos palielina risinājuma grūtības. Bet tiem nevajadzētu būt pēc izskata: galvenais ir atcerēties vispārējo risinājuma principu un to pielietot neatkarīgi no tā, vai piemērs ir līdzīgs tipiskai problēmai vai ir daži nezināmi papildinājumi.

Piemēram, var rasties jautājums, kā atrisināt šādu uzdevumu.

Atrodiet un uzrakstiet izteicienam nederīgu ciparu pāri:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38 g.) / (12 x 2 - y).

Atbildes iespējas:

Bet patiesībā tas izskatās tikai biedējoši un apgrūtinoši, jo patiesībā tajā ir jau sen zināms skaitļu kvadrāts un kubs, dažas aritmētiskas darbības, piemēram, dalīšana, reizināšana, atņemšana un saskaitīšana. Ērtības labad, starp citu, problēmu var samazināt līdz daļai.

Iegūtās daļas skaitītājs nav apmierināts: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Tas ir fakts. Bet laimei ir vēl viens iemesls: jums pat nav jāpieskaras tai, lai atrisinātu uzdevumu! Saskaņā ar iepriekš apspriesto definīciju jūs nevarat dalīt ar nulli, un tas, kas tieši ar to tiks dalīts, ir pilnīgi mazsvarīgs. Tāpēc mēs atstājam šo izteicienu nemainītu un saucējā aizstājam skaitļu pārus no šīm opcijām. Jau trešais punkts lieliski iederas, mazās iekavas pārvēršot par nulli. Bet dzīvot pie tā ir slikts ieteikums, jo var nākt klajā kaut kas cits. Patiešām, piektais punkts arī labi iederas un atbilst nosacījumam.

Mēs pierakstām atbildi: 3 un 5.

Visbeidzot

Kā redzat, šī tēma ir ļoti interesanta un nav īpaši grūta. To saprast nebūs grūti. Tomēr nekad nav sāpīgi izstrādāt pāris piemērus!

Izteiksme ir visplašākais matemātiskais termins. Būtībā šajā zinātnē viss sastāv no viņiem, un visas operācijas tiek veiktas arī ar viņiem. Cits jautājums ir tāds, ka atkarībā no konkrētā veida tiek izmantotas pilnīgi atšķirīgas metodes un paņēmieni. Tātad, strādājot ar trigonometriju, frakcijas vai logaritmi ir trīs dažādi soļi. Izteiksme, kurai nav jēgas, var būt viens no diviem veidiem: skaitliskais vai algebriskais. Bet ko nozīmē šī koncepcija, kā izskatās tās piemērs un citi punkti, tiks apspriesti tālāk.

Skaitliskas izteiksmes

Ja izteiksme sastāv no skaitļiem, iekavām, plus-mīnus un citām aritmētisko darbību pazīmēm, to var droši saukt par ciparu. Kas ir diezgan loģiski: jums vienkārši vēlreiz jāaplūko pirmais nosauktais komponents.

Skaitliskā izteiksme var būt jebkas: galvenais ir tas, ka tajā nav burtu. Un ar "jebko" šajā gadījumā tiek domāts viss: sākot no vienkārša skaitļa, kas pats par sevi stāv, līdz milzīgam to skaitam un aritmētisko darbību pazīmēm, kas prasa turpmāku galarezultāta aprēķināšanu. Arī frakcija ir skaitliska izteiksme, ja tajā nav neviena a, b, c, d utt., Jo tad tā ir pavisam cita suga, par kuru tiks runāts nedaudz vēlāk.

Nosacījumi izteicienam, kam nav jēgas

Kad uzdevums sākas ar vārdu "aprēķināt", var runāt par transformāciju. Lieta ir tāda, ka šī darbība ne vienmēr ir lietderīga: tā nav tik ļoti nepieciešama, ja priekšplānā parādās izteiksme, kurai nav jēgas. Piemēri ir bezgala pārsteidzoši: dažreiz, lai saprastu, ka tas mūs ir panācis, jums ir jāatver kronšteini uz ilgu laiku un garlaicīgi un skaitot-skaitot-skaitot ...

Galvenais ir atcerēties, ka izteicienam, kura gala rezultāts tiek samazināts līdz matemātikā aizliegtai darbībai, nav jēgas. Lai būtu pilnīgi godīgi, tad transformācija pati par sevi kļūst bezjēdzīga, taču, lai to uzzinātu, vispirms tā ir jāveic. Tāds ir paradokss!

Slavenākā, bet ne mazāk svarīgā aizliegtā matemātiskā darbība ir dalīšana ar nulli.

Tāpēc šeit, piemēram, ir izteiciens, kam nav jēgas:

(17+11):(5+4-10+1).

Ja ar vienkāršu aprēķinu palīdzību samaziniet otro iekavu līdz vienam ciparam, tad tā būs nulle.

Saskaņā ar to pašu principu šim izteicienam tiek piešķirts "goda nosaukums":

(5-18):(19-4-20+5).

Algebriskie izteicieni

Šī ir tā pati skaitliskā izteiksme, ja tai pievienojat aizliegtus burtus. Tad tas kļūst par pilntiesīgu algebrisko. Tas var būt arī visos izmēros un formās. Algebriskā izteiksme ir plašāks jēdziens, kas ietver iepriekšējo. Bet bija jēga sākt sarunu nevis ar viņu, bet gan ar ciparu, lai tā būtu skaidrāka un vieglāk saprotama. Galu galā, vai algebriskajai izteiksmei ir jēga, tas nav ļoti sarežģīts jautājums, bet tam ir vairāk skaidrojumu.

Kāpēc ir tā, ka?

Burtiskā izteiksme vai izteiksme ar mainīgajiem ir sinonīmi. Pirmo terminu ir viegli izskaidrot: galu galā tajā ir burti! Otrais arī nav gadsimta noslēpums: burtu vietā jūs varat aizstāt dažādus skaitļus, kā rezultātā izteiksmes nozīme mainīsies. Ir viegli uzminēt, ka burti šajā gadījumā ir mainīgie. Pēc analoģijas skaitļi ir nemainīgi.

Un šeit mēs atgriežamies pie galvenās tēmas: kas ir izteiciens, kam nav jēgas?

Algebrisko izteicienu piemēri, kuriem nav jēgas

Algebras izteiksmes bezjēdzības nosacījums ir tāds pats kā skaitliskam, ar tikai vienu izņēmumu vai, precīzāk sakot, papildinājumu. Konvertējot un aprēķinot gala rezultātu, jums jāņem vērā mainīgie, tāpēc jautājums tiek uzdots nevis kā "kurai izteiksmei nav jēgas?", Bet "pie kādas mainīgā vērtības šai izteiksmei nebūs jēgas?" un "vai mainīgajam ir kāda vērtība, kas padara izteicienu bezjēdzīgu?"

Piemēram, (18-3) :( a + 11-9).

Iepriekšminētajai izteiksmei nav nozīmes, ja a ir vienāds ar -2.

Bet par (a + 3): (12-4-8) mēs varam droši teikt, ka tas ir izteiciens, kam nav jēgas nevienam a.

Tāpat, neatkarīgi no tā, kuru b pievienojat izteiksmei (b - 11): (12 + 1), joprojām būs jēga.

Kopīgi uzdevumi par tēmu "Izteiksme, kurai nav jēgas"

7. klase šo tematu cita starpā studē matemātikā, un ar to saistītie uzdevumi bieži sastopami gan tūlīt pēc attiecīgās stundas, gan kā “trika” jautājums moduļos un eksāmenos.

Tāpēc ir vērts apsvērt tipiskus uzdevumus un metodes to risināšanai.

1. piemērs.

Vai izteicienam ir jēga:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Ir nepieciešams veikt visu aprēķinu iekavās un izteiksmi novest pie formas:

Galarezultātā ir dalījums ar nulli, tāpēc izteicienam nav nozīmes.

2. piemērs.

Kādiem izteicieniem nav jēgas?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Aprēķiniet katras izteiksmes galīgo vērtību.

Atbilde: 1; 2.

3. piemērs.

Atrodiet derīgo vērtību diapazonu šādām izteiksmēm:

1) (11-4) / (b + 17);

2) 12 / (14-b + 11).

Derīgo vērtību diapazons (ADV) ir visi šie skaitļi, ja mainīgo vietā aizstāj izteiksmi.

Tas ir, uzdevums izklausās šādi: atrodiet vērtības, kurās nebūs dalījuma ar nulli.

1) b є (-∞; -17) & (-17; + ∞) vai b\u003e -17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞; 25) & (25; + ∞) vai b\u003e 25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

4. piemērs.

Kādām vērtībām zemāk esošajam izteicienam nav jēgas?

Otrā iekava ir nulle, kad spēle ir -3.

Atbilde: y \u003d -3

4. piemērs.

Kuriem izteicieniem nav nozīmes tikai tad, kad x \u003d -14?

1) 14: (x - 14);

2) (3 + 8x) :( 14 + x);

3) (x / (14 + x)): (7/8)).

2 un 3, jo pirmajā gadījumā, ja jūs aizstājat x \u003d -14, tad otrā iekava ir vienāda ar -28, nevis ar nulli, kā tas izklausās bezjēdzīgas izteiksmes definīcijā.

5. piemērs.

Izveidojiet un pierakstiet izteiksmi, kurai nav jēgas.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebriskas izteiksmes ar diviem mainīgajiem

Neskatoties uz to, ka visiem izteicieniem, kuriem nav jēgas, ir viena un tā pati būtība, to sarežģītībai ir dažādi līmeņi. Tātad, mēs varam teikt, ka skaitliski piemēri ir vienkārši piemēri, jo tie ir vieglāk nekā algebriski. Risinājuma grūtības pievieno arī mainīgo skaits pēdējos. Bet viņiem nevajadzētu jaukt ar savu izskatu: galvenais ir atcerēties vispārējo risinājuma principu un to pielietot neatkarīgi no tā, vai piemērs ir līdzīgs tipiskai problēmai vai ir daži nezināmi papildinājumi.

Piemēram, var rasties jautājums, kā atrisināt šādu uzdevumu.

Atrodiet un uzrakstiet izteicienam nederīgu ciparu pāri:

(x3 - x2y3 + 13x - 38g) / (12x2 - y).

Atbildes iespējas:

Bet patiesībā tas izskatās tikai biedējoši un apgrūtinoši, jo patiesībā tajā ir jau sen zināms skaitļu kvadrāts un kubs, dažas aritmētiskas darbības, piemēram, dalīšana, reizināšana, atņemšana un saskaitīšana. Ērtības labad, starp citu, problēmu var samazināt līdz daļai.

Iegūtās daļas skaitītājs nav apmierināts: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Tas ir fakts. Bet laimei ir vēl viens iemesls: jums pat nav jāpieskaras tai, lai atrisinātu uzdevumu! Saskaņā ar iepriekš apspriesto definīciju jūs nevarat dalīt ar nulli, un tas, kas tieši ar to tiks dalīts, ir pilnīgi mazsvarīgs. Tāpēc mēs atstājam šo izteicienu nemainītu un saucējā aizstājam skaitļu pārus no šīm opcijām. Jau trešais punkts lieliski iederas, mazās iekavas pārvēršot par nulli. Bet dzīvot pie tā ir slikts ieteikums, jo var nākt klajā kaut kas cits. Patiešām, piektais punkts arī labi iederas un atbilst nosacījumam.

Mēs pierakstām atbildi: 3 un 5.

Visbeidzot

Kā redzat, šī tēma ir ļoti interesanta un nav īpaši grūta. To saprast nebūs grūti. Tomēr nekad nav sāpīgi izstrādāt pāris piemērus!

Studējot tēmu, skaitliskām, burtiskām un mainīgām izteiksmēm jāpievērš uzmanība jēdzienam izteiksmes vērtība... Šajā rakstā mēs atbildēsim uz jautājumu, kāda ir skaitliskās izteiksmes vērtība un ko sauc par alfabētiskās izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem vērtību mainīgajām mainīgajām vērtībām. Šeit ir daži piemēri, lai precizētu šīs definīcijas.

Lapas navigācija.

Kāda ir skaitliskās izteiksmes vērtība?

Iepazīšanās ar skaitliskām izteiksmēm sākas gandrīz no pirmajām matemātikas stundām skolā. Gandrīz nekavējoties tiek ieviests jēdziens "skaitliskās izteiksmes vērtība". Tas attiecas uz izteicieniem, kas sastāv no skaitļiem, kurus savieno aritmētiskās zīmes (+, -, ·, :). Sniegsim atbilstošu definīciju.

Definīcija.

Skaitliskas izteiksmes vērtība - Šis ir skaitlis, kas tiek iegūts pēc visu darbību veikšanas sākotnējā skaitliskajā izteiksmē.

Piemēram, ņemiet vērā skaitlisko izteiksmi 1 + 2. Pēc pabeigšanas iegūstam skaitli 3, tā ir skaitliskās izteiksmes 1 + 2 vērtība.

Bieži vien frāzē "skaitliskā izteiciena vērtība" tiek izlaists vārds "skaitliskais", un viņi vienkārši saka "izteiciena nozīmi", jo joprojām ir skaidrs, kāda ir šīs izteiksmes nozīme.

Iepriekšminētā izteiksmes nozīmes definīcija attiecas arī uz sarežģītākas formas skaitliskām izteiksmēm, kuras mācās vidusskolā. Šeit jāatzīmē, ka jūs varat sastapties ar skaitliskām izteiksmēm, kuru vērtības nevar norādīt. Tas ir saistīts ar faktu, ka dažos izteicienos nav iespējams veikt ierakstītās darbības. Piemēram, tāpēc mēs nevaram norādīt izteiksmes 3 vērtību: (2−2). Tiek saukti šādi skaitliski izteicieni izteicieni, kuriem nav jēgas.

Bieži vien praksē interese ir ne tik daudz skaitliska izteiksme, cik tās vērtība. Tas ir, uzdevums ir noteikt šīs izteiksmes nozīmi. Šajā gadījumā viņi parasti saka, ka jums jāatrod izteiksmes vērtība. Šajā rakstā tiek detalizēti analizēts dažāda veida skaitlisko izteicienu vērtības atrašanas process, un tiek aplūkoti daudzi piemēri ar detalizētiem risinājumu aprakstiem.

Burtiskās izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem lielumiem nozīme

Papildus skaitliskām izteiksmēm tiek pētītas burtiskas izteiksmes, tas ir, izteiksmes, kuru ierakstā kopā ar cipariem ir viens vai vairāki burti. Alfabētiskā izteiksmē burti var attēlot dažādus skaitļus, un, ja burtus aizstāj ar šiem skaitļiem, alfabētiskā izteiksme kļūst par ciparu.

Definīcija.

Tiek saukti skaitļi, kas burtus aizstāj burtiskā izteiksmē šo burtu nozīme, un tiek saukta šajā gadījumā iegūtās skaitliskās izteiksmes vērtība burtiskās izteiksmes vērtība, ņemot vērā burtu vērtības.

Tātad attiecībā uz burtiskām izteiksmēm runā ne tikai par burtiskās izteiksmes nozīmi, bet gan par burtiskās izteiksmes nozīmi ar dotajām (dotajām, norādītajām uc) burtu nozīmēm.

Sniegsim piemēru. Ņem burtisko izteicienu 2 a + b. Ļaujiet norādīt burtu a un b vērtības, piemēram, a \u003d 1 un b \u003d 6. Sākotnējās izteiksmes burtus aizstājot ar to vērtībām, mēs iegūstam formas 2 1 + 6 ciparu izteiksmi, tās vērtība ir 8. Tādējādi skaitlis 8 ir burtiskās izteiksmes 2 a + b vērtība norādītajām burtu a \u003d 1 un b \u003d 6 vērtībām. Ja tiktu dotas citas burtu nozīmes, tad mēs iegūtu burtu izteiksmes nozīmi šīm burtu nozīmēm. Piemēram, ja a \u003d 5 un b \u003d 1, mums ir vērtība 2 5 + 1 \u003d 11.

Vidusskolā, pētot algebru, burtiem burtu izteicienos ir atļauts iegūt dažādas nozīmes, šādus burtus sauc par mainīgajiem, bet burtu izteicienus sauc par izteicieniem ar mainīgajiem. Šīm izteiksmēm tiek ieviesta izteiksmes ar mainīgajiem lieluma vērtības koncepcija izvēlētajām mainīgo vērtībām. Izdomāsim, kas tas ir.

Definīcija.

Izteiksmes ar mainīgajiem vērtība pie mainīgo lielumu atlasītajām vērtībām ir skaitliskās izteiksmes vērtība, kas tiek iegūta pēc sākotnējo izteiksmju atlasīto mainīgo lielumu aizstāšanas.

Paskaidrosim iepriekš minēto definīciju ar piemēru. Apsveriet izteiksmi ar mainīgajiem x un y formā 3 x y + y. Ņem x \u003d 2 un y \u003d 4, aizvieto šīs mainīgo vērtības sākotnējā izteiksmē, iegūstam skaitlisko izteiksmi 3 · 2 · 4 + 4. Aprēķināsim šīs izteiksmes vērtību: 3 · 2 · 4 + 4 \u003d 24 + 4 \u003d 28. Atrastā vērtība 28 ir sākotnējās izteiksmes ar mainīgajiem lielumiem 3 x y + y vērtība atlasītajām mainīgo lielumiem x \u003d 2 un y \u003d 4.

Ja izvēlaties citas mainīgo vērtības, piemēram, x \u003d 5 un y \u003d 0, tad šīs izvēlētās mainīgo vērtības atbildīs izteiksmes vērtībai ar mainīgajiem lielumiem, kas vienādi ar 3 · 5 · 0 + 0 \u003d 0.

Var atzīmēt, ka dažkārt dažādām izvēlētajām mainīgo vērtībām var iegūt vienādas izteiksmes vērtības. Piemēram, ja x \u003d 9 un y \u003d 1, izteiksmes 3 x y + y vērtība ir 28 (kopš 3 9 1 + 1 \u003d 27 + 1 \u003d 28), un iepriekš mēs parādījām, ka tā pati vērtība ir izteiksme ar mainīgajiem ir attiecībā uz x \u003d 2 un y \u003d 4.

Mainīgo lielumus var izvēlēties no atbilstošajiem derīgo vērtību diapazoni... Pretējā gadījumā, aizstājot šo mainīgo vērtības sākotnējā izteiksmē, tiks iegūta skaitliska izteiksme, kurai nav jēgas. Piemēram, ja izvēlaties x \u003d 0 un aizstājat šo vērtību izteiksmē 1 / x, tad iegūstat skaitlisku izteiksmi 1/0, kurai nav jēgas, jo dalīšana ar nulli nav definēta.

Atliek tikai piebilst, ka ir izteicieni ar mainīgajiem, kuru vērtības nav atkarīgas no tajos iekļauto mainīgo vērtībām. Piemēram, izteiksmes vērtība ar mainīgo x formā 2 + x - x nav atkarīga no šī mainīgā lieluma, tā ir vienāda ar 2 jebkurai izvēlētajai mainīgā x vērtībai no tā pieļaujamo vērtību diapazona , kas šajā gadījumā ir visu reālo skaitļu kopa.

Atsauces saraksts.

• Matemātika: mācību grāmata. uz 5 cl. vispārējā izglītība. iestādes / N. Ja. Vilenkins, V. I. Žohovs, A. S. Česnokovs, S. I. Švartsburds. - 21. izdevums, Dzēsts. - M.: Mnemosina, 2007. - 280 lpp .: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: pētījums. uz 7 cl. vispārējā izglītība. iestādes / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 17. izdevums - M .: Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slims - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: pētījums. uz 8 cl. vispārējā izglītība. iestādes / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. izdevums - M .: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slims - ISBN 978-5-09-019243-9.

Skaitliskā izteiksme Vai ir kāds skaitļu, aritmētisko zīmju un iekavu ieraksts. Skaitliskā izteiksme var sastāvēt tikai no viena skaitļa. Atgādināsim, ka galvenās aritmētiskās darbības ir “saskaitīšana”, “atņemšana”, “reizināšana” un “dalīšana”. Šīs darbības atbilst zīmēm "+", "-", "∙", ":".

Protams, lai mēs iegūtu skaitlisku izteiksmi, skaitļu un aritmētisko zīmju apzīmējumam ir jābūt jēgpilnam. Tā, piemēram, šādu apzīmējumu 5: + ∙ nevar saukt par skaitlisku izteiksmi, jo tas ir nejaušs rakstzīmju kopums, kam nav jēgas. Gluži pretēji, 5 + 8 ∙ 9 jau ir reāla skaitliskā izteiksme.

Skaitliskas izteiksmes vērtība.

Tūlīt pieņemsim, ka, ja mēs veiksim darbības, kas norādītas skaitliskā izteiksmē, tad rezultātā mēs iegūsim skaitli. Šis numurs tiek izsaukts skaitliskas izteiksmes vērtība.

Mēģināsim aprēķināt, ko mēs iegūstam, veicot mūsu piemēra darbības. Saskaņā ar secību, kādā tiek veiktas aritmētiskās darbības, vispirms veicam reizināšanas darbību. Reiziniet 8 ar 9. Iegūstiet 72. Tagad pievienojiet 72 un 5. Iegūstiet 77.
Tātad 77 - vērtība skaitliskā izteiksme 5 + 8 ∙ 9.

Skaitliskā vienlīdzība.

Varat to uzrakstīt šādi: 5 + 8 ∙ 9 \u003d 77. Šeit mēs vispirms izmantojām zīmi "\u003d" ("Vienāds"). Tiek saukts šāds apzīmējums, kurā divas skaitliskas izteiksmes atdala zīme "\u003d" skaitliskā vienlīdzība... Turklāt, ja vienlīdzības kreisās un labās puses vērtības sakrīt, tad tiek saukta vienlīdzība uzticīgs... 5 + 8 ∙ 9 \u003d 77 - patiesa vienlīdzība.
Ja mēs rakstām 5 + 8 ∙ 9 \u003d 100, tad tas jau būs viltus vienlīdzība, jo šīs vienlīdzības kreisās un labās puses vērtības vairs nesakrīt.

Jāatzīmē, ka skaitliskā izteiksmē mēs varam izmantot arī iekavas. Iekavas ietekmē darbību veikšanas secību. Tā, piemēram, modificēsim mūsu piemēru, pievienojot iekavas: (5 + 8) first 9. Tagad jums vispirms jāpievieno 5 un 8. Mēs iegūstam 13. Un pēc tam reiziniet 13 ar 9. Mēs iegūstam 117. Tādējādi (5 + 8) ∙ 9 \u003d 117.
117 – vērtība skaitliskā izteiksme (5 + 8) ∙ 9.

Lai pareizi nolasītu izteiksmi, jums jānosaka, kura darbība tiek veikta pēdējoreiz, lai aprēķinātu norādītās skaitliskās izteiksmes vērtību. Tātad, ja pēdējā darbība ir atņemšana, tad izteiksmi sauc par "atšķirību". Attiecīgi, ja pēdējā darbība ir summa - "summa", dalīšana - "koeficients", reizināšana - "produkts", eksponācija - "pakāpe".

Piemēram, skaitliskā izteiksme (1 + 5) (10-3) skan šādi: "skaitļu 1 un 5 summas reizinājums ar starpību starp skaitļiem 10 un 3".

Ciparu izteicienu piemēri.

Lūk, sarežģītākas skaitliskās izteiksmes piemērs:

\\ [kreisais (\\ frac (1) (4) +3,75 \\ labais): \\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \\ centrs 0,5) \\]

Iekavās mums ir izteiciens $ \\ frac (1) (4) + 3,75 $. Konvertējiet decimāldaļu 3,75 uz daļu.

3,75 USD \u003d 3 \\ frac (75) (100) \u003d 3 \\ frac (3) (4) $

Tātad, $ \\ frac (1) (4) + 3,75 \u003d \\ frac (1) (4) +3 \\ frac (3) (4) \u003d 4 $

Tālāk, frakcijas skaitītājā \\ [\\ frac (1.25 + 3.47 + 4.75-1.47) (4 \\ centerdot 0.5) \\] mums ir izteiksme 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Lai vienkāršotu šo izteicienu, mēs izmantojam papildināšanas likumu, kas saka: "Summa nemainās no terminu vietu maiņas." Tas ir, 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47 \u003d 1,25 + 4,75 + 3,47-1,47 \u003d 6 + 2 \u003d 8.

Frakcijas saucējā izteiksme $ 4 \\ centerdot 0.5 \u003d 4 \\ centerdot \\ frac (1) (2) \u003d 4: 2 \u003d 2 $

Mēs saņemam $ \\ left (\\ frac (1) (4) +3.75 \\ right): \\ frac (1.25 + 3.47 + 4.75-1.47) (4 \\ centerdot 0.5) \u003d 4: \\ frac (8) (2) \u003d 4: 4 \u003d 1 $

Kad skaitliskajiem izteicieniem nav jēgas?

Ņemsim vēl vienu piemēru. Frakcijas saucējā $ \\ frac (5 + 5) (3 \\ centerdot 3-9) $ izteiksmes $ 3 \\ centerdot 3-9 $ vērtība ir 0. Un, kā mēs zinām, dalīšana ar nulli nav iespējama. Tāpēc daļai $ \\ frac (5 + 5) (3 \\ centerdot 3-9) $ nav vērtības. Tiek teikts, ka skaitliskie izteicieni, kuriem nav nozīmes, ir "bezjēdzīgi".

Ja skaitliskā izteiksmē papildus skaitļiem izmantosim burtus, tad to jau iegūsim